林寿数学史第五讲：文艺复兴时期的数学
文艺复兴时期数学发展的重要因素
第五讲文艺复兴时期的数学1、学习珠算有现实意义吗?对于这个问题，每个人都有自己的看法。
在我的观点中，学习珠算是有现实作用的。
中国珠算是中华民族的一项伟大的发明，珠算作为一门应用学科对基础数学，对发展生产，适应生活需要起了推动作用。
珠算内涵非常丰富，不但有良好的计算功能，它是中国应用数学。
珠算是独立的学科，因而它应具有系统的体系。
一是从算史上看，算盘计教原理是我国最早创造的。
它是数形结合，以算为主。
二是使用算盘具有中国数学的显著特点。
中国古代数学体系是以它的应用性、直观性，算法的结构化、机械化，寓算理于算法之中的，而珠算正是这种特征的体现。
珠算作为中华民族的优秀文化瑰宝是凭借其计算功能才得以流传千百年至今，并在全世界传播的。
然而在当今计算机时代，算盘的应用领域将发生变化。
这就好比有了飞机还要有自行车，自行车要发展，要进入健身房。
同样，有了计算机。
也还要有算盘，算盘的功能将得到拓展，还要进入健脑房。
我们有理由相信，在新的世纪中，计算机和算盘会长期共存，互助互补，各尽其职。
珠算是中华民族的优秀文化遗产，它有着数千年的光辉里程，在历史的进程中，珠算作为经济数学，为发展社会生产、经济，推进人类进步做出重大贡献，当今电子时代，由于珠算已起到变化，有其独特的功能将起著巨大的经济核算，学校教育，启迪人们智力水平的重要作用，但这一项古老又新生的科技产物，是利国利民的技术。
珠算科技是随着这会经济的发展而发展。
因此，关于培养经济核算人才，不单是培养计算的准快高水平问题，而应该理解为智慧的核算人才，珠算，珠心算不仅培养了计算高水平者，而且事实证明，由于学珠算，脑手眼并举，使人们更加脑明起，这就是所谓一科突出，多科受益的道理所在。
当今世界，经济在发展，社会在前进，人才在极需，而传统的珠算科技必然在发展。
学习珠算，在方法上调动左右脑，特别脑印象活动，给右脑以激动的刺激，左右脑同时并用，这样可以起到很大潜力的脑力的开发，起到数学教育，启迪智力的良好的作用。
林寿数学史第五讲：文艺复兴时期的数学
布鲁诺（意，1548－1600） 宇宙观：《论无限宇宙及世界》（1584）
第五页，共37页。
文明背景
哥白尼（波，1473－1543年） （委内瑞拉，1973）
第六页，共37页。
文艺复兴时期的欧洲数学
近代始于对古典时代的复兴，但人们很快看到，它 远不是一场复兴，而是一个崭新的时代。
1545年《大术》
三次、四次方程的解法，方程的负根、
虚根
卡尔丹 （意，1501－1576年）
邦贝利(意, 1526-1573)在1572年 引进虚数
第十页，共37页。
代数学
符号代数 ——符号系统的建立使代数成为一门科学
——变量数学的标志, 反映了数学高度抽象 与简炼
《综合数学》(1544)
明清之际传入西方基督教文化
巴黎圣母院(建于1163－1345)
第二十六页，共37页。
西方数学的传入
世界上最早的数学公理化著作 影响最广泛的数学名著
欧几里得的《原本》 (第一个印刷本1482年）
第二十七页，共37页。
西方数学的传入
世界上最早的数学公理化著作 影响最广泛的数学名著
罗素(英, 1872-1970)
第三十五页，共37页。
明末的中国科技
明朝（1368－1644）
清朝（1616－1911）
❖ 李时珍(1518－1593)《本草纲目》
❖ 徐光启(1562－1633)《农政全书》
❖ 徐霞客(1586－1641)《徐霞客游记》
❖ 宋应星(1587－ ？)《天工开物》
第三十六页，共37页。
第五讲思考题
代数学 三角学 射影几何 对数
第六章文艺复兴数学
解答
1月 2月 3月 4月 5月 1对 1对 2对 3对 5对
解答
1月 2月 3月 4月 5月 6月 1对 1对 2对 3对 5对 8对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
解答
• 可以将结果以表列形式列出 ：
斐波那契数与黄金比值
将两个连续的斐波那契数相比 3 1.5 2 5 1.666666667 3 8 由此可观察到: 1.6 5 13 Fn1 1.625 lim 1.618033989 8 n F n 21 1.615384615 13 ...... 1 此数也是黄金比 1346296 1.618033989 832040 ......
0.618
0.618 1 1
1
0.618
蜂房问题
蜂房问题
蜂房 号码 路线 1 总数
0 1 2 3 4 5 6
2
3
5
8
13
21
所以当蜂房号码是n时, 其路线总数有Fn+2
• 花瓣的数目
海棠 （2）
铁兰 （3）
洋紫荆 （5）
黄蝉 （5）
蝴蝶兰 （5）
雏菊 （13）
雏菊 （13）
大自然中的斐波那契数列
题只不过是书里许多问题中并不特别的
其中一个罢了。此后的岁月中，这个数
列和题中的高产兔子一样，引发了为数
众多的数学论文和介绍文章。
• 那些浩如烟海的有关斐波那契数列的数
学文章有兴趣的同学可以做进一步的探
讨。
兔子问题解答
1月 1对
解答
1月 2月 1对 1对
《数学史概论》教案
《数学史概论》教案主讲人：林寿导言主讲人简介：林寿，宁德师专教授，漳州师院特聘教授，四川大学博士生导师，德国《数学文摘》和美国《数学评论》评论员。
1978.4~1980.2宁德师专数学科学习；1984.9~1987.7苏州大学数学系硕士研究生；1998.9~2000.5 浙江大学理学院攻读博士学位。
拓扑学方向的科研项目先后20次获得国家自然科学基金、国家优秀专著出版基金等的资助，研究课题涉及拓扑空间论、集合论拓扑、函数空间拓扑等，在国内外重要数学刊物上发表拓扑学论文90多篇，科学出版社出版著作3部。
1992年获国务院政府特殊津贴，1995年被授予福建省优秀专家，1997年获第五届中国青年科技奖、曾宪梓高等师范院校教师奖一等奖。
个人主页：/ls.asp一、数学史要学习什么？为什么要开设数学史的选修课？数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。
对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。
庞加莱（法，1854－1912年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
萨顿（美，(1884-1956年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。
数学史的分期：1、数学的起源与早期发展（公元前6世纪）；2、初等数学时期（公元前6世纪－16世纪）；3、近代数学时期（17世纪－18世纪）；4、现代数学时期（1820年至今）。
二、教学工作安排授课形式：讲解与自学相结合，分13讲。
第一讲：数学的起源与早期发展；第二讲：古代希腊数学；第三讲：中世纪的东西方数学I；第四讲：中世纪的东西方数学II；第五讲：文艺复兴时期的数学；第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立；第七讲：18世纪的数学：分析时代；第八讲：19世纪的代数；第九讲：19世纪的几何与分析I；第十讲：19世纪的几何与分析II；第十一讲：20世纪数学概观I；第十二讲：20世纪数学概观II；第十三讲：20世纪数学概观III；选讲：数学论文写作初步。
数学史概论近代数学的兴起
外，还讨论了截影的数学性质，成为射影 几何发展的起点。
重要人物
布努雷契 [意](F.Brunelleschi,1377-1446) 阿尔贝蒂(L.B. Alberti ,1404-1472) <论绘画>---早期数学透视法的代表
作
富有独创精神的数学天才-----德沙格
（g.desargues, 1591~1661） （笛沙格）
关于四次方程的解法，以后韦达和笛卡 尔都作过研究，并取得成果，由此引发探求 五次方程根式解的尝试，经拉格朗日、阿贝 尔、伽罗瓦的努力，阿贝尔首先证明了一般 的五次及以上方程无根式解，伽罗瓦在此基 础上创造了群论，将代数研究推向纵深。
3.代数符号体系与代数运算
韦达(F.Vieta):<分析引论>(1591) 近现代数学一个最为明显、突出的标志，
《大法》（Ars Magna）
x px q （p, q >0）
3
实质是考虑恒等式
3 3
（a b) 3ab(a b) a b
3
若选取a,b,使：3ab=p, a3-b3=q,不难解得a,b
a3
q q 2 p 3 ( ) ( ) 2 2 3
b3
q 2
q p ( )2 ( )3 2 3
帕斯 卡
拉伊尔（1640-1718），著作《圆锥线》，
最突出的地方在于极点理论方面有所 创新，获得并且这样的定理：若一点 Q在直线p上移动，则该点Q的极带将 绕直线p的极点P转动。
5.2.4计算技术与对数
十六世纪前半叶，欧洲人象印度、阿拉伯人一
样，把实用的算术计算放在数学的首位。
1585年荷兰数学家史蒂文发表的《论十进制算
5、欧洲文艺复兴时的数学
欧洲文艺复兴时期的数学●从15世纪中期到16世纪末，这段时期在欧洲称为文艺复兴时期。
●在这一时期，欧洲，特别是西欧，出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步的喜人景象，科学文化技术，其中包括数学，也随之开始复苏并逐步繁荣起来。
●从此欧洲的数学开始走到世界的前列，并长期成为世界数学发展的中心。
一、欧洲中世纪的回顾1、5世纪，罗马人占领了希腊本土后，他们依靠强权与军队来维持自己对异族的统治，热衷于创立所谓“实业家的文化”，为其统治者豪华奢侈的生活服务。
他们对抽象思维毫不关心，数学研究仅限于简单的几何和测量。
2、另一方面，这一时期又是基督教绝对统治的时期，为了达到在精神上麻痹奴隶的目的，基督教竭力宣扬“今生忍辱负重，来生进入天堂”的谬论，用死后的幸福生活来欺骗被统治者，要他们安于被奴役的痛苦命运。
3、圣经是这一时期人们唯一能够学习、研究的“百科全书”。
4、7世纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才的神学家，这就是被称为“英格兰文化之父”的比德。
在数学方面，比德曾写过一些算术著作，研究过历法及指头计算方法。
当时，对耶酥复活期的推算是教会讨论最热烈的课题之一，据说，这位比德大师就是最先求得复活节的人。
5、自然现象进行理性的探讨，英国的哲学家培根可以说是这种理性探讨的先驱。
●培根是英格兰的一个贵族，曾在牛津大学和巴黎大学任教，会多种语言，对当时几乎所有的知识都感兴趣，号称“万能博士”。
●他提倡科学，重视现实，反抗权威。
他认为，数学的思想方法是与生俱来的，并且是与自然规律相一致的。
●在他看来，数学是一切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数学的形成中被反映出来的，即用数学数量和尺度刻画的。
6、意大利数学家列昂纳多·斐波那契(约1170—1250)，（1）曾在埃及、叙利亚、希腊以及西西里岛等地游历，在这些地方，他获得了许多数学知识，对印度—阿拉伯计算方法的实用性尤为欣赏。
（2）1202年，斐波那契综合阿拉伯和希腊资料著成一部重要著作《算经》（Liber Abaci，亦译作《算盘书》），这部著作共15章，主要介绍算术与代数，内容十分丰富，包括：印度—阿拉伯数码的读法与写法；整数与分数的计算；平方根与立方根的求法；线性方程组和二次方程的解法等，给出了数学在实物交易、合股、比例法和测量几何中的应用。
6文艺复兴时期的数学
四、 韦达与符号代数 1.韦达（1540-1603)
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数 和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》 （1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一 部论述6种三角函数解平面和球面三角形方法的系统著作。 《分析方法入门》是韦达最重要的代数著作，使代数学真 正成为数学中的一个优秀分支。书中应用了希腊数学家帕 波斯和丢番图的著作，但韦达不满足于丢番图对每一问题 都用特殊解法的思想，试图创立一般的符号代数。他创设 了大量的代数符号，用字母代替未知数。这样，代数就成 为研究一般的数和方程的学问，这种革新被认为是数学史 上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达 被西方称为“代数学之父”。
四、 韦达与符号代数 1.韦达（1540-1603)
法国16世纪最有影响的数学家之一。 1540年生于法国。早年在家乡接受初等教育， 后来到普瓦捷大学学习法律，1560年获法学 学士学位，成了一名律师。1564年放弃这一 职位，做了一段秘书和家庭教师的工作。 他用字母分别表示方程的未知数和系数， 发现了方程的根与系数之间的关系，后称 “韦达定理”。 主要著作有《标准数学》、《论方程的整理 与修正》、《分析术引论》等
主要的数学成就 一、代数学——三次、四次方程的解法
历史回顾：代数学”这个词来源于花拉子米所著的一本书。 花拉子米的还原（移项）和对消（合并同类相）运算。其中 的配方法，给出了解一元二次方程的公式，并得到了二次方 程的两个根。在花拉子米系统地研究了六种类型的一次和二 次方程及其解法： ax2 = bx， ax2 = c，ax = c， ax2 + cx = c，ax2 + c = bx，bx + c = ax2 对于前三种类型方程，花拉子米把方程ax2 = bx看作线性方 程，抛弃了零根，对于后三种类型方程，花拉子米的解法相 当于现在的配方法。花拉子米实际上已经给出了首项系数为 1的一元二次方程的求根公式。
文艺复兴时期的数学
希望的曙光
——欧洲文艺复兴时期的数学
朱婷婷 陶丽丽
第五章 欧洲文艺复兴时期的数学 陈爱芬 1
5.1 欧洲中世纪的回顾 5.2欧洲文艺复兴时期的数学 欧洲文艺复兴时期的数学
5.2.1
透视理论的创立与三角学的独立
5.2.2
三、四次方 程的解法
5.2.3
韦达与符号代数
5.2.4
对数的发明
世纪中叶到15世纪 从5世纪中叶到 世纪，在科学史和哲学史上称为“欧 世纪中叶到 世纪，在科学史和哲学史上称为“ 洲的中世纪黑暗时期” 洲的中世纪黑暗时期”。出现这一科学技术大倒退的原因 是多方面的。 是多方面的。
第五章 欧洲文艺复兴时期的数学
10
另外一方面，欧洲人由于禁锢的时间太久了， 另外一方面，欧洲人由于禁锢的时间太久了， 他们渴望了解外部的世界。 他们渴望了解外部的世界。使他们的航海技术 达到了前无古人的地步。 达到了前无古人的地步。
1487年迪亚士（葡，1450－ 1500）到好望角 1497年达•伽马（葡，1469－ 1524）到印度海岸 1492年哥伦布（西，1451－ 1506）到美洲 1519年麦哲伦（葡，1480－ 1521）环球航行
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。 递推关系式： 通项公式：
un = un−1 +un−2 ( n ≥ 3) ,且u1 = u2 =1
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罗素(英, 1872-1970)
l 代数学 l 三角学 l 射影几何 l 对数
代数学
l 方程的根式解，16世纪意大利 数学最重要的成就
l 《论数与度量》（1556－ 1560）：数学百科全书和16世纪 最好的数学著作之一
l 塔塔利亚三角形
塔塔利亚
l 发现三次方程的代数解法 (1515, 1535, 1539, 1548)
（意，1499－1557年）
拉斐尔（1483－1520）
l“凡是和数学没有联系的地方， 都不是可靠的”
达 · 芬奇（意, 1452－1519年） （摩纳哥，1969）
文明背景 技术进步
q 中国四大发明在欧洲 q火药：14世纪传入欧洲 q造纸：13世纪传入欧洲 q印刷术：14世纪传入欧洲 q指南针：12世纪传入欧洲
马克思《机器、自然力和科学
q 射影几何的综合方法，用代 数方法处理问题更有效，让位 于代数、解析几何和微积分。
对数
l 1585年史蒂文(荷, 1548-1620) 《十进算术》
纳皮尔 （苏格兰，1550－1617年）
l 1614年《奇妙对数规则的说明》 —— 三角公式积化和差 —— 几何级数指数
l 1620年冈特（英，1581－1626） 制成第一把对数尺
珠算
中国算盘(利比里亚, 1999)
珠算
日本算盘 (日本, 1987）
西方数学的传入
汉唐时期传入印度佛教文 化
乐山大佛(唐, 713-803年)
西方数学的传入
明清之际传入西方基督教文化
巴黎圣母院(建于1163－1345)
西方数学的传入
世界上最早的数学公理化著作 影响最广泛的数学名著
西方数学的传入
代数学
l 16世纪最大的数学家
l 代数学之父：1591年《分析引论》 l “没有不能解决的问题” （Nullum non problema solvere) l 1615年《论方程的整理与修正》 l 1646年《韦达文集》出版
韦达 （法，1540－1603年）
三角学
l 1464年《论各种三角形》 —— 对三角学做出完整、独立的阐述 —— 传播三角学、15世纪最有影响的数学家 —— 1533年出版
代数学
米兰大教堂
4 1386 107
鲁出 万
1485 15
诺于 人
列公年举欧
斯元，行洲
基 有宗中
之世一教世
手纪个活纪
。意高动最
大达，大
利 建的
建 筑 巨 匠 伯
米 的 尖 塔 ，
于 －
教 堂 ， 可 供
代数学
l 人文主义的代表人物 、百科全 书式的学者
l 1545年《大术》
卡尔丹 （意，1501－1576年）
l 韦达（法，1540－1603年）
—— 1579年《应用于三角形的数学定律 》
雷格蒙塔努斯
—— 1615年《截角术》
（德，1436－1476年）
射影几何
l 关心阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》
l 来自艺术的几何创造
l 透视学
阿尔贝蒂 （意，1404－1472年）
—— 阿尔贝蒂1435年《论绘画》
射影几何
l 1639年《试论锥面截一平面所得结果的初稿》 (1845年发现, 1950年找到原版) l 德沙格定理
德沙格 (法, 1591-1661年)
l 新思想：图形连续变化，变换的不变性， 关心结构不涉及度量
射影几何
l 1640年《圆锥曲线论》(1779年发现) l 帕斯卡定理
帕斯卡 (法, 1623-1662年)
哥白尼（波，1473－1543年） 日心说：《天体运行论》（1543）
布鲁诺（意，1548－1600） 宇宙观：《论无限宇宙及世界》（1584）
文明背景
哥白尼（波，1473－1543年） （委内瑞拉，1973）
文艺复兴时期的欧洲数学
近代始于对古典时代的复兴，但人们很快看 到，它远不是一场复兴，而是一个崭新的时代。
l 三次、四次方程的解法，方程 的负根、虚根
l 邦贝利(意, 1526-1573)在1572年 引进虚数
代数学
l 符号代数 ——符号系统的建立使代数成为一门科学 ——变量数学的标志, 反映了数学高度抽 象与简炼 l 《综合数学》(1544)
施蒂费尔（德，1487－1567年）
代数学
l 1494年《算术集成》：继斐波那 契之后第一部内容全面的数学书
第五讲 文艺复兴时期的数学
(15－17世纪初) 文明背景 文艺复兴时期的欧洲数学
15-17世纪的中国数学
文明背景
文艺复兴：复兴古典学术和艺术
“人文主义”思想是文艺复兴的灵 §但丁（意，1265－1321）的《神曲》 §意大利文艺复兴盛期三杰
魂和中心 达•芬奇（1452－1519）
l “不米懂开数朗琪学罗的（人1不47要5－读1我56的4）书”
l 猫捉老鼠问题 ：一只老鼠在60英尺
高的白杨树顶上，一只猫在树脚下的
地上。老鼠每天下降1/2英尺，晚上
又上升1/6英尺；猫每天往上爬1英尺，
帕西奥里（意，1445－1517年）
晚上又滑下1/4英尺；这棵树在猫和 老鼠之间每天长1/4英尺，晚上又缩
（意，1994）
1/8英尺。试问猫要多久能捉住老鼠？
对数
l 拉普拉斯: 对数的发现以其节省劳力而延长了天文学家的寿命。
纳皮尔的对数 （尼加拉瓜，1971）
15-17世纪的中国数学
l 珠算发展 l 西学东渐
珠算
元末陶宗仪《南村辍耕录》 （1366）记载算盘 明代珠算开始普及于中国
徐心鲁《盘珠算法》(1573)
珠算
《直指算法统宗》 (1592)
中国传统数学流传的 最长久和广泛的著作
1500）到好望角
§1497年达•伽马（葡，1469－
1524）到印度海岸
§1492年哥伦布（西，1451－
1506）到美洲
§1519年麦哲伦（葡，1480－
1521）环球航行
文明背景
航海探险
哥伦布在瓜纳阿尼岛登陆(1492)
文明背景
天文学的革命
托勒密（埃及，90－165年） 宗教神学的宇宙观：上帝创造了地球，地 球是宇宙的中心。
的应用》：火药、指南针、印
刷术 —— 这是预告资产阶级
社会到来的三大发明。……总
的说来变成了科学复兴的手段，
变成对精神发展创造必要前提
的最强大的杠杆。
1482年第一个印刷版
1450年，德意志人古腾堡（右一）发明了金属活字印刷术
文明背景
航海探险
哥伦布（西，1451－1506年） （智利，1992）
§1487年迪亚士（葡，1450－