江苏高考数学试卷及答案

2008年普通高校招生全国统一考试（江苏卷）数学1.()cos()6f x wx π=-的最小正周期为5π，其中0w >，则w =▲。

【解读】本小题考查三角函数的周期公式。

2105T w w ππ==⇒=。

答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为▲。

【解读】本小题考查古典概型。

基本事件共66⨯个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P ==⨯。

答案112 3.11i i-+表示为a bi +(,)a b R ∈，则a b +=▲。

【解读】本小题考查复数的除法运算，1,0,11ii a b i-=∴==+，因此a b +=1。

答案14.{}2(1)37,A x x x =-<-则AZ 的元素个数为▲。

【解读】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。

由2(1)37x x -<-得2580x x -+< 因为0∆<，所以A φ=，因此A Z φ=，元素的个数为0。

答案05.,a b 的夹角为0120，1,3a b ==，则5a b -=▲。

【解读】本小题考查向量的线形运算。

因为1313()22a b ⋅=⨯⨯-=-，所以22225(5)2510a b a b a b a b -=-=+-⋅=49。

因此5a b -=7。

答案76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为▲。

【解读】本小题考查古典概型。

如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P ππ⨯==⨯。

答案16π7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查。

下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

序号 （i ） 分组（睡眠时间） 组中值（i G ）频数 （人数）频率 （i F ） 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 100.20 3 [6,7) 6.5 20 0.40 4 [7,8) 7.5 10 0.20 5[8,9)8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是▲。

【解读】本小题考查统计与算法知识。

答案6.428.直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b =▲。

【解读】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。

1y x '=，令112x =得2x =，故切点为(2,ln 2)，代入直线方程，得1ln 222b =⨯+，所以ln 21b =-。

答案ln 21b =-9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：▲。

【解读】本小题考查直线方程的求法。

画草图，由对称性可猜想1111()()0x y c b p a-+-=。

事实上，由截距式可得直线:1x yAB a b+=，直线:1x y CD c p +=，两式相减得1111()()0x y c b p a-+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求的直线OF 的方程。

答案1111()()0x y c b p a-+-=。

10.将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为▲。

【解读】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。

前1n -行共用了123(1)n +++-(1)2n n-个数，因此第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数是全体正整数中的第(1)32n n-+个，即为262n n -+。

答案262n n -+11.2,,,230,y x y z R x y z xz*∈-+=的最小值为▲。

【解读】本小题考查二元基本不等式的运用。

由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当3x z =时取“=”。

答案3。

12.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2(,0)ac 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =▲。

【解读】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。

如图，切线,PA PB 互相垂直，又OA PA ⊥，所以OAP ∆是等腰直角三角形，故22a a c=，解得22c e a ==。

答案2213.若2,2AB AC BC ==，则ABC S ∆的最大值▲。

【解读】本小题考查三角形面积公式及函数思想。

因为AB=2（定长），可以以AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ，由2AC BC =可得2222(1)2(1)x y x y ++=-+，化简得22(3)8x y -+=，即C 在以（3，0）为圆心，22为半径的圆上运动。

又1222ABC c c S AB y y ∆=⋅⋅=≤。

答案2214.3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =▲。

【解读】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。

要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立。

22()333(1)f x ax ax '=-=-01当0a =时，()31f x x =-+，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去。

02当0a <时22()333(1)0f x ax ax '=-=-<，即()f x 单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去。

03当0a >时1()0f x x a'=⇒=±① 若111a a ≤⇒≥时()f x 在11,a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在11,a a ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减。

所以min1()min (1),()f x f f a ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400411()120f a a f a a -=-+≥⎧⎪≥⇒⇒=⎨=-≥⎪⎩② 当111a a>⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去。

综上可知a=4.答案4。

15.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为225,105。

（1） 求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值。

【解读】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。

由条件得225cos ,cos 105αβ==，α为锐角，故72sin 0sin 10αα>=且。

同理可得5sin 5β=，因此1tan 7,tan 2αβ==。

（1）17tan tan 2tan()11tan tan 172αβαβαβ+++==--⨯=-3。

（2）132tan(2)tan[()]11(3)2αβαββ-++=++=--⨯=-1， 0,0,22ππαβ<<<<3022παβ∴<+<，从而324παβ+=。

16．在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 求证（I ）直线EF D 面AC ；（II ）EFC D ⊥面面BC 。

证明：（I ）E ，F 分别为AB ，BD 的中点EF AD ⇒EF ADAD ACD EF ACD EF ACD ⎫⎪⇒⊂⇒⎬⎪⊄⎭面面面。

（II ）EF AD EF BDAD BD CD CB CF BD BD EFC F BD EF CF F⎫⎫⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎭⎪⎪=⎪⎪⎭面为的中点又BD BCD ⊂面，所以EFC D ⊥面面BC17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B ，及CD 的中点P 处，已知20AB =km,10CD km =,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含DEFCAB边界），且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（I ）按下列要求写出函数关系式：① 设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ② 设()OP x km =，将y 表示成x 的函数关系式。

（II ）请你选用（I ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

【解读】本小题考查函数最值的应用。

（I ）①由条件可知PQ 垂直平分AB ，()BAO rad θ∠=，则10AQ OA COS BAO COS θ==∠ 故10OB COS θ=，又1010tan OP θ=-，所以10101010tan y OA OB OP COS COS θθθ=++=++-2010sin 10(0)cos 4θπθθ-=+<<。

②()OP x km =，则10OQ x =-，所以222(10)1020200OA OB x x x ==-+=-+，所以所求的函数关系式为2220200(010)y x x x x =+-+<<。

（I ）选择函数模型①。

22210cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)cos cos y θθθθθθ-----'==。

令0y '=得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6πθ=。

当06πθ<<时，0y '<，y 是θ的减函数；64ππθ<<时，0y '>，y 是θ的增函数。

所以当6πθ=时min 10310y =+。

当P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 边1033km 处。

18.设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。