专题08 立体几何-备战2018年高考数学(文)之纠错笔记系列(原卷版)
易错点1 对空间几何体的结构认识不准确致错有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，如图是从3个不同的角度看同一粒骰子的情形，请画出骰子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母H对面的字母是.【错解】P【错因分析】空间想象能力差而乱猜一气，实际上可以动手制作模型，通过折叠得出答案.【试题解析】将原正方体外面朝上展开，得其表面字母的排列如图所示，易得H对面的字母是O.【参考答案】O1．对于平面图形折叠或空间图形展开的问题，空间想象能力是解题的关键，正确识图才能有效折叠平面图形、展开空间图形.而对于简单几何体的展开图，可以通过制作模型来解答.2．关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.1．如图，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是A．①②B．②③C．③④D．①⑤【答案】D【解析】当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件.故截面图形可能是①⑤，选D．读题不准，上底面已挖去，截面就不会出现②的情况，另外，空间想象能力差且凭主观臆断，考虑不全面容易导致错解.易错点2 不能正确画出三视图或还原几何体而致错一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是【错解】A或B或C【错因分析】选A，俯视图判断出错，从俯视图看，几何体的上、下部分都是旋转体；选B，下部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体；选C，上部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体.【试题解析】由三视图可知几何体上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.【参考答案】D1．当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最后检查轮廓线的实虚．2．三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,DD BB 的中点，用过点1,,,A E C F 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的左视图为【答案】C【解析】通过观察剩余几何体（下半部分），可以发现C 图才正确，故选C.【误区警示】对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，再画其三视图．另外要注意交线的位置，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出， 但要画成虚线，即一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．易错点3 空间几何体的直观图与原图面积之间的关系如图是水平放置的平面图形的直观图，则原平面图形的面积为A ．3B ．2C ．6D ．【错解】B【错因分析】错解中把直观图认为是原平面图形，则平面图形的面积为123sin 45=22⨯⨯⨯ 实际上，题图为直观图，必须根据直观图还原得到平面图形，再利用三角形的面积公式求解.【试题解析】原平面图形如图，即Rt △OAB ，其中OA =O ′A ′=3，OB =2O ′B ′=4，故原平面图形的面积为134=62⨯⨯，选C.【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答关键是牢记原图形与直观图的面积比为SS ='【参考答案】C1．斜二测画法中的―三变‖与―三不变‖：―三变‖y ⎧⎪⎨⎪⎩坐标轴的夹角改变与轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变；―三不变‖x z ⎧⎪⎨⎪⎩平行性不改变与,轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变.2．原图形与直观图的面积比为SS ='，即原图面积是直观图面积的=4倍.3．如图，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，那么△ABC 中最长的边为________．【答案】AC【解析】由图知B ′C ′∥y ′轴，A ′B ′∥x ′轴，则原图中BC ∥y 轴，则∠ABC ＝90°，AC 为Rt △ABC 的斜边，故AC 是△ABC 中最长的边．本题容易忽视了图形中的平行关系，从而得不到原图中边与坐标轴的平行关系，判断不出直角三角形而导致错误．易错点4 空间几何体的表面积或体积计算不全致错一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A．B．C．21 D．18【错解】B或C或D【错因分析】由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥，B项计算三角形面积时出错；截取小正三棱锥，即除去了六个全等的等腰直角三角形，但C项忽略了几何体多了两个等边三角形面；由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥的组合体，D项计算三角形面积时出错，且计算时还少加了三棱锥的底面.【试题解析】由三视图可知原几何体如图所示，是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥.正方体的表面积为S=24，两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形，其侧面面积的和为3的表面积为24−故选A.【参考答案】A1．柱体、锥体、台体的表面积（1）已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.（3）求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.2．柱体、锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和；如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的―加、减‖法．（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.4．如图所示，已知等腰梯形ABCD 的上底AD ＝2 cm ，下底BC ＝10 cm ，底角∠ABC ＝60°，现绕腰AB 旋转一周，则所得的旋转体的体积是A ．246πB ．248πC ．249πD ．250π【答案】B【解析】过D 作DE ⊥AB 于E ，过C 作CF ⊥AB 于F ，所得旋转体是以CF 为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A 为顶点，以DE 为底面半径的圆锥的组合体．由于AD ＝2 cm ，BC ＝10cm ，∠ABC ＝60°，在Rt △BCF 中，BF ＝5 cm ，FC ＝5 3 cm. 由AD ∥BC 得，∠DAE ＝∠ABC ＝60°.在Rt △ADE 中，DE ＝ 3 cm ，AE ＝1 cm.又在等腰梯形ABCD 中可求得AB ＝8 cm ，AF ＝AB －BF ＝8－5＝3(cm)，EF ＝AE ＋AF ＝4 cm.所以旋转后所得几何体的体积为V ＝13π·BF ·FC 2＋13π·EF ·(DE 2＋FC 2＋DE ·FC )－13π·AE ·DE 2＝13π×5×(53)2＋13π×4×[(3)2＋(53)2＋3×53]－13π×1×(3)2＝248π(cm 3)，即所得的旋转体的体积为248π cm 3.本题易将所得旋转体漏掉扣除以圆台上底面为底面，高为1 cm 的圆锥的体积而错选C.易错点5 问题考虑不全面致错已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为 . 【错解】2如图，设球的大圆为圆O ，C ，D 分别为两截面圆的圆心，AB 为经过点C ，O ，D 的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.在Rt △COE 中，8OC ==.在Rt △DOF 中，6OD ==.所以CD =OC −OD =8−6=2，故这两个截面圆间的距离为2.【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误.事实上，两个平行截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧.【试题解析】如上图，设球的大圆为圆O ，C ，D 为两截面圆的圆心，AB 为经过点C ，O ，D 的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.当两截面在球心同侧时，2CD OC OD =-==；当两截面在球心两侧时，14CD OC OD =+=. 综上可知，两截面圆间的距离为2或14. 【参考答案】2或141．球的有关问题（1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.（2）球与几种特殊几何体的关系：①长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；②正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；⑤球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．（3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.（4）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：d=2．求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4 m，BC＝3 m，BB1＝5 m，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，则蚂蚁爬行的最短路程为________．【答案】74 m【解析】沿长方体的一条棱剪开，使点A和点C1展在同一个平面上，求线段AC1的长即可，如图所示有三种剪法：①如图(1)所示，若沿C1D1剪开，使面AB1与面A1C1在同一个平面内，AC==(m).可求得1②如图(2)所示，沿AD剪开，使面AC与面BC1在同一个平面内，AC==．可求得1③如图(3)所示，沿CC1剪开，使面BC1与面AB1在同一个平面内，AC==．可求得1故蚂蚁爬行的最短路线长为74 m.将空间几何体的表(侧)面展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为平面图形问题，即空间问题平面化，是解决立体几何问题最基本的、最常用的方法，将空间图形展开成平面图形后，弄清几何中的有关点和线在展开图中的相应关系是解题的关键．本题容易忽略长方体表面具有不同的展开方式，不同的展开方式具有不同的最短路程，将各值比较后，所得的最小值就是最短路程．易错点6 应用公理或其推论时出错已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？【错解】A，B，C，D，E五点一定共面.因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面.【错因分析】错解忽略了公理2中―不在一条直线上的三点‖这个重要条件.实际上B，C，D三点有可能共线. 【试题解析】（1）如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内，因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内，所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面.（2）若B，C，D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面.【参考答案】见试题解析.在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题.对于确定平面问题，在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件.1．证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.2．证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.3．证明点或线共面问题，主要有两种方法：①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.6．已知直线l与三条平行直线a、b、c都相交．求证：四条直线l、a、b、c共面．【答案】见解析.【解析】解法一：∵a∥b，∴a、b确定一个平面α.设l∩a＝A，l∩b＝B，则A∈α，B∈α，∴AB⊂α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵a∥c，∴a、c确定一个平面β.设l∩c＝C，∵l∩a＝A，∴A∈β，C∈β，∴AC⊂β.∵A∈l，C∈l，∴l⊂β，∴α∩β＝a且α∩β＝l，∵过两条相交直线有且只有一个平面，l∩a＝A，∴α与β重合，即直线a、b、c、l共面．解法二：∵a∥b，∴a、b确定一个平面α，设l∩a＝A，l∩b＝B，则A∈α，B∈α，∴AB⊂α.∵A∈l，B∈l，∴l⊂α，即a、b、l在同一个平面内，故b在a、l确定的平面内．∵a∥c，∴a、c确定一个平面β.∵l ∩a ＝A ，∴A ∈β，C ∈β， ∴AC ⊂β.∵A ∈l ，C ∈l ，∴l ⊂β，即a 、c 、l 在同一个平面内， 故c 在a 、l 确定的平面内．又∵l ∩a ＝A ，∴a 和l 只能确定一个平面， ∴a 、b 、c 、l 共面．本题常出现错误的原因是：若l 与a 共面于α，l 与b 共面于β，但α，β却不是同一平面，则推不出l 与a ，b 共面．易错点7 忽略空间角的范围或不能正确找出空间角致误如图，已知空间四边形ABCD 中，AD =BC ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，且直线BC 与MN 所成的角为30°，则BC 与AD 所成的角为 .【错解】120°如图，连接BD ，并取中点E ，连接EN ，EM ，则EN ∥BC ，ME ∥AD ，故ENM ∠为BC 与MN 所成的角，∠MEN 为BC 与AD 所成的角，∴∠ENM=30°.又由AD =BC ，知ME =EN ，∴∠EMN =∠ENM =30°， ∴1803030120MEN ∠=︒-︒-︒=︒，即BC 与AD 所成的角为120°.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角.【试题解析】以上同错解，求得∠MEN =120°，即BC 与AD 所成的角为60°. 【参考答案】60°求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤ .1．求异面直线所成的角的常见策略： （1）求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．（2）求异面直线所成角的步骤①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. （3）判定空间两条直线是异面直线的方法①判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 2．求直线与平面所成的角的方法： （1）求直线和平面所成角的步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． （2）求线面角的技巧在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 3．求二面角大小的步骤：简称为―一作二证三求‖．作平面角时，一定要注意顶点的选择．7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，P A⊥平面ABCD，且PA，－－的大小为．,,，则二面角P CD BAB BC AC=1=2【答案】45°故二面角P－CD－B的大小为45°.在找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角．易错点8 对线面位置关系不能正确应用定理作出判断如果两条平行直线a，b中的a∥α，那么b∥α.这个命题正确吗？为什么？【错解】这个命题正确．∵a∥α，∴在平面α内一定存在一条直线c，使a∥c.又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α.【错因分析】忽略了b⊂α这种情况，从而导致错误，本题条件中的直线b与平面α有两种位置关系：b∥α和b⊂α.【试题解析】这个命题不正确．若b⊄α，∵a∥α，∴在平面α内必存在一条直线c，使a∥c.又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α.若b⊂α，则不满足题意．综上所述，b与α的位置关系是b∥α或b⊂α.【参考答案】见试题解析.错误的原因是利用线面平行的判定定理时，忽略了定理使用的前提条件必须是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行．1．点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．2．熟练应用线面位置关系中的判定定理与性质定理即可顺利解决此类问题.8．已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1D ．0【答案】C【解析】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，对于①，111AD AA D D ⊂平面，BD ABCD ⊂平面，1AD 与BD 是异面直线，且夹角为60°，故①错误；②正确；对于③，111AD AA D D ⊂平面，但1AD 不垂直于平面ABCD ，故③错误；对于④，过平面11AA D D 内的点1D ，作1D C ，因为AD ⊥平面11D DCC ，111DC D DCC ⊂平面， 所以1AD D C ⊥，但1D C 不垂直于平面ABCD ，故④错误. 所以正确命题的个数是1. 故选C.对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，―两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直‖与―两个平面垂直，则过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直‖是不同的，关键是过点作的直线不一定在平面内.易错点9 证明线面位置关系时不能正确应用定理致错如图，a b ∥，点P 在,a b 所确定的平面γ外，PA a ⊥于点A ，AB b ⊥于点B . 求证：PB b ⊥.【错解】因为PA a ⊥，a b ∥，所以PA b ⊥. 所以PA γ⊥，所以PB b ⊥.【错因分析】本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由,,PA a PA b ⊥⊥ 得PA γ⊥，而忽略了―垂直于平面内两条相交直线‖这一条件，即a b ≠∅ . 【试题解析】因为,PA a a b ⊥∥，所以PA b ⊥. 又,AB b PA AB A ⊥= ，所以b ⊥平面PAB . 因为PB PAB ⊂平面，所以PB b ⊥. 【参考答案】见试题解析.应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略―两条相交直线‖这一关键点.1．判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a b a b a ααα⊄⊂⇒,,∥∥)；③利用面面平行的性质(a a αβαβ⊂⇒∥,∥)；④利用面面平行的性质(a a a a αβαβαβ⊄⊄⇒∥,,,∥∥). 2．判定面面平行的常见策略：①利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． ②利用面面平行的判定定理(主要方法)．③利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．④利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用). 3．证明直线和平面垂直的常用方法： ①线面垂直的定义； ②判定定理；③垂直于平面的传递性(a b a b αα⊥⇒⊥∥,)； ④面面平行的性质(a a ααββ⊥⇒⊥,∥)； ⑤面面垂直的性质． 4．判定面面垂直的常见策略： ①利用定义(直二面角)．②判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．③在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．9．如图，B 为△ACD 所在平面外一点，M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，求证：平面MNG∥平面ACD .【答案】见解析.【解析】如图所示，连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于点P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心， ∴BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2， 连接PF 、FH 、PH ，则MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD ， 同理MG ∥平面ACD ， 又MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .面面平行的判定定理中的条件，缺一不可，若没有两―相交‖直线这个条件，则不一定有面面平行，也可能相交．一、空间几何体的结构及其三视图与直观图 1．空间几何体的结构 （1）多面体（2）旋转体2．空间几何体的三视图 （1）三视图的概念①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图； ②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图； ③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：②画法规则ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即―长对正‖； ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即―高平齐‖；ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即―宽相等‖.③线条的规则ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图3．空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.②画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.。
2018年高考文科数学分类汇编：专题八立体几何(最新整理)
MC 平面 PBD，OP 平面 PBD，所以 MC∥平面 PBD．
4.解：（Ⅰ）∵ PA PD ，且 E 为 AD 的中点，∴ PE AD . ∵底面 ABCD 为矩形，∴ BC∥AD ， ∴ PE BC . （Ⅱ）∵底面 ABCD 为矩形，∴ AB AD . ∵平面 PAD 平面 ABCD ，∴ AB 平面 PAD . ∴ AB PD .又 PA PD ， ∴ PD 平面 PAB ，∴平面 PAB 平面 PCD . （Ⅲ）如图，取 PC 中点 G ，连接 FG,GD .
7.解：如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，设 AC，A1C1 的中点分别为 O，O1，
则 OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB,OC,OO1}为基底，建立空间直角坐标 系 O−xyz．
（1）求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值； （2）求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦 值．
8.【2018 浙江卷 19】如图，已知多面体 ABCA1B1C1， A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC=120°， A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面 A1B1C1； （Ⅱ）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦 值．
在 Rt△DAM 中，AM=1，故 DM= AD2 AM 2 = 13 ．因为 AD⊥平面 ABC， 故 AD⊥AC．
在 Rt△DAN 中，AN=1，故 DN= AD2 AN 2 = 13 ．
1 MN
在等腰三角形 DMN 中，MN=1，可得 cos DMN 2
13
．
DM 26
所以，异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 13 ．
A． 2
2
B． 3
2018届高考数学一轮复习错题笔记八解析几何
笔记八解析几何易错点41忽视斜率不存在的情况典例41求过点A(-4,2)且与x轴的交点到(1,0)的距离是5的直线方程.【错因分析】本题容易只考虑斜率存在的情况,忽视了斜率不存在的情况,即经过点A且垂直于x轴的直线,其实x=-4也符合题意.【正确解答】当直线的斜率存在时,设直线斜率为k,其方程为y-2=k(x+4),则与x轴的交点为-4-2k ,0.由-4-2k-1=5,解得k=-15,即直线的方程为x+5y-6=0;当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-4,其与x轴的交点到(1,0)的距离为5,满足题意.综上,所求直线的方程为x+5y-6=0或x=-4.易错点42直线与圆的位置关系考虑不全典例42在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2=-2y+3,直线l的方程为ax+y-1=0,则直线l与圆C的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.相切或相交【错因分析】本题考生容易忽视直线与圆相切的情况,在做关于直线与圆的位置关系的题目时,一定要考虑完全,避免出现漏解的情况,在平时练习的时候应多加注意.【正确解答】圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4,直线l过定点(0,1),代入x2+(y+1)2=4,可知直线过圆上的点,所以直线l与圆C相切或相交.故选D.易错点43焦点位置考虑不全典例43已知椭圆x 24+y2m=1的离心率等于32,则m=.【错因分析】本题易出现的问题就是误认为给出的椭圆的焦点在x轴上,从而导致漏解.对参数m没有进行分类讨论,令m>4和m<4.【正确解答】当m>4时,a=m,b=2则c=m-4,∴e=m-4m=32,求得m=16;当m<4时,a=2,b=m,则c=4-m,∴e=4-m2=32,求得m=1.故填1或16.易错点44 忽视圆锥曲线定义中的条件典例44 写出方程 (x -6)2+y 2− (x +6)2+y 2=8表示的曲线.【错因分析】考生易写成双曲线,原因是忽视了圆锥曲线定义中的条件.在双曲线的定义中,不仅对常数加了限制条件,同时对距离差加了绝对值,如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支,对此考生经常出错.【正确解答】轨迹为以焦点F 1(6,0),F 2(-6,0)的双曲线的左支.易错点45 离心率范围求解错误典例45 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),若椭圆上存在点P (异于长轴的端点),使得c sin ∠PF 1F 2=a sin ∠PF 2F 1,则该椭圆离心率e 的取值范围是 .【错因分析】本题易出现的问题是错误利用椭圆的定义或性质建立不等关系,导致离心率的范围求解错误.【正确解答】在△PF 1F 2中,由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1=|PF 2|sin ∠PF 1F 2,∴|PF 1||PF 2|=sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2.又∵c sin ∠PF 1F 2=a sin ∠PF 2F 1,∴sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=ca =e (e 为椭圆的离心率),∴e=|PF 1||PF 2|=2a -|PF 2||PF 2|=2a|PF 2|-1.由椭圆的几何性质,知a-c<|PF 2|<a+c ,∴2a |PF 2|-1>a -c a +c 且2a |PF 2|-1<a +c a -c ,即e>1-e 1+e 且e<1+e1-e ,即e 2+2e-1>0且e 2+1>0,又0<e<1,∴e ∈( 2-1,1).故填( 2-1,1).易错点46 忽视判别式的应用典例46 若直线y=x+b 与曲线x= 1-y 2有且仅有一个公共点,则b 的取值范围是( )A.|b|= 2B.-1<b ≤1或b=- 2C.-1≤b ≤ 2D.以上都错【错因分析】联立方程组y=x+b,x=1-y2,消掉x得(y-b)2=1-y2,整理得2y2-2by+b2-1=0,考生会想当然的根据题给条件:因为直线y=x+b与曲线x=1-y2有且仅有一个公共点,因此Δ=4b2-8(b2-1)=0,因此|b|=2,答案为A.其实是错误的,本例中曲线x=1-y2表示的并不是整个圆,而是右半圆,因此方程2y2-2by+b2-1=0有一个实根并不是直线与曲线有唯一公共点的充要条件.【正确解答】作出曲线x=1-y2所表示的图形如图所示.观察图象可得直线y=x+b在l1与l2之间变化时只有一个交点,当直线在l位置即与半圆相切时同样满足条件.故选B.易错点47求与抛物线有关的最值问题时忽视定点位置典例47已知定点A(2,5),F为抛物线y2=4x的焦点,P为抛物线上动点,则|PA|+|PF|的最小值为.【错因分析】本题考生易出现审题出错的情况,误认为点A在抛物线的内部,得到|PA|+|PF|的最小值就是点A到准线的距离.【正确解答】∵点A(2,5)在抛物线的外部,∴|PA|+|PF|的最小值为|AF|=(2-1)2+52=26.故填26.易错点48忽视限制条件求错轨迹方程典例48如图所示,过点P(0,-2)的直线l交抛物线y2=4x于A,B两点,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程.【错因分析】本题可以设出直线l 的方程,且直线的斜率k 是有前提条件的.首先,k ≠0,其次,消元后的一元二次方程的根的判别式大于0.忽视了这些限制条件就扩大了所求轨迹的范围,得出所求的轨迹方程为(y+2)2=4(x+1)的错误结论.【正确解答】设点M (x ,y ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),根据题意设直线l 的方程为y=kx-2(k ≠0),与抛物线方程联立,整理可得k 2x 2-4(k+1)x+4=0.∵直线l 与抛物线y 2=4x 交于不同的两点A ,B ,∴Δ=32k+16>0,∴k>-12.又x 1+x 2=4(k +1)k ,∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)-4=4k . ∵在平行四边形OAMB 中,AB 的中点为OM 的中点,∴x 1+x 2=x=4(k +1)k ,y 1+y 2=y=4k . 消去k ,可得(y+2)2=4(x+1),又k>-12,k ≠0,y=4k , ∴y<-8或y>0,∴顶点M 的轨迹方程为(y+2)2=4(x+1)(y<-8或y>0).。
2018年全国二卷立体几何（文理）详解
2018年全国二卷立体几何（文理）详解各位铁子门，欢迎大家再次来到孙老师的鹏哥谈数学！上两节课带着大家分析了2018年全国一卷、三卷的立体几何解答题，大家有怎么样的感受？此时，你的内心有没有一点点涟漪浮起？……12分的解答题，简直是弱爆了，竟然只考……面面垂直、空间角……其实吧，所谓命题专家也就这点能耐了！……不信，你再看2018年的全国二卷之立体几何…………竟然……线面垂直、空间角……（据说葛大爷葛军退役后，江湖再无哭泣，人间宁静安详……）来看看二卷的这道题，心细的伙伴们有没有发现，我们二卷的立体几何经常考棱锥（文理科一样样），不信，你看………16年五棱锥（菱形对折）、17年四棱锥、18年三棱锥…….……额……19年要考谁？能考谁？来来来，孙老师偷偷告诉你……（哈哈，我总是低调不了，总是这么傲娇，我想总有一天会死得很惨，哈哈哈）我们先看18年二卷理科的这道题（孙老师忍不住想告诉你，18年理科这道题的题号发生了调整，干翻了解析几何老二的宝座，跑到了第20题，这是疏忽还是有意，各位童鞋们怎么看，哈哈哈！）：（1）线面垂直……我不想多做解释了，实在记不起来，回头看我的前一篇帖子2018年全国一卷理科数学立体几何详解我还是忍不住想再说一遍，老师嘛，传道受业解惑也！……如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直……当然，我们需要先尝试找到边角关系，中点是突破口，等腰三角形是关键，勾股定理是核心，判定定理算锤子，于是乎……（2）空间角之线面角……还要再重复吗？no……你已成仙，再不晓得就自己挂掉吧！（童话里都是骗人的.......忽然想到了成龙大哥，金喜善.......年代久远，尔等可能不知道，历史人物......）建系……我们再看18年二卷文科的这道题：……立体几何，同样的三棱锥，长相神似理科，两个问题…………线面垂直、点面距……额，文科的特点来了，都说文科感性，理科理性，扯什么淡，有证据吗？我也会写诗，我也能抒情，原谅一个理工直男的表白吧！哈哈，我都说了些什么？嗯…….算了吧，不作践自己了！孙老师也是重情之人，脸皮薄，容易脸红，本来脸黑，一红就更黑了……（哈哈哈）点面距…..？什么东西？……垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离!那么，我们怎么解决点面距的问题？（三个方法，随便你爱那个，只要能放电就行！）（1）找点投影法求点面距（告诉你，这个基本帮不了什么你忙，所以，别多想……）（2）等体积法求点面距（学马克思的小伙伴们，注意啦！这个是需要你记住的，重要的事情孙老师历来只说一遍，这次孙老师说三遍三遍啊，什么概念？不想死就必须记下！）（3）空间向量法求点面距（哈哈哈，文科生不太能理解，专属理科生，万能的！重要性你懂得！）我们看这道题：（1）线面垂直……（2）点面距……等体积法（文科嘛！也只能这样了，局限性……）。
2018届高考数学一轮复习错题笔记七立体几何
笔记七立体几何易错点36三视图识图出错典例36若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.【错因分析】本题易出错的地方有两处,(1)由三视图还原几何体时出错;(2)在计算几何体的体积时出错.【正确解答】由三视图知该几何体为水平放置的三棱柱,底面为两直角边分别为1和,高为,故V=12×1××1.故填1.易错点37错误理解异面直线所成的角典例37已知在空间四边形ABCD中,AB=CD=3,点E,F分别是边BC和AD 上的点,并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2,EF=7,求异面直线AB和CD所成的角.【错因分析】对异面直线所成的角的概念和范围不熟悉,造成计算结果出现错误.异面直线所成的角的范围是(0,90°].【正确解答】如图,在BD上取靠近点B的三等分点G,连接FG,GE,在△BCD中,可得BGGD =BEEC,故有EG∥DC,同理在△ABD中,可得GF∥AB,所以∠EGF或其补角就是异面直线AB和CD所成的角,在△BCD中,由GE∥CD,CD=3,EGCD =13,得EG=1,在△ABD中,由FG∥AB,AB=3,FGAB =23,得FG=2,在△EFG中,由EG=1,FG=2,EF=由余弦定理可得cos∠EGF=EG 2+FG2-EF22EG·FG=-12,所以∠EGF=120°,所以异面直线AB和CD所成的角为60°.易错点38线面位置关系定理使用不当典例38正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点.BD1,给出下面四个命题:点P在对角线BD1上,且BP=23①A,P,M三点共线;②C1Q∥平面APC;③MN∥平面APC;④平面MNQ∥平面APC.其中的所有正确命题的序号为()A.②③B.①④C.①②D.③④【错因分析】考生对空间线面关系模糊,定理不熟悉,未能推出MN在平面APC内而导致错误.证明有关线线,线面、面面平行或垂直时使用定理应注意找足条件,书写规范,推理严谨.【正确解答】①由已知条件易证△APB∽△D1MP,又由点P在对角线BD1上和AB∥D1C1可得A,P,M三点共线,故①正确;②由①知,C,P,N也三点共线,将平面APC延展,可知点M,N在平面APC上,又因为AN∥C1Q,所以C1Q∥平面APC,故②正确;③由②知,M,N都在平面APC上,故MN⊂平面APC,故③错误;④由③知MN⊂平面APC,由②知点Q在平面APC外面,所以平面MNQ与平面APC相交,故④错误.故选C.易错点39 线面角计算错误典例39 如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内,M ,N 分别为AB ,DF 的中点,若平面ABCD ⊥平面DCEF ,求直线MN 与平面DCEF 所成的角的正弦值.【错因分析】本题在求得平面DCEF 的一个法向量(0,0,2)DA = 及(1,1,2)MN =-- 后,可得cos ,MN DA = .MN DA M N D A= 考生就会误认为.其实是错误的,计算线面角我们容易出错的有以下三点:①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是线面角;②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦就是线面角的正弦,而忘了加绝对值;③不清楚线面角的范围.【正确解答】设正方形ABCD ,DCEF 的边长为2,以D 为坐标原点,分别以射线DC ,DF ,DA 为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则M (1,0,2),N (0,1,0),可得MN=(-1,1,-2). 又∵DA=(0,0,2)为平面DCEF 的法向量, ∴cos <MN ,DA >=MN ·DA |MN ||DA|=- 63. ∴MN 与平面DCEF 所成的角的正弦值为|cos <MN ,DA >|= 63.易错点40 二面角计算错误典例40 如图,四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,AD= 2,DC=SD=2,点M 在侧棱SC 上,∠ABM=60°.(1)证明:M 为侧棱SC 的中点;(2)求二面角S-AM-B 的余弦值.【错因分析】若两个平面的法向量分别为a,b,若两个平面所成的锐二面角为θ,则cos cos ,a b θ=；若两个平面所成二面角为钝角,则cos cos ,a b θ=-.考生在解此类题时,应先求出两个平面的法向量及其夹角,然后视二面角的大小而定,避免出现二面角的余弦值的正负问题.【正确解答】(1)分别以DA ,DC ,DS 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ,则A ( 2,0,0),B ( 2,2,0),C (0,2,0),S (0,0,2).设M (0,a ,b )(a>0,b>0),则BA =(0,-2,0),BM =(- 2,a-2,b ),SM =(0,a ,b-2),SC =(0,2,-2),由题得 cos <BA ,BM >=12,SM ∥SC ,即 2· (a -2)+b 2+2=12,-2a =2(b -2).解方程组得a=1,b=1即M (0,1,1),所以M 是侧棱SC 的中点.(2)由(1)得M (0,1,1),MA =( -1,-1),又AS =(- 2,0,2),AB =(0,2,0),设n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2)分别是平面SAM 、平面MAB 的法向量,则 n 1·MA =0,n 1·AS =0且 n 2·MA =0,n 2·AB =0,即2x1-y1-z1=0,-2x1+2z1=0且2x2-y2-z2=0,2y2=0.分别令x1=x2=2,则z1=1,y1=1,y2=0,z2=2, 即n1=(2,1,1),n2= (2,0,2),所以cos<n1,n2>=2·6=63,又因为二面角S-AM-B为钝角,所以二面角S-AM-B的余弦值为-63.。
2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编
AB C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编（2008年第16题）在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD（2）平面EFC ⊥平面BCD证明：（1）⎭⎬⎫E ，F 分别为AB ，BD 的中点⇒EF ∥AD 且AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ⇒直线EF ∥平面ACD（2）⎭⎬⎫⎭⎬⎫CB ＝CDF 是BD 的中点 ⇒ CF ⊥BD⎭⎬⎫AD ⊥BD EF ∥AD ⇒ EF ⊥BD ⇒直线BD ⊥平面EFC又BD ⊂平面BCD ，所以平面EFC ⊥平面BCDBC C₁（2009年第16题）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C .求证：（1）EF∥平面ABC（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC（2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D，又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C⊂平面BB1C1C故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，故平面A1FD⊥平面BB1C1C（2010年第16题）P A BC DD P AB CF E 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ．由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝22，故点A 到平面PBC 的距离等于2．（方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1．由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 13 ．因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC ．又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝2 2． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 13，得h ＝2，故点A 到平面PBC 的距离等于2．（2011年第16题）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面P AD证明：（1）在△P AD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴BC∥AB，又∵EF ⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD（2）连接BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△P AD为正三角形∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面P AD又∵BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面P AD（2012年第16题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．证明：（1）∵是ABC－A1B1C1直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面ADE，CC1∩DE＝E∴平面ADE⊥平面BCC1B1（2）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1∴CC1⊥A1F又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1∴A1F⊥平面BCC1B1，由（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD又∵AD⊂平面ADE，A1F ⊄平面ADE，∴A1F∥平面ADE（2013年第16题）如图，在三棱锥S－ABC中，平面平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AB＝AS，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E,G分别是棱SA,SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC ；SGAB CEF （2）BC⊥SA．证：（1）∵SA＝AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．又∵E，G分别为SA，SC的中点，∴EF∥AB，EG∥AC．又∵AB∩AC＝A，AB 面SBC，AC⊂面ABC，∴平面EFG∥平面ABC．（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．又∵AB⊥BC，AF∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．（2014年第16题）如图，在三棱锥P－ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5．求证：（1）直线P A∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．A C证明：（1）∵D ,E 为PC ,AC 中点∴DE ∥P A∵P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D ,E 为PC ,AC 中点∴ DE ＝P A 2＝3 ∵E ,F 为AC ,AB 中点 ∴EF ＝BC2＝4∴DE 2＋EF 2＝DF 2 ∴∠DEF ＝90°，∴DE ⊥EF ∵DE ∥P A ，P A ⊥AC ∴DE ⊥AC ∵AC ∩EF ＝E ∴DE ⊥平面ABC ∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．（2015年第16题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ， B 1C ∩BC 1＝E 求证：（1）DE ∥平面A A 1CC 1(2) BC 1⊥AB 1证明：（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE ⊄平面A A1C1C，AC⊂平面A A1C1C，所以DE∥平面A A1C1C（2）因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1，又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC，又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥A B1（2016年第16题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．B1A1D EFAB C证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC在△ABC中，因为D、E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，于是DE∥A1C1又∵DE ⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴直线DE∥平面A1C1F（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，∵A1C1⊂平面A1B1C1，∴A1A⊥A1C1又∵A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D又∵B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F∵B1D⊂平面B1DE∴平面B1DE⊥平面A1C1F（2017年第15题）如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥ACAD 11B 1A 1证明：（1）在平面内，∵AB ⊥AD ，EF ⊥AD∴EF ∥AB又∵EF ⊄ 平面ABC ，AB ⊂平面ABC ∴EF ∥平面ABC（2）∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BDBC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ∴BC ⊥平面ABD∵AD ⊂平面ABD ∴BC ⊥AD又∵AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ∴AD ⊥平面ABC又∵AC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AC（2018年第15题）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ；（2）平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享----证明：（1）平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AB ∥A 1B 1 ⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥A 1B 1 A 1B 1⊂平面A 1B 1C AB ⊄平面A 1B 1C ⇒ AB ∥平面A 1B 1C（2）⎭⎬⎫平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1 AB ∥A 1B 1 ⇒四边形A 1B 1BA 为菱形⇒AB 1⊥A 1B ⎭⎬⎫平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1 ⇒BC ∥B 1C 1 AB 1⊥B 1C 1 ⇒ AB 1⊥BC ⎭⎪⎬⎪⎫AB 1⊥A 1BAB 1⊥BCA 1B ∩BC ＝B AB 1⊂平面A 1BCBC ⊂平面A 1BC ⇒ AB 1⊥平面A 1BC⎭⎬⎫AB 1⊥平面A 1BC AB 1⊂平面A 1B 1BA ⇒平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC。
2018版高考数学文北师大版大一轮复习讲义教师版文档
1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.柱、锥、台和球的表面积和体积【知识拓展】1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( × ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( × )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( √ ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( × )(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × )1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cm D.32cm 答案 B解析 S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， ∴r 2＝4，∴r ＝2 cm.2．(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4答案 D解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为 S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.3．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A ．12π B.323π C ．8π D ．4π 答案 A解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π，故选A.4．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( ) A ．1丈3尺 B ．5丈4尺 C ．9丈2尺 D ．48丈6尺 答案 B解析 设圆柱底面半径为r 尺，高为h 尺，依题意，圆柱体积为V ＝πr 2h ＝2 000×1.62≈3×r 2×13.33，所以r 2≈81，即r ≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.5.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为1，P 为侧棱B 1B 上的一点，则四棱锥P －ACC 1A 1的体积为______．答案 23解析 设点P 到平面ABC ，平面A 1B 1C 1的距离分别为h 1，h 2，则棱柱的高为h ＝h 1＋h 2，又记S ＝S △ABC ＝111A B C S ∆，则三棱柱的体积为V ＝Sh ＝1.而从三棱柱中去掉四棱锥P －ACC 1A 1的剩余体积为V ′＝V P －ABC ＋111P A B C V -＝13Sh 1＋13Sh 2＝13S (h 1＋h 2)＝13，从而11P ACC A V -＝V －V ′＝1－13＝23.题型一 求空间几何体的表面积例1 (1)(2016·淮北模拟)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案 (1)A (2)12解析 (1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为 6×(4－12)＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A.(2)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2， ∴S 侧＝6×12×2×2＝12.思维升华 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．答案 26解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S ＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋12×2π×1＝26.题型二 求空间几何体的体积命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积例2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26π D ．1＋26π 答案 C解析 由三视图知，半球的半径R ＝22，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，∴V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π，故选C. 命题点2 求简单几何体的体积例3 (2016·江苏改编)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积为________m 3.答案 312解析 由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m ．因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． 思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的主视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．(2)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A ．3 B.32 C ．1 D.32答案 (1)33(2)C 解析 (1)由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由主视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h ＝1，则体积V ＝13Sh ＝13×(12×23×1)×1＝33.(2)在正△ABC 中，D 为BC 的中点，则有AD ＝32AB ＝3，11DB C S ∆＝12×2×3＝ 3.又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ， 平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ， AD ⊥BC ，AD 平面ABC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1底面上的高． ∴11A B DC V -三棱锥＝1311DB C S ∆·AD ＝13×3×3＝1.题型三 与球有关的切、接问题例4 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172B ．210 C.132 D ．310答案 C解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M . 又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝(52)2＋62＝132. 引申探究1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3.2．已知棱长为a 的正四面体，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 正四面体的表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 3．已知侧棱和底面边长都是32的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？ 解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为(32)2－(12×6)2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 答案 A解析 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.15．巧用补形法解决立体几何问题典例 (2016·青岛模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5，则此几何体的体积为________．思想方法指导 解答本题时可用“补形法”完成．“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等． 解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ×AA ′＝12×24×8＝96.答案 961．(2016·合肥质检)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2答案 D解析 由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为12×2×2×2＋4×2×2＋4×22＝20＋82，故选D.2．(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A.(4＋π)33B.(8＋π)36C.(8＋π)33D ．(4＋π) 3答案 B解析 由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为 3.则V ＝13·⎝⎛⎭⎫12π＋4·3＝(8＋π)36.故选B.3．(2015·山东)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D ．2π 答案 C解析 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.4．(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2答案 B解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B.5．(2016·湖北优质高中联考)甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V 1，V 2，则V 1∶V 2等于( )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶π 答案 B解析 由三视图知，甲几何体是半径为1的球，乙几何体是底面半径为2，高为3的圆锥，所以球的体积V 1＝43π，V 2＝13π×22×3＝4π，所以V 1∶V 2＝1∶3.故选B.6．(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 答案 B解析 由题意知米堆的底面半径为163尺，体积V ＝13×14πR 2·h ＝3209(立方尺)．所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛)．7．(2016·北京)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．答案 32解析 由三视图知该四棱柱为直四棱柱， 底面积S ＝(1＋2)×12＝32，高h ＝1，所以四棱柱体积V ＝S ·h ＝32×1＝32.8．(2016·新疆乌鲁木齐地区二诊)已知四面体ABCD 满足AB ＝CD ＝6，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，则四面体ABCD 的外接球的表面积是________． 答案 7π解析 (图略)在四面体ABCD 中， 取线段CD 的中点为E ，连接AE ，BE . ∵AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2， ∴AE ⊥CD ，BE ⊥CD . 在Rt △AED 中，CD ＝6， ∴AE ＝102.同理BE ＝102. 取AB 的中点为F ，连接EF .由AE ＝BE ，得EF ⊥AB .在Rt △EF A 中， ∵AF ＝12AB ＝62，AE ＝102，∴EF ＝1.取EF 的中点为O ，连接OA ， 则OF ＝12.在Rt △OF A 中，OA ＝72.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ， ∴该四面体的外接球的半径是72， ∴外接球的表面积是7π.9. (2016·三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.则三棱锥P －ABC 体积的最大值为________．答案 13解析 V P －ABC ＝13PO ·S △ABC ，当△ABC 的面积最大时，三棱锥P －ABC 体积达到最大值．当CO ⊥AB 时，△ABC 的面积最大，最大值为12×2×1＝1，此时V P －ABC ＝13PO ·S △ABC ＝13.10．(2016·武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案 3π解析 方法一 由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V＝34×π×12×4＝3π. 方法二 由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的14，直观图如图(1)所示，我们可用两个大小与形状完全相同的该几何体补成一个半径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为V ＝12×π×12×6＝3π.11．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体NBCM 的体积． (1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT 平面P AB ，MN 平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)解 因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体NBCM 的体积V NBCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.12.(2016·湖北七校联考)如图所示，在空间几何体ADE －BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝DE ＝2，EF ＝4，M 是线段AE 上的动点．(1)试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面MDF 将几何体ADE －BCF 分成两部分，求空间几何体M －DEF 与空间几何体ADM －BCF 的体积之比．解 (1)当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF . 理由如下：连接CE 交DF 于点N ，连接MN .因为M ，N 分别是AE ，CE 的中点，所以MN ∥AC .又因为MN 平面MDF ，AC平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .(2)将几何体ADE －BCF 补成三棱柱ADE －B ′CF ，如图所示，三棱柱ADE －B ′CF 的体积为 V ＝S △ADE ·CD ＝12×2×2×4＝8，则几何体ADE －BCF 的体积 V ADE －BCF ＝V ADE －B ′CF －V F －BB ′C ＝8－13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×2＝203. 因为三棱锥M －DEF 的体积 V M －DEF ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×1＝43，所以V ADM－BCF＝203－43＝163，所以两几何体的体积之比为43∶163＝1∶4.。
2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档 第八章
1.直线与平面垂直 (1)定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直. (2)判定定理与性质定理2.平面与平面垂直 (1)平面和平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理【知识拓展】 重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( × ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .( √ ) (4)若α⊥β，a ⊥β⇒a ∥α.( × )(5)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直.( √ )1.(教材改编)下列命题中正确的是________.①如果平面α⊥平面β，且直线l ∥平面α，则直线l ⊥平面β； ②如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；③如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β； ④如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ. 答案 ②③④解析 根据面面垂直的性质，知①不正确，直线l 可能平行平面β，也可能在平面β内，②③④正确.2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的_________条件.答案充分不必要解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3.(2016·连云港模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是________.①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；③若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β；④若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β.答案④解析①中，m与n可垂直、可异面、可平行；②中，m与n可平行、可异面；③中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故③错误；④中，m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴存在l⊂β，l∥n，∴l⊥α，∴α⊥β.4.(2016·徐州模拟)α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_________________________________________________________.答案可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个5.(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心.答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.(2)如图2，延长AO ，BO ，CO ，分别交BC ，AC ，AB 于H ，D ，G . ∵PC ⊥P A ，PB ⊥PC ，P A ∩PB ＝P ，∴PC ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，∴PC ⊥AB ， 又AB ⊥PO ，PO ∩PC ＝P ， ∴AB ⊥平面PGC ， 又CG ⊂平面PGC ，∴AB ⊥CG ，即CG 为△ABC 边AB 的高. 同理可证BD ，AH 为△ABC 底边上的高， 即O 为△ABC 的垂心.题型一 直线与平面垂直的判定与性质例1 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.OD ′＝10.证明：D ′H ⊥平面ABCD .证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，且OH ，EF ⊂平面ABCD ， 所以D ′H ⊥平面ABCD .思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.证明 (1)由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC .又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC . 因为AC ⊂平面ABC ， 所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1， BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1. 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以BC 1⊥AC .因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形， 因此BC 1⊥B 1C .因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ， 所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1⊂平面B 1AC ， 所以BC 1⊥AB 1.题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点.(1)求证：CE ∥平面P AD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .证明 (1)方法一 取P A 的中点H ，连结EH ，DH .又E 为PB 的中点， 所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH .又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD . 所以CE ∥平面P AD . 方法二 连结CF .因为F 为AB 的中点， 所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形. 因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD .(2)因为E 、F 分别为PB 、AB 的中点，所以EF ∥P A . 又因为AB ⊥P A ，所以EF ⊥AB ，同理可证AB ⊥FG .又因为EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . 所以AB ⊥平面EFG .又因为M ，N 分别为PD ，PC 的中点， 所以MN ∥CD ，又AB ∥CD ，所以MN ∥AB ， 所以MN ⊥平面EFG . 又因为MN ⊂平面EMN ， 所以平面EFG ⊥平面EMN .引申探究1.在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面P AC.证明因为AB⊥P A，AB⊥AC，且P A∩AC＝A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，所以AB⊥平面P AC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面P AC.又MN⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面P AC.2.在本例条件下，证明：平面EFG∥平面P AC.证明因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EF∥P A，FG∥AC，又EF⊄平面P AC，P A⊂平面P AC，所以EF∥平面P AC.同理，FG∥平面P AC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面P AC.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，A1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.题型三直线、平面垂直的综合应用例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积.(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.又∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD ⊥平面P AD . 又BD ⊂平面MBD ， ∴平面MBD ⊥平面P AD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ，∵平面P AD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高.又△P AD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3. 在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形.在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高.∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24.∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.思维升华 垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.如图，平面P AC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PE ∥CB ，M 是AE 的中点.(1)若N 是P A 的中点，求证：平面CMN ⊥平面P AC ；(2)若MN∥平面ABC，求证：N是P A的中点.证明(1)因为平面P AC⊥平面ABC，且平面P AC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面P AC，又M，N分别为AE，AP的中点，所以MN∥PE，又PE∥CB，所以MN∥BC，即MN⊥平面P AC，又MN⊂平面CMN，所以平面CMN⊥平面P AC.(2)因为PE∥CB，BC⊂平面ABC，PE⊄平面ABC，所以PE∥平面ABC，设平面P AE∩平面ABC＝l，则PE∥l.又MN∥平面ABC，MN⊂平面P AE，所以MN∥l.所以MN∥PE，因为M是AE的中点，所以N是P A的中点.17.立体几何证明问题中的转化思想典例(14分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思想方法指导(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.规范解答证明(1)如图所示，连结NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD. [2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形，[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K. [4分]∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK. [6分](2)如图所示，连结BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1. ∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1. [8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C. [12分]∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C. 又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [14分]1.(2016·扬州模拟)给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面.其中真命题的个数是________.答案 2解析由直线与平面垂直的性质，可知①正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故②错；由直线与平面垂直的定义知④正确，而③错.2.(2016·常州模拟)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是________.①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.答案③解析①中，由m⊥n, n∥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；②中，由m∥β，β⊥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；③中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m与α相交或m⊂α或m∥α，错误.3.(2016·无锡模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线________上.答案AB解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是________.①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥平面ABB1A1；③AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；④A1C1∥平面AB1E.答案③解析①不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；②不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；③正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；④不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确.5.正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则与直线CE垂直的有______.①A′C′②BD③A′D′④AA′答案②解析连结B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.6.如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M 为线段PB的中点.现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长.其中正确的是________.答案①②③解析对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，OM⊄平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确.7.(2016·镇江模拟)已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确命题的序号是________.答案②③解析在三棱柱中，三条侧棱互相平行，但三个侧面所在平面两两相交，故①错误；因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α，同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确；由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确；当且仅当a、b相交时结论正确，④错误.8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.9.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.答案①②③解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，且P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确.10.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个. 答案 2解析若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题.11.(2016·连云港模拟)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点.(1)求证：AM∥平面BDE；(2)求证：DM⊥平面BEF.证明(1)连结BD，BD∩AC＝O，连结EO.∵O，M分别为AC，EF的中点，且四边形ACEF为矩形，∴EM∥OA，EM＝OA，∴四边形EOAM为平行四边形，∴AM∥EO，∵EO⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由AB＝2，AF＝1，得DF＝DE＝ 3.∵M是线段EF的中点，∴DM⊥EF，连结BM，得BM＝DM＝2，又BD＝2，∴DM⊥BM，又BM∩EF＝M，∴DM⊥平面BEF.12.(2016·北京)如图，在四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面P AC；(2)求证：平面P AB⊥平面P AC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得P A∥平面CEF？说明理由.(1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴DC⊥平面P AC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面P AC，∴AB⊥平面P AC，又AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AC.(3)解棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连结EF，CE，CF，又∵E为AB的中点，∴EF为△P AB的中位线，∴EF∥P A.又P A⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴P A∥平面CEF.13.(2016·山东)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连结DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连结GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC. 又HI∩GI＝I，DB∩BC＝B，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.。
专题06数列-备战2018年高考数学(文)之纠错笔记系列(原卷版)
易错点 1忽略了 n 的取值数列 { a} 满足3*) ，求数列 { a } 的通项公式 a ．na 1a 2a 3L a n =n (n Nnn【错解】 由 a 1a 2 a 3L a n =n 3，可得 a 1a 2 a 3 L a n 1 =(n1)3 , 两式相除可得 a n = n 3 ．(n 1)3【错因分析】a 1a 2 a 3 L a n 1 =(n 1)3仅适用于n N *且 n2 时的情况，故不能就此断定a n =n 33就是(n 1) 数列{ a n }的通项公式．【试题解析】 当 n 1 时，a 11；当n2 时，由 a a a L a =n 3，可得 a a a L an 1 =(n 1)3 , 两式相除可12 3n1 2 3n31,n1得 a =，故 a n3.3n*3 , n1,n N(n 1)(n1)数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法〔 1〕形如 a n ＋1＝ a n f(n) ，常用累乘法，即利用恒等式a 2 a 3 a na n ＝a 1· · ·⋯· 求通项公式．a 1 a 2 a n － 1(2) 形如 a n ＋1＝an ＋ f(n)，常用累加法．即利用恒等式a n ＝ a 1＋ (a 2－ a 1 )＋ (a 3－ a 2)＋⋯＋ (a n － a n －1)求通项公式．(3) 形如 a n ＋1＝ ba n ＋d(其中 b ， d 为常数， b ≠ 0,1)的数列，常用构造法．其根本思路是：构造a n ＋1＋x ＝ b(a n ＋d1) ，那么 { a ＋ x} 是公比为 b 的等比数列，利用它即可求出a .x)( 其中 x ＝b －nnpa n1r 1 q (4) 形如 a n ＋1＝qa n ＋r ( p ， q ， r 是常数 ) 的数列，将其变形为＋＝ · ＋ .a n 1 p a n p1 q若 p ＝ r ，那么a n 是等差数列，且公差为p ，可用公式求通项； 若 p ≠r ，那么采用 (3)的方法来求．(5) 形如 a n ＋2＝ pa n ＋1＋ qa n ( p ， q 是常数，且 p ＋ q ＝ 1) 的数列，构造等比数列．将其变形为 a n ＋2－ a n ＋1 ＝ (－ q) ·(a n ＋1－ a n ) ，那么 { a n a n －1}( n ≥2 n ∈ N * ) 是等比数列，且公比为－ q ，可以求得 a n － a n －1＝ f(n)，然后－ ， 用累加法求得通项．1(6) 形如 a 1＋ 2a 2＋ 3a 3＋⋯＋ na n ＝ f(n)的式子， 由 a 1＋ 2a 2＋ 3a 3＋⋯＋ na n ＝ f(n) ，①得 a 1＋ 2a 2＋ 3a 3＋⋯＋ (n － 1)a n －1＝ f(n － 1)，②再由①－②可得 a n . (7) 形如 a n ＋1＋an ＝ f(n)的数列， 可将原递推关系改写成a n ＋2＋a n ＋1＝ f(n ＋ 1)，两式相减即得a n ＋2－ a n ＝ f(n ＋ 1)－ f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．n n ＋1＝f(n)的数列， 可将原递推关系改写成a n ＋2a n 2 f (n 1)n ＋1 ＝f(n ＋1)，两式作商可得，然(8) 形如 a ·a·aa nf (n)后分奇、偶讨论即可．(9) a n ＋1－ a n ＝ qa n ＋1a n (q ≠ 0)型，将方程的两边同时除以a n ＋1a n ，可构造一个等差数列．1 1具体步骤：对 a n ＋1－ a n ＝ qa n ＋1a n (q ≠ 0)两边同时除以 a n ＋1 a n ，得到a n －a n ＋1＝q ，即1 1a n ＋1－ a n ＝－q ，11令 b n ＝a n ，那么 { b n } 是首项为a 1，公差为－ q 的等差数列 .(10) a n ＝pa r n －1(n ≥2， p>0) 型，一般利用取对数构造等比数列．具体步骤： 对 a n ＝pa r n －1两边同取常用对数，得到 lg a n ＝ rlg a n －1＋ lg p ，令 b n ＝ lg a n ，那么{ b n } 可归为 a n ＋1＝ pa n ＋ q(p ≠0,1，q ≠0)型 .1．在数列 { a n } 中， a 1＝ 2，a n ＋1＝ a n ＋ ln 1＋ 1 ，那么 a n 等于n A ． 2＋ ln n B ．2＋ (n － 1)ln n C ． 2＋ nln n D ． 1＋ n ＋ln n【答案】 An ＋ 1【解析】由，a n ＋1－ a n ＝ ln ， a 1 ＝2，n所以 a n － a n －1＝ ln n －1(n ≥ 2)，n －1a n －1－ a n －2＝ ln ， ⋯2a 2－ a 1＝ ln ，将以上 n － 1 个式子叠加，得 a n － a 1＝ lnn＋ lnn －1＋⋯ ＋ ln 2n －1n － 2122021/1/24n n－ 12＝ ln··⋯·n－ 1 n－ 21＝ ln n.所以 a n＝ 2＋ ln n(n≥2)，经检验 n＝ 1 时也适合．应选A ．易错点 2忽略数列中为0 的项设等差数列a n的前n 项和为S n，公差为d ，且满足a10 ， S11S18，那么当 S n最大时，n__________ ．【错解】由 S11S18，得11a1+ 11 10d18a11817d ，即a1=14d ，由 a10 可知d0 ，解不等22式组a n a1 (n1)d014d(n 1)d0n15 ．又 n N*，故当 n 15时 S n最大．a n1a1nd0, 即14d nd0,得14【错因分析】由于 a150 ，所以 S14S15，当n14或 n15时 S n最大，错解中忽略了数列中为0 的项．【试题解析】【正解 1】由S11S18，得11a1+1110d 18a11817d ，即a1=14 d ，由 a10可知22d 0，解不等式组a n a1(n1)d014d(n1)d0n15 ．故当 n14 或 n15 an 1a1nd 0, 即14d nd0, 得14时 S n最大．2】由S11S18，可得 a1=14d，所以 S14dn n(n1)d( n292841*【正解d)d，由n Nn2228并结合 S n对应的二次函数的图象知，当n14或 n15 时S n最大．【正解3】由S11S18a21 a41a 51 a61a a a07a15 =0a15 =0a1 0d0，得317181，即，，由可知，故当 n14 或 n15 时S n最大．数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题1．等差数列的前n 项和与函数的关系32021/1/24等差数列的前n 项和公式为S n na1n( n1)＝d2＋ a1－dd， B＝ a －d，那么2 d 可变形为S n2n2 n，令 A＝212S n＝ An2＋ Bn.当 A≠0，即 d≠0时， S n是关于 n 的二次函数， (n，S n)在二次函数 y＝ Ax2＋ Bx 的图象上，为抛物线y＝ Ax2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和 S n的最值问题．2．等差数列前 n 项和的最值(1) 假设等差数列的首项a1>0，公差 d<0，那么等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且a n≥0，满足a n＋1≤ 0.(2) 假设等差数列的首项a1<0，公差 d>0，那么等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且a n≤0，满足a n＋1≥ 0.3．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法 )求其前 n 项和的最值，但要注意n∈N* .(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使 S n取得最值．(3)项的符号法：当 a1>0，d<0 时，满足a n≥0，的项数 n，使 S n取最大值；当 a1<0，d>0 时，满足a n≤0，a n＋1≥0 a n＋1≤0的项数 n，使 S n取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，假设有零项，那么使S n取最值的 n 有两个．4．在等差数列a n中，假设 a10， S p S q ( p q) ，那么〔1〕p q 为偶数当 np q时 S n最大；〔2〕p q1或p q 1时 S n最大．2p q 为奇数当 n22． { a n} 是一个等差数列，且a2＝ 1， a5＝－ 5.(1)求 { a n} 的通项公式；(2)求 { a n} 的前 n 项和 S n的最大值．【答案】〔 1〕 a n＝－ 2n＋ 5；〔 2〕 4.a1d1【解析】 (1) 设 { a n} 的公差为 d，由条件，得4d ，a15解得 a1＝ 3， d＝－ 2，所以 a n＝ a1＋ (n－ 1)d＝－ 2n＋ 5.n(n1)(2)解法一：因为S n＝ na1＋d422021/1/24＝－ n2＋ 4n＝ 4－ (n－2) 2，所以 n＝ 2 时， S n取到最大值 4.解法二：因为a n＝ 5－ 2n，由数列的特点知，项由正变负，故前假设干正数项的和为S n的最大值，a n52n0于是a n152(n1) 01.5n2.5即，n N*所以 n＝ 2.故 S n的最大值为S2＝ a1＋ a2＝ 3＋1＝ 4.错点 3无视奇数项或偶数项的符号在等比数列 { a} 中， a a a a25 ，求 a a的值 .n246819【错解】因为 { a n } 为等比数列，所以 a1 a9a2a8 a4 a6，由 a2a4 a6 8a25 可得 (a a ) 225，故 a1a9 5 .19【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号一样这一隐含条件．【试题解析】因为 a为等比数列，所以 a a a a a a，由 a a a a 25可得(a1a9 )225，故 a an 1 9 2 8 4 62468 1 95 ．又在等比数列中，所有的奇数项的符号一样，所以a1 a90 ，所以 a1a9 5 ．1．特别注意 q＝ 1 时， S n＝ na1这一特殊情况．n＋1＝ qa n， q≠0，并不能立即断言 { a n} 为等比数列，还要验证a 1≠0.2．由 a3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q＝ 1 与 q≠1分类讨论，防止因忽略q＝ 1 这一特殊情形而导致解题失误．4． S n， S2n－ S n， S3n－ S2n未必成等比数列 (例如：当公比 q＝－ 1 且 n 为偶数时， S n， S2n－S n， S3n－S2 n不成等比数列；当 q≠－ 1 或 q＝－ 1 且 n 为奇数时， S n，S2n－ S n，S3n－ S2n成等比数列 )，但等式 (S2n－ S n)2＝S n·(S3n－S2n)总成立．3．在等比数列{ a n} 中， a2a3a7＝ 8，那么 a4＝52021/1/24A． 1B．4C． 2D．2 2【答案】 C【解析】∵数列{ a n} 为等比数列，∴a2a3a7＝ a34＝8，∴ a4＝ 2，应选 C．应用等比数列性质时的注意点(1) 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“假设m＋n＝p＋q，那么a m·a n ＝ a p·a q〞，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进展适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用 .易错点 4无视q=1致错在数列 { a }2n n{ a }S中，假设 a m m ( m 0) ，求的前 n 项和n【错解】 S n a1 a2 a3a n(a2a4a2n ) (a a2a n )a2 (1a2n )a(1a n ) 1a21.a【错因分析】错解在进展等比数列求和时忽略了对公比是否等于 1 的讨论；此外，还需讨论相关数列是否为等比数列 .【试题解析】当 m1时，a n0 ，所以 S n0 ；当 m1时，m21，所以 S n n m(1m n )n 1 (1)n；1m2当 m 1时，S n m2 (1m2 n ) m(1m n ) ．1m21m62m2 (1m2n )m(1m n ) 1m21, m 1m1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用X围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进展讨论．nn＋12．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a ， a的式子应进展合并．4．在公差为d 的等差数列 { a n} 中， a1＝ 10，且 a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求 d， a n；(2)假设 d<0，求 |a1|＋ |a2|＋ |a3 |＋⋯＋|a n|.【解析】 (1) 由题意得 5a3·a1＝(2a2＋ 2)2，即 d2－ 3d－ 4＝ 0.故d=-1 或 d=4.所以 a n＝－ n＋ 11， n∈N*或 a n＝4n＋ 6， n∈N*.(2)设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，因为 d<0，由 (1) 得 d=-1， a n=-n+11.那么当 n≤11时，|a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|＝S n＝－1n2＋21n.22当n≥12时， |a1|＋ |a2 |＋ |a3|＋⋯＋ |a n|1221＝－ S n＋ 2S11＝2n －2 n＋ 110.综上所述， |a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|－1n2＋21n，n≤ 11，＝222112n＋ 110，n≥ 12.n －2272m2 (1m2n )m(1m n ) 1m21, m 1m1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用X围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进展讨论．nn＋12．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a ， a的式子应进展合并．4．在公差为d 的等差数列 { a n} 中， a1＝ 10，且 a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求 d， a n；(2)假设 d<0，求 |a1|＋ |a2|＋ |a3 |＋⋯＋|a n|.【解析】 (1) 由题意得 5a3·a1＝(2a2＋ 2)2，即 d2－ 3d－ 4＝ 0.故d=-1 或 d=4.所以 a n＝－ n＋ 11， n∈N*或 a n＝4n＋ 6， n∈N*.(2)设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，因为 d<0，由 (1) 得 d=-1， a n=-n+11.那么当 n≤11时，|a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|＝S n＝－1n2＋21n.22当n≥12时， |a1|＋ |a2 |＋ |a3|＋⋯＋ |a n|1221＝－ S n＋ 2S11＝2n －2 n＋ 110.综上所述， |a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|－1n2＋21n，n≤ 11，＝222112n＋ 110，n≥ 12.n －2272m2 (1m2n )m(1m n ) 1m21, m 1m1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用X围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进展讨论．nn＋12．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a ， a的式子应进展合并．4．在公差为d 的等差数列 { a n} 中， a1＝ 10，且 a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求 d， a n；(2)假设 d<0，求 |a1|＋ |a2|＋ |a3 |＋⋯＋|a n|.【解析】 (1) 由题意得 5a3·a1＝(2a2＋ 2)2，即 d2－ 3d－ 4＝ 0.故d=-1 或 d=4.所以 a n＝－ n＋ 11， n∈N*或 a n＝4n＋ 6， n∈N*.(2)设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，因为 d<0，由 (1) 得 d=-1， a n=-n+11.那么当 n≤11时，|a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|＝S n＝－1n2＋21n.22当n≥12时， |a1|＋ |a2 |＋ |a3|＋⋯＋ |a n|1221＝－ S n＋ 2S11＝2n －2 n＋ 110.综上所述， |a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|－1n2＋21n，n≤ 11，＝222112n＋ 110，n≥ 12.n －2272m2 (1m2n )m(1m n ) 1m21, m 1m1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用X围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进展讨论．nn＋12．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a ， a的式子应进展合并．4．在公差为d 的等差数列 { a n} 中， a1＝ 10，且 a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求 d， a n；(2)假设 d<0，求 |a1|＋ |a2|＋ |a3 |＋⋯＋|a n|.【解析】 (1) 由题意得 5a3·a1＝(2a2＋ 2)2，即 d2－ 3d－ 4＝ 0.故d=-1 或 d=4.所以 a n＝－ n＋ 11， n∈N*或 a n＝4n＋ 6， n∈N*.(2)设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，因为 d<0，由 (1) 得 d=-1， a n=-n+11.那么当 n≤11时，|a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|＝S n＝－1n2＋21n.22当n≥12时， |a1|＋ |a2 |＋ |a3|＋⋯＋ |a n|1221＝－ S n＋ 2S11＝2n －2 n＋ 110.综上所述， |a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|－1n2＋21n，n≤ 11，＝222112n＋ 110，n≥ 12.n －2272m2 (1m2n )m(1m n ) 1m21, m 1m1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用X围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进展讨论．nn＋12．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a ， a的式子应进展合并．4．在公差为d 的等差数列 { a n} 中， a1＝ 10，且 a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求 d， a n；(2)假设 d<0，求 |a1|＋ |a2|＋ |a3 |＋⋯＋|a n|.【解析】 (1) 由题意得 5a3·a1＝(2a2＋ 2)2，即 d2－ 3d－ 4＝ 0.故d=-1 或 d=4.所以 a n＝－ n＋ 11， n∈N*或 a n＝4n＋ 6， n∈N*.(2)设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，因为 d<0，由 (1) 得 d=-1， a n=-n+11.那么当 n≤11时，|a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|＝S n＝－1n2＋21n.22当n≥12时， |a1|＋ |a2 |＋ |a3|＋⋯＋ |a n|1221＝－ S n＋ 2S11＝2n －2 n＋ 110.综上所述， |a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|－1n2＋21n，n≤ 11，＝222112n＋ 110，n≥ 12.n －2272m2 (1m2n )m(1m n ) 1m21, m 1m1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用X围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进展讨论．nn＋12．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a ， a的式子应进展合并．4．在公差为d 的等差数列 { a n} 中， a1＝ 10，且 a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求 d， a n；(2)假设 d<0，求 |a1|＋ |a2|＋ |a3 |＋⋯＋|a n|.【解析】 (1) 由题意得 5a3·a1＝(2a2＋ 2)2，即 d2－ 3d－ 4＝ 0.故d=-1 或 d=4.所以 a n＝－ n＋ 11， n∈N*或 a n＝4n＋ 6， n∈N*.(2)设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，因为 d<0，由 (1) 得 d=-1， a n=-n+11.那么当 n≤11时，|a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|＝S n＝－1n2＋21n.22当n≥12时， |a1|＋ |a2 |＋ |a3|＋⋯＋ |a n|1221＝－ S n＋ 2S11＝2n －2 n＋ 110.综上所述， |a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|－1n2＋21n，n≤ 11，＝222112n＋ 110，n≥ 12.n －2272m2 (1m2n )m(1m n ) 1m21, m 1m1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用X围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进展讨论．nn＋12．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a ， a的式子应进展合并．4．在公差为d 的等差数列 { a n} 中， a1＝ 10，且 a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求 d， a n；(2)假设 d<0，求 |a1|＋ |a2|＋ |a3 |＋⋯＋|a n|.【解析】 (1) 由题意得 5a3·a1＝(2a2＋ 2)2，即 d2－ 3d－ 4＝ 0.故d=-1 或 d=4.所以 a n＝－ n＋ 11， n∈N*或 a n＝4n＋ 6， n∈N*.(2)设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，因为 d<0，由 (1) 得 d=-1， a n=-n+11.那么当 n≤11时，|a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|＝S n＝－1n2＋21n.22当n≥12时， |a1|＋ |a2 |＋ |a3|＋⋯＋ |a n|1221＝－ S n＋ 2S11＝2n －2 n＋ 110.综上所述， |a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|－1n2＋21n，n≤ 11，＝222112n＋ 110，n≥ 12.n －2272m2 (1m2n )m(1m n ) 1m21, m 1m1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用X围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进展讨论．nn＋12．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a ， a的式子应进展合并．4．在公差为d 的等差数列 { a n} 中， a1＝ 10，且 a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求 d， a n；(2)假设 d<0，求 |a1|＋ |a2|＋ |a3 |＋⋯＋|a n|.【解析】 (1) 由题意得 5a3·a1＝(2a2＋ 2)2，即 d2－ 3d－ 4＝ 0.故d=-1 或 d=4.所以 a n＝－ n＋ 11， n∈N*或 a n＝4n＋ 6， n∈N*.(2)设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，因为 d<0，由 (1) 得 d=-1， a n=-n+11.那么当 n≤11时，|a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|＝S n＝－1n2＋21n.22当n≥12时， |a1|＋ |a2 |＋ |a3|＋⋯＋ |a n|1221＝－ S n＋ 2S11＝2n －2 n＋ 110.综上所述， |a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a n|－1n2＋21n，n≤ 11，＝222112n＋ 110，n≥ 12.n －227。
2018高考数学(文)热点题型立体几何 全国通用 含解析
立体几何热点一平行、垂直关系的证明与体积的计算以空间几何体（主要是柱、锥或简单组合体）为载体，通过空间平行、垂直关系的论证命制，主要考查公理4及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理，常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等.【例1】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD。
（1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC,三棱锥E－ACD的体积为错误!，求该三棱锥的侧面积。
（1）证明因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BE。
又BD∩BE＝B,故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED。
（2)解设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝错误!x，GB＝GD＝错误!。
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中,可得EG＝错误!x.由BE⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD,得BE⊥BG，知△EBG为直角三角形，可得BE＝错误!x.由已知得，三棱锥E－ACD的体积V三棱锥E－ACD＝错误!×错误!·AC·GD·BE＝624x3＝错误!，故x＝2。
从而可得AE＝EC＝ED＝错误!。
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2错误!.【类题通法】第一步:由线面垂直的性质，得AC⊥BE。
第二步:根据线面、面面垂直的判定定理，得平面AEC⊥平面BED.第三步：由体积公式计算底面菱形的边长。
第四步：计算各个侧面三角形的面积，得出结论.第五步：查看关键点,检验反思，规范步骤。
【对点训练】在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC,△VAB 为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝错误!，O，M分别为AB，VA 的中点。
专题08 立体几何-备战高考数学(理)之纠错笔记系列(原卷版) 改好
易错点1 对空间几何体的结构认识不准确致错有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，如图是从3个不同的角度看同一粒骰子的情形，请画出骰子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母H对面的字母是.1．一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为_________(只填写序号).易错点2 不能正确画出三视图或还原几何体而致错一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是2．已知三棱锥的俯视图与侧视图如下图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为易错点3 空间几何体的直观图与原图面积之间的关系如图是水平放置的平面图形的直观图，则原平面图形的面积为A．3 B．32 2C．6 D．323．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为A．22B．32C．23D．3易错点4 空间几何体的表面积或体积计算不全致错一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A．21+3B．18+3C．21 D．18①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和；如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．4．如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2 cm，下底BC＝10 cm，底角∠ABC＝60°，现绕腰AB旋转一周，则所得的旋转体的体积是A．246π B．248πC．249π D．250π易错点5 问题考虑不全面致错已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为.5．如图所示，在长方体中，14cm,2cm,3cm,AB AD AA ===则在长方体表面上连接1A C 、两点的所有曲线长度的最小值为__________．易错点6 应用公理或其推论时出错已知A ，B ，C ，D ，E 五点中，A ，B ，C ，D 共面，B ，C ，D ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 五点一定共面吗？6．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：（1）D，B，F，E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．易错点7 忽略空间角的范围或不能正确找出空间角致误如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，则BC与AD所成的角为.1．求异面直线所成的角的常见策略：（1）求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．（2）求异面直线所成角的步骤①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.（3）判定空间两条直线是异面直线的方法①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．求直线与平面所成的角的方法：（1）求直线和平面所成角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．（2）求线面角的技巧在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．3．求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．7．已知四面体ABCD 中，F E ,分别是BD AC ,的中点，若2AB =，4CD =，AB EF ⊥，则EF 与CD 所成角的度数为A ． 90B ． 45C ． 60D ． 30易错点8 对线面位置关系不能正确应用定理作出判断如果两条平行直线a ，b 中的a ∥α，那么b ∥α.这个命题正确吗？为什么？8．下列命题中，错误的是A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一直线的两个平面一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，且l 不在平面α内，则在平面α内不存在与l 平行的直线易错点9 证明线面位置关系时不能正确应用定理致错如图，a b ∥，点P 在,a b 所确定的平面γ外，PA a ⊥于点A ，AB b ⊥于点B . 求证：PB b ⊥.-中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与9．如图，在四棱锥P ABCD棱PD交于点F.AB EF；（1）求证：∥⊥.（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF EF易错点10 对空间向量理解不正确致误已知下列命题：①若A，B，C，D在一条直线上，则AB与CD是共线向量；②若A，B，C，D不在一条直线上，则AB与CD不是共线向量；③若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；④若向量AB与AC是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．其中是真命题的有____________（填序号）．10．已知(2,4,5)AB =，(3,,)CD x y =，若AB CD ∥，则 A ．6x =，1y = B ．3x =，152y =C ．3x =，15y =D ．6x =，152y =易错点11 不能正确利用空间向量解决立体几何问题已知四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2P A，E是线段BC中点．（1）判断PE与AD的关系；（2）在线段PD上是否存在一点F，使得CF∥平面P AE，说明你的理由．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且1PD AD ==，2AB =，点E 是AB 上一点，当二面角P EC D --为4π时，AE =A ．23-B ．12C ．22-D ．1一、空间几何体的结构及其三视图与直观图 1．空间几何体的结构 （1）多面体 几何体结构特征备注棱柱①底面互相平行.②侧面都是平行四边形.③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.（2）旋转体球①球心和截面圆心的连线垂直于截面.②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：22d R r=-.球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.2．空间几何体的三视图（1）三视图的概念①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：正侧俯②画法规则ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.③线条的规则ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图常见几何体正视图侧视图俯视图长方体矩形矩形矩形正方体正方形正方形正方形圆柱矩形矩形圆圆锥等腰三角形等腰三角形圆圆台等腰梯形等腰梯形两个同心的圆球圆圆圆3．空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.②画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.直观图的面积与原图面积之间的关系①原图形与直观图的面积比为22SS ='，即原图面积是直观图面积的22倍， ②直观图面积是原图面积的12=422倍. 二、空间几何体的表面积与体积 1．旋转体的表面积圆柱（底面半径为r ，母线长为l ）圆锥（底面半径为r ，母线长为l ）圆台（上、下底面半径分别为r ′，r ，母线长为l ）侧面展开图底面面积2π底S r =2π底S r =22,ππ上底下底S r S r ='=侧面面积2π侧S rl =π侧S rl =()π侧S l r r ='+表面积()2π表S r r l =+ ()π表S r r l =+()22π表S r r r l rl ='++'+多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：2．柱体、锥体、台体的体积公式几何体体积柱体柱体V Sh =(S 为底面面积，h 为高)2π圆柱V r h =(r 为底面半径，h 为高)锥体13锥体V Sh =(S 为底面面积，h 为高)213π圆锥V r h =(r 为底面半径，h 为高)台体(13)台体V S S S S h ='+'+(S ′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)，()223π1圆台V h r r r r ='+'+(r ′、r 分别为上、下底面半径，h 为高)（1）柱体、锥体、台体体积公式间的关系（2）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差； （3）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 3．球的表面积和体积公式设球的半径为R ，它的体积与表面积都由半径R 唯一确定，是以R 为自变量的函数，其表面积公式为24πR ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为34π3R .球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为a ，则正方体的内切球半径是12a ；正方体的外接球半径是32a ；与正方体所有棱相切的球的半径是22a ． （2）若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，h ，则长方体的外接球半径是22212a b h ++． （3）若正四面体的棱长为a ，则正四面体的内切球半径是612a ；正四面体的外接球半径是64a ；与正四面体所有棱相切的球的半径是24a ． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 三、空间点、直线、平面之间的位置关系 1．平面的基本性质 名称图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 A ，B ，C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α，B ∈α，C ∈α公理2的推论 推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面若点A ∉直线a ，则A 和a 确定一个平面α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a b P =⇒有且只有一个平面α，使a α⊂，b α⊂推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面∥a b ⇒有且只有一个平面α，使a α⊂，b α⊂公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，且P ∈β⇒α∩β=l ，P ∈l ，且l 是唯一的公理4———l 1———l 2 ———l平行于同一直线的两条直线平行l 1∥l ，l 2∥l ⇒l 1∥l 22．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（2）符号语言： 如图（1）、（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，,OA O A OB O B ''''∥∥，则AOB AO B ∠=∠'''或180AOB AO B ∠+∠'''=︒.图（1） 图（2）3．空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线4．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的定义如图，已知两异面直线a ，b ，经过空间任一点O ，分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，相交直线a ′，b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（2）异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是π(0,]2. （3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ，b ，记作a ⊥b .5．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 （1）直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 ②按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内 ③按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行（2）平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线.（1）唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（2）异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．四、直线、平面平行的判定及其性质1．直线与平面平行的判定定理文字语言平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行⇒线面平行图形语言符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作用证明直线与平面平行2．直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行⇒线线平行图形语言符号语言,,a a b a b αβαβ⊂=⇒∥∥作用①作为证明线线平行的依据．②作为画一条直线与已知直线平行的依据.3．平面与平面平行的判定定理文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.简记为：线面平行⇒面面平行图形语言符号语言 a ⊂β，b ⊂β，ab P =，a ∥α，b ∥α⇒α∥β作用证明两个平面平行4．平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.简记为：面面平行⇒线线平行图形语言符号语言 ,,a b a b αβαγβγ==⇒∥∥作用证明线线平行1．平行问题的转化关系2．常用结论（1）如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．（2）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线． （3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． （4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． （5）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． （6）如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．（7）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． （8）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．五、直线、平面垂直的判定及其性质 1．直线与平面垂直的定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直.记作：l ⊥α.图形表示如下：定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语． 2．直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直⇒线面垂直图形语言符号语言l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，ab P =⇒l ⊥α作用 判断直线与平面垂直在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交．．直线垂直，而不是任意的两条直线. 3．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直⇒线线平行图形语言符号语言a b αα⊥⎫⎬⊥⎭⇒a b ∥①证明两直线平行；作用②构造平行线.4．平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，⊥.图形表示如下：记作αβ5．平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.文字语言简记为：线面垂直⇒面面垂直图形语言⊂⇒α⊥β符号语言l⊥α，lβ作用判断两平面垂直6．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.文字语言简记为：面面垂直⇒线线平行图形语言符号语言=l a a a lαβαββα⎫⎪⎪⇒⎬⊂⎪⎪⊥⎭⊥⊥作用证明直线与平面垂直7．直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．．，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角．．．．．．．．．α．的范围是．．．．π[0,]2. 8．二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．．．．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. （3）二面角的范围：[0,π].1．垂直问题的转化关系2．常用结论（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线． （3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． （5）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．（6）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．（7）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． 六、空间向量与立体几何 1．空间直角坐标系定 义以空间一点O 为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立两两垂直的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，建立了一个空间直角坐标系O xyz -坐标原点 点O 坐标轴x 轴、y 轴、z 轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.2．空间一点M 的坐标（1）空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，记作(),,M x y z ，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.（2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点M 与有序实数组(,,)x y z 可建立一一对应的关系． 3．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式①设点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z 为空间两点，则,A B 两点间的距离222121212||()()()AB x x y y z z =-+-+-.②设点(),,P x y z ，则点(),,P x y z 与坐标原点O 之间的距离为222||OP x y z =++.（2）中点公式设点(),,P x y z 为1111,),(P x y z ，2222,),(P x y z 的中点，则121212222x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩. 4．共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 牢记两个推论：（1）对空间任意一点O ，点P 在直线AB 上的充要条件是存在实数t ，使(1)OP t OA tOB =-+或OP xOA yOB =+（其中1x y +=）.（2）如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA t =+a ，其中向量a 叫做直线l 的方向向量，该式称为直线方程的向量表示式. 5．共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使x y =+p a b .牢记推论：空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使AP x AB y AC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA x AB y AC =++. 6．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量.（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底. （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.（3）0不能作为基向量.7．空间向量的运算（1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.（2）空间向量的坐标运算设123123(,,),(,,)a a a b b b ==a b ，则112233(,,)a b a b a b ±=±±±a b ，123(,,)()a a a λλλλλ=∈R a ，112233a b a b a b ⋅=++a b ， 112233,,()b a b a b a λλλλλ⇔=⇔===∈R ab b a ，1122330a b a b a b ⊥⇔⋅=++=a b a b ，2222123a a a ==++a a112233222222123123cos ,a a a b b b ⋅==++++a ba b a b . 8．直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作l ，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l α⊥，则该直线l 的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作α，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为(,,)x y z =α.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量123123(,,),(,,)a a a b b b ==a b ，根据定义建立方程组，得到0⋅=⎧⎨⋅=⎩a b αα，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.9．利用空间向量表示空间线面平行、垂直设直线,l m 的方向向量分别为,l m ，平面,αβ的法向量分别为,αβ. （1）线线平行：若//l m ，则()λλ⇔=∈R lm l m ；线面平行：若//l α，则0⊥⇔⋅=l l αα； 面面平行：若//αβ，则()λλ⇔=∈R αβαβ.（2）线线垂直：若l m ⊥，则0⊥⇔⋅=l m l m ； 线面垂直：若l α⊥，则()λλ⇔=∈R ll αα；面面垂直：若αβ⊥，则0⊥⇔⋅=αβαβ. 10．利用空间向量求空间角设直线,l m 的方向向量分别为,l m ，平面,αβ的法向量分别为12,n n . （1）直线,l m 所成的角为θ，则π02θ≤≤，计算方法：cos θ⋅=l m l m； （2）直线l 与平面α所成的角为θ，则π02θ≤≤，计算方法：11sin θ⋅=l n l n ； （3）平面,αβ所成的二面角为θ，则0πθ≤≤，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝,〈〉AB CD ．如图②③，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝1212⋅n n n n ，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． 11．利用空间向量求距离（1）两点间的距离设点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z 为空间两点，则,A B 两点间的距离222121212||||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-. （2）点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为||||||AB BO ⋅=n n .。