【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.2.1条件概率课时作业 新人教A版选修2-3
【成才之路】高中数学2-1-2-3练习新人教A版必修1
一、选择题1．以下以 x 为自变量的函数中，是指数函数的是 ()A ．y ＝ ( － 3) xB ．y ＝ e x ( e ＝2.718 28 )C ．y ＝－ 4xD ．y ＝ a x ＋2( x >0 且 a ≠1)[ 答案]B＋(12．函数 f ( )＝( x － 5) x － 2) －的定义域是 ()x2A ．{ x | x ∈ R ，且 x ≠5， x ≠2}B ．{ x | x >2}C ．{ x | x >5}D ．{ x |2< x <5 或 x >5} [ 答案]D[ 分析]x －5≠0，∴ x >2 且 x ≠5.由题意得：x － 2>01 x 13．已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当x <0 时， f ( x ) ＝ ( 3)，那么 f ( 2) 的值是 ()3B. 3A.3C ．－ 3D ． 9[ 答案]C111 1[ 分析]f ( 2) ＝－ f ( － 2) ＝－ ( 3) － 2＝－ 3.x14．函数 f ( x ) ＝ a ( a >0 且 a ≠1) 知足 f (2) ＝ 81，则 f ( － 2) 的值为 ( )1 B ．±3A ．±3 1C. 3 D ． 3[ 答案] C[ 分析]f (2) ＝ a 2＝ 81 ∵ a >0，∴ a ＝ 96．若 2 x ＋ 2－x ＝ 5，则 4 x ＋ 4－x 的值是 () A ．29 B ． 27 C ．25D ． 23[ 答案] D[ 分析]4x ＋ 4－x ＝ (2 x ＋ 2－x ) 2－ 2＝ 23.7．以下函数中，值域为R ＋的是 ()1A ．y ＝ 43－ xC ．y ＝1 x－ 1( )4 [ 答案]B111－ 2xB ． y ＝ ( 4)D ． y ＝ 1－ 4x[ 分析]y ＝43－ x 的值域为 { y | y >0 且 y ≠1}y ＝1 x－ 1的值域为 { y | y ≥0}( 4)y ＝ 1－ 4x 的值域为 { y |0 ≤ y <1} ，应选 B.8．当 0< <1 时，函数 y ＝ x 和 ＝ ( a － 1) x 2 的图象只好是以下图中的 ()a a y[答案] D[ 分析 ]0<a <1， a x 单一递减清除 A ， C ，又 a － 1<0 张口向下，∴清除 B ，∴选 D.二、填空题9．以下图的曲线C、C 、 C、 C 是指数函数x 2 1 3 ，π } ，则图y＝ a 的图象，而a∈{2，2，1 2 3 4象 C1、 C2、C3、 C4对应的函数的底数挨次是______、________、________、________.2 1[ 答案] 2 、2、π、 3[ 分析] 由底数变化惹起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数<C1的底数<C4的底数<C3 的底数．10．假如x＝3， y＝384 ，那么＝ ______.[ 答案] n－ 33×2[ 分析] 原式＝n－3.＝3×211．若函数y＝f ( x) 的定义域是 (1,3) ，则 f (3－x)的定义域是________．[ 答案] ( －1,0)[ 分析] 由于函数 y＝ f ( x)定义域是(1,3) ，因此要使函数 y＝ f (3－x)存心义，应有1<3－x<3，1 x 1 x 1 0 1 －1即 1<( 3) <3，又由于指数函数y＝(3) 在 R上单一递减，且 ( 3) ＝ 1，( 3) ＝ 3，因此－ 1<x<0.12．假如x>y>0，比较x y y x与x x y y的大小结果为 ________．[ 答案] x y y x<x x y yy x xy－xx y y x － y － x y－ x x－ y[ 分析] x x y y＝x y y x ＝ x y ＝y .x x y－ x∵x>y>0，∴ y－ x<0，y>1，∴0< y <1，∴x y y x<x x y y.三、解答题13．依据已知条件求值：(1)已知 x＋1＝4，求 x3＋x－3的值． x2xa3x－a － 3x(2) 已知 a＝ 2－ 1，求 a x － a － x 的值．121[ 分析](1) ∵ x ＋ x ＝4 两边平方得 x ＋ x 2＝ 1431 1 21 ∴x ＋x 3＝ ( x ＋ x )( x ＋ x 2－ 1) ＝ 4(14 － 1) ＝ 52. 3x － a －3 x1 a 2x －2x (2) a x － a－x＝a ＋1＋ a ＝( 2－1) ＋ 1＋2－ 1＝2 2＋ 1.1 2x － 8－ 2x14．求使不等式 ( a )>a建立的 x 的会合 ( 此中 a >0 且 a ≠1) ．2[ 分析] 原不等式等价于 a －x ＋ 8>a －2x .(1) 当 a >1 时，上边的不等式等价于－ x 2＋8>－ 2x ，即 x 2－ 2x － 8<0，解得－ 2<x <4.(2) 当 0<a <1 时，上边的不等式等价于－x 2＋8<－ 2x ，即 x 2－ 2x － 8>0，解得 x <－ 2 或 x >4.∴原不等式的解集为：当a >1 时为 { x | －2<x <4} ；当 0<a <1 时为 { x | x <－ 2 或 x >4} ．1 p15．某商品的市场日需求量Q 1 和日产量 Q 2 均为价钱 p 的函数，且 Q 1＝ 288( 2) ＋ 12， Q 2＝pC 对于日产量2的关系为＝ 10＋16×2，日成本2.Q C3Q(1) 当 1＝ 2 时的价钱为平衡价钱，求平衡价钱；Q Qp(2) 当 Q 1＝ Q 2 时间收益 y 最大，求 y .[ 分析](1) 当 Q 1＝ Q 2 时，即1 p pp1288( ) ＋ 12＝6×2，令2 ＝ t ，代入得 288· ＋12＝6× t ，2t因此 t 2－ 2t －48＝ 0，解得 t ＝ 8 或 t ＝－ 6，由于 t ＝ 2p >0，因此 t ＝ 8，因此 2p ＝ 8，因此 p ＝ 3.22＋ 12121p(2) 日收益 y ＝ p · Q － C ＝p · Q － (10 3Q ) ＝( p － 3) Q － 10，因此 y ＝ ( p － 3) ×6×2－ 10. 当 1＝ 2 时， ＝ 3，代入得 y ＝118.Q Qp答：当 Q 1＝ Q 2 时，平衡价钱为 3，此时间收益为 118.xx16．函数 f ( x ) ＝ 2 ( ax 2＋ bx ＋ c ) 知足 f ( x ＋ 1) － f ( x ) ＝ 2 ·x 2( x ∈ R) ，求常数 a 、 b 、 c 的值．[ 分析]由题设 ax 2＋ (4 a ＋ b ) x ＋2a ＋ 2b ＋c ＝ x 2a＝1由待定系数法4a＋b＝ 0 ，∴a ＝，＝－，＝6.1 b 4 c2a＋ 2b＋c＝ 0。
《成才之路》2015-2016学年高中数学人教A版选修2-1同步练习第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆第3课时
第二章 2.2 第3课时一、选择题1．已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为( )A.12 B.33 C.22D.32[答案] C[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝m ＋m ＋n ，n 2＝m 2n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝4.∴e ＝n －m n ＝22，故选C. 2．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是( )A ．b 2B ．bcC ．abD ．ac[答案] B[解析] S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |，当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b . ∴△ABF 面积的最大值为bc .3．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A ．(－233，233)B ．(233，＋∞)∪(－∞，－233)C ．(43，＋∞)D ．(－∞，－43)[答案] B[解析] 因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故选B.4．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )A ．(±152，1) B ．(152，±1) C ．(152，1) D ．(±152，±1) [答案] D[解析] 设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1， ∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1， ∴x 0＝±152.故选D. 5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13[答案] B[解析] 把x ＝－c 代入椭圆方程可得y c ＝±b 2a ，∴|PF 1|＝b 2a ，∴|PF 2|＝2b 2a，故|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a ＝2a ，即3b 2＝2a 2.又∵a 2＝b 2＋c 2， ∴3(a 2－c 2)＝2a 2， ∴(c a )2＝13，即e ＝33. 6．如图F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )A.32B.12 C.22D.3－1[答案] D[解析] 连接AF 1，由圆的性质知，∠F 1AF 2＝90°， 又∵△F 2AB 是等边三角形， ∴∠AF 2F 1＝30°， ∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝2c c ＋3c ＝3－1.故选D.二、填空题7．(2015·黑龙江哈师大附中高二期中测试)若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________________________．[答案] x ＋2y －4＝0[解析] 设弦两端点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.8．直线y ＝kx ＋1(k ∈R )与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围为__________________．[答案] m ≥1且m ≠5[解析] 将y ＝kx ＋1代入椭圆方程，消去y 并整理，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5－5m ＝0. 由m >0,5k 2≥0，知m ＋5k 2>0，故△＝100k 2－4(m ＋5k 2)(5－5m )≥0对k ∈R 恒成立． 即5k 2≥1－m 对k ∈R 恒成立，故 1－m ≤0，∴m ≥1.又∵m ≠5，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5. 三、解答题9．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65)． 10．已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)、B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．[解析] (1)设点P (x ，y )，则依题意有y x ＋2·y x －2＝－12，整理得x 22＋y 2＝1.由于x ≠±2，所以求得的曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－4k 1＋2k 2(x 1、x 2分别为M 、N 的横坐标)，由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×|4k1＋2k 2|＝432，解得，k ＝±1. 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝( )A.34B.37C.38D.318[答案] C[解析] 设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2，∴|AC |＝53x ，由条件知，|CA |＋|CB |＝2a ，AB ＝2c ， ∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴c ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38. 2．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，12]C ．(0，22) D ．[22，1) [答案] C[解析] 依题意得，c <b ，即c 2<b 2， ∴c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22，又0<e <1，∴0<e <22，故选C. 3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8[答案] C[解析] 由题意可知O (0,0)，F (－1,0)，设点P 为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )， ∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋y 2 ＝x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2. ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝2时，OP →·FP →取最大值．(OP →·FP →)max ＝14(2＋2)2＋2＝6，故选C.4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2上B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝2内D ．以上三种情形都有可能 [答案] C[解析] e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a2，a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34 ⇒b a ＝32⇒b ＝32a . ∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a2＝0 ⇒x 2＋32x －12＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2. ∴在圆x 2＋y 2＝2内，故选C. 二、填空题5．如图，在椭圆中，若AB ⊥BF ，其中F 为焦点，A 、B 分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e ＝__________________.[答案]5－12[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，则有A (－a,0)、B (0，b )、F (c,0)，由AB ⊥BF ，得k AB ·k BF＝－1，而k AB ＝b a ，k BF ＝－b c 代入上式得b a ⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，利用b 2＝a 2－c 2消去b 2，得a c －ca ＝1，即1e －e ＝1，解得e ＝－1±52， ∵e >0，∴e ＝5－12. 6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1成立，则该椭圆的离心率的取值范围为__________________．[答案] (2－1,1)[解析] 由正弦定理及a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，得c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|. 在△PF 1F 2中，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2a －x . 则上式为c a ＝2a －x x ，即cx ＋ax ＝2a 2，x ＝2a 2a ＋c .又a －c <x <a ＋c ，所以a －c <2a 2a ＋c <a ＋c .由a －c <2a 2a ＋c ，得a 2>－c 2，显然恒成立．由2a 2a ＋c <a ＋c ，得a 2<2ac ＋c 2， c 2＋2ac －a 2>0，即e 2＋2e －1>0， 解得e >－1＋2或e <－1－2(舍)． 又0<e <1，所以e 的取值范围为(2－1,1)． 三、解答题7．已知过点A (－1,1)的直线l 与椭圆x 28＋y 24＝1交于点B 、C ，当直线l 绕点A (－1，1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程．[解析] 设直线l 与椭圆的交点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，弦BC 的中点M (x ，y )，则⎩⎨⎧x 218＋y 214＝1， ①x 228＋y224＝1， ②①－②，得(x 218－x 228)＋(y 214－y 224)＝0，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.③当x 1≠x 2时，③式可化为(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 2－y 1x 2－x 1＝0.∵x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，y 2－y 1x 2－x 1＝y －1x ＋1， ∴2x ＋2·2y ·y －1x ＋1＝0，化简得x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.当x 1＝x 2时，∵点M (x ，y )是线段BC 中点，∴x ＝－1，y ＝0，显然适合上式．综上所述，所求弦中点M 的轨迹方程是x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.8．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (32，1)，离心率e ＝32，直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，向量m ＝(ax 1，by 1)、n ＝(ax 2，by 2)，且m ⊥n .(1)求椭圆的方程；(2)当直线l 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)时，求直线l 的斜率k .[解析] (1)由条件知⎩⎨⎧c a ＝321a 2＋34b 2＝1a 2＝b 2＋c2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1.∴椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)依题意，设l 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1，消去y 得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0，显然Δ>0，x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4，由已知m ·n ＝0得，a 2x 1x 2＋b 2y 1y 2＝4x 1x 2＋(kx 1＋3)(kx 2＋3) ＝(4＋k 2)x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3 ＝(k 2＋4)(－1k 2＋4)＋3k ·－23k k 2＋4＋3＝0，解得k ＝±2.。
《成才之路》2015-2016学年人教B版高中数学必修2习题第二章平面解析几何初步2.2.2第1课时Word版含解析
第二章 2.2.2 第1课时一、选择题1．在x 轴上截距为2，在y 轴上截距为－2的直线方程为( ) A ．x －y ＝2 B ．x －y ＝－2 C ．x ＋y ＝2 D ．x ＋y ＝－2[答案] A[解析] 所求直线方程为x 2＋y－2＝1，即x －y ＝2.2．若过原点的直线l 的斜率为－3，则直线l 的方程是( ) A ．x －3y ＝0 B ．x ＋3y ＝0 C ．3x ＋y ＝0 D ．3x －y ＝0 [答案] C[解析] 由点斜式方程可得直线l 的方程为y ＝－3x ，即3x ＋y ＝0. 3．与直线3x －2y ＝0的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( ) A ．y －3＝32(x ＋4)B ．y ＋3＝32(x －4)C ．y －3＝－32(x ＋4)D ．y ＋3＝－32(x －4)[答案] A[解析] ∵直线3x －2y ＝0的斜率为32，所求直线过点(－4,3)，故其方程为y －3＝32(x ＋4)．4．(2015·广东清远市高一期末测试)过点(1,2)且斜率为3的直线方程为( ) A ．y ＝3x －3 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝3x －1 D ．y ＝x －1 [答案] C[解析] 由题意可得所求直线的方程为y －2＝3(x －1)，即y ＝3x －1.5．直线y ＝－2x －7在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是( ) A ．a ＝－7，b ＝－7 B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7[答案] D[解析] 令x ＝0，得y ＝－7，即b ＝－7， 令y ＝0，得x ＝－72，即a ＝－72.6．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 为( ) A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12[答案] D[解析] 由题知直线过点(1,0)， ∴2m 2＋m －3＝4m －1， 则m ＝－12或m ＝2.二、填空题7．直线y ＝32x －2的截距式方程是________．[答案] x 43＋y－2＝1[解析] 令x ＝0，得y ＝－2， 令y ＝0，得x ＝43，故直线y ＝32x －2的截距式方程是x 43＋y－2＝1.8．直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 007，b )在直线l 上，则b 的值为________． [答案] 2 015[解析] 由直线的两点式得方程y ＋16＝x ＋13，点(1 007，b )在直线l 上，则有b ＋16＝1 007＋13，解得b ＝2 015. 三、解答题9．求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为－32的直线方程．[解析] 设直线方程为y ＝－32x ＋b ，令y ＝0得x ＝23b ，由题意知12·|b |·|23b |＝12，∴b 2＝36，∴b ＝±6，∴所求直线方程为y ＝－32x ±6.10．如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李，行李费用y (元)与行李质量x (kg)的关系用直线AB 的方程表示．试求：(1)直线AB 的方程；(2)旅客最多可免费携带多少行李？[解析] (1)由图知，点A (60,6)、B (80,10)在直线AB 上．所以由直线方程的两点式或斜截式可求得直线AB 的方程为x －5y －30＝0. (2)依题意，令y ＝0，得x ＝30. 即旅客最多可免费携带30 kg 行李.一、选择题1．直线bx ＋ay ＝1(b ≠0)在x 轴上的截距是( ) A ．1bB ．bC ．1|b |D ．|b |[答案] A[解析] 令y ＝0，得bx ＝1，∵b ≠0， ∴x ＝1b，故选A ．2．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是( )[答案] B[解析] 直线的斜率和截距同号，由图象选B. 3．经过A (2,1)、B (6，－2)两点的直线方程不是( ) A ．y －1＝－34(x －2)B ．3x ＋4y －10＝0C ．x 103＋y52＝1D ．y －11＋2＝x －26－2[答案] D[解析] 经过A (2,1)、B (6，－2)两点的直线方程为y －1－2－1＝x －26－2，故D 不对．4．已知过点A (－2，m ＋1)和B (m,3)的直线与直线y ＝－2x ＋1的斜率相等，则m 的值为( )A ．0B ．－6C ．2D ．10[答案] B[解析] 由题意，得m ＋1－3－2－m ＝－2，解得m ＝－6.二、填空题5．(2015·广东珠海市高一期末测试)过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．[答案] 2x －y ＝0或x ＋y －3＝0[解析] 当截距为0时，其方程为y ＝2x ； 当截距不为0时，设其方程为x a ＋ya ＝1，∴1a ＋2a＝1， ∴a ＝3，故所求方程为x ＋y －3＝0.6．已知直线l 方程为y ＋1＝25(x －52)，且l 的斜率为a ，在y 轴上的截距为b ，则|a ＋b |等于________．[答案] 85[解析] 由y ＋1＝25(x －52)得y ＝25x －2，∴a ＝25，b ＝－2，∴|a ＋b |＝85.三、解答题7．求斜率为34且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程．[解析] 设直线方程为y ＝34x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－43b .∴|b |＋|－43b |＋b 2＋(－43b )2＝12.∴|b |＋43|b |＋53|b |＝12，∴b ＝±3.∴所求直线方程为y ＝34x ±3.8．已知直线l 经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． [解析] 依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则可得直线的方程为y ＋2＝k (x －3)．令x ＝0，得y ＝－2－3k ；令y ＝0，得x ＝2k＋3.由题意得－2－3k ＝3＋2k ，解得k ＝－1或k ＝－23.∴l 的方程为y ＋2＝－(x －3)或y ＋2＝－23(x －3)．即为y ＝－x ＋1或y ＝－23x .9．有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10 min 内只进水，不出水，在随后的30 min 内既进水又出水，得到时间x (min)与水量y (L)之间的关系如图所示．求y 与x 的函数关系．[解析] 当0<x <10时，直线段过点O (0,0)、A (10,20)．∴k OA ＝2010＝2.∴此时方程为y ＝2x .当10≤x ≤40时，直线段过点A (10,20)、B (40,30)， ∴k AB ＝30－2040－10＝13.∴此时方程为y －20＝13(x －10)即y ＝13x ＋503.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (0<x <10)13x ＋503(10≤x ≤40).。
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件 第2章 2.1 第2课时 演绎推理
1-2
警察在海边找到了两间简易小屋，一间朝南，一间朝北，
主人都是一对年轻夫妇．不过这两间屋打扫得干干净净，找不 出痕迹． 后来警察根据一些情况，立即做出了判断．这些情况是： (1)两间小屋结构几乎完全相同，只是阁楼的小窗一个朝
北，一个朝南；
(2)站在海岸上，面向海的方向是南面，背面对着丘陵； (3)少女被关的3天都是晴天，而且一点风也没有． 那么，你知道少女被关在哪一间小屋里吗？
在x轴的上方．
当x>1时，f(x)＝x3(x－1)＋x2＋1>0，所以函数f(x)的图象在 x轴的上方． 综上所述，函数f(x)的值恒为正，所以其图象在x轴的上 方．
第二章 2.1 第2课时
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1-2
三 数形结合思想在推理中的应用 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，“数”与 “形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直 观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维 和形象结构有机结合，应用数形结合思想，就是充分考查数学 问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示 其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思 路，从而使问题得到解决．
第二章 2.1 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 · 选修1-1
1-2
(4)不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立，(大前提) 2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，(小前提) 所以 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(结论) 证明通常简略地表述为 a∈R，b∈R⇒(a－b)2≥0 ⇒a2＋b2≥2ab 2 2 同理b ＋c ≥2bc⇒(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋ c2＋a2≥2ca 2bc＋2ca ⇒ 2(a2 ＋ b2 ＋ c2)≥2(ab ＋ bc ＋ ca) ⇒ a2 ＋ b2 ＋ c2≥ab ＋ bc ＋ ca.
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件 第2章 2.1 第1课时 合情推理
1-2
三 归纳推理
1．定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出
这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简 称归纳)．
即：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
例如由“铜、铁、铝、金、银等金属能导电”，得出“一 切金属都能导电”． 2．归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同的性质． (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 (猜想)．
第二章
推理与证明
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1-2
5．换元法 换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变 量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代 换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来 新的启迪和方法．
第二章
推理与证明
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第二章
2.1
第1课时
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1-2
观察下列等式： (1＋1)＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， „„ 照此规律，第n个等式可为_________________________． [答案] (n＋1)(n＋2)„(n＋n)＝2n×1×3ׄ×(2n－1)．
第二章
2.1
第1课时
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1-2
六 几种常见类比
1．类比定义 关键要找出两个概念的相似性和不同点，得出结论的异 同． 2．类比性质
关键要深刻理解已知性质的内涵与外延及应用，通过类比
【精品PPT】【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 1离散型随机变量及其分布列课件 北
写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的 值所表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号为1到10的10个除颜色外其他均相同的 球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有除颜色外其他均相同的10个红球，5个白 球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和为X. [分析] 解题的关键是弄清试验的所有可能结果．
·数学
北师大版 ·选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
概率 第二章ຫໍສະໝຸດ §1 离散型随机变量及其分布列 第二章
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量 及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．
本节重点：随机变量的分布列及其性质． 本节难点：随机变量的概念.
X＝ai a1 a2 … P(X＝ai) p1 p2 … 我们将上表或(1)式称为离散型随机变量 X 的分布列． 显然 pi__>___0，p1＋p2＋…＝___1__(也称为分布列的性质)． 如果随机变量 X 的分布列为上表或(1)式，我们称随机变量 X 服从这一分布(列)，并记为 X～ap11 ap22…….
[解析] 设X＝x＋y，且x≠y，x，y∈{1,2,5,10,20}， 则X的可能取值为3、6、7、11、12、15、21、22、25、 30. 其中，X＝3，表示抽到的是1元和3元； X＝6，表示抽到的是1元和5元； X＝7，表示抽到的是2元和5元； X＝11，表示抽到的是1元和10元； X＝12，表示抽到的是2元和10元； X＝15，表示抽到的是5元和10元； X＝21，表示抽到的是1元和20元；
【人教B版】选修2-2：2.1.1《合情推理》课时作业及答案
【成才之路】高中数学 第2章 2.1第1课时 合情推理课时作业 新人教B 版选修2-2一、选择题1．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·4＝b ·4，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” [答案] C2．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3 D ．32[答案] B[解析] ∵a 1＝0，∴a 2＝－3，a 3＝－3－3－2＝3，a 4＝0，…，由此可以看出周期为3，∴a 20＝a 3×6＋2＝a 2＝－ 3.3．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④[答案] C[解析] ①是合情推理中的类比法，排除D ；②是归纳推理，排除B ；④是归纳推理．故选C.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n －1＋1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n的一个表达式是( )A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案] C[解析]a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，故选C.5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[答案] D[解析]本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查．6．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n－1个正方形数是( )A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[答案] C[解析]第n－1个正方形数的数目点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.故选C.7．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113[答案] B[解析]由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.8.观察图所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B．△C. D ．○[答案] A[解析] 由每行或每列均有2个黑色图形知，本题选A. 二、填空题9．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________． [答案] A[解析] 利用逻辑推理的知识求解．由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A .10．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t －(t －1)a s ＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是________．[答案] 若{b n }是等比数列，b 1＝1，s 、t 是互不相等的正整数，则有b s －1tb t －1s＝1[解析] 这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中的加、减、乘、除类比到等比数列经常是乘、除、乘方、开方，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础．∴b s －1t b t －1s ＝b 1·q t －1s －1b 1·q s －1t －1＝1.11．观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为______________________． [答案] (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)[解析] 观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)．三、解答题12．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d (n >m ，n ，m ∈N *)(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中，m 、n 、p 、q ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (3)若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． [解析] 等比数列{b n }中，设公比为q ，前n 项和为S n . (1)a n ＝a m ·qn －m(n >m ，n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *， 则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)若m ＋n ＝2p ，其中，m ，n ，p ∈N *，则a 2p ＝a m ·a n . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (各项均不为零)构成等比数列．一、选择题1．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cos θ2n －1 C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2n[答案] B[解析] ∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2，a 3＝2＋2a 2＝21＋cos θ22＝2cos θ4……，猜想a n ＝2cos θ2n －1.故选B.2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． A ．① B ．①② C ．①②③ D ．③[答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．故选C.3．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n －1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12个，∴第六个三角形数为7×7＋12＝28.故选B. 4．(2015·甘肃省会宁一中高二期中)如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12B ．5－12C.5＋1 D ．5－1[答案] A[解析] 类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|OA |＝a ，|OB |＝b ，|OF |＝c ， 当FB →⊥AB →时，|BF |2＋|AB |2＝|AF |2， ∴b 2＋c 2＋c 2＝a 2＋c 2＋2ac ， ∵b 2＝c 2－a 2，整理得c 2＝a 2＋ac ， ∴e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12，或e ＝－5＋12(舍去)． 故黄金双曲线的离心率e ＝5＋12. 二、填空题5．在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________．[答案] 18[解析] V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.6．(2015·陕西文，16)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……据此规律，第n 个等式可为_________________________________． [答案] 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n[解析] 观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.故答案为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n三、解答题7．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n2n －2π(n ≥3且n ∈N *)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2n －2π(n ≥3且n ∈N *)．8．已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos 60°＋2a2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos60°＋2α2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34.。
【成才之路】2015-2016学年高中数学2.2.1第1课时 用样本的频率分布估计总体的分布(一)课时作业(含解析)
【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.2.1第1课时 用样本的频率分布估计总体的分布（一）课时作业 新人教B 版必修3一、选择题1．从某批零件中抽出若干个，然后再从中抽出40个进行合格检查，发现合格产品有36个，则该批产品的合格率为( )A ．36%B ．72%C ．90%D ．25%[答案] C[解析] 用样本的合格率近似代替总体的合格率为3640×100%＝90%.2．在用样本估计总体分布的过程中，下列说法正确的是( ) A ．总体容量越大，估计越精确 B ．总体容量越小，估计越精确 C ．样本容量越大，估计越精确 D ．样本容量越小，估计越精确 [答案] C[解析] 用样本估计总体分布时，样本容量越大，估计越精确．3．(2015·湖南文，2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：min)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A ．3B ．4 C.5 D ．6[答案] B[解析] 成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×2035＝4(人)，故选B.4．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A．45 B．50C.55 D．60[答案] B[解析]根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是150.3＝50.5．在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长形的面积和的14，且样本容量为200，则第8组的频数为( )A．40 B．0.2C.50 D．0.25[答案] A[解析]设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积为4x，从而x＋4x＝1，所以x＝0.2.故第8组的频率为200×0.2＝40.6．一个容量为20的样本数据分组后，组距与频数如下：(10,20]，2；(20,30]，3；(30,40]，4；(40,50]，5；(50,60]，4；(60,70]，2.则样本在(－∞，50]上的频率为( ) A．90% B．70%C.50% D．25%[答案] B[解析]样本在(－∞，50]上的频数为2＋3＋4＋5＝14，故在(－∞，50]上的频率为14÷20＝70%，故选B.二、填空题7．(2015·河北行唐启明中学高一月考)样本容量为 1 000的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，计算x的值为________，样本数据落在[6,14]内的频数为________．。
成才之路人教A版数学必修2-2.2.1
行，只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行即可．
第二章
2.2
2.2.1
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2
●自我检测 1 ．在长方体 ABCD － A1B1C1D1 中，与平面 BDD1B1 平行的 棱有________；与棱CD平行的面有________． [答案] A1A、C1C 面A1B1C1D1、面ABB1A1
●温故知新
旧知再现 相交、平行、直线在平面内 1．直线与平面的位置关系： _______________________． 无公共点 实 2．线线平行、线面平行的共同特征是什么？_________. 际上，平行问题的“无公共点”为基本特征，抓住这一点，平
行问题就迎刃而解了．
3．判定线线平行常用的依据有：定义(判定无公共点)、公 理4(找辅助线)． 4 ．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边， 一半 ． 且等于第三边长的_______
定理得CD∥α，或CD⊂α.
第二章
2.2
2.2.1
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3．如图所示，E，F分别为三棱锥A－BCD的棱BC，BA上
的点，且BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3.求证：EF∥平面ACD.
[证明]
∵BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3，∴EF∥AC.
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用 三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平 行线分线段成比例定理．
第二章 2.2 2.2.1
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2．线面平行判定定理应用的误区 (1)条件罗列不全，最易忘记的条件是a⊄α与b⊂α. (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线． 3．证明直线与平面平行的方法
《成才之路》2015-2016学年人教A版高中数学选修2-2课件第一章导数及其应用1.1.1
＝
4.2，
故应选C.
3．已知函数y＝12(x2＋1)，则函数从x0到x0＋Δx的平均变化 率是________________．
[答案] x0＋12Δx [解析] ΔΔxy＝12[x0＋Δx2＋Δx1]－12x20＋1＝x0＋12Δx.
4．求y＝ x从x0到x0＋Δx的平均变化率．
[解析] ∵Δy＝ x0＋Δx－ x0， ∴y＝ x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为
＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
• [分析] 本题可直接利用平均变化率的定义求 解．先求出表达式，再直接代入数据可以求 得相应的平均变化率的值．
[解析] 当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化 率为ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0＝x0＋ΔΔxx3－x30＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2
[方法规律总结] 1.求函数f(x)的平均变化率的一般步骤 为：
①求函数值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； ②计算平均变化率：ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0. 2．要注意Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为 零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0.
求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章 导数及其应用
为了刻画现实世界中运动变化着的现象，在数学中引入了 函数．随着人们对函数研究的深入，人们在思考：已知物体运 动的路程作为时间的函数，在任意时 刻的速度与加速度是怎样的一种关 系？怎样求任意曲线的切线和曲边形 的面积、几何体的体积？怎样研究复 杂函数的变化规律？怎样解决生活中 的优化问题？……于是，导数与积分 应运诞生了，它是数学史上具有划时代意义的伟大创造，是数 学史上的里程碑．
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【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.2.1条件概率课时作业 新人教A 版选修2-3一、选择题1．(2015·潍坊市高二期末)用“0”、“1”、“2”组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B 表示“第一位数字为0”的事件，则P (A |B )＝( )A ．12 B ．13 C ．14 D ．18[答案] B[解析] 解法1：∵P (B )＝3×33×3×3＝13，P (AB )＝33×3×3＝19，∴P (A |B )＝P AB P B ＝13，故选B ．解法2：在B 发生的条件下，问题转化为：用“0”、“1”、“2”组成三位数码，其中第二位数字为0，则P (A |B )为在上述条件下，第一位数字为0的概率，∴P (A |B )＝33×3＝13. 2．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )A ．35B ．25C ．110D ．59[答案] D[解析] 设第一次摸到的是红球为事件A ，则P (A )＝610＝35，设第二次摸得红球为事件B ，则P (AB )＝6×510×9＝13，故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为P (B |A )＝P AB P A ＝59，选D ．3．(2015·泰安市高二检测)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ．18B ．14 C ．25 D ．12[答案] B[解析] P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率公式得P (B |A )＝P AB P A ＝14.故选B ．4．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A ．56B ．34C ．23D ．13[答案] C[解析] 在已知取出的小球不是红球的条件下，问题相当于从5黄10绿共15个小球中任取一个，求它是绿球的概率，∴P ＝1015＝23.5．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )A ．911B ．811C ．25D ．89[答案] D[解析] 设事件A 表示“该地区四月份下雨”，B 表示“四月份吹东风”，则P (A )＝1130，P (B )＝930，P (AB )＝830，从而吹东风的条件下下雨的概率为P (A |B )＝P AB P B ＝830930＝89.6．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是( )A ．23B ．14C ．25D ．15[答案] C[解析] 设A i 表示第i 次(i ＝1、2)取到白球的事件，因为P (A 1)＝25，P (A 1A 2)＝25×25＝425， 在放回取球的情况P (A 2|A 1)＝42525＝25.二、填空题7．甲、乙两地都处于长江下游，根据历史记载，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%与18%，两地同时下雨的比例为12%.(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为________. (2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为________. [答案] (1)23(2)0.6[解析] 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则P (A )＝20%＝0.2，P (B )＝18%＝0.18，P (AB )＝12%＝0.12.(1)P (A |B )＝P AB P B ＝0.120.18＝23.(2)P (B |A )＝P AB P A ＝0.120.2＝0.6.8．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________.[答案]9599[解析] 设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到正品”为事件B ，则P (A )＝5100＝120，P (AB )＝C 15C 195A 2100＝19396，所以P (B |A )＝P AB P A ＝9599. 9．一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是________.[答案] 23[解析] 设A ＝“其中一个是女孩”，B ＝“其中一个是男孩”，则P (A )＝34，P (AB )＝12，∴P (B |A )＝P AB P A ＝23.三、解答题10．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．[解析] 令A i ＝{第i 只是好的}，i ＝1,2. 解法1：n (A 1)＝C 16C 19，n (A 1A 2)＝C 16C 15，故P (A 2|A 1)＝n A 1A 2 n A 1 ＝C 16C 15C 16C 19＝59.解法2：因事件A 1已发生(已知)，故我们只研究事件A 2发生便可，在A 1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P (A 2|A 1)＝C 15C 19＝59.一、选择题11．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A ．15B ．310C ．25D ．12[答案] C[解析] 从5个球中任取两个，有C 25＝10种不同取法，其中两球同色的取法有C 23＋1＝4种，∴P ＝410＝25.12．(2014·哈师大附中高二期中)一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．23[答案] A[解析] 解法1：设A ＝“第一次取到二等品”，B ＝“第二次取得一等品”，则AB ＝“第一次取到二等品且第二次取到一等品”，∴P (A |B )＝P AB P B ＝2×35×42×3＋3×25×4＝12.解法2：设一等品为a 、b 、c ，二等品为A 、B ，“第二次取到一等品”所含基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(b ，a )，(b ，c )，(c ，a )，(c ，b )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )共12个，其中第一次取到一等品的基本事件共有6个，∴所求概率为P ＝612＝12.13．从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ．18B ．14 C ．25 D ．12[答案] B[解析] ∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110，∴P (B |A )＝P AB P A ＝14.14.先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a 、b .将a ，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率为( )A ．12B ．14C ．3536D ．718[答案] D[分析] 本题有两个要点：一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数；二是构成等腰三角形，须有两个数相等．[解析] 基本事件的总数为6×6＝36. ∵三角形的一边长为5，∴当a ＝1时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝2时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝3时，b ＝3或5时符合题意，即有2种情况； 当a ＝4时，b ＝4或5时符合题意，有2种情况；当a ＝5时，b ∈{1,2,3,4,5,6}时符合题意，即有6种情况；当a ＝6时，b ＝5或6时符合题意，即有2种情况． 故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为P ＝1436＝718.二、填空题15．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________.[答案]3350[解析] 解法1：根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数的数共有33个，故所求概率为3350.解法2：设A ＝“取出的球不大于50”，B ＝“取出的数是2或3的倍数”，则P (A )＝50100＝12，P (AB )＝33100， ∴P (B |A )＝P AB P A ＝3350.16．投掷两颗均匀骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为ξ，则ξ≤6的概率为________.[答案]1130[解析] 解法1：投掷两颗骰子，其点数不同的所有可能结果共30种，其中点数之和ξ≤6的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，共11种，∴所求概率P ＝1130.解法2：设A ＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B ＝“ξ≤6”，则P (A )＝3036＝56，P (AB )＝1136， ∴P (B |A )＝P AB P A ＝1130.三、解答题17．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一个作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．[解析] 设事件A 表示“选到第一组学生”， 事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意，P (A )＝1040＝14.(2)解法1：要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．不难理解，在事件B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B )＝415.解法2：P (B )＝1540＝38，P (AB )＝440＝110，∴P (A |B )＝P AB P B ＝415.18.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．[解析] 设D 为“该考生在这次考试中通过”，则事件D 包含事件A ＝{该考生6道题全答对}，事件B ＝{该考生6道题中恰答对5道}，事件C ＝{该考生6道题中恰答对4道}．设E ＝{该考生获得优秀}，由古典概型的概率公式及加法公式可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620，P (AD )＝P (A )，P (BD )＝P (B )，P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P A P D ＋P BP D ＝C 610C 620C 10＋C 10C 10＋C 10C 10C 620＋C 510C 110C 620C 10＋C 10C 10＋C 10C 10C 620＝1358.故所求的概率为1358. [点评] 解此类题时利用公式P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )可使求有些条件概率时更为简捷，但应注意B 、C 互斥这一前提条件．。