《古算明珠——“方程术”与“正负术”》课件1-优质公开课-人教B版选修3-1精品
方程术与正负术
方程【以御错糅正负】今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。
问上、中、下禾实一秉各几何?答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一；中禾一秉，四斗、四分斗之一；下禾一秉，二斗、四分斗之三。
方程程，课程也。
群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率。
二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。
并列为行，故谓之方程。
行之左右无所同存，且为有所据而言耳。
术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。
中、左行列如右方。
此都术也。
以空言难晓，故特系之禾以决之。
又列中、左行如右行也。
以右行上禾遍乘中行而以直除。
为术之意，令少行减多行，反复相减，则头位必先尽，上无一位则此行亦阙一物矣。
然而举率以相减，不害余数之课也。
若消去头位则下去一物之实。
如是叠令左右行相减，审其正负，则可得而知。
先令右行上禾乘中行，为齐同之意。
为齐同者，谓中行直减右行也。
从简易虽不言齐同，以齐同之意观之，其义然矣。
又乘其次，亦以直除。
复去左行首。
然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。
亦令两行相去行之中禾也。
左方下禾不尽者，上为法，下为实。
实即下禾之实。
上、中禾皆去，故余数是下禾实，非但一秉。
欲约众秉之实，当以禾秉数为法。
列此，以下禾之秉数乘两行，以直除，则下禾之位皆决矣。
各以其余一位之秉除其下实。
即计数矣，用算繁而不省。
所以别为法，约也。
然犹不如自用其旧，广异法也。
求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。
此谓中两禾实。
下禾一秉实数先见，将中秉求中禾，其列实以减下实。
而左方下禾虽去一秉，以法为母，于率不通。
故先以法乘，其通而同之，俱令法为母，而除下禾实。
以下禾先见之实令乘下禾秉数，即得下禾一位之列实。
减于下实，则其数是中禾之实也。
余如中禾秉数而一，即中禾之实。
余中禾一位之实也。
故以一位秉数约之，乃得一秉之实也。
求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。
此右行三禾共实。
人教B版高中数学必修三课件第一章1.3中国古代中的算法案例
2．用辗转相除法求a，b的最大公约数的算法步骤是什么？ 提示：S1 输入正整数a，b(a>b)． S2 用r表示a÷b的余数； S3 若r≠0，则将b的值赋给a，将r的值赋给b，转S2. S4 输出最大公约数b.
3．辗转相除法和更相减损之术的理论依据分别是什么？ 提示：辗转相除法的理论依据是：由m＝nq＋r可以看出， m，n和n，r有相同的公约数．更相减损之术的理论依 据为：由m－n＝r，得m＝n＋r，可以看出，m，n与n， r有相同的公约数，即二者的“算理”相似．
则递推公式为
v0＝an vk＝vk－1x＋an－k
，其中 k＝
1,2，…，n.
(2)计算 P(x0)的方法: 先计算 最内层的括号 ，然后 由内向外逐层计算，
直到 最外层括号 ，然后加上 常数项 ．
[小问题·大思维] 1．任意两个正整数总能用辗转相除法求它们的最大公约
数吗？ 提示：由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数， 辗转相除法的步骤总可以在有限步之后完成，从而总可 以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数．
[悟一法] 利用秦九韶算法计算多项式的值，关键是能正确地将所 给多项式改写，然后由内向外逐次计算，当多项式函数 中间出现空项时要以系数为零的齐次项补充．由于后项 计算需用到前项的结果，故应认真细心确保中间结果的 准确性．
[通一类] 2．[例题多维思考]本例中将f(x)变为f(x)＝x5＋2x4＋3x3
求三个数168,56,264的最大公约数． [巧思] 求三个数的最大公约数应先求其中两个数的最大公 约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数． [妙解] 法一：采用更相减损之术求解．
先求168与56的最大公约数： 168－56＝112,112－56＝56，因此 168与56的最大公约数是56.
人教B版高中数学必修三课件1.3中国古代中的算法案例
2.用秦九韶方法求多项式
f(x)=1+x+0.5x2+0.16667x3+0.04167x4+0.00833x5
在x=－0.2时的值。
公式为
vk
v0 an vk1x ank
k=1,2,…,n
v0=a5
v1=v0x+a4 v2=v1x+a3 v3=v2x+a2
一般的解决方案
x=5;
F（5）=2*5^5–5*5^4–4*5^3+3*5^2–6*5+7;
上述算法一共做了解15次乘法运算，5次加法运算. 优点是简单，易懂; 缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且 计算效率不高。
有没有更高效的算法？
用提取公因式的方法多项式变形为
f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7 =x4(2x－5)－4x3+3x2－6x+7 =x3((2x－5)－4)+3x2－6x+7 ………… =((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7
这样多项式的每一含x的幂的项都是ak与xk 的乘积(k=1，2，…，n)，在计算ak·xk项时， 把xk的值保存在变量c中，求ak+1·xk+1项时， 只须计算ak+1·x·c，同时把x·c=xk+1的值存入 c中，继续下一项的运算。
逐项求和法所用的乘法的次数是2n－1,加
法是n次。
当n≥3时，
n 2n 1 n(n 1) 2
令vk=(…(anx+an－1)x+…+an－(k－1))x+an－k
数学选修3-1数学史选讲第1课时市公开课金奖市赛课一等奖课件
5.12世纪前罗马数字
羅馬字 I II III IV V VI
VII VIII
IX
X
數字 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10
羅馬字 XI XII XIII XIV XV XVI XVII
XVIII
XIX
XX
數字 11 12 13 14 15 16 17 18
19
20
羅馬字 XXI XXIX XXX XL
第一讲 早期算术与几何
--记数与测量
第1页
数学——— 空间形式与数量关系
四大文明古国 ——尼罗河：古埃及 ——两河流域：巴比伦 ——恒河与印度河：古印度 ——黄河与长江：中国
第2页
古埃及与古巴比伦数学最为长远，古埃及 （波斯与希腊取代）与古巴比伦文化早已湮 灭在历史长河中，古印度文明屡受摧残损失 殆尽，希腊和罗马也早已失去了往日荣耀与 辉煌。惟中华文明薪火相传。
第17页
四、算术运算 1.纸草上数学：分级记数法（古埃及僧侣文 记数）整数加减法很以便，分数较复杂，要 化为单分数。乘法是累加法（倍乘）。
2.算筹算术
第18页
五.代数
纸草上数学：下一量加上它本身七分之一 等于19. 泥板上数学：给出了复杂算术问题，尚有 乘法表。 已知两数积为60，差为7，求这两数。 尚有求解指数方程：有一笔钱，年利率为 20％，问多长时间利率与本金相同。
第12页
3.其它记数法 （1）简朴累数制
I VX L CDM 1 5 10 50 100 500 1000
3888=MMMDCCCLXXXVIII
第13页
(2)分级符号制（古埃及僧侣文中数码） 每年较高单位另立符号
（3）乘法累数制（位置制记数） 阿拉伯数字与中国数字
人教版选修3-13.4中国古代数学家课件
牟合方盖
同
伞
《九章算术》中“开立圆术”：V球体
9 16
直径3
刘徽：然此意非也。何以验之？
r r
刘徽指出：
V球 S圆
V牟合方盖 S正方形 4
刘徽指出：
V球 S圆
V牟合方盖 S正方形 4
如何求牟合方盖的体积？ 刘徽百思不得其解，最终 不得不“敢不阙疑，以俟 能言者”。
二、祖冲之—具有世界影响的数学家
选修3-1 数学史选讲 （人教A版）
中国古代数学家
一、刘徽—中国古典数学理论的奠基人
刘徽，魏晋间人，263年注释《九章算术》
“徽幼习《九章》，长再详览。 观阴阳之割裂，总算术之根源， 探赜（深奥，玄妙）之暇，遂悟 其意。是以敢竭顽鲁，采其所见， 为之作注。”
——刘徽《九章算术注》
1.1 刘徽与《九章算术》
1.《九章算算术》， 此中翘楚是《九章》。
——严敦杰 能与《几何本来》媲美， 被尊称为“算经之首”。
2.《九章算术》的成书年代
“往者暴秦焚书，经书散坏。自时厥 后，汉北平候张苍（秦汉两朝官员）、 大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等 因旧文之遗残，各称删补。故校其目与 古或异，所论者多近语也。”
精丽罕俦，千古独绝。 —茅以升
2.祖冲之还给出了圆周率的两个分数近似值： 约率：22
7
密率：355 (祖率) 113
密率 355 是分子、分母不超过1000的分数
113
中最接近 的分数。 ——华罗庚
2.2 祖氏父子推出了球的体积公式
第一步：将一个立方体分成四部分
（外三棋）
（内棋）
第二步：算出“外三棋”体积 祖暅原理
2.出入相补原理
所谓出入相补原理：是指一个平面图形从一处 移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块， 那么各部分面积的和等于本来图形的面积。立体 的情况也是这样。
高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》41PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
1中国古代数学瑰宝——《九章算术》教学设计隆德县中学刘芳【教材分析】本节课教材是人教A版高中数学（选修3—1数学史选讲）第三讲中国古代数学瑰宝的第二节。
本节课是学生在学习了古希腊数学史之后，学习的关于我国主要数学成就的第二块内容。
《九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产,是中国古代数学发展史上的重要里程碑,它对中国古代数学发展的影响之大是任何其他数学书籍不能相比的。
它几乎成了中国古代数学的代名词。
中国历代数学家从中汲取着丰富的营养,不断地将中国数学推向前进。
因此，学习本节课的内容十分重要。
【学情分析】学习本节课学生对于数学史的知识了解甚少。
“历史使人明智”。
学习一些数学史知识，可以使同学们了解数学的发展轨迹，更好地体会数学概念所反映的思想方法，感受数学家们刻苦钻研和勇于开拓的精神，这对开阔视野、启发思维以及学习和掌握数学知识都大有益处。
【教学目标】知识与技能：1．了解中国最早的经典数学著作之一的《九章算术》的深远影响；2.初步熟悉我国古代数学家刘徽的杰出贡献；3．学习《九章算术》介绍的各种实际问题解法。
过程与方法：《九章算术》总结了自周代以来的中国古代数学，学习其中代表性的“盈不足术”、“方程术”、“正负术”。
2情感态度与价值观：《九章算术》是中国古代最著名的传世数学著作，又是中国古代最重要的数学典籍，对中国古代数学的发展起到了巨大的推动作用。
【教学重点】《九章算术》的主要内容以及其深远影响。
【教学难点】《九章算术》中介绍的各种实际问题的解法以及其现实意义。
【教法、学法】启发引导，分析讲解。
【教具】粉笔、ppt、视频。
【教学过程】一、创设情景，引入新课（复习导入）示例一：（2015年全国Ⅱ卷）如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，3若输入的a,b分别为14,18，则输出的a（）.A．0B．2C．4D．14设计意图：展示普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修3中第一章第三节算法案例中与《九章算术》有关的“更相减损术”的内容，以及2015年全国Ⅱ卷的程序框图真题的实例，引入新课，激发学生的学习热情。
人教版高中数学选修3-1 第三讲 三 大衍求一术 (共30张PPT)教育课件
希尔伯特的第10个问题：
能求出一个整系数方程的整 数根，称为丢番图方程可解. 希尔伯特问，能否用一种由 有限步构成的一般算法判断 一个丢番图方程的可解性？
希尔伯特
1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了 希尔伯特所期望的算法不存在.
课堂小结
秦九韶在其著作《数书九章》中由起源于 《孙子算经》的“物不知数”推理出的定理— “大衍求一术”，解决了一次同余方程组的一 般解法.在数学史上有占有不可动摇的领先地位. 比西方早500多年，在欧洲曾被称作“高斯定 理”，后改为“中国剩余定理”.
过程与方法
通过学习“物不知数”解法，了解“大 衍求一术”算法，了解其不可动摇的影响.
情感态度与价值观
“大衍求一术” 比欧美国家早500年，代 表中世纪数学发展的主流，并将中国古代数 学推向了顶峰，秦九韶是世界最伟大的数学 家之一.
教学重难点
重点
“物不知数”的古代以及现代解题方法.
难点
了解并学会“大衍求一术”又称“中国 剩余定理”的现实应用.
然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵 的总人数.
《孙子算经》
《孙子算经》全书共三卷：
上卷较详细地记述了算筹记数法和用算 筹进行乘、除、开方以及分数等运算的步骤 和法则.后两卷记录的大都是生活的实际问题. 下卷的第26题就是著名的“物不知其数”问 题，又称“孙子问题”.
2020人教版高二数学选修3-1全册课件【完整版】
第一讲 早期的算术与几何 一 古埃及的数学
2020人教版高二数学选修3－1全册 课件【完整版】
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2020人教版高二数学选修3－1全 册课件【完整版】目录
0002页 0025页 0048页 0144页 0300页 0360页 0386页 0410页 0456页 0502页 0582页 0724页 0747页 0791页 0845页 0869页
第一讲 早期的算术与几何 一 古埃及的数学 三 丰富多彩的记数制度 二 毕达哥拉斯学派 四 数学之神──阿基米德 二 《九章算术》 四 中国古代数学家 二 笛卡儿坐标系 四 解析几何的进一步发展 二 科学巨人牛顿的工作 第六讲 近代数学两巨星 一 分析的化身──欧拉 第七讲 千古谜题 一 三次、四次方程求根公式的 三 伽罗瓦与群论 第八讲 对无穷的深入思考 一 古代的无穷观念 三 集合论的进一步发展与完善 二 人民的数学家──华罗庚 学习总结报告
高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》44PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
.2《九章算术》教材分析《九章算术》是人教A版高中数学选修3-1数学史选讲第三章中国古代数学瑰宝中十分重要的内容。
中，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。
本节是第三章的第二课，主要介绍了《九章算术》的重要成就，包括盈不足术、方程术和正负术相关内容，阐述《九章算术》的深远影响。
这部分是中国古代数学的重要基础知识，原因如下：第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。
前面第二章学生学习了古希腊的《几何原本》，在本节课中将《九章算术》与《原本》进行比较，进而认知东西方古代文明的差异及对世界发展的深远影响。
第二，对盈不足术研究，将盈不足问题与盈不足术对应起来，体现了算法的思想；对方程术研究，将方程组与遍乘直除法对应起来，体现了消元的思想。
这两种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
第三，对正负术发展的学习过程，使学生经历了观察、猜测、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的探究性思维方式，加强了逻辑思维能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。
学情分析1.在学习本节内容以前，学生已经学习了《周髀算经》和赵爽弦图，初步了解了用中国古代数学文化，经历了勾股定理的证明、近似分数的计算，进一步为学习《九章算术》奠定了基础.2.经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。
但是，在本节课的学习过程中，学生对遍乘直除法的理解是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导.3.学生对方程组都有了一定的认识，并能用消元法解多元一次方程组，本节课学生通过遍乘直除法解三元一次方程组，方程术的发展、正负术的发展感知中国古代数学的伟大成就.◆知识与技能目标了解《九章算术》的内容概要及取得的重要成就，掌握盈不足术、遍乘直除法；理解方程术、正负术的发展，以及《九章算术》的深远影响.◆过程与方法目标在本节中学生经历阅读课本，观看视频，分析《九章算术》的内容概要，解析例题学习教学目标盈不足术、方程术、正负术的过程和思想.①阅读第25页，了解九章算术的内容概要，培养学生归纳总结的能力；②用盈不足术解盈不足问题，分析古代数学家将动态问题转化为静态的思想；③用遍乘直除法解多元一次方程组，加深对消元思想的理解.◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，激发学生科学理解中国古代数学历史文化的兴趣，与同时期的外国数学发展作比较，增强学生的名族自豪感。
人教版高中数学选修3-1数学史选讲《中国古代数学瑰宝》
九章算术
《九章算术》成书于公元前后，是我国最重要、 影响最深远的一本数学著作。它不是出自一个 人之手，是经过历代多人修订、增补而成，其 中的数学内容，有些也可以追溯到周代。中国 儒家的重要经典著作《周礼》记载西周贵族子 弟必学的六门课程“六艺”（礼、乐、射、御、 书、数）中有一门是“九数”。《九章算术》 是由“九数”发展而来。在秦焚书（公元前 213年）之前，至少已有原始的本子。
《算数书》
中国现存最早的 数学书《算数书 》(西汉, 约公元 前 170 年 , 19831984 年 间 湖 北 江陵张家山出土 )
《算数书》
研究得知，这“本”竹简《算数书》和《九章 算术》（公元1世纪）有许多相同之处，体例 也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、 术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九 章算术》的一样。
九章算术
第八章“方程”讲述线性方程组的解法，还论及正负数概
念及运算方法。
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下 禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾 二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、 中、下禾实一秉各几何？
勾股术
第九章“勾股”在《周髀算经》中勾股定理的基础上，形
《缀术》
《缀术》的另一贡献是祖氏原理 ：幂势既同则积不容异，在西方 文献中称为卡瓦列里原理，或不可分量原理，因为1635年意大 利数学家卡瓦列里（1598－1647年）独立提出，对微积分的建 立有重要影响。 在数学成就方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南 北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家，主要的数学成就在 于建立中国数学教育制度。为了教学需要唐初由李淳风等人注 释并校订了《算经十书》（约656年）。
贾宪三角
贾宪（约公元11世纪）是北宋人，在朝中任左班殿
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以中行中禾系数5乘左行整行，以中行对减左行， 四度减，则左行中禾系数亦化为0，下禾系数为36， 实为99。下禾系数与实有公因子9，以其约简。下禾 系数变为4，作为法，实为11，只是下禾的实。
3 x 2 y z 39 0 x 5 y z 24 0 x 0 y 4 z 11
在阿拉伯和欧洲的早期数学著作中，把“盈不足”
称为“中国算法”就是一个证明。现在，《九章算
术》已作为世界科学名著，被译成许多种文字出版。
正负术
正负术是《九章算术》方程章提出的正负数加减
法则。一则方程术中用直除法消元时会出现以小减
大的情形，再则通过损益术列方程，这都会产生负 数。「正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负 之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入 正之，负无入负之。」
著名的数学著作《九章算术》，大约编于 公元四、五十年间的东汉初期。这部书是采用 问题集的形式编的，共有二百四十六个问题， 分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、 盈不足、方程和勾股九章。
方田章讲的是各种分数计算和方田、梯形田、 斜方形田、圆田、半圆形田、弧田、环形田等的面
积计算；粟米章讲的是粮食交易的简单比例计算；
2.1 古算明珠 ——“方程术”与“正负术”
人教B版数学选修3-1《数学史选讲》
古算明珠——“方程术”与“正负术”
虽天圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉 ——刘徽 中国古代最重要的数学经典《九章算术》(约公
元前2世纪)卷8的“方程术”，是解线性方程组的
算法。
以该卷第1题为例，《今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一 秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十 四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、 中、下禾实一秉各几何？》
前四句是减法法则： 若二数同号，则； 若二数异号，则
(a) (b) (b a), b a 0
(a) (b) (a b)
若没有与之对减的数，则
后四句是加法法则：(a) (b) (a b),(a 0 b)
“《九章算术》及刘徽注”：
《今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱
一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、
八豕，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各
几何？ 答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。 术曰：如方程。》
解：设牛、羊、猪单价依次是x、y、z，求解线性 方程组
得到牛价为x=1200，羊价为y=500，豕价为 z=300。
衰分章讲的是一些按比例分配的问题；少广章讲的 是由已知面积和体积，反求边的长短和面的宽广的 问题，其中总结出了开平方和开立方的方法；
商功章讲的是计算各种体积的方法，主要解决筑 城、建堤、挖沟、修渠等实际法；盈不足章讲的
是盈亏计算法和它的应用；方程章讲的是正负数算 法，还有各种三元一次和四元一次联立方程的解法。 勾股章叙述了勾方、股方的和等于弦方的勾股定理， 以及相似直角三角形解法的问题。
《九章算术》的内容丰富多彩，包括了许多算术、 几何、代数和三角的知识，是一部非常杰出的数
学专著，它对我国数学的发展影响深远。
《九章算术》不只在中国数学史上占有十分重要
的地位，而且影响远及国外。朝鲜和日本都曾经
用它作为教科书。
欧洲在中世纪的一些算法，比如分数和比例就很
可能是从中国传入印度、再经阿拉伯传入欧洲的。
4 x 0 y 0 z 37 0 x 4 y 0 z 17 0 x 0 y 4 z 11
《实皆如法，各得一斗。》
秉之实y=4 斗，下禾1秉之实z=2 斗。
1 实除以法，得到上禾1秉之实为x=9 斗，中禾1 1 3 4 4 4
筹算解线性方程组举例（二）
《求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余， 如中禾秉数而一，即中禾之实。》
为了求中禾，以左行的法乘中行的下实，减去左行下 禾的实，在此问中即24×4－11×1。该运算的余数，除以 中行中禾的秉数，就是中行的实，仍以左行之法为法。此 问中即（24×4－11×1）÷5＝17，以4为法。
3 x 2 y z 39 0 x 4 y 0 z 17 0 x 0 y 4 z 11
《求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾 之实。余，如上禾秉数而一，即为上禾之实。》
为了求上禾，以左行之法乘右行下实，减去左行下禾实 乘右行下禾秉数，再减去中行中禾实乘右行中禾秉数。此 问中即39×4－11×1－17×2。该运算的余数，除以右 行上禾秉数，就是上禾之实，仍以左行之法为法。此问中 就是（39×4－11×1－17×2）÷3＝27，仍以4为法。
《以右行上禾遍乘中行，而以直除。》
以右行上禾系数3乘整个中行。
3 x 2 y z 39 6 x 9 y 3 z 102 x 2 y 3 z 26
然后以右行对减中行，两度减，中行上禾系数变为 0。
3 x 2 y z 39 0 x 5 y z 24 x 2 y 3 z 26
《又乘其次，亦以直除。复去左行首。》
以右行上禾系数3乘整个左行。以右行对减左行，左行上禾系数变为0。
3 x 2 y z 39 0 x 5 y z 24 0 x 4 y 8 z 39
《然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。左方 下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。》
该问题相当于解一个三元一次方程组：设上、中、下禾 一秉实依次是x、y、z，求解线性方程组
《方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一 秉，实三十九斗于右方。中、左禾列如右方》
按照方程术术文，将此题演算过程表示如下：古 代竖为行，横为列，且从左到右，与今天习惯相反。
3 x 2 y z 39 2 x 3 y z 34 x 2 y 3 z 26