勾股定理专题复习
八年级上册数学 第一章 勾股定理基本题型总结(经典全面)
CA BDBAC DB专题复习：勾股定理1、勾股定理考点一、勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
解释：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2(古时候把直角三角形中较短边叫做“勾”，较长的直角边为“股”，斜边称为“弦”)典型例题例题1、（1）在直角三角形ABC中，AC=5，BC=12，求AB的长。
（2）在直角三角形ABC中，AB=25，AC=20，求BC的长。
常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10等技巧总结：利用勾股定理，在直角三角形中，已知两边可求第三边；一般情况下，用a，b 表示直角边，c表示斜边，则有a2+b2=c2，还可以有其他形式的变式。
例题2、一个零件的的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12,求CD的长.例题3、如图所示，已知三角形ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的高。
技巧总结：有时某些线段不可以直接写出来，可以用数学转化的思想，构造直角三角形，再求出答案，也可以用勾股定理建立方程去求。
例题4、如图，台风过后某小学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部点C8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在距底部多少米处断裂？技巧总结：要用勾股定理的变形公式。
例题5、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
技巧总结：分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×21ab ＋c 2，右边S=（a+b ）2，左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2 对应的课堂练习：1. 下列说法正确的是（ ）A .若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+ 3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20 4．在R t A B C ∆中， 90=∠C ， （1）如果a =3，b =4，则c = ； （2）如果a =6，b =8，则c = ； （3）如果a =5，b =12，则c = ；(4) 如果a =15，b =20，则c = .5．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为_______1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： 。
期中复习专题勾股定理与逆定理
期中复习专题03勾股定理与逆定理【板块一勾股定理的应用】1、勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m （m ≥3，m 为正整数），则其弦是（结果用含m 的式子表示）．2、已知一个直角三角形的两直角边长分别为4和5，则这个三角形的第三边长是．3．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的第三边长为．4．如果直角三角形的两条边长为1,1-，第三边的长度是．5．在Rt △ABC 中，AC =5，BC =12，则AB 边的长是．6．如图，在数轴上表示1的点为A ，以OA 为边构造正方形AOCB ，以O 为圆心，OB 为半径画圆弧交数轴于点D ，则D 点表示的数为．7．如图，点A 在数轴上所对应的数为3，AB ⊥OA ，且AB ＝2，以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，则弧与数轴的交点C 表示的数为．8．如图，数轴上的点A 表示的数是1-，点B 表示的数是2，CB AB ⊥于点B ，且2BC =，以A 点为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数是9．如图，在平面直角坐标系中，A （4，0），B （0，3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，则点C 坐标为．10．如图，在数轴上C 点表示1，D 点表示﹣1，CA ＝CB ，∠BDC ＝90°，BD ＝1．则点A 所表示的数是．11．如图，阴影部分表示以Rt ABC △的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作1S 和2S ．若1230S S +=，13AB =，则ABC 的周长是12．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A ，B ，C ，D 的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E 的面积是13．如图，阴影部分表示以Rt △ABC 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S 1和S 2．若S 1＋S 2＝7，AB ＝6，则△ABC 的周长是14．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以ABC 的三边为边向外作正方形ACDE ，正方形CBGF ，正方形AHIB ，连结EC ，CG ，作CP CG ⊥交HI 于点P ，记正方形ACDE 和正方形AHIB 的面积分别为1S ，2S ，若1144S =，2169S =，则:ACP BCP S S △△等于13．以直角三角形的三边为边长向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A 的面积为．14．如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、b 的面积分别为5和11，则c 的面积为15．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如右图），∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，从三角板的刻度可知AB ＝20cm ，小聪想知道砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等），下面为砌墙砖块厚度的平方是（）A ． uu t cm2B ． u tcm2C ． uu t cm2D ． u tcm 216．如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得ABC ，则AC 边上的高是17．如图，边长为6的等边ABC 中，AD BC ⊥于D 点．(1)求AD 的长；(2)求ABC 的面积．18．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°（1）若AB t ，AC t ，求BC 2（2）若AB ＝4，AC ＝1，求AB 边上高．19．等腰ABC 中，,120AB AC A =∠=︒，若ABC S = BC 的长度为（）A ．B ．C ．D ．20．△ABC 中，AB ＝2AC ，CD 是的边AB 上的高，若AD ＝1， t ，则BC 边的长度是．21．在ABC 中，17,25AB AC ==，BC 边上的高为15，则ABC 的面积是．22．已知92ABC S =，AM 为ABC 的高且3,1AM CM ==，N 为AB 中点，则MN 的长度为．23，求这个三角形的周长。
中考数学专题复习：勾股定理
中考数学专题复习：勾股定理一、选择题1．下列各组数中不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．6，8，102．下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a：b：c＝5：12：13 B．∠A+∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 D．a＝6，b＝12，c＝103．在一水塔A的东北方向32m处有一抽水池B，在水塔A的东南方向24m处有一建筑工地C，在BC间需建一条直水管道，则水管的长为（）A．45m B．40m C．50m D．56m4．如果△ABC的三边长分别是m2﹣1、2m、m2+1（m＞1），那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为2mB．△ABC是锐角三角形C．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1D．△ABC是否为直角三角形，需看m的值5．如图，在△ABD中，∠D＝90°，CD＝6，AD＝8，∠ACD＝2∠B，则BD的长是（）A．12 B．14 C．16 D．186．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC边中点，MN⊥AC于点N，那么MN等于（）A．B．C．D．7．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m8．如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2二、填空题9．在△ABC中，若三条边的长度分别为9，12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是________．10．若直角三角形的两条直角边长为a、b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三条边长为________．11．如图，已知AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠ABC＝90°，则∠BAD的度数为________．12．在△ABC中，AB＝，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为________．13．如图，点P是等边△ABC内一点，连接P A，PB，PC，P A：PB：PC＝3：4：5，以AC 为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝105°．其中一定正确的是________．（把所有正确答案的序号都填在横线上）14．如图，一个机器人从点O出发，向正东方向走3m到达点A1，再向正北方向走6m到达点A2，再向正西方向走9m到达点A3，再向正南方向走12m到达点A4，再向正东方向走15m到达点A5．按如此规律下去，当机器人走到点A6时，离点O的距离是________m．三、解答题15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，（1）求AB的长；（2）求CD的长．16．如图所示，一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，这个梯子的顶端距地面有多高？如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了4m吗？17如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝12，CD＝9，AB＝25，BC＝20，求四边形ABCD的面积．18如图是一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．19如图，已知BE⊥AE，∠A＝∠EBC＝60°，AB＝4，BC2＝12，CD2＝3，DE＝3．求证：（1）△BEC为等边三角形；（2）ED⊥CD．20如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．21如图所示，等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一动点P在底边上从B向C 以0.25cm/s的速度运动，当点P运动到P A与腰垂直的位置时，求点P运动的时间．22阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如5，12，13；9，40，41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3，4，5是三个连续正整数组成的勾股数．解决问题：（1）在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；（2）在无数组勾股数中，是否还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由．23距沿海某城市A的正南方向240千米的B处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿北偏东30°的方向往C移动，如图所示，且台风中心的风力不变．若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受台风的影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，则台风影响城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？参考答案1．【解答】解：A、∵32+42＝52，∴以3、4、5为边能组成直角三角形，即3、4、5是勾股数，故本选项错误；B、∵42+52≠62，∴以4、5、6为边不能组成直角三角形，即4、5、6不是勾股数，故本选项正确；C、∵52+122＝132，∴以5、12、13为边能组成直角三角形，即5、12、13是勾股数，故本选项错误；D、∵62+82＝102，∴以6、8、10为边能组成直角三角形，即6、8、10是勾股数，故本选项错误；故选：B．2．【解答】解：A、∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，故能判定△ABC是直角三角形；B、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∴∠C＝×180°＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；D、∵62+102≠122，∴△ABC不是直角三角形，故不能判定△ABC是直角三角形；故选：D．3．【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠BAC＝90°，又∵AB＝32m，AC＝24m，∴BC＝＝＝40（m）．故选：B．4．【解答】解：∵△ABC中的三边分别是m2﹣1，2m，m2+1（m＞1），又∵（m2﹣1）2+（2m）2＝（m2+1）2，∴△ABC是直角三角形，斜边为m2+1．故选：C．5．【解答】解：∵∠D＝90°，CD＝6，AD＝8，∴AC＝＝10，∵∠ACD＝2∠B，∠ACD＝∠B+∠CAB，∴∠B＝∠CAB，∴BC＝AC＝10，∴BD＝BC+CD＝16，故选：C．6．【解答】解：连接AM，∵AB＝AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，又∵S△AMC＝MN•AC＝AM•MC，∴MN＝＝．故选：C．7．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AC＝5m ∴AB＝＝＝4m，∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝7米．故选：C．8．【解答】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，∴ED＝BE，设AE＝xcm，则ED＝BE＝（9﹣x）cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴32+x2＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴△ABE的面积为：3×4×＝6（cm2）．故选：A．9．【解答】解：∵92+122＝225，152＝225，∴92+122＝152，这个三角形为直角三角形，且9和12是两条直角边；∴拼成的四边形的面积＝×9×12×2＝108．故答案为：108．10．【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形斜边为：，故答案为：5．11．【解答】解：∵AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，∴设AB＝2x，BC＝2x，CD＝3x，AD＝x，∴AB＝BC，∵∠ABC＝90°，∴AC＝，∠BAC＝45°，∵AD2+AC2＝x2+8x2＝9x2，CD2＝9x2，∴AD2+AC2＝CD2，∴∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝45°+90°＝135°，故答案为：135°．12．【解答】解：有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，由勾股定理得：BD＝＝＝5，CD＝＝＝4，∴BC＝BD+CD＝5+4＝9；②如图2，同理得：CD＝4，BD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝5﹣4＝1，综上所述，BC的长为9或1；故答案为：9或1．13．【解答】解：△ABC是等边三角形，则∠BAC＝60°，又△AP'C≌△APB，则AP＝AP′，∠P AP′＝∠BAC＝60°，∴△APP'是正三角形，①正确；又P A：PB：PC＝3：4：5，∴设P A＝3x，则：PP′＝P A＝3x，P′C＝PB＝4x，PC＝5x，根据勾股定理的逆定理可知：△PCP'是直角三角形，且∠PP′C＝90°，②正确；又△APP'是正三角形，∴∠AP′P＝60°，∴∠APB＝150°③正确；错误的结论只能是∠APC＝105°．故答案为①②③．14．【解答】解：根据题意可知当机器人走到A6点时，A5A6＝18米，点A6的坐标是（6+3＝9，18﹣6＝12），即（9，12）．所以，当机器人走到点A6时，离点O的距离是＝15．故答案为：15．15．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴AB＝，∵BC＝15，AC＝20，∴AB＝＝＝25，∴AB的长是25；（2）∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，∴20×15＝25CD，∴CD＝12，∴CD的长是12．16．【解答】解：在Rt△AOB中，∵AB＝25m，OB＝7m，OA2＝AB2﹣OB2，∴OA＝＝＝24（m），∵AA′＝4m，∴OA′＝OA﹣AA′＝20m；在Rt△A′OB′中，∵OB′2＝A′B′2﹣OA′2，∴OB′＝＝15（m），∴BB′＝OB′﹣OB＝8（m）．故这个梯子的顶端距地面24m；梯子的底端在水平方向上不是滑动了4m，而是滑动了8m．17．【解答】解：连接AC，在△ADC中，∵∠D＝90°，AD＝12，CD＝9，∴AC＝＝15，S△ABC＝AD•CD＝×12×9＝54，在△ABC中，∵AC＝15，AB＝25，BC＝20，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴S△ACB＝AC•BC＝×15×20＝150．∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝150+54＝204．18．【解答】解：连接AC，∵CD⊥AD∴∠ADC＝90°，∵AD＝4，CD＝3，∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，又∵AC＞0，∴AC＝5，又∵BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝52+122＝169，又∵AB2＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝30﹣6＝24m2．19．【解答】证明：（1）在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠AEB＝90°，∴∠ABE＝30°．∵AB＝4，∴AE＝AB＝2，BE2＝AB2﹣AE2＝12．又∵BC2＝12，∴BE＝BC．又∵∠CBE＝60°，∴△BEC为等边三角形．（2）∵△BEC为等边三角形，∴EC2＝BC2＝12．又∵DE2＝9，CD2＝3，∴DE2+CD2＝12＝EC2，∴△CDE为直角三角形，且∠D＝90°，∴ED⊥CD．20．【解答】解：∵两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝DE，AE ＝AC＝6，∴BE＝10﹣6＝4，设DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3．即CD的长为3cm．21．【解答】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，∵BC＝8cm，∴BD＝CD＝BC＝4cm，∵AB＝5cm，∴AD＝3cm，分两种情况：当点P运动t秒后有P A⊥AC时，∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+32＝（PD+4）2﹣52，∴PD＝2.25cm，∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t，∴t＝7秒，当点P运动t秒后有P A⊥AB时，同理可证得PD＝2.25，∴BP＝4+2.25＝6.25＝0.25t，∴t＝25秒，∴点P运动的时间为7秒或25秒．22．【解答】解：（1）设中间的偶数为m，则较大的偶数为m+2，较小的偶数为m﹣2，由勾股定理得，（m﹣2）2+m2＝（m+2）2，解得m＝8，m＝0（舍去）所以这三个连续偶数为6，8，10，因此存在三个连续偶数能组成勾股数，如6，8，10；（2）不存在．理由：假设在无数组勾股数中，还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．设这三个正整数分别为n﹣1、n、n+1，由勾股定理得，（n﹣1）2+n2＝（n+1）2，解得n＝4，n＝0（舍去）．所以三个连续正整数是3，4，5，所以除了3、4、5以外，不存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．23．【解答】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵∠ABD＝30°，AB＝240，∴AD＝AB＝120，∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）＝200．∵120＜200，∴该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．则AE＝AF＝200．∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝320．∴台风影响该市的持续时间t＝320÷20＝16（小时）．（3）∵AD距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）≈7（级）．。
数学第一章第二章知识点
1 / 10第一章勾股定理复习专题一、知识要点回顾：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 ；如果直角三角形两直角边分2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足 ，那么这个三角形是___________.3、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 a,b,c,成为勾股数；写出常用的几组勾股数 ， ， 4．直角三角形斜边上的高为------------------。
二、典型例题解析与练习专题一：勾股定理例题1、在Rt △ABC ，∠C=90°则：⑴已知a=b=5，求c 2。
⑵已知a=1,c=2, 求b 2。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=3：4,c=25, 求 b 。
例题2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
练习：1、已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。
例题3、已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm。
⑴求等边△ABC 的高。
⑵求S △ABC 。
例题4、 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm ，BC=24cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出BD 的长吗？DBA2 / 10练习。
如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上一点F 处，且△ABF 的面积是30cm 2．(1)求此时AD 的长． (2)求DE 的长。
2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）．A ．3B ．4 CD ．5例题5、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。
练习：1．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 2．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．3、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是_________（3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图）4、如图，在△ABC 中，CE 是AB 边上的中线，CD ⊥AB 于D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE 的长为_______.5、如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是__________6、如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．7.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．AC DBll 2 l 3ACBABCFEDCBA专题二：勾股定理的逆定理例题1、判断由线段abc组成的三角形是不是直角直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17 （2）a=13，b=14，c=15 （3）三边长之比为 3∶4∶5；练习： 1、试判断下列三角形是否是直角三角形：⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；（3）a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。
第四讲 勾股定理(总复习)(教案)
京师蜀都学堂创新教材系列勾股定理（总复习）专题第讲时间：2014年月日老师：电话：一、兴趣导入（Topic-in）：专题简析：1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，即三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（C为斜边最长，c＞a，c＞b ）注释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形。
（3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2，a2=c2－b2， b2=c2－a23、图形解释：4、勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数成为勾股数.例如：（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13），（7，24，25）注释：勾股数的每一项的整数倍的组合也是勾股数，例如（3，4，5）的二倍（6，8，10）同样也为勾股数。
二、知识讲解及例题分析(Teaching)：例1 已知两边求第三边:1．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边①若a＝5，b＝12，则c＝________；②若c＝41，a＝40，则b＝________；③若∠A＝45°，a＝1．则b＝________，c＝________ ,a：b：c＝ .2. 在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________．3. 已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD= 。
5. 如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3，则AB的长是多少?总结：在应用勾股定理进行计算时，一定要分清哪条是直角边哪条是斜边。
苏教版八年级数学上册第3章勾股定理专题复习
勾股定理专题复习勾股定理：1.如图,在一个高为3米,长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯长度为_______米。
2.三个正方形按如图所示位置摆放，S 表示面积，则S 的大小为________。
3.直角三角形三边长分别是5，12，x ，则2x =_________。
4.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 米。
勾股定理应用1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大的正方形E 的面积是( )．A ．13B ．26C ．47D ．942.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是1S ，2S ，3S ，4S ，则=+++4321S S S S _____。
3.如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B′处，点A 落在点A′处，已知AE=3， BF=5，则B′E= ，AB= ．4.如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=6,点E 为BC 的中点.将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在矩形内点F 处,连接CF.则CF 的长为( )A.59B.512C.516D.518 5.如图，△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离为 （ ）A ．1B ．3C ．4D ．56.动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5．如图所示，折叠纸片使点A 落在边BC 上的A'处，折痕为PQ ．当点A'在边BC 上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在边AB 、AD 上移动，则点A'在边BC 上可移动的最大距离为_______．赵爽弦图1.如图,将一边长为a 的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b 的正方形(其中b>a)拼接在一起,则四边形ABCD 的面积为( )22)(.a b b A -+ 22.a b B + 2).(a b C + ab a D 2.2+2.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD 的边长为14,正方形IJKL 的边长为2,且AB IJ //,则正方形EFGH 的边长为_________.3.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.如果大正方形的面积是l3,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b,那么2)(b a +值为________.第三题 第四题4.如图所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt △ABC 绕中心点O 顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm 2，这个图形的总面积为113cm2，且AD=2cm，请问徽标的外围周长为_________cm．勾股定理最值问题1.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,BD=3,DC=1,点P是AB上的动点,则PC+PD的最小值为( )A.4B.5C.6D.72.在锐角三角形ABC中，BC=3√2，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN最小值是_____ ．3.如图红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧,它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和3千米,又知道CD的长为3千米,现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水,铺设水管的工程费用每千米20000元.(1)请在CD上选择水厂位置,使铺设管道的费用最省.(2)并求出铺设水管的最最省总费用.勾股定理综合训练1.如图, 90=∠AOB ,cm OA 9=,cm OB 3=,一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O,机器人立即从点B 出发,沿BC 方向匀速前进拦截小球,恰好在点C 处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC 是多少?2.如图，△ABC 中，∠C=Rt ∠,AC=8cm,BC=6cm,若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ，设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，CP 把△ABC 的周长分成相等的两部分？（2）当t 为何值时，CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分？（3）当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形？3.如图,将在ABC Rt ∆绕其锐角顶点A 旋转90得到ADE Rt ∆,连接BE,延长DE 、BC 相交于点F,则有 90=∠BFE ,且四边形ACFD 是一个正方形.(1)判断ABE ∆的形状,并证明你的结论;(2)用含b 代数式表示四边形ABFE 的面积;(3)求证:222c b a =+.4.在劳技课上,老师请同学们在一张长为17cm,宽为16cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余两个顶点在长方形的边上).请你帮助同学们设计出不同类型的,你认为符合条件的等腰三角形,(分别在下列矩形中画出示意图)并分别计算剪下的等腰三角形的面积.(位置不同,形状全等的将视为一种结果)5.如图,ABC Rt ∆中,90=∠B ,cm AB 3=,cm BC 4=.点D 在AC 上,cm AD 1=,点P 从点A 出发,沿AB 匀速运动;点Q 从点C 出发,沿C A B C →→→的路径匀速运动.两点同时出发,在B 点处首次相遇后,点P 的运动速度每秒提高了cm 2,并沿A C B →→的路径匀速运动;点Q 保持速度不变,并继续沿原路径匀速运动,两点在D 点处再次相遇后停止运动,设点P 原来的速度为s xcm /.(1)点Q 的速度为___________s cm /(用含x 的代数式表示).(2)求点P 原来的速度.。
《勾股定理》专题复习(含答案)
第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆 孔中心A 和B 的距离为______mm ．（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，， 若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）Ａ．4 Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180—60=120，由勾股定理得: AB 2=902+1202=22500,所以AB=150（mm ）（2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边,求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．解：连结32A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理,得:4532C E C E ===，4532A E A E ===,44332A C A C ==,445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠图1 图21A2A3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C1A 2A 3A4A 5A 5E2E 1E1D 1C 1B 4C 3C 2C图3122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=． 即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力． 专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2:1：1,a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =; （C)222c a =； (D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4,x,则x 的可能值有（ ） （A ）1个； （B ）2个； (C ）3个； (D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）（A ）10.5米； （B ）7。
勾股定理专题复习
勾股定理专题复习1.如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。
（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．3.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度．4.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）B C D5、如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）（A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）８ 解析：由折叠可知，AE=AB=DC=6，在Rt △ADE 中AD=6，DE=3由勾股定理，得AD=33，设EF=x ，则FC=x -33， 在Rt △EFC 中由勾股定理求得x=32,则EF=32，在Rt △AEF 中，由勾股定理得AF=34。
故选A 。
6. 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.7.如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长． 解：由题意可知△ADE ≌△AFE .∴AF AD =，FE DE =.在矩形ABCD 中，16==AB CD ，CB AD =，︒=∠=∠=∠90D C B , ∵6=CE ,∴10=-==CE CD DE EF . 在Rt △CEF 中，822=-=CE EF FC .A BCDE F 图 2 F E D C B A。
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专题复习一 勾股定理
本章常用知识点：
1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。
2、勾股数：满足a 2
+b 2
=c 2
的三个 ，称为勾股数。
常见勾股数如下：
3、常见平方数：
121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=
289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=
专题归类：
专题一、勾股定理与面积
1、在Rt▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt▲ABC 的面积S= 。
2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：。
3、直线
l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为
4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+c 2
+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。
7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？
7、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。
l
3
2
1
S 4
S 3
S 2
S 1
A
B
C
P
8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。
（添加辅助线构造直角三角形）
9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。
10、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，求：重合部分△EBD 的面积
D
C
B
A
11、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.
专题二、勾股定理与折叠
1、如图4，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。
2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长？
3，BC=6,沿EF折叠后，点C落在AB边上的3、如图6，在矩形纸片ABCD中，AB=3
30
点P处，点D落在Q点处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=︒
(1)求BE、QF的长
(2)求四边形QEFH的面积。
专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度
1、如图7，铁路上A、B两站相距25千米，C、D为两村庄，DA⊥AB于A点，CB⊥AB 于点B，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D 两村庄到收购站的距离相等，则收购站E应建在距离A站多远的距离？
2、一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B距离底C为3米，如果
梯子的顶端A沿墙下滑1米到D处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E处吗？请给出证明。
3、△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15且AD⊥AC，求BD的长．
专题四、勾股数的应用
1、下列是勾股数的一组是（ ）
A 4,5,6,
B 5,7,12
C 12,13,15
D 14 ,48,50
2、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是 。
3、下列是勾股数的一组是（ ）
A 2,3,4,
B 5,6,7,
C 9,40,41
D 10 24 25
4、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c ，其中a,b,c 为正整数，且a<b<c
（1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论 （2）：当a=21时，求b,c 的值
专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明
1、 在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 证明：AD ⊥BD
2、CD 是▲ABC 中AB 边上的高，且CD 2
=AD ∙DB ， 试说明∠ACB=︒90
2、 在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点且CF=4
1
CD 试说明▲AEF 是直角三角形。
4、▲ABC 三边的长为a,b, c ，根据下列条件判断▲ABC 的形状
（1）：a 2
+b 2
+c 2
+200=12a+16b+20c ； （2）：a 3
-a 2
b+ab 2
-ac 2
+bc 2
-b 3
=0
5、试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？
6、如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．
求证：AD2=AC2+BD2．
a2+b2=c2,若▲ABC不是直角三角形，如图(2)与图(3)，请你类比勾股定理猜想a2+b2与c2
的关系，并且证明你的结论。
8、如图ABC ∆中，P AC AB BAC ,,90=︒=∠为BC 上任意一点， 求证：2222AP CP BP =+．
专题六、勾股定理与旋转
1、在等腰Rt▲ABC 中，∠CAB=︒90，P 是三角形内一点，且PA=1,PB=3,PC=7
求：∠CPA 的大小？
3、 如图，在等腰△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 为斜边AB 上的点，且∠DCE=45°。
求证：DE 2=AD 2+BE 2。
E
4、 如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是
AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。
4、已知，如图△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 。
5、如图，在ABC ∆中，0
90B ∠=，M 为AB 上一点，AM=BC ，N 为AB 上一点，CN=BM ，连接AN 、CM 交于点P 。
求APM ∠的大小。
B M
C A
N
专题七、最短路线问题
1、有一正方体盒子，棱长是10cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行
的最短路线是多少？
B
A
2、有一个长方体盒子。
它的长是70cm，宽和高都是50cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
B
A
3、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
A
4、如下图、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m，则他所买的竹竿最大长度是多少？
5、如图,已知圆锥的母线AS=10㎝，侧面展开图的夹角是90°，点C为AS的中点,A处有一只蜗牛想吃到C处的食物,但它不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.
B。