2019-2020学年河南省郑州市实验中学高二上学期第一次月考数学试题(有答案解析)
2019-2020学年河南省郑州市实验中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题 1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）A ．B ．2C ．3D ．【答案】A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【详解】 在中，由正弦定理得，所以，故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。
2．在数列{}n a 中，已知31a =，53a =，79a =则{}n a 一定（ ） A ．是等差数列 B ．是等比数列C ．不是等差数列D ．不是等比数列【答案】C【解析】依据等差、等比数列的定义或性质进行判断。
【详解】因为532a a -=，756a a -=，7553a a a a -≠-，所以{}n a 一定不是等差数列，故选C 。
【点睛】本题主要考查等差、等比数列定义以及性质的应用。
3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列结论不正确的是（ ） A ．2222cos a b c bc A =+- B ．sin sin a B b A = C ．cos cos a b C c B =+ D ．cos cos sinC a B b A +=【答案】D【解析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】选项A,是余弦定理，所以该选项正确； 选项B,实际上是正弦定理sin sin a b A B=的变形，所以该选项是正确的； 选项C,由于sin sin(),sin sin cos cos sin ,cos cos A B C A B C B C a b C c B =+∴=+∴=+,所以该选项正确；选项D,cos cos 2(sin cos sin cos )2sin()2sin a B b A R A B B A R A B R C +=+=+=,不一定等于sinC,所以该选项是错误的. 故选D 【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理实行边角互化，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4．在等差数列中，若.，则（ ）A ．100B ．90C ．95D ．20【答案】B【解析】利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到.【详解】 数列为等差数列，，.【点睛】考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题.5．各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为n S ,若1010S =,3070S =, 则40S 等于 A ．150 B ．-200C ．150或-200D ．-50或400【答案】A【解析】根据等比数列的前n 项和公式化简S 10＝10，S 30＝70，分别求得关于q 的两个关系式，可求得公比q 的10次方的值，再利用前n 项和公式计算S 40即可． 【详解】因为{a n }是等比数列，所以有1010(1)101a q S q -==-，3030(1)701a q S q-==-二式相除得，3010171q q-=-，整理得102017q q ++= 解得102q=或103q =-（舍）所以有40401010(1)1(1)1a q S qa q S q--=--=401011q q -- =4121512-=- 所以401015S S ==150．答案选A ． 【点睛】此题考查学生灵活运用等比数列的前n 项和的公式化简求值，是一道综合题，有一定的运算技巧，需学生在练习中慢慢培养． 6．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30︒的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30︒的等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】 由正弦定理可知sin sin sin A B C a b c ==，又sin cos cos A B Ca b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==. 所以45B C ==o .所以180454590A =--=o o o o . 所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.7．设ABC ∆的内角A B C 、、所对边分别为130a b c a b A ︒===，，，，．则该三角形（ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定【答案】C【解析】利用正弦定理以及大边对大角定理求出角B ，从而判断出该三角形解的个数． 【详解】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以，sin sin b A B a ==，b a ∴>，B A ∴>， 60B ∴=o 或120o ，因此，该三角形有两解，故选C.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时可以充分利用解的个数的等价条件来进行判断，具体来讲，在ABC ∆中，给定a 、b 、A ，该三角形解的个数判断如下： （1）A 为直角或钝角，a b >，一解；a b ≤，无解；（2）A 为锐角，sin a b A =或a b ≥，一解；sin b A a b <<，两解；sin a b A <，无解.8．数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为 A ．(,0]-∞ B ．[0,)+∞C ．(,2)-∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】数列{a n }单调递增⇔a n+1＞a n ，可得：n+1+1a n +＞n+an，化简解出即可得出． 【详解】数列{a n }单调递增⇔a n+1＞a n ，可得：n+1+1a n +＞n+an，化为：a ＜n 2+n ． ∴a ＜2． 故选C ． 【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin cos 0b A B =，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ）A ．B ．2C ．1D ．2【答案】C【解析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =Q，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >Q，sin 0B B ∴-=，tan B ∴=，则3B π=.a Q 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．10．已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =（ ）A ．3223n n- B ．2332n n- C ．1223n n- D ．2132n n- 【答案】A【解析】递推关系式乘以12n +，再减去3，构造等比数列求通项公式. 【详解】因为156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1122213n n n n a a ++⋅=⋅+，整理得()11223233n n n n a a ++⋅-=⋅-，所以数列{}23nn a -是以14233a -=-为首项，23为公比的等比数列.所以1422333n nn a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3223n nn a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查构造数列求通项公式.一般地，譬如11n n n a pa q ++=+的形式，通常通过除以1n q +来进行构造；而对于形如1n n a pa q +=+的形式，则通过待定系数来构造.11．已知在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c 且BC 边上的高为2a ,则c bb c+的最大值为( ) A． BC ．2D ．4【答案】A【解析】先由题得到22sin a bc A =，再化简22222cos 2cos c b c b a bc A a A b c bc bc bc+++===+=2sin 2cos 4A A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求函数的最大值.【详解】 由题意可知，11sin 222a a bc A ⨯⋅=，得22sin a bc A =，所以22222cos 2cos c b c b a bc A a A b c bc bc bc+++===+=2sin 2cos 4A A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由BC 边上的高为2a 可得02A π<<，故当4A π=时c bb c+的最大值为故答案为A 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12．设正项数列{}n a 满足12a =，()2211220n n n n na a a n a ++--+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，(例如[]1.61=，[]1.62-=-)则222122019232020a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋯⋯+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】C【解析】分解因式，累乘法求得通项公式，根据题意，再进行求解. 【详解】数列{}n a 满足12a =，()2211220n n n n na a a n a ++--+=，整理得()()1120n n n n na n a a a ++-++=⎡⎤⎣⎦， 由于数列为正项数列，所以()12n n na n a +=+，整理得12n n a n a n++=， 故111n n a n a n -+=-，122n n a n a n --=⋯-，4242a a =，2131a a =， 各式相乘得到()1112n n n a a ⨯+=⨯，又12a =，所以()1na n n =+.则()21111nn n a n n++==+， ①当1n =时，11n=，212112a =+=； ②当1n >时，()10,1n∈，则 ()211n n n a n ⎡⎤++⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=11n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=1. 所以222122019232020220182020a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋯⋯+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故选：C. 【点睛】本题考查递推公式的整理化简、累乘法求通项公式，以及根据题意构造新数列的能力，本题中根据题意构造数列()21nn a +是问题的关键.本题属于数列综合题.二、填空题13．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和且13n n S A +=-，则A =________.【答案】3【解析】由n S ，可以求得数列的前三项，根据这三项构成等比数列，利用等比中项即可求参数. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和且13n n S A +=-，∴21139a S A A ==-=-，()()32213918a S S A A =-=---=， ()()433323354a S S A A =-=---=∵1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2213a a a =，∴()2189454=-⨯，解得3A =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质；一般地，在等比数列中，1111n n n a aS q Aq A q q=-+=---. 14．已知锐角ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos b a a C -=，则2cos cos()A C A -的取值范围是__________.【答案】22⎛ ⎝⎭【解析】由正弦定理，条件等式转化角的关系，化简所求的式子，转化角A ，求出A 的范围，即可求得结论. 【详解】sin sin 2sin cos sin()sin B A A C C A A -=⇒-=，,0,,2222C A A C A A C A πππ-<-<<<∴-==Q ，22(,)6432C A A B A πππππ⎧=⎪⎪⇒∈⎨⎪=-⎪⎩＜＜，2cos cos()AC A -23cos ,22A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为:23,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查正弦定理的应用，以及两角和差正弦公式的应用，属于中档题.15．若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为________． 【答案】15【解析】试题分析：因为1020T T =，所以所以{}n a 是正项递增等比数列,所以，所以最小.【考点】等比数列的性质.16．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a ，b ，c 是ABC △的内角A ，B ，C 的对边为.若sin 2sin cos C A B =，且2b ，1，2c 成等差数列，则ABC △面积S 的最大值为________. 5【解析】先根据正弦定理得c 2cos a B =,再根据余弦定理化简得 【详解】因为sin 2sin cos C A B =，所以c 2cos a B =,因此222c 2,2a c b a a b ac+-=⨯=,因为2b ，1，2c 成等差数列，所以2b +2c =2, 因此222222222222115416516524242165251625a c b c S a c c c c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---=--+⨯=⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦（），即ABC V 面积S 的最大值为5. 【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足11a =．若5a ，2a ，1a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn S n =+-.【解析】（1）根据对比中项的性质即可得出一个式子，再带入等差数列的通项公式即可求出公差．（2）根据（1）的结果，利用分组求和即可解决． 【详解】（1）因为521,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =，所以()2141d d +=+，即22d d =， 因为0d ≠，所以2d =， 所以21n a n =-；（2）因为1212n n b n -=-+，所以()()01113521222n n S n -=+++⋯+-++++L ，()12112212nn n +--=+-， 221n n =+-.【点睛】本题主要考查了等差数列通项式，以及等差中项的性质．数列的前n 的求法，求数列前n 项和常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的三条对边分别为a ，b ，c ，，cos sin b C C a =. （1）求角B ；（2）点D 在边BC 上，4AB =，32CD =，3cos 5ADC ∠=.求AC . 【答案】（1）6π；（2）2 【解析】（1）利用正弦定理将边化角，结合()sin sinA B C =+进行化简即可；（2）利用（1）中结论，及已知条件，在ABD n 中用正弦定理求AD ，再在ADC n 中，用余弦定理求AC .【详解】（1）由cos 3sin b C b C a +=，利用正弦定理得:sin cos 3sin sin sin B C B C A +=，即sin cos 3sin sin sin cos cos sin B C B C B C B C +=+，得3sin sin cos sin B C B C =，又()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以3sin cos B B =，得3tan 3B =，又()0,B π∈， 所以6B π=. （2）根据题意，作图如下：由3cos 5ADC ∠=，()0,ADC π∠∈， 所以234sin 155ADC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭， 又因为180ADB ADC ︒∠=-∠，所以4sin sin 5ADB ADC ∠=∠=； 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AD AB B ADB =∠又4AB =，6B π=， 所以14sin 524sin 25AB B AD ADB ⨯⋅===∠； 在ACD ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠2253533222225⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4=解得2AC =.【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角的能力，涉及()sin sinA B C =+，同时考查了利用正弦定理，余弦定理解求解三角形的能力.属解三角形综合基础题.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（Ⅰ）37； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】(Ⅰ) 在BDC V 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案. (Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC V 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯， ∴43sin BDC ∠=． (Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴43113536027)(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=⨯--⨯= ⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABD AD BAD BAD ⨯∠⨯∠===∠∠， ∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和． 【答案】(1) 221n a n =-；(2)221n n +. 【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得{}n a 的通项公式.（2）将{}n a 的通项公式代入,可得数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列{}n a 满足()123212=n a a n a n ++⋯+- 2n ≥时,()()12132321n a a n a n ++⋯+--﹣＝∴()212n n a -= ∴221n a n =- 当1n =时,12a =,上式也成立 ∴221n a n =- （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+ ∴数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和 1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1212121n n n =-=++ 【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.21．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）S =【解析】（Ⅰ）由正弦定理化简得到答案.（Ⅱ）1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，平方，代入公式利用余弦定理得到答案. 【详解】（Ⅰ）因为()acos 2cos B c b A =-，由正弦定理得()sin cos cos 2sin sin A B A C B =-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，所以()sin 2sinccos A B A +=， 因为()sin sin 0A B C +=≠，所以1cos 2A =， 又因为(0,)A π∈，所以3A π=．（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以2232c b bc ++=，①又根据余弦定理，有2222222cos 416a b c bc A b c bc =+-=+-==，② 联立①②，得8bc =．所以ABC ∆的面积1S bcsinA 2== 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，向量加减，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.22．数列{}n a 的前n 项和113n n S a =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使n T m ≤成立的实数m 最小值. 【答案】（1）13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭；（2）221332nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，32. 【解析】（1）由已知可先求得首项1a ，然后由113n n S a =+，得11113n n S a ++=+，两式相减后可得数列的递推式，结合1a 得数列{}n a 是等比数列，从而易得通项公式； （2）对数列{}n b 可用错位相减法求其和．不等式n T m ≤恒成立，可转化为先求n T 的最大值．【详解】（1）由111113a S a ==+得132a =. 由113n n S a =+，可知11113n n S a ++=+， 可得111133n n n a a a ++=-，即12n n a a +=-. 因为10a ≠，所以0n a ≠，故112n n a a +=- 因此{}n a 是首项为32，公比为12-的等比数列， 故13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知13122n n n b -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭. 所以01213113213313122222222n n n T -⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ① 两边同乘以12-得 123131132133131222222222n n n T ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ② ①②相减得12311331313131311222222222222n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+-+-++⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 从而133113312222122212n n n n T -⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=-⋅- ⎪⎝⎭+ 于是221332n n T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当n 是奇数时，221332n n T n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为221302n n n T T n ++⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭， 所以132n T T ≤=. 当n 是偶数时，2212()()3323n n T n =-+< 因此32n T ≤. 因为n T m ≤， 所以32m ≥，m 的最小值为32. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，前n 项和公式，考查错位相减法求和．适用错位相减法求和的数列一般是{}n n a b ，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．。
河南省实验中学2019_2020学年高二数学上学期中试题文(含解析)
A. 有最小值 3
B. 有最小值 6
C. 有最大值 6
9
D. 有最大值
-3-
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【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用等比数列的性质与基本不等式，求得结论．
【详解】解：在各项均为正数的等比数列{an} 中，a4 3 ，则 a2 a6 2 a2 a6 2 a42 6
当且仅当 a2 a6 时，取等号。
2an
故选 C
【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合
题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”.
9.设等差数列 an 的前 n 项和 Sn ，且满足 S2016 0, S2017 0 ,对任意正整数 n ，都有
an ak ，则 k 的值为（ ）
0 ，所以 a1009
0 ，所以
a1008 0, a1009 0, d 0 ，对任意正整数 n ，都有 an ak ，则 k 1009 ，故选 D.
考点：等差数列的求和公式.
10.已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 sin A sin B c b ，则（ ）
又 cosA b2 c2 a2 2bc
b2 c2 a2 2a2 b2
2bc
2bc
cosA
4b2
2c2 3
b2
b2
2c2
2bc
6bc
又 b2 2c2 2 2bc ，当且仅当 b 2c 时取等号
a2 2b2 c2 3
cosA 2 3
cosA
2 3
,1
30cos B C 9cos2A 162 5 0 30cosA 9 2cos2 A 1 16 2 5 0
2019-2020学年河南省郑州市第一中学高二上学期入学测试数学试题(解析版)
2019-2020学年河南省郑州市第一中学高二上学期入学测试数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．数列1，-2，-3，-4，…是一个摆动数列B ．数列-2，3，6，8可以表示为{}2,3,6,8-C ．{}n a 和n a 是相同的概念D ．每一个数列的通项公式都是唯一确定的 【答案】A【解析】利用数列的定义及其性质即可判断出结论． 【详解】根据摆动数列的概念，A 正确；数列2-，3，6，8 不能表示为集合{2-，3，6，8}，数列和元素顺序有关，集合和元素顺序无关，故B 错误．{}n a 表示数列的全部的项，而n a 表示数列的第n 项，不是同一概念，故C 错；数列的通项公式可以有多个，D 错误． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了数列的定义及其性质，考查推理能力，属于基础题． 2．数列7，9，11，…，21n -的项数是（ ） A ．3n - B ．2n -C ．1n -D ．n【答案】A【解析】设数列有x 项，解方程217(1)225n x x -=+-⋅=+即可得出此数列的项数． 【详解】由题得数列是一个等差数列，设数列有x 项，由等差数列的通项得217(1)225,n x x -=+-⋅=+所以3x n =-.∴此数列的项数是3n -．故选：A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.3．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤.问金杖重多少？” 则答案是（ ） A ．14斤 B ．15斤C ．16斤D ．17斤【答案】B【解析】由题意可知等差数列的首项和第五项，由等差数列前n 项和公式可得答案． 【详解】由题意可知等差数列中14a =，52a =， 则1555()152a a S +==． ∴金杖重15斤．故选：B ． 【点睛】本题考查了数学文化、等差数列的通项公式及前n 项和的公式，属于基础题．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则过()11,P a ，()22,Q a 两点的直线的斜率是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则12a =，212226a a +=+=，解得1a ，2a ．利用斜率计算公式即可得出． 【详解】数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则12a =，212226a a +=+=， 解得12a =，24a =．则过1(1,)P a ，(Q 2，2a )两点的直线的斜率21221a a -==-． 故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．在等差数列{}n a 中，23452534,52a a a a a a +++=⋅=，且42a a >，则5a =（ ） A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】由等差数列性质得2345252()34a a a a a a +++=+=，即2517a a +=，然后与2552a a =联立方程组可求得5a ．【详解】∵42a a >，∴等差数列{}n a 是递增数列．∴52a a >．由数列{}n a 是等差数列，得2345252()34a a a a a a +++=+=，即2517a a +=， 由25251752a a a a +=⎧⎨=⎩，∴25413a a =⎧⎨=⎩（25134a a =⎧⎨=⎩舍去），故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质是解题基础．等差数列{}n a 中，,,,m n p q N ∈，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+．6．若数列{}n a 是公差为1的等差数列，则数列{}2122n n a a -+是（ ） A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列【答案】C【解析】构造新数列2122n n n c a a -=+，求出相邻两项的差，利用等差数列的定义，即可得到结论． 【详解】设{}n a 的公差为d ，则1d =，设2122n n n c a a -=+，则121222n n n c a a +++=+， 121222122266n n n n n n c c a a a a d +++-∴-=+--==，故选：C ． 【点睛】本题重点考查等差关系的确定，考查等差数列的定义，直接利用等差数列的定义判断是关键． 7．已知在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,60,43A b ∠=︒=,若此三角形有且只有一个,则a 的取值范围是（ ） A ．043a << B ．6a = C ．43a ≥或6a = D ．043a <≤【答案】C【解析】根据题意求出sin 6b A =,然后数形结合可得a 的范围． 【详解】由60,43A b ∠=︒=,正弦定理可得3sin 436b A =⨯=；∵这样的三角形有且只有一个,∴43a ≥6a =； 故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理的应用,考查三角形解的情况,考查特殊角的三角函数值,属于基础题． 8．在钝角ABC ∆中，已知3AB =1AC =，30B ∠=︒，则ABC ∆的面积是（ ） A 3B 3C ．32D ．34【答案】A【解析】利用余弦定理列出关系式，把c ，b ，以及cos B 的值代入求出a 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积． 【详解】Q在钝角ABC ∆中，已知AB c =1AC b ==，30B ∠=︒，∴由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2133a a =+-，解得1a =或2a =，当1a =时，a b =，即30A B ==︒∠∠，此时120C ∠=︒，满足题意，ABC ∆的面积1sin 2S ac B =； 当2a =时，满足222a b c =+，即ABC ∆为直角三角形，不合题意，舍去，所以ABC ∆ 故选：A ． 【点睛】此题考查了余弦定理以及三角形面积公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．9．在ABC V 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足()cos 3cos b C a c B =-，若4BC BA ⋅=u u u r u u u r，则ac 的值为 ()n n A ．12 B ．11C ．10D ．9【答案】A【解析】利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得cos B 的值，由4BC BA ⋅=u u u r u u u r可得ac 的值【详解】在ABC n 中，()3bcosC a c cosB =-Q由正弦定理可得()sin cos 3sin sin cos B C A C B =-3sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴-=化为：3sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+即()sin sin B C A +=在ABC n 中，sin 0A ≠，故1cos 3B =4BC BA ⋅=u u u r u u u rQ ,可得cos 4ac B =，即12ac = 故选A 【点睛】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。
【学期】河南省郑州市郑州领航实验学校2020学年高二上学期第一次月考数学试卷
【关键字】学期郑州领航实验学校第一次月考高二数学试题……………………………………………………………………………………一、选择题（下列四个选项中，只有一项是最符合题意的。
本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 在中,角、、所对的边分别为、、，若，则（）A．B．C．D．2. 在中, 如果，那么角（）A．B．C．D．3. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定4. 关于三角形满足的条件，下列判断正确的是（）A．，有两解B．，有一解C. ，有两解D．，无解5. 在中,，则的周长为（）A．B．C. D．6．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个面包．A．4 B．3 C．2 D．17．已知等比数列的前n项和是Sn，且S20=21，S30=49，则S10为（）A．7 B．9 C．63 D．7或638．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（）A．B．a2＞ab C．D．9．设等差数列的前n项和为Sn，且满足S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数n，都有则的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．100910. 在各项均不为零的等差数列中，若，则（）A．B． C. D．11. 关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是( ) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－1,2)C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)12. 满足的恰有一个，则的取值范围是（）A ．B ． C. D ．或二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 等比数列的前项和为，则的值为 __________.14. 在中,角、、所对的边分别为、、，若、、等差数列，，的面积为，则__________. 15. 已知－1x ＋y4，且2x －y3，则z ＝2x －3y 的取值范围是_________.16. 已知两个等差数列和的前 n 项和分别为，若，则 _________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）（1）已知x<1，比较x3－1与2x2－2x 的大小；（2）已知12<a<60，15<b<36，求a －b 和 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.（1）求数列{an}的通项公式；（2）当n 为何值时，数列{an}的前n 项和取得最大值？19.（本小题满分12分）设函数.（1）若不等式的解集是, 求不等式的解集；（2）当时，对任意的都有成立，求实数的取值范围.20.（本小题满分12分）航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔千米，速度为千米/小时，飞机先看到山顶的俯角为，.经过秒后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度（取.21.（本小题满分12分）（文科）在中，已知（1）求C ；（2）若c ABC =∆，求ABC ∆的周长． （理科）在ABC ∆中，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（1）求C ；（2）若c ABC =∆的面积为2，求ABC ∆的周长． 22.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11111,12n n n n a a a n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭.（1）设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .郑州领航实验学校考试试题参考答案及评分标准注：参考答案需写清题号、每小题分值、参考答案要点、评分标准等一、选择题（每小题5分，共60分）BBABD CACDA DD二、填空题（每小题5分，共20分）13. 17 14. 13+ 15. [3,8] 16.三、解答题（第17题10分，第18-22每题12分，共70分）17.（本小题满分10分）解：(1)x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34， ∵x <1，∴x －1<0， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， ∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0， ∴x 3－1<2x 2－2x . 5分(2)∵15<b <36，∴－36<－b <－15，∴12－36<a －b <60－15，∴－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015，∴13<a b <4.综上，－24<a －b <45，13<a b <4. 10分18.（本小题满分12分）解：(1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . 6分(2)法一：a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值． 12分法二：由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值． 12分19.（本小题满分12分）解：（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}|23x x <<,所以2,3x x ==是方程20x ax b -+=的解，由韦达定理得：5,6a b ==，故不等式210bx ax -+>为26510x x -+>，解不等式26510x x -+>得其解集为11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或. 6分（2）解法1：据题意(]()21,0,30x f x x ax a ∈-=-+-≥恒成立，则可转化为2min31x a x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭,设1t x =+，则(]()2213340,1,21t x t t x t t -++∈==+-+关于t 递减，所以min421423,3t a t ⎛⎫+-=+-=∴≤ ⎪⎝⎭. 12分解法2：按二次函数的对称轴，与(]1,0x ∈-位置关系来分类讨论，亦可得出答案.12分20.（本小题满分12分）解： 如图 ,15,45,30A DBC ACB ∠=∠=∴∠=.()1180000420210003600AB m =⨯⨯=,∴在ABC ∆中, ()21000,sin151050062,1sin sin 2BC AB BC CD AD A ACB=∴==-⊥∠, ()105001.717350=-=,答：山顶的海拔高度1000073502650=-=千米.21.（本小题满分12分）（文科）（1）()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C =∵()0πC ∈， ∴π3C = 6分 （2）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅ 即221722a b ab =+-⋅ 1sin 2S ab C =⋅∴6ab =∴()2187a b +-= 5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++= 12分（理科）（1）由题意可得21sin 23sin ABC a S bc A A∆==，化简可得2223sin a bc A =，根据正弦定理化简可得：2222sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B =⇒=6分 （2）由()2sin sinC 123cos cos sin sinC cos cos 123cos cos 6B A A B B B C A B C π⎧=⎪⎪⇒=-+=-=⇒=⎨⎪=⎪⎩，因此可得3B C π=-，将之代入2sin sinC 3B =中可得： 21sin sin cos sin 0322C C C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，化简可得tan ,66C C B ππ=⇒==，利用正弦定理可得1sin sin 2a b B A ===，同理可得c =故而三角形的周长为3+ 12分22.（本小题满分12分）（1）由已知得 111b a ==,且1112n n n a a n n +=++，即112n n n b b +=+，从而()2132121111, (2222)n n n b b b b b b n --=+=+=+≥，于是()12111111 (222222)n n n b b n --=++++=-≥， 又11b =，故所求的通项公式1122n n b -=-. 6分 （2）由（1）知1112222n n n n a n n --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()111112222n n n n k k k k k k k S k k --===⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑， 而()()121nk k n n ==+∑，又112n k k k -=∑是一个典型的错位相减法模型，易得()1111224,14222n n k n n k k n n S n n ---=++=-∴=++-∑. 12分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
河南省郑州市实验高级中学2019-2020学年高三数学文月考试题含解析
河南省郑州市实验高级中学2019-2020学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 程序框图表示求式子23×53×113×233×473×953的值，则判断框内可以填的条件为（）A．i≤90？B．i≤100？C．i≤200？D．i≤300？B2. 已知等比数列{a n}中，若，且成等差数列，则（）A. 2B. 2或32C. 2或－32D. －1参考答案：B【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q的值，可得的值.【详解】解：设等比数列的公比为q（），成等差数列，，，，解得：，，，故选B.【点睛】本题主要考察等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键. 3. 如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则（）A．B．C．D．参考答案：C略4. 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为A．t≥ B．t≥ c．t≤ D．t≤参考答案：B【知识点】算法与程序框图L1第一次执行循环结构：n←0+2，x←2×t，a←2-1∵n=2＜4，∴继续执行循环结构．第二次执行循环结构：n←2+2，x←2×2t，a←4-1；∵n=4=4，∴继续执行循环结构，第三次执行循环结构：n←4+2，x←2×4t，a←6-3；∵n=6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t．由于结束时输出的结果不小于3，故38t≥3，即8t≥1，解得t≥．【思路点拨】第一次执行循环结构：n←0+2，第二次执行循环结构：n←2+2，第三次执行循环结构：n←4+2，此时应终止循环结构．求出相应的x、a即可得出结果．5. 已知p：?x∈R，x2﹣x+1＞0，q：?x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q参考答案：C【考点】复合命题的真假．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出其复合命题的真假即可．【解答】解：关于p：?x∈R，x2﹣x+1=+＞0，成立，故命题p是真命题，关于q：?x∈（0，+∞），sinx＞1，∵?x∈（0，+∞），sinx≤1，故命题q是假命题，故p∨￢q是真命题，故选：C．【点评】本题考查了二次函数、三角函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．6. 将参加夏令营的100名学生编号为001,002,......,100,采用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本,且在第一组随机抽得的号码为003.这100名学生分住在三个营区,001到047住在第I营区,048到081住在第II营区,082到100住在第III营区,则三个营区被抽中的人数依次为A.10,6,4B.9,7,4C.10,7,3D.9,6,5参考答案：B略7. 在中,若,则是A．等腰或直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角参考答案：8. 已知全集（）A．B．C．D．参考答案：B略9. 直线的倾斜角为（）A． B． C． D．参考答案：D略10. 己知x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【分析】由极值点可求得φ的值，再求2kπ+＜2x﹣＜2kπ+中x的取值范围，可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项求出答案．【解答】解：x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，∴sin[2×（﹣）+φ]=﹣1，∴﹣+φ=2kπ﹣，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，）．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义：在数列中，若，则称为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：①若是“等方差数列”，则数列是等差数列；②是“等方差数列”；③若是“等方差数列”，则数列也是“等方差数列”；④若既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．其中正确的命题为．（写出所有正确命题的序号）参考答案：③④12. 在菱形中，,为中点，则．参考答案：13. 已知的内角所对的边分别为且，，则。
河南省郑州市中学高二数学月月考试题
河南省郑州市106中学2019-2020学年高二数学9月月考试题一、选择题（共12小题，每题5分） 1．下列判断中正确的是（ ）A.0在中，7,14,30,有两解ABC a b A ∆===B.0在中，30,25,150,有一解ABC a b A ∆===C.0在中，6,9,45,有两解ABC a b A ∆===D.0在中，b 9,10,60,无解ABC c A ∆===2．在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形 B. 直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3. 在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1cos 4B =,sin 2sin A C=,且ABC S ∆=则b 等于( ) A.4 B.3 C.2 D.14.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若c =b =120B ︒=,则a 等于( ) A.5.设n S 为等差数列n a ｛｝的前n 项和，132s 4a a 2==-，，则9a =（ ）A ．6/5 B.16/5 C.32/5 D.26.设等差数列n a ｛｝的前n 项和为n S ，11S 2S 0S 3m m m －＋＝－，＝，＝，则m ＝ ( )A.3B.4C.5 D 、67.数列n a ｛｝是首项为2，公差为3的等差数列，数列{}n b 是首项为-2，公差为4的等差数列。
若n n a b =,则n 的值为（ ）A.4 B.5 C.6 D.78．在等差数列n a ｛｝中, m n a n,a m ==,则m n a +的值为（ ）A. m n +B.)(21n m +C.)(21n m - D.09．已知{}n a 为等差数列135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（ ）A. -1B. 1C. 3D.710．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于（ ）A ．1 B53C.- 2 D 311. 如图AB BC ⊥,D 在BC 上，若已知30,0,6ACB ADB CD a ∠=︒∠==︒， 则AB =（ ）A ．12a B aC aD ．a12. 据新华社2013年9月23日报道，强台风“天兔”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后，折成与底面成45︒角，树干也倾斜为与底面成75︒角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树杆底部的距离是（ ）A.3米B.C.3米D.二、填空题（每题5分，共30分）13. 若数列n a ｛｝的前n 项和为21S 33n n a ＝＋，则数列n a ｛｝的通项公式是______n a =. 14．在等差数列n a ｛｝中，已知3857a a 103a a ___+=+=，则15.在钝角ABC ∆中，1,2a b ==, ,则最大边c 的取值范围是_________ 16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 。
【精品高二数学试卷】2019-2020郑州高二(上)入学考(8月份)+答案
2019-2020学年河南省高二（上）入学数学试卷（8月份）一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）下列说法正确的是( )A ．数列1，2-，3，4-，⋯是一个摆动数列B ．数列2-，3，6，8 可以表示为{2-，3，6，8}C ．{n a } 和n a 是相同的概念D ．每一个数列的通项公式都是唯一确定的2．（5分）数列7，9，11，⋯，21n -的项数是( ) A ．3n -B ．2n -C ．1n -D ．n3．（5分）《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chu í)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是( ) A ．14 斤B ．15 斤C ．16 斤D ．17 斤4．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则过(1P ，1)(a Q 2，2a )两点的直线的斜率是( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）在等差数列{}n a 中，234534a a a a +++=，2552a a =g ，且42a a >，则5(a =)A ．11B ．12C ．13D ．146．（5分）若{}n a 是公差为1的等差数列，则212{2}n n a a -+是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列7．（5分）已知在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，60A ∠=︒，b =若此三角形有且只有一个，则a 的取值范围是( )A ．0a <<B ．6a =C ．a …6a =D ．0a <„8．（5分）在钝角ABC ∆中，已知AB =，1AC =，30B ∠=︒，则ABC ∆的面积是( )A B C ．32D ．349．（5分）在ABC ∆中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =-，若4BC BA =u u u r u u u rg ，则ac 的值为( )A ．12B ．11C ．10D ．910．（5分）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，223cos cos20A A +=，7a =，6c =，则(b = )A ．10B ．9C ．8D ．511．（5分）（上海卷理18)某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人将( )A ．不能作出这样的三角形B ．作出一个锐角三角形C ．作出一个直角三角形D ．作出一个钝角三角形12．（5分）在ABC ∆中，若22222222a a cb b bc a +-=+-，则ABC ∆是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）在ABC ∆中，若30B =︒，AB =2AC =，求ABC ∆的面积 ． 14．（5分）数列{}n a 满足：2*123()n a a a a n n N ⋯=∈g g ，则通项公式是：n a = ． 15．（5分）线段AB 外有一点C ，60ABC ∠=︒，200AB km =，汽车以80/km h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50/km h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始 h 后，两车的距离最小．16．（5分）等差数列{}n a 中，67S S <，78S S >，给出下列命题：①0d <，②96S S <，③7a 是各项中最大的项，④7S 是n S 中最大的值，⑤{}n a 为递增数列．其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，1(1)(1)2n n n n nS n S ++-+=，*n N ∈（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．18．（12分）在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a的军事基地C 和D ，测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且30ADB ∠=︒，30BDC ∠=︒，60DCA ∠=︒，45ACB ∠=︒，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．19．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ∆的周长．20．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若42a =5b =，求向量BA u u u r 在BC u u u r方向上的投影．21．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知274sin cos222A B C +-=，7c =（1）若5a b +=，求ABC ∆的面积；（2）求a b +的最大值，并判断此时ABC ∆的形状．22．（12分）已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且*10(21)(2),n n n S a a n N =++∈． （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）是否存在m ，n ，*k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的m ，n ，k 的值；若不存在，请说明理由；（3）设32n nnb a-=-，若对于任意的*n N∈，12111(1)(1)(1)nb b b++⋯+恒成立，求正整数m的最大值．2019-2020学年河南省高二（上）入学数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【解答】解：根据摆动数列的概念，A 正确；数列2-，3，6，8 不能表示为集合{2-，3，6，8}，数列和元素顺序有关，集合和元素顺序无关，故B 错误．{n a } 表示数列的全部的项，而n a 表示数列的第n 项，不是同一概念，故C 错；数列的通项公式可以有多个，D 错误． 故选：A ．【解答】解：由数列7，9，11，⋯，21n -， 可得7241=⨯-． ∴此数列的项数是3n -．故选：A ．【解答】解：由题意可知等差数列中14a =，52a =， 则1555()152a a s +==． ∴金杖重15斤．故选：B ．【解答】解：数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则12a =，212226a a +=+=， 解得12a =，24a =．则过1(1,)P a ，(Q 2，2a )两点的直线的斜率21221a a -==-． 故选：B ．【解答】解：由等差数列{}n a 的性质可得：2534134172a a a a +=+=⨯=，2552a a =g ，且42a a >， 2a ∴，5a 是方程217520x x -+=，且25a a <．解得24a =，513a =． 故选：C ．【解答】解：设{}n a 的公差为d ，则1d =， 设2122n n n a a -=+ð，则121222n n n c a a +++=+， 121222122266n n n n n n c a a a a d +++-∴-=+--==ð，故选：C ．【解答】解：Q 在ABC ∆中，60A ∠=︒，43b =， ∴由正弦定理可得3sin 436b A =⨯=；Q 这样的三角形有且只有一个，6a ∴=或433a … 故选：C ．【解答】解：Q 在钝角ABC ∆中，已知3AB c ==1AC b ==，30B ∠=︒， ∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，即2133a a =+-，解得：1a =或2a =，当1a =时，a b =，即30A B ∠=∠=︒，此时120C ∠=︒，满足题意，ABC ∆的面积13sin 2S ac B ==； 当2a =时，满足222a c b =+，即ABC ∆为直角三角形，不合题意，舍去， 则ABC ∆3． 故选：B ．【解答】解：cos (3)cos b C a c B =-Q ， 由正弦定理得sin cos (3sin sin )cos B C A C B =-sin()3sin cos B C A B ∴+=，sin 3sin cos A A B ∴=，sin 0A ≠Q ，1cos 3B ∴=，∴1cos 43BC BA ac B ac ===u u u r u u u r g ，12ac ∴=．故选：A ．【解答】解：22223cos cos223cos 2cos 10A A A A +=+-=Q ，即21cos 25A =，A 为锐角， 1cos 5A ∴=，又7a =，6c =，根据余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-g ，即21249365b b =+-， 解得：5b =或135b =-（舍去）， 则5b =． 故选：D ．【解答】解：设三边分别为a ，b ，c ，利用面积相等可知 11113115a b c ==， ::13:11:5a b c ∴=令13a =，11b =，5c =由余弦定理得22251113cos 02511A +-=<⨯⨯，所以角A 为钝角，故选：D ．【解答】解：222cos 2a c b B ac +-=Q ，222cos 2b c a A bc +-=，2222cos a c b ac B ∴+-=g ，2222cos b c a bc A +-=g ，∴222222222cos cos 2cos cos a c b ac B a B a b c a bc A b A b +-===+-g g ，又sin sin a Ab B =， ∴cos sin cos sin B a A A b B==，即sin cos sin cos A A B B =， sin2sin2A B ∴=，又A 和B 都为三角形的内角，22A B ∴=或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，则ABC ∆为等腰三角形或直角三角形． 故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分【解答】解：在ABC ∆中，设BC x =，由余弦定理可得241243cos30x x =+-︒，2680x x-+=，2x ∴=，或4x =．当2x = 时，ABC ∆的面积为111sin 233222AB BC B x =⨯=g g g g ， 当4x = 时，ABC ∆的面积为111sin 2323222AB BC B x =⨯=g g g g ， 故答案为3或23．【解答】解：1n =时，2111a ==， 当2n …时，2123n a a a a n ⋯=Q g g ，21231(1)n a a a a n -∴⋯=-g g ， 两式相比得22(1)n n a n =-，故答案为：221,1,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨⎪-⎩…．【解答】解：如图所示：设th 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则80AD t =，50BE t =．因为200AB =，所以20080BD t =-， 问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理：2222cos60DE BD BE BD BE =+-︒g22(20080)2500(20080)50t t t t =-+--g2129004200040000t t =-+．当7043t =时DE 最小． 故答案为：7043【解答】解：等差数列{}n a 中，67S S <，78S S >，所以126127a a a a a a ++⋯+<++⋯+，则70a >．所以127128a a a a a a ++⋯+>++⋯+，则80a <． 所以①870d a a =-<正确．②96S S <整理得789830a a a a ++=<正确．③7a 是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误． ④7S 是n S 中最大的值，正确；⑤{}n a 为递增数列．错误，应改为递减数列． 故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【解答】解：（1）由11a =，1(1)(1)2n n n n nS n S ++-+=，*n N ∈，令1n =，则2121S S -=， 2121a ∴+-=，解得22a =．（2）由1(1)(1)2n n n n nS n S ++-+=，*n N ∈，变形为：1112n n S S n n +-=+，∴数列{}n S n 是等差数列，首项为1，公差为12． ∴111(1)22n S n n n +=+-=， (1)2n n n S +∴=， ∴当2n …时，1(1)2n n n S --=， 1(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-=-=-=， n a n ∴=．【解答】解：604515BCD DCA ACB ∠=∠-∠=︒-︒=︒Q ，180135DBC BDC BCD ∴∠=︒-∠-∠=︒，在BCD ∆中，由正弦定理得：sin sin CD BCDBC BDC =∠∠12BC =，解得BC60ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒Q ，60DCA ∠=︒，ACD ∴∆是等边三角形，AC CD ∴== 在ABC ∆中，由余弦定理得222232cos 8a AB BC AC AB AC ACB =+-∠=g g，AB ∴ ∴【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得21sin 23sin ABC a S ac B A∆==， 3sin sin 2c B A a ∴=，由正弦定理可得3sin sin sin 2sin C B A A =， sin 0A ≠Q ，2sin sin 3B C ∴=； （2）6cos cos 1B C =Q ， 1cos cos 6B C ∴=， 121cos cos sin sin 632B C B C ∴-=-=-， 1cos()2B C ∴+=-，1cos 2A ∴=， 0A π<<Q ，3A π∴=，Q2sin sin sin a b c R A B C =====2sin sin 22123b c bc B C R R ∴====g ，8bc ∴=，2222cos a b c bc A =+-Q ， 229b c bc ∴+-=，2()9392433b c cb ∴+=+=+=，b c ∴+=∴周长3a b c ++=【解答】解：（Ⅰ）由232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-， 得3[cos()1]cos sin()sin cos 5A B B A B B B -+---=-即3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，即3cos 5A =-；（Ⅱ）由3cos 5A =-，0A π<<，得4sin 5A =，由正弦定理，有sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a ==． 由题知A B >，故4B π=．根据余弦定理，有2223525()5c c =+-⨯⨯-，解得1c =或7c =-（舍去），故向量BA u u u r 在向量BC u u u r 方向上的投影为cos BA B u u u r ．【解答】解：由274sin cos222A B C +-=得72(1cos())cos22A B C -+-=2722cos 2cos 12C C ∴+-+=， 2(2cos 1)0C ∴-=，1cos 2C ∴=，又0C π<<，3C π∴=，由余弦定理得：227a b ab =+-，27()3a b ab ∴=+-，6ab ∴=1sin 23ABC S ab π∆∴==； （2）法一：22(sin sin )[sin()sin ]3a b R A B A A π+=+=-+3sin ))26A A A π=+=+ 203A π<<Q ，∴5666A πππ<+<∴当62A ππ+=，即3A π=时，a b +最大为此时ABC ∆为等边三角形．法二：由余弦定理得：2227()3a b ab a b ab =+-=+-2223()()7()44a b a b a b ++∴+-=… 2()28a b ∴+„，a b +„当且仅当a b =等号成立，a b ∴+最大为此时ABC ∆为等边三角形．【解答】解：（1）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =或112a =． 由于11a >，所以12a =．因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n nn S a a =++． 故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---．整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=．因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，52为公差的等差数列． 所以512(1)(51)22n a n n =+-=-．（2）满足条件的正整数m ，n ，k 不存在，证明如下： 假设存在m ，n ，*k N ∈，使得2()m n k a a a +=， 则15151(51)2m n k -+-=-．整理，得3225m n k +-=，①显然，左边为整数，所以①式不成立． 故满足条件的正整数m ，n ，k 不存在． （3）313(51)21222n n n n b a n n --=-=--=+， 不等式12111(1)(1)(1)n b b b ++⋯+g g 可转化为31212311114682235721n n b b b b n b b b b n +++++⋯=⋯+g g g g g g g g g设46822()35721n f n n +=⋯+g g则(1)()35721f n f n n +=⋯+g g2423n n +==+g24124n n +=>===+． 所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，()f n 也增大． 要使不等式12111(1)(1)(1)n b b b ++⋯+对于任意的*n N ∈恒成立，只需()min f n 即可．因为4()(1)3min f n f ===即43112448151515m ⨯==„． 所以，正整数n 的最大值为8．。
2019-2020学年河南省实验中学高二(上)第一次月考数学试卷(PDF版,含解析)
D．400 或 50
C．等腰直角三角形 D．有一内角为 30 的直角三角形
7．设 ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对边分别为 a ， b ， c ， a 1 ， b 3 ， A 30 ．则该三
角形 ( )
A．无解
B．有一解
C．有两解
D．不能确定
8．数列{an} 的通项公式为
an
n
a n
，若数列{an} 单调递增，则
（Ⅰ）求 sin BDC 的值； （Ⅱ）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛 A ？
20．设数列 {an} 满足 a1 3a2 (2n 1)an 2n ． （1）求{an} 的通项公式； （2）求数列{ an } 的前 n 项和．
2n 1
21．设 ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 a cos B (2c b) cos A ． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 a 4 ， BC 边上的中线 AM 2 2 ，求 ABC 的面积．
D．[1， )
【解答】解：数列 {an }
单调递增
an1
an
，可得： n
1
a n 1
n
a n
，化为： a
n2
n
．
a 2 ．
故选： C ．
-7-
9．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对应的边分别为 a ， b ， c ，若 b sin A 3a cos B 0 ，
且三边 a ， b ， c 成等比数列，则 a c 的值为 (
A． a2 b2 c2 2bc cos A C． a b cos C c cos B
B． a sin B b sin A D． a cos B b cos A sin C
河南省郑州市实验高级中学2019-2020学年高二数学理模拟试题含解析
河南省郑州市实验高级中学2019-2020学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在极坐标系下，已知圆C的方程为 =2cosθ，则下列各点中，在圆C上的是()A．(1，-) B．(1，) C．(，) D．(，)参考答案：A略2. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（）A. 96B. 120C. 240D. 24参考答案：A【分析】首先确定连号的张数，然后把这二张连号捆绑在一起与其它三张全排列即可.【详解】2张参观券连号有、、、四张，捆绑在一起与其它三张全排列为，故本题选A.【点睛】本题考查了排列与组合的应用，正确理解题意是解题的关键.3. 设变量x，y满足约束条件,则目标函数z＝2x＋3y的最小值为()．A．6 B．7 C．8D．23参考答案：B略4. 下列说法错误的是（）A．若命题，则B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”C．“”是“”的充分不必要条件D．若命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题参考答案：C略5. 如果函数y=f(x)的图象如下图，那么导函数的图象可能是（）A. B.C. D.参考答案：A试题分析：单调变化情况为先增后减、再增再减因此的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合，故选A.考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.6. 已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＝c通过( )A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限参考答案：C7. 数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），若前n项的和为10，则项数n为( )A．11 B．99 C．120 D．121参考答案：C【考点】数列的求和．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】运用分母有理化可得a n=﹣，再由裂项相消求和可得前n项的和为S n，由S n，=10，解方程可得n．【解答】解：a n==﹣，前n项的和为S n=﹣1+﹣+2﹣+…+﹣=﹣1，由题意可得﹣1=10，解得n=120．故选：C．【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．8. 现抛掷两枚骰子，记事件A为“朝上的2个数之和为偶数”，事件B为“朝上的2个数均为偶数”，则（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】用列举法求出事件、事件所包含的基本事件的个数，根据条件概率公式，即可得到结论。
河南省实验中学高二上数学第一次月考试题卷
河南省实验中学2022--2023学年上期月考试卷 高二 数学 命题人：刘春城 审题人：刘菡潇（时间：120分钟，满分：150分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知空间向量()1,2,3a =，(),1,b m n =-，若a b ∥，则m n +=( )A ．2-B ．1-C ．1D ．22．若异面直线12,l l 的方向向量分别是(0,2,1),(2,0,4)a b =--=，则异面直线1l 与2l 的夹角的余弦值等于( )A ．25B ．25-C ．D 3．设向量,,a b c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是( )A ．{},,a b b c c a +++B ．{},,a b b c c a ---C ．{},,a b c a b c +++D ．{},,3a b c a b c a b c -++--+4．已知直线l 的方程为sin 10,x R αα-=∈，则直线l 的倾斜角范围是( )A ．20,,33πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,,66πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭5．在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OB 上，且3OM MB =，N 为AC 的中点，则NM =( )A ．131242a b c -+- B ．121232a b c -++ C ．131242a b c ++ D ．121232a b c -+ 6．已知()3,1A ，()1,2B ，若直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(,2)(1,)-∞-+∞ D ．(2,1)- 7．直线210ax y --=和直线230y x b -+=平行，则直线y ax b =+和直线31yx 的位置关系是( )A ．重合B ．平行C ．平行或重合D ．相交8．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，13AA =，2AB AC BC ===，则1AA 与平面11AB C 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,AA BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．BC D10．已知直线1:240l kx y k +--=恒过点M ，点N 的坐标为(4,6)，直线2:1l y x =-上有一动点P ，当PM PN +取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．27(,)55--B ．1712(,)55C ．127(,)55D ．23(,)55- 11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N H 分别在棱1,,BB BC BA 上，且满足 134BM BB =，,1122BN BC BH BA ==，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM =++，则3x y z ++=( )A ．105B ．125C ．145D ．165 12．已知正方体ABCD EFGH -棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则下列说法正确的有( )个①存在点P ，使得4AP PM +=；②存在唯一点P ，使得AP PM ⊥；③当AM BP ⊥，此时点P④当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P ABM -的外接球体积为92π. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二.填空题:本大题共5小题，每小题5分，共20分.13．设12,e e 是空间两个不共线的向量，已知12AB e ke =+，1254BC e e =+，122DC e e =--，且,,A B D三点共线，实数k =_________．14．求经过点(5,2)A -且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程为_________． 15．已知向量a ，b 满足(1,1,2a =，2b =，且3a b a b +=-．则a b +在a 上的投影向量的坐标为_________.16．两条异面直线,a b 所成的角为60°，在直线,a b 上分别取点1,A E 和点,A F 使1AA a ⊥，且1AA b ⊥（称1AA 为异面直线,a b 的公垂线）．已知12,3,5A E AF EF ===，则线段1AA 的长为_________．三.解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为1BB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1AD E ；（2）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值18．（本题满分12分）已知ABC △的顶点()1,2A ，AB 边上的中线所在直线的方程为30x y +=，AC边上的高BH 所在直线的方程为2340x y --=．（1）求点,B C 的坐标；（2）求ABC △的面积．19．（本题满分12分）已知在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足51sin()sin()664A A ππ-+=-． （1）求角A 的大小；（2）若ABC △为锐角三角形，1a =，求ABC △周长的取值范围．20．（本题满分12分）已知直线l 过两直线1:20l x y -=，20:25l x y +-=的交点P ，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于,A B 两点．（1）若直线l 与3450x y ++=垂直，求直线l 的方程；（2）当PA PB ⋅取最小值时，求出最小值及直线l 的方程．21．（本题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，侧棱12,2,AA CA D ==是1CC 的中点，试问在1A B上是否存在一点E （不与端点重合），使得点1A 到平面AED ？22．（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN .（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值.。
郑州市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
郑州市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知函数f（x）=31+|x|﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．B．C．（﹣，）D．2．直线在平面外是指（）A．直线与平面没有公共点B．直线与平面相交C．直线与平面平行D．直线与平面最多只有一个公共点3．某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（）A．4320B．2400C．2160D．13204．下列命题中的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题5．连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n），向量=（1，﹣2），则⊥的概率是（）A．B．C．D．6．不等式≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D．（﹣1，2] 7．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅8．已知偶函数f（x）满足当x＞0时，3f（x）﹣2f（）=，则f（﹣2）等于（）A．B．C．D．9． 设0＜a ＜b 且a+b=1，则下列四数中最大的是（ ）A ．a 2+b 2B ．2abC ．aD ．10．函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ）A ．e x+1B ．e x ﹣1C ．e ﹣x+1D ．e ﹣x ﹣111．设数集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．12．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为、、，则（ ）1S 2S 3S A ．B ．C ．D ．123S S S <<123S S S >>213S S S <<213S S S >>二、填空题13．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，且bc=4，则△ABC 的面积为 ．14．调查某公司的四名推销员，其工作年限与年推销金额如表推销员编号1234工作年限x/（年）351014年推销金额y/（万元）23712由表中数据算出线性回归方程为=x+．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年推销金额为 万元．15．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数的单调递减区间为__________.()21ln 2f x x x =-16．若点p （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 17．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为21()sin cos sin 2f x a x x x =-+6x π=()f x （）A ．1B ．±1CD ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．18．已知，，那么.tan()3αβ+=tan(24πα+=tan β=三、解答题19．已知数列{a n}共有2k（k≥2，k∈Z）项，a1=1，前n项和为S n，前n项乘积为T n，且a n+1=（a﹣1）S n+2（n=1，2，…，2k﹣1），其中a=2，数列{b n}满足b n=log2，（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤，求k的值．20．已知数列{a n}的首项为1，前n项和S n满足=+1（n≥2）．（Ⅰ）求S n与数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（n∈N*），求使不等式b1+b2+…+b n＞成立的最小正整数n．21．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．22．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．23．已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，满足4S n=（a n+1）2．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜．24．（本小题满分12分）成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示.（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）郑州市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：函数f（x）=31+|x|﹣为偶函数，当x≥0时，f（x）=31+x﹣∵此时y=31+x为增函数，y=为减函数，∴当x≥0时，f（x）为增函数，则当x≤0时，f（x）为减函数，∵f（x）＞f（2x﹣1），∴|x|＞|2x﹣1|，∴x2＞（2x﹣1）2，解得：x∈，故选：A．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．2．【答案】D【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．故选D．3．【答案】D【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有•=388，第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（﹣）•=932根据分类计数原理，可得388+932=1320种，故选D．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．4．【答案】D【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误，B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误，C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．5．【答案】A【解析】解：因为抛掷一枚骰子有6种结果，设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为（m，n），有36种可能，而使⊥的m，n满足m=2n，这样的点数有（2，1），（4，2），（6，3）共有3种可能；由古典概型公式可得⊥的概率是：；故选：A．【点评】本题考查古典概型，考查用列举法得到满足条件的事件数，是一个基础题．6．【答案】D【解析】解：依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选D【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．7．【答案】B【解析】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B⊊A．故选B．8．【答案】D【解析】解：∵当x＞0时，3f（x）﹣2f（）=…①，∴3f（）﹣2f（x）==…②，①×3+③×2得：5f（x）=，故f（x）=，又∵函数f（x）为偶函数，故f（﹣2）=f（2）=，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据已知求出当x＞0时，函数f（x）的解析式，是解答的关键．9．【答案】A【解析】解：∵0＜a＜b且a+b=1∴∴2b＞1∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a又a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0∴a2+b2＞2ab∴最大的一个数为a2+b2故选A10．【答案】D【解析】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．11．【答案】C【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，∴根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是=．故选：C．12．【答案】A【解析】考点：棱锥的结构特征．二、填空题13．【答案】 ．【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA==．故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．14．【答案】 ．【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8，=（2+3+7+12）=6，代入回归方程，可得a=﹣，所以=x﹣，当x=8时，y=，估计他的年推销金额为万元．故答案为：．【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．0,115．【答案】()【解析】16．【答案】：2x﹣y﹣1=0解：∵P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，∴圆心与点P确定的直线斜率为=﹣，∴弦MN所在直线的斜率为2，则弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．故答案为：2x﹣y﹣1=017．【答案】A【解析】18．【答案】43【解析】试题分析：由得， 1tan tan()241tan πααα++==-1tan 3α=tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=++．134313133-==+⨯考点：两角和与差的正切公式．三、解答题19．【答案】【解析】（本小题满分13分）解：（1）当n=1时，a 2=2a ，则；当2≤n ≤2k ﹣1时，a n+1=（a ﹣1）S n +2，a n =（a ﹣1）S n ﹣1+2，所以a n+1﹣a n =（a ﹣1）a n ，故=a ，即数列{a n }是等比数列，，∴T n =a 1×a 2×…×a n =2n a 1+2+…+（n ﹣1）=，b n ==．…（2）令，则n ≤k+，又n ∈N *，故当n ≤k 时，，当n ≥k+1时，．…|b 1﹣|+|b 2﹣|+…+|b 2k ﹣1﹣|+|b 2k ﹣|=+（）+…+（）…=（k+1+…+b 2k ）﹣（b 1+…+b k ）=[+k]﹣[]=，由，得2k2﹣6k+3≤0，解得，…又k≥2，且k∈N*，所以k=2．…【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为=+1（n≥2），所以是首项为1，公差为1的等差数列，…则=1+（n﹣1）1=n，…从而S n=n2．…当n=1时，a1=S1=1，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．因为a1=1也符合上式，所以a n=2n﹣1．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n===，…所以b1+b2+…+b n===，…由，解得n＞12．…所以使不等式成立的最小正整数为13．…【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想21．【答案】【解析】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，则解得﹣4＜m＜0综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，即恒成立．令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当m＞0时，g（x）是增函数，所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，解得．所以当m=0时，﹣6＜0恒成立．当m＜0时，g（x）是减函数．所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，解得m＜6．所以m＜0．综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．22．【答案】【解析】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=，∴B+C=，则A=；（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，解得：bc=4，则S△ABC=bcsinA=×4×=．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．23．【答案】【解析】（Ⅰ）解：由4S n=（a n+1）2，令n=1，得，即a1=1，又4S n+1=（a n+1+1）2，∴，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0．∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，则{a n}是等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b n==，则b1+b2+…+b n===．24．【答案】【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.。