北京市丰台区2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷(含答解析)
2018-2019 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 8 小题）
1．如果∠A 是锐角，且 sinA＝ ，那么∠A 的度数是（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可．
D．30°
【解答】解：∵∠A 是锐角，且 sinA＝ ， ∴∠A 的度数是 30°， 故选：D． 【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值解答． 2．如图，A，B，C 是⊙O 上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC 的度数是（ ）
20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 O 为正方形 ABCD 对角线的交点，且正方形 ABCD 的边均 与某条坐标轴平行或垂直，AB＝4．
（1）如果反比例函数 y＝ 的图象经过点 A，求这个反比例函数的表达式； （2）如果反比例函数 y＝ 的图象与正方形 ABCD 有公共点，请直接写出 k 的取值范围．
8．对于不为零的两个实数 a，b，如果规定：a★b＝ （ ）
，那么函数 y＝2★x 的图象大致是
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共 8 小题）
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，那么 cosB＝ ．
10．若 2m＝3n，那么 m：n＝ ．
11．已知反比例函数 y＝ ，当 x＞0 时，y 随 x 增大而减小，则 m 的取值范围是 ． 12．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰
2 中画出大货车的危险区域． 22．如图是边长为 1 的正方形网格，△A1B1C1 的顶点均在格点上． （1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1； （2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2 和△A1B1C1 相似的依据．
23．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接 AC．过点 B 作⊙O 的切线，交 AC 的延长线于 点 D，在 AD 上取一点 E，使 AE＝AB，连接 BE，交⊙O 于点 F．
三．解答题（共 12 小题）
17．计算：sin60°﹣tan45°+2cos60° 18．函数 y＝mx2﹣2mx﹣3m 是二次函数． （1）如果该二次函数的图象与 y 轴的交点为（0，3），那么 m＝ ； （2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．
19．如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，连接 DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）如果 E 是 AC 的中点，AD＝8，AB＝10，求 AE 的长．
合函数的图象，求 a 的取值范围． 27．如图，△ABC 是等边三角形，D，E 分别是 AC，BC 边上的点，且 AD＝CE，连接 BD，AE 相交
于点 F． （1）∠BFE 的度数是 ； （2）如果 ＝ ，那么 ＝ ； （3）如果 ＝ 时，请用含 n 的式子表示 AF，BF 的数量关系，并证明．
A．y＝（x﹣4）2+1 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3 【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点
式． 【解答】解：y＝x2﹣4x+1
＝（x2﹣4x+4）+1﹣4 ＝（x﹣2）2﹣3． 所以把二次函数 y＝x2﹣4x+1 化成 y＝a（x﹣h）2+k 的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c 为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与 x 轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 4．如图，在▱ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，那么 EF 与 CF 的比是（ ）
园博园全貌．如图，在 A 处测得∠CAD＝30°，在 B 处测得∠CBD＝45°，并测得 AB＝52 米，那 么永定塔的高 CD 约是 米．（ ≈1.4， ≈1.7，结果保留整数）
13．如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么 CD 的长为 ．
16．阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题： 请利用直尺和圆规四等分 ． 小亮的作法如下： 如图， （1）连接 AB； （2）作 AB 的垂直平分线 CD 交 于点 M．交 AB 于点 T； （3）分别作线段 AT，线段 BT 的垂直平分线 EF，GH，交 于 N，P 两点； 那么 N，M，P 三点把 四等分． 老师问：“小亮的作法正确吗？” 请回备：小亮的作法 （“正确”或“不正确”）理由是 ．
28．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和⊙C，给出如下定义：若⊙C 上存在一个点 M，使得 MP＝MC，则称点 P 为⊙C 的“等径点”，已知点 D（ ， ），E（0，2 ），F（﹣2，0）．
（1）当⊙O 的半径为 1 时，
①在点 D，E，F 中，⊙O 的“等径点”是 ； ②作直线 EF，若直线 EF 上的点 T（m，n）是⊙O 的“等径点”，求 m 的取值范围． （2）过点 E 作 EG求这个
“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．
刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角 形的边长均为圆的半径 R．此时圆内接正六边形的周长为 6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于 圆的周长，可得圆周率为 3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为 ．（参考数据：sinl5°＝0.26）
利＝单株售价﹣单株成本）
25．如图，P 是 所对弦 AB 上一动点，过点 P 作 PC⊥AB 交 于点 C，取 AP 中点 D，连接 CD．已
知 AB＝6cm，设 A，P 两点间的距离为 xcm，C．D 两点间的距离为 ycm．（当点 P 与点 A 重合时， y 的值为 0；当点 P 与点 B 重合时，y 的值为 3） 小凡根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小凡的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
及线段 AB，线段 CD 所围成的扇面的面积约是（ ）
A．157cm2
B．314cm2
C．628cm2
D．733cm2
7．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0
请补全图形并解决下面的问题： （1）求证：∠BAE＝2∠EBD；
（2）如果 AB＝5，sin∠EBD＝ ．求 BD 的长．
24．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物” ．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：
（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利 元； （2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获
A．1：2
B．1：3
C．2：1
D．3：1
5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 在反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上，如果将矩形 OCAD 的面积记为 S1，矩形 OEBF 的面积记为 S2，那么 S1，S2 的关系是（ ）
A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2
D．不能确定
6．如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由 ，
S1＝S2．
【解答】解：∵点 A，B 在反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上， ∴矩形 OCAD 的面积 S1＝|k|＝2，矩形 OEBF 的面积 S2＝|k|＝2， ∴S1＝S2 故选：B．
21．如图 1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分 布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的 盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图 1 用平面图形 进行表示，并标注了测量出的数据，如图 2．在图 2 中大货车的形状为矩形，而盲区 1 为梯形，盲 区 2、盲区 3 为直角三角形，盲区 4 为正方形．
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOC 与∠BAC 是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝ ∠BOC＝60°． 故选：B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 3．将二次函数 y＝x2﹣4x+1 化成 y＝a（x﹣h）2+k 的形式为（ ）
型．
5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 在反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上，如果将矩形 OCAD 的面积记为 S1，矩形 OEBF 的面积记为 S2，那么 S1，S2 的关系是（ ）
A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2
D．不能确定
【分析】因为过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积 S 是个定值，即 S＝|k|．从而证得
请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题： （1）盲区 1 的面积约是 m2；盲区 2 的面积约是 m2； （ ≈1.4， ≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数） （2）如果以大货车的中心 A 点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图
北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期末考试语文试卷(含答案)
北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期末考试语文2024. 01本试卷共10页，150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、本大题共5小题，共18分。
阅读下面材料，完成1－5题。
材料一《离骚》是屈原最重要的作品，也是《楚辞》中最具代表性的作品，是中国文学史上最长的抒情诗，是理解屈原人生境界和价值观最重要的资料。
屈原在《离骚》开篇提到，他的父亲以“正则”为他命名，说明父亲希望他把“公正无私”作为自己的处世原则，《史记·屈原贾生列传》也说屈原“正道直行”。
正道直行首先是正直，正直就是处事公正，不苟且，不徇私，不自私自利和投机取巧。
《离骚》也恰恰展示了一个正直的君子在蒙受不白之冤后勇敢的抗争过程，“正”“直”二字多次出现其中，如“屈心而抑志兮，忍尤而攘诟。
伏清白以死直兮，固前圣之所厚”。
作为一个正道直行的人，屈原对自己的才德充满自信，也对楚王任用群小的现实强烈不满。
他认为一个正常的社会，应该有一个“选贤与能”“举直而错诸枉”（把正直的人提拔出来，放在邪曲的人之上）的公正的社会运行机制，他希望在楚国有公平和正义，那些正道直行的人受重视，而枉道邪行的人被抛弃；但是楚国的现实政治正好相反，小人当道，奸佞得志，这引起了屈原的强烈不满。
屈原在《离骚》中将批判的矛头对准了把楚国带上歧路的当权者。
屈原把爱国与自己价值受到尊重结合起来，通过对自己命运的不平之鸣，体现他的爱国情怀。
这种爱国主义建立在“正道直行”的基础上，因而具有极强的正义性。
《离骚》中体现的屈原的精神品质，还表现为九死不悔的底线意识。
《离骚》曰“亦余心之所善兮，虽九死其犹未悔”，“民生各有所乐兮，余独好修以为常。
虽体解吾犹未变兮，岂余心之可惩”。
对于屈原来说，受重用则正道直行，追求理想；被放流则严守底线，毫不动摇。
坚守底线，归根结底，就是做一个好人，做一个善人，做一个诚实的人。
北京市丰台区2023——2024学年上学期九年级期中数学试卷(含答案)
2023-2024学年北京市丰台区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化为（ ）A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝13C．（x﹣4）2＝19D．（x+4）2＝19 3．（2分）如图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是（ ）A．60B．72C．120D．1444．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线为（ ）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x+2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+35．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示示，关于a、c的符号判断正确的是（ ）A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0 6．（2分）雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（ ）A．M点B．N点C．P点D．Q点7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…40﹣2﹣204…下列说法错误的是（ ）A．抛物线G的开口向上B．抛物线G的对称轴是C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，﹣2）D．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣28．（2分）两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，将三角板A'B'C'绕直角顶点C'按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），如图所示．以下结论错误的是（ ）A．当α＝30°时，A'C与AB的交点恰好为AB中点B．当α＝60°时，A'B'恰好经过点BC．在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'＝BB'D．在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB'二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2＝1的解是 ．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标为 ．11．（2分）请写出一个图象开口向上，且与y轴交于点（0，2）的二次函数的解析式 ．12．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC＝ ．13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2（x﹣1）2+k经过点A（2，m），B（3，n）．则m n（填“＞”，“＝”或“＜”）．14．（2分）二次函数y＝x2﹣6x+c的图象与x轴只有一个公共点，则c的值为 ．15．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 寸．16．（2分）我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程x2+2x﹣35＝0的正数解的步骤为：（1）将方程变形为x（x+2）＝35；（2）构造如图1所示的大正方形，其面积是（x+x+2）2，其中四个全等的矩形面积分别为x（x+2），中间的小正方形面积为22；（3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即4×35+22＝144；（4）由此可得方程：（x+x+2）2＝144，则方程的正数解为x＝5．根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程x2+3x﹣10＝0的正数解的构图是 （只填序号）．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）18．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．19．（5分）已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图象；（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围．21．（5分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1；（2）求点B旋转到点B1的路径长（结果保留π）．22．（5分）某学校要设计校园“数学嘉年华”活动的项目介绍展板．如图，现有一块长25dm，宽8dm的矩形展板，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果四个矩形展示区域的面积之和为120dm2，求空白区域的宽度．23．（6分）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）连接BE交AD于点F，连接CF．若AB＝4，求CF的长．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．25．（6分）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．（1）求抛物线表示的二次函数解析式；（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，设该抛物线的对称轴为x＝t．（1）若m＝n，求t的值；（2）若mn＜0，求t的取值范围．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，点P是线段AC延长线上一动点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DQ，连接PQ，BP，作直线BQ交AC于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠PBQ＝∠PQB；（3）用等式表示线段EP，EQ，EB之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P 顺时针旋转90°，得到图形M'，再将图形M'关于直线x＝3对称，得到图形N．此时称图形N为图形M关于点P的“二次变换图形”．已知点A（0，1）．（1）若点P（3，0），直接写出点A关于点P的“二次变换图形”的坐标；（2）若点A关于点P的“二次变换图形”与点A重合，求点P的坐标；（3）若点P（3，﹣3），⊙O半径为1．已知长度为1的线段AB，其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O上或⊙O内，直接写出点B的纵坐标y B的取值范围．2023-2024学年北京市丰台区九年级（上）期中数学试卷（参考答案）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：选项B中的图形是中心对称图形．故选：B．2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化为（ ）A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝13C．（x﹣4）2＝19D．（x+4）2＝19【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0，∴x2﹣8x＝﹣3，则x2﹣8x+16＝﹣3+16，即（x﹣4）2＝13，故选：A．3．（2分）如图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是（ ）A．60B．72C．120D．144【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，∴旋转的度数至少为72°，故选：C．4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线为（ ）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x+2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+3【解答】解：由题意，根据二次函数图象的几何变换规律，∵抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，∴所得抛物线为y＝2（x+2）2﹣3．故选：C．5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示示，关于a、c的符号判断正确的是（ ）A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0【解答】解：由图象可知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下，故a＜0，又∵y＝ax2+bx+c（a≠0）交y轴于正半轴，∴c＞0，故答案选：C．6．（2分）雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（ ）A．M点B．N点C．P点D．Q点【解答】解：如图，观察图象可知，能被雷达监测到的最远点为点N．故选：B．7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…40﹣2﹣204…下列说法错误的是（ ）A．抛物线G的开口向上B．抛物线G的对称轴是C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，﹣2）D．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣2【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x＝＝﹣，∴选项B正确；又由表格可以发现在对称轴左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，故选项A正确；又当x＝0时，y＝﹣2，∴抛物线与y轴交于点（0，﹣2），故选项C正确；用排除法，可得选项D错误，故选：D．8．（2分）两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，将三角板A'B'C'绕直角顶点C'按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），如图所示．以下结论错误的是（ ）A．当α＝30°时，A'C与AB的交点恰好为AB中点B．当α＝60°时，A'B'恰好经过点BC．在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'＝BB'D．在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB'【解答】解：∵直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，∴AC＝A′C，BC＝B′C，A：当α＝30°时，∠A′CB＝60°，∴A′C与AB的交点与点B、C构成等边三角形，∴A′C与AB的交点为AB的中点，故A正确；B：当α＝60°时，∠B′CB＝60°，∴A′B′恰好经过B，故B正确；C在旋转过程中，∠ACA′＝∠BCB′＝α，∴△AA′C∽△BB′C，∴＝，∴AA′≠BB′，故C错误；D：∵∠CAA′＝∠CBB′＝（180°﹣α），∴AA′与BB′的夹角为360°﹣（180°﹣α）×2﹣（90°+α）＝90°，∴在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′，故D正确；故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2＝1的解是 ±1 ．【解答】解：∵x2＝1∴x＝±1．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标为 （﹣1，3） ．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．11．（2分）请写出一个图象开口向上，且与y轴交于点（0，2）的二次函数的解析式 y＝3x2+2（答案不唯一）． ．【解答】解：∵开口向上，∴a＞0，且与y轴的交点为（0，2）．故答案为：y＝3x2+2（答案不唯一）．12．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC＝ 65° ．【解答】解：由题意得：△ABC≌△DEF，∠ACD＝∠BCE＝35°，∴∠D＝∠A＝30°，∴∠EFC＝∠AFD＝∠D+∠ACD＝65°，故答案为：65°．13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2（x﹣1）2+k经过点A（2，m），B（3，n）．则m ＜ n（填“＞”，“＝”或“＜”）．【解答】解：由题意，∵抛物线y＝2（x﹣1）2+k的对称轴为直线x＝1，开口向上，∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，当x≥1时，y随x的增大而增大．∵2＜3，∴m＜n．故答案为：＜．14．（2分）二次函数y＝x2﹣6x+c的图象与x轴只有一个公共点，则c的值为 9 ．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c的图象与x轴只有一个公共点，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4c＝0，解得c＝9．故答案为：9．15．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 26 寸．【解答】解：∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，故答案为：26．16．（2分）我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程x2+2x﹣35＝0的正数解的步骤为：（1）将方程变形为x（x+2）＝35；（2）构造如图1所示的大正方形，其面积是（x+x+2）2，其中四个全等的矩形面积分别为x（x+2），中间的小正方形面积为22；（3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即4×35+22＝144；（4）由此可得方程：（x+x+2）2＝144，则方程的正数解为x＝5．根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程x2+3x﹣10＝0的正数解的构图是 ② （只填序号）．【解答】解：方程x2+3x﹣10＝0可变形为x（x+3）＝10，构造的大正方形，其面积是（x+x+3）2，其中四个全等的矩形面积分别为x（x+3），中间的小正方形面积为32；大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即4×10+32＝49；由此可得方程：（x+x+3）2＝49，则方程的正数解为x＝2，∴能够得到方程x2+3x﹣10＝0的正数解的构图是②，故答案为：②．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）【解答】解：a＝1，b＝2，c＝﹣3，△＝22﹣4×（﹣3）＝16＞0，x＝＝，所以x1＝1，x2＝﹣3．18．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．19．（5分）已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×2m＞0，解得：m＜2，∴m的取值范围为m＜2；（2）∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程为x2+4x+2＝0，即（x+2）2＝2，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣，∴当m为正整数时，此时方程的根为﹣2+和﹣2﹣．20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图象；（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0），∴，解得，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴此二次函数图象的顶点为（﹣1，4），列表：x..．﹣3﹣2﹣101..．y..．03430..．描点，连线得函数图象如下：（3）由图象可知，当y＞0时，x的取值范围为：﹣3＜x＜1．21．（5分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1；（2）求点B旋转到点B1的路径长（结果保留π）．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）∵B（4，2），∴OB＝＝2，点B旋转到点B1的路径长＝＝π．22．（5分）某学校要设计校园“数学嘉年华”活动的项目介绍展板．如图，现有一块长25dm，宽8dm的矩形展板，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果四个矩形展示区域的面积之和为120dm2，求空白区域的宽度．【解答】解：设空白区域的宽度为xdm，根据题意可得：25×8﹣5x×8﹣2x×（25﹣5x）＝120，解得x1＝8（舍去）或x2＝1，即空白区域的宽度应是1dm．23．（6分）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）连接BE交AD于点F，连接CF．若AB＝4，求CF的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BC，且AE＝DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∵等边△ABC中，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形；（2）解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝AB＝4，∵D是BC的中点，∴AD⊥BC，DB＝DC＝2，∴∠ADB＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵AE＝DC，∴AE＝DB，由（1）可知，四边形ADCE是矩形，∴∠EAF＝90°，在△BDF和△EAF中，，∴△BDF≌△EAF（AAS），∴DF＝AF＝AD＝，∴CF＝＝＝．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，∴k＝1，将点（1，2）代入y＝x+b，得1+b＝2，解得b＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，∴m≥2．25．（6分）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．（1）求抛物线表示的二次函数解析式；（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 1 米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的函数解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3；（2）当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，∴球不能射进球门．（3）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为：y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．故答案为：1．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，设该抛物线的对称轴为x＝t．（1）若m＝n，求t的值；（2）若mn＜0，求t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，若m＝n，∴对称轴是直线x＝＝3＝t．即t＝3．（2）由题意，若mn＜0，又抛物线开口向上，∴抛物线与x轴必有一交点在2和4之间．又令y＝ax2+bx＝0，∴x＝0或x＝﹣．∴2＜﹣＜4．又∵t＝﹣，∴﹣＝2t．∴2＜2t＜4．∴1＜t＜2．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，点P是线段AC延长线上一动点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DQ，连接PQ，BP，作直线BQ交AC于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠PBQ＝∠PQB；（3）用等式表示线段EP，EQ，EB之间的数量关系，并证明．【解答】（1）解：如图所示，即为补全的图形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠PCB＝∠PCD＝45°，∵CP＝CP，∴△PCB≌△PCD（SAS），∴PB＝PD，∴线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DQ，∴DP＝DQ，∠PDQ＝60°，∴△PDQ是等边三角形，∴PQ＝PD，∴PQ＝PB，∴∠PBQ＝∠PQB；（3）解：EQ﹣EP＝EB，理由如下：如图，在EQ上截取QG＝BE，连接PG，∵∠PBQ＝∠PQB，PB＝PQ，∴△PBE≌△PQG（SAS），∴PE＝PG，∠BPE＝∠QPG，∴∠BPE＝∠DPE＝∠QPG，∵∠QPD＝60°，∴∠QPG+∠DPG＝60°，∴∠DPE+∠DPG＝60°，∴∠EPG＝60°，∵PE＝PG，∴△PEG是等边三角形，∴EG＝EP，∴EQ﹣EG＝QG，∴EQ﹣EP＝EB．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P 顺时针旋转90°，得到图形M'，再将图形M'关于直线x＝3对称，得到图形N．此时称图形N为图形M关于点P的“二次变换图形”．已知点A（0，1）．（1）若点P（3，0），直接写出点A关于点P的“二次变换图形”的坐标；（2）若点A关于点P的“二次变换图形”与点A重合，求点P的坐标；（3）若点P（3，﹣3），⊙O半径为1．已知长度为1的线段AB，其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O上或⊙O内，直接写出点B的纵坐标y B的取值范围．【解答】解：（1）如图1，过点A′作A′D⊥x轴于点D，∴∠A′DP＝∠AOP＝90°，由旋转可知，∠APA′＝90°，AP＝A′P，∴∠APO+∠A′PD＝∠A′PD+∠PA′D＝90°，∴∠APO＝∠PA′D，∴△AOP≌△PDA′（AAS），∴OA＝PD＝1，OP＝A′D＝3，∴A′（4，3），∴点A关于点P的“二次变换图形”的坐标A′′（2，3）；（2）分析可知点P在x轴的下方，如图2，过点P作PE⊥y轴于点E，过点A′作A′F ⊥x轴交EP于点F，设点P的纵坐标为m，同（1）知△AEP≌△PFA′（AAS），∴AE＝PF＝1﹣m，EP＝A′F＝3，∴A′（4﹣m，3+m），由题意可知，点A与点A′关于直线x＝3对称，∴4﹣m＝6，3+m＝1，解得m＝﹣2，∴P（3，﹣2）；（3）同（2）知A′（4﹣m，3+m），∴A′′（m+2，3+m），若点A′′在⊙O上，则（m+2）2+（3+m）2＝1，解得m＝﹣2（舍）或m＝﹣3；∴P（3，﹣3），如图3，∵线段AB＝1，∴点B在以点A为圆心，1为半径的圆上，若AB其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O及其内部，如图3，可知点B′′是一个临界点，连接OB''，∵OA′′＝A′′B′′＝OB′′＝1，∴△OA′′B′′是等边三角形，过点B′′作B′′M⊥x轴于点M，则A′′M＝OM＝，B′′M＝，∴B′′（﹣，﹣），∴B′（，﹣），∴B（，），由对称性可知，另外一点的坐标为（﹣，），∴y B的取值范围为：0≤y B≤．。
2023-2024学年北京市丰台区七年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市丰台区七年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的绝对值是.()A. B. C.3 D.2.我国坚持山水林田湖草沙系统性治理，加强生态系统保护修复，推进大规模国土绿化行动，十年来，全国累计完成造林亿亩，人工林面积稳居世界第一．将亿用科学记数法表示为.()A. B. C. D.3.鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构.下图是鲁班锁的其中一个部件，它的主视图是.()A. B. C. D.4.下列方程中，是一元一次方程的是.()A. B. C. D.5.实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是.()A. B. C. D.6.关于x的一元一次方程的解为，则m的值为()A.10B.4C.2D.7.下列计算正确的是.()A. B. C. D.8.如图，点O在直线AB上，OD平分，，那么下列说法不一定正确的是.()A.与互补B.与互余C.与互余D.与相等9.如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为.()A. B. C. D.10.幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．右图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中a的值为()A.5B.7C.9D.12二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.计算：__________.12.如图，用量角器度量，可以读出的度数为__________.13.已知，则__________.14.如图，从学校A到书店B有两条路线，①号路线是，②号路线是小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是__________.15.如图，在港口O处观测到轮船A沿着北偏西的方向航行，同时轮船B沿着南偏东的方向航行，那么两艘轮船航线的夹角的度数为__________.16.对于式子“”可以赋予实际意义：一个篮球的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师购买一个篮球和一个足球共需要付款元，请你对式子“2a”赋予一个实际意义：__________.17.2023年10月，某校在北京园博园开展“创建绿色城市家园”的学生实践活动.活动线路从永定塔到锦绣谷，共分为9个赛段路程，平均每个赛段路程为300米，以300米为基准，其中实际路程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为“里程波动值”.下表记录了9个赛段的部分“里程波动值”赛段123456789里程波动值1026？？13第7个赛段的实际路程为__________米；如果第6个赛段的“里程波动值”比第5个赛段的“里程波动值”的2倍少6米，那么第6个赛段实际路程为__________米.18.如图，数轴上点表示的数为，点不与重合，分别到1对应的点的距离相等，点不与重合，分别到2对应的点的距离相等，点不与重合，分别到3对应的点的距离相等，……按此规律，点表示的数为__________，点表示的数为__________.三、计算题：本大题共3小题，共30分。
2023-2024学年上海市长宁区九年级上学期期末考数学试卷(中考一模)含详解
2023学年第一学期初三数学教学质量调研试卷（考试时间：100分钟满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，如果,A BC a α∠==，那么AC 等于（）A.tan a α⋅ B.cot a α⋅ C.sin aαD.cos a α2.下列关于抛物线223y x x =+-的描述正确的是（）A.该抛物线是上升的B.该抛物线是下降的C.在对称轴的左侧该抛物线是上升的D.在对称轴的右侧该抛物线是上升的3.已知点C 在线段AB 上，且满足2AC BC AB =⋅，那么下列式子成立的是（）A.512AC BC -= B.12AC AB -= C.512BC AB -= D.352BC AC =4.已知a为非零向量，且3a b =-，那么下列说法错误的是（）A.13a b=-B.3b a = C.30b a += D.b a∥5.如果点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，下列条件中可以推出DE ∥BC 的是()A.23AD BD =，23CE AE = B.23AD AB =，23DE BC =C.32AB AD =,12EC AE = D.43AB AD =，43AE EC =6.已知在ABC 与A B C ''' 中，点D D '、分别在边BC B C ''、上，（点D 不与点B C 、重合，点D ¢不与点B C ''、重合）．如果ADC △与'''A D C △相似，点A D 、分别对应点A ''、D ，那么添加下列条件可以证明ABC 与A B C ''' 相似的是（）①AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的角平分线；②AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的中线；③AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的高．A.①②B.②③C.①③D.①②③二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.如果53(,x y x y =均不为零），那么():x x y +的值是____________．8.式子2cos30tan45︒-︒的值是______．9.已知线段a=3cm ，b=4cm ，那么线段a 、b 的比例中项等于_______cm ．10.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.11.如图，////AB CD EF ，如果:2:3,10AC CE BF ==，那么线段DF 的长是__________．12.二次函数()2f x ax bx c =++图像上部分点的坐标满足下表：那么()5f -=____________．x⋯3-2-1-01⋯()f x ⋯3-2-3-6-11-⋯13.已知向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，那么a =____________________（用向量e 的式子表示）14.已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为____________．15.如图，在ABC 中，AD 是BC 上的高，且5,3BC AD ==，矩形EFGH 的顶点F G 、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，如果2EH EF =，那么EH =____________．16.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是ABC 的重心，联结GA GC 、，如果533AC AG ==，，那么GCA ∠的余切值为____________．17.我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在ABC 中，10AB AC ==，点D E 、都在边BC 上，5AD AE ==，如果ABC 与ADE V 是友好三角形，那么BC 的长为____________．18.如图，在矩形ABCD 中，8,4,AD AB AC ==是对角线，点P 在边BC 上，联结DP ，将DPC △沿着直线DP 翻折，点C 的对应点Q 恰好落在ADC △内，那么线段BP 的取值范围是____________．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.已知抛物线2241y x x =++．（1）用配方法把2241y x x =++化为2()y a x m k =++的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点()1,4，求平移后的抛物线的顶点坐标．20.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE AC 、相交于点F ．（1）设,AB a AD b == ，试用a b 、表示EF ；（2）先化简，再求作：()()3222a b a b +-+（直接作在图中）．21.如图，在四边形ABCD 中，90BAD AC BC DE AC ∠=⊥︒⊥，，，垂足为点43E AC DE ==，，．（1）求:AD AB 的值；（2）BD 交AC 于点F ，如果1tan 2BAC ∠=，求CF 的长．22.小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P 点观察所测物体最高点C ，量角器零刻度线上A B 、两点均在视线PC 上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O ．当铅锤静止时，测得视线PC 与铅垂线OD 所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF 的高度．他先站在水平地面的点H 处，视线为GE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R 处，视线为QE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH QR EF 、、在同一平面内，小明的眼晴到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF 的高度．（结果保留根号）23.如图，在ABC 中，点,D E 分别是,BC AD 的中点，且AD AC =，连接CE 并延长交AB 于点F ．（1）证明：ABC ECD ∽；（2）证明：4BF EF =．24.已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x =--经过点A 与点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C F 、两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF ⊥时，求PDF ∠的正切值；②如果:3:5PD DE =，求点P 的坐标．25.已知ABC 中，2ABC C ∠=∠，BG 平分ABC ∠，8AB =，163AG =，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点（点D 不与点B ，C 重合），且ADE ABC =∠∠，AD ，BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2）如图1，如果2BF CE =，求:BF GF 的值；（3）如果ADE V 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 长．2023学年第一学期初三数学教学质量调研试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，如果,A BC a α∠==，那么AC 等于（）A.tan a α⋅ B.cot a α⋅ C.sin aαD.cos a α【答案】B【分析】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】解：cot ACBCα=，∴cot cot AC BC a αα=⋅=⋅，故选：B ．2.下列关于抛物线223y x x =+-的描述正确的是（）A.该抛物线是上升的B.该抛物线是下降的C.在对称轴的左侧该抛物线是上升的D.在对称轴的右侧该抛物线是上升的【答案】D【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：∵抛物线223y x x =+-，∴20a =>，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A 、B 、C 均错误，不符合题意，选项D 正确，符合题意；故选：D ．3.已知点C 在线段AB 上，且满足2AC BC AB =⋅，那么下列式子成立的是（）A.12AC BC -= B.12AC AB -= C.12BC AB -= D.32BC AC =【答案】B【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把AB 当作已知数求出AC ，求出BC ，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．【详解】解：令AC x =，()0AB a a =>，则BC a x =-，2AC BC AB =⋅可变形为()2x a x a =-⋅，整理，得220x ax a +-=，()2224150a a a ∆=-⨯⨯-=>，解得22a a x -±-±==，边长为正数，∴)122a a x --+==，)(1322a a a x a -=-=，即512AC AB -=⋅，352BC AB =⋅，∴23525112A ABC BC -⋅=+==，故A选项错误；122ABACABAB -==，故B选项正确；3322BC B B ABA A -==⋅，故C选项错误；251B ABC AC =-==，故D 选项错误；故选B ．4.已知a 为非零向量，且3a b =- ，那么下列说法错误的是（）A.13a b=-B.3b a= C.30b a += D.b a∥【答案】C【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的相关定义，根据其运算法则进行计算即可求解．【详解】解：A ．∵a 为非零向量，且3a b =- ，∴13a b =- ，正确，故本选项不符合题意；B ．∵a 为非零向量，且3a b =-，∴3b a = ，正确，故本选项不符合题意；C ．∵a 为非零向量，且3a b =- ，∴30b a += ，原说法错误，故本选项符合题意；D ．∵a 为非零向量，且3a b =-，∴b a ∥，故本选项不符合题意；故选：C ．5.如果点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，下列条件中可以推出DE ∥BC 的是()A.23AD BD =，23CE AE = B.23AD AB =，23DE BC =C.32AB AD =,12EC AE = D.43AB AD =，43AE EC =【答案】C【分析】根据各个选项的条件只要能推出AD AE AB AC =或AB ACAD AE=，即可得出△ADE ∽△ABC ，推出∠ADE=∠B ，根据平行线的判定推出即可．【详解】解：A 、根据23AD BD =和23CE AE =，不能推出DE ∥BC ，故本选项错误；B 、根据23AD AB =和23DE BC =，不能推出DE ∥BC ，故本选项错误；C 、∵12EC AE =，∴32AC AE =，∵32AB AD =，∴AB AD =ACAE∵∠A=∠A ，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠ADE=∠B ，∴DE ∥BC ，故本选项正确；D 、根据AB AD =43和AE EC =43,不能推出DE ∥BC ，故本选项错误；故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解题的关键是推出△ABC ∽△ADE ．6.已知在ABC 与A B C ''' 中，点D D '、分别在边BC B C ''、上，（点D 不与点B C 、重合，点D ¢不与点B C ''、重合）．如果ADC △与'''A D C △相似，点A D 、分别对应点A ''、D ，那么添加下列条件可以证明ABC 与A B C ''' 相似的是（）①AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的角平分线；②AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的中线；③AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的高．A.①② B.②③C.①③D.①②③【答案】A【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据ADC △与'''A D C △相似，可得C C '∠=∠，DAC D A C '''∠=∠，AC DCA C D C =''''，再根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解： ADC △与'''A D C △相似，点A D 、分别对应点A ''、D ，∴C C '∠=∠，DAC D A C '''∠=∠，AC DCA C D C =''''，①AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的角平分线时：2BAC DAC ∠=∠，2B A C D A C ''''''∠=∠，∴BAC B A C '''∠=∠，又∴C C '∠=∠，∴ABC A B C '''∽ ；故①正确；②AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的中线时，2BC DC =，2B C D C ''''=，∴BC DCB C D C=''''，∴AC BCA CBC =''''，又∴C C '∠=∠，∴ABC A B C '''∽ ；故②正确；③AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的高时，现有条件不足以证明ABC A B C '''∽ ，故③错误；综上可知，添加①或②时，可以证明ABC 与A B C ''' 相似故选A ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.如果53(,x y x y =均不为零），那么():x x y +的值是____________．【答案】38【分析】本题考查的是比例的基本性质，令3x a =，则5y a =，然后化简整理即可求得．令3x a =，则5y a =，，()():33538x x y +=+=：：，即可作答．【详解】解：根据题意，可令3x a =，则5y a =，因此，()():3353838x x y a a a a a +=+==：：：．故答案为：38．8.式子2cos30tan45︒-︒的值是______．【答案】1-##1-【分析】直接将特殊角的三角函数值代入计算即可解答．【详解】解：32cos30tan452112︒-︒=⨯-=．1．【点睛】本题主要考查了三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解答本题的关键．9.已知线段a=3cm ，b=4cm ，那么线段a 、b 的比例中项等于_______cm ．【答案】【详解】试卷分析：根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．∵线段a=3cm ，b=4cm ，∴线段a 、b 的比例中项=cm ．故答案为考点：比例线段．10.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.【答案】4∶9【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．考点：相似三角形的性质．11.如图，////AB CD EF ，如果:2:3,10AC CE BF ==，那么线段DF 的长是__________．【答案】6【分析】根据平行线分线段成比例定理结合比例解答即可．【详解】解：∵////AB CD EF ，:2:3,AC CE =∴23BD AC DF CE ==∵10BF =∴31065DF =⨯=．故答案为6．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活应用平行线分线段成比例定理列出比例式是解答本题的关键．12.二次函数()2f x ax bx c =++图像上部分点的坐标满足下表：那么()5f -=____________．x ⋯3-2-1-01⋯()f x ⋯3-2-3-6-11-⋯【答案】11-【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解．【详解】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线2x =-，所以5x =-和1x =时的函数值相等，即当5x =-时，y 的值为11-．故答案为：11-．13.已知向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，那么a = ____________________（用向量e 的式子表示）【答案】3e- 【分析】此题考查了平面向量的知识，由向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．【详解】解：∵向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，∴3a e =- ．故答案为：3e - ．14.已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为____________．【答案】1:2.4【分析】本题考查坡度，先利用勾勾股定理求出水平距离，然后利用公式计算是解题的关键．【详解】解：如图，13AB =，5AE =，∴12BE ===，∴斜坡的坡度为i :5:121:2.4AE BE ===，故答案为：1:2.4．15.如图，在ABC 中，AD 是BC 上的高，且5,3BC AD ==，矩形EFGH 的顶点F G 、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，如果2EH EF =，那么EH =____________．【答案】3011【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，通过四边形EFGH 为矩形推出EH BC ，因此AEH 与ABC 两个三角形相似，将AM 视为AEH 的高，可得出::AM AD EH BC =，再将数据代入计算是本题的关键．【详解】解：设AD 与EH 交于点M ．∵四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ，∴AEH ABC ∽，∵AM 和AD 分别是AEH 和ABC 的高，∴::AM AD EH BC =,DM EF =，∴3AM AD DM AD EF EF =-=-=-，∵2EH EF =，代入可得：3235EF EF -=，解得1511EF =，∴153021111EH =⨯=，故答案为：3011．16.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是ABC 的重心，联结GA GC 、，如果533AC AG ==，，那么GCA ∠的余切值为____________．【答案】23【分析】延长CG 交AB 于F ，过G 作GD AC ⊥于G ，直线DG 交BC 于E ，证明DCE ACB ∽V V ，得CD DE AC AB =，同理可得DG CD CG GE AF AC CF BF ===，即有DE CG AB CF=，根据G 为ABC 的重心，3AC =，得2DE =，设tan ACG x ∠=，根据勾股定理列式计算53AG ===可得答案．【详解】解：过G 作GD AC ⊥于G ，延长CF 交AB 于点F ，如图：∵90GD AC BAC ⊥∠=︒，，∴DE AB ∥，90CDE BAC ==︒∠∠，∵DCE ACB ∠=∠，∴DCG ACF ∽，∴CD DG CG AC AF CF==，∵G 为ABC 的重心，∴23CD DG CG AC AF CF ===，∵3AC =，∴21CD AD ==，，∴2243DG AG AD =-=，则在直角三角形CDG 中，423tan 23DG ACG CD ∠===，故答案为：23【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．17.我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在ABC 中，10AB AC ==，点D E 、都在边BC 上，5AD AE ==，如果ABC 与ADE V 是友好三角形，那么BC 的长为____________．【答案】5【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程．如图，过过点A 作AF BC ⊥于点F ．证明FAD FBA ∽，推出51102AD AF DF AB FB AF ====，设DF EF x ==，这24AF x BF x ==，，构建方程求解．【详解】解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ．∵AB AC AD AE AF BC ==⊥，，，∴DF EF BF FC BAF CAF DAF EAF ==∠=∠∠=∠，，，，∵180BAC DAE ∠+∠=︒，∴22180BAF DAF ∠+∠=︒，∴90BAF DAF ∠+∠=︒，∵90BAF B ∠+∠=︒，∴∠=∠DAF B ，∵90AFD AFB ∠=∠=︒，∴FAD FBA ∽，∴51102AD AF DF AB FB AF ====，设DF EF x ==，这24AF x BF x ==，，∵222AB AF BF =+，∴()()2221024x x =+，∴5x =，∴285BC BF x ===故答案为：85．18.如图，在矩形ABCD 中，8,4,AD AB AC ==是对角线，点P 在边BC 上，联结DP ，将DPC △沿着直线DP 翻折，点C 的对应点Q 恰好落在ADC △内，那么线段BP 的取值范围是____________．【答案】46BP <<【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质等，计算出点Q 恰好落在AD 边上，以及点Q 恰好落在AC 边上时BP 的值，即可得出线段BP 的取值范围．【详解】解：当点C 的对应点Q 恰好落在AD 边上时，如图：由折叠的性质知CD QD =，CP QP =，90PQD PCD ∠=∠=︒，又 矩形ABCD 中，90ADC ∠=︒，∴四边形QDCP 是正方形，∴4CP CD AB ===，∴844BP BC CP AD CP =-=-=-=；当点C 的对应点Q 恰好落在AC 边上时，如图，由折叠的性质知PD CQ ⊥，∴90PDC ACD ∠+∠=︒，又 矩形ABCD 中，90ADC ∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，∴PDC CAD ∠=∠，又 90PCD CDA ∠=∠=︒，∴PDC CAD ∽，∴PC CD CD AD =，即448PC =，∴2PC =，∴826BP BC PC =-=-=，∴线段BP 的取值范围是46BP <<．故答案为：46BP <<．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.已知抛物线2241y x x =++．（1）用配方法把2241y x x =++化为2()y a x m k =++的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点()1,4，求平移后的抛物线的顶点坐标．【答案】（1）该抛物线的开口向上，对称轴是直线=1x -，顶点坐标为(1,1)--（2）(1,4)--【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（2）设平移后的抛物线解析式为22(1)y x =+1k -+，代入点(1,4)，求得k 的值即可求解．【小问1详解】解：2241y x x =++()222121x x =++-+22(1)1x =+-，∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线=1x -，顶点坐标为(1,1)--；【小问2详解】设平移后的抛物线解析式为22(1)y x =+1k -+，∵新的抛物线经过点(1,4)，∴24221k =⨯-+，解得3k =-，∴平移后的抛物线解析式为22(1)4y x =+-，∴平移后的抛物线的顶点坐标是(1,4)--．20.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE AC 、相交于点F ．（1）设,AB a AD b == ，试用a b 、表示EF；（2）先化简，再求作：()()3222a b a b +-+ （直接作在图中）．【答案】（1）1136a b - （2）12a b -- ，见详解【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量，()1根据题意得AD BC ∥和BC AD =，进一步得到AE EF BC FB =，则1132EF DA AB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入向量即可．()2化解得12a b -- ，将对应线段代入得到()AB AE -+ ，过点E 作EG AB ∥，则AE BG = ，1=2a b GA -- ，连接GA 即可．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，BC AD =，∴AFE CFB ∽，则AE EF BC FB=，∵点E 是AD 的中点，∴12AE AD =，则12EF FB =，∴()1111123332EF FB EB EA AB DA AB ⎛⎫===+=+ ⎪⎝⎭ ，∵,AB a AD b == ，∴1111=3236EF b a a b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ．【小问2详解】()()3312223222a b a b a b a b a b +-+=+--=-- ，∵,AB a AD b == ，∴()1122a b AB AD AB AE AB AE --=--=--=-+ ，过点E 作EG AB ∥，则AE BG = ，∴()()1===2a b AB AE AB BG AG GA --=-+-+- ，如图，GA即为所求．21.如图，在四边形ABCD 中，90BAD AC BC DE AC ∠=⊥︒⊥，，，垂足为点43E AC DE ==，，．（1）求:AD AB 的值；（2）BD 交AC 于点F ，如果1tan 2BAC ∠=，求CF 的长．【答案】（1）3:4（2）1CF =【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、解直角三角形：（1）根据90BAD AC BC DE AC ∠=⊥︒⊥，，，得90AED ACB ∠=∠=︒，EAD ABC ∠=∠，证明AED BCA △∽△，结合相似三角形的性质，得:AD AB 的值；（2）根据相似三角形的性质且1tan 2BAC ∠=，得2BC =， 1.5AE =，再证明BCF DEF ∽，列式代数计算，即可作答．【小问1详解】解：∵90BAD AC BC DE AC∠=⊥︒⊥，，∴90AED ACB ∠=∠=︒，90BAC DAE BAC ABC∠+∠=︒=∠+∠∴EAD ABC ∠=∠，∴AED BCA△∽△则::3:4AD AB DE AC ==【小问2详解】解：如图：∵AED BCA △∽△，1tan 2BAC ∠=，∴11242BC BC BAC ADE AC ==∠=∠，，，∴2BC =，∴1tan 32AE AE ADE ED ∠===，得 1.5AE =，∴4 1.5 2.5EC AC AE =-=-=，∵AC BC DE AC ⊥⊥，，∴90BCF DEF ∠=∠=︒，∵BFC DFE ∠=∠，∴BCF DEF ∽，即BC CF DE EF=，∴23 2.5CF CF =-，解得1CF =．22.小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P 点观察所测物体最高点C ，量角器零刻度线上A B 、两点均在视线PC 上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O ．当铅锤静止时，测得视线PC 与铅垂线OD 所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF 的高度．他先站在水平地面的点H 处，视线为GE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R 处，视线为QE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH QR EF 、、在同一平面内，小明的眼晴到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF 的高度．（结果保留根号）【答案】（1）90βα=︒-（2）()6.6米【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）延长OD 交PK 于L ，根据题意可得：OL PK ⊥，从而可得：90OLP ∠=︒，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；（2）延长GQ 交EF 于点M ，根据题意可得： 1.6GM EF GH QR MF ⊥===，米，10GQ HR ==米，然后设EM x =米，分别在Rt EGM 和Rt EQM 中，利用锐角三角函数的定义求出GM 和QM 的长，从而列出关于x 的方程，进行计算即可解答．【小问1详解】解：如图：延长OD 交PK 于L ，由题意得：OL PK ⊥，∴90OLP ∠=︒，∵POD α∠=，∴9090OPL POD α∠=︒-∠=︒-，∴90βα=︒-；【小问2详解】解：延长GQ 交EF 于点M ，由题意得： 1.610GM EF GH QR MF GQ HR ⊥=====，m，m ，设EM x =米，在Rt EGM 中，60GEM ∠=︒，∴tan60GM EM =⋅︒=（米），在Rt EQM 中，45QEM ∠=︒，∴45QM EM tan x =⋅︒=（米），∵GM QM GQ -=，10x -=解得：5x =∴()5EM =米，∴()5 1.6 6.6EF EM FM =+=+=米，∴大楼EF 的高度为()6.6+米．23.如图，在ABC 中，点,D E 分别是,BC AD 的中点，且AD AC =，连接CE 并延长交AB 于点F ．（1）证明：ABC ECD ∽；（2）证明：4BF EF =．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：（1）根据等边对等角可得EDC ACB ∠=∠，再证这组夹角的两边成比例即可；（2）作DH CF ∥交AB 于点H ，可证BHD BFC ∽，AFE AHD ∽，推出12HD BD FC BC ==，12FE AE HD AD ==，进而可得4FC EF =，再根据ABC DCE ∽得出FBC FCB ∠=∠，推出CF BF =，等量代换可证4BF EF =．【小问1详解】证明： AD AC =，∴ADC ACD ∠=∠，即EDC ACB ∠=∠，又 点,D E 分别是,BC AD 的中点，∴12DC CB =，1122ED AD AC ==，∴12DC ED CB AC ==，∴AC ED CB DC=，∴ABC ECD ∽；【小问2详解】证明：如图，作DH CF ∥交AB 于点H ，DH CF ∥，∴BHD BFC ∠=∠，BDH BCF ∠=∠；AFE AHD ∠=∠，AEF ADH ∠=∠，∴BHD BFC ∽，AFE AHD ∽，又 点,D E 分别是,BC AD 的中点，∴12HD BD FC BC ==，12FE AE HD AD ==，∴2FC HD =，2HD FE =，∴4FC EF =，由（1）得ABC ECD ∽，∴ABC ECD ∠=∠，即FBC FCB ∠=∠，∴CF BF =，∴4BF EF =．24.已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x =--经过点A 与点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C F 、两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF ⊥时，求PDF ∠的正切值；②如果:3:5PD DE =，求点P 的坐标．【答案】（1）21262y x x =+-（2）①13②1532⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】（1）先由一次函数求出()()6060A C --，，，，再运用待定系数法求二次函数解析式，即可作答．（2）①依题意，得DF CF ⊥，PE BC PDF ACB ∠=∠ ，，根据角的等量代换，即PDF OCB ∠=∠，先求出点B 的坐标．PDF ∠的正切值等于21tan 63OB OCB OC ∠===；②先表达出21062E p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，22111168484D p p p p ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，，21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，23438EN p p -=，3EM p =-再根据相似三角形的性质与判定，列式化简计算，即可作答．【小问1详解】解：∵直线6y x =--经过点A 与点C则当06x y ==-，；06y x ==-，∴()()6060A C --，，，∴60186c b c =-⎧⎨=-+⎩，，解得62c b =-⎧⎨=⎩21262y x x =+-；【小问2详解】解：①如图：∵()()6060A C --，，，，且C F 、两点关于抛物线21262y x x =+-的对称轴对称，∴6F c y y ==-，221222b x a =-=-=-⨯则4F x =-∵DF CF⊥∴DF y ∥轴则FDC OCA∠=∠∵过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．∴PE BC PDF ACB∠=∠ ，则PDF OCB∠=∠∵21262y x x =+-x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），∴210262x x =+-∴6x =-，2x =∴()20B ，∵PDF OCB∠=∠则PDF ∠的正切值等于21tan 63OB OCB OC ∠===；②设21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，BC 的解析式为y mx n =+∴把()()0620C B -，，，代入y mx n =+得602n m n=-⎧⎨=+⎩解得63n m =-⎧⎨=⎩∵过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E∴设PE 的解析式为3y x b=+把21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，代入3y x b =+得2162p p b =--∴21623y x p p =--+令0x =，2162p p y =--即21062E p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当261362y x y x p p =--⎧⎪⎨=+--⎪⎩解得21184x p p +=-则把21184x p p +=-代入21623y x p p =--+得211684y p p =--∴22111168484D p p p p ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，∵过点P 作PM y ⊥轴，过点D 作DN y ⊥轴，∴EDN EPM∽∴EN DE EM EP=∵:3:5PD DE =∴58EN EM =∶∶∵21062E p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，22111168484D p p p p ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，，21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴222111336628484EN p p p p p p ⎛⎫=-----=- ⎪⎝⎭，2211626322EM p p p p p ⎛⎫=---+-=- ⎪⎝⎭∴23358348p p p --=∶∶解得1103p p ==-，∵点P 在线段AC 下方的抛物线上，∴10p =（舍去）∴3p =-．把3p =-代入21262y p p =+-∴19241592362222y =⨯-⨯-=-=∴点P 的坐标1532⎛⎫- ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．25.已知ABC 中，2ABC C ∠=∠，BG 平分ABC ∠，8AB =，163AG =，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点（点D 不与点B ，C 重合），且ADE ABC =∠∠，AD ，BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2）如图1，如果2BF CE =，求:BF GF 的值；（3）如果ADE V 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 长．【答案】（1）10（2）278（3）325【分析】（1）证明ABG CAB ∽ ，再根据相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，即可得到答案；（2）过点F 作FM AB ⊥于点M ，FN BD ⊥于点N ，先证明ABF DCE ∽ ，进一步求得6BD =，接着利用面积法证明4=3AF DF ，设4AF x =，证明FAG EAD ∽ ，求得3221FG =，即可进一步求得答案；（3）先证明CDE CBG ∽ ，可得32CD CE =，再利用等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质逐步求得43FG =，最后证明AFG ADE ∽ ，进一步求出125CE =，即可得到答案．【小问1详解】BG 平分ABC ∠，22ABC ABG GBC ∴∠=∠=∠，2ABC C ∠=∠ ，ABG C GBC ∴∠=∠=∠，BAG CAB ∠=∠ ，ABG ACB ∴∽ ，AB AG BG AC AB CB ∴==，16838BG AC CB ∴==，12AC ∴=，32BC BG =，16201233CG AC AG ∴=-=-=，C GBC ∠=∠ ，203BG CG ∴==，3102BC BG ∴==；【小问2详解】过点F 作FM AB ⊥于点M ，FN BD ⊥于点N ，ADE ABC ∠=∠ ，ADE CDE ABC FAB ∠+∠=∠+∠，FAB EDC ∴∠=∠，又ABG C ∠=∠ ，ABF DCE ∴∽ ，AB AF BF CD DE CE∴==，2BF CE = ，142CD AB ∴==，2AF DE =，1046BD BC CD ∴=-=-=，BG 平分ABC ∠，FM FN ∴=，142132ABF DBF AB FM S AF S DF BD FN ⋅∴===⋅ ，设4AF x =，则3DF x =，7AD x =，2DE x =，2AGF GBC C C ABC ∠=∠+∠=∠=∠ ，ADE ABC =∠∠，AGF ADE ∴∠=∠，又FAG EAD ∠=∠ ，FAG EAD ∴∽ ，AG FG AD ED ∴=，16372FG x x ∴=，3221FG ∴=，367BF BG FG ∴=-=，3627732821BF GF ∴==；【小问3详解】ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=，ADE AED ∴∠=∠，AGF ADE ∠=∠ ，AGF AED ∴∠=∠，BG DE ∴∥，CDE CBG ∴∽ ，CE CD CG CB ∴=，20103CE CD ∴=，32CD CE ∴=，BG DE ∥ ，AFG ADE ∴∠=∠，GBC EDC ∠=∠，AFG AGF ∴∠=∠，163AF AG ∴==，FAB EDC ∠=∠ ，ABG GBC C ∠=∠=∠，FAB ABG ∴∠=∠，EDC C ∠=∠，163BF AF ∴==，CE DE =，43FG BG BF ∴=-=，BG DE ∥ ，AFG ADE ∴∽ ，AG FG AE DE ∴=，1643312CE CE ∴=-，解得125CE =，3321225BD BC CD CE ∴=-=-=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，利用面积比求线段比等知识与方法，灵活运用相关知识与方法是解答本题的关键．。
2023-2024学年上海市金山区九年级(上)期末数学试卷(一模)(含解析)
2023-2024学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把抛物线y=2x2向左平移1个单位后得到的新抛物线的表达式是( )A. y=2x2−1B. y=2x2+1C. y=2(x−1)2D. y=2(x+1)22.已知点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，联结CE和BD相交于点F，如果AE：ED=1：2，那么DF：FB为( )A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 2：53.在直角坐标平面的第一象限内有一点A(a,b)，如果射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么下列各式正确的是( )A. b=a⋅tanαB. b=a⋅cotαC. b=a⋅sinαD. b=a⋅cosα4.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列判断中不正确的是( )A. a<0B. b<0C. c>0D. a+b+c<05.将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是( )A. 2：1B. 2：1C. 3：1D. 3：16.如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从△ABC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与△ABC相似的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.如果a5=b3(b≠0)，那么a−bb=______ ．8.化简：2(−a+3b)−6b=______ ．9.已知两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的周长比为______ ．10.点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，AB=2，那么线段AP的长是______ ．11.抛物线y=2x2−3的顶点坐标是______ ．312.如果点A(2,a)、B(3,b)在二次函数y=x2−3x的图象上，那么a______ b(填“>”“<”或“=”)．13.如果α是直角三角形的一个锐角，sinα=4，那么tanα=______ ．514.如图，已知D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，DE//BC，EF//AB，△ADE、△EFC的面积分别为1、4，四边形BFED的面积为______ ．15.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是4米，斜坡的坡度i=1：2，那么相邻两树间的坡面距离为______ 米.16.如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东60°的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东45°方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处______ 海里．17.把矩形ABCD绕点C按顺时针旋转90°得到矩形A′B′CD′，其中点A的对应点A′在BD的延长线上，如果AB=1，那么BC=______ ．18.在△ABC中，AC=6，P是AB边上的一点，Q为AC边上一点，直线PQ把△ABC分成面积相等的两部分，且△APQ和△ABC相似，如果这样的直线PQ有两条，那么边AB长度的取值范围是______ ．三、解答题：本题共7小题，共78分。
2023-2024学年上海市闵行区九年级(上)期末数学试卷(一模)(含解析)
2023-2024学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中，真命题是( )A. 两个直角三角形一定相似B. 两个等腰三角形一定相似C. 两个钝角三角形一定相似D. 两个等边三角形一定相似2.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =3，AC =2，那么cosA 的值是( )A. 13B. 23C. 53 D. 523.下列说法错误的是( )A. 如果a 与b 都是单位向量，那么|a |=|b |B. 如果ka =0，那么k =0或a =0C. 如果a =−3b (b 为非零向量)，那么a +3b =0D. 如果a +b =2c ，a−b =3c (c 为非零向量)，那么a 与b 平行4.如图，已知l 1//l 2//l 3，直线l 1，l 2，l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，那么下列比例式正确的是( )A. AC BC =DF EFB. AB DE =BE ADC. ABBC=DF EF D. DFEF =CFBE 5.已知二次函数的解析式为y =−x 2+2x ，下列关于函数图象的说法正确的是( )A. 对称轴是直线x =−1B. 图象经过原点C. 开口向上D. 图象有最低点6.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过(1,0)，(−3,0)，如果实数P表示9a−3b+c的值，实数Q表示−a−b的值，那么P、Q的大小关系为( )A. P>QB. P=QC. P<QD. 无法确定二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.计算：10×2−1=______ ．8.已知ab =13，那么a+bb=______ ．9.计算：(a+b)−(72a−2b)=______ ．10.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanB=2，BC=2，那么AC=______ ．11.如图，在△ABC中，点D在边AC上，点E在边BC上，DE//AB，AD：AC=2：3，那么S△DECS梯形ABED的值为______ ．12.将抛物线y=x2+4x向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是______ ．13.抛物线y=x2+bx+c的对称轴是直线x=−4，如果点A(0,y1)、B(1,y2)在此抛物线上，那么y1______ y2.(填“>”、“=”或“<”)14.小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是______ ．15.已知反比例函数y=kx(k≠0)，如果x1<x2<0，0<y1<y2，那么k______ 0.(填“>”或“<”) 16.“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步.两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达.喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离.”如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，M是AB上一点，CM=DM，在C处测得点M的俯角为60°，AC=30，BD=20，那么AB=______ ．17.新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数(黄金数)，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”.如图，△ABC是“精准三角形”，AB=AC=2，CD⊥AB，垂足为点D，那么BD的长度为______ ．18.如图，在△ABC中，AB=AC，tanC=3，点D为边BC上的点，4联结AD，将△ABD沿AD翻折，点B落在平面内点E处，边AE交边BC于点F，联结CE，如果AF=3FE，那么tan∠BCE的值为______ ．三、解答题：本题共7小题，共78分。
2018-2019学年九年级上册期末试卷2019学年北京市丰台答案
丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习初三数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.56； 10. 3︰2； 11. 2m >即可； 12. 70； 13.4； 14. (1,4)-； 15. 3.12； 16.不正确； EF GH 、平分的不是弧AM 、弧BM 所对的弦.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17. 解： 1122+⨯原式. ...............…........3分11+ ...…….................4分……......................5分 18. 解：（1）-1； ...............…..........2分（2）略. .................…..........5分 19. 解：（1）证明：∵∠ADE =∠ACB ， ∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB . .................…..........2分（2）由（1）知△ADE ∽△ACB ，∴AD AE AC AB=. ∵点E 是AC 的中点，设AE =x ， ∴22AC AE x ==. ∵AD =8，AB =10， ∴8210x x =.解得x =.∴AE =. .................…..........5分20.解：（1）由题意，得A (2,2) . ∵反比例函数xky =的图象经过点A ， ∴4k =.∴反比例函数的表达式4y x=. .................…..........2分（2）040k k <≤≤<或-4. .................…..........5分21. 解：（1）54；.................…..........4分 （2）略. .................….......... 5分 22. 解：（1）略； ........................... 2分（2）略.....................................5分 23. 解：作图正确. ........…....... ........... 1分（1）证明：连接AF .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB =90°.∵AB = AE ， ∴∠BAE =2∠BAF .∵BD 是⊙O 的切线， ∴∠ABD =90°.∵∠BAF +∠ABF =90°，∠EBD +∠ABF =90°， ∴∠BAF =∠EBD .∴∠BAE =2∠EBD . .....................….......... 3分（2）过点E 作EH ⊥BD 于H .∵∠BAF =∠EBD .∴sin sin BAF EBD ∠=∠.在Rt △ABF 中， ∵AB = 5，∴BF =.∴2BE BF ==.在Rt △EBH 中，∴sin 2EH BE EBH =⋅∠=.∴BH=4. ∵EH ∥AB ，H∴EH DH AB DB=. ∴254DH DH =+，解得83DH =.∴203BD BH HD =+=. .....................….........6分 24. 解：（1）1；....................................2分 （2）设直线的表达式为1(0)y kx b k =+≠. ∵点（3，5）和（6，3）在直线上，∴直线的表达式为1273y x =-+.设抛物线的表达式为22()y a x h k =-+.∵顶点（6，1），点（3，4）在抛物线上，∴抛物线的表达式为221(6)13y x =-+.∴212217[(6)1]33y y x x -=-+--+217(5)33x =--+.∴在5月销售这种多肉植物，单株获利最大. .............................6分25.解：（1）2.8；.........................2分（2）略. .........................4分 （3）3.3. ........................6分26.解：（1）∵抛物线23y ax bx a =++过点A （-1，0）， ∴30a b a -+=. ∴4b a =.∴抛物线解析式可化为243y ax ax a =++. ∴抛物线的对称轴为422ax a=-=-. .........................2分 （2）由题意，得B （0,4），C （-2,2）∵抛物线243y ax ax a =++过点A （-1，0）且抛物线的对称轴为2x =-，由抛物线的对称性可知，抛物线也一定经过A 的对称点（-3，0）.①0a >时，如图1，将0x =代入抛物线得3y a =，∵抛物线与线段BC 有交点， ∴34a ≥，解得43a ≥. ②0a <时，如图2， 将2x =-代入抛物线 得y a =-，∵抛物线与线段BC 有交点， ∴2a -≥，解得2a ≤-.综上所述，423a a ≥≤-或..........................6分27. 解：（1）60°； .........................1分（2）1； .........................2分（3）11AF BF n =-. .........................3分 证明：延长FE 至G ，使FG =FB . 连接GB ，GC .由（1）知，∠BFG=60°. ∴△BFG 为等边三角形.∴BF =BG ，∠FBG=∠FGB=60°. ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC ，∠ABC=60°. ∴∠ABF=∠CBG . ∴△ABF ≌△CBG .∴∠BF A=∠BGC=120°. ∴∠FGC=60°. ∴∠FGC=∠BFG . ∴FB ∥CG . ∴AF AD FG DC =. ∵1AD AC n =， ∴11AF FG n =-. ∴11AF BF n =-. .........................7分 28. 解：（1） ①D 、F ； .........................2分②若直线EF 上存在点T （m ，n ）是⊙O 的“等径点”， 则点T 满足02OT ≤≤.CAE BD F图1图2如图，以O为圆心，OF为半径作圆，设该圆与直线EF的另一个交点为A.在Rt△EOF中，2OE OF==,∴∠EFO=60°.∵OA=OF，∴△AFO为等边三角形.∴过A作AB⊥x轴于B.∴FB=OB=1.∴21m-≤≤-..........................5分（2）2r≥..........................7分。
2018-2019学年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷-含详细解析
2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如果∠A是锐角，且sin A=，那么∠A的度数是（）A. B. C. D.2.如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC=120°，那么∠BAC的度数是（）A.B.C.D.3.将二次函数y=x2-4x+1化成y=a（x-h）2+k的形式为（）A. B. C. D.4.如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A. 1：2B. 1：3C. 2：1D. 3：15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，如果将矩形OCAD的面积记为S1，矩形OEBF的面积记为S2，那么S1，S2的关系是（）A. B. C. D. 不能确定6.如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC=160°，OA=25cm，OB=10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A. B. C. D.7.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8.对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b=＜，那么函数y=2★x的图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=6，那么cos B=______．10.若2m=3n，那么m：n=______．11.已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是______．12.永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD=30°，在B处测得∠CBD=45°，并测得AB=52米，那么永定塔的高CD约是______米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）13.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B=60°，AC=4，那么CD的长为______．14.已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是______．15.圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率=圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为______．（参考数据：sin l5°=0.26）16.阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法______（“正确”或“不正确”）理由是______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.计算：sin60°-tan45°+2cos60°四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.函数y=mx2-2mx-3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m=______；（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．19.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE=∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB=4．（1）如果反比例函数y=的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；（2）如果反比例函数y=的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．21.如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是______m2；盲区2的面积约是______m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．22.如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．（1）在该网格中画出△A2B2C2（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．23.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE=AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE=2∠EBD；（2）如果AB=5，sin∠EBD=．求BD的长．24.小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利______元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利=单株售价-单株成本）25.如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，（当连接CD．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C=30°时，AP的长度约为______cm．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a过点A（-1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y=x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．27.如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD=CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是______；（2）如果=，那么=______；（3）如果=时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得MP=MC，则称点P为⊙C的“等径点”，已知点D（，），E（0，2），F（-2，0）．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是______；②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．（2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵∠A是锐角，且sinA=，∴∠A的度数是30°，故选：D．利用特殊角的三角函数值解答即可．此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值解答．2.【答案】B【解析】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC=120°，∴∠BAC=∠BOC=60°．故选：B．直接根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3.【答案】C【解析】解：y=x2-4x+1=（x2-4x+4）+1-4=（x-2）2-3．所以把二次函数y=x2-4x+1化成y=a（x-h）2+k的形式为：y=（x-2）2-3．故选：C．先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．4.【答案】A【解析】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∵点E是AB的中点，∴∴=，故选：A．根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．5.【答案】B【解析】解：∵点A，B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴矩形OCAD的面积S1=|k|=2，矩形OEBF的面积S2=|k|=2，∴S1=S2故选：B．因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．从而证得S1=S2．本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．6.【答案】D【解析】解：由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积=-≈733（cm2），故选：D．根据扇形面积公式计算即可．=πR2是解题的关本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S扇形键．7.【答案】B【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=-＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，故选：B．利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴8.【答案】C【解析】解：由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y=2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；当2≥x，即x≤2时，y=-，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．故选：C．先根据规定得出函数y=2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y=2★x的解析式是解题的关键．9.【答案】【解析】解：∵∠C=90°，BC=5，AB=6，∴cosB==．故答案为：．直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握定义是解题关键．10.【答案】3：2【解析】解：∵2m=3n，∴m：n=3：2．故答案为：3：2．逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解．考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若=，则ad=bc．11.【答案】m＞2【解析】解：∵反比例函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m-2＞0，故答案为：m＞2．根据反比例函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m-2＞0，解之即可得出m的取值范围．本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m-2＞0是解题的关键．12.【答案】74【解析】解：如图，∵CD⊥AD，∠CBD=45°，∴∠CDB=90°，∠CBD=∠DCB=45°，∴BD=CD，设BD=CD=x，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴AD=CD，∴52+x=x，∴x=≈74（m），故答案为74，首先证明BD=CD，设BD=CD=x，在Rt△ACD中，由∠A=30°，推出AD= CD，由此构建方程即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13.【答案】4【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=60°，AC=4，∴BC=，∵AB⊥CD，∴CE=BC•sin60°=×=2，∴CD=2CE=4．故答案为：4．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠B=60°，AC=4，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD=90°是关键．14.【答案】（1，-4）【解析】解：∵抛物线过点（0，-3）和（2，-3），∴抛物线的对称轴方程为直线x==1，∵当x=1时，y=-4，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；故答案为：（1，-4）．根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．15.【答案】3.12【解析】解：如图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L．连接OA1、OA2，∵十二边形A1A2…A12是正十二边形，∴∠A1OA2=30°．作OM⊥A1A2于M，又OA1=OA2，∴∠A1OM=15°，A1A2=2A1M．在直角△A1OM中，A1M=OA1•sin∠A1OM=0.26R，∴A1A2=2A1M=0.52R，∴L=12A1A2=6.24R，∴圆周率π≈==3.12．故答案为3.12．连接OA1、OA2，根据正十二边形的性质得到∠A1OA2=30°，△A1OA2是等腰三角形，作OM⊥A1A2于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A1OM=15°，A1A2=2A1M．设圆的半径R，解直角△A1OM，求出A1M，进而得到正十二边形的周长L，那么圆周率π≈．本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长L是解题的关键．16.【答案】不正确EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦【解析】解：小亮的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI=IT，∴AN=NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．故答案为不正确；EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．由作法可知，弦AN与MN不相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．由此得出小亮的作法不正确．本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系定理．根据作法得出弦AN与MN不相等或弦BP与PM不相等是解题的关键．17.【答案】解：原式==．【解析】利用特殊角的三角函数值计算即可．此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值计算．18.【答案】-1【解析】解：（1）∵该函数的图象与y轴交于点（0，3），∴把x=0，y=3代入解析式得：-3m=3，解得m=-1，故答案为-1；（2）由（1）可知函数的解析式为y=-x2+2x+3，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）；画图如下：（1）由抛物线与y轴交于（0，3），将x=0，y=3代入抛物线解析式，即可求出m 的值；（2）由（1）求得解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应平滑的曲线作出抛物线的图象．此题考查了待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象上点的坐标特征．19.【答案】解：（1）∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，∴=，∵点E是AC的中点，设AE=x，∴AC=2AE=2x，∵AD=8，AB=10，∴=，解得：x=2，∴AE=2．【解析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE=x，根据相似三角形的性质可知=，从而列出方程解出x的值．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．20.【答案】解：（1）由题意得，A（2，2），∵反比例函数y=的图象经过点A，∴k=2×2=4，∴反比例函数的表达式为：y=；（2）由图象可知：如果反比例函数y=的图象与正方形ABCD有公共点，k的取值范围是0＜k≤4或-4≤k＜0．【解析】（1）根据题意得出A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）根据A、B、C、D的坐标，结合图象即可求得．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质以及反比例函数的图象，根据图象得出正方形各点的坐标是解题的关键．21.【答案】5 4【解析】解：（1）如图，作OP⊥CD于P．∵OBCD是等腰梯形，OB=2，CD=4，∴DP=（CD-OB）=1．在直角△ODP中，∵∠D=60°，∴OP=DP•tan∠D=1×=，∴S=（OB+CD）•OP=（2+4）梯形OBCD•=3≈3×1.7≈5（m2），即盲区1的面积约是5m2；在直角△BEN中，∵∠EBN=25°，EN=2，∴BE=≈=4，∴S△BEN=BE•EN≈×4×2=4（m2），即盲区2的面积约是4m2．故答案为5，4；（2）∵AC=AD==，AH=AG==，AM=AN==，∴AC=AD＞AH=AG＞AM=AN，∴以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．如图所示．（1）作OP⊥CD于P．根据等腰梯形的性质求出DP=（CD-OB）=1．解直角△ODP，得出OP=DP•tan∠D=，再利用梯形的面积公式即可求出盲区1的2为盲区2的面积；（2）利用勾股定理求出AC=AD==，AH=AG==，AM=AN==，得到AC最大，那么以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．本题考查了作图-应用与设计作图，解直角三角形的应用，视点、视角和盲区，等腰梯形、矩形、正方形的性质以及勾股定理．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22.【答案】解：（1）如图所示，△A2B2C2即为所求；（2）先取一格点A2，在水平方向上取A2C2=2，再在网格中取一格点B2，使∠C2A2B2=135°，且A2B2=，则△A2B2C2∽△A1B1C1；∵A1C1=4，∠C1A1B1=135°，A1B1=2，∴==，∠C2A2B2=∠C1A1B1，∴△A2B2C2∽△A1B1C1．【解析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可；（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得．本题主要考查作图-相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．23.【答案】（1）证明：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BE，∵AB=AE，∴∠BAE=2∠BAF，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD=90°，∵∠BAF+∠ABE=90°，∠ABF+∠EBD=90°，∴∠EBD=∠BAF，∴∠BAE=2∠EBD．（2）解：作EH⊥BD于H．∵∠BAF=∠EBD，∴sin∠BAF=sin∠EBD=，∵AB=5，∴BF=，∴BE=2BF=2，在Rt△ABF中，EH=BE•sin∠EBH=2，∴BH==4，∵EH∥AB，∴=，∴=，∴DH=，∴BD=BH+HD=．【解析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE=2∠BAF，再证明∠EBD=∠BAF即可解决问题；（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF=sin∠EBD=，AB=5，推出BF=，推出由EH∥AB，推出=，由此即可求出DH解决问题；本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】1【解析】解：（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5-4=1（元），故：答案为1；（2）设直线的表达式为：y1=kx+b（k≠0），把点（3，5）、（6，3）代入上式得：，解得：，∴直线的表达式为：y1=-x+7；设：抛物线的表达式为：y2=a（x-m）2+n，∵顶点为（6，1），则函数表达式为：y2=a（x-6）2+1，把点（3，4）代入上式得：4=a（3-6）2+1，解得：a=-，则抛物线的表达式为：y2=-（x-6）2+1，∴y1-y2=-x+7+（x-6）2-1=-（x-5）2+，∵a=-＜0，∴x=5时，函数取得最大值，故：5月销售这种多肉植物，单株获利最大．（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5-4=1（元），即可求解；（2）点（3，5）、（6，3）为一次函数上的点，求得直线的表达式为：y1=-x+7；同理，抛物线的表达式为：y2=-（x-6）2+1，故：y1-y2=-x+7+（x-6）2-1=-（x-5）2+，即可求解．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．25.【答案】2.9 3.3【解析】解：（1）如图，根据对称性可知：根据对称性可知：当x=2和x=4时，PA=BP′=2，∵PC⊥AB，P′C′⊥AB，∴PC=P′C′=，∴CD=≈2.9．故答案为2.9．（2）利用描点法画出图象如图所示：（3）当∠DCP=30°时，CD=2PD，即y=x，观察图象可知：与函数图象与直线y=x的交点为（3.3，3.3），∴AP的长度为3.3．（1）根据对称性可知：当x=2和x=4时，PA=BP′=2，因为PC⊥AB，P′C′⊥AB，即可推出PC=P′C′=，再利用勾股定理即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；（3）函数图象与直线y=x的交点的横坐标即为PA的长，利用图象法即可解决问题；本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3a过点A（-1，0），∴a-b+3a=0，∴b=4a，∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax+3a，∴抛物线的对称轴为x=-=-2；（2）∵直线y=x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C，∴B（0，4），C（-2，2），∵抛物线y=ax2+bx+3a经过点A（-1，0）且对称轴x=-2，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（-3，0），①a＞0时，如图1，将x=0代入抛物线得y=3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴3a≥4，解得a≥，②a＜0时，如图2，将x=-2代入抛物线得y=-a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴-a≥2，解得a≤-2；综上所述，a≥或a≤-2．【解析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b=4a，则解析式为y=ax2+4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴；（2）结合图形，分两种情况：①a＞0；②a＜0；进行讨论即可求解．本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．27.【答案】60° 1【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=∠C=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠DAF=∠ABD，∴∠BFE=∠ABD+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=60°，故答案为：60°．（2）如图1中，当=时，由题意可知：AD=CD，BE=CE．∵△ABC是等边三角形，BE=EC，AD=CD，∴∠BAE=∠BAC=×60°=30°，∠ABD=∠ABC=30°，∴∠FAB=∠FBA，∴FA=FB，∴=1．故答案为1．（3）设AF=x，BF=y，AB=BC=AC=n．AD=CE=1，∵△ABD≌△CAE，∴BD=AE，∠DAF=∠ABD，设BD=AE=m，∵∠ADF=∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴=，∴=①，∵∠FBE=∠CBD，∠BFE=∠C=60°，∴△BFE∽△BCD，∴=，∴=②，①÷②得到：=，∴=．（1）易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF=∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．（2）如图1中，当=时，由题意可知：AD=CD，BE=CE．利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AF=x，BF=y，AB=BC=AC=n．AD=CE=1，由△ABD≌△CAE，推出BD=AE，设BD=AE=m，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．28.【答案】D，E【解析】解：（1）根据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍．即半径为1的⊙O的“等径点”在以O为圆心2为半径的圆内或圆上．如图1中，观察图象可知：在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是D，E．故答案为D，E；②如图2中，设直线EF交半径为2的⊙O于点K，连接OK，作KM⊥OF于M．∵OF=2，OE=2，∴tan∠EFO==，∴∠OFK=60°，∵OF=OK，∴△OFK是等边三角形，∴OF=OK=FK=2，∵KM⊥OF，∴FM=OM=1，KM==，∴K（-1，），∵当点T在线段FK上时，点T是“等径点”，∴-2≤m≤-1．（2）如图3中，∵△EFG是直角三角形，∠FEG=90°，∠EFG=60°，∴EF=2OF=4，FG=2EF=8，∴OG=6，由题意△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，这个圆的圆心Q是线段FG的中点，Q（2，0），设这个圆的半径为r．由题意：QG≤2r∴4≤2r，∴r≥2，即这个圆的半径r的取值范围为r≥2．（1）①根据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍，由此即可判定；②如图2中，设直线EF交半径为2的⊙O于点K，连接OK，作KM⊥OF于M．当点T在线段FK上时，点T是“等径点”，求出点K的坐标即可解决问题；（2）因为△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，所以这个圆的圆心Q 是线段FG的中点，易知Q（2，0），设这个圆的半径为r．根据QG≤2r，构建不等式即可解决问题；本题属于圆综合题，考查了“等径点”的定义，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2018-2019学年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷含答案解析
2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．（2分）（2018秋•丰台区期末）如果∠A是锐角，且sin A，那么∠A的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．（2分）（2018秋•丰台区期末）如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．（2分）（2018秋•丰台区期末）将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3 4．（2分）（2018秋•丰台区期末）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．1：2B．1：3C．2：1D．3：15．（2分）（2018秋•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y（x＞0）的图象上，如果将矩形OCAD的面积记为S1，矩形OEBF的面积记为S2，那么S1，S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定6．（2分）（2018秋•丰台区期末）如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A．157cm2B．314cm2C．628cm2D．733cm27．（2分）（2018秋•丰台区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞08．（2分）（2018秋•丰台区期末）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b ＜，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题(本题共16分,每小题2分)9．（2分）（2018秋•丰台区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，那么cos B＝．10．（2分）（2018秋•丰台区期末）若2m＝3n，那么m：n＝．11．（2分）（2018•香坊区一模）已知反比例函数y，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是．12．（2分）（2019•西安模拟）永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是米．（ 1.4，1.7，结果保留整数）13．（2分）（2019•昌图县模拟）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B ＝60°，AC＝4，那么CD的长为．14．（2分）（2018秋•丰台区期末）已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是．15．（2分）（2019•曲阜市二模）刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为．（参考数据：sin l5°＝0.26）16．（2分）（2018秋•丰台区期末）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法（“正确”或“不正确”）理由是．三、解答题（本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27,28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
人教版九年级上册数学期末检测试卷(含答案)
人教版九年级上册数学期末检测试卷一、选择题（每题3分，共24分） 1. 已知⊙O 的半径为6cm ，点O 到直线l 的距离为7cm ，则直线l 与O 的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定2. 线段2cm ，8cm 的比例中项为 cm 。
（ ） A. 4 B. 4.5 C. ±4 D. ±83. 如图,已知直线a //b//c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F 、AC=3，CE=6，BD=2，DF= （ ） A. 4 B.4.5 C. 3 D. 3.54. 张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为 米. （ ） A. 3.2 B. 4.8 C.5.2 D. 5.6第3题图 第8题图5. 把抛物线y =2x ²向左平移2个单位，则平移后抛物线对应的函数表达式是 （ ） A. y=2x ²+2 B. y=2（x-2）² C. y=2x ²+2 D. y=2（x+2）²6. 在△ABC 中，若|21sinA -|+（cosB 22-）²=0，则∠C 的度数是 （ ） A. 45° B. 75° C. 105° D. 120°7. 如下图，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的为（ ）8. 如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上。
若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB =5，BC =3，则tan α的值为 （ ） A. 103 B. 53C. 126D. 25二、填空题（每题3分，共24分）9. 二次函数y=（x-1）²+2的顶点坐标为 。
10. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2厘米，则这个扇形的弧长为 厘米。