2018年中考数学复习第二部分题型研究题型一数学思想方法类型一分类讨论思想针对演练

第二部分题型研究
题型一数学思想方法
类型一分类讨论思想
针对演练
1. 已知直角三角形两边的长a、b满足|a－2|＋b2－3＝0，则第三边长为_________．
2. 若关于x的方程kx2＋2(k＋1)x＋k－1＝0有实数根，则k的取值范围是________．
3. 已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是_________．
4. A，B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是________．
5. 如果四个整数中的三个分别是2，4，6，且它们的中位数也是整数，那么它们的中位数是________．
6. (2017襄阳)在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为1和2，则∠BAC的度数为________．
7. 如图，已知点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，那么满足条件的点P共有________个．
第7题图
8. 书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是________元．
9. 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，则∠BCA的度数
为________．
10. (2017杭州)已知△ABC 的三个顶点为A (－1，－1)，B (－1，3)，C (－3，－3)，
将△ABC 向右平移m (m >0)个单位后，△ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数y ＝3x
的图象上，则m 的值为________．
11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF (点E 、F 分别在边AC 、BC 上)当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为________．
第11题图
12. (2017鄂州)如图，AC ⊥x 轴于点A ，点B 在y 轴的正半轴上，∠ABC ＝60°，AB ＝4，BC ＝23，点D 为AC 与反比例函数y ＝k x
的图象的交点，若直线BD 将△ABC 的面积分成1∶2的两部分，则k 的值为________．
第12题图
13. 如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A ，B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3，0)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
第13题图
答案
1. 1或7 【解析】由非负数的性质知，a －2＝0且b 2
＝3，∴a ＝2，b ＝3，①当a 为斜边时，则由勾股定理得，第三边为1；②当a 为直角边时，则由勾股定理得，第三边为7.
2. k ≥－13 【解析】当k ＝0时，方程为2x －1＝0，x ＝12，方程有实根；当k ≠0时，方程为一元二次方程，方程要有实数根，则[2(k ＋1)]2－4k (k －1)≥0，即k ≥－13
，综上所述，k 的取值范围是k≥－13
. 3. 15°或75° 【解析】①当点E 在正方形ABCD 外部时，AD ＝DE ，则∠AED ＝180°－（90°＋60°）2
＝15°；②当点E 在正方形ABCD 内部时，AD ＝DE ，则∠AED ＝180°－（90°－60°）2
＝75°. 4. 2或2.5 【解析】①相遇前：120t ＋80t ＋50＝450，解得t ＝2；②相遇后：120t ＋80t －50＝450，解得t ＝2.5.
5. 3或4或5 【解析】①当数据为2，2，4，6时，中位数为3；②当数据为2，4，4，6时，中位数为4；③当数据为2，4，6，6时，中位数为5.
6. 15°或105° 【解析】⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，∴OA ＝OB ＝AB ，∴△AOB 是等边三角形，∠OAB ＝60°，∵弦AC ＝2，∴∠OAC ＝45°.如解图①，此时∠BAC ＝∠B AO
－∠CAO ＝60°－45°＝15°；如解图②，∠BAC ＝∠BAO ＋∠CAO ＝60°＋45°＝105°.
第6题解图
7. 6 【解析】当以AB 为斜边时，∠APB ＝90°，与坐标轴有3个交点；当∠PAB ＝90°时，与y 轴有一个交点；当∠PBA ＝90°时，与x 轴，y 轴各有1个交点．∴满足条件的点P 共有6个．
8. 248或296 【解析】设第一次购书原价为a 元，则第二次购书原价为3a 元，易知第一次购书原价必然不超过100元，否则两次付款必然大于229.4，故分类讨论如下： ①若a ≤100且3a ≤100，显然a ＋3a ≤200＜229.4，舍去；②若a ≤100且100＜3a ≤200，则a ＋0.9×3a ＝229.4，解得a ＝62，所以两次购书原价和为4a ＝4×62＝248元；③若a ≤100且3a ＞200，则a ＋0.7×3a ＝229.4，解得a ＝74, 所以两次购书原价和为4a ＝4×74＝296元．综上所述：两次购书的原价和为248元或296元．
9. 65°或115° 【解析】①如解图①，当△ABC 为锐角三角形时，△ABD ∽△CAD ，∠BCA ＝∠BAD ＝90°－25°＝65°；②如解图②，当△ABC 为钝角三角形时，∠BCA ＝∠CDA ＋∠CAD ＝90°＋∠B ＝90°＋25°＝115°.
图①
图②
第9题解图
10. 0.5或4 【解析】依题可得：有两种可能，即AC 、AB 中点落在反比例函数y ＝3x
的图象上．①若为AC 中点(－2，－2)向右平移m 个单位后落在y ＝3x
的图象上，则有点(m －2，－2)在y ＝3x 的图象上，代入得－2＝3m －2
，∴－2m ＋4＝3，∴m ＝0.5；②若为AB 中点(－1，1)向右平移m 个单位后落在y ＝3x 图象上，则有点(m －1，1)在y ＝3x
的图象上，代入得1＝3m －1
，∴m －1＝3，∴m ＝4.所以m 为0.5或4. 11. 1.8或2.5 【解析】有两种情况：①若CE ∶CF ＝3∶4，如解图①所示．∵CE ∶CF ＝AC ∶BC ，∴EF ∥AB .由折叠性质可知，CD ⊥EF ，∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高．在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∴cos A ＝0.6，AD ＝AC ·cosA ＝3×0.6＝1.8；②若CF ∶CE ＝3∶4，如解图②所示．∴△CEF ∽△CBA ，∴∠CEF ＝∠B .
由折叠性质可知，∠CEF ＋∠ECD ＝90°，又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠A ＝∠ECD ，∴AD
＝CD .同理可得：∠B ＝∠FCD ，CD ＝BD ，∴此时AD ＝BD ＝12
×5＝2.5.综上所述，AD 的长为1.8或2.5.
第11题解图①
第11题解图②
12. －8或－4 【解析】如解图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，在Rt △CBM 中，BC ＝23，
∠ABC ＝60°，∴BM ＝3，CM ＝3，∴S △ABC ＝12AB ·CM ＝12
AC ·AO ＝6，∵BD 将S △ABC 分成1∶2
的两部分，则AD ＝13AC 或AD ＝23AC ，∵点D 在反比例函数y ＝k x 上，∴k ＝－13
AC ·OA ＝－4或k ＝－23
AC ·OA ＝－8.
第12题解图
13. 解：(1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ，
∵直线y ＝3x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，
∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，3)，
又∵抛物线经过A ，B ，C 三点，点C 的坐标为(3，0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2c ＝3
，
∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3；
(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，
∴该抛物线的对称轴为直线x ＝1.
设点Q 的坐标为(1，m )，则AQ ＝4＋m 2，BQ ＝1＋（3－m ）2，AB ＝10.
当AB ＝AQ 时，10＝4＋m 2，解得m ＝±6，
∴点Q 的坐标为(1，6)或(1，－6)；
当AB ＝BQ 时，10＝1＋（3－m ）2，解得m 1＝0，m 2＝6，
∴点Q 的坐标为(1，0)或(1，6)，
但当点Q 的坐标为(1，6)时，点A ，B ，Q 在同一条直线上，∴舍去；
当AQ ＝BQ 时，4＋m 2＝1＋（3－m ）2，解得m ＝1，
∴点Q 的坐标为(1，1)．
∴抛物线的对称轴上存在点Q (1，6)，(1，－6)，(1，0)，(1，1)，使△ABQ 是等
腰三角形．。