山西省太原五中2019—2020学年度第一学期阶段性检测理科数学试卷含答案
山西省太原市第五中学2019_2020学年高一数学上学期10月阶段性检测试题201911280181
山西省太原市第五中学2019-2020学年高一数学上学期10月阶段性检测试题一、选择题(每小题4分,共40分)1.设集合{}{}{}3,2,2,1,4,3,2,1,0===B A U ，则()()U U C A C B =( ) A.{0,4} B.{4} C. {1,2,3} D.∅ 2．如图所示的韦恩图中，全集为U ，B A ,是U 非空子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A.)(B A C UB.B C A UC.)()(B C A C U UD.)()(B A C B A U3.集合{}1,0,1-=A 的所有子集中，含有元素0的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个4. 函数图象可以分布在四个象限的函数只可能为( )A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数5.不等式02>++-c bx x 的解集是{|21}x x -<<，则1-+c b 的值为 （ ） A.2 B.-1 C.0 D.1 6.已知实数1>x ，则x x +-19的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 107.下列四个函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数的是 （ ） A ．()3f x x =- B ．2()3f x x x =-C ．x x x f +=2)(D ．1()1f x x =-+ 8.函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，在区间]2,(--∞上是减函数，则)1(f 等于( )A.－7B.1C.17D.259.已知函数27,(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A. 4-≤a ＜0B. a ≤2-C. 4-≤a ≤2-D. a ＜010.已知函数()266,034,0x x x f x x x⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ） A.11,63⎛⎫⎪⎝⎭ B.18,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.11,63⎛⎤- ⎥⎝⎦ D.18,33⎛⎤- ⎥⎝⎦二、填空题(每小题4分，共20分)11.已知x x g 21)(-=，[])0(1)(22≠-=x x x x g f ,则)21(f 等于 12．函数2y =的值域是13.已知函数⎩⎨⎧≥--<+=)0(1)0(1)(x x x x x f ，则不等式1)()1(≤++x f x x 的解集是 ．14. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，给出下列四个结论： ①0)0(=f ；②若)(x f 在),0[+∞上有最小值1-，则)(x f 在)0,(-∞上有最大值1； ③若)(x f 在),1[+∞上为增函数，则)(x f 在]1,(--∞上为减函数；④若0>x 时，,2)(2x x x f -=则0<x 时，x x x f 2)(2--=； 其中正确结论的序号为_____；15.当]2,1[∈x 时，不等式042<++mx x 恒成立，则m 的取值范围是________． 三、解答题(每小题10分，共40分)16.已知集合{}{}{}R U a x x C x x B x x A =>=<<=≤≤=,,61,82 （1）求B A C B A U )(,；（2）若∅≠C A ，求a 的取值范围。
2019年11月山西省太原五中2020届高三毕业班阶段性检测数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前山西省太原市第五中学2020届高三毕业班上学期阶段性质量检测数学(理)试题(解析版)2019年11月一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项）1.已知集合211|log ,|,022x A x y x B y y x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫==-==<⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ） A. (1,)+∞ B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】 分别化简集合,A B ，再求交集即可. 【详解】211{|log }={|}2(2)A x y x x x ==->， 1{|(),0}{|1}2x B y y x y y ==<=>. (1,)A B =+∞.故选：A【点睛】本题主要考查集合的交集运算,同时考查了对数函数的定义域和指数函数的值域,属于简单题.2.已知z 是z 的共轭复数,且||13z z i -=+,则z 的模是（ ）A. 3B. 4C. 5【答案】C【解析】【分析】首先设z a bi =+,()13a bi i -=+,分别解出,a b 即可求出答案.【详解】设z a bi =+,因为||13z z i -=+,()13a bi i --=+,即)13a bi i +=+.13a b ==⎪⎩,解得：43a b =⎧⎨=⎩, 43z i =+,5z ==.故选：C【点睛】本题主要考查复数的代数式,同时考查了复数模长的计算,属于简单题.3.若,,2(,0)a b a b ->可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则()()11a b ++的值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】A【解析】【分析】首先根据题意的到,2,a b -构成等比数列,从而得到4ab =,再分别讨论,,2a b -构成等差数列和2,,a b -构成等差数列,即可求出,a b 值,再带入(1)(1)a b ++即可.【详解】因为,0a b >,所以,2,a b -构成等比数列.所以4ab =①.当,,2a b -构成等差数列时,可得：22a b -=②.由①②可得：4a =,1b =.(1)(1)10a b ++=.当2,,a b -构成等差数列时,可得：22b a -=②.由①②可得：1a =,4b =.(1)(1)10a b ++=.故选：A。
山西省太原市第五中学2019-2020学年高二11月月考数学(理)试题 Word版含解析
太原五中2019—2020学年度第一学期阶段性检测高二数学（理）一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.下列说法中正确的是（ ）A. 11y y k x x -=-表示过点111(,)P x y ，且斜率为k 的直线方程 B. 直线y kx b =+与y 轴交于一点(0,)B b ，其中截距||b OB = C. 在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是1x ya b+= D. 方程()()()()211211x x y y y y x x --=--表示过点()111,P x y ，()222,P x y 的直线 【答案】D 【解析】 【分析】分别由直线的点斜式方程、直线在y 轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对四个选项得答案． 【详解】对A ，11y y k x x -=-表示过点()111,P x y 且斜率为k 的直线方程不正确，不含点()111,P x y ，故A 不正确；对B ，截距不是距离，是B 点的纵坐标，其值可正可负，故B 不正确； 对C ，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为1x ya b+=，故C 不正确； 对于D ，此方程即直线的两点式方程变形，即(211211)()()()x x y y y y x x --=--，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查直线方程的几种形式，关键是对直线方程形式的理解，属于基础题.．2.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(1,2,3)-（ ） A. 关于xOy 平面对称 B. 关于xOz 平面对称 C. 关于yOz 平面对称D. 关于x 轴对称【答案】C 【解析】 【分析】利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.【详解】两个点()1,2,3和()1,2,3-，,y z 两个坐标相同，x 坐标相反，故关于yOz 平面对称，故选C.【点睛】本小题主要考查空间点对称关系，考查理解和记忆能力，属于基础题.3.已知三点1,0A ，(B ，(C ，则ABC 的重心到原点的距离为（ ）A.53C.3D.43【答案】B 【解析】 【分析】利用重心坐标公式可得ABC ∆的重心坐标，再由两点间的距离公式可得答案，【详解】已知三点(1,0)A ，B ，C ，由重心坐标公式可得：ABC ∆的重心坐标为102(3++，0)3+即(1,)3， 由两点间的距离公式，可得ABC ∆的重心到原点的距离为：3d ==. 故选：B ．【点睛】本题考查两点间的距离公式、ABC ∆的重心坐标，考查运算求解能力.4.若直线1:(1)30l ax a y +--=与直线()()2:12320l a x a y -++-=互相垂直，则a 的值为（ ） A. 3- B. 12-C. 0或32-D. 1或3-【答案】D 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出a 的值． 【详解】12l l ⊥，(1)(1)(23)0a a a a ∴-+-⨯+=，即(1)(3)0-+=a a ，解得1a =或3a =-. 故选：D ．【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件，考查运算求解能力，求解时注意1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=垂直12120A A B B ⇔+=这一条件的应用.5.方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则m 的取值范围是（ ）A. 12m ≤B. 12m <C. 12m ≥D. 12m >【答案】B 【解析】 【分析】方程即22111()()222x y m -++=- 表示一个圆，可得102m ->，解得m 的取值范围．【详解】方程220x y x y m -++=+即22111()()222x y m -++=- 表示一个圆，∴102m ->，解得12m <. 故选：B ．【点睛】本题考查二元二次方程表示圆的条件，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.．6. 入射光线沿直线x －2y ＋3＝0射向直线l ：y ＝x ，被l 反射后的光线所在直线的方程是（ ） A. 2x ＋y －3＝0 B. 2x －y －3＝0 C. 2x ＋y ＋3＝0 D. 2x －y ＋3＝0【答案】B 【解析】在入射光线上取点()x y ， ，则关于y x = 的对称点()y x ， 在反射光线上， 将()y x ，代入230x y --=，可得反射光线为230x y --= ，故选B.7.已知条件:p k =q ：直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则q 是p 的（ ）A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即k =，∴q 推不出p ，而p 而以推出q ，q ∴是p 的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.8.已知点M 是圆22:1C x y +=上的动点，点()2,0N ，则MN 的中点P 的轨迹方程是（ ）A. ()22114x y -+=B. ()22112x y -+=C .()22112x y ++=D. ()22114x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】设出线段MN 中点的坐标，利用中点坐标公式求出M 的坐标，根据M 在圆上，得到轨迹方程．【详解】设线段MN 中点(,)P x y ，则(22,2)M x y -．M 在圆22:1C x y +=上运动，22(22)(2)1x y ∴-+=，即221(1)4x y -+=． 故选：A ．【点睛】本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查学生的计算能力，属于基础题． 9.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆222x y +=的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（ ） A. (21)20x y +--=B. (12)20x y --+=C. (21)20x y -++=D. (21)20x y --+=【答案】C 【解析】分析：由题意求解题中所给的直线方程，对比选项，利用排除法即可求得最终结果.详解：如图所示可知()(20),(11)(0,2),1,1A B C D -，，，， 所以直线AB ，BC ，CD 的方程分别为：()2,12(12)2,(21)2y x y x y x =--=-+=-+整理为一般式即：()()()2120,1220,2120,x y x y x y ++--=--+=--+= 分别对应题中的ABD 选项.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查直线方程的求解，圆的方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.已知点(),P t t ，t R ∈，点M 是圆()22114x y +-=上的动点，点N 是圆()22124x y -+=上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） A .51-B. 5C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】先根据两圆的方程求出圆心和半径，结合图形，把求PN PM -的最大值转化为||||1PF PE -+的最大值，再利用||||||||||1PF PE PF PE E F -=-''=，求出所求式子的最大值．【详解】圆221(1)4x y +-=的圆心(0,1)E ，圆221(2)4x y -+=的圆心(2,0)F ， 这两个圆的半径都是12． 要使PN PM -最大，需||PN 最大，且||PM 最小，由图可得，||PN 最大值为1||2PF +，|PM 的最小值为1||2PE -，故PN PM -最大值是1(||)2PF +-1(||)2PE -||||1PF PE =-+，点(,)P t t 在直线y x =上，(0,1)E 关于y x =的对称点(1,0)E '，直线FE '与y x =的交点为原点O ，则||||||||||1PF PE PF PE E F -=-''=，故||||1PF PE -+的最大值为112+=.故选：C ．【点睛】本题考查圆的标准方程、几何最值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取到最值时点P 的位置. 二、填空题（本大题共5小题）11.若三点A (-2，12)，B (1，3)，C (m ，-6)共线，则m 的值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】由三点共线的性质可得AB 和AC 的斜率相等，由坐标表示斜率解方程即可得解. 【详解】由题意可得k AB =k AC ,∴312612122m ---=++，∴m =4， 故答案为4.【点睛】本题主要考查了三点共线，斜率的坐标表示，属于基础题.12.已知圆C 被直线10x y --=，30x y +-=分成面积相等的四个部分，且圆C 截x 轴所得线段的长为2，则圆C 的方程为______． 【答案】22(2)(1)2x y -+-= 【解析】 【分析】由题可判断直线10x y --=与直线30x y +-=的交点为圆C 的圆心，由圆C 截x 轴所得线段的长为2即可求得圆的半径，问题得解．【详解】因为圆C 被直线10x y --=，30x y +-=分成面积相等的四个部分， 所以直线10x y --=与直线30x y +-=的交点为圆C 的圆心，由1030x y x y --=⎧⎨+-=⎩得：21x y =⎧⎨=⎩，所以圆C 的圆心坐标为：()2,1，设圆的半径为r ，由圆C 截x 轴所得线段的长为2得：222112r =+=， 所以圆C 的方程为：()()22212x y -+-=【点睛】本题主要考查了圆的性质及圆的弦长知识、圆的标准方程，属于基础题． 13.已知三个命题,,p q m 中只有一个是真命题.课堂上老师给出了三个判断：A ：p 是真命题；B ：p q ∨是假命题；C ：m 是真命题.老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的.那么三个命题,,p q m 中的真命题是______. 【答案】m 【解析】【分析】根据已知中老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，逐一分析论证，可得答案． 【详解】由已知中三个命题p ，q ，m 中只有一个是真命题，(1) 若A 是错误的，则p 是假命题；q 是假命题；m 是真命题，满足条件； (2)若B 是错误的，则p 是真命题；q 的真假不能确定；m 是真命题，不满足条件； (3)若C 是错误的，则p 是真命题；p q ∨不可能是假命题，不满足条件； 故真命题是m ， 故答案为：m .【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查复合命题的真假判断，考查逻辑推理能力． 14.与两条平行线12:3260,:6430l x y l x y +-=+-=等距离的平行线_____. 【答案】12x+8y-15=0 【解析】设所求直线方程为320,x y b ++=2:6430l x y +-=化为3320;2x y +-= 于是3(6)()2b b --=--，解得15,4b =-则所求直线方程是15320,4x y +-=即 128150.x y +-=15.已知圆()22:14C x y -+=.动点P 在直线280x y +-=上，过点P 引圆的切线，切点分别为,A B ，则直线AB 过定点______.【答案】118,77⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】根据题意，设P 的坐标为(82,)t t -，由圆的切线的性质分析可得则A 、B 在以CP 为直径的圆上，进而可得该圆的方程，进而分析可得直线AB 为两圆的公共弦所在直线的方程，由圆与圆的位置关系分析可得直线AB 的方程，据此分析可得答案．【详解】根据题意，动点P 在直线280x y +-=上，设P 的坐标为(82,)t t -， 圆22:(1)4C x y -+=，圆心为(1,0)，过点P 引圆的切线，切点分别为A ，B ，则PA CA ⊥，PB CB ⊥，则A 、B 在以CP 为直径的圆上，该圆的方程为(1)[(82)](0)()0x x t y y t ---+--=， 变形可得：22(92)(82)0x y t x ty t +---+-=，又由A 、B 在圆C 上，即直线AB 为两圆的公共弦所在直线的方程，则有2222230(92)(82)0x y x x y t x ty t ⎧+--=⎨+---+-=⎩， 则直线AB 的方程为(711)(22)x t x y -=--，则有7110220x x y -=⎧⎨--=⎩，解可得：11787x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；故直线AB 恒过定点11(7，8)7； 故答案为：11(7，8)7． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、公共弦方程求法、直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两圆相减可得公共弦直线方程的应用.三、解答题（本大题共5小题.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）16.已知m R ∈，条件P ：对任意[]1,1x ∈-，不等式2310m m x --+≤恒成立；条件q ：存在[]1,1x ∈-，使得0m ax -≤成立.若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】2a ≥或2a ≤-. 【解析】 【分析】根据p 是q 的充分不必要条件，转化成集合间的关系，建立不等式关系，即可求实数a 的取值范围．【详解】对条件p ：∵对任意[]1,1x ∈-，不等式2310m m x --+≤恒成立， ∴()2min 13x m m -≥- 即232m m -≤-，解得12m ≤≤，即p 为真命题时，12m ≤≤.对条件q ：当0a =时，条件q 中0m ≤，∵12m ≤≤推不出0m ≤，p 不是q 的充分不必要条件； ∴0a =不成立；当0a >时，存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立，命题q 为真时，m a ≤， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴12m ≤≤是m a ≤的真子集，∴2a ≥； 当0a <时，存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立，命题q 为真时，m a ≤-，∵p 是q 的充分不必要条件，∴12m ≤≤是m a ≤-的真子集，∴22a a -≥⇒≤-； 综上所述，2a ≥或2a ≤-.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．17.如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上.（1）当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为点M 时，求PM 的长度；（2）当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值.【答案】（1）213PM =26【解析】 【分析】（1）以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，推导出121,,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，121,,33M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由此能求出||PM ．（2）当点P 是面对角线AB 中点时，点11(1,,)22P ，点Q 在面对角线DC 上运动，设点(,1,)Q a a ，[0,1]a ∈，则22221133||(1)(1)()2()2248PQ a a a =-+-+-=-+，由此能求出当34a =时，||PQ 取得最小值为6，此时点33(,1,)44Q ． 【详解】（1）以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz ， 点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．由题意知点(1,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)A B C D ，当2PB AP =时，121,,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，121,,33M ⎛⎫--⎪⎝⎭， 2221122213||(11)()()3333PM ∴=++-++=． （2）当点P 是面对角线AB 中点时，点11(1,,)22P ， 点Q 在面对角线DC 上运动，设点(,1,)Q a a ，[0,1]a ∈，则2222211333||(1)(1)()232()22248PQ a a a a a =-+-+-=-+=-+，∴当34a =时，||PQ 取得最小值为6，此时点33(,1,)44Q ．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间直角坐标系的性质、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .（1）若过点12C ⎛ ⎝⎭的直线l 被圆Ol 的方程； （2）若在以B 为圆心，半径为r 的圆上存在点P，使得PA =（O 为坐标原点），求r 的取值范围. 【答案】（1）12x =或10x +=.（2）0r <≤【解析】 【分析】（1）当直线l 的斜率不存在时，求得l 的方程为：12x =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程，求出点O 到直线l 的距离d ，利用垂径定理列式求得k ，则直线方程可求； （2）设点P 的坐标为(,)x y ，求出点A 与点B 的坐标，再由PA =，可得22(1)2x y -+=，由点P 在圆B 上，得22|(10)(01)2r r -+-+，求解得答案．【详解】（1）当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为：12x =，符合题意. 当直线l的斜率存在时，设l 的方程为：122y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即220kx yk --+=， ∴点O 到直线l 的距离d =∵直线l 被圆O 221d +=⎝⎭314=，∴3k =，此时l 的方程为：10x -+=， ∴所求直线l 的方程为12x =或10x +=. （2）设点P 的坐标为(),x y ，由题得点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()0,1， 由PA ==，化简可得()2212x y -+=，∵点P在圆B上，∴22 |(10)(01)2r r-+-+，∴0r<≤∴r的取值范围是0r<≤【点睛】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19.已知圆心在x轴上的圆C与直线:4360l x y+-=切于点36(,)55M.（1）求圆C的标准方程；（2）已知(2,1)N，经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于1122(,),(,)P x y Q x y两点.（ⅰ）求证：1211+x x为定值；（ⅱ）求22||||PN QN+的最大值.【答案】（1）22(1)4x y++=;（2）（ⅰ）见解析;（ⅱ）22.【解析】试题分析：（1）由题意可知，·1CM lk k=-，解得1a=-，可求得半径r,得圆的方程. （2）（i）设直线l的方程为()0y kx k=>，与圆的方程联立，可得()221230k x x++-=，利用韦达定理即可证明；（ii）表示()()()()222221212||14210PN QN k x x k x x+=++-+++141610363kk=⨯+++-+再求最值即可.试题解析：（1）设圆心C的坐标为(),0a，则6535CMka=-，又43lk=-，由题意可知，·1CM lk k=-，则1a=-，故()1,0C-，所以2CM=，即半径2r=.故圆C的标准方程为()2214x y++=.（2）设直线L 的方程为(0)y kx k =>，由2(4{x y y kx+==得：()221230k x x ++-=，所以12221x x k +=-+，12231x x k =-+. （ⅰ）1212121123x x x x x x ++==为定值， （ⅱ）()()()()2222221122||2121PN QN x y x y +=-+-+-+-22221111222244214421x x y y x x y y =-++-++-++-+()()()()222121214210k xx k x x =++-+++()()()()()2221212121214210k x x k x x k x x =++-+-+++212411641622101363k k k k +=+=⨯+≤+++-+ （当且仅当1033k k +=+，即3k =时等号成立）故22||PN QN +的最大值为22.点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．。
山西省太原市2019-2020学年高三上学期期中阶段性测评考试数学试卷(解析版)
2019~2020 学年第一学期高三年级阶段性测评
数学试卷分析
一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将其 字母标号填入下表相应的位置）
1.设全集U＝R ，若 A 2, 1,0,1, 2 ， B x y log2 1 x ，则 A Cu B
f
4
x 2
4 4
f x ，所以该凼数的周期为 4 ，
f x
f
1 2,
f
2 3,
f
3
f
1 2
4
f 1
2, 同理
f
4 4
3
，
所以 f 1 f 2 f 3 f 4 5 ，
3
所以 f 1 f 2 f 2019 5 504 f 1 f 2 f 3 843
3
11.已知凼数
f
x
x2
ex
x2 1 x
x
0
0
若
g x
f
x
xm
当x
0时，f
(x)
2x
1 x2
，
f
(1)
2 1 1
所以 y f (x) 在 (1 , f (1)) 处的切线方程为 y+2 x 1，即 y x 1.
6. 数列 {an} 是等差数列， a1 2 ，公差 d 0 ，若 a2 , a4 , a8 成等比数列，则 an =
,
b lg 2 ,
c
1
e3
，则
A. b a c C. b c a
山西省太原市第五中学2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题Word版含解析
那么 ，且 ，
由于 ，故 ，
据此可得： ， .
此题选择D选项.
【点睛】此题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
，那么函数 的零点个数为〔 〕
A. 1B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
令 ,可得 ,解方程 ,结合函数 的图象,可求出答案.
〔3〕化简方程f〔|2x﹣1|〕+k〔 3〕＝0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k的取值范围．
【详解】解：〔1〕g〔x〕＝a〔x﹣1〕2+1+b﹣a，
∵a＞0，∴g〔x〕在[2，3]上为增函数，
故 ，可得 ，⇔ ．
∴a＝1，b＝0
〔2〕方程f〔2x〕﹣k•2x≥0化为2x 2≥k•2x，
【点睛】比拟不同数的大小，找中间量作比拟是一种常见的方法．
4. 的图象为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质，得到函数 的图象关于 对称，再根据选项，即可得到答案．
【详解】由 可知函数的定义域为： 或 ，函数的图象关于 对称，
由函数的图象，可知，A、B、D不满足题意．
应选C．
当 时, ,在 上为减函数,在 上 增函数；
当 时, ,在 上为减函数,在 上是增函数,故③错误,④正确．
综上可知,正确的为①②④
故答案为:①②④
【点睛】此题考查了函数对称轴的判断方法,复合函数单调性的判断,利用对勾函数研究函数的最值,属于中档题.
三、解答题
16.求出以下各式的值：
〔1〕 ；
山西省太原市第五中学2019_2020学年高一数学上学期10月阶段性检测试题
山西省太原市第五中学2019-2020学年高一数学上学期10月阶段性检测试题一、选择题(每小题4分,共40分)1.设集合{}{}{}3,2,2,1,4,3,2,1,0===B A U ，则()()U U C A C B =( ) A.{0,4} B.{4} C. {1,2,3} D.∅ 2．如图所示的韦恩图中，全集为U ，B A ,是U 非空子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A.)(B A C UB.B C A UC.)()(B C A C U UD.)()(B A C B A U3.集合{}1,0,1-=A 的所有子集中，含有元素0的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个4. 函数图象可以分布在四个象限的函数只可能为( )A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数5.不等式02>++-c bx x 的解集是{|21}x x -<<，则1-+c b 的值为 （ ） A.2 B.-1 C.0 D.1 6.已知实数1>x ，则x x +-19的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 107.下列四个函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数的是 （ ） A ．()3f x x =- B ．2()3f x x x =- C ．x x x f +=2)(D ．1()1f x x =-+ 8.函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，在区间]2,(--∞上是减函数，则)1(f 等于( )A.－7B.1C.17D.259.已知函数27,(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A. 4-≤a ＜0B. a ≤2-C. 4-≤a ≤2-D. a ＜010.已知函数()266,034,0x x x f x x x⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ） A.11,63⎛⎫⎪⎝⎭ B.18,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.11,63⎛⎤- ⎥⎝⎦ D.18,33⎛⎤- ⎥⎝⎦二、填空题(每小题4分，共20分)11.已知x x g 21)(-=，[])0(1)(22≠-=x x x x g f ,则)21(f 等于 12．函数2y =的值域是13.已知函数⎩⎨⎧≥--<+=)0(1)0(1)(x x x x x f ，则不等式1)()1(≤++x f x x 的解集是 ．14. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，给出下列四个结论： ①0)0(=f ；②若)(x f 在),0[+∞上有最小值1-，则)(x f 在)0,(-∞上有最大值1； ③若)(x f 在),1[+∞上为增函数，则)(x f 在]1,(--∞上为减函数； ④若0>x 时，,2)(2x x x f -=则0<x 时，x x x f 2)(2--=； 其中正确结论的序号为_____；15.当]2,1[∈x 时，不等式042<++mx x 恒成立，则m 的取值范围是________． 三、解答题(每小题10分，共40分)16.已知集合{}{}{}R U a x x C x x B x x A =>=<<=≤≤=,,61,82 （1）求B A C B A U )(,；（2）若∅≠C A ，求a 的取值范围。
山西省太原市2019-2020学年中考五诊数学试题含解析
山西省太原市2019-2020学年中考五诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，嘉淇同学拿20元钱正在和售货员对话，且一本笔记本比一支笔贵3元，请你仔细看图，1本笔记本和1支笔的单价分别为( )A ．5元，2元B ．2元，5元C ．4.5元，1.5元D ．5.5元，2.5元2．如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使顶点A 与顶点C 重合在一起，EF 为折痕．若AB=9，BC=3，试求以折痕EF 为边长的正方形面积（ ）A ．11B ．10C ．9D ．163．如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=7，点E 为BC 上一动点，把△ABE 沿AE 折叠，当点B 的对应点B′落在∠ADC 的角平分线上时，则点B′到BC 的距离为（ ）A ．1或2B ．2或3C ．3或4D ．4或5 4．若实数m 满足22210⎛⎫++= ⎪⎝⎭m m ，则下列对m 值的估计正确的是（ ） A ．﹣2＜m ＜﹣1 B ．﹣1＜m ＜0C ．0＜m ＜1D ．1＜m ＜2 5．如图，在ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA P ，DF BA P ．下列四种说法： ①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有（ ） 个A．1 B．2 C．3 D．46．为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有（）A．12 B．48 C．72 D．967．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p（p a）与它的体积v（m3）的乘积是一个常数k，即pv=k（k为常数，k＞0），下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（）A．B．C．D．8．据相关报道，开展精准扶贫工作五年以来，我国约有55000000人摆脱贫困，将55000000用科学记数法表示是（）A．55×106B．0.55×108C．5.5×106D．5.5×1079．某一公司共有51名员工（包括经理），经理的工资高于其他员工的工资，今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元，而其他员工的工资同去年一样，这样，这家公司所有员工今年工资的平均数和中位数与去年相比将会（）A．平均数和中位数不变B．平均数增加，中位数不变C．平均数不变，中位数增加D．平均数和中位数都增大10．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝1．则∠BDC的度数是（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°11．已知关于x 的一元二次方程2230x kx -+=有两个相等的实根，则k 的值为（ ）A ．26±B ．6±C ．2或3D ．2或312．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为（ ）A ．（12）6B ．（12）7C ．（22）6D ．（22）7 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．分解因式：a 3b+2a 2b 2+ab 3＝_____．14．当03x ≤≤时，直线y a =与抛物线2(1)3y x =﹣﹣有交点，则a 的取值范围是_______．15．方程3211x x x---＝1的解是___. 16．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，点E 为AB 上一点，AE=23，点F 在AD 上，将△AEF 沿EF 折叠，当折叠后点A 的对应点A′恰好落在BC 的垂直平分线上时，折痕EF 的长为_____．17．－3的倒数是___________18．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC ＝∠BAC．求证：DE是⊙O的切线；若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求⊙O直径的长．20．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB 于点E．求证：FC=2BF．21．（6分）化简：（x-1-2x2x1-+）÷2x xx1-+.22．（8分）阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE．(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．23．（8分）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）=22ax byx y++（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T（3，1）=22319314a b a b⨯+⨯+=+，T（m，﹣2）=242am bm+-．填空：T（4，﹣1）=（用含a，b的代数式表示）；若T（﹣2，0）=﹣2且T（5，﹣1）=1．①求a与b的值；②若T（3m﹣10，m）=T（m，3m﹣10），求m的值．24．（10分）某小学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：补全条形统计图；求扇形统计图扇形D的圆心角的度数；若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？25．（10分）某商店老板准备购买A、B两种型号的足球共100只，已知A型号足球进价每只40元，B 型号足球进价每只60元．（1）若该店老板共花费了5200元，那么A、B型号足球各进了多少只；（2）若B型号足球数量不少于A型号足球数量的23，那么进多少只A型号足球，可以让该老板所用的进货款最少？26．（12分）2018年4月22日是第49个世界地球日，今年的主题为“珍惜自然资源呵护美丽国土一讲好我们的地球故事”地球日活动周中，同学们开展了丰富多彩的学习活动，某小组搜集到的数据显示，山西省总面积为15.66万平方公里，其中土石山区面积约5.59万平方公里，其余部分为丘陵与平原，丘陵面积比平原面积的2倍还多0.8万平方公里．（1）求山西省的丘陵面积与平原面积；（2）活动周期间，两位家长计划带领若干学生去参观山西地质博物馆，他们联系了两家旅行社，报价均为每人30元．经协商，甲旅行社的优惠条件是，家长免费，学生都按九折收费；乙旅行社的优惠条件是，家长、学生都按八折收费．若只考虑收费，这两位家长应该选择哪家旅行社更合算？27．（12分）在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,Q x y 与()22,P x y .若Q 、P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，当该直角三角形的两条直角边分别与x 轴或y 轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q 与点P 之间的“直距”记做PQ D ，特别地，当PQ 与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”．例如下图中，点()1,1P ，点()3,2Q ，此时点Q 与点P 之间的“直距”3PQ D =.（1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则AO D =_________，BO D =_________； ②点C 在直线3y x =-+上，求出CO D 的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F 是直线24y x =+上一动点.直接写出点E 与点F 之间“直距”EF D 的最小值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】可设1本笔记本的单价为x 元，1支笔的单价为y 元，由题意可得等量关系：①3本笔记本的费用+2支笔的费用=19元，②1本笔记本的费用﹣1支笔的费用=3元，根据等量关系列出方程组，再求解即可．【详解】设1本笔记本的单价为x 元，1支笔的单价为y 元，依题意有：322013x y x y +=-⎧⎨-=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩． 故1本笔记本的单价为5元，1支笔的单价为2元．故选A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系设出未知数，列出方程组．2．B【解析】【分析】根据矩形和折叠性质可得△EHC ≌△FBC ，从而可得BF=HE=DE ，设BF=EH=DE=x ，则AF=CF=9﹣x ，在Rt △BCF 中，由BF 2+BC 2=CF 2可得BF=DE=AG=4，据此得出GF=1，由EF 2=EG 2+GF 2可得答案．【详解】如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，∠D=∠B=90°，根据折叠的性质，有HC=AD ，∠H=∠D ，HE=DE ，∴HC=BC ，∠H=∠B ，又∠HCE+∠ECF=90°，∠BCF+∠ECF=90°，∴∠HCE=∠BCF ，在△EHC 和△FBC 中，∵H B HC BC HCE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EHC ≌△FBC ，∴BF=HE ，∴BF=HE=DE ，设BF=EH=DE=x ，则AF=CF=9﹣x ，在Rt △BCF 中，由BF 2+BC 2=CF 2可得x 2+32=（9﹣x ）2，解得：x=4，即DE=EH=BF=4，则AG=DE=EH=BF=4，∴GF=AB ﹣AG ﹣BF=9﹣4﹣4=1，∴EF 2=EG 2+GF 2=32+12=10，故选B ．【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等，综合性较强，熟练掌握各相关的性质定理与判定定理是解题的关键.3．A【解析】【分析】连接B′D ，过点B′作B′M ⊥AD 于M ．设DM=B′M=x ，则AM=7-x ，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：（7-x ）2=25-x 2，通过解方程求得x 的值，易得点B′到BC 的距离．【详解】解：如图，连接B′D ，过点B′作B′M ⊥AD 于M ，∵点B 的对应点B′落在∠ADC 的角平分线上，∴设DM=B′M=x ，则AM=7﹣x ，又由折叠的性质知AB=AB′=5，∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：222''AM AB B M =-，即22(7)25x x -=-，解得x=3或x=4，则点B′到BC 的距离为2或1．故选A ．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．4．A【解析】试题解析：∵222(1)0mm++=，∴m2+2+4m=0，∴m2+2=-4m，∴方程的解可以看作是函数y=m2+2与函数y=-4m，作函数图象如图，在第二象限，函数y=m2+2的y值随m的增大而减小，函数y=-4m的y值随m的增大而增大，当m=-2时y=m2+2=4+2=6，y=-4m=-42-=2，∵6＞2，∴交点横坐标大于-2，当m=-1时，y=m2+2=1+2=3，y=-4m=-41-=4，∵3＜4，∴交点横坐标小于-1，∴-2＜m＜-1．故选A．考点：1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．5．D【解析】【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC=90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD=∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF 是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．【详解】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；若∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；若AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，又DE∥CA，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE，∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；若AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，则其中正确的个数有4个．故选D．【点睛】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键．6．C【解析】【详解】解:根据图形，身高在169.5cm～174.5cm之间的人数的百分比为：12100%=24% 6+10+16+12+6，∴该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有300×24%＝72(人)．故选C．7．C【解析】【分析】根据题意有：pv=k（k为常数，k＞0），故p与v之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义p、v都大于0，由此即可得.【详解】∵pv=k（k为常数，k＞0）∴p=kv（p＞0，v＞0，k＞0），故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．8．D【解析】试题解析：55000000=5.5×107， 故选D ．考点：科学记数法—表示较大的数9．B【解析】【分析】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．【详解】解：设这家公司除经理外50名员工的工资和为a 元，则这家公司所有员工去年工资的平均数是20000051a +元，今年工资的平均数是22500051a +元，显然 2000002250005151a a ++＜； 由于这51个数据按从小到大的顺序排列的次序完全没有变化，所以中位数不变．故选B ．【点睛】本题主要考查了平均数，中位数的概念，要掌握这些基本概念才能熟练解题．同时注意到个别数据对平均数的影响较大，而对中位数和众数没影响．10．B【解析】【分析】只要证明△OCB 是等边三角形，可得∠CDB=12∠COB 即可解决问题. 【详解】如图，连接OC ，∵AB=14，BC=1，∴OB=OC=BC=1，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠CDB=12∠COB=30°，故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．11．A【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．【详解】∵方程2230x kx-+=有两个相等的实根，∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，解得：k=26±．故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．12．A【解析】试题分析：如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察发现规律：S1=22=4，S2=12S1=2，S2=12S2=1，S4=12S2=12，…，由此可得S n=（12）n﹣2．当n=9时，S9=（12）9﹣2=（12）6，故选A．考点：勾股定理．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．ab （a+b ）1．【解析】【详解】a 3b+1a 1b 1+ab 3＝ab （a 1+1ab+b 1）＝ab （a+b ）1．故答案为ab （a+b ）1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．14．31a -≤≤【解析】【分析】直线y a ＝与抛物线213y x ＝（﹣）﹣有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算． 【详解】解:法一：y a ＝与抛物线213y x ＝（﹣）﹣有交点 则有213a x ＝（﹣）﹣，整理得2220x x a ﹣﹣﹣＝244420b ac a ∴∆++≥＝﹣＝（）解得3a ≥﹣，03x ≤≤Q ，对称轴1x ＝23131y ∴＝（﹣）﹣＝1a ∴≤法二：由题意可知，∵抛物线的 顶点为13（，﹣），而03x ≤≤∴抛物线y 的取值为31y ≤≤﹣ y a Q ＝，则直线y 与x 轴平行，∴要使直线y a ＝与抛物线213y x ＝（﹣）﹣有交点，∴抛物线y 的取值为31y ≤≤﹣，即为a 的取值范围， ∴31a ≤≤﹣故答案为：31a -≤≤【点睛】考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用根的判别式或根与系数的关系进行计算．15．x ＝﹣4【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解.【详解】去分母得：3+2x ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣4，经检验x ＝﹣4是分式方程的解.【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.16．4或43. 【解析】 【分析】 ①当AF ＜12AD 时，由折叠的性质得到A′E=AE=23，AF=A′F ，∠FA′E=∠A=90°，过E 作EH ⊥MN 于H ，由矩形的性质得到MH=AE=23，根据勾股定理得到A′H=22=3A E HE '-，根据勾股定理列方程即可得到结论；②当AF ＞12AD 时，由折叠的性质得到A′E=AE=23，AF=A′F ，∠FA′E=∠A=90°，过A′作HG ∥BC 交AB 于G ，交CD 于H ，根据矩形的性质得到DH=AG ，HG=AD=6，根据勾股定理即可得到结论．【详解】①当AF ＜12AD 时，如图1，将△AEF 沿EF 折叠，当折叠后点A 的对应点A′恰好落在BC 的垂直平分线上，则3AF=A′F ，∠FA′E=∠A=90°，设MN 是BC 的垂直平分线，则AM=12AD=3， 过E 作EH ⊥MN 于H ，则四边形AEHM 是矩形，∴3∵A′H=22=3A E HE'-，∴A′M=3，∵MF2+A′M2=A′F2，∴（3-AF）2+（3）2=AF2，∴AF=2，∴EF=22AF AE+=4；②当AF＞12AD时，如图2，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，则3AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，设MN是BC的垂直平分线，过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，则四边形AGHD是矩形，∴DH=AG，HG=AD=6，∴A′H=A′G=12HG=3，∴22A E A G'-'3∴3，∴22HF A H+'=6，∴22A E A F'+'=43综上所述，折痕EF的长为4或3故答案为：4或3【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质和判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．17．1 3 -【解析】乘积为1的两数互为相反数，即a的倒数即为1a，符号一致【详解】∵－3的倒数是1 3 -∴答案是1 3 -18．28 5【解析】【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案【详解】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，22345+=，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，∴△PBM∽△ABO，∴PB PM AB AO=，即：754PM =，所以可得：PM=285．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）见解析；（2）⊙O直径的长是5．【解析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BDC∽△BED，求出BD，即可得出结论．【详解】证明：（1）连接BD，交AC于F，∵DC⊥BE，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵弧BC=弧BC，∴∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴BD⊥DE，∴DE是⊙O切线；解：（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，∴BD⊥AC．∵BD是⊙O直径，∴AF＝CF，∴AB＝BC＝8，∵BD⊥DE，DC⊥BE，∴∠BCD＝∠BDE＝90°，∠DBC＝∠EBD，∴△BDC∽△BED，∴BDBE＝BCBD，∴BD2＝BC•BE＝8×10＝80，∴BD＝5即⊙O直径的长是45．【点睛】此题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，第二问中求出BC=8是解本题的关键．20．见解析【解析】【分析】连接AF，结合条件可得到∠B=∠C=30°，∠AFC=60°，再利用含30°直角三角形的性质可得到AF=BF=12CF，可证得结论．【详解】证明：连接AF，∵EF为AB的垂直平分线，∴AF=BF，又AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=∠BAF=30°，∴∠FAC=90°，∴AF=FC，∴FC=2BF．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．21．x1 x -【解析】【分析】根据分式的混合运算先计算括号里的再进行乘除. 【详解】（x-1-2x2x1-+）÷2x xx1-+=2x12x2x1--++·x1x x1+-（）=()2x1x1-+·x1x x1+-（）=x1x-【点睛】此题主要考查分式的计算，解题的关键是先进行通分，再进行加减乘除运算.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12m°.【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE 即可解决问题；（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=12m°.详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，AD AEDAB EACAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DAB≌△EAC，∴BD=EC．（2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．∵DB=DE，∠BDC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABD≌△CBE，∴AD=EC，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．23．（1）163a b；（2）①a=1,b=-1,②m=2．【解析】【分析】（1）根据题目中的新运算法则计算即可；（2）①根据题意列出方程组即可求出a,b的值；②先分别算出T（3m﹣3，m）与T（m，3m﹣3）的值，再根据求出的值列出等式即可得出结论. 【详解】解：（1）T（4，﹣1）==；故答案为；（2）①∵T（﹣2，0）=﹣2且T（2，﹣1）=1，∴解得②解法一：∵a=1，b=﹣1，且x+y≠0，∴T（x，y）===x﹣y．∴T（3m﹣3，m）=3m﹣3﹣m=2m﹣3，T（m，3m﹣3）=m﹣3m+3=﹣2m+3．∵T（3m﹣3，m）=T（m，3m﹣3），∴2m﹣3=﹣2m+3，解得，m=2．解法二：由解法①可得T（x，y）=x﹣y，当T（x，y）=T（y，x）时，x﹣y=y﹣x，∴x=y．∵T（3m﹣3，m）=T（m，3m﹣3），∴3m﹣3=m，∴m=2．【点睛】本题关键是能够把新运算转化为我们学过的知识，并应用一元一次方程或二元一次方程进行解题.. 24．（1）补图见解析；（2）27°；（3）1800名【解析】【分析】（1）根据A类的人数是10，所占的百分比是25%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得B类的人数；（2）用360°乘以对应的比例即可求解；（3）用总人数乘以对应的百分比即可求解．【详解】(1)抽取的总人数是：10÷25%=40(人)，在B类的人数是：40×30%=12(人).；(2)扇形统计图扇形D的圆心角的度数是：360×340=27°；(3)能在1.5小时内完成家庭作业的人数是：2000×(25%+30%+35%)=1800(人).考点：条形统计图、扇形统计图．25．（1）A型足球进了40个，B型足球进了60个；（2）当x=60时，y最小=4800元. 【解析】【分析】（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,根据该店老板共花费了5200元列方程求解即可；（2）设进货款为y元，根据题意列出函数关系式，根据B型号足球数量不少于A型号足球数量的23求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个, ∴ 40x +60（100-x）=5200 ,解得：x=40 ,∴100-x=100-40=60个,答：A型足球进了40个，B型足球进了60个．（2）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,100-x≥23 x,解得：x≤60 ,设进货款为y元，则y=40x+60(100-x)=-20x+6000 ,∵k=-20，∴y随x的增大而减小,∴当x=60时，y最小=4800元.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，仔细审题，找出解决问题所需的数量关系是解答本题的关键.26．（1）平原面积为3.09平方公里，丘陵面积为6.98平方公里；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先设山西省的平原面积为x平方公里，则山西省的丘陵面积为（2x+0.8）平方公里，再根据总面积=平原面积+丘陵面积+土石山区面积列出等式求解即可；（2）先分别列出甲、乙两个旅行社收费与学生人数的关系式，然后再分情况讨论即可.【详解】解：（1）设山西省的平原面积为x平方公里，则山西省的丘陵面积为（2x+0.8）平方公里．由题意：x+2x+0.8+5.59=15.66，解得x=3.09，2x+0.8=6.98，答：山西省的平原面积为3.09平方公里，则山西省的丘陵面积为6.98平方公里．（2）设去参观山西地质博物馆的学生有m人，甲、乙旅行社的收费分别为y甲元，y乙元．由题意：y甲=30×0.9m=27m，y 乙=30×0.8（m+2）=24m+48，当y 甲=y 乙时，27m=24m+48，m=16，当y 甲＞y 乙时，27m ＞24m+48，m ＞16，当y 甲＜y 乙时，27m ＜24m+48，m ＜16，答：当学生人数为16人时，两个旅行社的费用一样．当学生人数为大于16人时，乙旅行社比较合算．当学生人数为小于16人时，甲旅行社比较合算．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的应用.27．（1）①3，1；②最小值为3；（1）252-【解析】【分析】（1）①根据点Q 与点P 之间的“直距”的定义计算即可；②如图3中，由题意，当D CO 为定值时，点C 的轨迹是以点O 为中心的正方形（如左边图），当D CO ＝3时，该正方形的一边与直线y ＝－x ＋3重合（如右边图），此时D CO 定值最小，最小值为3；（1）如图4中，平移直线y ＝1x ＋4，当平移后的直线与⊙O 在左边相切时，设切点为E ，作EF ∥x 轴交直线y ＝1x ＋4于F ，此时D EF 定值最小；【详解】解：（1）①如图1中，观察图象可知D AO ＝1＋1＝3，D BO ＝1，故答案为3，1．②（i ）当点C 在第一象限时（03x <<），根据题意可知，CO D 为定值，设点C 坐标为(),3x x -+，则()33CO D x x =+-+=，即此时CO D 为3；（ii ）当点C 在坐标轴上时（0x =，3x =），易得CO D 为3；（ⅲ）当点C 在第二象限时（0x <），可得()3233CO D x x x =-+-+=-+>；（ⅳ）当点C 在第四象限时（3x >），可得()3233CO D x x x ⎡⎤⎣⎦=+--+=->；综上所述，当03x 剟时，CO D 取得最小值为3； （1）如解图②，可知点F 有两种情形，即过点E 分别作y 轴、x 轴的垂线与直线24y x =+分别交于1F 、2F ；如解图③，平移直线24y x =+使平移后的直线与O e 相切，平移后的直线与x 轴交于点G ，设直线24y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，观察图象，此时1EF 即为点E 与点F 之间“直距”EF D 的最小值.连接OE ，易证MON GEO ∽△△，∴MN ON GO OE =，在Rt MON △中由勾股定理得25MN =，∴2541=，解得5GO =，∴152EF D EF MG MO GO ===-=-.【点睛】本题考查一次函数的综合题，点Q 与点P 之间的“直距”的定义，圆的有关知识，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义，解决问题，属于中考压轴题．失分原因第（1）问 （1）不能根据定义找出AO 、BO 的“直距”分属哪种情形；（1）不能找出点C 在不同位置时， 的取值情况，并找到 的最小值第（1）问 （1）不能根据定义正确找出点E 与点F 之间“直距” 取最小值时点E 、F 的位置；（1）不能想到由相似求出GO 的值。
2020届山西省太原市第五中学高三11月阶段性考试数学(理)试题(解析版)
2020届山西省太原市第五中学高三11月阶段性考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}260A x R x x =∈+->，{}πB x R x e =∈-<<，则（ ）. A ．A B =∅I B ．A B R =UC ．R B A ⊆ðD ．A B ⊆【答案】B根据一元二次不等式的解法求得A 集合，再求得A 的补集，根据集合的运算可得选项. 解：由A 中不等式变形得:()()230x x -+>，解得3x <-或2x >，即()(),32,A =-∞-+∞U ，∵()π,B e =-，[]3,2R A =-ð，∴()()π,32,A B e =--I U ，A B R =U . 故选:B.本题考查一元二次不等式的解法和集合的交并补运算，属于基础题. 2．若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1C ．iD ．-i【答案】C 试题分析：441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ． 【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．3．下列结论错误的是（ ）A ．命题“若p ，则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题；B ．命题:[0,1],1x p x e ∀∈≥，命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真；C ．“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题；D ．若为假命题，则p 、q 均为假命题．【答案】C试题分析：由原命题、逆否命题形式可知选项A 正确，选项B 中，命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以p q ∨为真，“若22,am bm <则a b <”的逆命题为“若a b <，则22am bm <”，当0m =时，不成立，所以为假命题，选项D 为真命题．故选C. 【考点】四种命题之间的关系和真值表. 4．sin 47sin17cos30cos17-o o o oA ．3B ．12-C ．12D ．32【答案】C由()sin 473017sin θ=+oo o，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可.解：0000sin 47sin17cos30cos17-sin()sin cos cos 1730173017︒+︒-︒︒=︒ sin cos cos sin sin cos cos 17301730173017︒︒+︒︒-︒︒=︒1302sin =︒=．故选C ．三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．5．已知定义在R 上的可导函数()f x 是偶函数，且满足 ()0xf x '>，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()14log 0f x >的解集为（ ）.A ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭U C ．()1,12,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U【答案】D由已知条件得出函数()f x 的单调性，再结合其奇偶性，建立不等式，解之可得解集.解：∵()f x 是定义在R 上的可导函数,且是偶函数，且满足()0xf x '>，∴当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 又102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.∴不等式()11144411log 0log log 22f x x x >⇔>⇔>或141log 2x <-.∴102x <<或2x >.∴不等式的解集为:()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U . 故选:D.本题综合考查运用导函数研究函数的单调性，结合奇偶性求解不等式的问题，关键在于由已知条件得出导函数的正负，得出原函数的单调性，属于中档题.6．将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos 2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ） A ．,22a πϕ== B ．3,28a πϕ== C ．31,82a πϕ== D ．1,22a πϕ==【答案】D由题意结合辅助角公式有：cos sin 4y x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，将函数y cosx sinx =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，所得函数的解析式为：4y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，所得函数的解析式为：14y x aπϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，而cos 2sin 224y x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，据此可得：1244a ππϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，据此可得：122a πϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.本题选择D 选项.7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >且65911a a =，当n S 取最大值时，n 的值为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】B由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值．8．已知一个项数为偶数的等比数列{}n a ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则1a =（ ）. A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】B根据已知条件得出数列的奇数项和偶数项之间的关系，可求得公比，再由等比中项和前3项之积可求得2a ，从而求得首项.解：由题意可得所有项之和S S +奇偶是所有偶数项之和的4倍，∴4S S S +=奇偶偶， 设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得S qS =偶奇，即1S S q=奇偶， ∴14S S S q +=偶偶偶，∵0S ≠偶,∴解得13q =， 又前3项之积3123264a a a a ==，解得24a =，∴2112a a q==. 故选:B.本题考查等比数列的基本量的计算，等比中项，以及奇数项和偶数项的关系，属于基础题.9．已知△ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若△ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C 等于( )A ．34B ．43C ．43-D ．34-【答案】C根据面积公式，将222()S a b c =+-变形为222sin 2ab C ab a b c -=+-，又222cos 2a b c C ab+-=，两式结合化简可得sin cos 12C C +=，再利用二倍角公式化简得到tan22C=，从而可求得tan C . 解：由222()S a b c =+-得22222S a b ab c =++-， 即22212sin 22ab C a b ab c ⨯=++-， 则222sin 2ab C ab a b c -=+-，又因为222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +--===-，所以sin cos 12C C +=， 即22cossin cos 222C C C =，由(0,)C π∈， 所以tan 22C =，即222tan2242tan 1231tan 2C C C ⨯===---. 故选C.本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用，也考查了三角函数的二倍角公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键，属中档题.10．在ABC V 中，若1132AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，记1ABD S S =△，2ACD S S =△，3BCD S S =△，则下列结论正确的是（ ）.A ．3123S S = B ．2312S S = C ．2123S S = D ．123163S S S += 【答案】C作出图示如下图所示，根据向量的线性运算和平行四边形的性质可得出三角形的面积关系. 解：如图，作13AE AB =u u u r u u u r ，12AF AC =u u u r u u u r ，则AD AE AF =+u u u r u u u r u u u r，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴ADE ADF S S =V V ，设ABD △的边AB 上的高为1h ，ACD V 的边AC 上的高为2h ，则121122AE h AF h =u u u r u u ur ，∴1211112322AB h AC h ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，即1211113222AB h AC h ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r ， ∴1132ABD ACD S S =V V ，∴121132S S =，∴21123132S S ==.故选:C.本题考查向量的线性关系，关键在于由向量的线性关系转化为三角形的面积关系，属于中档题.11．设不等式x 2-2ax+a+2≤0的解集为A ，若A ⊆[1，3]，则实数a 的取值范围是（ ） A ．111,5⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．111,5⎛⎤⎥⎝⎦C ．112,5⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]1,3- 【答案】A由不等式2220x ax a -++≤的解集[]13A ⊆，，不等式左边可看做二次函数，分A ∅=和A ∅≠结合二次函数图像进行讨论即可.解：解：设222f x x ax a =-++（），则不等式2220x ax a -++≤的解集[]13A ⊆，，①若A ∅=，则24420a a =-+V （）＜，即220a a --＜，解得12a ＜＜-②若A ∅≠，则()()0103013f f a ∆≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪<<⎩ ，∴1125a ≤≤综上1115a -<≤，故实数a 的取值范围是111]5-（， 故选A ．本题考查了一元二次不等式，二次函数零点分布，属于基础题.12．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）.A ．11π4B ．6πC ．11πD ．24π【答案】C根据三视图得出几何体的直观图如下图所示，设现球心的坐标，根据球心到几何体上的每一点的距离相等，求得球心的坐标，得出球半径，利用球的表面积公式可求得几何体的外接球的表面积.解：由题意可知几何体的直观图如下图所示，建立如图所示的空间直角坐标系，几何体的外接球的球心坐标为11,,22O z ⎛⎫⎪⎝⎭,()2,0,1P ，由OP OA =，得()222211112012244z z ⎛⎫⎛⎫-+-+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32z =，所以外接球的半径为11911444++=该几何体外接球的表面积为2114π11π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选:C.本题考查由三视图得出原几何体和几何体的外接球的表面积，关键在于由三视图正确还原几何体，求出几何体和外接球的球心和半径，属于中档题.二、填空题13．若tan 2θ=-，则cos2θ=______. 【答案】13根据余弦的二倍角公式转化成关于正弦、余弦的齐次式，再运用弦化切转化为关于正切的表达式，代入可得值.解：∵tan 2θ=-，∴2222222212cos sin 1tan 1cos 2cos sin 1tan 312θθθθθθθ⎛-- --⎝⎭====++⎛+- ⎝⎭. 故答案为:13. 本题考查余弦的二倍角公式，正弦、余弦的齐次式，同角三角函数的关系中的商数关系，属于基础题.14．已知正数a ，b 满足2ab a b =+，则+a b 的最小值为______.【答案】3+将等式2ab a b =+两边同除以ab ，得211b a+=，再对“1”巧妙地运用()1223b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，运用基本不等式可得最小值.解：将等式2ab a b =+两边同除以ab ，得211b a+=，且0,0a b >>，()12233b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2b a a b=时，即b =时，与2ab a b =+联立得，1a =+2b =时，等号成立. 故答案为:3+.本题考查基本不等式的运用，关键在于将所给的已知条件转化为“1”的形式，构造成基本不等式所需的形式，属于基础题.15．设数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，且()()111nn n n a b a a +=++，数列{}n b的前n 项和为n T ，则5T =______.【答案】3166代入数列{}n a 的通项公式，对数列{}n b 的通项公式裂项，运用裂项求和法，可求得值.解：由12n n a -=，可得()()()()11112111121212121n n n n n n n n n a b a a ---+===-++++++，则502455111111113121212121212122166T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 故答案为:3166. 本题考查对数列的通项裂项，运用裂项求和法求数列的和，解决的关键在于正确地裂项，运用时注意项的脚标，属于中档题. 16．已知函数()()()213ln 32102f x x ax a x a a =-+-+->，()0f x >的解集为(),m n ，若()f x 在()0,∞+上的值域与函数()()f f x 在(),m n 上的值域相同，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[)2,+∞对()f x 求导，分析导函数的正负，得到函数()f x 的单调性，进而得其值域，再设()t f x =，由已知得需()11f ≥，解之求得a 的范围.解：由已知得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()()2333133ax a x ax x f x ax a x x x⎡⎤-----+-⎣⎦'=-+-==,∵0a >，∴30a-<， ∴()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；()f x 在()0,∞+上的值域为()(,1f -∞⎤⎦；根据题意有()51402af =->； ()0f x >的解集为(),m n ， 则设()t f x =，当(),x m n ∈时，()()(0,1t f x f =∈⎤⎦；()f x 在()0,∞+上的值域与函数()()ff x 在(),m n 上的值域相同；即()f t 在()(0,1f ⎤⎦上的值域为()(,1f -∞⎤⎦；只需()11f ≥，即()51412af =-≥，得2a ≥.故答案为:[)2,+∞.本题考查运用导函数分析原函数的单调性、值域，关键在于根据已知的值域间的关系建立关于a 的不等式，属于难度题.三、解答题17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()1cos sin cos sin B A b c A Ba c-+-=+.（1）求角A 的大小；（2）若ABC V 3b c +=，求a .【答案】（1）2π3（2 （1）根据正弦定理将已知进行边角互化得a c b cb a c-+=+，再根据余弦定理求得 cos A ，由三角形的角的范围可求得角A ；（2）根据三角形的面积公式得出bc ，又根据3b c +=，和余弦定理可求得边a . 解：（1）根据正弦定理由()1cos sin cos sin B A b c A Ba c-+-=+， 得()sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin A A B A A B A B A C a c b cB B B b a c-+----+====+，所以222b c a bc +-=-，所以1cos 22bc A bc -==-，()0,πA ∈，所以2π3A =.（2）1sin 2S bc A ==，2bc =，又3b c +=，所以()2222927a b c bc b c bc =++=+-=-=，所以a =本题考查解三角形的正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，关键在于熟悉公式的结构，合理选择公式运用边角互化，属于中档题.18．已知数列{}n a 中，11a =，*1()4nn n a a n N a +=∈+. （1）求证：113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足1(41)3nn n n n b a +=-⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)答案见解析；(2) 11525443n n n T -+=-⋅. 试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ，⑵利用错位相减法即可求得答案；解析：（1）∵()*14nn n a a n N a +=∈+∴()*14141n n n na n N a a a ++==+∈ ∴11111433n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，()*n N ∈ ∵11a =，111433a +=，∴113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以43为首项，以4为公比的等比数列∴1114433n n a -+=⋅， ∴1413n n a -=， ∴341n na =-，()*n N ∈ （2）()1413nn n n n b a +=-⋅⋅，341n n a =-113n n n b -+=12n n T b b b L =+++∴01212313333n n n n n T --+=++++L ① 121123133333n n n n n T -+=++++L ②①-②得12121111233333n n n n T -+=++++-L111311313nn n -+=+--53112233n n n +=-⋅- ∴11525443n n n T -+=-⋅. 19．如图，在三棱柱中，，，为的中点，点在平面内的射影在线段上.(1)求证：；(2)若是正三角形，求三棱柱的体积.【答案】（1）见证明；(2) （1）分别证明和，结合直线与平面垂直判定，即可。
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太原五中2019—2020学年度第一学期阶段性检测高 三 数 学(理)时间：2019.9一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{|lg 0},{|21}x A x x B x =≤=≤则A B =（ ） A.(,1)-∞ B.(,1]-∞ C.(1,)+∞ D.[1,)+∞2.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （ ） A.()2x f x = B.()||f x x x = C.1()f x x=- D.()lg ||f x x =3.函数ln(1)y x x =-的定义域为（ ）A.（0,1）B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]4.已知命题p ：存在正数M,N,满足lg()lg lg M N M N +=+；命题q ：对满足11a a >≠且的任意实数a ,2log 2log 2a a +≥.则下列命题为真命题的是（ ） A. ()p q ∧⌝ B. p q ∧ C. p q ⌝∧ D. p q ⌝∨5.已知13241,log 3,log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b6.由曲线32,x y x y ==围成的封闭图形面积为（ ） A.121 B.41 C.31D.127 7.若函数()log (2)(0,1)a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．2[,1)3 B ．2(0,]3 C ．3(1,)2 D ．3[,)2+∞8.已知函数()4f x x =+，x x x g 2)(2-=，(),()()()(),()()f x f xg x F x g x f x g x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则)(x F 的最值是（ ）A ．最大值为8，最小值为3；B ．最小值为-1，无最大值；C ．最小值为3，无最大值；D ．最小值为8，无最大值．9.现有四个函数：①y ＝x ·sin x ，②y ＝x ·cos x ，③y ＝x ·|cos x |，④y ＝x ·2x 的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )xyA ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①10.“a ≤－1”是“函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1x 在[1，＋∞)上为单调函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(2)f x +关于2x =-对称，若(2)1f -=，则(2)1f x -≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),04,-∞⋃+∞D ．[0,4]12.已知'()f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()e 23x f x x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ） A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(12)f f log -+=14.命题“(1,2)x ∃∈，使得不等式240x mx ++≥”是假命题，则m 的取值范围为__________15.已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412+x xx x 的值是 .16.已知函数13,(1,0]1()3,(0,1]x x f x x x ⎧-∈-⎪+=⎨⎪∈⎩，且函数()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是________.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题（60分） 17.（12分）定义在R 上的单调函数()f x 满足2(3)log 3f =，且对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+． （1）求证:()f x 为奇函数；（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围．18.（12分）设a 为实数，函数()22,x f x e x a x R =-+∈ （1）求()f x 的单调区间与极值；（2）求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+19.（12分）设a 为实数，函数2()ln (2)f x x a x a x =+-+ （1）讨论()f x 的单调性； （2）当13a =-时，判断函数21()2g x x x =-与函数()f x 的图象有几个交点，并说明理由.20.（12分）已知函数3()ln ,()2(0)f x x g x x x==-> （1）试判断()()f x g x 与的大小关系;（2）试判断曲线()y f x =和()y g x =是否存在公切线,若存在,求出公切线方程,若不存在,说明理由.21．（12分） 已知函数，函数的图象在处的切线与直线平行.（1）求实数a 的值；（2）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（3）设1212x x x x <，（）是函数()g x 的两个极值点，且72b ≥，试求12()()g x g x -的最小值. （二）选考题：共10分。
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l 2cos()104πρθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，（m 为参数）．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数2()4f x x ax =++，()11g x x x =++-． （1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．高三数学答案（理）一、选择题题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案BBBADABCAADA二、填空题题 号 13 1415 16答 案9(-∞, -5)12三、解答题17.(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y) (x ，y ∈R )， ① 令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0， 则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立， 所以f(x)是奇函数．(2)解：()23log 3f =＞0，即f(3)＞f(0)，又()x f 在R 上是单调函数，所以()x f 在R 上是增函数又由(1)f(x)是奇函数．f(k ·3x )＜-f(3x -9x -2)=f(-3x +9x +2)， ∴ k ·3x ＜-3x +9x +2，32x -(1+k)·3x +2＞0对任意x ∈R 成立． 令t=3x ＞0，问题等价于t 2-(1+k)t+2＞0 对任意t ＞0恒成立．R 恒成立．18.（Ⅰ）f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞),极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a)；19. 解析：由题意得f ′(x )＝2x ＋ax －(2＋a )＝2x 2－(2＋a )x ＋a x ＝(2x －a )(x －1)x ，x ∈(0，＋∞)．(1))①当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a2，当a2＝1，即a ＝2时，在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a 2<1，即0<a <2时，函数f (x )在(0,a 2)，(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1上单调递减；当a 2>1，即a >2时，函数f (x )在(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1， a 2上单调递减；(2) ()()g x f x =即22115ln 233x x x x x -=--，化简得23ln 202x x x --=令23()ln 22F x x x x =--()2'1321(31)(1)32x x x x F x x x x x--+-=--==所以()F x 在（0,1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，极小值为1(1)2F =-且113()ln 40432F =->，(2)2ln 20F =-> 故()F x 有两个零点从而函数()()g x f x 与的图象有两个交点. 20.21.解：（Ⅰ）∵，∴. ……………………………1分∵切线与直线平行，∴，∴. ……………………………………………2分（Ⅱ）易得()，∴ ().由题意，知函数存在单调递减区间,等价于在上有解，∵，则故可设.…………………………………4分而，所以，要使在上有解，则只须，即，故所求实数的取值范围是. ……………………………………………5分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，令，得.∵()是函数的两个极值点，∴()是方程的两个根，∴，. …………………………………………………7分∴…………………………………………8分令，∵，∴， 且.∵，∴，∴化简整理，得,解得或.而，∴. ……………………………………………………10分又，∴函数在单调递减，∴. …………………………………………………11分故的最小值为. ………………………………………12分22．【解析】（12cos()104πρθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得10x y --=，因为244x m y m ⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =．（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上，设直线l 的参数方程为21222t x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =， 得24280t t --=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则1242t t +=，128t t =-，所以()2121212121241132321||||8t t t t t tMA MB t t t t +--++====． 23．【解析】（1）()3g x ，即|1||1|3x x ++-，不等式等价于1(1)(1)3x x x -⎧⎨-+--⎩或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--⎩或1113x x x ⎧⎨++-⎩，解得32x ≤-或32x ≥，所以()3g x ≥的解集为33|22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． （2）因为21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立， 所以min min ()()([2,2])f x g x x ≤∈-，又min ()2g x =，所以min ()2([2,2])f x x ≤∈-，当22a -≤-，即4a ≥时，min ()(2)424822f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，min ()(2)424822f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-； 当222a-<-<，即44a -<<时22min ()()42242a a a f x f =-=-+≤，解得22a ≥或22a ≤-，所以422a -<≤-224a ≤<，综上，实数a的取值范围为(,[22,)-∞-+∞．。