河南省高一下学期数学期末考试试卷
河南省高一下学期期末数学试卷
河南省高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知△ABC和点M满足++=．若存在实数m使得+=m成立，则m=（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （2分）已知等差数列前17项和，则（）A . 3B . 6C . 17D . 513. （2分）已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）若，则是（）A . 等边三角形B . 有一内角是的三角形C . 等腰直角三角形D . 有一内角是的等腰三角形5. （2分）正项等比数列{an}中，lga3+lga8+lga13=6，则a1a15的值为（）A . 10000B . 1000C . 100D . 106. （2分） (2019高一下·湖州期末) 已知数列满足，（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，则（）A .B .C .D .7. （2分）在中，若，则这个三角形一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等边三角形8. （2分） (2016高二上·弋阳期中) 已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A . ﹣3B . 0C . 1D . 39. （2分） (2018高一下·瓦房店期末) 已知函数，若是函数的一条对称轴，且，则点所在直线为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二上·郑州期中) 在中，，，，则（）A .B .C .D .11. （2分）已知=（1，2），=（﹣2，0），且k+与垂直，则k=（）A . -1B .C .D . -12. （2分） (2020高二上·唐山月考) 已知，，且，则的最小值为（）A . 2B . 4C . 6D . 8二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分）(2018·徐州模拟) 已知函数，函数，则不等式的解集为________．14. （1分）已知数列{an}满足a1=1，an+1•an=2n（n∈N*），则S2012=________15. （1分） (2017高二下·黑龙江期末) 设的内角所对的边分别为，，，已知为钝角，且，若，则的面积的最大值为________．16. （1分）四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，则|+|=________17. （1分） (2020高二下·莲湖期末) 若不等式对恒成立，则a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共46分)18. （10分） (2015高一下·兰考期中) 已知 =（1，2）， =（﹣3，2），当k为何值时：（1） k + 与﹣3 垂直；（2） k + 与﹣3 平行，平行时它们是同向还是反向？19. （5分） (2017高一下·荔湾期末) 某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距 km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？20. （1分） (2019高三上·丰城月考) 已知正项数列的前项和为，且定义数列：对于正整数，是使得不等式成立的的最小值，则的前10项和是________．21. （15分） (2019高二下·上海期末) 如图，在棱长为的正方体中，E，F，M分别是棱、和所在直线上的动点：（1）求的取值范围：（2）若N为面内的一点，且，，求的余弦值：（3）若E、F分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点M，使平面 ?若能，试确定点M的位置，若不能，请说明理由.22. （5分）已知f（x）=ax2+bx+1．（1）若f（x）＞0的解集是（﹣1，2），求实数a，b的值．（2）若A={x|f（x）＞0}，且﹣1∈A，2∈A，求3a﹣b的取值范围．23. （10分）(2019·晋城模拟) 已知等比数列的前项和为，其中， . （1）求数列的通项公式；（2）若为递增数列，求数列的前项和.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：略答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共46分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
河南省开封市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含解析
开封市2022-2023学年度第二学期期末调研考试高一数学试题（答案在最后）注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数1i2i z +=+，则z 的虚部为（）A.15-B.15 C.1i5- D.1i 5【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简得到31i 55z =+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数()()()()1i 2i 1i 31i 2i 2i 2i 55z +-+===+++-，所以z 的虚部为15.故选：B.2.在ABC 中，13BD BC = ，设,AB a AC b == ，则AD =（）A.2133a b +r rB.2133a b -+ C.4133a b -D.4133a b + 【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的加法和减法法则，计算可得答案.【详解】由13BD BC =，可得，1()3AD AB AC AB -=-，整理可得，12133323a bAD AB AC +=+= .故选：A3.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“2枚硬币都是正面朝上”，事件B =“2枚硬币朝上的面相同”，则下列A 与B 的关系中正确的个数为（）①A B ⊆②互斥③互为对立④相互独立A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型的计算公式、互斥事件、对立事件、独立事件的概念对选项一一分析判断即可得出答案.【详解】由题意可知：一枚硬币有两个等可能结果：正面朝上、反面朝上，两枚硬币有两个等可能结果：正正、正反、反正、反反，事件A =“2枚硬币都是正面朝上”包含的情况为：正正，事件B =“2枚硬币朝上的面相同”包含的情况为：正正，反反，故A B ⊆，故①正确；②错误；事件A 的对立事件为：正反、反正、反反，故③错误；则()()121,442P A P B ===，()12P AB =，所以()()()P A P B P AB ≠，故④错误.故选：A .4.已知,m n 为空间中两条直线，,αβ为空间中两个平面，则下列说法正确的是（）A.若,m m n α⊥⊥，则n α∥B.若,,m n m n αβ⊂⊂∥，则αβ∥C.若,,m n ααββ⊥⊥∥，则m n ⊥D.若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥【解析】【分析】由选项A 的条件可得出线在面内或线面平行可以判断A 选项；由选项B 的条件可得出两个平面平行或相交可以判断B 选项；由选项C 的条件可得出两条直线可以平行、相交或异面可判断C 选项；根据面面垂直的判定可以判断D 选项.【详解】对于A ，若,m m n α⊥⊥，则n α∥或n ⊂α，A 错；对于B ，若,,m n m n αβ⊂⊂∥，则αβ∥或,αβ相交，B 错；对于C ，若,,m n ααββ⊥⊥∥，则,m n 相交或//m n 或,m n 异面，C 错；对于D ，若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，当n ⊂α，又n β⊥，可得αβ⊥；当//n α时，如图，平面α内必然有一条直线设为l 与n 平行，由n β⊥，则l β⊥，由面面垂直的判定可得αβ⊥，所以D 正确．故选：D ．5.从长度为2,3,5,7,11的5条线段中任取3条，这三条线段不能构成一个三角形的概率为（）A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】利用列举法及古典概型概率公式求解即可.【详解】取出3条线段的情况有()()()()()()2,3,5,2,3,7,2,3,11,2,5,7,2,5,11,2,7,11，()()()()3,5,7,3,5,11,3,7,11,5,7,11，共10种，不能构成三角形的有()()()()()()()2,3,5,2,3,7,2,3,11,2,5,7,2,5,11,2,7,11,3,5,11，()3,7,11共8种，故概率84105P ==.6.已知,O O '分别是圆柱O O '上､下底面圆的圆心，,A B 分别是上､下底面圆周上一点，若2O O O A '='，且直线O A '与OB 垂直，则直线AB 与O O '所成的角的正切值为（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】如图，过点B 作圆柱的母线，交圆柱的上底面于点C ，连接,AC O C '，说明ABC ∠即为直线AB 与O O '所成的角的平面角，进而可得出答案.【详解】如图，过点B 作圆柱的母线，交圆柱的上底面于点C ，连接,AC O C '，则BC ⊥平面AO C '，则//BC OO '，且BC OO '=，所以四边形BCO O '为平行四边形，所以//OB O C '，因为O A OB '⊥，所以O A O C ''⊥，设22O O O A a '=='，则2,,BC a OB O C a AC '====，因为BC ⊥平面AO C '，AC ⊂平面AO C '，所以BC AC ⊥，则tan 22AC ABC BC a ∠===，即直线AB 与O O '所成的角的正切值为2.故选：B.7.如图所示，为测量河对岸的塔高AB ，选取了与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得3tan ,50m 4ACB CD ∠==，3cos ,cos 55BCD BDC ∠∠==，则塔高AB 为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求得BC ，再在直角ABC 中，利用正切函数的定义，求得AB 的长，即可求解．【详解】在BCD △中，350m,cos 5CD BCD BDC ∠∠===，所以4sin 55BCD BDC ∠∠==所以()34sin sin 55CBD BCD BDC ∠∠=+∠=+=，由正弦定理sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，可得4505BC ⨯==在直角ABC 中，因为3tan ,4ACB ∠=所以3tan 4AB BC ACB ∠=⋅==，即塔高为．故选：C ．8.如图，在平面四边形ABCD 中，90,2,A AB AD BCD ∠=== 为等边三角形，当点M 在对角线AC 上运动时，MC MD ⋅的最小值为（）A.-2B.32-C.-1D.12-【答案】B 【解析】【分析】利用几何知识易得ABC ADC ≅△△，利用向量加法运算及数量积定义得26322MC MD MC ⎛⋅=-- ⎝⎭，然后利用二次函数求解最值即可，【详解】由题意，2AB AD ==，4560105ABC ADC ∠=∠=+= ，22BC DC BD ===，所以ABC ADC ≅△△，所以ACB ACD ∠=∠，即AC 平分BCD ∠，由MD MC CD =+ 可得2()MC MD MC MC CD MC MC CD⋅=⋅+=+⋅22263cos150622MC MC CD MC MC MC ⎛=+⋅⋅=-=-- ⎝⎭，所以当62MC =时，MC MD ⋅ 有最小值为32-.故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足i 1i z =+，则（）A.1iz =+B.z 在复平面内对应的点位于第四象限C.2z =D.2220z z -+=【答案】ABD【解析】【分析】先根据复数的除法运算求出z ，再根据共轭复数的定义即可判断A ；根据复数的几何意义即可判断B ；根据复数的模的公式即可判断C ；根据复数的四则运算即可判断D.【详解】由i 1i z =+，得()21i i1i 1i i iz ++===-，则1i z =+，故A 正确；z 在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限，故B 正确；z ==，故C 错误；()()22221i 21i 22i 22i 20z z -+=---+=--++=，故D 正确.故选：ABD.10.某学校为普及安全知识，对本校1000名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动（满分为100分）.现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图，下列结论正确的是（）A.图中x 的值为0.020B.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为130人C.该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80D.该校高一学生竞赛得分的平均数估计为74.6【答案】ACD 【解析】【分析】根据频率分布直方图性质可得x ，判断A ；计算出得分不小于90的频率，即可判断B ；计算得分介于50至80之间的频率与0.75比较，从而判断C ；由频率分布直方图平均数计算公式计算判断D .【详解】由频率分布直方图性质可得：()0.0100.0120.0280.030101x ++++⨯=，解得0.020x =，故A 正确；得分不小于90的频率为0.012100.12⨯=，故得分不小于90的人数估计为10000.12120⨯=人，故B 错误；得分介于50至80之间的频率为0.01100.028100.030100.680.75⨯+⨯+⨯=<，所以该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80，故C 正确；该校高一学生竞赛得分的平均数估计为550.01010650.02810750.03010850.02010950.0121074.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD11.若平面上的三个力123,,F F F 作用于一点，且处于平衡状态.已知124N,2N F F == ，1F 与2F的夹角为120 ，则下列说法正确的是（）A.3F =B.1F 与3F的夹角为90C.2F 与3F的夹角为90D.()1324F F F +⋅= 【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的图形运算法则，结合余弦定理和向量数量积的定义等知识进行求解即可.【详解】如图所示，设123,,F F F 分别为,,OA OB OC，将向量进行平移，OB平移至OB '，将OA反向延长至点D ，则120AOB ∠=︒，18060OAB DOB AOB '==︒-=︒∠∠∠，在OAB '△中，由余弦定理得，22212cos 60164242122OB AB OA AB OA '''=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=,所以OB '=，即3F =，故A 正确；显然，在OAB '△中，22212416OB AB OA ''+=+==，即90AB O '=︒∠，所以30COD AOB '==︒∠∠，所以1F 与3F的夹角180150AOC COD ∠=︒-∠=︒，故B 错误；2F 与3F的夹角603090BOC DOB COD =+=︒+︒=︒∠∠∠，故C 正确；()()()21324F F F OA OC OB OA B O OB B A OB OB ''+⋅=+⋅=+⋅=⋅=-=- ，故D 错误故选：AC12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，G 为面对角线1A D 上的一个动点（包含端点），则下列选项中正确的有（）A.三棱锥11B GBC -的体积为定值B.线段1A D 上存在点G ，使1A C ⊥平面1GBC C.当点G 与点1A 重合时，二面角11G BC B --的余弦值为63D.设直线BG 与平面11BCC B 所成角为θ，则tan θ2【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】对于A ，因为三棱锥11B GBC -的体积11111113B GBC G BB C BB C V V S DC --==⋅ ，易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，DC ⊥平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值DC ，又11BC S △B 为定值，所以三棱锥11B GBC -体积为定值，故A 正确．对于B ，如图所示，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()()1,1,0,0,0,0B D ,()0,1,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ，()10,1,1C ，设()101DG DA λλ=≤≤ ，所以(),0,G λλ，()11,1,1AC =--，设(),,n x y z =⊥ 平面1GBC ，()11,0,1BC =- ，()1,1,1C G λλ=--，则()11010n BC x z n C G x y z λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，取1x =，则1,21z y λ==-，则()1,21,1n λ=- ，要使1A C ⊥平面1GBC ，即1//AC n ，1AC n =-，此时[]=01,1λ∈-，故B正确.对于C ，当点G 与点1A 重合时，此时()1,0,1G ，设()111,,m x y z =⊥平面1GBC ，()11,0,1BC =- ，()0,1,1BG =- ，则1111100m BC x z m BG y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =，则111,1z y ==，则()1,1,1n = ，设()0,1,0p =⊥平面11BB C ，设二面角11G BC B --所成角为α，所以3cos cos ,3m p m p m p α⋅====⋅，因为α为锐二面角，[]0,πα∈，所以cos 3α=，故C 不正确；对于D ，(),0,G λλ，()()1,1,0,1,1,B BG λλ=--，设()0,1,0p =⊥平面11BCC B ，设直线BG 与平面11BCC B 所成角为θ，π0,2θ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以sin cos ,BG pBG p BG p θ⋅===⋅==，因为sin ,tan y x y x ==在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当sin θ取得最大值时，tan θ取得最大值，当1=2λ时，()max sin 3θ==，此时cos 3θ=，所以()max2tan 2θ=，所以D 正确故选：ABD .三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,2a = ，(1,)b λ=- ，若a b ⊥ ，则λ=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据向量的垂直的坐标表示求解即可.【详解】解：因为a b ⊥ ，(1,2)a = ，()1,b λ=- ，所以120a b λ⋅=-+=，解得12λ=.故答案为：12.14.中岳嵩山是著名的旅游胜地，天气预报6月30日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，利用计算机进行模拟试验，产生09 之间的整数随机数，假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨，6,7,8,9表示当天不下雨，每4个随机数为一组，产生如下20组随机数：95339522001874720018387958693181789026928280842539908460798024365987388207538935据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为__________.【答案】0.4##25【解析】【分析】求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3181，8425，2436，0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为80.420=.故答案为：0.415.已知三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且21,22AC AB b ab c ⋅=-= ，则a b +的取值范围是__________.【答案】(]2,4【解析】【分析】由数量积定义、余弦定理结合已知式可得224a b ab +-=，由基本不等式求解即可.【详解】21cos cos 2AC AB AC AB A bc A b ab ⋅=⋅==- ，由余弦定理可得：222cos 2b c a A bc+-=，所以224cos 2b a bc A +-=，所以2224122b a b ab +-=-，所以224a b ab +-=，所以()()()()2222223143=44a b ab a b ab a b a b a b =+-=+-≥+-++，所以()216a b +≤，又因为2a b c +>=，所以24a b <+≤，所以a b +的取值范围是(]2,4.故答案为：(]2,416.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙），若勒洛四面体ABCD 能够容纳的最大球的表面积为25π，则正四面体ABCD 的棱长为______.【答案】4+4+【解析】【分析】设出棱长，先根据正四面体的性质求出外接球半径，再由四面体能够容纳的最大球的半径建立方程求解即可.【详解】设正四面体ABCD 的棱长为a ，根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，点E 为该球与勒洛四面体的一个切点，O 为该球球心，由正四面体的性质可知该球球心O 为正四面体ABCD 的中心，即O 为正四面体ABCD 外接球的球心（内切球的球心），则BO 为正四面体ABCD 的外接球的半径，勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为OE ，连接BE ，则,,B O E 三点共线，此时BE a =，由题意24π25πOE ⨯=，所以25OE =，所以52BO a OE a =-=-，如图：记M 为BCD △的中心，连接,BM AM ，由正四面体的性质可知O 在AM 上.因为AB a =，所以233BM a ==，则3AM ==，因为2222()BO BM OM AM OM =+=-，即22223633BO a OM OM ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4BO a =，所以542a a =-，解得4a =+，即正四面体ABCD 的棱长为4+故答案为：4+【点睛】方法点睛：求解几何体外接球的半径的解题思路：一是根据球的截面的性质，利用球的半径R 、截面圆的半径r 及球心到截面圆的距离三者的关系222R r d =+求解，其中确定球心的位置是关键；二是将几何体补形成长方体，利用该几何体与长方体共有的外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.某校高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本.（1）求抽取男生､女生的人数；（2）观测样本的指标值（单位：cm ），计算得到男生样本的均值为170，方差为14，女生样本的均值为160，方差为34，求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差.【答案】（1）30；20（2）方差为46，身高方差为46【解析】【分析】（1）根据分层抽样的概念及计算方法，即可求解；（2）记男生身高的均值记为x ，方差记为2x s ；女生身高的均值记为y ，方差记为2y s ，得到总样本的均值为166z =，结合222221{30[()]20[()]}50x y s s x z s y z =⋅⨯+-+⨯+-，即可求解.【小问1详解】解：由题意，高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本，所以抽取男生人数为60050301000⨯=，女生人数为40050201000⨯=.【小问2详解】解：记男生身高为1230,,,x x x ⋯，其均值记为x ，方差记为2x s ；女生身高为1220,,,y y y ⋯，其均值记为y ，方差记为2y s ，把总样本数据的均值记为z ，方差记为2s ，所以总样本的均值为30203017020160166505050z x y ⨯+⨯=+==，总样本的方差为222221{30[()]20[()]}50x y s s x z s y z =⋅⨯+-+⨯+-221{30[14(170166)]20[34(160166)]}4650=⋅⨯+-+⨯+-=，所以总样本的方差为46，据此估计高一年级学生身高的总体方差为46.18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，,AB CD AD CD ⊥∥，122CD AD AA AB ====，点E 为1AA 的中点.（1）求证：1CD 平面BDE ；（2）设F 是直线1CD 上的动点，求三棱锥F BDE -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）23.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定即可证明；（2）利用等体积法求解即可.【小问1详解】如图所示，分别取1,DD CD 的中点,M N ，连接,,MN EM BN ，由题意得，EM AD 且EM AD =，BN AD ∥且BN AD =，所以EM BN ∥且=EM BN ，所以四边形EMNB 是平行四边形，所以EB MN ∥，又因为1∥MN CD ，所以1EB CD ∥，又因为1CD ⊄平面,BDE EB ⊂平面BDE ，所以1CD 平面BDE .【小问2详解】由（1）1CD 平面BDE ，所以1CD 上任意一点F 到平面BDE 的距离都相等，所以11F BDE D BDE B EDD V V V ---==，由题意1,DD CD AD CD ⊥⊥，又1= DD AD D ，1,DD AD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又AB CD ，所以AB ⊥平面11ADD A ，即AB ⊥平面1EDD ，因为111122222EDD S DD AD =⋅=⨯⨯= ，所以1111221333B EDD EDD V S AB -=⋅=⨯⨯= ，所以三棱锥F BDE -的体积为23.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成45 角的两条数轴，12,e e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量.若向量12OP p xe ye ==+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量p 在斜坐标系xOy 中的坐标.设向量,a b 在斜坐标系xOy中的坐标分别为((3,,.（1）求a b ⋅；（2）求向量a在向量b上的投影向量在斜坐标系xOy 中的坐标.【答案】（1）3（2）3,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题可知：1212123,,2a eb e e e ==+⋅=，再利用数量积的运算律求解即可；（2）利用向量a 在向量b 上的投影向量为1223332cos 555||b a b a b b e b b θ⋅===+求解即可.【小问1详解】由题可知：1212123,,1122a eb e e e =-=+⋅=⨯⨯=，则()()22121211223323232a b e e e e e ⋅=-⋅+=+⋅-=+-=.【小问2详解】b ==== 记a与b的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影向量为()12233cos 555||b a b a b e b b θ⎛⎫⋅===+⎪⎝⎭，所以向量a在向量b上的投影向量在斜坐标系xOy 中的坐标为332,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.20.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p ，乙发球时甲得分的概率为25，各球的结果相互独立.已知在某局双方10:10平后，甲先发球.（1）若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为715，求p 的值；（2）在（1）的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率.【答案】（1）p 的值为23（2）32225【解析】【分析】（1）根据题意得到事件的可能情况进而列出方程求解；（2）根据题意分析知所对应的事件为前两球甲乙各得1分、后两球均为甲得分，根据题意的先后手情况，列出式子求解即可.【小问1详解】由题意可知，甲先发球，两人又打了2个球该局比赛结束，所对应的事件为A =“甲连赢两球或乙连赢两球”，所以()()227115515P A p p ⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪⎝⎭，解得23p =，即p 的值为23【小问2详解】由题意可知，若两人又打了4个球且甲获胜，所对应的事件为B =“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，因为甲发球时甲得分的概率为23，乙得分的概率为21133-=，乙发球时甲得分的概率为25，乙得分的概率为23155-=，所以()23122232353535225P B ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭21.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2sin sin 353,cos sin 412b A B A a C ⋅⋅==⋅.（1）求cos B ；（2）若ABCD 为AC 的中点，求线段BD 的长.【答案】（1）8（2）3【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，得出,b c的关系，再根据cos 12A =得出,a c 的关系，再利用余弦定理即可得解；（2）先根据三角形的面积公式求出,,a b c ，再向量化即可得解.【小问1详解】由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可得22222sin sin 3sin 4b A B ab b a C ac c ⋅⋅===⋅，即32b c =，又因为222227534cos 212c a b c a A bc -+-===，得2a c =，所以222234cos 28c a c b B ac +-==；【小问2详解】由（1）可知cos 8B =，由()0,πB ∈，得46sin 8B ==，所以21sin 216ABC S ac B c === ，得4,c a b ===，又因为1(),cos 62BD BA BC BA BC BA BC ABC =+⋅=⋅⋅∠=，所以3BD === ，即线段BD 的长为3.22.三棱锥D ABC -中，底面ABC 为正三角形，CD ⊥平面ABC ，E 为棱BC 的中点，且CDACλ=（λ为正常数）.（1）若2λ=，求二面角C AE D --的大小；（2）记直线AC 和平面ADE 所成角为α，试用常数λ表示sin α的值，并求α的取值范围.【答案】（1）π3（2）sin α=；π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先证明⊥AE 平面BCD ，从而可得二面角C AE D --的平面角是CED ∠，求解即可；（2）在平面BCD 内作CH DE ⊥，连接AH ，先证明CH ⊥平面ADE ，从而可得直线AC 和平面ADE 所成的角CAH α∠=，进而可得sin α=，求得10sin 2α<<，从而可求解.【小问1详解】底面ABC 为正三角形，E 为棱BC 的中点，所以BC AE ⊥，因为CD ⊥平面,ABC AE ⊂平面ABC ，所以CD AE ⊥，又因为,BC CD ⊂平面,BCD BC CD C ⋂=，所以⊥AE 平面BCD 又DE ⊂平面BCD ，所以DE AE ⊥，所以二面角C AE D --的平面角是CED ∠，而tan 212CD CD CED CE AC ∠λ====π02CED ∠<<，所以π3CED ∠=.故二面角C AE D --的大小为π3.【小问2详解】在平面BCD 内作CH DE ⊥，连接AH ，由⊥AE 平面,BCD AE ⊂平面ADE ，所以平面BCD ⊥平面ADE ，又平面BCD 平面=ADE DE ，CH ⊂平面BCD ，所以CH ⊥平面ADE ，所以直线AC 和平面ADE 所成的角CAH α∠=，在DCE △中，根据等面积法可得CE CD CH DE⋅=，所以12sin AC AC CH CE CD AC AC DE λα⋅⋅===⋅因为0λ>，所以2144λ+>2>，所以102<<即10sin 2α<<，因为π02α<<，所以π06α<<，所以直线AC 和平面ADE 所成角α的取值范围为π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2022-2023学年河南省天一大联考高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足i •z ＝4﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．2√3B ．2√5C ．4D ．52．一组数据a ，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ） A ．6.5B ．7C ．7.5D ．83．已知向量a →=(2，4)，b →=(2，λ)，若(a →+2b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣24．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列结论： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；②若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α；③若l ∥β，l ⊂α，则β∥α；④若α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行． 则下列说法正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可知(√22+√22i)4=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i6．某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（ ）A ．14√33π B ．26√33π C ．263π D ．523π7．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为35，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）A ．727B ．925C ．36125D ．811258．在△ABC 中，AB ＝2，cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，P 为△ABC 所在平面内的动点，且P A＝1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112] C ．[3−2√3，3+2√3] D ．[3−√3，3+√3]二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知z 1，z 2为复数，则下列说法正确的是（ ） A ．若z 1=z 2，则z 1=z 2B ．若z 1+z 2∈R ，则z 1与z 2的虚部相等C ．若z 1z 2＝0，则z 1＝0或z 2＝0D ．若z 12+z 22=0，则z 1＝z 2＝010．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．图中x ＝0.1B ．估计样本数据的第60百分位数约为85C ．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5D ．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取10人11．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a →，b →满足AB →=2a →，BC →=b →−2a →，则（ ） A ．|b →|=2B ．a →⋅b →=2C ．a →在b →上的投影向量的模为√2D ．(b →−4a →)⊥b →12．如图，已知点P 在圆柱O 1O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，A 1A ，B 1B 为圆柱的两条母线，且A 1A ＝3，OA ＝1，∠BOP ＝60°，则（ ）A ．PB ⊥平面A 1APB ．直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√32C ．直线A 1P 与直线AB 所成的角的余弦值为√34D ．点A 到平面A 1BP 的距离为32三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，一个水平放置的△ABO 的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若B ′A ′＝B ′O ′＝1，则原三角形ABO 的面积为 ．14．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是 ．15．在△ABC 中，点D 满足DC →=2AD →，若线段BD 上的一点P 满足AP →=xAB →+yAC →(x ＞0，y ＞0)，则y ﹣x 的取值范围是 ．16．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设AB ＝a ，则该模型中5个球的表面积之和为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝m +（4﹣m 2）i （m 为正实数），且z +5i ∈R ． （1）求z ；（2）若z 1=z(a +i)在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，△ABF 是等边三角形，EF ∥AD ，且EF =12AD =2，M ，N 分别是AD ，CB 的中点． （1）证明：平面NMF ∥平面ECD ；（2）若平面ABF ⊥平面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的体积．19．（12分）根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数（API ）不大于100时，空气质量为优良．某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x ，y ，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110． （1）若x ＜y ，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率； （2）若90＜x ＜150，求这5天空气污染指数的方差的最小值． 20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a−b+c c=b a+b−c．（1）求A ；（2）若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．21．（12分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部分是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的52倍．（1）若AB ＝6dm ，OO 1＝5dm ，求玻璃罩的容积是多少升（玻璃厚度不计）；（2）若P A 1＝4dm ，当PO 1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？22．（12分）某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人，分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将评分分成6组：[0，10），[10，20），⋯，[50，60]，得到A餐厅评分的频率分布直方图，以及B餐厅评分的频数分布表如下：B餐厅评分的频数分布表根据学生对餐厅的评分定义学生对餐厅的“满意度指数”如下：（1）在调查的200名学生中，求对A餐厅的满意度指数为2的人数；（2）从该大学再随机抽取1名在A，B餐厅都用过餐的学生进行调查，用样本中不同的满意度指数的频率估计这名学生对应的满意度指数的概率，假设他对A，B餐厅的评分互不影响，求他对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低的概率．2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足i •z ＝4﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．2√3 B ．2√5C ．4D ．5解：z =4−2ii=−2−4i ，所以|z|=√(−2)2+(−4)2=2√5． 故选：B ．2．一组数据a ，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ） A ．6.5 B ．7C ．7.5D ．8解：由题意得a+5+6+7+7+8+11+128=8，解得a ＝8，故这组数据的中位数为7+82=7.5．故选：C ．3．已知向量a →=(2，4)，b →=(2，λ)，若(a →+2b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2解：因为a →=(2，4)，b →=(2，λ)，所以a →+2b →=(6，2λ+4)，2a →+b →=(6，λ+8)，又(a →+2b →)∥(2a →+b →)，∴6×（λ+8）﹣（2λ+4）×6＝0，解得λ＝4． 故选：A ．4．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列结论： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；②若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α；③若l ∥β，l ⊂α，则β∥α；④若α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行． 则下列说法正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③解：对于①，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以①正确； 对于②，若m ⊥β，α⊥β，则m ⊂α或m ∥α，所以②错误； 对于③，由l ∥β，得β∥α或β与α相交，故③错误；对于④，α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行，故④正确． 故选：C ．5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可知(√22+√22i)4=（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i解：由题意可知，(√22+√22i)4=(cos π4+isin π4)4=(e π4i )4=e πi =cosπ+isinπ=−1．故选：A ．6．某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（ ）A ．14√33π B ．26√33π C ．263π D ．523π解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ， 则2πr =12×2π×2，2πR =12×2π×6， 所以r ＝1，R ＝3，且圆台的母线长为6﹣2＝4， 则圆台的高为ℎ=√42−(3−1)2=2√3，所以圆台的体积为V =13(π⋅12+π⋅32+√π⋅12⋅π⋅32)×2√3=26√33π． 故选：B ．7．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为35，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）A ．727B ．925C ．36125D ．81125解：甲班最终获胜有三种情况： ①甲班前两场获胜；②甲班第1场和第3场获胜，第2场输； ③甲班第1场输，第2场和第3场获胜．故甲班最终获胜的概率为(35)2+35×(1−35)×35+(1−35)×(35)2=81125．故选：D ．8．在△ABC 中，AB ＝2，cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，P 为△ABC 所在平面内的动点，且P A ＝1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[3−2√3，3+2√3]D ．[3−√3，3+√3]解：∵A ，B ，C ∈（0，π），∴A ﹣B ∈（﹣π，π），B ﹣C ∈（﹣π，π），C ﹣A ∈（﹣π，π），可得cos （A ﹣B ）∈（﹣1，1]，cos （B ﹣C ）∈（﹣1，1]，cos （C ﹣A ）∈（﹣1，1]， 若cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，则cos （A ﹣B ）＝1，cos （B ﹣C ）＝1，cos （C ﹣A ）＝1， 可得A ﹣B ＝0，B ﹣C ＝0，C ﹣A ＝0， 所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是等边三角形． 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AB ＝2，∴B （2，0），C(1，√3)．由题意设P （cos θ，sin θ）（0≤θ＜2π），则PB →=(2−cosθ，−sinθ)，PC →=(1−cosθ，√3−sinθ)，∴PB →⋅PC →=(2−cosθ)(1−cosθ)−sinθ(√3−sinθ)=3−2√3cos(θ−π6)． 因为cos(π6−θ)∈[−1，1]，所以3−2√3cos(θ−π6)∈[3−2√3，3+2√3]． 故选：C ．二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（）A．若z1=z2，则z1=z2B．若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部相等C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若z12+z22=0，则z1＝z2＝0解：对于A，若z1=z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1=z2，故A正确；对于B，若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部互为相反数，故B错误；对于C，若z1z2＝0，则|z1z2|＝|z1|•|z2|＝0，所以|z1|＝0或|z2|＝0，可得z1＝0或z2＝0，故C正确；对于D，取z1＝1，z2＝i，可得z12+z22=1−1=0，故D错误．故选：AC．10．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．图中x＝0.1B．估计样本数据的第60百分位数约为85C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5D．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取10人解：对于A，由图知10×（x+0.015+0.02+0.03+0.025）＝1，解得x＝0.01，A错误；对于B，成绩在[50，80）内对应的频率为0.1+0.15+0.2＝0.45＜0.6，成绩在[50，90）内对应的频率为0.1+0.15+0.2+0.3＝0.75＞0.6，因此第60百分位数m位于区间[80，90）内，m=80+0.6−0.450.3×(90−80)=85，所以估计样本数据的第60百分位数约为85，B正确；对于C，平均数约为x=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5，C正确；对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为0.1：0.15：0.2＝2：3：4，则应选取成绩在[60，70）内的学生人数为30×32+3+4=10，D 正确． 故选：BCD ．11．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a →，b →满足AB →=2a →，BC →=b →−2a →，则（ ） A ．|b →|=2B ．a →⋅b →=2C ．a →在b →上的投影向量的模为√2D ．(b →−4a →)⊥b →解：对于A ，由已知可得b →=2a →+BC →=AB →+BC →=AC →， 在正方形ABCD 中可得|AC →|=2√2，故A 错误；对于B ，a →⋅b →=12AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|cos45°=12×2×2√2×√22=2，故B 正确；对于C ，a →在b →上的投影向量的模为|a →⋅b →||b →|=2√2=√22，故C 错误；对于D ，(b →−4a →)⋅b →=b →2−4a →⋅b →=0， 又b →−4a →与b →均不是零向量， 所以(b →−4a →)⊥b →，故D 正确． 故选：BD ．12．如图，已知点P 在圆柱O 1O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，A 1A ，B 1B 为圆柱的两条母线，且A 1A ＝3，OA ＝1，∠BOP ＝60°，则（ ）A ．PB ⊥平面A 1APB ．直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√32C ．直线A 1P 与直线AB 所成的角的余弦值为√34D ．点A 到平面A 1BP 的距离为32解：对于A ，由已知得AA 1⊥平面ABP ，PB ⊂平面APB ，所以AA 1⊥PB ， 又因为AB 是底面圆的直径，P 在圆周上且异于A 、B 两点，所以BP ⊥AP ， 又A 1A ∩AP ＝A ，AA 1、AP ⊂平面A 1AP ，所以PB ⊥平面A 1AP ，故A 正确； 对于B ，因为AA 1⊥平面ABP ，所以直线A 1P 与平面ABP 所成的角为∠A 1P A ， 因为∠BOP ＝60°，则∠PAO =12∠BOP =12×60°=30°， 所以PB =12AB =12×2=1，PA =√AB 2−PB 2=√22−12=√3，AA 1＝3，故tan ∠APA 1=AA 1AP =33=√3，故直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√3，故B 错误； 对于C ，连接B 1P ，因为AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1，故四边形AA 1B 1B 为平行四边形， 所以AB ∥A 1B 1，所以直线A 1P 与直线AB 所成的角为∠B 1A 1P 或其补角， 在△A 1B 1P 中，A 1P =√AP 2+A 1A 2=√(√3)2+32=2√3， B 1P =√BP 2+B 1B 2=√12+32=√10，所以cos ∠B 1A 1P =A 1B 12+A 1P 2−B 1P 22A 1B 1⋅A 1P =22+(2√3)2−(√10)22×2×2√3=√34，故C 正确； 对于D ，设点A 到平面A 1PB 的距离为h ， 则V A−A 1PB =V A 1−APB ，即13⋅S △A 1PB ⋅ℎ=13⋅S △APB ⋅AA 1，又S △APB =12AP ⋅BP =12×√3×1=√32，S △A 1PB =12A 1P ⋅PB =12×2√3×1=√3， 所以13×√3×ℎ=13×√32×3，解得ℎ=32，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，一个水平放置的△ABO 的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若B ′A ′＝B ′O ′＝1，则原三角形ABO 的面积为 √2 ．解：根据题意可得O ′A ′=√2， 在△ABO 中，OB ＝O ′B ′＝1， OA =2O ′A ′=2√2， 所以△ABO 的面积为S =12×1×2√2=√2 故答案为：√2．14．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是310．解：总的样本点的个数为A 52=20，事件“他们加入的都是球类运动社团”包含的样本点有A 32=6个，故所求概率为620=310．故答案为：310．15．在△ABC 中，点D 满足DC →=2AD →，若线段BD 上的一点P 满足AP →=xAB →+yAC →(x ＞0，y ＞0)，则y ﹣x 的取值范围是 (−1，13) ．解：∵DC →=2AD →，∴AC →=3AD →，∴AP →=xAB →+3yAD →． ∵B ，P ，D 三点共线，∴x +3y ＝1，∵x ＞0，∴y =13(1−x)＜13，∴0＜y ＜13， ∴y −x =y −(1−3y)=4y −1∈(−1，13)．故答案为：(−1，13)．16．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设AB ＝a ，则该模型中5个球的表面积之和为π3a 2 ．解：如图所示，设O 为大球的球心，大球的半径为R ，大正四面体的底面中心为E ，棱长为a ，高为h ，CD 的中点为F ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，BF ， 则BE =23BF =√33a ，正四面体的高ℎ=AE =√AB 2−BE 2=√63a ， 因为V 正四面体＝4V O ﹣ABC ，所以13×S △ABC ℎ=4×13×S △ABC ×R ，所以R =14ℎ=√612a ，设小球的半径为r ，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高ℎ小=ℎ−2R =√66a ，所以r =14ℎ小=√624a =R2，故该模型中5个球的表面积之和为4πR 2+4×4πr 2=8πR 2=8π×6144a 2=π3a 2． 故答案为：π3a 2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝m +（4﹣m 2）i （m 为正实数），且z +5i ∈R ． （1）求z ；（2）若z 1=z(a +i)在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围． 解：（1）由z +5i ＝m +（9﹣m 2）i 为实数，可得9﹣m 2＝0， 解得m ＝±3，因为m ＞0，所以m ＝3， 所以z ＝3﹣5i ；（2）由（1）可知z =3+5i ，所以z 1=z(a +i)=(3+5i)(a +i)=(3a −5)+(5a +3)i ， 因为z 1在复平面内对应的点在第二象限， 所以{3a −5＜05a +3＞0，解得−35＜a ＜53，故实数a 的取值范围为(−35，53)．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，△ABF 是等边三角形，EF ∥AD ，且EF =12AD =2，M ，N 分别是AD ，CB 的中点． （1）证明：平面NMF ∥平面ECD ；（2）若平面ABF ⊥平面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的体积．解：（1）证明：因为EF ∥AD ，EF =12AD =2，M 是AD 的中点， 所以EF ∥DM ，且EF ＝DM ， 所以四边形DEFM 是平行四边形， 从而MF ∥DE ．因为MF ⊄平面ECD ，DE ⊂平面ECD ， 所以MF ∥平面ECD ． 同理NF ∥平面ECD ， 又MF ∩NF ＝F ，所以平面NMF ∥平面ECD ．（2）设AB 的中点为H ，连接FH ，则FH ⊥AB ．因为平面ABF ⊥平面ABCD ， 平面ABF ∩平面ABCD ＝AB ， FH ⊂平面ABF ， 所以FH ⊥平面ABCD ，因为EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ，所以E 到平面ABCD 的距离为FH =2√3， 所以V E−ABCD =13×(4×4)×2√3=32√33． 19．（12分）根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数（API ）不大于100时，空气质量为优良．某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x ，y ，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110． （1）若x ＜y ，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率； （2）若90＜x ＜150，求这5天空气污染指数的方差的最小值． 解：（1）由题意知15(90+110+x +y +150)=110，则x +y ＝200．因为x ＜y ，所以x ＜100＜y ．从这5天中任选2天，所有的结果为：（90，110），（90，x ），（90，y ），（90，150），（110，x ），（110，y ），（110，150），（x ，y ），（x ，150），（y ，150），共10种， 这2天的空气质量均为优良的结果为（90，x ），只有1种， 故所求的概率为P =110． （2）方差s 2=15×[(90−110)2+(110−110)2+(x −110)2+(y −110)2+(150−110)2] =15[2000+(x −110)2+(90−x)2]=25(x −100)2+440，因为90＜x ＜150，所以当x ＝100时，s 2的值最小，最小值为440． 20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a−b+c c=b a+b−c．（1）求A ； （2）若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形． 解：（1）∵a−b+c c=b a+b−c，∴bc ＝b 2+c 2﹣a 2，由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12， 又0＜A ＜π，∴A =π3； （2）证明：∵b −c =√33a ， 由正弦定理得sinB −sinC =√33sinA =12，∴sinB −sin(2π3−B)=sinB −√32cosB −12sinB =12sinB −√32cosB =sin(B −π3)=12， ∵B ∈(0，2π3)， ∴B −π3∈(−π3，π3)， ∴B −π3=π6，即B =π2， 故△ABC 是直角三角形．21．（12分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部分是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的52倍．（1）若AB ＝6dm ，OO 1＝5dm ，求玻璃罩的容积是多少升（玻璃厚度不计）；（2）若P A 1＝4dm ，当PO 1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？解：（1）（1）∵OO 1＝5dm ，∴PO 1＝2dm ．∴玻璃罩的容积V =13×62×2+62×5=24+180=204(dm 3)=204(L)． （2）连接A 1O 1，设PO 1＝xdm （0＜x ＜4），则O 1O =52xdm ，A 1O 1=√16−x 2dm ，A 1B 1=√2√16−x 2dm ， ∴正四棱柱的侧面积S =4⋅52x ⋅√2√16−x 2=10√2√(16−x 2)x 2．∵S ≤10√2×x 2+16−x 22=80√2，当且仅当x =√16−x 2，即x =2√2时，取等号．∴当PO 1=2√2dm 时，正四棱柱侧面积最大，最大为80√2dm 2．22．（12分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人，分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将评分分成6组：[0，10），[10，20），⋯，[50，60]，得到A 餐厅评分的频率分布直方图，以及B 餐厅评分的频数分布表如下： B 餐厅评分的频数分布表根据学生对餐厅的评分定义学生对餐厅的“满意度指数”如下：（1）在调查的200名学生中，求对A 餐厅的满意度指数为2的人数；（2）从该大学再随机抽取1名在A，B餐厅都用过餐的学生进行调查，用样本中不同的满意度指数的频率估计这名学生对应的满意度指数的概率，假设他对A，B餐厅的评分互不影响，求他对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低的概率．解：（1）学生对A餐厅的评分在[30，50）的频率为（0.02+0.02）×10＝0.4，即学生对A餐厅的满意度指数为2的频率为0.4，所以对A餐厅的满意度指数为2的人数为200×0.4＝80；（2）设“对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低”为事件M，记“对A餐厅的满意度指数为1”为事件A1，“对A餐厅的满意度指数为2”为事件A2，“对B餐厅的满意度指数为2”为事件B2，“对B餐厅的满意度指数为3”为事件B3，则P（A1）＝（0.003+0.005+0.012）×10＝0.2，P（A2）＝0.4，P(B2)=30+80200=0.55，P(B3)=70200=0.35，所以P（M）＝P（A1B2+A1B3+A2B3）＝P（A1）P（B2）+P（A1）P（B3）+P（A2）P（B3）＝0.2×0.55+0.2×0.35+0.4×0.35＝0.32．。
河南省2022-学年高一数学下学期期末考试试题
河南省回民中学2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题第I 卷〔选择题〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分. 在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项. 1．函数()112-++=x x x f 的定义域是〔 〕 A ．()()+∞∞-,11, B ．[)+∞-,2 C ． [)()+∞-,11,2 D ．()∞+，1 2．设3.0log ,4,3.043.04===c b a ，那么c b a ,,的大小关系为〔 〕 A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．b a c << 3．直线013=-+y x 的倾斜角为〔 〕A ． 060 B ． 030 C ． 0120 D ． 0150 4．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 平面ABC 。
假设2,11====BC AA AC AB ，那么异面直线C A 1与11C B 所成的角为A ．030 B ．045 C ．060 D ．0905．函数()x a x f =〔a ＞0且1≠a 〕在()2,0内的值域是()2,1a ，那么函数()x f y =的图像大致是 〔 〕6．过点()3,1-且垂直于直线052=+-y x 的直线方程为〔 〕A ．072=--y xB ．012=++y xC ．072=+-y xD ．012=-+y x 7．设βα,是两个不同的平面，m l ,是两条不同的直线，且βα⊂⊂m l ,〔 〕 A ．假设β⊥l ，那么βα⊥ B ．假设βα⊥，那么m l ⊥ C ．假设l ∥β，那么α∥β D ．假设α∥β，那么l ∥m8．假设直线03=++a y x 过圆04222=-++y x y x 的圆心，那么实数a 的值为〔 〕 A ．1- B ．1 C ．3 D ．3-9．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面， 点D 是侧面C C BB 11的中心，那么AD 与平面ABC 所成角的大小是〔 〕A ． 030B ．045C ．060D ．090 10．函数4)1()(22--=x x x f 的零点个数是〔 〕 A.1 B.2 C. 3 D.411．对任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是〔 〕 A ．相离 B ．相切 C ．相交且直线过圆心 D ．相交但直线不过圆心 12．圆1C ：()()11122=++-y x ，圆2C ：()()95422=-+-y x ，点N M ,分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，那么PM PN -的最大值是〔 〕A ．452+B ．9C ．7D ．252+第II 卷〔非选择题〕二、填空题：此题共4小题，每题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。
2022-2023学年河南省南阳市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数z =3+4i1−2i，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2√3C ．√5D ．√102．已知△ABC 的边AC 上有一点D ，且满足CD →=3DA →，则BD →=（ ） A ．﹣2BC →+3BA →B ．23BC →+13BA →C ．34BC →+14BA →D ．14BC →+34BA →3．利用斜二测画法画出平面四边形ABCD 的直观图是一个底角为45°的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，其中A ′B ′∥C ′D ′且A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ＝2B ．A ′D ′=2√2C ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3 D ．四边形ABCD 的面积为6√2 4．已知a =sin 32，b =cos 32，c =tan 32，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠HBG ＝α，∠FBG ＝β，则β+α＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π26．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√33D ．√637．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝60°且△ABC 的面积为√3，若c +a ＝6，则b ＝（ ） A ．2√6B ．5C ．2√7D ．√308．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ）A ．45B ．35C ．25D ．15二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知不重合的两条直线m ，n 和不重合的两个平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β10．已知复数z 1满足z 1=1+ii ，z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点，则（ ） A ．z 1的共轭复数为1﹣iB ．当x ＝0时，z 2为纯虚数C ．若OZ 1→∥OZ 2→，则x +y ＝0D ．若OZ 1→⊥OZ 2→，则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1＝AB ＝2．下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”B ．四面体A 1ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1体积最大值为23D ．四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”12．已知函数f n (x)=sin n x +cos n x ，(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ） A ．f 1（x ）在区间[−π3，π4]上单调递增B ．若f 1(x)=√22，则f 3(x)=3√28C ．f 4（x ）的最小正周期为π2D ．f 4（x ）的图象可以由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点P （1，3），则2sinθsinθ+cosθ= ．14．设向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1），若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则实数λ＝ ．15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．16．如图所示，有一块三角形的空地，∠ABC =7π12，BC ＝4√2千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝ ；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使∠DBE =π6，则BD +BE 的最小值为 千米．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）在①z +z =−8，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．已知复数z ＝（m 2﹣2m ﹣3）+（m 2﹣3m ﹣4）i （i 为虚数单位），若____，求实数m 的值． （2）已知x ＝1﹣i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求a ，b 的值． 18．（12分）已知a →，b →是同一平面内的两个向量，其中a →=(1，2)，b →=(λ，1)． （1）当λ＝1时，求a →与b →的夹角的余弦值； （2）若a →+2b →与2a →−2b →共线，求实数λ的值．19．（12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO =√2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 是AB ̂的中点，点D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面P AC ； （2）求二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值．20．（12分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →． （1）求角A 的值；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．21．（12分）如图是一个以△A 1B 1C 1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC ．已知AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3．（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1？若存在，求出AO OB的值；若不存在，请说明理由；（2）若A 1B 1＝2，求几何体A 1B 1C 1﹣ABC 的体积．22．（12分）已知函数f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3．将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求函数f （x ）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间；（2）若对于∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0恒成立，求实数m 的范围．2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数z =3+4i1−2i，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2√3C ．√5D ．√10解：z =3+4i1−2i =(3+4i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−5+10i5=−1+2i ，|z |=√(−1)2+22=√5． 故选：C ．2．已知△ABC 的边AC 上有一点D ，且满足CD →=3DA →，则BD →=（ ） A ．﹣2BC →+3BA →B ．23BC →+13BA →C ．34BC →+14BA →D ．14BC →+34BA →解：由CD →=3DA →，可得CD →=34CA →，所以BD →=BC →+CD →=BC →+34CA →=BC →+34(BA →−BC →)=14BC →+34BA →． 故答案为：D ．3．利用斜二测画法画出平面四边形ABCD 的直观图是一个底角为45°的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，其中A ′B ′∥C ′D ′且A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ＝2B ．A ′D ′=2√2C ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3 D ．四边形ABCD 的面积为6√2 解：根据斜二测画法的直观图知，AB ＝A 'B '＝4，所以选项A 错误； CD ＝C 'D '＝2，A ′D ′=√12+12=√2，选项B 错误； 又AD ＝2A ′D ′＝2√2，BC =√(2√2)2+22=2√3，所以四边形ABCD 的周长为2+4+2√2+2√3=6+2√2+2√3，选项C 错误； 四边形ABCD 的面积为12×（2+4）×2√2=6√2，选项D 正确．故选：D ．4．已知a =sin 32，b =cos 32，c =tan 32，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解：因为π3＜32＜π2，所以√32=sin π3＜sin 32＜sin π2=1，即√32＜a ＜1， 12=cos π3＞cos 32＞cos π2=0，即0＜b ＜12， c =tan 32＞tan π3=√3， 所以c ＞a ＞b ． 故选：C ．5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠HBG ＝α，∠FBG ＝β，则β+α＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：不妨设正方形的边长为1，则在Rt △BGH 中，BG =3，GH =1，BH =√10，所以cosα=10sinα=10， 则在Rt △BEF 中，BE =2，EF =1，BF =√5，所以cosβ=25sinβ=15， 所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=3√102√51√10×1√5=5√50=√22， 又易知，α，β∈(0，π2)，所以α+β∈（0，π），故α+β=π4． 故选：B ．6．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√33D ．√63解：由展开图可得直观图，由正方体的性质可知HD ⊥平面ABCD ，则∠HBD 即为BH 与底面ABCD 的夹角， 设正方体的棱长为1，则BD =√12+12=√2，BH =√DH 2+BD 2=√3， 所以cos ∠HBD =BDBH =√23=√63，即BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为√63．故选：D ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝60°且△ABC 的面积为√3，若c +a ＝6，则b ＝（ ） A ．2√6B ．5C ．2√7D ．√30解：因为△ABC 的面积为√3，故12acsinB =12ac ×√32=√3，故ac ＝4，又b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ＝（a +c ）2﹣3ac ＝36﹣12＝24， 故b =2√6． 故选：A ．8．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ） A ．45B ．35C ．25D ．15解：由题意|GA →+GB →|=|GA →−GB →|， 所以(GA →+GB →)2=(GA →−GB →)2，即GA →2+GB →2+2GA →⋅GB →=GA →2+GB →2−2GA →⋅GB →， 所以GA →⋅GB →=0，所以AG ⊥BG ，又AG →=23×12(AC →+AB →)=13(AC →+AB →)，BG →=23×12(BA →+BC →)=13(BA →+BC →)，则AG →⋅BG →=19(AC →+AB →)⋅(BA →+BC →)=19(AC →⋅BA →+AC →⋅BC →+AB →⋅BA →+AB →⋅BC →)=0， 所以CA →⋅CB →=AC →⋅AB →+BA →⋅BC →+AB →2，即ab cos C ＝bc cos A +ac cos B +c 2，由cosA =b 2+c 2−a 22bc ，cosB =a 2+c 2−b 22ac ，cosC =a 2+b 2−c 22ab， 所以a 2+b 2＝5c 2，所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =25(a b +b a )≥45√a b ⋅b a =45，当且仅当a ＝b 时等号成立，又y ＝cos x 在（0，π）上单调递减，C ∈（0，π）， 所以当∠C 取最大值时，cos C =45． 故选：A ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知不重合的两条直线m ，n 和不重合的两个平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β解：对于A ，当m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，且m ，n 相交时，才有α∥β，故A 错误； 对于B ，若m ⊥α，m ⊥β，根据线面垂直的性质定理可得α∥β，故B 正确；对于C ，若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，β可绕n 旋转，此时α∥β或α与β相交，故C 错误； 对于D ，∵n ∥β，故在β中存在一条直线s ，使得n ∥s ，∴m ∥s ， 则s ⊥α，而s ⊂β，故α⊥β，故D 正确． 故选：BD ．10．已知复数z 1满足z 1=1+ii ，z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点，则（ ）A ．z 1的共轭复数为1﹣iB ．当x ＝0时，z 2为纯虚数C ．若OZ 1→∥OZ 2→，则x +y ＝0D ．若OZ 1→⊥OZ 2→，则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|解：已知复数z 1满足z 1=1+ii，则z 1＝1﹣i ， 又z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点， 则OZ 1→=(1，−1)，OZ 2→=(x ，y)，对于选项A ，z 1的共轭复数为1+i ，即选项A 错误；对于选项B ，当x ＝0，y ≠0时，z 2为纯虚数，即选项B 错误；对于选项C ，当OZ 1→∥OZ 2→时，则1×y ＝（﹣1）×x ，则x +y ＝0，即选项C 正确；对于选项D ，若OZ 1→⊥OZ 2→，则x ＝y ，则z 1+z 2＝（1+x ，x ﹣1），z 1﹣z 2＝（1﹣x ，﹣x ﹣1）， 则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|=√(1+x)2+(1−x)2，即选项D 正确． 故选：CD ．11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1＝AB ＝2．下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”B ．四面体A 1ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1体积最大值为23D ．四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”解：底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”， ∴在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，侧棱AA 1⊥平面ABC ，对A 选项，AA 1⊥BC ，又AC ⊥BC ，且AA 1∩AC ＝A ，则BC ⊥平面A 1ACC 1， ∴四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”，故A 正确；对C 选项，在底面有4＝AC 2+BC 2≥2AC •BC ，即AC •BC ≤2， 当且仅当AC =BC =√2时取等号，V B−A 1ACC 1=13S A 1ACC 1×BC =13AA 1×AC ×BC =23AC ×BC ≤43，故C 错误；对D 选项，由AC ⊥BC ，即A 1C 1⊥BC ，又A 1C 1⊥C 1C 且BC ∩C 1C ＝C ，BC ，C 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，∵BC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1C 1⊥BC 1，则△A 1BC 1为直角三角形，又由BC ⊥平面AA 1C 1C ，A 1C ⊂平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥A 1C ，则△A 1BC 为直角三角形， 由“堑堵”的定义可得△A 1C 1C 为直角三角形，△CC 1B 为直角三角形， ∴四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”，故D 正确；对B 选项，由C 知△A 1BC 为直角三角形，侧棱AA 1⊥平面ABC ，则易知△A 1AB ，△A 1AC 为直角三角形，而△ABC 为直角三角形，则外接球球心O 位于A 1B 的中点， 则外接球半径R =12A 1B =12×√22+22=√2， 则球的表面积为4πR 2=4π×(√2)2=8π，故B 正确． 故选：ABD ．12．已知函数f n (x)=sin n x +cos n x ，(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ） A ．f 1（x ）在区间[−π3，π4]上单调递增B ．若f 1(x)=√22，则f 3(x)=3√28C ．f 4（x ）的最小正周期为π2D ．f 4（x ）的图象可以由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到解：对于A ，f 1(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 因为x ∈[−π3，π4]， 所以x +π4∈[−π12，π2]，又y ＝sin x 在(−π2，π2)上递增，故正确； 对于B ，由f 1(x)=sinx +cosx =√22，则f 3(x)=(sinx +cosx)(sin 2x −sinxcosx +cos 2x)=(sinx +cosx)(1−(sinx+cosx)2−12)=√22(1−(√22)2−12)=5√28，故错误；对于C ，f 4(x)=sin 4x +cos 4x =(sin 2x +cos 2x)2−2sin 2x ⋅cos 2x =1−12（sin2x ）2=34+14cos4x ， 则T =2π4=π2，故正确；D ．由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位得到y =14sin[4(x +π8)]=14sin(4x +π2)=14cos4x ，再向上平移34个单位得到y =34+14cos4x ，故正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点P （1，3），则2sinθsinθ+cosθ=32．解：因为角θ的终边经过点P （1，3），所以tan θ＝3， 所以2sinθsinθ+cosθ=2tanθtanθ+1=2×33+1=32．故答案为：32．14．设向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1），若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则实数λ＝ ±3 ． 解：∵向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1）， ∴向量|a →|＝3√2，|b →|=√2，向量a →•b →=3﹣3＝0， 若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则（a →+λb →）•（a →−λb →）=|a →|2−λ2|b →|2=0， 即18﹣2λ2＝0， 则λ2＝9， 解得λ＝±3， 故答案为：±3，15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 √1112（只需写出一个可能的值）．解：由于三棱锥的棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，所以三角形的边长不能出现：1，1，2的情况，所以不妨三棱锥的底面为正三角形，棱长长为：2；三棱锥的高为：√22−(23×32×1)2=√113，所以三棱锥的体积为：13×√34×1×1×√113=√1112；故答案为：√1112． 16．如图所示，有一块三角形的空地，∠ABC =7π12，BC ＝4√2千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝ π6；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使∠DBE =π6，则BD +BE 的最小值为 8（√3−1） 千米．解：因为sin ∠ABC =sin 7π12=sin(π4+π3)=sin π4cos π3+cos π4sin π3=√6+√24， cos ∠ABC =cos7π12=cos(π4+π3)=cos π4cos π3−sin π3sin π4=√2−√64， 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC cos ∠ACB =8(√3+1)2， ∴AC =2√2(1+√3)， 根据正弦定理有ACsin7π12=AB sin∠ACB，可得sin ∠ACB =4×√6+√242(2+6)=12，因为0＜∠ACB ＜π2，所以，∠ACB =π6，设∠CBD ＝θ，其中0≤θ≤5π12，则∠BDC =5π6−θ，∠BEC =2π3−θ， 在△BCD 中，由正弦定理BD sinπ6=BC sin∠BDC ，可得BD =2√2sin(5π6−θ)，在△BCE 中，由正弦定理BEsinπ6=BC sin∠BEC，可得BE =2√2sin(2π3−θ)，则BD +BE =2√2(1√32sinθ+12cosθ1√32cosθ+12sinθ)=4√2(√3+1)(sinθ+cosθ)√3+4sinθcosθ，令t =sinθ+cosθ，t ∈[1，√2]，则sinθcosθ=t 2−12，则 BD +BE =f(t)=4√2(3+1)t 2t 2−(2−√3)=4√2(3+1)2t−(2−3)t， 易知分母g(t)=2t −(2−√3)t＞0，且是一个单调递增的函数， 则f （t ）是一个单调递减的函数， 当t =√2时，f （t ）有最小值，f(t)min =8(3+1)2+3=8(√3−1)．故答案为：π6；8(√3−1)．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）在①z +z =−8，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．已知复数z ＝（m 2﹣2m ﹣3）+（m 2﹣3m ﹣4）i （i 为虚数单位），若____，求实数m 的值． （2）已知x ＝1﹣i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求a ，b 的值． 解：选条件①：因为z =(m 2−2m −3)−(m 2−3m −4)i ，又z +z =−8， 所以2（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣8，解得m ＝1． 选条件②：∵z 为纯虚数，∴{m 2−2m −3=0m 2−3m −4≠0，解得m ＝3． 选条件③：∵z 为非零实数，∴{m 2−2m −3≠0m 2−3m −4=0，解得m ＝4； （2）因为x ＝1﹣i 为实系数一元二次方程：x 2+ax +b ＝0的一个根， ∴（1﹣i ）2+a （1﹣i ）+b ＝0，即a +b ﹣（2+a ）i ＝0，所以{a +b =0a +2=0，解得，a ＝﹣2，b ＝2．18．（12分）已知a →，b →是同一平面内的两个向量，其中a →=(1，2)，b →=(λ，1)． （1）当λ＝1时，求a →与b →的夹角的余弦值； （2）若a →+2b →与2a →−2b →共线，求实数λ的值． 解：（1）当λ＝1时，b →=(1，1)，又a →=(1，2)， 所以cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=1+2√2×√5=3√1010；（2）因为a →=(1，2)，b →=(λ，1)，所以a →+2b →=(1+2λ，4)，2a →−2b →=(2−2λ，2)， 又a →+2b →与2a →−2b →共线，所以（1+2λ）×2﹣4×（2﹣2λ）＝0，解得λ=12．19．（12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO =√2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 是AB ̂的中点，点D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面P AC ； （2）求二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值．解：（1）连接OC ，因为OA ＝OC ，D 为的AC 中点，所以AC ⊥OD ． 又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以PO ⊥AC ，又OD ∩PO ＝O ，PO ，OD ⊂面POD ，所以AC ⊥平面POD ， 又AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC ．（2）由（1）知AC ⊥平面POD ，OD ，PD ⊂面POD ，所以AC ⊥OD ，AC ⊥PD ，故∠PDO 是二面角B ﹣AC ﹣P 的平面角，在Rt △POD 中，PO =√2，又点C 是AB ⌢的中点，点D 为AC 的中点，所以OD =12BC =√22，故PD =√2+12=√102，所以cos ∠PDO =OD PD =√22102=√55，即二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值为√55．20．（12分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →． （1）求角A 的值；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．解：（1）∵向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →， ∴sin A （2sin B ﹣cos C ）﹣cos A sin C ＝0，即2sin A sin B ﹣sin （A +C ）＝0， 又在锐角△ABC 中，B ∈（0，π2），2sin A sin B ＝sin B ，∴sin A =12，又A ∈（0，π2），则A =π6；（2）由正弦定理得a +c ＝2R （sin A +sin C ）=2sinB（sin A +sin C ） =2sinB [12+sin （5π6−B ）]=2sinB （12+12cos B +√32sin B ） =√3+1+cosB sinB =√3+1tan B 2，∵△ABC 是锐角三角形，∴{0＜B ＜π20＜5π6−B ＜π2，解得π3＜B ＜π2， ∴π6＜B 2＜π4，则√33＜tan B 2＜1， ∴√3+1＜a +c ＜2√3， ∴3+√3＜a +b +c ＜2√3+2，故△ABC 周长的取值范围为（3+√3，2√3+2）．21．（12分）如图是一个以△A 1B 1C 1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC ．已知AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3．（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1？若存在，求出AO OB的值；若不存在，请说明理由；（2）若A 1B 1＝2，求几何体A 1B 1C 1﹣ABC 的体积．解：（1）存在，此时AO OB=1，如图，取AB 的中点O ，连接OC ，作OD ∥AA 1交A 1B 1于点D ，连接C 1D ， 则OD ∥BB 1∥CC 1，因为O 是AB 的中点，所以OD 为梯形AA 1B 1B 的中位线， 所以OD =12(BB 1+AA 1)=3=CC 1， 所以四边形ODC 1C 为平行四边形，所以OC ∥C 1D ，又C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，OC ⊄平面A 1B 1C 1，所以OC ∥平面A 1B 1C 1，即在边AB 上是存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1且AO OB=1．（2）如图在AA 1上取点D 使得A 1D ＝BB 1＝2，在CC 1上取点E 使得C 1E ＝BB 1＝2， 连接BD 、DE 、BE ，则三棱柱A 1B 1C 1﹣DBE 为正三棱柱，取DE 的中点F ，连接BF ， 取A 1C 1的中点G ，连接B 1G ，则BF ⊥DE ，B 1G ⊥A 1C 1， 又平面BDE ⊥平面ACC 1A 1，平面BDE ∩平面ACC 1A 1＝DE ， BF ⊂平面BDE ，所以BF ⊥平面ACC 1A 1，又BF =√22−12=√3，S △A 1B 1C 1=12×2×√3=√3，S ADEC =(1+2)×22=3， 所以V B−ADEC =13×3×√3=√3，V A 1B 1C 1−DBE =S △A 1B 1C 1⋅A 1D =2√3， 所以V A 1B 1C 1−ABC =V B−ADEC +V A 1B 1C 1−DBE =3√3．22．（12分）已知函数f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3．将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求函数f （x ）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间；（2）若对于∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0恒成立，求实数m 的范围．解：（1）f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3=4sinx(12cosx −√32sinx)+√3=sin2x −√3(1−cos2x)+√3=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)．因x∈[−π4，π6]，则2x+π3∈[−π6，2π3]，又y＝sin x分别在[−π6，π2]，[π2，2π3]上单调递增和递减，则2x+π3∈[π2，2π3]⇒[π12，π6]，即函数f（x）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间为[π12，π6]；（2）函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，所得解析式为2sin(2x⋅32+π3)=2sin(3x+π3)，又将所得函数图象向右平移π18个单位长度，解析式为2sin[3(x−π18)+π3]=2sin(3x+π6)，则g(x)=2sin(3x+π6)．因x∈[0，π3]，则3x+π6∈[π6，7π6]．又y＝sin x在[π6，π2]上单调递增，在[π2，7π6]上单调递减，则sin(3x+π6)∈[−12，1]，故g(x)=2sin(3x+π6)∈[−1，2]．方法1：令g（x）＝t∈[﹣1，2]，则∀x∈[0，π3]，g2(x)−mg(x)−3≤0等价于∀t∈[﹣1，2]，t2﹣mt﹣3≤0，当t＝0时，t2﹣mt﹣3≤0⇔﹣3≤0，则此时m可取任意值；当t∈（0，2]时，t2−mt−3≤0⇔m≥t−3t⇒m≥(t−3t)max，注意到函数y=x，y=−1x均在（0，2]上单调递增，则函数y=t−1t在（0，2]上单调递增，则(t−3t)max=2−32=12⇒m≥12；当t∈[﹣1，0）时，t2−mt−3≤0⇔m≤t−3t⇒m≤(t−3t)min，注意到函数y=x，y=−1x均在[﹣1，0）上单调递增，则函数y=t−1t在[﹣1，0）上单调递增，则(t−3t)min=−1−3−1=2⇒m≤2；综上可得：12≤m ≤2．所以实数m 的范围为[12，2]．方法2：令g （x ）＝t ∈[﹣1，2]， 则∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0，等价于∀t ∈[﹣1，2]，ℎ(t)=t 2−mt −3≤0⇒{ℎ(−1)≤0ℎ(2)≤0⇒{1+m −3≤04−2m −3≤0，解得12≤m ≤2．所以实数m 的范围为[12，2]．。
2022-2023学年河南省许昌市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省许昌市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知复数z 满足（1﹣i ）2z ＝2﹣4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．﹣2D ．i2．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都中靶的概率为（ ） A ．0.26B ．0.98C ．0.72D ．0.93．已知向量a →=（1，1），b →=（1，﹣1）．若（a →+λb →）⊥（a →+μb →），则（ ） A ．λ+μ＝1B ．λ+μ＝﹣1C ．λμ＝1D ．λμ＝﹣14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ） A ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ∥n ，n ⊂α，α∥β，则m ∥βD ．若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ∥n5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为37m ，在地面上点C 处（B ，C ，N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分别为30°和45°，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）A ．91mB ．74mC ．64mD ．52m6．平行四边形ABCD 中，点M 在边AB 上，AM ＝3MB ，记CA →=a →，CM →=b →，则AD →=（ ）A ．43a →−73b → B ．23b →−43a → C ．73b →−43a → D ．13a →−43b →7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）A ．平均数为3，中位数为2B ．中位数为3，众数为2C ．平均数为2，方差为2.5D ．中位数为3，方差为2.88．正四棱锥S ﹣ABCD 中，底面边长AB ＝2，侧棱SA =√5，在该四棱锥的内部有一个小球，则小球表面积的最大值为（ ） A ．4πB ．16πC ．8π3D ．4π3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题含解析
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4 C ．125- D ．1252．如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是A ．cos y x =-B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=4．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1AA 和AB 的中点，P 为上底面1111D C B A 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－32a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1B ． 3 1C ．3 2D ．3 26．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．2或-1 D ．-2或17．若两个球的半径之比为1:3，则这两球的体积之比为（ ）A ．1:3B ．1:1C ．1:27D ．1:98．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin 7A =，5a =，7b =，则sin B 等于（ ）A ．35B ．45C ．37D ．19．函数tan()42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅的值为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．710．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
河南省濮阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含答案
高中一年级学业质量监测数学（答案在最后）本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数()11iz m m =++-纯虚数，则实数m =（）.A.0 B.1- C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据纯虚数的定义列方程求m 即可.【详解】∵复数()11i z m m =++-为纯虚数，10m ∴+=，10m -≠，1m ∴=-.故选：B.2.下列说法正确的是（）A.若a b =，则a b= B.若//a b ，//b c ，则//a cC.长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量D.单位向量都相等【答案】C 【解析】【分析】根据向量的相关性质逐项分析.【详解】对于A ，若a b=，只能说明两个向量的模长相等，但是方向不确定，所以A 错误；对于B ，如果0b =，结论B 不正确；对于C ，根据平行向量的定义，C 正确；对于D ，单位向量长度相等，但是方向不确定，所以D 错误；故选：C.3.直线l 与平面α不平行，则（）A.l 与α相交B.l ⊂αC.l 与α相交或l ⊂αD.以上结论都不对【答案】C 【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系的概念，结合题意，即可得到答案.【详解】由直线与平面的位置关系概念，可得直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交三种位置关系，因为直线l 与平面α不平行，所以l 与α相交或l ⊂α.故选：C.4.在ABC 中，若45,30,3A B BC =︒=︒=，则边AC 的长为（）A.62B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理即可.【详解】因为45,30,3A B BC =︒=︒=，所以由正弦定理得：sin 3sin 30sin sin sin sin 45BC AC BC B AC A B A ⨯=⇒=== ，故选：B.5.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（）A.7.6B.7.8C.8D.8.2【答案】B 【解析】【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、8、9、9，所以平均数为678997.85++++=.故选：B6.已知ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1c a a b b c+=++，则()sin A C +的大小为（）A.2B.2C.3D.12【答案】A 【解析】【分析】由已知得222c a b ac +-=，利用余弦定理求得cos B ，得到角B ，从而由sin()sin A C B +=求出结果.【详解】c a1a b b c+=++，∴整理可得222c a b ac +-=，cos 222c a b ac 1B 2ac 2ac 2+-∴===，0πB << ，π3B ∴=，()sin()sin πsin 2A CB B +=-==∴，故选：A ．7.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p ，12，23，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为38，则p 的值为（）A.14B.13C.23D.34【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合独立事件概率的乘法公式求恰好投中两次的概率，列方程求解即可得结果.【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A ，B ，C ，则()()()12,,23P A p P B P C ===，可知恰好投中两次为事件,ABC ABC ABC ，故恰好投中两次的概率()121212113111232323368P p p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14p =．故选：A.8.点,,O G P 为ABC 所在平面内的点，且有222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，0GA GB GC ++=，()()()0PA PB AB PB PC BC PC PA CA +⋅=+⋅=+⋅= ，则点,,O G P 分别为ABC的（）A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】A 【解析】【分析】由题中向量的关系，根据数量积转化为位置上的关系，进而可判断.【详解】由2222||||||||OA BC OB CA +=+ ，得2222OA OB CA BC -=- ，即()()()()OA OB OA OB CA BC CA BC +⋅-=+⋅-，则()()OA OB BA BA CA CB +⋅=⋅+ ，得()0OA OB CA CB BA +--⋅= 所以20OC BA ⋅= ，则OC AB ⊥ ，同理可得OA BC ⊥ ，OB AC ⊥，即O 是ABC 三边上高的交点，则O 为ABC 的垂心；由0GA GB GC ++=，得GA GB GC +=- ，设AB 的中点为M ，则2G GA M GC GB ==-+，即G ，M ，C 三点共线，所以G 在ABC 的中线CM 上，同理可得G 在ABC 的其余两边的中线上，即G 是ABC 三边中线的交点，故G 为ABC 的重心；由()0PA PB AB +⋅= ，得20PM AB ⋅= ，即PM AB ⊥，又M 是AB 的中点，所以P 在AB 的垂直平分线上，同理可得，P 在BC ，AC 的垂直平分线上，即P 是ABC 三边垂直平分线的交点，故P 是ABC 的外心，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列有关复数的说法中（其中i 为虚数单位），正确的是（）A.9i i=B.复数32i z =-的虚部为2iC.若()21i z =-，则复平面内z 对应的点位于第二象限D.复数z 为实数的充要条件是z z =【答案】AD 【解析】【分析】根据复数的乘方判断A ，根据复数的定义判断B ，根据复数的几何意义判断C ，根据充要条件的定义判断D.【详解】对于A ：2941i i i ⨯+==，故A 正确；对于B ：复数32i z =-的虚部为2-，故B 错误；对于C ：()2221i 12i i 2i z =-=-+=-，所以2i z =，则复平面内z 对应的点为()0,2位于虚轴，故C 错误；对于D ：若复数z 为实数则z z =，设i z a b =+，(),R a b ∈，若z z =，即i i a b a b =+-，所以0b =，则复数z 为实数，故复数z 为实数的充要条件是z z =，故D 正确；故选：AD10.从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.A 与B 对立B.B 与C 互斥C.A 与C 互斥D.B 与C 对立【答案】BD 【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接判断作答.【详解】事件A ：三件产品都是正品，事件C ：三件产品包含一件正品两件次品，两件正品一件次品，三件正品，事件A 与B 互斥不对立，事件A 与C 不互斥，事件B 与C 互斥，又对立，所以A ，C 都不正确；B ，D 都正确.故选：BD11.下列说法中正确的有（）A.若AB 与CD是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上B.若向量()1,3a = ，()1,3a b -=--，则a b∥C.若平面上不共线的四点O ，A ，B ，C 满足320OA OB OC -+=，则2AB BC= D.若非零向量a ，b 满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角是π3【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，根据向量共线的定义，可得其正误；对于B ，利用向量共线定理，可得其正误；对于C ，根据向量减法，结合共线定理，可得其正误；对于D ，根据向量模的求解以及夹角公式，可得答案.【详解】AB 与CD是共线向量，也可能是AB CD ，故A 错误；设(),b x y = ，∵()1,3a = ，()1,3a b -=--，∴11,33,x y -=-⎧⎨-=-⎩解得2,6,x y =⎧⎨=⎩∴()2,6b = ，又∵16320⨯-⨯=，∴a b∥，故B 正确；由已知得()()220OA OB OC OB BA BC -+-=+= ，∴2AB BC =，∴2AB BC= ，故C 正确；由()22a a b =- 整理可得22b a b =⋅，设a 与a b + 的夹角是θ，则()2221322cos 2a b a a a b a a b θ+⋅+==⋅+ ，∴a 与a b + 的夹角是π6，故D 错误．故选：BC.12.已知三棱锥S ABC -中,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，则下列结论正确的是（）A.二面角S AB C --B.三棱锥S ABC -的内切球的半径为33C.E 是线段AC 上一动点，则SEB △D.Q 是三棱锥S ABC -的外接球上一动点，则点Q 到面ABC 距离的最大值为433【答案】ACD 【解析】【分析】将三棱锥S ABC -嵌套在正方体SADB CMNH -内，对于A ：可证SD AB ⊥，CO AB ⊥，结合二面角可知：二面角S AB C --的平面角为COS ∠，运算判断；对于B ：根据三棱锥内切球的半径公式3Vr S =表，运算判断；对于C ：根据正方体可证：SB SE ⊥，结合三角形面积分析可得：当E 是线段AC 的中点时，SEB △面积取到最小值，运算判断；对于D ：结合正方体可知：三棱锥S ABC -的外接球即为正方体SADB CMNH -的外接球，且SN 为外接球的直径，可证SN ⊥平面ABC ，则点Q 到面ABC 距离的最大值为NG ，运算判断．【详解】根据题意将三棱锥S ABC -嵌套在正方体SADB CMNH -内，如图所示：连接SD 交AB 于点O ，在正方体SADB 中，∴SD AB⊥∵AB AC BC ==，点O 为AB 的中点，则CO AB ⊥∴二面角S AB C --的平面角为COS ∠，则tan CSCOS SO∠==，A 正确；三棱锥S ABC -的表面积为113226222S =⨯⨯⨯+⨯=+表114222323V =⨯⨯⨯⨯=∴三棱锥S ABC -的内切球的半径为313V r S ==-表，B 错误；根据题意可知：SB ⊥平面ASCM ，则SB SE⊥∴SEB △面积为12S SB SE SE =⨯=当E 是线段AC 的中点时，SE 取到最小值∴SEB △面积的最小值为，C 正确；三棱锥S ABC -的外接球即为正方体SADB CMNH -的外接球，显然SN 为外接球的直径，设SN CO G= ∵SD AB ⊥，CO AB⊥SD CO O = ，则AB ⊥平面SDNC∴SN AB ⊥同理可证：SN AC⊥AB AC A ⋂=，则SN ⊥平面ABC点Q 到面ABC 距离的最大值为NG∵SC DN ∥且SC DN =，则CSDN 为平行四边形∴SD CN ∥，则2GN CNSG SO==∴233NG SN ==，D 正确；故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校高一(1)班有50名学生，综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，则该班“运动与健康”评价等级为A 的人数是_____【答案】19【解析】【分析】高一(1)班的总人数乘以该班“运动与健康”评价等级为A 的所占的百分比，即可得该班“运动与健康”评价等级为A 的人数．【详解】该班“运动与健康”评价等级为A 的人数是：50×38%=19人．故答案为19【点睛】本题主要考查扇形统计图的定义，其中各部分的数量=总体×其所占的百分比．14.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．下图给出了一个石瓢壶的相关数据，那么该壶的容量为______．（结果用圆周率表示）【答案】244π3##244π3【解析】【分析】利用圆台体积公式可得，也可以看成为两个圆锥体积相减.【详解】方法1：由题意知，圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为4，则222221244π(4π5π45π433V =⨯+⨯⨯⨯=.方法2：如图，设大圆锥的高为h ，则4810h h -=，解得：20h =，所以2211244ππ520π416333V =⨯⨯-⨯⨯=.故答案为：244π3.15.若{}1,3,4,6,7m ∈-，则方程240x x m ++=有实根的概率为________．【答案】35##0.6【解析】【分析】先利用判别式求出m 的范围，然后根据m 可取的值得概率.【详解】 方程240x x m ++=有实根,1640m ∴∆=-≥，解得4m ≤，又{}1,3,4,6,7m ∈-，m ∴可取的值的集合为{}1,3,4-，则方程240x x m ++=有实根的概率为35.故答案为：35.16.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，90ACB ∠= ，11BC CC ==，32AC =，P 为1BC 上的动点，则1CP PA +的最小值为________．【答案】5【解析】【分析】将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形，得四边形11AC CB ，若要1CP PA+取得最小值，当且仅当C 、P 、1A 三点共线，即可求出满足条件的P 点位置，然后应余弦定理求解.【详解】由题设可知1CC B 为等腰直角三角形，且11A C ⊥平面11BCC B ，故1190A C B ∠= ，将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形，得四边形11AC CB ，如图所示，若要1CP PA +取得最小值，当且仅当C 、P 、1A 三点共线，∵11CC =、11AC AC ==，145CC B ∠= ，1190BC A ∠= ，∴11135CC A ∠= ，∴当1CP PA +最小值时，由余弦定理得(22112cos13525A C =+-⨯= ，∴15A C =，即1CP PA +的最小值为5．故答案为：5.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数3i 2iz -=+（i 是虚数单位），z 为z 的共轭复数.（1）求复数z 的模；（2）若21i az z b ++=+（a ，b ∈R ），求a ，b 的值.【答案】（1（2）32a b =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】（1）先利用复数的运算法则化简复数，再根据复数模的定义，直接计算z 的模长即可（2）先利用复数的运算法则化简复数，再根据复数相等即可求解【小问1详解】∵3i (3i)(2i)55i 1i 2i (2i)(2i)5z ----====-++-，∴z ==【小问2详解】∵21i az z b ++=+，∴2(1i)(1i)1i-+++=+a b ∴()(2)i 1i ++-=+a b a ，∴1,21,a b a +=⎧⎨-=⎩∴3,2.a b =⎧⎨=-⎩18.仓廪实，天下安．习近平总书记强调:“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：cm ）：甲：29，31，30，32，28；乙：27，44，40，26，43．请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：（1）哪种玉米苗长得高？（2）哪种玉米苗长得齐？【答案】（1）乙种玉米苗长得高（2）甲种玉米苗长得齐【解析】【分析】（1）计算甲乙的平均数，再比较大小即可；（2）计算甲乙是的方差，比较大小即可.【小问1详解】()()11293130322815030cm 55x =⨯++++=⨯= 甲，()()11274440264318036cm 55x =⨯++++=⨯=乙，x x ∴<甲乙．∴乙种玉米苗长得高．【小问2详解】()()()()()()22222221293031303030323028302cm 5s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 甲，()()()()()()222222212736443640362636433662cm 5s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙，22s s ∴<甲乙．∴甲种玉米苗长得齐．19.已知平面向量a 、b ，若2a = ，3b =，a b -= .（1）求向量a 、b 的夹角；（2）若c a tb =+ 且c a ⊥ ，求c r.【答案】（1）2π3（2）c = 【解析】【分析】（1）在等式a b -= 两边平方，结合平面向量数量积的运算性质可求得向量a 、b 的夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围即可得解；（2）由已知可得0c a ⋅= ，利用平面向量数量积的运算性质求出t 的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得c r.【小问1详解】解：因为a b -= ，则()2222222cos ,a b a a b b a a b a b b-=-⋅+=-⋅+ 412cos ,919a b =-+= ，所以，1cos ,2a b =- ，又因为0,πa b ≤≤ ，因此，2π,3a b = ，即向量a 、b 的夹角为2π3.【小问2详解】解：因为c a tb =+ 且c a ⊥ ，则()222πcos 3c a a tb a a ta b a t a b ⋅=+⋅=+⋅=+⋅ 430t =-=，解得43t =，因此c == .20.某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【答案】（1）70.5（2）110【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分．【小问2详解】在[)80,90和[]90,100两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，记为a ，b ，c ，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有：()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=，共10种取法，其中两人得分都在[]90,100的情况只有(){}12，共有1种，所以两人得分都在[]90,100的概率为110P =．21.若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足222sin sin sin sin sin A B C B C --=.（1）求角A ；（2）若6a =，求△ABC 周长的取值范围.【答案】（1）2π3A =（2）(12,6+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得222a b c bc --=，由余弦定理即可求解，（2）根据正弦定理得b B =，由内角和关系以及和差角公式可得31cos sin 22c B B ⎫=-⎪⎪⎭，进而由三角函数的性质即可求解.【小问1详解】由正弦定理可得：222a b c bc --=，2221cos 22c b a A bc +-∴==-，()0,πA ∈ ，2π3A ∴=【小问2详解】因为πA B C ++=，2π3A =，所以π3B C +=，故ππ(0)33C B B =-<<由正弦定理得：62πsin sin sin sin 3a b c A B C ====所以b B =，π1cos sin 322c C B B B ⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以ABC周长1π6cos sin 6223a b c B B B B ⎫⎛⎫=++=++-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为π03B <<，则ππ2π<333B <+，所以πsin 123B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故π12663B ⎛⎫<++≤+ ⎪⎝⎭求ABC周长的取值范围为(12,6+.22.如图，在几何体ABCDE 中，AD ⊥面ABE ，AD BC ∥，2AD BC =，AB BE =．（1）求证：平面DCE ⊥平面DAE ；（2）AB =1，2AE =14ABCDE V =，求CE 与平面DAE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）根据线线平行证得//CN BM ，再结合线面垂直的性质定理与面面垂直的判定定理即可得证；（2）首先确定直线CE 与平面DAE 所成角的平面角为CEN ∠，再应用棱锥体积公式求52CE =、22CN =，即可得解.【小问1详解】如图，取AE DE 、的中点M 、N ，连接BM 、MN 、CN ，则知MN AD ∥，且2AD MN =，又AD BC ∥，且2AD BC =，所以MN BC ∥，且MN BC =，则四边形BMNC 为平行四边形，所以CN BM ∥．∵AB BE =，M 为AE 的中点，∴BM AE ⊥，∵AD ⊥平面ABE ，BM ⊂平面ABE ，∴BM AD ⊥．又AD AE A ⋂=，AD ⊂平面DAE ,AE ⊂平面DAE ，∴BM ⊥平面DAE从而可得CN ⊥平面DAE ，由于CN ⊂平面DCE ，所以平面DCE ⊥平面DAE ，命题得证．.【小问2详解】由（1）知，CN ⊥平面DAE 于N ，则CEN ∠为CE 与平面DAE 所成角.且在Rt CEN △中，sin CN CEN CE∠=，由1AB BE ==且2AE =AB BE ⊥，又已知AD ⊥平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，∴AD BE ⊥，∵,,AD AB A AD AB ⋂=⊂平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ，设(0)BC t t =>，则2AD t =，那么有322ABCD AD BC t S AB +=⋅=，则11324ABCDE ABCD t V S BE =⋅==，解得12t =，即有12BC =．从而易得，在Rt CBE △中，52CE =；又在Rt ABE △中，22BM =，则知22CN BM ==；∴210sin 55CN CEN CE ∠==，即CE 与平面DAE 所成角的正弦值为105．。
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河南省高一下学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高一下·葫芦岛期末) （）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）某中学高三（1）班有学生55人，现按座位号的编号采用系统抽样的方法选取5名同学参加一项活动，已知座位号为5号、16号、27号、49号的同学均被选出，则被选出的5名同学中还有一名的座位号是（）
A . 36
B . 37
C . 38
D . 39
3. （2分）已知平面上直线的方向向量，点和在直线的正射影分别是和，且，则等于（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2019高三上·广州月考) 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；
②支出最高值与支出最低值的比是6:1;
③第三季度平均收入为50万元；
④利润最高的月份是2月份.
A . ①②③
B . ②③
C . ②③④
D . ①②④
5. （2分）下列各式中，正确的是（）
A . sin（﹣）＞sin（﹣）
B . cos（﹣）＞cos（﹣）
C . cos250°＞cos260°
D . tan144°＜tan148°
6. （2分） (2017高二下·寿光期中) 设A，B为相互独立事件，下列命题中正确的是（）
A . A与B是对立事件
B . A与B是互斥事件
C . A与是相互独立事件
D . 与不相互独立
7. （2分） (2016高二上·马山期中) 函数y=|sinx|的最小正周期是（）
A .
B . π
C .
D . 2π
8. （2分） (2019高二下·深圳期中) 已知，在⊙O：上任取一点P ，则满足的概率为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2016高一下·芦溪期末) 如图，程序框图所进行的求和运算是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2018高三上·汕头期中) 已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足，则的最小值是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）(2019·黄山模拟) 谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.在一个正三角形中，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的部分，黑色三角形为剩下的部
分，我们称此三角形为谢尔宾斯基三角形.若在图（3）内随机取一点，则此点取自谢尔宾斯基三角形的概率是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2020高一下·苍南月考) 在中，内角为钝角，，，，则（）
A . 2
B . 3
C . 5
D . 10
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高二上·嘉定期中) 设数列{an}的首项a1=1且前n项和为Sn ．已知向量，
满足，则 =________．
14. （1分）(2019·成都模拟) 某单位有职工人，其年龄分布如下表：
年龄（岁）
人数709040
为了解该单位职工的身体健康状况，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本进行调查，则年龄在
内的职工应抽取的人数为________
15. （1分）若α、β∈（0，），且tanα= ，tanβ= ，则α﹣β的值是________．
16. （1分）(2019·十堰模拟) 在△ABC中，a=3，，B=2A，则cosA=________．
三、解答题 (共6题；共50分)
17. （10分） (2019高一下·海珠期末) 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
（1）列出所有可能的抽取结果；
（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。
18. （5分） (2019高二下·宝安期末) 已知 =12sin(x+ )cosx-3,x∈[o, ].
(Ⅰ)求的最大值、最小值;
(Ⅱ)CD为△ABC的内角平分线,已知AC= max,BC= ,CD=2 ,求∠C．
19. （10分） (2019高一下·扶余期末) 在中，角所对的边分别为，，
，，为的中点.
（1）求的长；
（2）求的值.
20. （5分）(2017·黑龙江模拟) 在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c．已知△ABC 的面积为，，b=3．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．
21. （15分） (2016高一下·驻马店期末) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题．
（1）从该校高三模拟考试的成绩中随机抽取一份，利用随机事件频率估计概率，求数学分数恰在[120，130）内的频率；
（2）估计本次考试的中位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
22. （5分） (2017高三下·重庆模拟) 已知函数
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）求的最小正周期与单调递增区间
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、
答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、答案：19-2、
考点：
解析：
答案：20-1、考点：
解析：
答案：21-1、答案：21-2、
答案：21-3、考点：
解析：
答案：22-1、考点：
解析：。