北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除1_幂的运算
3 ab 9 D.单项式 的次数是 2, 系数为 2 2
2
拓 展 练 习
1 1. 单项式m2n2的系数是_______, 4 4 次单项式. 次数是______, m2n2是____
-z 的和, 2. 多项式x+y-z是单项式 x , y ,___ 1 次___ 3 项式. 它是___ 5 3. 如果 -5xym-2 为4次单项式, 则 m=____.
试一试
1.任意写一个两位数; 2.交换这个两位数的十位数字和个位数字,又得到一个数; 3.求这两个数的和.
再写几个两位数重复上面的过程.这些和有什么规律?这个规律对任意一个两位数 都成立吗? 如果用a,b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字,那么这个两位数可以表示 10a+b 为:_______.
3
2.035
3
1
2
5 6
1
9
6
1
4
次数
注 意
当单项式的系数为1或 –1时，这个 “1”应省略不写。
单项式、多项式、整式
几个单项式的和叫做
b2 多项式如：ab - 16
ab - 4c
2
ab+bc+ac
多项式中的每一个单项式，叫做多项式的 项。
一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
整式加减运算的最后结果也是一个整式，按数 学的基本要求，这个结果应是最简的。 所谓一个整式是最简的，意即这个整式中不再 有同类项；而在合并同类项之前，相加减的整式之 间可能有括号。 因此，整式加减运算的过程与步骤，就是我们 业已熟知的两个运算：
八字决
去括号、合并同类项
1 2 3 2 2 例2：计算:（1） (3a b ab ) ( ab a b); 4 4 解: 去括号要注意： 1 2 3 2 2 2 (3a b ab ) ( ab a b); 如果括号前是 “ － 4 4 1 3 ” 则去掉括号后原 2 2 ＝ 3a b ab ab2 a 2b 4 4 括号内每项都要变号
ab b2 , ab b2 ; 8 32 (2) 它们都是 2 项式, 次数都是 2.
图1—3
拓 展 练 习 下列说法中, 正确的是( D )
2x y A.单项式 的系数是 2, 次数是3 3 B.单项式a的系数是 0, 次数是0
2
C . 3 x y 4 x 1是二次三项式
2
2
例 已知m、x、y满足：
2 ① ( x 5)2 5 m 0；② 2a 2b y 1与3a 2b3是同类项 .求代数式 3 7 2 1 2 3 2 2 2 2 0.375x y 5m x x y xy x y 3.475xy 6.275xy 2 16 16 4 的值.
(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a- c)
两个数相减后的结果有什么规律?这个规律对任意一个三位数都成立吗?
加、减 议一议: 在上面的 “试一试”、 “做一做”中,涉及了整式的 _________运算.你是 怎样运算的?你曾经做过这种运算吗?
先去括号,再合并同类项.
练一练
1.计算 : (1) 2x 2 - 3x + 1与 - 3x 2 + 5x - 7的和;
a
• 是多少?(窗框面积忽略不计)
b
做一做
（1）如图 ，长为a,宽为b的矩形绿地，截去边长为c 的四个小正方形后剩下的作为草地，则这个草地的面 积是多少？
（2） 当水结冰时，其体积大约会比 原来增加 为多少？
1 ，xm3的水结成冰后体积 9
Байду номын сангаас
（3）如图，一个长方体的箱子紧靠墙角， 它的长、宽、高分别为a,b,c.这个箱子露在 外面的表面积是多少？体积是多少？
2
1 2 ＝ 2a b ab ； 2
2
1 1 3 2 4 4
3＋p2－p－1）－2（p3＋p） 7 （ p 例2：计算:（2）
解: 7（p3＋p2－p－1）－2（p3＋p）
＝ 7p3＋7p2－7p－7 －2p3 －2p ＝ 5p3＋7p2 －9p －7。 去括号要注意： 如果括号前有非 ±1 的数字因数， 例2：计算:（3） 1 2 则去掉括号 2 3 2 3 ( m n m ) ( m n m )。 后这个数字因数 3 3 要 乘遍括号内的 请两位同学上黑板做。 每一项。
10b+a 交换这个两位数的十位数字和个位数字,得到的数是:________. (10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b) 把这两个数相加并化简得: ___________________________________. 从上面你能得出什么规律?
做一做
任意写一个三位数 100a+10b+c 交换它的百位数字与个位数字,又得到一个数 100c+10b+a 两数相减
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 一个单项式中，所有字母的指数的和 叫做这个单项式的次数。
注 意
单独一个非零数的次数是 0 。
练一练
单项式 1 2 r h 2.035a 2b xy 5 x 32 x 2 y 2 z 2 13 a 2bc 3 6 系数
1 3
m个 a n个a （乘法结合律）
(当m、n都是正
（乘方的意义）
= aa…a
(m+n)个a
=am+n
即: am
（乘方的意义）
· an = am+n
(当m、n都是正整数)
真不错，你的猜想是正确的！
1.3同底数幂的乘法
同底数幂的乘法性质：
我们可以直接利用 它进行计算.
am · an = am+n
(当m、n都是正整数)
=(m-3)x2+(2+2n)xy-x-3y
∵ 差不含二次项， ∴ m-3=0 即 m=3 n=-1
2+2n=0
∴ nm=(-1)3=-1 .
例3 若x2-3x-2=(x2-2x+1)+B(X-1)+C对任何X均成立，求 B、C的值.
解：∵ x2-3x-2=(x2-2x+1)+B(X-1)+C，
∴X2-3X-2=X2-2X+1+BX-B+C. 即X2-3X-2=X2+(B-2)X+(1-B+C).
继续探索
(1)a3 · a4 =(a·a·a)(a·a·a·a) (乘方的意义)
=a·a·a·a·a·a·a (乘法结合律)
=a7
(乘方的意义)
• (2)如果把指数3、4换成正整数m、n，你 能得出am
·
an的结果吗？
猜想: am
整数)
am · an =
· an= am+n
（aa…a） （aa…a）
y
2(x+z)+ 2• 2(z + y)
2、某花店一枝黄色康乃馨的价格是x元，一枝红色玫 瑰的价格是y元，一枝白色百合花的价格是z元，下面 这三束鲜花的价格各是多少? 这三束鲜花的总价是多 少元?
3x+2y+z
2x+2y+3z
4x+3y+2z
答: 三束鲜花的价格各是： 这三束鲜花的总价是: 3x+2y+z + 2x+2y+3z + 4x+3y+2z = 9x+7y+6z .
当 x=5，m=0，y=2时，
原式=52×2+5×02×5+10×5×22=50+200=250.
例4 已知关于 x、y的多项式mx2+2xy-x与3x22nxy+3y的差不含二次项，求nm的值.
解： ( mx2+2xy-x )-(3x2-2nxy+3y) = mx2+2xy-x-3x2+2nxy-3y
2.计算:
(1) ( 4k 2 + 7k ) + (-k 2 + 3k - 1);
3k 2 + 10k - 1
(2) (5y + 3x - 15 z 2 ) - (12y - 7x + z 2 ).
- 7y + 10 x - 16 z 2
3.求下列整式的值:
3x - (2x + 5x - 1) - (3x + 1) , 其中x = 10. 解 : 3x 2 - (2x 2 + 5x - 1) - (3x + 1) = 3x 2 - 2x 2 - 5x + 1- 3x - 1 = (3 - 2)x 2 + (-5 - 3)x + (1- 1 ) = x 2 - 8x 当x = 10时, 原式 = x 2 - 8x = 10 2 - 8 ×10 = 100 - 80 = 20
（4）某件商品的成本价是a 元，按成本价提 高15%后标价，又以8折（即按标价的80%） 销售，这件商品的售价是多少元？
议一议
前面所得出的代数式：10 x 、 abc 、0.8（1+15%）a 9 有什么特点？
都是由数与字母的乘积组成的， 这样的代数式叫做单项式；
注 意
单独的一个数或一个字母也是单项式；
1.1从代 数 式说起
代数的基本思想是 用字母表示数，用代数式表示问题的结果。
用+、－、×、÷、乘方把数字与字母 . 连结所成 .的式子,叫做代数式。
试用代数式表示下图中有关的图 形的面积：
北师大版七年级数学下册第一章 整式的乘除1 同底数幂的乘法
解：(1) 原式 = (－3)7 + 6 = (－3)13.
(2) 原式 = 1 3 1
1
4
.
111
111
(3) 原式 = －x3 + 5= －x8.
提醒：计算同底数 幂的乘法时，要注 意算式里面的负号 是属于幂的还是属 于底数的．
(4) 原式 = b2m + 2m + 1 = b4m + 1.
m 个 (-3) ＝ (-3)m+n.
n 个 (-3)
猜一猜 am ·an = a (m + n ).
议一议 如果 m，n 都是正整数，那么 am ·an 等于什么？ 为什么？
am·an = ( a ·a · … · a ) ·( a ·a · … · a ) (乘方的意义)
(m 个a) (n个a) = a ·a ·… ·a (乘法的结合律)
7
( m，n 都是正整数)
1
n
和 (-3)m×(-3)n 呢？
7
解：2m×2n＝(2×2×···×2)× (2×2×···×2) ＝2m + n
m个2
1m 1n 1 1
1
11
7 7 77
7 77
n个2
1
1 mn
77
m
个
1 7
m
个
1 7
(-3)m×(-3)n
＝[ (-3)×(-3)×···×(-3)]×[ (-3)×(-3)×···×(-3)]
( m+n个a)
= a( m+n ). (乘方的意义)
定义总结
同底数幂的乘法 运算法则：am ·an = am+n (m，n 都是正整数).
(完整版)最新北师大版数学七年级下册第一章_整式的乘除知识点总结及练习题
☆☆☆ 北师大版数学七年级【下册】第一章 整式的乘除一、 同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则: n m n ma a a +=⋅（m,n 都是正数）是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点：①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是 一个单项或多项式;②指数是1时，不要误以为没有指数;③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n ma a a a ++=⋅⋅(其中m 、n 、p 均为正数）；⑤公式还可以逆用：n m nm a a a⋅=+（m 、n 均为正整数）二．幂的乘方与积的乘方1。
幂的乘方法则：mnnm a a =)((m ，n 都是正数）是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆.2. ),()()(都为正数n m a a a mn mn nm ==.3。
底数有负号时，运算时要注意，底数是a 与(-a ）时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将(-a ）3化成—a 3⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n4．底数有时形式不同,但可以化成相同。
5．要注意区别（ab ）n与（a+b)n意义是不同的,不要误以为（a+b ）n=a n+b n（a 、b 均不为零）.6．积的乘方法则:积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘，即nnnb a ab =)(（n 为正整数）。
7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
三. 同底数幂的除法1。
同底数幂的除法法则:同底数幂相除，底数不变,指数相减,即n m n ma a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数,且m 〉n ）.2。
在应用时需要注意以下几点：①法则使用的前提条件是“同底数幂相除"而且0不能做除数，所以法则中a ≠0。
北师大版数学七年级下册.1同底数幂的除法及零次幂和负整数指数幂课件
0.50 = 1 （-1）0 = 1
（ 1 ）- 6 = 64 2
（ 3 ）- 3 = 6 4
4
27
10-5 = 1
100000
已知3m=2, 9n=10, 求33m－2n 的值.
解： 33m－2n =33m÷32n =(3m)3÷(32)n =(3m)3÷9n =23÷10 =8÷10 =0.8.
错误，应等于b6-3 = b3
正确
（4）(-bc )4÷ (-bc ) 2 = -b 2 c 2
错误，应等于(-bc )4-2= (-bc ) 2 = b 2 c 2
计算：
1
3 12 34
；
2-2315 -2312；
解：原式=38；
解：原式=﹣231155
312 212
=﹣ 8 ； 27
计算（结果用整数或分数表示）：
（1）am－n的值； (2)a3m－3n的值.
解:(1)am－n=am÷an=8÷5 = 1.6；
(2)a3m－3n= a3m ÷ a3n
= (am)3 ÷(an)3
=83 ÷53
=512 ÷125
=
51 12
2 5
.
同底数幂的除法可以逆用：am－n=am÷an
新知探究2
做一做：
3
3
2
2
1
1
猜一猜： 0
本课小结
1.同底数幂的除法法则:
同底数幂相除, 底数不变，指数相减.
am an
= am-n
(a≠0, m、n为任意整数)
2.任何不等于零的数的零次幂都等于1.
a0=（ 1a0）
3.负整数指数幂：
a-n
=
1 an
七年级数学下册第1章整式的乘除1.2幂的乘方与积的乘方课件(新版)北师大版
一、选择题 1.(2018山东青岛中考,4,★☆☆)计算(a2)3-5a3·a3的结果是 ( ) A.a5-5a6 B.a6-5a9 C.-4a6 D.4a6
答案 C 原式=a2×3-5a3+3=a6-5a6=-4a6.
2.(2017湖南怀化中考,2,★☆☆)下列运算正确的是 ( )
A.3m-2m=1
答案 A (2am·bn)3=8a3mb3n=8a9b6,故m=3,n=2.
二、填空题
3.(2016江苏淮安师院附中期中,14,★★☆)当x=-6,y= 1 时,x2 y 015 2 016的值为
6
.
答案 - 1
6
解析 当x=-6,y= 1 时,
6
x2
y 015 2
016=(-6)2
× 015
A.x3n+3
B.x6n+3
C.x12n
D.x6n+6
答案 D 原式=x6·x3n-3·x3+3n=x6+3n-3+3+3n=x6n+6.
1.下列四个式子:①(-3x3)3=-9x3;②(-5ab)2=-25a2b2;③(xy2)2=x2y4;④(-2ab3c2)4
=16a4b12c8.其中正确的有 ( A.0个 B.1个 C.2个
3.(1)若645×82=2x,则x=
.
(2)若|x-1|+(y+3)2=0,则(xy)2=
.
答案 (1)36 (2)9 解析 (1)645×82=(26)5×(23)2=230×26=236=2x,所以x=36. (2)由题意得x-1=0且y+3=0,所以x=1,y=-3,所以(xy)2=(-3)2=9.
第一章整式的乘除最新北师大版七年级下册
第一章 整式的乘除
1、同底数幂的乘法
CONTEN T 目 录
幂的乘方与积的乘方 2、 同底数幂的除法 3、 4、整式的乘法 5、平方差公式 6、完全平方公式 7、整式的除法
1.1 同底数幂的乘法
名师导学
新知 同底数幂的乘法
(1)正整数指数幂的意义.
几个相同因数a相乘，即 a· a· …· a，记作an，读作a的
(2)原式＝－a3· a4＝－a3＋4＝－a7；
(3)原式＝32· 3m· 32n＝32＋m＋2n.
【例2】已知：2x＝4, 2y＝8，求2x＋y. 解析 将2x＋y转化为2x· 2y进行解答.
解 ∵2x＝4, 2y＝8， ∴2x＋y＝2x· 2y＝4×8＝32.
举一反三 1. 计算： (1)35×(－3)3×(－3)2；
【例1】计算(a3)2的结果a5
C. －a6
D. a6
解析 此题考查幂的乘方问题，关键是根据幂的乘方 法则进行计算. (a3)2＝a3×2＝a6.
答案
D
举一反三 1. 计算：
(1)(－b2)5· (－b3)2；
答案 －b16 (2)(－x3)2· (－x2)3； 答案 －x12 (3)(y3)2· (y2)3. 答案 y12 2. 当a＝－1时， － ＝ .
n个(ab) n个 a n个 b
(2)积的乘方法则.
一般地，我们有(ab)n＝anbn(n为正整数). 即积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
拓展：①三个或三个以上因式的积的乘方，也具有
这一性质. 如(abc)n＝anbncn； ②此性质可以逆用：anbn＝(ab)n(n为正整数).
解得n＝3.
最新北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除1.1同底数幂的乘法((共15张PPT)
•
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。16:51:3816:51:3816:51Wednesday, September 08, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.821.9.816:51:3816:51:38September 8, 2021
⑶ 26 212
⑵ a a6
(4) 3n 32n1
2、计算：（抢答）
（1） 105×106 (1011 )
（2） a7 ·a3 （3） x5 ·x5 （4） b5 ·b
( 5 ) x3 xm3
( a10 )
（ x10） （ b6 ） （ xm ）
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021
（1）b5 ·b5= 2b5 （× ） （2）b5 + b5 = b10 （×）
b5 ·b5= b10
b5 + b5 = 2b5
（3）x5 ·x5 = x25 (× ) （4）y5 ·y5 = 2y10 (× )
x5 ·x5 = x10
y5 ·y5 =y10
（5）c ·c3 = c3 (×) （6）m + m3 = m4 (× )
c ·c3 = c4
m + m3 = m + m3
知识拓展
计算：
a2 a3 a4 a234 a9
(1) b4 b2 b2 b422 b8 (2) 2 22 23 24 25
七年级数学下册第一章整式的乘除1.2幂的乘方与积的乘方1.2.1幂的乘方与积的乘方新版北师大版
在255，344，433，522这四个幂中， 数值最大的一个是———。
解：255 = (25)11= 3211
344 = (34)11= 8111
433 = (43)11= 6411
522 = (52)11= 2511
因为81>64,所以 数值最大的一个是—344—
思考题
( 1)已知2x+5y-3=0,求 4x ·32y的值。
(2)已知 2x =a， 2y =bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求 22x+3y 的值。
(3)已知 22n+1 + 4n =48， 求 n 的值。
(4)已知4(-an)5 ·a〈0,试分析的取值情况 （为正整数）。
运算
结果
1
同底数幂相乘
amanamn 乘法运算
底数不变， 指数相加
幂的乘方
(am)n amn乘方运算
底数变， 指数相乘
2
同底数幂相乘
am • an amn
指数相加 底数不变 指数相乘
其中m , n都 (am )n amn
是正整数
幂的乘方
阅读 体验 ☞
【例1】计算：例题解析
(1) (102)3 ;
n个am
(4) (am)n =am·am·… ·a （幂的意义）
nm个m
证
=am+m+ … +m （同底数幂的乘法性质）
明
=amn （乘法的意义）
(am)n=amn (m,n都是正整数). 幂的乘方， 底数 不变 ，
指数 相乘 .
请比较“同底数幂相乘的法则”与“幂的
七年级数学下册第一章整式的乘除1.2幂的乘方与积的乘方1教案新版北师大版
七年级数学下册第一章整式的乘除1.2幂的乘方与积的乘方1教案新版北师大版一. 教材分析《北师大版七年级数学下册》第一章整式的乘除1.2幂的乘方与积的乘方是本章的重要内容。
本节课主要让学生理解幂的乘方和积的乘方的概念，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则，能运用幂的乘方和积的乘方解决实际问题。
教材通过引入幂的乘方和积的乘方的概念，让学生进一步理解幂的运算规律，为后续学习更高级的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘方，对幂的概念和运算有了初步的认识。
但学生对幂的乘方和积的乘方的理解还需加强。
此外，学生可能对幂的乘方和积的乘方的运算法则一时难以理解，需要通过实例和练习进行巩固。
三. 教学目标1.理解幂的乘方和积的乘方的概念。
2.掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则。
3.能运用幂的乘方和积的乘方解决实际问题。
4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：幂的乘方和积的乘方的概念及运算法则。
2.教学难点：幂的乘方和积的乘方的运算法则的运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生思考和探索幂的乘方和积的乘方的概念及运算法则。
2.通过实例和练习，让学生巩固幂的乘方和积的乘方的运算法则。
3.运用小组合作学习，培养学生团队合作和解决问题的能力。
4.采用激励评价，激发学生的学习兴趣和自信心。
六. 教学准备1.准备相关教学PPT和教学素材。
2.准备幂的乘方和积的乘方的练习题。
3.准备小组合作学习的任务和问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示生活中的实例，如烧杯的温度变化等，引导学生思考和探索幂的乘方和积的乘方的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现幂的乘方和积的乘方的定义和运算法则，让学生初步了解和感知。
3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，检验学生对幂的乘方和积的乘方的理解和掌握程度。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，共同解决PPT上的练习题，教师巡回指导，帮助学生巩固幂的乘方和积的乘方的运算法则。
北师大版本七年级下册第一单元《整式的乘除》全章知识讲解+经典练习
《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。
最新北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除1.1同底数幂的乘法
教课方案整体设计教课要点与难点教课要点：同底数幂的乘法运算法例及其应用.教课难点：同底数幂的乘法运算法例的灵巧运用.学情解析认知基础：学生经过对七年级上册数学课本的学习，已经掌握了用字母表示数的技术，会判断同类项、归并同类项，同时在学习了有理数乘方运算后，知道了求n 个同样数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，即＝a n，在a n中，a叫底数，n叫指数，这些基础知识为本节课的学习确立了基础．活动经验基础：在有关知识的学习过程中，学生完整能够借助于已知的幂的意义，经过个人思虑、小组合作等形式，进行知识迁徙，总结出新的知识．教课目的1．能够在本质情境中，抽象归纳出所要研究的数学识题，加强学生的数感与符号感．2．在已有的对幂的知识的认识基础之上，经过与伙伴合作，经历研究同底数幂的乘法运算的性质过程，进一步领会幂的意义，发展合作沟通能力、推理能力和有条理地表达能力．3．认识同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些本质问题，感觉数学与现实生活的密切联系，加强学生的数学应意图识，训练他们养成解析问题、解决问题的优秀习惯．教课方法指引启迪法．教师在指引学生回想幂的意义的基础上，经过特例的推理，再到一般结论的推出，启迪学生应用旧知识解决新问题，得出新结论，并能灵巧运用.教课过程一、温故知新设计说明经过此活动，让学生回想幂与乘方之间的关系，即a n＝，即多个同样因数乘积的形式，从而为下一步研究获得同底数幂的乘法法例供给了依照，培育学生知识迁徙的能力．活动： 1.依据乘方的意义说一说以下各式表示什么意思？而后进行计算．1(1) 24； (2)3 5； (3) 73.2．回首乘方和幂的意义．求 n 个同样因数的积的运算，叫做乘方，用符号“a n”表示，读作 a 的 n 次方．乘方的结果叫做幂， a n也可读作 a 的 n 次幂．在 a n中，a 叫做底数， n 叫做指数，底数是同样的因数，指数是同样因数的个数．教课说明教师要指引学生回想七年级上册课本中有关乘方的知识，能把幂的形式与同底数幂的乘法之间的联系经过回想后完全弄理解．在最先回想时，也许学生会出现思想上的盲点，教师依据详细状况，能够联合详细的实例进行指引复习．二、情境引入，研究新知设计说明从学生感兴趣的“航天英豪”提及，一下子抓住学生的好奇心，使学生产生浓重的兴趣，也是对学生的一次爱国主义教育，借此奇妙地引出本节课的新授内容，激倡始学生激烈的求知欲念．运算公式的推理过程，依照学生的认知规律顺序渐进，设计成三大步骤，再现知识的发生过程，由学生自主研究，亲历知识建构过程，以学生为主体，发挥教师的指导作用．完成公式推导后，用自己的语言进行描绘规律，培育学生有条理的表达能力．2019 年 10 月 15 日北京时间9 时，我国“航天英豪”杨利伟乘由长征二号 F 火箭运载的神舟五号飞船初次进入太空，神舟五号从发射到回落历时约 1.3 ×103分钟，在此过程中均匀速度约为 4.7 ×105米 /分．请问，杨利伟的“太空之旅”究竟有多长的行程？依据题意可列式：1.3 ×103×4.7 ×105＝6.11 ×103×105.那么， 103×105等于多少呢？研究活动 1.说出下边推理过程中每一步的依照．(1)102×103＝ (10 ×10) ×(10 ×10 ×10)(________________________)＝ 10 ×10 ×10 ×10 ×10(________________________)＝ 105.(____________________)(2)10m×10n (m， n 都是正整数 )．(____________________)(____________________)＝10m＋n.(____________________)察看思虑：计算前后，底数和指数有何变化？研究活动 2.模仿活动 1 的推理过程，达成以下计算过程，并写出每一步的依照．(1)103×105；(2)2m×2n(m，n 都是正整数 )；m 1n(3)7×7 (m， n 都是正整数 )．1察看思虑：计算前后，底数和指数有何变化？研究活动 3：在前两个活动的基础上，达成以下结果的推导．a m·a n(m，n 都是正整数 )＝__________________________＝__________________________＝________________.察看思虑：你能用自己的语言描绘你发现的规律吗？指引学生充足沟通议论，踊跃讲话后，得出结论，并特别指出公式中字母的含义．a m·a n＝ a m＋n(m， n 都是正整数 ) ，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．教课说明以学生感兴趣的杨利伟的“太空之旅”为引例，让学生从中抽象出简单的数学模型，本质在列式计算时碰到了同底数幂相乘的形式，给出问题，启迪学生进行独立思虑，也可采纳小组合作沟通的形式，联合学生现有的有关幂的意义的知识，进行推导试试，力求独立得出结论．研究新知的过程应留给学生独立思虑，在教课时要尽量留给学生更多的时间与空间，让他们充足发挥个人的主体作用．在本节课中，让学生从数字下手，第一研究102能够写成怎样的乘积形式， 103呢？如若把指数换为字母，又能够如何理解？在此基础上，把底数换为分数的形式，从而又换作字母的形式，由学生个人思虑，小组合作获得结论，结论共享，使全班在认识上又有了较大的提升，从而获得一般的规律性结论表达式a m·a n＝ a m＋n .从研究活动 1 到研究活动3，表现了从特别到一般、从感性认识上涨到理性思想的认识过程．字母表达式中“m，n 都是正整数”这一限制条件不用过分严格重申，跟着此后所学数的范围的扩大，这一条件不起作用．让学生能辨别并记忆表达式特色是要点．三、变式训练，娴熟技术设计说明以基础习题为落脚点，让学生学会鉴别、应用所学字母表达式，进一步熟习同底数幂的乘法性质，并运用同底数幂的乘法性质解决一些本质问题，进一步让学生感觉大数量，发展数感．练习 1.达成以下计算：(1)( －3) 7×(－ 3)6； (2)11； (3)m m＋1. 103×10－ x3·x5； (4)b2·b2练习 2.下边各式的计算能否正确，请你作出判断并说明原因．(1)x3·x5＝ x15()(2)x·x3＝ x3()(3)x3＋x5＝ x8()(4) x2·x2＝2x4()(5)( －x)2·(－ x)3＝(－ x)5＝－ x5()(6) a3·a2－ a2·a3＝ 0()(7)a3·b5＝ (ab)8()(8) y7＋ y7＝ y14()练习 3.解决以下问题：光在真空中的速度约为3×105千米 /秒，太阳光照耀到地球上大概需要5×102秒．地球距离太阳大概有多远？教课说明练习 1 建议不停要修业生疏辨，能否切合“同底数幂乘法”特色：① 是乘法运算吗？② 因式部分底数是多少？③每个因式的指数是多少？④ 题中“－”该如何理解？此中练习 1 的 (1)、(2) 要注意负数和分数作底数在形式上是加括号的，(3)题中的“－”不存在于底数之中，因此此时底数为x，能够看作是同底数幂相乘，“－”在这里起到的是表示相反数的意义．练习2经过一组判断，划分“同底数幂的乘法”与“归并同类项”的不一样之处，同时加强运用同底数幂乘法法例的注意事项. 练习 3 从本质情境中学会运用同底数幂的乘法性质解决问题．四、迁徙应用，深入提升设计说明“想想”的目的是使学生熟习同底数幂的乘法性质、幂的意义和乘法运算律等内容．问题 2 的意图在于让学生在运算过程中注意符号，同时要注意化成同底数幂的形式．要正确地掌握和运用法例，除了应掌握它的正向应用外，问题3则要求擅长依据题目的构造特色，学会法例的逆向应用．问题4是混淆运算，在计算时，要注意运算次序和正确运用相应的计算法例，并要正确划分同底数幂的乘法与整式的加减法的计算法例．1．想想： a m·a n·a p等于什么？2．计算： (1)( －a) 2·(－ a)3；(2)a3·(－ a)4；(3)a5·a3·a;(4)－ b2·(－ b)2·(－ b) 3；(5)(a－b)2·(a－ b);(6)( b－a)2·(a－ b)．3．已知 2x＝ 3，求 2x＋3的值．4．计算： (1)x3·x5＋ x·x3·x4 ; (2)2 5＋ 25.5．光在真空中的速度大概是3×105千米 /秒．太阳系之外距离地球近来的恒星是比邻星，它发出的光抵达地球大概需要 4.22 年．若一年以3×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？答案： 1.a m＋n＋p.2． (1) － a5； (2)a7； (3)a9； (4)b7；(5)( a－ b)3； (6)(a－ b)3或－ (b－ a)3.3． 2x＋3＝ 2x×23＝3×8＝ 24.4． (1)2x8； (2)26或 64.5． 3×105×3×107×4.22＝3.798 ×1013(千米 )．教课说明在教课中要鼓舞学生自主研究“想想”的结果，倡导算法的多样化，只需方法正确，教师都要鼓舞，并组织全班进行沟通，要修业生说明每一步计算的原因．关于底数互为相反数的这种形式，学生刚一接触可能思想跳跃性较大，有无从下手的感觉，而指引他们从幂的意义的角度去解析自然不难获得：“负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负”的结论，从而让学生领会到碰到这种问题应先确立结果符号，再进行指数相加．关于 2 题中后两个小问题，要表现整体的思想，同时也是底数互为相反数的幂的乘积形式一类问题的知识的升华，在此只对能力高的学生作要求 .4 题中 (1) 要理清运算次序，注意划分法例，抓住本质．而(2) 题第一得弄清这是整式加法运算，表示 2 个 25相加，写成2×25的形式，从而转变成同底数幂的乘法运算，注意领会其应用的灵巧性. 注意第 5 题的结果要用规范的科学记数法表示．五、累积与总结在师生相互沟通本节课应当在掌握同底数幂乘法特色的基础上，总结以下：1．在研究同底数幂乘法的性质时，进一步领会了幂的意义，认识了同底数幂乘法的运算性质．三个或三个以上同底数幂相乘时，也拥有这一性质．2．同底数幂乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，要注意以下几点：一是一定是同底数幂的乘法才能运用这个性质．若底数的符号不一样，要先把它们的底数化成同底的形式再计算，运算过程中要注意符号．二是运用这个性质计算时必定是底数不变，指数相加．注意不要忽视指数为 1 的因数．三是防备把幂的乘法运算性质与整式的加法相混淆，乘法法例只需求每个因数是同底数即可运算，加法法例要求每个加数同底数且同指数方可归并计算．3．同底数幂乘法的本质是转变为指数相加，也就是乘法和加法能够相互转变，表现了数学的转变思想，有时依据题目特色，可将法例进行逆向运用来解决有关问题．六、部署作业课本本节习题 1.1知识技术、问题解决．教课说明习题不多，但简单裸露学生计在的问题，如在指数相加时忽视指数1、结果用科学记数法表示不合要求等，要修业生经过自己反省做题的过程加以更正．评论与反省1．本节课的设计，从学生感兴趣的杨利伟的“太空之旅”引入新课，学生经过从本质情境中抽象出数学符号的过程，在研究中，学生将自然地领会同底数幂运算的必需性，有助于培育训练学生的数感与符号感，同时也发展了他们的推理能力和有条理的表达能力．在教课过程中，经过设计分层次的研究活动指引学生达成从特别到一般、从感性认识到理性思虑的学习过程，得出结论．在深入提升环节中，教师可进一步启迪要修业生往更深一层次去研究、解析知识，归纳出“底数互为相反数”时的运算方法，在混淆运算中辨明运算本质，在逆用法例解决问题中领会法例的灵巧性 .2．本节知识点不多，但应用范围较广，形式多样．因为符号问题使底数不完整同样、同底数幂乘法与整式加减混淆运算、法例逆应用等诸多问题情境，需要学生灵巧应用法例的程度较高，在教课时，宜依据学情做出相应的要乞降调整．。