必修三课件：1.3.2秦九韶算法(共14张PPT)

算法步骤 第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值 第二步：将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1 第三步：输入i次项的系数ai 第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0,若是, 则返回第三步;否则,输出多项式的值v.
秦九韶算法的程序设计
程序框图
第一步：输入多项式次数n、最 高次项的系数an和x的值 第二步：将v的值初始化为an, 将i的值初始化为n-1
算法1：因为ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906 10次的乘法运算,5次的加法运算
算法2：
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１4次的乘法运算,5次的加法运算
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１ =5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
1.3.2 案例2、秦九韶算法
复习
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（ ）和
（ ）.
辗转相除法 更相减损术
2、两个数21672，8127的最大公约数是（A ）
A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
案例2、秦九韶算法
秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
=5x5x5x5x5＋5x5x5x5＋5x5x5＋5x5＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906
算法二：先计算x2的值，然后依次计算
x2·x、（ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x 的值
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值
算法2：
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的流程图及程序
例2 已知一个五次多项式为 用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值.
解： 按由里到外的顺序,依此计算一次多项式当x = 5时的值：
所以,x = 5时，多项式的值为17255.2
练习：教材P48、 2
课后必做作业：
请同学们课后阅读教材38页，理解并能识别秦九韶 算法的程序。
秦九韶算法的程序设计
第三步：输入i次项的系数ai
第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于 0,若是,则返回第三步;否则,输出 多项式的值v.
开始 输入n,an,x的值
v=an
i=n-1
i≥0？
N
输出v
结束
i=i-1 v=vx+ai 输入ai
Y
秦九韶算法的程序设计 开始
输入n,an,x的值 v=an
i=n-1
i≥0？
N
输出v
结束
i=i-1 v=vx+ai 输入ai
Y
程序
INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i>=0
PRINT “i=”；i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
显然，采用第二种算法，计算机能够更快地得到结果。
那么，有没有更有效的算法呢？Βιβλιοθήκη 《数书九章》——秦九韶算法
设 是一个n 次的一元多项式
对该多项式按下面的方式进行改写
省略了若干 个半括号
省略了若干项
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法,称为秦九韶算法
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们加起来。 算法二：先计算x2的值，然后依次计算x2·x、 （ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x的值。
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们加起来。
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x =
5的值
算法1：因为ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１
=5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值