线性代数二次型讲义 ppt课件
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线性代数二次型讲义85页PPT
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85
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨—罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
▪
线性代数二次型讲义
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
西北工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
第六章二次型本章共有三节内容：§1 二次型及其矩阵表示§2 化二次型为标准形§3 正定二次型§6.1二次型及其矩阵表示二次型的定义二次型的矩阵表示二次型的标准形合同矩阵一、二次型的定义12(,,,)n f x x x n 元二次型是指如下形式的二次齐次多项式211112121313112222232322222222n n n n nn n a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++++++++ 定义6.112,,,n x x x ；n 元二次型的特点：①含n 个自变量②二次齐次多项式：只含或的项，无一次项2i x i j x x 和常数项。
221212(,)5f x x x x =++不是二次型例如：特点：只含有变量的平方项，无混合乘积项。
222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 当a ij 为实数时，称f 为实二次型；当a ij 为复数时，称f 为复二次型。
本章仅讨论实二次型。
标准形：二、二次型的矩阵表示12,1(,,,)n n ij i ji j f x x x a x x ==∑ 若将改写成2()ij i j a x x i j <,ij i j ji j i a x x a x x +，其中ij ji a a =，则二次型可以表示为ij ji a a =即A 是对称矩阵，则二次型可用矩阵形式表示为：111211212222121212(,,)(,,)n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠若令11121121222212,n n n n nn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠A x ，其中T=x Ax 实对称矩阵A 称为二次型f 的矩阵，也把f 称为实对称矩阵A 的二次型,实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。
第5章(二次型)线性代数及其应用.ppt
x2 ,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
1
0
1 2 3
0 3 2
x1 x2 x3
1
2
1 0 0 x1
(2)
f
(
x1
,
x2
,
x3
)
x1
,
x2
,
x3
0
1
0
x2
0 0 4 x3
问题： 如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线
令 Q (q1, q2 , q3 ) 0
0 1
1 2
1 2
0
则正交变换x＝Qy将二次型化为标准形
f 0 y12 2 y22 2 y32 .
正交变换是线性变换中的特殊一类，它具有 保持向量的内积、长度不变等优点，即若x＝Qy为 正交变换，则
[Qx1,Qx2 ] (Qx1)T Qx2 x1TQTQx2 x1T x2 [ x1, x2 ]
1 1
(iii)将所求特征向量正交化、单位化
因1 分别 与2，3正交,故只需将 2，3 正交化.
正交化
取1 1 , 2 2
3
3
3
,
2
,
2
2
2
1
1 1
2 2
1 0 1
线性代数ppt 第五章 二次型
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则 二 次 型 可 记 作 f = xT Ax, 其 中 A为 对 称 矩 阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型 的秩 二次型f的秩 二次型 的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵 使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型 标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定 主要是利用顺序 二次型的正定型的判定— 主子式判定 主子式判定 作业: 作业: P152 7(1); 20(1)
线性代数居余马第6章二次型.ppt
f (α ) x T Ax 可以看成向量 α 的坐标 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次函数。
如果n维向量在两组基B1={1,2,,n}和 B2 ={1,2,,n} 下的坐标向量分别 x=(x1, x2,, xn)T 和 y=(y1, y2,, yn)T 又 (1, 2,, n)=(1, 2,, n) C 则 x=C y f() = x TA x = yT(C TA C)y , B = C TA C 故 f() 在基B1和B2 下对应的矩阵分别是A和 B = C TA C 。 yT(CTA C)y 是 y1,y2,,yn 的一个二次型。
1
1
1,
1
2
1,
1
1 3 10
三个特征值决定二次曲面的类型。
*例 2
将一般二次曲面方程
(1)
x2 2 y 2 10z 2 28xy 8 yz 20xz 26x 32y 28z 38 0
化为标准方程（只含平方项和常数项）。
解 将(1)式中二次项部分
1=1时，有线性无关的特征向量x1 =(2, 1, 0)T, x2 =(2, 0, 1)T。
用Schmidt正交化方法(正交化，单位化) 得
γ1
5 5
2,
1, 0 , γ 2
T
5 15
2,
4, 5
T
2=10 时，得
取正交矩阵
2 5 5 T 1 γ 3 3 1, 2, 2 T γ1 , γ 2 , γ 3 5 5 0 则T1AT = diag(1, 1, 10) x TA x = yT(CTAC)y = y12+ y22 +10y32
x T Ax x 2 2 y 2 10z 2 28xy 8 yz 20xz
线性代数二次型及其标准形PPT课件
第19页/共50页
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
P1
1 3
1 2
2
P2
1 3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
2 2 1
取正交矩阵
P P1
则得所欲求的正交变换
P2
P3
1 3
1 2
2 1
2 2
即
x1 x2 x3
1 3
2 1 2
2 2 1
第3页/共50页
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
第4页/共50页
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在
中取1,值的1,标0准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。
(注：这里规范形要求系数为1的项
排
在前面，其次排系数为-1的第项10。页/)共50页
目的： 对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
P1
1 3
1 2
2
P2
1 3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
2 2 1
取正交矩阵
P P1
则得所欲求的正交变换
P2
P3
1 3
1 2
2 1
2 2
即
x1 x2 x3
1 3
2 1 2
2 2 1
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例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
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取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在
中取1,值的1,标0准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。
(注：这里规范形要求系数为1的项
排
在前面，其次排系数为-1的第项10。页/)共50页
目的： 对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
《线性代数教学PPT》二次型的正定型
P2
5 2
2 26 0,
6
P3 | A | 80 0,
f 负定.
数
即 (-1)k Pk > 0 (k = 1, 2, 3) = =
基本要求
线
(1)理解二次型的概念,掌握二次型的矩阵表示, 性 了解二次型的秩、合同矩阵与合同变换、惯
性定理等概念.
代
(2)掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,
线
若f (x) xT Ax正定,即x Rn , x 0, 恒有xT Ax 0,
性
于是y Rn , y 0,有Cy 0(否则Cy 0,则C 1Cy 0,
即y 0,这与y 0矛盾),因此y Rn , y 0,有
代
yT (CT AC) y (Cy)T A(Cy) 0
线
解
A t 4 0
需
1 0 2
性
P1 1 0,
P2
1
t
t 4 t 2 0,
4
P3 | A | 4 2t 2 0,
代
4 2t2 0
4
t2
0
数
=
2t 2
所以，当 2 t 2 时f 为正定次型
所以,二次型yT (CT AC) y正定.同理可证,当
数
yT (CT AC) y正定时, 有xT Ax正定.
命题1亦表明A与CT AC有相同的正定性.即合同的
=
矩阵有相同的正定性.
=
例 设A, B 都是n 阶正定矩阵. 证明：kA + lB
也是正定矩阵 (k > 0, l > 0).
线性代数第5章课件：二次型
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2,,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
0 0 1
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成 标 准 形, 并 求 所 用 的 变 换 矩 阵.
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
第5章 二次型
5.1 二次型的概念 5.2 化二次型为标准形 5.3 正定二次型
5.1 二次型的概念
一、二次型的定义
定义1 含有n个变量x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
线性代数 第五章二次型PPT课件
an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
线性代数—二次型的标准形和规范形PPT课件
问题，等价于该二次型的矩阵 A 合同于一个对角矩阵的问
题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
2
第2页/共33页
1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤： 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
x 的乘积项集中，然后配方，再对其余i 的变量同 x样进i 行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
第12页/共33页
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0
1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
4
第4页/共33页
f (x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 1
1 1
1
A 1 3
1
1
11 11 1 3
1
1
1
1 13 01 1
0 0
0 10
1 1 11 11
0
1 0 10
,
1
1 1 11
,
1
2
1,
E
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
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1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤： 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
x 的乘积项集中，然后配方，再对其余i 的变量同 x样进i 行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
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1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0
1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
4
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f (x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 1
1 1
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A 1 3
1
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11 11 1 3
1
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1 13 01 1
0 0
0 10
1 1 11 11
0
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,
1
1 1 11
,
1
2
1,
E
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
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线性代数二次型讲义
§1、二次型及其标准形 一、二次型的矩阵表示
定义 二次齐次多项式
f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz 称为实二次型. 其中aij 为实常数.
取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 , 从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx ,
第七章 二次型与二次曲面
上一页
例2
若二次型 f 的矩阵为
1
1
A 1 0
2 1
2
试写出 f .
2
1 2
2
例解2
1
f (x, y, z) 1
2
1 0 1
2 1
2
2
x y z
2
x22y22x y4x zy.z
线性代数二次型讲义
第七章 二次型与二次曲面
上一页
练习 写 出 f x23y24z22xy3y的 z 矩 A. 阵
二次型为标准形的配方法。 • 3．知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定
性及其判别法。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用
“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；
对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用
“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来
通识教育平台数学课程系列教材
线性代数二次型讲义
第一节 二次型及其标准形 第二节 正交变换法化二次型为标准形 第三节 化二次型为标准形的其他方法 第四节 二次型的分类 第五节 二次型在直角坐标系下的分类
线性代数二次型讲义
精品资料
本章学习要求：
• 1．了解二次型及其矩阵表示。 • 2．会用正交变换法化二次型为标准形。知道化
线性代数二次型讲义
第七章 二次型与二次曲面
§1、二次型及其标准形
a11xa12ya13z
a11 a12 a13 x
(x,y,z)a21xa22ya23z(x,y,z)a21 a22 a23 y
a31xa32ya33z
a31 a32 a33 z
= XT AX .
A
X
称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵.
并 用 矩 阵f形 . 式 表 示
解
11 0
例2 A 1 3
3 2
,
0
3 2
4
f (x, y, z)
1 1 0 x
13 03
3 2 4
y. z
2
线性代数二次型讲义
第七章 二次型与二次曲面
上一页
练习
若二次型 f 的矩阵为 1 1 2
A 1 2 0
试写出 f .
2 0 3
例解2
1 1 2x
u2 v2 1. 49
线性代数二次型讲义
上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子 中的交叉项，使之成为标准方程.
而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变换. 综上所述，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变 换将一个二次齐次多项式化为只含有平方项的二次多项 式. 二次型就是二次齐次多项式.
为 n 元实二次型.
nn
n
记 aij = aji, 则 f(x1,x2, ,xn)
aijxixj (或 aijxi xj )
i1 j1
i, j1
记 X = ( x1, x2, …, xn)T, A =( aij )nn , 则
f ( x1, x2, …, xn) = X TAX ,
其中 A 称为二次型的矩阵，A 的秩称为二次型的秩.
f (x,y,z)1 2 0 y
2
0
3 z
x22 y23 z22 x y22 x.z
线性代数二次型讲义
第七章 二次型与二次曲面
§1、二次型及其标准形 n 元二次型及其矩阵表示
定义1
称 n 元实二次齐次式
f ( x 1 , x 2 , , x n ) a 1 x 1 2 1 2 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2x 2 2 2 2 a 2 n x 2 x n ann xn2
a'x'2+c'y'2=f
(2)
在二次曲面的研究中也有类似的问题.
线性代数二次型讲义
考察：方程
13x210xy13y21 72 72 72
表示 x y 平面上一条怎样的曲线？图形如何？
将 x y 坐标系逆时针旋转π/4，即令
x
y
2u 2 2u 2
2 v, 2 2 v, 2
则得此曲线在新的 u v 坐标系下的方程
2a23yz = a23yz + a32zy . f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz
+ a31zx + a32zy + a33z2
= x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z)
+ z (a31x + a32y + a33z)
表述。
线性代数二次型讲义
二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨论的有心二 次曲线, 当中心与坐标原点重合时, 其一般方程是
ax2+2bxy+cy2=f
(1)
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于 研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把 方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程
i1
一一对应
n 元标准二次型 f
n 阶对角 矩 阵
线性代数二次型讲义
第七章 二次型与二次曲面
§1、二次型及其标准形 二、矩阵间的合同关系
思考：二次型 f = X TAX 经过满秩线性变换 X ห้องสมุดไป่ตู้ CY 后 还是二次型吗?
对于二次型 f = X TAX ，作满秩变换 X = CY ,
三元实二 次型 f
一一对应 三阶实对称矩阵 A
线性代数二次型讲义
第七章 二次型与二次曲面
上一页
例 1写f出 x22y25z22xy 6y z2x的 z 矩 A. 阵
并用矩阵f.形式表示
解
11 1
例 2 A 1 2 3 ,
1 3 5
1 1 1 x f (x,y,z) 1 2 3 y.
1 3 5 z
线性代数二次型讲义
线性代数二次型讲义
第七章 二次型与二次曲面
注: ① 由于aij = aji , 所以 A T= A , ② A中 aii 是 xi2 的系数, aij 是交叉项 xixj 系数的一半. n 元实二次型 f 一一对应 n 阶实对称矩阵 A
定义2
n
称只含平方项的二次型 f i xi2
为标准二次型.
§1、二次型及其标准形 一、二次型的矩阵表示
定义 二次齐次多项式
f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz 称为实二次型. 其中aij 为实常数.
取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 , 从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx ,
第七章 二次型与二次曲面
上一页
例2
若二次型 f 的矩阵为
1
1
A 1 0
2 1
2
试写出 f .
2
1 2
2
例解2
1
f (x, y, z) 1
2
1 0 1
2 1
2
2
x y z
2
x22y22x y4x zy.z
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第七章 二次型与二次曲面
上一页
练习 写 出 f x23y24z22xy3y的 z 矩 A. 阵
二次型为标准形的配方法。 • 3．知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定
性及其判别法。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用
“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；
对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用
“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来
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线性代数二次型讲义
第一节 二次型及其标准形 第二节 正交变换法化二次型为标准形 第三节 化二次型为标准形的其他方法 第四节 二次型的分类 第五节 二次型在直角坐标系下的分类
线性代数二次型讲义
精品资料
本章学习要求：
• 1．了解二次型及其矩阵表示。 • 2．会用正交变换法化二次型为标准形。知道化
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第七章 二次型与二次曲面
§1、二次型及其标准形
a11xa12ya13z
a11 a12 a13 x
(x,y,z)a21xa22ya23z(x,y,z)a21 a22 a23 y
a31xa32ya33z
a31 a32 a33 z
= XT AX .
A
X
称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵.
并 用 矩 阵f形 . 式 表 示
解
11 0
例2 A 1 3
3 2
,
0
3 2
4
f (x, y, z)
1 1 0 x
13 03
3 2 4
y. z
2
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第七章 二次型与二次曲面
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练习
若二次型 f 的矩阵为 1 1 2
A 1 2 0
试写出 f .
2 0 3
例解2
1 1 2x
u2 v2 1. 49
线性代数二次型讲义
上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子 中的交叉项，使之成为标准方程.
而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变换. 综上所述，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变 换将一个二次齐次多项式化为只含有平方项的二次多项 式. 二次型就是二次齐次多项式.
为 n 元实二次型.
nn
n
记 aij = aji, 则 f(x1,x2, ,xn)
aijxixj (或 aijxi xj )
i1 j1
i, j1
记 X = ( x1, x2, …, xn)T, A =( aij )nn , 则
f ( x1, x2, …, xn) = X TAX ,
其中 A 称为二次型的矩阵，A 的秩称为二次型的秩.
f (x,y,z)1 2 0 y
2
0
3 z
x22 y23 z22 x y22 x.z
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第七章 二次型与二次曲面
§1、二次型及其标准形 n 元二次型及其矩阵表示
定义1
称 n 元实二次齐次式
f ( x 1 , x 2 , , x n ) a 1 x 1 2 1 2 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2x 2 2 2 2 a 2 n x 2 x n ann xn2
a'x'2+c'y'2=f
(2)
在二次曲面的研究中也有类似的问题.
线性代数二次型讲义
考察：方程
13x210xy13y21 72 72 72
表示 x y 平面上一条怎样的曲线？图形如何？
将 x y 坐标系逆时针旋转π/4，即令
x
y
2u 2 2u 2
2 v, 2 2 v, 2
则得此曲线在新的 u v 坐标系下的方程
2a23yz = a23yz + a32zy . f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz
+ a31zx + a32zy + a33z2
= x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z)
+ z (a31x + a32y + a33z)
表述。
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二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨论的有心二 次曲线, 当中心与坐标原点重合时, 其一般方程是
ax2+2bxy+cy2=f
(1)
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于 研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把 方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程
i1
一一对应
n 元标准二次型 f
n 阶对角 矩 阵
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第七章 二次型与二次曲面
§1、二次型及其标准形 二、矩阵间的合同关系
思考：二次型 f = X TAX 经过满秩线性变换 X ห้องสมุดไป่ตู้ CY 后 还是二次型吗?
对于二次型 f = X TAX ，作满秩变换 X = CY ,
三元实二 次型 f
一一对应 三阶实对称矩阵 A
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第七章 二次型与二次曲面
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例 1写f出 x22y25z22xy 6y z2x的 z 矩 A. 阵
并用矩阵f.形式表示
解
11 1
例 2 A 1 2 3 ,
1 3 5
1 1 1 x f (x,y,z) 1 2 3 y.
1 3 5 z
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第七章 二次型与二次曲面
注: ① 由于aij = aji , 所以 A T= A , ② A中 aii 是 xi2 的系数, aij 是交叉项 xixj 系数的一半. n 元实二次型 f 一一对应 n 阶实对称矩阵 A
定义2
n
称只含平方项的二次型 f i xi2
为标准二次型.