2019-2020学年广东省潮州市高一下学期期中考试数学试题
0
且函数解析式为 f(x)＝5sin(2x－π6)．……………………5 分 (2)由(1)知 f(x)＝5sin(2x－π6)，则 g(x)＝5sin(2x＋2θ－π6)． 因为函数 y＝sinx 图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 令 2x＋2θ－π6＝kπ，解得 x＝k2π＋1π2－θ，k∈Z. ……………………8 分 由于函数 y＝g(x)的图象关于点(51π2，0)成中心对称， 所以令k2π＋1π2－θ＝51π2，解得 θ＝k2π－π3，k∈Z. ……………………9 分 由 θ>0 可知，当 k＝1 时，θ 取得最小值π6.……………………10 分
2π，且 gπ4＝ 2，则 f38π＝(
)
A．－2
B．－ 2
C. 2
D．2
7．在△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且＝2，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)．若＝
x＋(1－x)，则 x 的取值范围是( )
A．(0,1)
B.23，1
C.0，13
D.13，23
8．函数 y＝2|x|sin2x 的图象可能是(
18（本小题 12 分）（1）已知 tan α＝－43，求 sin2α＋2sin αcos α 的值． （2）在△ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且＝23＋13，Q 是 BC 的中点，AQ 与 CP 的交点为 M，
又＝t，求实数 t 的值．
19．（本小题 12 分）已知向量 a＝(mx2，－1)，b＝mx1－1，x(m 是常数)，且 f(x)＝a1·b.
期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π
5π
3
6
Asin(ωx＋φ)
05
－5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)的解析式；
(2)将 y＝f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度，得到 y＝g(x)的图象．若 y
＝g(x)图象的一个对称中心为(51π2，0)，求 θ 的最小值．
B 与 D 关于点 E 对称，在 x 轴上的投影为1π2，则(
)
A．ω＝2，φ＝π3
B．ω＝2，φ＝π6
C．ω＝12，φ＝π3
D．ω＝12，φ＝π6
二．填空题（共 4 小题，每小题 5 分）
13．设向量 a＝(3，－4)，a＋b＝(t,8)，c＝(－1，－1)，若 b∥c，则 t＝________.
D．－1
11．已知函数 f(x)＝sinx－sin3x，x∈[0,2π]，则 f(x)的所有零点之和等于( )
A．5π
B．6π
C．7π
D．8π
12．已知 A，B，C，D 是函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的四个点，如
图所示，A(－π6，0)，B 为 y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该图象的一个对称中心，
ABCBA CCDAA CA
二．填空题
13. 15
三．解答题
14. (1，＋∞) 15. π
16.[1,2 2]
17 (1)根据表中已知数据，解得 A＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π
π 7π 5π 13π
12 3 12
6
12
Asin(ωx＋φ)
0
5
0 －5
＝54cos2θ－65cosθ＋14＝54cosθ－352－15，
∴当 cosθ＝35时，ymin＝－15.……………………12 分
21 解：(1)∵x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，76π]． ∴sin(2x＋π6)∈[－12，1]，……………………2 分 又∵a>0，∴－2asin(2x＋π6)∈[－2a，a]． ∴f(x)∈[b,3a＋b]， 又∵－5≤f(x)≤1， ∴b＝－5,3a＋b＝1， 因此 a＝2，b＝－5. ……………………5 分 (2)由(1)得 a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin(2x＋6π)－1， g(x)＝f(x＋π2)＝－4sin(2x＋76π)－1＝4sin(2x＋6π)－1，……………………7 分
.
16.已知函数 f(x)＝2sin(2x＋π6)，记函数 f(x)在区间[t，t＋π4]上的最大值为 M，最小值为 m，
设函数 h(t)＝Mt－mt.若 t∈[1π2，51π2]，则函数 h(t)的值域为
.
三．解答题（共 70 分）
17．（本小题 10 分）某同学用“五点法”画函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在某一个周
(1)若 f(x)是奇函数，求 m 的值；
(2)设函数 g(x)＝f2x－2x，讨论当实数 m 变化时，函数 g(x)的零点个数．
20．（本小题 12 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 a＝(2,1)，A(1,0)，B(cosθ， t)，
(1)若 a∥，且||＝ 5||，求向量的坐标； (2)若 a∥，求 y＝cos2θ－cosθ＋t2 的最小值．
f(x)＝mxx－1＝m－1x.
由题设，对任意的不为零的实数 x，都有 f(－x)＝－f(x)，即 m＋1x＝－m＋1x恒成立，
所以 m＝0. ……………………6 分
(2)由(1)知，g(x)＝m－2x－2x，则 g(x)＝0⇔x2－2mx＋4＝0，Δ＝4(m2－4)．……………… 9分
所以当 m>2 或 m<－2 时，函数 g(x)有两个零点； 当 m＝±2 时，函数 g(x)有一个零点； 当－2<m<2 时，函数 g(x)没有零点．……………………12 分
22【解】
C : (x a)2 ( y b)2 1(a 0)
(x 2)2 ( y 3)2 1
…
5分
（2）假设存在直线 l，使得 OM ON 6 ，设 M（x1，y1）N（x2，y2），
由
y kx
( x
2)
2 2
(
y
3)2
1
得（1+k2）x2﹣（2k+4）x+4=0，……………………7 分 由△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0 得 0 k 4 ，……………………8 分
3
且
x1
x1
x2
x2
2k k2
4
k2 1
4 1
，……………………9
分
OM
ON
=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）
4 +2k k2 1
2k k2
4 1
+4=6，
解得 k=﹣1 或 k 1 ，不满足△＞0， 3
所以不存在直线 l，使得 OM ON 6 ．……………………12 分
21．（本小题 12 分）已知 a>0，函数 f(x)＝－2asin(2x＋π6)＋2a＋b，当 x∈[0，π2]时，－5≤f(x) ≤1.
(1)求常数 a，b 的值； (2)设 g(x)＝f(x＋π2)且 lg[g(x)]>0，求 g(x)的单调区间．
22. （本小题 12 分）已知圆 C : (x a)2 ( y b)2 1(a 0) 关于直线 3x 2y 0 对称，
20 解：(1)∵＝(cosθ－1，t)，又 a∥，∴2t－cosθ＋1＝0. ∴cosθ－1＝2t.①……………………1 分 又∵||＝ 5||，∴(cosθ－1)2＋t2＝5.②……………………3 分 由①②得，5t2＝5，∴t2＝1.∴t＝±1. ……………………4 分 当 t＝1 时，cosθ＝3(舍去)，当 t＝－1 时，cosθ＝－1， ∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1)．……………………6 分 cosθ－1 (2)由(1)可知 t＝ 2 ， ∴y＝cos2θ－cosθ＋cosθ4－12＝54cos2θ－32cosθ＋14
又因为 A，M，Q 三点共线，设＝λ.
所以＝－＝λ－＝λ－＝2λ＋λ－2 2， 又＝t＝t(－)＝t＝3t －t.
2λ＝3t ， 故λ－2 2＝－t，
t＝34， 解得λ＝12.
故 t 的值是34.……………………12 分
19
解：(1)由题意知，a·b＝ mx2 －x＝ x ，所以 mx－1 mx－1
)
2
A. 5 5
B. 2 5 5
C． 2
D.－12
3．已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3
B．－2
C．2
D．3
4．已知 sin θ＋cos θ＝430＜θ＜π4，则 sin θ－cos θ 的值为()Βιβλιοθήκη 2 A. 3B.－
2 3
1 C.3
D.－13
5．下列函数中，以π2为周期且在区间4π，π2单调递增的是(
)
9．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝0，c＝12(a＋b)，|d－c|＝ 2，则|d|的取值范围是(
)
A．[0,2 2]
B．[0,2]
C．[0， 2]
D．[0,1]
10．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P 在边 AC 的中线 BD 上，则·的最小值为
()
A．－12
B．0
C．4
且与直线 3x 4y 1 0 ．
（1）求圆 C 的方程；
（2）若直线 l : y kx 2 与圆 C 交于 M ，N 两点，是否存在直线 l ，使得OM ON 6（ O
为坐标原点）若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题(天津专用,测试范围：人教A版2019)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷（天津）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章5．难度系数：0.6。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．B ．()21x f x x-=【解析】由题意得：根据图像可得：函数为偶函数，当时，∵y=当时，易得：当时，易得第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．7+在[]()1,1m m >上的最大值为，解得：133x =-，22x =，x 7+在[],21m m -上的最大值为，解得：3332m -≤≤.)1>上最大值()2A f m m ==-()()210f m f m A =->=>，3⎤⎥，故答案为：333,⎡⎤-⎢⎥.16．（14分）17．（15分）已知函数()()221R f x x mx m m =+-+∈.(1)若2m =，求函数()f x 在区间[]2,1-上的最大和最小值；(2)解不等式()21f x x <+.【解析】（1）解：当2m =时，可得()223f x x x =+-，则函数()y f x =表示开口向上的抛物线，且对称轴为1x =-，所以函数()y f x =在[]2,1--上单调递减，在[1,1]-上单调递增，所以，当1x =-时，函数()f x 取得最小值，最小值为()14f -=-，又因为()()23,10f f -=-=，所以函数的最大值为0，综上可得，函数()y f x =的最大值为0，最小值为4-.（7分）（2）解：由不等式()21f x x <+，即22121x mx m x +-+<+，即不等式2(2)2(0)(2)x m x m x m x +--=-<+，当2m =-时，不等式即为2(2)0x -<，此时不等式的解集为空集；当2m -<时，即2m >-时，不等式的解集为2m x -<<；当2m ->时，即2m <-时，不等式的解集为2x m <<-，综上可得：当2m =-时，不等式的解集为空集；当2m >-时，不等式的解集为(),2m -；当2m <-时，不等式的解集为()2,m -.（15分）18．（15分）19．（15分）某公司决定在公司仓库外借助一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：应急室正面墙体每平方米的报价400元，侧面墙体每平方米的报价均为300元，屋顶和地面及其他报价共20．（16分）10，。
屯溪第一中学2019_2020学年高一数学下学期入学考试试题含解析
安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一数学下学期入学考试试题（含解析）一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1.等差数列中18153120a aa ++=，则9102aa -的值是（ ）A. 24 B 。
22 C. 20D.8-【答案】A 【解析】 【分析】设公差为d ，则条件可化简为：1724a d +=，又9102aa -＝17a d +，即得结果.【详解】设公差为d ，则()181511133714120a aa a a d a d ++=++++=，所以1724a d +=，9102a a -＝()()111289724a d a d a d +-+=+=。
故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，考查学生的基本运算能力。
2。
sin1212ππ的值是( ) A 。
0 B 。
C.D 。
5sin12π 【答案】B 【解析】 【分析】由两角差的正弦公式得sin2sin 12124πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由诱导公式化简即可。
【详解】1sin 2sin 2sin 1212212212123ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2sin 44ππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式,诱导公式的应用. 3。
下列说法正确的是( )A.22a b ac bc >⇒> B. 22a b a b >⇒> C 。
33a b a b >⇒>D.22a b a b >⇒>【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质,对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．【详解】选项A ,当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2＞bc 2，故错误；选项B ,当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2＜b 2，故错误；选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2＞b 2，但却有a ＜b ,故错误． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．4。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期数学期中考试试卷 带详解
【解析】
【分析】
通过换元，令 则 ，将函数零点转化为函数 的图象与直线 有三个交点，利用数形结合求得 的范围.
【详解】函数 ， ，令 则 ，函数 恰有三个零点，可转化为函数 的图象与直线 有三个交点，如图： 根据三角函数图象的性质可得 ， ，所以 ， 即 ，由 ，可得 ，所以 的取值范围是 .
④ 图像关于 中心对称;
⑤ 的最小正周期为 .
【答案】②③⑤
【解析】
分析：①根据 可判断；②由 、 可判断；③ 时， ，进而可得结论；④ 是奇函数图象关于 对称，结合周期性可判断；⑤由
，利用周期公式可得结论.
详解：① ,
,
, 不是 对称轴，①错误；
② ， ，
， 是 的最小正周期，②正确；
③ 时， ，
（1）求 值；
（2）将函数 的图像向左平移 个单位，再将所得函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，若函数 在区间 上存在零点，求实数k的取值范围.
18.已知 满足 ，若其图像向左平移 个单位后得到 函数为奇函数．
（1）求 的解析式；
（2）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且满足 ，求 的取值范围．
【详解】 的递减区间是 ，又 ， ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：B．【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.
14.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）
（3）将函数 的图象向右平移 个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍后所得到的图象对应的函数记作 ，已知常数 ， ，且函数 在 内恰有 个零点，求常数 与 的值．
2019-2020学年上海交大附中高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海交大附中高一（下）期中数学试卷试题数：36，总分：1501.（填空题，4分）若2arcsin（54 x-2）= π3，则x=___ ．2.（填空题，4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6=17，且a3，a11，a43成等比数列，则d=___ ．3.（填空题，4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6=4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=___ ．4.（填空题，4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是___ ．5.（填空题，4分）在△ABC中，a2+b2-mc2=0（m为常数），且cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，则m的值是___ ．6.（填空题，4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4=8，S8=24，则S16=___ ．7.（填空题，4分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．8.（填空题，4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，则a+4c的最小值为___9.（填空题，4分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-12n，数列{|a n|}的前n项和T n，则T nn的最小值___ ．10.（填空题，4分）在等差数列{a n}中，若S10=100，S100=910，S110=___ ．11.（填空题，4分）设函数f（x）= {|sinx|，x＜02x，x≥0，函数g（x）= {lg(−x)，x＜0x2，x≥0，则方程f（x）=g（x）根的数量为___ 个．12.（填空题，4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，则使得a2kb k为整数的正整数k有___ 个．13.（填空题，4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列{√S n}也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为___ ．14.（填空题，4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M=a201+a202+a203+…+a401的最大值为___ ．15.（单选题，3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A.- 12B.- √32C. 12D. √3216.（单选题，3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=6，b=2 √3，B，A，C成等差数列，则B=（）A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π317.（单选题，3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A.{λa n}（λ为常数）B.{a n+b n}C.{a n2-b n2}D.{a n•b n}18.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=15，b=24，A=60°，则这样的三角形解的个数为（）A.1B.2C.0D.不确定19.（单选题，3分）已知函数f(x)=−2tan(π2x+π3)，下列说法中错误的是（）A.函数f（x）的定义域是{x|x≠2k+13，k∈Z}B.函数f（x）图象与直线x=2k+13，k∈Z没有交点C.函数f（x）的单调增区间是(−53+2k，13+2k)，k∈ZD.函数f（x）的周期是220.（单选题，3分）函数y=cos（2x+ π3），x∈[0，π2]的值域为（）A.[0，1]B.[-1，12]C.[- √32，12]D.[- 12，12]21.（单选题，3分）函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为（）A.y=arcsinx，x∈[-1，1]B.y=-arcsinx，x∈[-1，1]C.y=π+arcsinx，x∈[-1，1]D.y=π-arcsinx，x∈[-1，1]22.（单选题，3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S=b2+c2-4，a=2，则△ABC外接圆的面积为（）A. π4B. π2C.2πD.4π23.（单选题，3分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ 2π3），则下面结论正确的是（）A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C224.（单选题，3分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x= π6对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2，则φ等于（）A. π12B. π6C. π4D. π325.（单选题，3分）若等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），则a12+a22+…+a n2=（）A. 4n−13B.4n-1C.3（4n-1）D.无法确定} 26.（单选题，3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{ 1S n的前n项和为（）A. n2(n+1)B. 12n(n+1)C. 2n(n+1)D. 2nn+127.（单选题，3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负28.（单选题，3分）已知函数f（x）=asinx+cosx的一条对称轴为x= π，则函数g（x）11=sinx-acosx的一条对称轴可以为（）A.x= 9π22B.x= 13π22C.x= 10π11D.x= 13π1129.（单选题，3分）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸30.（单选题，3分）已知等差数列{a n}、{b n}，其前n项和分别为S n、T n，a nb n =2n+33n−1，则S11T11=（）A. 1517B. 2532C.1D.231.（单选题，3分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，若存在m∈N+满足S2mS m =9，a2ma m=5m+1m−1，则数列{a n}的公比为（）A. √2B.2C.3D.432.（单选题，3分）已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A.若a1+a2＞0，则a1+a3＞0B.若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C.若a1＞0，则S2021＞0D.若a1＞0，则S2020＞033.（单选题，3分）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1＜0，给出下列结论：① 0＜q＜1；② a2019a2021-1＞0；③ T2019是数列{T n}中的最大项；④ 使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A. ① ②B. ① ③C. ① ③ ④D. ① ② ③ ④34.（单选题，3分）对于无穷数列{a n}，给出下列命题：（）① 若数列{a n}既是等差数列，又是等比数列，则数列{a n}是常数列．② 若等差数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．③ 若等比数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．④ 若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，则数列{a n}是常数列．其中正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.435.（问答题，16分）已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，满足f（9π）=13-94√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期；）内恰有2020个根．若存在，求出n （3）是否存在正整数n，使得f（x）=0在区间[0，nπ4的值，若不存在，请说明理由．36.（问答题，18分）已知{a n}，{b n}，前n项和分别记为S n，T n．（1）若{a n}，{b n}都是等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，求S30；（2）若{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，b n-a n=2n，a1=1，求T30（3）数列{a n}，{b n}都是等比数列，且满足n≤3时，b n-a n=2n，若符合条件的数列{a n}唯一，则在数列{a n}、{b n}中是否存在相等的项，即a k=b1（k，l∈N*），若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：36，总分：1501.（填空题，4分）若2arcsin（54 x-2）= π3，则x=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：直接利用反正弦函数的计算法则即可求解结论．【解答】：解：因为2arcsin（54 x-2）= π3，所以sin[arcsin（54 x-2）]= 12，即54 x-2= 12，所以x=2．故答案为：2．【点评】：本题考查反三角函数的应用，反三角函数的运算法则，考查计算能力，是基础题．2.（填空题，4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6=17，且a3，a11，a43成等比数列，则d=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差．【解答】：解：a6=17，即为a1+5d=17，a3，a11，a43成等比数列，可得a3a43=a112，即为（a1+2d）（a1+42d）=（a1+10d）2，化为2d=3a1，解得a1=2，d=3，故答案为：3．【点评】：本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3.（填空题，4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6=4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用等比数列的性质求得a2a5与a3a4，再利用对数的运算法则求出结果．【解答】：解：∵a1a6=4，∴由等比数列的性质可得：a2a5=a3a4=4，∴log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2（a2a3a4a5）=log216=4．故填：4．【点评】：本题主要考查等比数列的性质与对数的运算，属于基础题．4.（填空题，4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是___ ．【正确答案】：[1]765【解析】：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列，利用求和公式即可得出．【解答】：解：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列．令100=2+7（n-1），解得n=15．∴前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和= 15×(2+100)2=765．故答案为：765．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.（填空题，4分）在△ABC中，a2+b2-mc2=0（m为常数），且cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，则m的值是___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由已知的等式，可得sinAsinBcosC=sin2C，然后根据正弦定理化简得出abcosC=c2，再由余弦定理求出cosC代入化简，即可求出m的值．【解答】：解：∵ cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，∴sinAsinBcosC=sinC•sin（A+B）=sin2C根据正弦定理上式可化简为：abcosC=c2①根据余弦定理可知cosC= a 2+b2−c22ab②由① ② 得a2+b2=3c2∵a2+b2=mc2∴m=3故答案为：3．【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，把角的关系转化为边的关系，是解题的关键．6.（填空题，4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4=8，S8=24，则S16=___ ．【正确答案】：[1]120【解析】：由等比数列的性质得：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等比数列，由此能求出S16．【解答】：解：∵等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，S4=8，S8=24，由等比数列的性质得：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等比数列，∴8，24-8，S12-24，S16-S12成等比数列，∴S12-24=32，S16-S12=64，解得S12=56，S16=120．故答案为：120．【点评】：本题考查等比数列的前16项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，4分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：本题先将函数f（x）转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值，从而得出结果．【解答】：解：由题意，可知：f（x）=3sinx+4cosx=5•（35 sinx+ 45cosx）=5sin（x+θ），其中sinθ= 45，cosθ= 35．∵sinθ= 45，可知sin π4= √22≤45≤1=sinπ2，∴ π4≤θ≤π2对于函数f（x）=5sin（x+θ），可知：sinx向左平移θ个单位得到sin（x+θ），再将sin（x+θ）的图象沿y轴伸长到原来的5倍得到5sin（x+θ）．由题意，可知求f（x1）-f（x2）的最大值就是求函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的最大值与最小值之差．又函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的图象如下：由图象可知，在区间[0，π]上，当x= π2−θ时，f（x）取最大值5，当x=π时，f（x）取最小值5sin（π+θ）=-5sinθ=-4．∴在区间[0，π]上，f（x1）-f（x2）的最大值是5-（-4）=9．故答案为：9．【点评】：本题考查了三角函数的转化以及函数图象的变换知识，本题要特别注意细节点不能粗心大意．属中档题．8.（填空题，4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，则a+4c的最小值为___【正确答案】：[1]18【解析】：根据三角形面积公式找到a，c的关系，结合基本不等式即可求得最小值．【解答】：解：根据题意，S△ABC= 12 acsinB= 12ac，因为∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，所以S△ABD= 12×BD×c×sin∠ABD=c，S△CBD= 12×BD×a×sin∠CBD=a，而S△ABC=S△ABD+S△CBD，所以12 ac=c+a，化简得2a+2c=1，则a+4c=（a+4c ）（ 2a + 2c ）=10+2a c+8c a ≥10+2 √2a c×8ca=18， 当且仅当a=2c ，即c=3，a=6时取等号，即最小值为：18． 故答案为：18．【点评】：本题考查了三角函数面积公式的应用，基本不等式在求最值中的用法，属于难题．9.（填空题，4分）已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-12n ，数列{|a n |}的前n 项和T n ，则 Tnn 的最小值___ ． 【正确答案】：[1]5【解析】：根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式，然后利用分组求和法进行求和．【解答】：解：数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-12n ，易知数列{a n }为等差数列． ∴a n =S n -S n-1=2n 2-12n-2（n-1）2-12（n-1）=4n-14， n≥4时，a n ＞0； n≤3时，a n ＜0．∴T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+…|a n |=-a 1-a 2-a 3+a 4+…a n ， ∴ T n ={−S n =−2n 2+12n ，n ≤3S n −2S 3=2(n 2−6n +18)，n ≥4，n≤3时， T nn=−2n 2+12nn=−2n +12 ，当n=3时， Tnn 的最小值为-2×3+12=6；n≥4时， Tnn =2(n 2−6n+18)n= 2(n +18n−6) ，∵n∈N *，n=4时， Tnn 的最小值为 2(4+184−6)=5 ．综上所述，则 Tnn 的最小值是5．故答案为：5．【点评】：本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，以及含绝对值的前n 项和的求解，做题时注意n 必须为正整数，属于中档题．10.（填空题，4分）在等差数列{a n }中，若S 10=100，S 100=910，S 110=___ ． 【正确答案】：[1]990【解析】：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 10=100，S 100=910，利用求和公式可得：10a 1+10×92 d=100，100a 1+ 100×992d=910，解得a 1，d ，即可得出．【解答】：解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 10=100，S 100=910， ∴10a 1+10×92 d=100，100a 1+ 100×992 d=910， 解得a 1= 1009100 ，d=- 150 ， S 110=110× 1009100 - 150 × 110×1092=990， 故答案为：990．【点评】：本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11.（填空题，4分）设函数f （x ）= {|sinx |，x ＜02x ，x ≥0 ，函数g （x ）= {lg (−x )，x ＜0x 2，x ≥0，则方程f （x ）=g （x ）根的数量为___ 个． 【正确答案】：[1]7【解析】：分别作函数f （x ）与g （x ）的图象，转化为图象的交点，从而利用数形结合的方法求解．【解答】：解：作函数f （x ）=）= {|sinx |，x ＜02x ，x ≥0 与g （x ）= {lg (−x )，x ＜0x 2，x ≥0的图象如下，，结合图象可知，y=|sinx|与y=lg （-x ）在（-∞，0）上有5个交点， 在[0，+∞）上，y=x 2与y=2x 有两个交点， 分别为（2，4），（4，16）；故方程f （x ）=g （x ）根的个数为7个； 故答案为：7．【点评】：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，注意基本初等函数的图象的作法及图象变换．12.（填空题，4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，则使得a2kb k为整数的正整数k有___ 个．【正确答案】：[1]3【解析】：两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，不妨设S n=n（7n+36），T n=n（n+2），n≥2时，a n=S n-S n-1=14n+29，n=1时也成立．同理可得：b n=2n+1．可得：a2kb k =14+ 152k+1，进而得出结论．【解答】：解：两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，不妨设S n=n（7n+36），T n=n（n+2），n≥2时，a n=S n-S n-1=n（7n+36）-（n-1）（7n+29）=14n+29，n=1时也成立．同理可得：b n=2n+1．a2k b k = 28k+292k+1=14+ 152k+1，只有2k+1=3，5，15，即k=1，2，7时，使得a2kb k为整数．故答案为：3．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、整除理论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.（填空题，4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列{√S n}也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：由题意可得，化简，n≠1时可得：a1=（n-1）d2+2 √a1 d- n2d．分别令n=2，3，解得即可．【解答】：解：由题意可得：S n=na1+ n(n−1)2d，a n＞0，√S n = √a1 +（n-1）d，可得：S n=a1+（n-1）2d2+2 √a1（n-1）d．∴na1+ n(n−1)2d=a1+（n-1）2d2+2 √a1（n-1）d．n≠1时可得：a1=（n-1）d2+2 √a1 d- n2d．分别令n=2，3，可得：a1=d2+2 √a1 d-d，a1=2d2+2 √a1 d- 32d．解得a1= 14，d= 12．∴S6=6× 14 + 12×5×6× 12=9．故答案为：9【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.（填空题，4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M=a201+a202+a203+…+a401的最大值为___ ．【正确答案】：[1]1005【解析】：令a1=m，a201=n，将M=a201+a202+a203+…+a401转化为求关于m和n的式子最值，根据圆与直线的位置关系，求得32n−12m的最值，代入即可得结果．【解答】：解：∵a12+a2012≤10，令a1=m，a201=n，即m2+n2≤10，等差数列{a n}中，d= n−m200，M=a201+a202+a203+…+a401=（401-201+1）• a201+a4012=201a301=201（m+300d）=201（m+300 •n−m200）=201（m+ 3n2−32m）=201（32n−12m），令p= 32n−12m，则m-3n-2p=0，可得圆m2+n2=10上一点（m，n）也在直线m-3n-2p=0，即圆心到直线m-3n-2p=0的距离小于等于半径，∴ d=√12+(−3)2≤r=√10，解得p≤5，∴M=a201+a202+a203+…+a401≤201×5=1005．故答案为：1005．【点评】：本题考查了等差数列的求和公式，考查了点到直线的位置关系，属于综合考查类题目，需要学生有综合分析的能力和转化的思想，属于中档题．15.（单选题，3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A.- 12B.- √32C. 12D. √32【正确答案】：A【解析】：利用等差数列的性质和三角函数的诱导公式即可求出．【解答】：解：∵{a n}为等差数列，∴a1+a9=2a5，∵a1+a5+a9=5π，∴3a5=5π，∴a5= 5π3，∴cos（a2+a8）=cos（2a5）=cos 10π3 =- 12故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质和三角函数的诱导公式是解题的关键．16.（单选题，3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=6，b=2 √3，B，A，C成等差数列，则B=（）A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π3【正确答案】：A【解析】：由B，A，C成等差数列，利用三角形内角和定理求出A的值，再利用正弦定理求出sinB和B的值．【解答】：解：△ABC中，由B，A，C成等差数列，则2A=B+C=π-A，解得A= π3；所以sinB= bsinAa = 2√3×√326= 12，又a＞b，所以B为锐角．所以B= π6．故选：A．【点评】：本题考查了正弦定理与等差数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．17.（单选题，3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A.{λa n}（λ为常数）B.{a n+b n}C.{a n2-b n2}D.{a n•b n}【正确答案】：D【解析】：运用等差数列的定义和通项公式，对选项一一判断差是否为常数，即与n无关，即可判断．【解答】：解：等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），对于A，由λa n+1-λa n=λ（a n+1-a n）=λd为常数，则该数列为等差数列；对于B，由a n+1+b n+1-a n-b n=（a n+1-a n）+（b n+1-b n）=2d为常数，则该数列为等差数列；对于C，由a n+12-b n+12-（a n2-b n2）=（a n+1-a n）（a n+1+a n）-（b n+1-b n）（b n+1+b n）=d（2a1+（2n-1）d）-d（2b1+（2n-1）d）=2d（a1-b1）为常数，则该数列为等差数列；对于D，由a n+1b n+1-a n b n=（a n+d）（b n+d）-a n b n=d2+d（a n+b n）不为常数，则该数列不为等差数列．故选：D．【点评】：本题考查等差数列的定义和通项公式，注意定义法的运用，考查判断能力和推理能力，属于基础题．18.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=15，b=24，A=60°，则这样的三角形解的个数为（）A.1B.2C.0D.不确定【正确答案】：C【解析】：利用正弦定理求得sinB 的值，再根据三角函数的有界性判断B 的值不存在，即三角形无解．【解答】：解：△ABC 中，a=15，b=24，A=60°， 由正弦定理得， 15sin60° = 24sinB ， ∴sinB= 85 sin60°= 85 × √32 ≈1.39＞1， ∴B 的值不存在，此三角形无解． 故选：C ．【点评】：本题考查了利用正弦定理解三角形的应用问题，是基础题．19.（单选题，3分）已知函数 f (x )=−2tan (π2x +π3) ，下列说法中错误的是（ ） A.函数f （x ）的定义域是 {x|x ≠2k +13，k ∈Z} B.函数f （x ）图象与直线 x =2k +13，k ∈Z 没有交点 C.函数f （x ）的单调增区间是 (−53+2k ，13+2k)，k ∈Z D.函数f （x ）的周期是2 【正确答案】：C【解析】：利用正切函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】：解：已知函数f （x ）=-tan （ π2 x+ π3 ），则 π2 x+ π3 ≠ π2 +kπ，k∈Z ；∴函数的定义域为{x |x≠2k+ 13 ，k∈Z}；故A 正确；B 正确；函数f （x ）的单调减区间是 (−53+2k ，13+2k)，k ∈Z ，故C 错误； 函数f （x ）的周期是T= ππ2=2，故D 正确．所以说法错误的是：C ； 故选：C ．【点评】：本题主要考查正切函数的图象和性质，命题真假判断，属于中档题． 20.（单选题，3分）函数y=cos （2x+ π3 ），x∈[0， π2 ]的值域为（ ） A.[0，1] B.[-1， 12 ] C.[- √32 ， 12 ]D.[- 12，12]【正确答案】：B【解析】：先根据x的范围，求出2x+ π3的范围，再借助于余弦函数的性质即可求解结论．【解答】：解：∵x∈[0，π2]，∴2x+ π3∈[ π3，4π3]，∴y=cos（2x+ π3）∈[-1，12]．故选：B．【点评】：本题考查了余弦函数的定义域和值域的求法，属于基础题．21.（单选题，3分）函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为（）A.y=arcsinx，x∈[-1，1]B.y=-arcsinx，x∈[-1，1]C.y=π+arcsinx，x∈[-1，1]D.y=π-arcsinx，x∈[-1，1] 【正确答案】：D【解析】：由于x ∈[π2，3π2]时，-1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[-1，1]，表示在区间[- π2，π2]上，正弦值等于x的一个角，从而得到函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数．【解答】：解：由于x ∈[π2，3π2]时，-1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[-1，1]，表示在区间[- π2，π2]上，正弦值等于x的一个角，故函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为y=π-arcsinx，x∈[-1，1]，故选：D．【点评】：本题主要考查反正弦函数的定义，求一个函数的反函数，属于中档题．22.（单选题，3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S=b2+c2-4，a=2，则△ABC外接圆的面积为（）A. π4B. π2C.2πD.4π【正确答案】：C【解析】：由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得tanA=1，结合范围A∈（0，π），可求A= π4 ，利用正弦定理可求△ABC 外接圆的半径即可求△ABC 外接圆的面积．【解答】：解：∵△ABC 的面积为S ，且4S=b 2+c 2-4，a=2， ∴可得：4S=b 2+c 2-a 2，∴4× 12bcsinA=2bccosA ，可得：tanA=1， ∵A∈（0，π）， ∴A= π4 ，∴则△ABC 外接圆的半径R= a2sinA =2×√22= √2 ，∴则△ABC 外接圆的面积S=πR 2=2π． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．23.（单选题，3分）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+ 2π3 ），则下面结论正确的是（ ）A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线C 2 【正确答案】：D【解析】：利用诱导公式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】：解：曲线C2：y=sin（2x+ 2π3）=cos（2x+ π6），把C1：y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y=cos2x的图象；再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，可以得到曲线C2：y=cos（2x+ π6）=sin（2x+ 2π3）的图象，故选：D．【点评】：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．24.（单选题，3分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x= π6对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2，则φ等于（）A. π12B. π6C. π4D. π3【正确答案】：B【解析】：由题意可得函数的半周期，代入周期公式求得ω，再利用正弦函数的单调性，结合φ的范围即可求得φ值．【解答】：解：对于函数f（x）=2sin（ωx+φ），∵对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2．∴ T 2 = π2，则T=π，∴ω= 2πT = 2ππ=2，可得f（x）=2sin（2x+φ），又∵f（x）=2sin（ωx+φ）的图象关于直线x= π6对称，∴2× π6+φ=2kπ+ π2，k∈Z，可得φ=2kπ+ π6，k∈Z，∵0＜φ＜π2，∴φ= π6，故选：B．【点评】：本题考查正弦函数的图象和性质，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于基础题．25.（单选题，3分）若等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），则a12+a22+…+a n2=（）A. 4n−13B.4n-1C.3（4n-1）D.无法确定【正确答案】：C【解析】：等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），求出a1=S1=3（2+m）=6+3m，a2=S2-S1=6，a3=S3-S2=12，由a1，a2，a3是等比数列，解得m=-1，从而a n=3×2n-1．进而a n2=9×4n-1，由此能求出a12+a22+…+a n2．【解答】：解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），∴a1=S1=3（2+m）=6+3m，a2=S2-S1=3（22+m）-3（2+m）=6，a3=S3-S2=3（23+m）-3（22+m）=12，∵a1，a2，a3是等比数列，∴ a22=a1a3，∴36=12（6+3m），解得m=-1，∴a n=3×2n-1．∴ a n2 =9×4n-1，=3（4n-1）．则a12+a22+…+a n2= 9(1−4n)1−4故选：C．【点评】：本题考查等比数列的各项的平方的和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．} 26.（单选题，3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{ 1S n的前n项和为（）A. n2(n+1)B. 12n(n+1)C. 2n(n+1)D. 2nn+1【正确答案】：A【解析】：利用等差数列的前n项和即可得出S n，再利用“裂项求和”即可得出数列 { 1S n}的前n项和．【解答】：解：∵S n=4n+ n(n−1)2×4 =2n2+2n，∴ 1 S n =12n2+2n=12(1n−1n+1)．∴数列 { 1S n }的前n项和= 12[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)] = 12(1−1n+1) = n 2(n+1)．故选：A．【点评】：熟练掌握等差数列的前n项和公式、“裂项求和”是解题的关键．27.（单选题，3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负【正确答案】：A【解析】：由函数f（x）是R上的奇函数且是减函数，可得：f（0）=0，且当x＞0，f（x）＜0；当x＜0，f（x）＞0．∵由列{a n}是等差数列，a158＞0，故f（a158）＜0．再根据a1+a315=2a158＞0，可得f（a1）+f（a315）＜0．……，进而得出结论．【解答】：解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是减函数，∴f（0）=0，且当x＞0，f（x）＜0；当x＜0，f（x）＞0．∵数列{a n}是等差数列，a158＞0，故f（a158）＜0．再根据 a1+a315=2a158＞0，∴f（a1）+f（a315）＜0．同理可得，f（a2）+f（a314）＜0，f（a3）+f（a313）＜0，…，∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a315）＜0，故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的性质、函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．28.（单选题，3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π11 ，则函数g （x ）=sinx-acosx 的一条对称轴可以为（ ） A.x= 9π22 B.x= 13π22 C.x= 10π11 D.x=13π11 【正确答案】：B【解析】：利用辅助角公式分别将f （x ）和g （x ）进行化简，结合正弦函数和余弦函数的对称性进行求解即可．【解答】：解：f （x ）= √a 2+1 （ √a 2+1sinx+√a 2+1cosx ），令cosθ=√a 2+1，sinθ=√a 2+1则f （x ）= √a 2+1 （sinxcosθ+cosxsinθ）= √a 2+1 sin （x+θ）， ∵f （x ）的一条对称轴为x= π11， ∴ π11+θ=kπ+ π2，即θ=kπ+ 9π22 ，k∈Z ， g （x ）=sinx-acosx= √a 2+1 （ √a 2+1sinx-√a 2+1cosx ）= √a 2+1 （sinxsinθ-cosxcosθ）=-√a 2+1 cos （x+θ）， 由x+θ=mπ，m∈Z ，得x=mπ-θ=mπ-kπ+ 9π22 =（m-k ）π- 9π22 ，m ，k∈Z ， 当m-k=1时，对称轴为x=π- 9π22 = 13π22 ， 故选：B ．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．难度中等．29.（单选题，3分）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸D.四尺五寸 【正确答案】：B【解析】：由题意结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【解答】：解：由题意可知，日影长构成等差数列，设为{a n }， 则 {a 1+a 4+a 7=31.59a 1+36d =85.5解可得，d=-1，a 1= 272 ， 根据题意即求a 12= 272−11 =2.5 故选：B ．【点评】：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题求解中的应用，属于基础试题．30.（单选题，3分）已知等差数列{a n }、{b n }，其前n 项和分别为S n 、T n ， a n b n=2n+33n−1 ，则 S11T 11=（ ） A. 1517B. 2532C.1D.2【正确答案】：A 【解析】：S 11= 11(a 1+a 11)2 =11a 6，同理可得：T 11=11b 6．即可得出 S 11T 11 = a 6b 6．【解答】：解：S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6， 同理可得：T 11=11b 6． ∴S 11T 11 = 11a 611b 6 = a 6b 6 = 2×6+33×6−1 = 1517． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．31.（单选题，3分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m∈N +满足 S 2m S m=9， a2m a m=5m+1m−1，则数列{a n }的公比为（ ）A. √2B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：利用等比数列的通项公式及前n项和公式即可得出．【解答】：解：设等比数列{a n}的公比为q．当公比q≠1时，∵存在m∈N+满足S2mS m=9，∴ a1(q2m−1)q−1a1(q m−1)q−1=9，∴q m+1=9，∴q m=8．又a2ma m = 5m+1m−1，∴ a1q2m−1a1q m−1= 5m+1m−1，即q m= 5m+1m−1=8，解得m=3．∴q3=8，解得q=2．q=1不满足题意．故选：B．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．32.（单选题，3分）已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A.若a1+a2＞0，则a1+a3＞0B.若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C.若a1＞0，则S2021＞0D.若a1＞0，则S2020＞0【正确答案】：C【解析】：利用等比数列的性质直接求解．【解答】：解：由数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，知：在A中，若a1+a2＞0，则a1+a3可能小于0，例如等差数列-3，6，-12，24，……中，a1+a2=-3+6=3＞0，则a1+a3=-3-12=-15＜0，故A错误；在B中，若a1+a3＞0，则a1+a2可能小于0，例如等差数列3，-6，12，-24，……中，a1+a3=3+12=15＞0，则a1+a2=3-6=-3＜0，故B错误；＞0，在C中，∵a1＞0，∴当q＜0时，S2021= a1(1−q2021)1−q＞0，当0＜q＜1时，S2021= a1(1−q2021)1−q当q=1时，S2021=2021a1＞0，＞0，故C正确；当q＞1时，S2021= a1(1−q2021)1−q有可能小于或等于0，在D中，∵a1＞0，∴当q≠1时，S2020= a1(1−q2020)1−q=0，例如q=-1时，S2020= a1(1−q2020)1−q＜0，故D错误．q＜-1时，S2020= a1(1−q2020)1−q故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．33.（单选题，3分）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1＜0，给出下a2020−1列结论：① 0＜q＜1；② a2019a2021-1＞0；③ T2019是数列{T n}中的最大项；④ 使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A. ① ②B. ① ③C. ① ③ ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：B【解析】：由题意可得a2019＞1，a2020＜1，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．＜0，【解答】：解：∵a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1∴a2019＞1，a2020＜1．∴0＜q＜1，故① 正确；a2019a2021= a20202＜1，∴a2019a2021-1＜0，故② 不正确；∵a2020＜1，∴T2019是数列{T n}中的最大项，故③ 正确；T4039=a1a2•…•a4038•a4039= a20204039＜1，T4038=a1a2•…•a4037•a4038= (a2019a2020)2019＞1，∴使T n＞1成立的最大自然数等于4038，故④ 不正确．∴正确结论的序号是① ③ ．故选：B．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．34.（单选题，3分）对于无穷数列{a n}，给出下列命题：（）① 若数列{a n}既是等差数列，又是等比数列，则数列{a n}是常数列．② 若等差数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．③ 若等比数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．④ 若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，则数列{a n}是常数列．其中正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：根据等差，等比数列的定义即可判断各选项的真假．【解答】：解：对于① ，设数列{a n}的首项为a1（a1≠0），公差为d，公比为q（q≠0），依定义有，2a2=a1+a3，即2a1q=a1+a1q2，解得q=1，所以① 正确；对于② ，若公差d＞0，等差数列{a n}是递增数列，存在n=N，当n＞N时，|a N|＞2020，若公差d＜0，等差数列{a n}是递减数列，存在n=N，当n＞N时，|a N|＞2020，所以d=0，即② 正确；）n，满足|a n|≤2020，但是数列{a n}不是常数列，所以③ 对于③ ，若等比数列{a n}，a n=（12错误；对于④ ，若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，设公比为q（q＞0），当0＜q＜1时，等比数列为递减数列，所以存在n=N，当n＞N时，a n＜1，当q＞1时，等比数列为递增数列，所以存在n=N，当n＞N时，a n＞2020，所以q=1，即④ 正确．故选：C．【点评】：本题主要考查数列的定义，单调性的应用，以及无穷数列的性质应用，属于中档题．）=13-9 35.（问答题，16分）已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，满足f（9π4√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期；）内恰有2020个根．若存在，求出n （3）是否存在正整数n，使得f（x）=0在区间[0，nπ4的值，若不存在，请说明理由．【正确答案】：时f（x）的值，从而解得a的值；【解析】：（1）计算x= 9π4（2）根据f（x+π）=f（x），求得f（x）的一个周期为π，再结合反证法证明π是最小正周期；（3）根据f（x）的最小正周期为π，先分类讨论求出函数在一个周期内有多少个零点，进而分析判断求解．【解答】：解：（1）函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，，得√2 a+4+9=13-9 √2，解得a=-9；令x= 9π4（2）f（x+π）=-9[|sin（x+π）|+|cos（x+π）|]+4sin2（x+π）+9=-9（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9=f（x），所以，π是函数f（x）的一个周期．下证π是 f（x）的最小正周期：（反证法），假设存在 0＜T＜π，使得 f（x+T）=f（x）对x∈R 恒成立，取 x=0，则 f（T）=f（0）=0，即 4sin2T+9-9（|sinT|+|cosT|）=0（*）)，t∈[1，√2]，则sin2T=t2-1令t=sinT+cosT=√2sin(T+π4；于是（*）式即 4（t2-1）+9-9t=0，解得 t=1 或t=54，由 t=1，可解得T=π2由t=54可解得T=arcsin5√28−π4∈(0，π4)或T=3π4−arcsin5√28∈(π4，π2)当T∈(π2，π)时，4sin2T+9-9（sinT-cosT）=0 令t=sinT−cosT=√2sin(T−π4)，t∈(1，√2]，则sin2T=1-t2，于是（*）式即 4（1-t2）+9-9r=0，解得 t=1 （舍）或t=−134（舍）∴T 的可能值为T=π2或T=arcsin5√28−π4或T=3π4−arcsin5√28，检验：① T=π2时，f(π4)=13−9√2，f(−π4)=5−9√2≠f(π4)，∴ T=π2不是 f（x）的周期，② T=arcsin5√28−π4时，f（T）=0，f（T）+f（-T）=18-18cosT⇒f（-T）≠0，即 f（-T）≠f（T），∴ T=arcsin5√28−π4不是 f（x）的周期；③ T=3π4−arcsin5√28时，f（T）=0，f（T）+f（-T）=18-18sinT⇒f（-T）≠0，即 f（-T）≠f（T），∴ T=3π4−arcsin5√28不是 f（x）的周期；假设不成立，故π是 f（x）的最小正周期．（3）当x∈[0，π2]时，f（x）=4sin2x+9-9（sinx+cosx）令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，t∈[1，√2]，则sin2x=t2-1于是 f（x）=0⇒4t2-9t+5=0，得 t=1 或t=54∈[1，√2]由 t=1，可解得 x=0 或x=π2，由t=54，可解得x=arcsin5√28−π4∈(0，π4)或x=3π4−arcsin5√28∈(π4，π2)当x∈(π2，π)时，f（x）=4sin2x+9-9（sinx-cosx）令t=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，t∈(1，√2]，则sin2x=1-t2，于是 f（x）=0⇒4t2+9t-13=0，得 t=1 或t=−134∉(1，√2]，∴f（x）=0 在x∈(π2，π)无解综上，f（x）=0 在[kπ，kπ+π2](k∈Z)上有4个根，在[kπ，kπ+π）（k∈Z）上有4个根，在[kπ，kπ+π]（k∈Z）上有5个根，而 2020=4×505，∴f（x）=0 在[0，1009π2]内有2020个根，在[0，505π]内有2020个根，在[0，505π]内有2021个根由题意，1009π2＜nπ4⩽505π⇒2018＜n⩽2020，又n∈N*∴n=2019 或 n=2020．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．36.（问答题，18分）已知{a n}，{b n}，前n项和分别记为S n，T n．（1）若{a n}，{b n}都是等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，求S30；（2）若{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，b n-a n=2n，a1=1，求T30（3）数列{a n}，{b n}都是等比数列，且满足n≤3时，b n-a n=2n，若符合条件的数列{a n}唯一，则在数列{a n}、{b n}中是否存在相等的项，即a k=b1（k，l∈N*），若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，分别令n=1，n=2，运用等差数列的通项公式可得a1，d，由等差数列的求和公式可得所求和；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，由等比数列的通项公式和等差数列的性质，可得q=1，求得b n，进而得到所求和；（3）设数列{a n}的公比为q1，数列{b n}的公比为q2，分别令n=1，2，3，运用等比数列的通项公式和性质，转化为a1，q1的方程，将上式中的a1看做常数，q1为变量，方程（*）的根或是相等的实根，或其中一个为0，求得首项和公比，运用等比数列的通项公式，化简整理，可得所求项．【解答】：解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，可得b1-a1=2，b2-a2=4，T1=4S1，即b1=4a1，解得a1= 23，b1= 83，T2=4S2，即b1+b2=4（a1+a2），即83 +4+a2=4（23+a2），解得a2= 43，即d=a2-a1= 23，可得a n= 23 + 23（n-1）= 23n，则S30= 12×30×（23+ 603）=310；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，b n-a n=2n，a1=1，可得a n=q n-1，b n=2n+q n-1，则q=1，（若q≠1，则{b n}不为等差数列）则b n=2n+1，T30= 12×30×（3+61）=960；。
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知扇形的弧长是6，圆心角为2，则扇形的面积为___ ．2.（填空题，3分）数列{a n}是等比数列，a1=12，q=12，a n=132，则n=___ ．3.（填空题，3分）已知tanθ=-2，则cosθ−sinθsinθ+cosθ=___ ．4.（填空题，3分）三角方程tan(x−π6)=3的解集为___ ．5.（填空题，3分）sinx=13，x∈[3π2，5π2]，则x用反正弦可以表示为___ ．6.（填空题，3分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=n√3√3a+1（n∈N*），则a2020=___ ．7.（填空题，3分）等差数列{a n}的通项为a n=2n-1，令b n=a2n-1，则数列{b n}的前20项之和为___ ．8.（填空题，3分）函数y=sin2ωx-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π，则ω=___ ．9.（填空题，3分）已知12sinα+5cosα可表示为Asin（α+φ）（A＞0，0≤φ＜π）的形式，则sin2φ=___ ．10.（填空题，3分）已知角α，β∈(0，π4)，3sinβ=sin（2α+β），4tanα2=1−tan2α2，则α+β=___ ．11.（填空题，3分）方程x2−10xsinπx2+1=0实数解的个数为___ ．12.（填空题，3分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n-3（n∈N*），数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值，则数列{b n}的前2m项和为___ ．（结果用m表示）13.（单选题，3分）已知α是第二象限角，则α2是（）A.锐角B.第一象限角C.第一、三象限角D.第二、四象限角14.（单选题，3分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定15.（单选题，3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ| ＜π2）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A.f（x）=sin（2x+ π3）B.f（x）=sin（12x+π3）C.f（x）=sin（12x−π3）D.f（x）=sin（2x −π3）16.（单选题，3分）已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n=a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10=（）A.-47B.47C.-1D.117.（问答题，0分）已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若函数f(x)=√22，x∈[0，π），求x．18.（问答题，0分）已知sinα+cosα=−15，α∈（0，π），求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）tanα2；（3）sin3α+cos3α．19.（问答题，0分）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的正弦值是多少？20.（问答题，0分）设{a n}是无穷等差数列，公差为d，前n项和为S n．（1）设a1=40，a6=38，求S n的最大值；（2）设S9=0，且a2+a3+a4+a5=-18，令b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．21.（问答题，0分）已知定义在R上的函数f（x）和数列{a n}满足下列条件：a1=a，a2≠a1，当n∈N*且n≥2时，a n=f（a n-1）且f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），其中a、k均为非零常数．（1）若{a n}是等差数列，求实数k的值；（2）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若b1=1，求数列{b n}的通项公式；（3）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若c1=b1=k＜0，数列{c n}满足c n+1-c n=2（b n+1-b n），若数列{c n}∈(−2，2)，求k的取值范围．有最大值M，最小值m，且Mm2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知扇形的弧长是6，圆心角为2，则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：利用扇形的弧长公式可求扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求解．【解答】：解：设扇形的半径为r，则r= 62=3，则扇形的面积S= 12×6×3=9．故答案为：9．【点评】：本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，属于基础题．2.（填空题，3分）数列{a n}是等比数列，a1=12，q=12，a n=132，则n=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：利用等比数列的通面公式直接求解．【解答】：解：∵数列{a n}是等比数列，a1=12，q=12，a n=132，∴ a n=12×(12)n−1=132，解得n=5．故答案为：5．【点评】：本题考查等比数列的项数n的求法，考查等比数列的性质等基础知识，是基础题．3.（填空题，3分）已知tanθ=-2，则cosθ−sinθsinθ+cosθ=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．【解答】：解：∵tanθ=-2，∴ cosθ−sinθsinθ+cosθ = 1−tanθtanθ+1= 1−(−2)−2+1=-3．故答案为：-3．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.（填空题，3分）三角方程tan(x−π6)=3的解集为___ ．【正确答案】：[1] {x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}【解析】：直接根据tan(x−π6)=3，解方程即可．【解答】：解：∵ tan(x−π6)=3，∴ x−π6=arctan3+kπ，k∈Z，∴ x=arctan3+π6+kπ，k∈Z．∴方程的解集为{x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}．故答案为：{x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}．【点评】：本题考查了三角方程的求法，属基础题．5.（填空题，3分）sinx=13，x∈[3π2，5π2]，则x用反正弦可以表示为___ ．【正确答案】：[1] x=2π+arcsin13【解析】：根据sinx=13，x∈[3π2，5π2]，直接求出x即可．【解答】：解：∵ sinx=13，x∈[3π2，5π2]，∴ x=2π+arcsin13．故答案为：x=2π+arcsin13．【点评】：本题考查了三角方程的求法，属基础题．6.（填空题，3分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=n√3√3a+1（n∈N*），则a2020=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：求出数列的前几项，判断数列是周期数列，然后求解即可．（n∈N*），【解答】：解：数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n−√3√3a+1=- √3，可得a2= √3√3×0+1a3= √3−√3= √3，√3×(−√3)+1=0，…a4= √3−√3√3×√3+1所以数列是周期数列，周期为3，所以a2020=a3×673+1=a1=0，故答案为：0．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，判断数列是周期数列是解题的关键．7.（填空题，3分）等差数列{a n}的通项为a n=2n-1，令b n=a2n-1，则数列{b n}的前20项之和为___ ．【正确答案】：[1]780【解析】：由已知代入可求b n，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【解答】：解：由a n=2n-1，可得b n=a2n-1=2（2n-1）-1=4n-3，则数列{b n}是以1为首项，以4为公差的等差数列，×4 =780．故前20项之和S20=20×1+ 20×192故答案为：780．【点评】：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．8.（填空题，3分）函数y=sin2ωx-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π，则ω=___ ．【正确答案】：[1] 14【解析】：利用二倍角的余弦函数公式化简函数解析式，根据余弦函数的周期公式即可求解．，【解答】：解：∵y=sin2ωx-cos2ωx=-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π，即4π= 2π2ω．∴ω= 14．故答案为：14【点评】：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的周期公式的应用，考查了函数思想，属于基础题．9.（填空题，3分）已知12sinα+5cosα可表示为Asin（α+φ）（A＞0，0≤φ＜π）的形式，则sin2φ=___ ．【正确答案】：[1] 120169【解析】：由题意利用三角恒等变换，辅助角公式，先求出sinφ 和cosφ的值，可得sin2φ的值．【解答】：解：∵12sinα+5cosα=13（1213sinα+ 513cosα）可表示为Asin（α+φ）（A＞0，0≤φ＜π）的形式，则sinφ= 513，cosφ= 1213，∴sin2φ=2sinφcosφ= 120169，故答案为：120169．【点评】：本题主要考查三角恒等变换，辅助角公式的应用，属于中档题．10.（填空题，3分）已知角α，β∈(0，π4)，3sinβ=sin（2α+β），4tanα2=1−tan2α2，则α+β=___ ．【正确答案】：[1] π4【解析】：从4tan α2 =1-tan2α2．中解出tanα，利用配角法化简3sinβ=sin（2α+β），即将其中的2α+β用（α+β）+α，β用（α+β）-α代换，从而求出tan（α+β），利用三角函数值求解得α+β的值．【解答】：解：∵4tan α2 =1-tan2α2，∴2•tanα=1，tanα= 12．∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα．∴tan（α+β）=2tanα=1．又α，β∈(0，π4)，∴α+β= π4．故答案为：π4．【点评】：本题主要考查了三角函数化简求值，角的变换是常用技巧．如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）-α等．三角变换中的角的变换，在本题中显得尤为突出，将单角化为复角，对字母角度的巧妙拼凑，使得问题顺利解决，属于基础题．11.（填空题，3分）方程x2−10xsinπx2+1=0实数解的个数为___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：将方程变形得sin πx2 = 110x+ x10（x≠0）分别作出sin πx2和y= 110x+ x10的函数图象，根据交点个数进行判断．【解答】：解：∵ x2−10xsinπx2+1=0，∴sin πx2 = 110x+ x10（x≠0），令f（x）= 110x + x10= 110（x+ 1x），则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，作出y=sin πx2和y=f（x）在（0，+∞）上函数图象如图所示：由图象可知y=sin πx2和y=f（x）在（0，+∞）上有6个交点，又y=sin πx2和y=f（x）都是奇函数，∴y=sin πx2和y=f（x）在（-∞，0）上有6个交点，∴方程x2−10xsinπx2+1=0有个解，故答案为：12．【点评】：本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题．12.（填空题，3分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n-3（n∈N*），数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值，则数列{b n}的前2m项和为___ ．（结果用m表示）【正确答案】：[1]m2+4m【解析】：先由题设条件求出数列{b n}的前几项，归纳出b2k-1+b2k=2k+3（k∈N*），再求出其前2m项和即可．【解答】：解：由题设条件可得：当m=1时，b1=2，当m=2时，b2=3，当m=3时，b3=3，当m=4时，b4=4，当m=5时，b5=4，…，故易知：b2k-1=2+k-1=k+1，b2k=3+k-1=k+2，k∈N*，故b2k-1+b2k=2k+3，∴数列{b n}的前2m项和为m(5+2m+3)2=m2+4m．故答案为：m2+4m．【点评】：本题主要考查数列通项公式的求法及数列求和，属于基础题．13.（单选题，3分）已知α是第二象限角，则α2是（）A.锐角B.第一象限角C.第一、三象限角D.第二、四象限角【正确答案】：C【解析】：由α是第二象限角对应的范围，即可求解结论．【解答】：解：∵α是第二象限角，所以π2+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z，∴ π4+kπ＜α2＜kπ +π2，k∈Z，∴ α2是第一象限或第三象限角，故选：C．【点评】：本题考查角在第几象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意象限角定义的合理运用．14.（单选题，3分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【正确答案】：A【解析】：利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），根据A与B的范围以及tanAtanB＞1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形．【解答】：解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1-tanAtanB＜0，且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，＜0，所以tan（A+B）= tanA+tanB1−tanAtanB，π），即C都为锐角，则A+B∈（π2所以△ABC是锐角三角形．故选：A．【点评】：此题考查了三角形的形状判断，用的知识有两角和与差的正切函数公式．解本题的思路是：根据tanAtanB＞1和A与B都为三角形的内角得到tanA和tanB都大于0，即A和B都为锐角，进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan（A+B）的值为负数，进而得到A+B的范围，判断出C也为锐角．）的部分图象如15.（单选题，3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ| ＜π2图所示，则f（x）的解析式为（）A.f（x）=sin（2x+ π）3B.f （x ）=sin （ 12x +π3 ） C.f （x ）=sin （ 12x −π3 ） D.f （x ）=sin （2x −π3 ） 【正确答案】：A【解析】：依题意，可求得A=1，由T= 2πω =π可求得ω=2，由 π3 ω+φ=π可求得φ．【解答】：解：由图知，A=1； 又 T4 = 7π12 - π3 = π4 ， ∴T=π，又T= 2πω ， ∴ω=2；∵f （x ）=Asin （ωx+φ）经过（ π3，0），且在该处为递减趋势， ∴ π3 ω+φ=π， ∴φ=π- π3 ×2= π3 ．∴f （x ）的解析式为：f （x ）=sin （2x+ π3 ）． 故选：A ．【点评】：本题考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定φ的值是难点，考查观察与运算能力，属于中档题．16.（单选题，3分）已知{a n }、{b n }均是等差数列，c n =a n •b n ，若{c n }前三项是7、9、9，则c 10=（ ） A.-47 B.47 C.-1 D.1【正确答案】：A【解析】：{a n }、{b n }均是等差数列，故{c n }为二次函数，设c n =an 2+bn+c ，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到c 10．【解答】：解：设c n =a n •b n =an 2+bn+c ， 则 {a +b +c =74a +2b +c =99a +3b +c =9，解得a=-1，b=5，c=3，∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．17.（问答题，0分）已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若函数f(x)=√22，x∈[0，π），求x．【正确答案】：【解析】：（1）利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式为f（x）= √2 sin（2x+ π4），令2kπ+ π2≤2x+ π4≤2kπ+ 3π2，（k∈Z），解得x的范围即得f（x）的单调递减区间．（2）由题意可得sin（2x+ π4）= 12，可求范围2x+ π4∈[ π4，9π4），根据正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】：解：（1）∵f（x）=sin2x+cos2x= √2 sin（2x+ π4），∴令2kπ+ π2≤2x+ π4≤2kπ+ 3π2，（k∈Z），解得kπ+ π8≤x≤kπ+ 5π8，（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间是：[π8+kπ，5π8+kπ]，k∈Z；（2）∵ f(x)=√22，即√2 sin（2x+ π4）= √22，∴解得：sin（2x+ π4）= 12，∵x∈[0，π），∴2x+ π4∈[ π4，9π4），∴2x+ π4 = 5π6，或13π6，解得x= 7π24，或23π24．【点评】：本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的图象和性质，考查了函数思想和转化思想，属于基础题．18.（问答题，0分）已知sinα+cosα=−15，α∈（0，π），求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）tanα2；（3）sin3α+cos3α．【正确答案】：【解析】：（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得sinαcosα的值；（2）由已知可求α2∈（0，π2），sinα＞0，cosα＜0，tan α2＞0，利用平方差公式可求sinα-cosα= 75，进而可求sinα= 35，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tanα2的值．（3）利用立方和公式即可求解．【解答】：解：（1）∵ sinα+cosα=−15，α∈（0，π），∴两边平方，可得1+2sinαcosα= 125，∴解得sinαcosα=- 1225；（2）∵ sinα+cosα=−15＜0，①又α∈（0，π），α2∈（0，π2），∴sinα＞0，cosα＜0，tan α2＞0，∴sinα-cosα= √(sinα−cosα)2 = √1−2sinαcosα = 75，②∴由① ② 可得sinα= 35，即2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2= 2tanα21+tan2α2= 35，整理可得：3tan2α2-10tan α2+3=0，∴解得tan α2 =3，或- 13（舍去）．（3）sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（sin2α+cos2α-sinαcosα）=（- 15）×（1+ 1225）=- 37125．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，平方差公式，二倍角的正弦函数公式，立方和公式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．19.（问答题，0分）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的正弦值是多少？【正确答案】：【解析】：（1）由题意C在A处北偏东30°方向上，所以可得∠CAB=90°+30°=120°，及|AB|，|AC|与|BC|的关系，在三角形ABC中由余弦定理可得|BC|的值，（2）由（1）可得|BC|，|AC|，∠BAC=120°，由正弦定理可得sin∠B的值．【解答】：解：（1）由题意可得|AB|+|BC|=0.2×10=2，|AC|-|AB|=0.4，所以|AC|+|BC|=2.4，|AB|=2-|BC|，|AC|=2.4-|BC|，因为C在A处北偏东30°方向上，所以∠CAB=90°+30°=120°，在三角形ABC中，∠BAC=120°，由余弦定理可得|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos120°=（2-|BC|）2+（2.4-|BC|）2+（2-|BC|）（2.4-|BC|），整理可得|BC|2-6.6|BC|+7.28=0，解得|BC|=1.4或|BC|=5.2（舍），所以B、C两处垃圾的距离是1.4米；（2）由（1）可得|BC|=1.4，|AC|=2.4-1.4=1，∠CAB=120°，由正弦定理可得 |AC|sin∠B = |BC|sin∠CAB ， 所以sin∠B= |AC||BC| •sin120°= 11.4 •√32 = 5√314．【点评】：本题考查三角形中正余弦定理的应用，属于中档题． 20.（问答题，0分）设{a n }是无穷等差数列，公差为d ，前n 项和为S n ． （1）设a 1=40，a 6=38，求S n 的最大值；（2）设S 9=0，且a 2+a 3+a 4+a 5=-18，令b n =|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ．【正确答案】：【解析】：（1）首先求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．（2）利用函数的通项公式，进一步利用含绝对值的数列的应用求出数列的和．【解答】：解：（1）数列{a n }是无穷等差数列，公差为d ， 由于a 1=40，a 6=38，所以a 6=a 1+5d ，a 6-a 1=-2=5d ，解得d=- 25 ． 所以S n = 40n −25×n (n−1)2 = n 2−201n 5 =- 15(n −2012)2+201220； 当n=100或101时，S n 取得最大值2020； （2）由于S 9=0，且a 2+a 3+a 4+a 5=-18， 故 {S 9=0a 2+a 3+a 4+a 5=−18 ，解得 {a 1=−12d =3，故a n =3n-15，b n =|3n-15|，所以当n≤5，故 T n =|a 1|+|a 2|+⋯|a n |=−a 1−+⋯−a n =−n (−12+3n−15)2=−32n 2+272n ．当n≥5时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=（-a1-a2-…-a5）+（a1+a2+…+a n）= 32n2−272n+60所以：T n={−32n2+272(n≤5)3 2n2−272n+60(n≥5)．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，含绝对值的数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21.（问答题，0分）已知定义在R上的函数f（x）和数列{a n}满足下列条件：a1=a，a2≠a1，当n∈N*且n≥2时，a n=f（a n-1）且f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），其中a、k均为非零常数．（1）若{a n}是等差数列，求实数k的值；（2）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若b1=1，求数列{b n}的通项公式；（3）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若c1=b1=k＜0，数列{c n}满足c n+1-c n=2（b n+1-b n），若数列{c n}有最大值M，最小值m，且Mm∈(−2，2)，求k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用等差数列的定义a n+1-a n=a n-a n-1，a n=f（a n-1），易得k=1（2）利用等比数列的定义证明数列{b n}是等比数列，进而写出数列{b n}的通项公式（3）利用累加法求得{c n}的通项公式，结合题意，找到数列{c n}的最大项和最小项，解不等式求的结果．【解答】：解：（1）由已知a n=f（a n-1），f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），a n+1-a n=f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），∵数列{a n}是等差数列，∴a n+1-a n=a n-a n-1，∴k=1；（2）由b1=a2-a1≠0，可得b2=a3-a2=f（a2）-f（a1）=k（a2-a1）≠0，且当n＞2时，b n=a n+1-a n=f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）=…=k n-1（a2-a1）≠0，且b nb n−1 = a n+1−a na n−a n−1= f(a n)−f(a n−1)a n−a n−1=k∴数列{b n}是一个以首项为b1，公比为k的等比数列，若b1=1，则数列{b n}的通项公式为 b n=k n-1（n∈N*）；（3）由（2）可得{b n}是以k为首项，以k为公比的等比数列，∴b n=k n，c1=b1=k＜0，∴c n+1-c n=2（b n+1-b n）=2（k n+1-k n）=2（k-1）k n，∴c2-c1=2（k-1）k1，c3-c2=2（k-1）k2，c4-c3=2（k-1）k3，…，c n-c n-1=2（k-1）k n-1（n≥2），累加得c n-c1=2（k-1）（k1+k2+…+k n-1）=2（k n-k），∴c n=2k n-k（n≥2），当n=1时也满足，∴c n=2k n-k（n∈N*）若{c n}存在最大值，结合k＜0，的条件，则-1＜k＜0，∴c2的是最大项，c1是最小项．∴M=2k2-k，m=k，由Mm ∈（-2，2），得-2＜2k2−kk＜2，解得- 12＜k＜0，∴k的取值范围为（- 12，0）【点评】：本题考查的是数列问题，涉及到的知识点有等差数列的定义，等比数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，数列的最大最小项，属于难题．。
广东省深圳市高级中学(集团)2022-2023学年高二下学期期中测试数学试题及答案
深圳市高级中学（集团）2022-2023学年第二学期期中测试高二数学（满分150分.考试时间120分钟.）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的个人信息填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22A x xx =+≤，{}1,B a =，若B A ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）A.{}2,1,0−−B.{}21x x −≤≤C.{}21x x −≤<D.{}2,1,0,1−−2.函数()y f x =的图象如图所示，它的导函数为()y f x ′=，下列导数值排序正确的是（ ）A.()()()1230f f f ′′′>>>B.()()()1230f f f ′′′<<<C.()()()0123f f f ′′′<<<D.()()()1203f f f ′′′>>>3.某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（ ） A.0.9 B.0.7 C.0.3 D.0.1 4.已知等差数列{}n a 中，35a =，109a =−，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则n S 最大值时n 的值为（ ） A.4 B.5C.6D.75.已知1x =是函数()332f x x ax =−+的极小值点，那么函数()f x 的极大值为（ ） A.1−B.1C.2D.46.有2男2女共4名大学毕业生被分配到A ，B ，C 三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A 工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ）A.12B.14C.36D.72 7.若曲线()e xxf x =有三条过点()0,a 的切线，则实数a 的取值范围为（ ） A.210,e B.240,eC.10,eD.40,e8.已知随机变量ξ的分布列为：ξ x yPyx则下列说法正确的是（ ） A.存在x ，()0,1y ∈，()12E ξ>B.对任意x ，()0,1y ∈，()14E ξ≤ C.对任意x ，()0,1y ∈，()()D E ξξ≤D.存在x ，()0,1y ∈，()14D ξ>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X 即为优秀，已知优秀学生有80人，则（ ）A.0.008a =B.120X =C.70分以下的人数约为6人D.本次考试的平均分约为93.610.已知数列n a 的前n 项和为n S ，()7213,1631,6n n n n a n −−≤≤ = −−> ，若32k S =−，则k 可能为（ ） A.4 B.8 C.9 D.1211.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件1A ：第一次取出的是红球；事件2A ：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（ ） A.事件1A ，2A 为互斥事件 B.事件B ，C 为独立事件 C.()25P B =D.()234P C A =12.已知函数()1sin 2cos 2f x x x =，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 的图象关于点,02π对称 B.()f x 在区间,66ππ−上单调递增C.()f x 在区间[]1,10内有7个零点D.()f x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若nx+的展开式中含有常数项，则正整数n 的一个取值为______.14.大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，21Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化规律是0e kh p p −=，其中0p 是海平面大气压强，10.000126m k −=.梧桐山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，则高山上该处的海拔为______米.（答案保留整数，参考数据ln 3 1.1≈）15.设函数()1ln f x x k x x=−−，若函数()f x 在()0,+∞上是单调减函数，则k 的取值范围是______.16.已知函数()e e xxf x x x −−的两个零点为1x ，2x ，函数()ln lng x x x x x =−−的两个零点为3x ，4x ，则12341111x x x x +++=______. 四、解答题：本题共6小题，共70分。
2019-2020学年湖北省武汉六中高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年湖北省武汉六中高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（2，6），b⃗⃗ =（-1，λ），若a⃗∥b⃗⃗，则λ=（）A.3B.-3C. 13D.- 132.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（x-1，2），b⃗⃗ =（2，1），则a⃗⊥ b⃗⃗的充要条件是（）A.x=- 12B.x=-1C.x=5D.x=03.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+2n（n∈N*），则a100的值是（）A.9900B.9902C.9904D.11000，则这个数列的第n项a n为（）4.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1= a n1+2a nA.2n-1B.2n+1C. 12n−1D. 12n+15.（单选题，5分）已知| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |= √2，且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗），则向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为（）A.1B. √2C. 12D. √226.（单选题，5分）数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）…的前n项和为（）A.2n-1B.n•2n-nC.2n+1-nD.2n+1-2-n7.（单选题，5分）数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A. 13B. 512C. 12D. 7128.（单选题，5分）若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形9.（单选题，5分）三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2+c2，则角A的取值范围是（）A.（π2，π）B.（π4，π2）C.（π3，π2）D.（0，π2）10.（单选题，5分）在△ABC中，若acos2C2 +ccos2A2= 32b，那么a，b，c的关系是（）A.a+b=cB.a+c=2bC.b+c=2aD.a=b=c11.（单选题，5分）△ABC中，A：B=1：2，C的平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，则cosA=（）A. 13B. 12C. 34D.012.（单选题，5分）在钝角三角形ABC中，a=1，b=2，则边c的取值范围是（）A. √5＜c＜3B. √3＜c＜√5C.1＜c＜√3或√5＜c＜3D. √3＜c＜√5或√5＜c＜313.（填空题，5分）已知向量a⃗，b⃗⃗的夹角为60°，| a⃗ |=2，| b⃗⃗ |=1，则| a⃗ +2 b⃗⃗ |=___ ．14.（填空题，5分）已知a⃗，b⃗⃗为单位向量，且a⃗• b⃗⃗ =0，若c⃗ =2 a⃗ - √5b⃗⃗，则cos＜a⃗，c⃗＞=___ ．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a= √7，b=2，A=60°，则sinB=___ ，c=___ ．16.（填空题，5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=___ ，S5=___ ．17.（问答题，10分）已知| a⃗ |=4，| b⃗⃗ |=8，a⃗与b⃗⃗夹角是120°．（1）求a⃗•b⃗⃗的值及| a⃗+b⃗⃗ |的值；（2）当k为何值时，(a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)？18.（问答题，12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB= 35，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-21．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．19.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n-1=0（n≥2），a1= 12．（1）求证：{ 1S n}是等差数列；（2）求a n的表达式．20.（问答题，12分）已知a⃗ =（cosx，2cosx），b⃗⃗ =（2cosx，sinx），f（x）= a⃗• b⃗⃗．（1）把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；（2）当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时，求f（x）的值．21.（问答题，12分）在△ABC中，AC=6，cosB= 45，C= π4．（1）求AB的长；（2）求cos（A- π6）的值．22.（问答题，12分）（1）数列{a n}的前n项和为S n=10n-n2，求数列{|a n|}的前n项和．（2）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=-10．求数列{ a n2n−1}的前n项和．2019-2020学年湖北省武汉六中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（2，6），b⃗⃗ =（-1，λ），若a⃗∥b⃗⃗，则λ=（）A.3B.-3C. 13D.- 13【正确答案】：B【解析】：根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得2λ=-6，解可得λ的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，向量a⃗ =（2，6），b⃗⃗ =（-1，λ），若a⃗∥b⃗⃗，则有2λ=-6，解可得：λ=-3；故选：B．【点评】：本题考查向量平行的坐标表示方法，掌握向量的坐标计算2.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（x-1，2），b⃗⃗ =（2，1），则a⃗⊥ b⃗⃗的充要条件是（）A.x=- 12B.x=-1C.x=5D.x=0【正确答案】：D【解析】：直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可．【解答】：解：因为向量a⃗ =（x-1，2），b⃗⃗ =（2，1），a⃗⊥ b⃗⃗，所以2（x-1）+2=0，解得x=0．故选：D．【点评】：本题考查向量垂直条件的应用，充要条件的应用，考查计算能力．3.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+2n（n∈N*），则a100的值是（）A.9900B.9902C.9904D.11000【正确答案】：B【解析】：由a n+1=a n+2n，可得a n+1-a n=2n，利用“累加求和”、等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】：解：∵a1=2，a n+1=a n+2n，∴a n+1-a n=2n，∴a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a2-a1）+a1=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+2= 2×n(n−1)2+2=n2-n+2．∴a100=1002-100+2=9902．故选：B．【点评】：本题考查了“累加求和”、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1= a n1+2a n，则这个数列的第n项a n为（）A.2n-1B.2n+1C. 12n−1D. 12n+1【正确答案】：C【解析】：取倒数，推出数列{ 1a n}是等差数列，然后求解数列的通项公式即可．【解答】：解：数列{a n}中，a1=1，a n+1= a n1+2a n，1 a n+1=1a n+2，可得数列{ 1a n}是等差数列，首项为1，公差为2，所以1a n=1+(n−1)×2=2n−1，所以a n= 12n−1，故选：C．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．5.（单选题，5分）已知| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |= √2，且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗），则向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为（）A.1B. √2C. 12D. √22【正确答案】：D【解析】：利用向量的数量积以及向量的垂直关系，推出向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量即可．【解答】：解：由| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |= √2，且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗），得a⃗•（a⃗ - b⃗⃗）=0，a⃗• b⃗⃗ = a⃗• a⃗=1，所以向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为|a⃗|cos〈a⃗，b⃗⃗〉=a⃗⃗b⃗⃗|b⃗⃗|=√2=√22，故选：D．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．6.（单选题，5分）数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）…的前n项和为（）A.2n-1B.n•2n-nC.2n+1-nD.2n+1-2-n【正确答案】：D【解析】：由1+2+22+…+2n-1= 1×(1−2n)1−2=2n-1可知，数列的前n项和为：（21-1）+（22-1）+（23-1）+…+（2n-1）=21+22+23+…+2n-n= 2(1−2n)1−2−n =2n+1-2-n【解答】：解：∵1+2+22+…+2n-1=1×(1−2n )1−2=2n -1 ∴数列的前n 项和为：1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+…+2n-1） =（21-1）+（22-1）+（23-1）+…+（2n -1） =21+22+23+…+2n -n =2(1−2n )1−2−n =2n+1-2-n 故选：D ．【点评】：本题为数列的求和问题，求出数列的通项公式并应用到数列中是解决问题的关键，属中档题．7.（单选题，5分）数列{a n }、{b n }满足a n •b n =1，a n =n 2+3n+2，则{b n }的前10项之和等于（ ） A. 13 B. 512 C. 12 D. 712【正确答案】：B【解析】：先求出数列{b n }的通项公式，然后写出数列{b n }的前10项之和，利用裂项的方法求和即可．【解答】：解：∵a n •b n =1 ∴b n = 1n 2+3n+2 = 1(n+1)(n+2) ∴s10=12×3+13×4+ + 110×11+111×12 =（ 12 - 13 ）+ (13−14) + +(110−111) +(111−112) = 12- 112 = 512故选：B ．【点评】：本题考查了数列的求和对于通项公式为 1(n+1)(n+2) ，一般采取裂项的方法求前n 项和，属于基础题．8.（单选题，5分）若在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形【正确答案】：C【解析】：由题意和和差角公式易得sin（A-B）=0，进而可得A=B，可判△ABC为等腰三角形．【解答】：解：∵在△ABC中2cosBsinA=sinC，∴2cosBsinA=sinC=sin（A+B），∴2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin（A-B）=0，∴A-B=0，即A=B，∴△ABC为等腰三角形，故选：C．【点评】：本题考查三角形性质的判断，涉及和差角公式的应用，属基础题．9.（单选题，5分）三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2+c2，则角A的取值范围是（）A.（π2，π）B.（π4，π2）C.（π3，π2）D.（0，π2）【正确答案】：C【解析】：由条件推出A为锐角，从而判断△ABC的形状，通过a＞b＞c，推出A的范围．【解答】：解：△ABC中，由a＞b＞c，说明A最大，由a2＜b2+c2，故A为锐角，故△ABC的形状是锐角三角形，因为A最大，所以A＜π2，A∈（π3，π2）故选：C．【点评】：本题主要考查三角形的形状的方法，勾股定理（或余弦定理）的应用，属于中档题．10.（单选题，5分）在△ABC中，若acos2C2 +ccos2A2= 32b，那么a，b，c的关系是（）A.a+b=cB.a+c=2bC.b+c=2aD.a=b=c【正确答案】：B【解析】：已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理化简，整理后把sin（A+C）=sinB代入，利用正弦定理化简即可得到结果．【解答】：解：把acos2C2 +ccos2A2= 32b，化简得：a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，由正弦定理得：sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB，整理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，∵sin（A+C）=sinB，∴sinA+sinC+sinB=3sinB，即sinA+sinC=2sinB，则由正弦定理化简得，a+c=2b．故选：B．【点评】：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．11.（单选题，5分）△ABC中，A：B=1：2，C的平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，则cosA=（）A. 13B. 12C. 34D.0【正确答案】：C【解析】：由A与B的度数之比，得到B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为3：2，得到BC与AC之比，再利用正弦定理得出sinA与sinB之比，将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cosA的值．【解答】：解：∵A：B=1：2，即B=2A，∴B＞A，∵角平分线CD 把三角形面积分成3：2两部分， ∴由角平分线定理得：BC ：AC=BD ：AD=2：3， ∴由正弦定理 BCsinA = ACsinB 得： sinAsinB = 23 ， 整理得： sinAsin2A = sinA2sinAcosA = 23 ， 则cosA= 34 ． 故选：C ．【点评】：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，角平分线定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．12.（单选题，5分）在钝角三角形ABC 中，a=1，b=2，则边c 的取值范围是（ ） A. √5 ＜c ＜3 B. √3 ＜c ＜ √5C.1＜c ＜ √3 或 √5 ＜c ＜3D. √3 ＜c ＜ √5 或 √5 ＜c ＜3 【正确答案】：C【解析】：题中已知△ABC 是钝角三角形，没有指明哪个角是最大角，从而无法确定边之间的关系，从而可以分两种情况进行分析，从而确定第三边c 的变化范围．【解答】：解： ① ∵当∠C 是钝角时，有∠C ＞90°， ∴c ＞ √a 2+b 2 = √5 ， 又a+b ＞c ，可得c ＜1+2=3， ∴可得边c 的取值范围是（ √5 ，3）； ② 当∠B 是钝角时，有∠B ＞90°，∴b 2＞a 2+c 2，可得4＞1+c 2，解得c ＜ √3 ， 又c ＞b-a=1， ∴1＜c ＜ √3 ，综上，边c 的取值范围是1＜c ＜ √3 或 √5 ＜c ＜3．【点评】：考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可，属于基础题．13.（填空题，5分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角为60°，| a ⃗ |=2，| b ⃗⃗ |=1，则| a ⃗ +2 b ⃗⃗ |=___ ． 【正确答案】：[1]2 √3【解析】：根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】：解：【解法一】向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角为60°，且| a ⃗ |=2，| b ⃗⃗ |=1， ∴ (a ⃗+2b ⃗⃗)2= a ⃗2 +4 a ⃗ • b ⃗⃗ +4 b ⃗⃗2 =22+4×2×1×cos60°+4×12 =12，∴| a ⃗ +2 b⃗⃗ |=2 √3 ． 【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ +2 b ⃗⃗ ； 在△OAC 中，由余弦定理得| OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √22+22−2×2×2×cos120° =2 √3 ， 即| a ⃗ +2 b ⃗⃗ |=2 √3 ． 故答案为：2 √3 ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14.（填空题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ 为单位向量，且 a ⃗ • b ⃗⃗ =0，若 c ⃗ =2 a ⃗ - √5b ⃗⃗ ，则cos ＜ a ⃗ ， c ⃗ ＞=___ ．【正确答案】：[1] 23【解析】：根据向量数量积的应用，求出相应的长度和数量积即可得到结论．【解答】：解： a ⃗•c ⃗ = a ⃗•(2a ⃗−√5b ⃗⃗) =2 a ⃗2 - √5 a ⃗•b ⃗⃗ =2， ∵ c ⃗2 =（2 a ⃗ - √5b ⃗⃗ ）2=4 a ⃗2 -4 √5 a ⃗•b ⃗⃗ +5 b ⃗⃗2 =9， ∴| c ⃗ |=3，∴cos ＜ a ⃗ ， c ⃗ ＞= a⃗⃗•c ⃗|a ⃗⃗||c ⃗| = 23 ． 故答案为： 23【点评】：本题主要考查向量夹角的求解，根据向量数量积的应用分别求出数量积及向量长度是解决本题的关键．15.（填空题，5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a= √7 ，b=2，A=60°，则sinB=___ ，c=___ ． 【正确答案】：[1]√217; [2]3 【解析】：由正弦定理得 √7sin60° = 2sinB ，由此能求出sinB ，由余弦定理得cos60°= 4+c 2−72×2c ，由此能求出c ．【解答】：解：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． a= √7 ，b=2，A=60°， ∴由正弦定理得： a sinA=b sinB ，即 √7sin60° = 2sinB， 解得sinB=2×√32√7=√217． 由余弦定理得：cos60°= 4+c 2−72×2c ，解得c=3或c=-1（舍）， ∴sinB=√217，c=3． 故答案为： √217，3．【点评】：本题考查三角形中角的正弦值、边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16.（填空题，5分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，a n+1=2S n +1，n∈N *，则a 1=___ ，S 5=___ ．【正确答案】：[1]1; [2]121【解析】：运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，a n+1=S n+1-S n，结合条件，计算即可得到所求和．【解答】：解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=4，即a1+a2=4，即有3a1+1=4，解得a1=1；由a n+1=S n+1-S n，可得S n+1=3S n+1，由S2=4，可得S3=3×4+1=13，S4=3×13+1=40，S5=3×40+1=121．故答案为：1，121．【点评】：本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n-S n-1，考查运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知| a⃗ |=4，| b⃗⃗ |=8，a⃗与b⃗⃗夹角是120°．（1）求a⃗•b⃗⃗的值及| a⃗+b⃗⃗ |的值；（2）当k为何值时，(a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)？【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积定义及其运算性质即可得出；（2）由于(a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)，(a⃗+2b⃗⃗)• (ka⃗−b⃗⃗) =0，展开即可得出．) =-16．【解答】：解：（1）a⃗•b⃗⃗ = |a⃗||b⃗⃗| cos120°= 4×8×(−12| a⃗+b⃗⃗ |= √a⃗2+b⃗⃗2+2a⃗•b⃗⃗ = √42+82+2×(−16) =4 √3．（2）∵ (a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)，∴ (a⃗+2b⃗⃗)• (ka⃗−b⃗⃗) = ka⃗2−2b⃗⃗2 + (2k−1)a⃗•b⃗⃗ =0，∴16k-128+（2k-1）×（-16）=0，化为k=-7．∴当k=-7值时， (a ⃗+2b ⃗⃗)⊥(ka ⃗−b ⃗⃗) ．【点评】：本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cosB= 35 ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-21．（1）求△ABC 的面积； （2）若a=7，求角C ．【正确答案】：【解析】：（1）先根据平面向量的数量积的运算法则化简 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−21 ，把cosB 的值代入求出ac 的值，然后由cosB 的值和B 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC 的面积，把ac 和sinB 的值代入即可求出△ABC 的面积；（2）由（1）求出的ac 的值和a 的值，求出c 的值，再由a ，c 及cosB 的值，利用余弦定理求出b 的值，再由b ，sinB 以及c 的值，利用正弦定理求出sinC 的值，利用大边对大角，由a 大于c 得到角C 为锐角，由特殊角的三角函数值即可求出角C 的度数．【解答】：解：（1）∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos (π−B )=−accosB =−35ac =−21 ，∴ac=35，又∵ cosB =35 ，0＜B ＜π，∴ sinB =45 ， ∴ S △ABC =12acsinB =12×35×45=14 ； （2）由（1）知：ac=35，且a=7，∴c=5，则 b 2=a 2+c 2−2accosB =49+25−2×35×35=32 ，∴ b =4√2 ，由正弦定理得： bsinB=csinC，∴ sinC =csinBb=5×454√2=√22， 又∵a ＞c ，∴ C ∈(0，π2) ，∴ C =π4 ．【点评】：此题综合考查了正弦、余弦定理以及三角形的面积公式，培养了学生分析问题，解决问题的能力．学生做题时注意以下两点：第1问中注意两向量的夹角为π-B ，不是角B ；第2问中由a ＞c ，利用大边对大角得到角C 为锐角．19.（问答题，12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n •S n-1=0（n≥2），a 1= 12 ． （1）求证：{ 1S n}是等差数列； （2）求a n 的表达式．【正确答案】：【解析】：（1）本题关键是将a n =S n -S n-1代入化简，再根据等差数列的定义进行判定即可． （2）先求出S n ，利用S n 求a n ，必须分类讨论a n = {a 1 n =1S n −S n−1n ≥2，求解可得．【解答】：（1）证明：∵-a n =2S n S n-1，∴-S n +S n-1=2S n S n-1（n≥2），S n ≠0（n=1，2，3）． ∴ 1S n- 1Sn−1=2．又 1S 1= 1a 1=2，∴{ 1S n}是以2为首项，2为公差的等差数列． （2）解：由（1）， 1S n=2+（n-1）•2=2n ，∴S n = 12n ．当n≥2时，a n =S n -S n-1= 12n - 12(n−1) =- 12n (n−1)[或n≥2时，a n =-2S n S n-1=-12n (n−1)]； 当n=1时，S 1=a 1= 12． ∴a n = {12(n =1)−12n (n−1)(n ≥2)【点评】：本题主要考查了等差数列的证明，以及已知S n 求a n ，注意分类讨论，属于基础题． 20.（问答题，12分）已知 a ⃗ =（cosx ，2cosx ）， b ⃗⃗ =（2cosx ，sinx ），f （x ）= a ⃗ • b ⃗⃗ ． （1）把f （x ）的图象向右平移 π6 个单位得g （x ）的图象，求g （x ）的单调递增区间； （2）当 a ⃗≠0⃗⃗，a ⃗ 与 b ⃗⃗ 共线时，求f （x ）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得：f(x)=√2sin(2x+π4)+1．把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象：g（x）= √2sin[2(x−π6)+π4]+1．再利用正弦函数的单调性即可得出：g（x）的增区间．（2）当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时，可得tanx=4．于是f（x）= 2cos2x+2sinxcosxsin2x+cos2x = 2+2tanxtan2x+1，即可得出．【解答】：解：（1）f（x）=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+1+sin2x= √2sin(2x+π4) +1．∴ f(x)=√2sin(2x+π4)+1．把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象：g（x）= √2sin[2(x−π6)+π4] +1=√2sin(2x−π12) +1．∴ g(x)=√2sin(2x−π12) +1．由2kπ−π2≤2x−π12≤ π2+2kπ，解得kπ−5π24≤x≤kπ+ 7π24，k∈Z．∴g（x）的增区间[kπ−5π24，kπ+7π24]，k∈Z．（2）∵当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时，∴4cos2x-sinxcosx=0，∴tanx=4．∴f（x）=2cos2x+2sinxcosx= 2cos2x+2sinxcosxsin2x+cos2x = 2+2tanxtan2x+1= 2+2×442+1= 1017．【点评】：本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、图象变换、同角三角函数基本关系式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）在△ABC中，AC=6，cosB= 45，C= π4．（1）求AB的长；（2）求cos（A- π6）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A- π6）的值．【解答】：解：（1）∵△ABC中，cosB= 45，B∈（0，π），∴sinB= 35，∵ AB sinC =ACsinB，∴AB= 6×√2 235=5 √2；（2）cosA=-cos（π-A）=-cos（C+B）=sinBsinC-cosBcosC=- √210．∵A为三角形的内角，∴sinA= 7√210，∴cos（A- π6）= √32cosA+ 12sinA= 7√2−√620．【点评】：本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．22.（问答题，12分）（1）数列{a n}的前n项和为S n=10n-n2，求数列{|a n|}的前n项和．（2）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=-10．求数列{ a n2n−1}的前n项和．【正确答案】：【解析】：（1）S n=10n-n2，n≥2时，a n=S n-S n-1，（n=1时也成立）．令a n≥0，解得n≤5．可得n≤5时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……+a n=S n．n≥6时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……a5-a6+……-a n=2S5-S n．即可得出T n．（2）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=0，a6+a8=-10．可得a1+d=0，2a1+12d=-10，联立解得：a1，d，可得a n．于是a n2n−1 = 2−n2n−1．利用错位相减法即可得出．【解答】：解：（1）∵S n=10n-n2，∴n≥2时，a n=S n-S n-1=10n-n2-[10（n-1）-（n-1）2]=11-2n，（n=1时也成立）．令a n≥0，解得n≤5．∴n≤5时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……+a n=S n=10n-n2．n≥6时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……a5-a6+……-a n=2S5-S n=2×（50-25）-（10n-n2）=n2-10n+50．综上可得：T n= {10n−n2，1≤n≤5n2−10n+50，(n≥6)．（2）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=0，a6+a8=-10．∴a1+d=0，2a1+12d=-10，联立解得：a1=1，d=-1，∴a n=1-（n-1）=2-n．∴ a n 2n−1 = 2−n2n−1．∴数列{ a n2n−1 }的前n项和H n=1+0- 122- 223+……+ 2−n2n−1．1 2 H n= 12+0- 123- 224+……+ 3−n2n−1+ 2−n2n．相减可得：12 H n=1- 12- 122123-……+ 12n−1- 2−n2n=2- 1−12n1−12- 2−n2n．化为：H n= n2n−1．（n=1时也成立）．【点评】：本题考查了数列递推关系、绝对值数列求和问题、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分类讨论方法、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
湖南省怀化市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案
湖南省怀化市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案注意事项:1。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2。
考生作答时，选择题和综合题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3。
考试结束后，将答题卡收回.4.本试题卷共4页，如有缺页,考生须声明，否则后果自负.怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2020年上期期末考试高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析.在这个问题中,5000 名学生成绩的全体是A.总体B。
个体 C.从总体中抽取的一个样本D.样本的容量2.设α是第三象限角，且tan1α=，则cosα=A。
-12B. 22C. 22- D. 12-3。
同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是A.至少有1枚正面和最多有1枚正面B.最多1枚正面和恰有2枚正面C 。
至多1枚正面和至少有2枚正面 D.至少有2枚正面和恰有1枚正面4。
某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+ y 的值为A.7 B 。
8 C.9 D 。
10 5.若4sin cos 3θθ-=则sin()cos()πθπθ--=A 。
16B 。
16- C 。
718-D. 7186.如图所示，用两种方案将块顶角为120°， 腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形,设方案一、二的扇形的面积分别为S 1，S 2，周长分别为l 1，l 2，则A.S 1=S 2，l 1>l 2B.S 1=S 2， l 1<l 2 C 。
S 1〉S 2,l 1=l 2 D.S 1〈S 2， l 1=l 2 7。
2019-2020学年山东省菏泽市高一下学期期末数学试卷(A卷) (解析版)
2019-2020学年山东省菏泽市高一第二学期期末数学试卷（A卷）一、选择题（共8小题）.1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.45 0.45B．0.5 0.5C．0.5 0.45D．0.45 0.52．复数z＝的虚部为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣3i3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）A．63B．69C．75D．816．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2共线，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．7．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）A．14B．15C．16D．178．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4B．12C．8D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（）A．从折线图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3，则a＝D．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形11．在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．B．C．若点P是线段AD上的动点，且满足＝+，则λ+2μ＝1D．若△ABC所在平面内一点P满足＝λ（）（λ≥0），则点P的轨迹一定通过△ABC的内心12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥B﹣CEF的体积为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。