九年级数学下册专题精讲.反比例函数与一次函数、二次函数的综合
优翼微课
九年级数学下册专题精讲 反比例函数与一次函数、二次函数的综合
典例精讲
类型一：反比例函数与一次函数的综合
A．
B．
C．
D．
典例精讲
A． B． C． D．典源自精讲A．0＜x＜2 C．x＞2或-2＜x＜0
B．x＞2 D．x＜－2或0＜x＜2
典例精讲
解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称 ∴A、B两点关于原点对称. ∵A(2，1)， ∴B(-2，-1). ∵由函数图象可知，当0<x<2或x<-2时，函数y1的图象在y2的上方， ∴使y1>y2的x得取值范围是x<-2或0<x<2. 故选D.
解得：b=-1，c=-2， 则二次函数解析式为（2，4），y=x2-x-2 .故选A.
课堂小结
反比例函数与一次函数、二次函数的综合题
类型一：反比例函数 与一次函数的综合题
类型二：反比例函数 与二次函数的综合题
典例精讲
∵AB∥x轴, ∴AE⊥y轴,
∴四边形AEOD是矩形,
4 ∵点A在双曲线 y 上， x
∴S矩形AEOD=4，同理S矩形OCBE=k, ∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8， ∴k=12.故选A.
典例精讲
类型二： 反比例函数和二次函数的综合问题
如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，-2）.它与 反比例函数 y
典例精讲
4 k y y 如图，点A在双曲线 上，AB∥x轴，分别 x 上，点B在双曲线 x
过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则 k的值为（ ）
A.12 B.10 C.8 D.6
k y k 0 在第一象限， 解：∵双曲线 x
∴k>0, 延长线段BA,交y轴与点E，
二次函数的解析式为
A.y=x2-x-2
8 x
的图象交于点A（m，4）则这个
（
）
B.y=x2-x+2
C.y=x2+x-2
D.y=x2+x+2
典例精讲
解：将A（m，4）代入反比例函数解析式得： 4
∴A（2，4）， 将A （2，4），B（0，-2）代入二次函数解析式得：
8 ， m
4 2b c 4, c 2,
九年级数学下册《反比例函数与一次函数的综合应用》PPT
反比例函数与一次函数的综合应用
学习目标与数学思想方法
• 1、会根据已知条件求一次函数和反比例函数解析式.
• 2、会计算反比例函数与一次函数图像所涉及的常见三角形的面
积问题，并熟练解题技巧.
• 3、经历解决反比例函数与一次函数综合面积问题的过程，进一
步提高分析和解决问题的能力，体会“数形结合”数学思想.
2
比例函数2 = 的图象相交于 2,1 ， −1, −2 两点，与 轴交于点
，与y轴交于点D.
(5) 求 △ 的面积．
D
2. 如图，一次函数 = + 的图象与反比例函数 =
点 −3, + 8 ， , −6 两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
样的关系？请你用式子表示AB之间距离。
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
求三角形的面积的两要素是什么?
钝角三角形
1、如图，在平面直角坐标系中， 为原点，一次函数1 = 1 +
与反比例函数2 =
2
的图象相交于
2,1 ， −1, −2 两点，与
轴交于点 ，与y轴交于点D.
（1）直接写出 1 > 2 时自变量 的取值范围
若存在，请求出 P 的坐标； 若不存在，请说明理由
1
m
5、如图，已知 A 4, ，B（-1,2）是一次函数 y kx b 与反比例函数 y
2
x
（ m 0, m＜0 ）图象的两个交点，AC⊥x 轴于 C，BD⊥y 轴于 D。
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值?
九年级数学中考一次函数反比例函数二次函数复习人教版PPT课件
1、正比例函数与一次函数的关系:
正比例函数
y=kx(k≠0)
一次函数
(b=0)
y=kx+b(k≠0)
图象与性质: 都是一条直线
k>0
k<0
y
y
b>0
b>0
(0,b)
b=0
b=0
b
b<0 b<0
x
x
b
正比例函数是特殊的一次函数
2、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象的位置及 增减性:
当k>0时
y
当k<0时
3.一次函数与正比例函数之间的关系: 正比例函数是当b=0时的特殊的一次函 数.
（一）、一次函数:
由于两点确定一条直线，因此在今后作 一次函数图象时，只要描出适合关系式的 两点，再连成直线即可 .
一般选取两个特殊点：直线与 y 轴的交
点（0，b），直线与 x 轴的交点（- b ，0）
k
画正比例函数y=kx的图象时，只要描 出点（0，0）， （1，k）即可
oA
x
y
b>0
b=0
o
x
b<0
b<0
b=0 o
x
b<0
• y随x的增大而增大; y随x的增大而减小.
3、特殊的一次函数——正比例函数y=kx（k≠0）的 性质：
<1>正比例函数y=kx的图象必经过原点； <2>当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增 大而增大； <3>当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增 大而减小．
k
k
y Y=kx+b
(o,b) Y>0
最新初中数学函数知识点归纳讲解学习
初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。
初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函 数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。
一、一次函数1. 定义：在定义中应注意的问题y ＝kx ＋b 中，k 、b 为常数，且k ≠0，x 的指数一定为1。
2. 图象及其性质 （1）形状、直线（）时，随的增大而增大，直线一定过一、三象限时，随的增大而减小，直线一定过二、四象限200k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪（）若直线：：3111222l y k x b l y k x b =+=+当时，；当时，与交于，点。
k k l l b b b l l b 121212120===//()（4）当b>0时直线与y 轴交于原点上方；当b<0时，直线与y 轴交于原点的下方。
（5）当b=0时，y ＝kx （k ≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。
（6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。
3. 应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。
（二）反比例函数 1. 定义：应注意的问题：中（）是不为的常数；（）的指数一定为“”y kxk x =-1021 2. 图象及其性质： （1）形状：双曲线（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()y x y x==-⎧⎨⎪⎩⎪（）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大300k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪（4）过图象上任一点作x 轴与y 轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。
一次函数,反比例函数,二次函数综合运用
函数知识点总结一，一次函数基本知识点：若y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数。
特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数。
k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k≠0）的倾斜程度；b表示直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点的纵坐标。
4，待定系数法求解析式方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式。
☆已知是直线或一次函数可以设y=kx+b（k≠0）；☆若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。
1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），5，与坐标轴的交点坐标以及函数之间的交点坐标1、 直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴的交点坐标及坐标轴围成的图形的面积。
2,已知函数y1=3x+b 经过点（2，-6），y2=2x+1，求2个函数的交点坐标。
二，反比例函数知识要点：1、一般地，形如 y =xk( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y =xk（k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1（k ≠0）2、反比例函数的图象和性质： 知识要点：1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第__ ______象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。
3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________；（2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。
总结：(1) 点 M(x,y) 是双曲线上任意一点,则矩形OPMQ 的面积是M P *M Q = ︳x ︱︳y ︱= ︳xy ︱ (2) M P= ︳x ︱, O P=︳y ︱ ；S △MPO =21MP* OP=21︳x ︱︳y ︱ =21︳xy ︱题型：1．函数y 1＝x (x ≥0)，y 2＝4x (x ＞0)的图象如图所示，下列结论：① 两函数图象的交点坐标为A （2，2）； ② 当x ＞2时，y 2＞y 1；③ 直线x ＝1分别与两函数图象交于B 、C 两点，则 线段BC 的长为3；④ 当x 逐渐增大时，y 1的值随着x 的增大而增大，y 2的 值随着x 的增大而减小． 则其中正确的是（）A ．只有①②B ．只有①③C ．只有②④D ．只有①③④2，如图，直线y x m =+与双曲线ky x =相交于A （2，1）、B（1）求m 及k 的值；（2）不解关于x 、y的方程组,,y x m k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩直接写出点B 的坐标；（3）直线24y x m =-+经过点B 吗？请说明理由．3．,如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数ky x =(x ＞0)的图象经过点B ．(1)求k 的值；(2)将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC′、MA′BC ．设线段MC′、NA′分别与函数ky x =(x ＞0)的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．三，二次函数知识点：1，一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
一次函数、反比例函数、二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当ba≠时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P()在第一象限0⇔yx>,0>点P()在第二象限0⇔yx<,0>点P()在第三象限0x⇔y<,0<点P()在第四象限0x⇔y,0<>2、坐标轴上的点的特征点P()在x轴上0⇔y，x为任意实数=点P()在y轴上0⇔x，y为任意实数=点P()既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P()在第一、三象限夹角平分线上⇔x与y相等点P()在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P()到坐标轴及原点的距离：（1）点P()到x轴的距离等于y（2）点P()到y轴的距离等于x（3）点P()到原点的距离等于22yx+知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
考点11 反比例函数(精讲)(原卷版)
考点11.反比例函数（精讲）【命题趋势】反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，预计2024年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个解答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考查的重点。
【知识清单】1：反比例函数的概念（☆☆）反比例函数的概念：一般地，函数kyx=（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．2：反比例函数的图象和性质（☆☆☆）1）反比例函数的图象和性质表达式kyx=（k是常数，k≠0）k k>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）2）待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．3：反比例函数中|k|的几何意义（☆☆☆）1）反比例函数图象中有关图形的面积2）涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．4：反比例函数与一次函数的综合（☆☆☆）1）涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。
一次函数反比例函数及二次函数课件
考点 2 含参数问题的讨论 师生互动 考向 1 区间固定对称轴动型 [例 1]已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，求 f(x)在[－5，5]上的最 大值与最小值. 解：f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，x∈[－5，5]，对称 轴为直线 x＝－a. (1)当－a＜－5，即 a＞5 时，函数 f(x)在[－5，5]上单调递 增，如图 2-8-2(1)， ∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，
根据图象知，A 选项 b＝0 不对 ； B 选项，若 g(x)成立，则 a>0，b>0，－ 2ba<0，此时 f(x)图 象不对；
C 选项，若 g(x)成立，则 a<0，b>0，－ b >0，此时 f(x)图 2a
象不对；
D 选项显然是正确的，故选 D. 答案：D
2. 设 abc ＞0，二次函数 f(x) ＝ax2 ＋bx ＋c 的图象可能是 ()
∴f(10)－f(t)＝12－t，即 t2－17t＋72＝0.
解得 t＝8(舍去)或 t＝9.∴t＝9. 综上所述，存在常数 t＝15－2 17或 t＝8 或 t＝9 满足条件.
【考法全练】 2.(多选题)一般地，若函数 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka， kb]，则称[a，b]为 f(x)的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数 f(x) 的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为 f(x)的“跟随
(2)二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解，常见的有以 下四种情况：
①对称轴与区间
③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定；
(完整版)九年级数学反比例函数复习专题教案
在解题过程中，需要灵活运用反比例函数和一次函数的性质，如单调性、对称性、周期性 等。
注意细节处理，避免失误
在解题过程中，需要注意细节处理，如符号问题、计算问题等，避免因为细节失误导致整 个题目错误。
06
CATALOGUE
课程总结与拓展延伸
课程重点回顾与总结
01 02
解题能力评估
评估自己的解题能力，包 括审题、分析、计算等方 面，找出自己的不足之处 。
拓展延伸：反比例函数在其他学科中的应用
物理中的应用
在物理中，反比例函数可以用来 描述一些物理量之间的关系，如 电阻、电容、电感等。通过实例 让学生了解反比例函数在物理中
的应用。
化学中的应用
在化学中，反比例函数可以描述 一些化学反应的速率与浓度的关 系。通过实例让学生了解反比例
反比例函数的复合与分解
复合运算
将一个反比例函数作为另一个函 数的自变量进行复合，其结果可 能仍为反比例函数，也可能为其 他类型的函数。
分解运算
将一个复杂的反比例函数分解为 几个简单的反比例函数之和或之 积，以便进行进一步的运算或分 析。
反比例函数的图像变换
平移变换
将反比例函数的图像沿x轴或y 轴平移，不改变函数的形状和
01
联立两个函数的解析式，解方程组得到交点坐标。
判断交点个数及位置
02
通过比较函数值或观察图象，判断交点个数及在坐标系中的位
置。
利用交点解决问题
03
根据交点坐标，可以进一步求解与交点相关的其他问题，如面
积、长度等。
反比例函数与一次函数的综合题型
函数图象的绘制与分析
根据函数解析式，绘制反比例函数和一次函数的图象，并分析其 性质。
初中数学函数知识点总结6篇
初中数学函数知识点总结初中数学函数知识点总结6篇总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它可以帮助我们有寻找学习和工作中的规律，让我们抽出时间写写总结吧。
那么总结有什么格式呢？以下是小编整理的初中数学函数知识点总结，仅供参考，大家一起来看看吧。
初中数学函数知识点总结1课题3.5正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数教学目标1、掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质2、会用待定系数法确定函数的解析式教学重点掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质教学难点掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质教学方法讲练结合法教学过程（I）知识要点（见下表：）第三章第29页函数名称解析式图像正比例函数ykx（k0）0x反比例函数一次函数ykxb（k0）0x二次函数yax2bxc（a0）y0xy0xky （k0）xyxy0xyy0xy0xyk0k0k0k0k0k0a0a0图像过点（0，0）及（1，k）的直线双曲线，x轴、y轴是它的渐近线与直线ykx平行且过点（0，b）的直线抛物线定义域RxxR且xoyyR且yoRR4acb2a0时，y,4aR 值域R4acb2a0时，y,4aba0时，在－,上为增2a函数，在,－单调性k0时，在,0，k0时为增函数0,上为减函数k0时，为增函数b上为减函数2ak0时为减函数k0时，在,0，k0时，为减函数0,上为增函数ba0时，在－,上为减2a函数，在,－b上为增函数2a奇偶性奇函数奇函数b=0时奇函数b=0时偶函数a0且x－ymin最值无无无b时，2a24acb4ab时，2a24acb4aa0且x－ymax第三章第30页b24acb2注：二次函数yaxbxca(x （a0）)a(xm)(xn)2a4abb4acb2对称轴x，顶点(，)2a2a4a2抛物线与x轴交点坐标(m，0)，(n，0)（II）例题讲解例1、求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）抛物线过点A （1，1），B（2，2），C（4，2）（2）抛物线的顶点为P（1，5）且过点Q（3，3）（3）抛物线对称轴是x2，它在x轴上截出的线段AB长为2且抛物线过点（1，7）。
第三章 第3讲 一次函数反比例函数及二次函数.ppt
∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，
解得 t＝15±2 17，∴t＝15－2
17 .
②当6<t≤8 时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，
∴f(10)－f(8)＝12－t.解得t＝8. ③当8<t<10 时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，
【互动探究】 1．若函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值为3，
最小值为2，则m的取值范围是___[1_,_2_] __．
解析：y＝(x＋1)2＋2是以直线x＝1为对称轴开口向上、 其最小值为2的抛物线，又∵f(0)＝3，
结合图象易得，2≥m≥1，∴m的取值范围是[1,2].
考点2 含参数问题的讨论 例 2：已知函数 y＝－sin2x＋asinx－a4＋12的最大值为 2，求 a 的值．
4．将抛物线 y＝2(x＋1)2－3 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，所得抛物线为__y_＝__2_x_2－__1_，其顶点坐标为_(_0_，__－__1_)．
5．函数 y＝ax 和 y＝bx在(0，＋∞)上都是减函数，则 y＝ax2 ＋bx＋c 在(－∞，0)上的单调性为__单__调__递__增_．
②若 m＝－12，则 m2＝14，l≥14，S＝x－21≤x≤l
，
x2∈[0，l2]⊆－12，l，l2≤l，∴0≤l≤1，∴14≤l≤1；
③若 l＝12，则 S＝xm≤x≤12
，若
m>0，则
x2∈m2，14，
∵m2<m，显然不合题意；若 m≤0，∵m2≤12，∴－ 22≤m≤ 22，
1．二次函数的解析式有三种形式：一般式、顶点式和两根式． 根据已知条件灵活选用．