林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析
林寿数学史教案第八讲19世纪的代数
第八讲：19 世纪的代数19 世纪的代数称之“代数学的新生“。
1、代数方程根式解高斯（德，1777－1855 年），11 岁发现了二项式定理，1795 年进入哥廷根大学学习，1796年发现了正17 边形的尺规作图法，1799年证明了代数基本定理。
高斯，“数学王子”，18－19 世纪之交的中坚人物，欧拉以后最重要的数学家，数学研究几乎遍及所有领域，发表论文155 篇。
1770年拉格朗日（法，1736－1813 年）发表《关于代数方程解的思考》，认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。
1799 年鲁菲尼（意，1765－1822 年）明确提出要证明高于四次的一般方程不可能用代数方法求解。
1824 年阿贝尔（挪，1802－1829年）出版《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，证明了阿贝尔定理。
阿贝尔简介及数学奖：阿贝尔奖（2003－）。
1829－1831年，伽罗瓦（法，1811－1832 年）建立了判别方程根式解的充分必要条件，宣告了方程根式解难题的彻底解决。
伽罗瓦简介。
伽罗瓦的工作可以看成是近世代数的发端，现代数学酝酿的标志之一。
2、数系扩张1873年埃尔米特（法，1822－1901年）和1882年林德曼（德，1852－1939 年）分别证明了e和n是超越数。
虚数（即复数）的出现，承认与反承认一直在欧洲徘徊。
19 世纪复数在数学中起着举足轻重的作用。
1811年高斯（德，1777 －1855年）讨论了复数几何表示。
对复数推广的重要贡献是哈密顿（爱尔兰，1805－1865年），1843年定义了四元数。
哈密顿简介。
1844年格拉斯曼（德，1809－1877年）在《线性扩张性》引进了n 个分量的超复数，1847年凯莱（英，1821－1895 年）定义了八元数。
3、行列式与矩阵关于线性方程组解的发展，形成了行列式和矩阵的理论。
1683年关孝和（日，1642－1708年）完成《解伏题之法》，提出行列式理论和代数方程变换理论，尤其在行列式方面的研究是世界领先的。
林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析
林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第一篇：林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第十讲：19世纪的分析1、分析的严格化经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。
1.1 分析的算术化所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。
1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函数定义。
魏尔斯特拉斯简介。
1.2 实数理论19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。
实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
1.3 集合论康托（德，1845－1918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。
康托简介。
2、分析的拓展 2.1 复变函数论在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。
复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。
柯西建立了复变函数的微分和积分理论。
1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。
柯西简介。
背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。
黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。
1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，建立了柯西－黎曼条件、黎曼映射定理。
魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。
数学史话：数学史话(8)十九世纪的数学
8、十九世纪的数学十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。
复变函数论的创立和数学分析的严格化，非欧几何的问世和射影几何的完善，群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就。
它们所蕴含的新思想，深刻地影响着二十世纪的数学。
十九世纪数学发展的概貌十八世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学的问题紧密相联。
微积分的运用使这些自然科学领域迅猛发展，至十八世纪末，它们达到了一种相对完美的程度。
然而，将数学和这些自然科学基本上视为一体的观念，使当时一些著名的数学家，如拉格朗日、欧拉、达朗贝尔等对数学的前途产生了悲观情绪，他们觉得数学泉源已近枯竭。
而实际上，此时的数学正处于兴旺发达的前夜：18世纪的数学家忙于获取微积分的成果与应用，较少顾及其概念与方法的严密性，到十八世纪末，为微积分奠基的工作已紧迫地摆在数学家面前；另一方面，处于数学中心课题之外的数学分支已积累了一批重要问题，如复数的意义、欧式几何中平行公设的地位，高次代数方程根式解的可能性等，它们大都是从数学内部提出的课题；再者，自十八世纪后期开始，自然科学出现众多新的研究领域，如热力学、流体力学、电学、磁学、测地学等等，从数学外部给予数学以新的推动力。
上述因素促成了十九世纪数学充满活力的创新与发展。
十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地。
法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。
他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。
法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，突破了一切禁区。
英国新一代数学家克服近一个世纪以来以牛顿为偶像的固步自封局面，成立了向欧洲大陆数学学习的“分析学会”，使英国进入世界数学发展的潮流。
《数学史概论》教案
《数学史概论》教案主讲人：林寿导言主讲人简介：林寿，宁德师专教授，漳州师院特聘教授，四川大学博士生导师，德国《数学文摘》和美国《数学评论》评论员。
1978.4~1980.2宁德师专数学科学习；1984.9~1987.7苏州大学数学系硕士研究生；1998.9~2000.5 浙江大学理学院攻读博士学位。
拓扑学方向的科研项目先后20次获得国家自然科学基金、国家优秀专著出版基金等的资助，研究课题涉及拓扑空间论、集合论拓扑、函数空间拓扑等，在国内外重要数学刊物上发表拓扑学论文90多篇，科学出版社出版著作3部。
1992年获国务院政府特殊津贴，1995年被授予福建省优秀专家，1997年获第五届中国青年科技奖、曾宪梓高等师范院校教师奖一等奖。
个人主页：/ls.asp一、数学史要学习什么？为什么要开设数学史的选修课？数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。
对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。
庞加莱（法，1854－1912年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
萨顿（美，(1884-1956年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。
数学史的分期：1、数学的起源与早期发展（公元前6世纪）；2、初等数学时期（公元前6世纪－16世纪）；3、近代数学时期（17世纪－18世纪）；4、现代数学时期（1820年至今）。
二、教学工作安排授课形式：讲解与自学相结合，分13讲。
第一讲：数学的起源与早期发展；第二讲：古代希腊数学；第三讲：中世纪的东西方数学I；第四讲：中世纪的东西方数学II；第五讲：文艺复兴时期的数学；第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立；第七讲：18世纪的数学：分析时代；第八讲：19世纪的代数；第九讲：19世纪的几何与分析I；第十讲：19世纪的几何与分析II；第十一讲：20世纪数学概观I；第十二讲：20世纪数学概观II；第十三讲：20世纪数学概观III；选讲：数学论文写作初步。
林寿数学史教案-第九讲：19世纪的几何
第九讲：19世纪的几何1、几何学的变革几何学的基础：现实空间与思维空间。
1.1 微分几何平面曲线理论17世纪基本完成。
1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线理论。
1760年欧拉（瑞，1707－1783年）《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论，1795年蒙日（法，1746－1818年）《关于分析的几何应用的活页论文》借助微分方程对曲面族深入研究。
蒙日简介。
1.2 非欧氏几何从公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但“平行公设”始终让他们耿耿于怀。
萨凯里（意，1667－1733年）1733年《欧几里得无懈可击》提出“萨凯里四边形”。
1763年克吕格尔（德，1739－1812年）对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑。
1766年兰伯特（法，1728－1777年）《平行线理论》指出通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学道路。
1813年高斯（德，1777－1855年）：反欧几里得几何，非欧几里得几何，担心世俗的攻击而未发表。
1826年罗巴切夫斯基（俄，1792－1856年）《简要论述平行线定理的一个严格证明》，历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。
1832年J•鲍约（匈，1802－1860年）《绝对空间的科学》，所谓“绝对几何”就是非欧几何。
黎曼（德，1826－1866年）1854年《关于几何基础的假设》建立了黎曼几何。
在黎曼几何中，过已知直线外一点不能作任何平行于该给定直线的直线。
黎曼简介。
1868年贝尔特拉米（意，1835－1899年）《论非欧几何学的解释》，在“伪球面”模型上实现（片段上）罗巴切夫斯基几何。
1871年克莱因（德，1849－1925年）“圆”模型实现罗巴切夫斯基几何，1882年庞加莱（法，1854－1912年）也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧氏模型，克莱因－庞加莱圆。
1.3 射影几何将射影几何变革为具有独立目标与方法的学科的数学家是庞斯列。
数学简史(十九世纪的数学)
十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地。法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，突破了一切禁区。
但欧氏几何的平行公设曾引起数学家的持久的关注，以弄清它和其他公理、公设的关系。这个烦扰了数学家千百年的问题，终于被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约各自独立解决。高斯在1816年已认识到平行公设不可能在欧氏几何其他公理、公设的基础上证明，得到在逻辑上相容的非欧几何，其中平行公设不成立，但由于担心受人指责而未发表。
十九世纪前半叶最热门的几何课题是射影几何。1822年，彭赛列发表《论图形的射影性质》，这是他1813～1814年被俘关在俄国时开始研究的总结。他探讨几何图形在任一投影下所有截影所共有的性质，他的方法具有象解析几何那样的普遍性。1827年左右，普吕克等人引进齐次坐标，用代数方法研究射影性质，丰富了射影几何的内容。
1807年，傅里叶向巴黎科学院提交了一篇关于热传导的文章，在解热传导方程时，提出任意函数可用三角级数表示。这是分析学在十九世纪的首项重要工作，它不仅使分析方法进入新的物理领域，而且扩展了函数概念，推进了偏微分方程理论。对傅里叶级数收敛点的研究，最终导致康托尔创立集合论。由于傅里叶级数在应用中的重要性，研究其收敛性成为分析严格化的动力之一。
整理数学史教案第十讲19世纪的分析
现 大 量 的 可 遗 传 变 异 ，从 而
使 突 变 基 因 频 率 扩 增 。由 于
这些变异的产生是不定向
的，无法定向改变基因频
率。
培养
学生
合作
学 生 分 组 讨 论 并 得 出 结 论 ： 能力
讲述：1．从宏观（性状） 和探
上来看进化过程为： 19 世 究知
纪中期桦尺蠖的浅色性状 识的
与 环 境 色 彩 相 似 ，属 于 保 护 能力
因 （ S） 控 制 的 性 状 能 适 应
环境而大量生存并繁殖后
代 ， 浅 色 基 因 （ s） 控 制 的
性状不能适应环境而大量
被 淘 汰 ，使 后 代 数 量 大 量 减
少 。 浅 色 基 因 （ s） 的 频 率
下降为 5％，黑色基因（S）
的频率上升为 95％。结果
是淘汰了不利变异的基因 培养
回忆 回答：基因突变的特点有： 旧知
（1）普遍存在的； 识引 （2）随机发生的； 出新 （ 3） 突 变 频 率 是 很 低 问题
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文件编号： 00-28-71-E4-00
提问：为什么还能够改变种群中的 的；
基因频率呢？
（4）多数对生物体是
有害的；
（5）不定向的。
培养
讲述：例如，果蝇约有 104 万对基
岛 与 岛 之 间 的 距 离 。再 出 示
不 同 岛 上 的 植 被 情 况（ 突 出
果 实 的 大 小 ），让 学 生 了 解
各 岛 屿 的 生 存 条 件 。最 后 出
示 有 不 同 特 征 的 地 雀 ，特 别
讲述：经过长期地理隔离，不同 突出地雀喙形大小的特征，
种群在形态特征。生活习性上有了显 然后让学生根据地雀的特
林寿数学史第十讲：19世纪的几何与分析II
阿尔福斯（芬－美，1907－1996年）：这篇 论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的 萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新 了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究 铺平了道路。
.
复变函数论
❖ 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897) ❖ 19世纪40年代建立了幂级数基础上的解析函数理论 ❖ 解析开拓 ❖ 占据主导地位，三者统一
克莱因（德，1849－1925年）：“黎 曼具有非凡的直观能力，他的理解天才 胜过所有同代数学家。……魏尔斯特拉 斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系 统地逐步前进。在他工作的分支中，他 力图达到确定的形式。”
.
解析数论
1737年欧拉恒等式: 解析数论
1
ns
n1
p
(1-11/sp) ,s1
1837年狄里克雷(德, 1805-1859)解决素数问题
1753年丹尼尔•伯努利(瑞, 1700-1782) 导出了具有正弦周期模式的解
通 u解 (x t(), x t )(-x t)
特解 u(t , n x1a)nsin nπ l c πonπ lsπ
.
达朗贝尔(法国, 1959)
2u c2 2u
t2
x2
偏微分方程
位势方程(拉普拉斯方程)：1752年欧拉 (瑞, 1707-1783)提出，拉普拉斯(法, 1749-1827) 1785年用球调和函数求解
中 若a与 有b互 无素 ,穷 则多 算 . 个 术{素 a序 n数 列 b} 狄里克雷定理
1859年黎曼(德, 1826-1866) 《论不超过一个给定值的素数个 数》: π(x)与ζ(s)
1896年阿达玛(法, 1865-1963) 和瓦莱•普桑(比利时, 1866-1962) 证明了素数定理π(x)~x/lnx
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第十讲：19世纪的分析
1、分析的严格化
经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。
1.1 分析的算术化
所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。
1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函数定义。
魏尔斯特拉斯简介。
1.2 实数理论
19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。
实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
1.3 集合论
康托（德，1845－1918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。
康托简介。
2、分析的拓展
2.1 复变函数论
在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。
复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。
柯西建立了复变函数的微分和积分理论。
1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。
柯西简介。
背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。
黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。
1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，建立了柯西－黎曼条件、黎曼映射定理。
魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。
魏尔斯特拉斯的方法与柯西－黎曼的观点相互统一。
2.2 解析数论
1737年欧拉（瑞，1707－1783年）在数论的研究中引进了分析方法：解析数论。
1837年狄里克雷（德，1805－1859年）用分析方法证明了欧拉－勒让德提出的素数问题，1863年出版《数论讲义》，是解析数论的经典文献。
1859年黎曼《论不超过一个给定值的素数个数》，开创了解析数论的新时期，提出了著名的黎曼猜想，使复分析成为这一领域的重要工具。
1896年阿达玛（法，1865－1963年）和瓦莱•普桑（比利时，1866－1962年）证明了素数定理。
2.3 偏微分方程
19世纪，偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心。
弦振动方程。
1747年达朗贝尔（法，1717－1783年）发表《弦振动研究》和1749年欧拉导出了弦振动方程并求出解，是偏微分方程研究的开端。
位势方程。
1752年欧拉提出，拉普拉斯（法，1749－1827年）1785年用球调和函数求解，称为拉普拉斯方程。
格林（英，1793－1841年），1828年完成成名之作（1850年发表）《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》提出位势方程的求解方法。
拉普拉斯简介。
格林简介。
热传导方程。
傅里叶（法，1768－1830年）1807年就写成关于热传导的基本论文，1822年出版了《热的解析理论》，对19 世纪的理论物理学的发展产生深远影响。
傅里叶简介。
背景：巴黎科学院。
2.4 常微分方程
以海王星的发现说明微分方程的作用。
解的存在性。
1820－1830年柯西获得第一个解的存在性定理，1869年李普希茨（德, 1832－1903年）条件，1890年皮卡（法, 1856－1941年）逐步逼近定理。
关于偏微分方程解的存在唯一性定理：柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理。
柯瓦列夫斯卡娅（俄，1850－1891年）简介。
解的定性与稳定性理论。
1881－1886年庞加莱（法，1854－1912年）《由微分方程定义的曲线》创建了微分方程的定性理论。
1892年李雅普诺夫（俄，1857－1918年）《运动稳定性的一般问题》开创了微分方程的稳定性理论。
庞加莱简介：欧拉、柯西之后最多产的数学家，开辟了微分方程、动力系统、代数拓扑、代数几何等新方向的研究，19世纪最后四分之一和20世纪初世界数学的领袖人物。