贪心算法与动态规划
数学建模中的动态规划与贪心算法
在现代数学建模中，动态规划和贪心算法是两种常用的方法。
它们具有重要的理论和实际意义，可以在很多实际问题中得到应用。
动态规划是一种通过将问题分解为子问题，并反复求解子问题来求解整个问题的方法。
它的核心思想是将原问题分解为若干个规模较小的子问题，并将子问题的最优解合并得到原问题的最优解。
动态规划的求解过程通常包括问题的建模、状态的定义、状态转移方程的确定、初始条件的设置和最优解的确定等步骤。
通过动态规划方法，可以大大减少问题的求解时间，提高求解效率。
举个例子，假设我们有一组物品，每个物品有重量和价值两个属性。
我们希望从中选出一些物品放入背包中，使得在背包容量限定的条件下，背包中的物品的总价值最大化。
这个问题可以使用动态规划来解决。
首先，我们定义一个状态变量，表示当前的背包容量和可选择的物品。
然后，我们根据背包容量和可选择的物品进行状态转移，将问题分解为子问题，求解子问题的最优解。
最后，根据最优解的状态，确定原问题的最优解。
与动态规划相比，贪心算法更加简单直接。
贪心算法是一种通过每一步的局部最优选择来达到全局最优解的方法。
贪心算法的核心思想是每一步都做出当前看来最好的选择，并在此基础上构造整个问题的最优解。
贪心算法一般包括问题的建模、贪心策略的确定和解的构造等步骤。
尽管贪心算法不能保证在所有情况下得到最优解，但在一些特定情况下，它可以得到最优解。
举个例子，假设我们要找零钱，现有的零钱包括若干2元、5元和10元的硬币。
我们希望找出一种最少的方案来凑出某个金额。
这个问题可以使用贪心算法来解决。
首先，我们确定贪心策略，即每次选择最大面额的硬币。
然后，我们根据贪心策略进行解的构造，直到凑够目标金额。
动态规划和贪心算法在数学建模中的应用广泛，在实际问题中也有很多的成功应用。
例如，动态规划可以用于求解最短路径、最小生成树等问题；贪心算法可以用于求解调度、路径规划等问题。
同时，动态规划和贪心算法也相互补充和影响。
有一些问题既可以使用动态规划求解，也可以使用贪心算法求解。
贪心算法、分治算法、动态规划算法间的比较.doc
题目：贪心算法、分治算法、动态规划算法间的比较贪心算法：贪心算法采用的是逐步构造最优解的方法。
在每个阶段，都在一定的标准下做出一个看上去最优的决策。
决策一旦做出，就不可能再更改。
做出这个局部最优决策所依照的标准称为贪心准则。
分治算法：分治法的思想是将一个难以直接解决大的问题分解成容易求解的子问题，以便各个击破、分而治之。
动态规划：将待求解的问题分解为若干个子问题，按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。
在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。
依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。
二、算法间的关联与不同1、分治算法与动态规划分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：①该问题的规模缩小到一定程度就可以容易地解决。
②该问题可以分为若干个较小规模的相似的问题，即该问题具有最优子结构性质。
③利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。
④该问题所分解出的各个子问题是相互独立的且子问题即之间不包含公共的子问题。
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是分治法应用的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划算法；第四条特征涉及到分治法的效率，如果各个子问题不是独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题。
这类问题虽然可以用分治法解决，但用动态规划算法解决效率更高。
当问题满足第一、二、三条，而不满足第四条时，一般可以用动态规划法解决，可以说，动态规划法的实质是：分治算法思想+解决子问题冗余情况2、贪心算法与动态规划算法多阶段逐步解决问题的策略就是按一定顺序或一定的策略逐步解决问题的方法。
《2024年基于贪心算法的动态规划策略》范文
《基于贪心算法的动态规划策略》篇一一、引言在计算机科学和优化理论中，动态规划和贪心算法是两种重要的策略。
动态规划通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来寻找全局最优解，而贪心算法则采取当前看起来最优的行动，并不考虑未来可能产生的影响。
在实际应用中，将这两种策略结合，即基于贪心算法的动态规划策略，能够有效地处理一些复杂问题，如路径规划、资源分配、图形理论等。
本文旨在深入探讨这种策略的理论基础和应用场景。
二、理论基础2.1 动态规划动态规划是一种在数学、计算机科学和经济学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题的方法。
它的核心思想是将问题分解为若干个子问题，并将子问题的解存储起来，避免重复计算。
2.2 贪心算法贪心算法则是通过采取当前看来最优的选择来达到全局最优解的一种策略。
这种策略在每一步都采取最优解，尽管可能忽略某些更长的长远利益。
然而，对于某些问题，这种策略却能够产生最优解。
基于这两者，我们可以构建基于贪心算法的动态规划策略。
这种策略在处理问题时，首先使用动态规划的思想将问题分解为子问题并存储子问题的解，然后利用贪心算法的思想在每一步选择当前最优的子问题解决方案。
三、基于贪心算法的动态规划策略的应用3.1 路径规划问题在路径规划问题中，我们常常需要找到一条从起点到终点的最短路径或最优路径。
这时，我们可以首先使用动态规划来找到可能的路径组合，然后使用贪心算法在每一步都选择当前看来最优的路径。
3.2 资源分配问题在资源分配问题中，我们需要在有限的资源下实现最优的分配。
例如，如何分配公司的预算以达到最大的效益。
我们可以通过动态规划来找到可能的资源分配方案，然后利用贪心算法的思想在每一步都选择能够带来最大收益的资源分配方案。
四、实践中的挑战与改进方向尽管基于贪心算法的动态规划策略在很多问题上表现出了优秀的性能，但仍然存在一些挑战和改进空间。
首先，如何准确地确定何时使用动态规划和何时使用贪心算法是一个需要深入研究的问题。
动态规划和贪心算法的时间复杂度分析比较两种算法的效率
动态规划和贪心算法的时间复杂度分析比较两种算法的效率动态规划和贪心算法是常见的算法设计思想，它们在解决问题时具有高效性和灵活性。
但是，两者在时间复杂度上有所不同。
本文将对动态规划和贪心算法的时间复杂度进行详细分析，并比较这两种算法的效率。
一、动态规划算法的时间复杂度分析动态规划是一种通过将问题分解成子问题并保存子问题的解来求解的算法。
其时间复杂度主要取决于子问题的数量和每个子问题的求解时间。
1. 子问题数量动态规划算法通常使用一个二维数组来保存子问题的解，数组的大小与原问题规模相关。
假设原问题规模为N，每个子问题的规模为k，则子问题数量为N/k。
因此，子问题数量与原问题规模N的关系为O(N/k)。
2. 每个子问题的求解时间每个子问题的求解时间通常也与子问题的规模相关，假设每个子问题的求解时间为T(k)，则整个动态规划算法的时间复杂度可以表示为O(T(k) * N/k)。
综上所述，动态规划算法的时间复杂度可以表示为O(T(k) * N/k)，其中T(k)表示每个子问题的求解时间。
二、贪心算法的时间复杂度分析贪心算法是一种通过选择当前最优的解来求解问题的算法。
其时间复杂度主要取决于问题的规模和每个选择的求解时间。
1. 问题规模对于贪心算法来说，问题的规模通常是不断缩小的，因此可以假设问题规模为N。
2. 每个选择的求解时间每个选择的求解时间可以假设为O(1)。
贪心算法通常是基于问题的局部最优解进行选择，而不需要计算所有可能的选择。
因此，每个选择的求解时间可以认为是常数级别的。
综上所述，贪心算法的时间复杂度可以表示为O(N)。
三、动态规划和贪心算法的效率比较从时间复杂度的分析结果来看，动态规划算法的时间复杂度为O(T(k) * N/k)，而贪心算法的时间复杂度为O(N)。
可以发现，在问题规模较大时，动态规划算法的时间复杂度更高。
原因在于动态规划算法需要保存所有子问题的解，在解决子问题时需要遍历所有可能的选择，因此时间复杂度较高。
物流配送中的路径优化算法探索
物流配送中的路径优化算法探索随着电商、快递行业等的迅速发展，物流配送成为了现代社会中不可或缺的一环。
如何提高物流配送的效率和准确性，成为了物流行业中亟待解决的问题之一。
路径优化算法的使用在一定程度上可以帮助提高物流配送的效率和降低成本。
本文将探讨物流配送中的路径优化算法，并介绍一些常用的算法方法。
路径优化算法的主要目标是寻找最佳的配送路径，以达到降低运输成本和减少配送时间的目的。
在物流配送中，路径优化算法主要包括两个方面的问题：一是决策配送途径，即选择哪些路线以及每条路线的配送顺序；二是决策配送策略，即如何分配和调度运输资源。
下面将介绍几种常用的路径优化算法。
一、贪心算法贪心算法是一种基于局部最优选择的算法。
在物流配送中，贪心算法可以理解为每次选择离当前位置最近的配送点进行配送，直到完成所有配送任务。
这种算法简单易实现，但可能存在一些问题，比如可能忽略了其他因素，如交通拥堵或需要避开某些禁行区域。
二、遗传算法遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优化算法。
在物流配送中，遗传算法可以通过选择、交叉和变异等操作对配送路径进行优化。
通过不断迭代，遗传算法可以找到较优的配送路径。
该算法可以考虑多种因素，如配送时间窗口限制、车辆最大载重量等，但计算复杂度较高，需要合理设置参数以提高效率。
三、动态规划算法动态规划算法是一种通过将问题分解为子问题并保存子问题的最优解来求解最优解的方法。
在物流配送中，动态规划算法可以通过构建一个状态转移方程来求解最优的配送路径。
该算法适用于有重叠子问题的情况，可以提高计算效率，但需要合理选择状态和状态转移方程以提高算法的准确性。
四、模拟退火算法模拟退火算法是一种基于统计力学的全局优化算法。
在物流配送中，模拟退火算法可以通过接受较差解的概率来避免陷入局部最优解。
该算法通过随机搜索和概率选择的方式，寻找更优的配送路径。
模拟退火算法适用于求解复杂、非凸的问题，但也需要合理设置参数以提高算法的效率。
贪心算法及其局限性
贪心算法及其局限性贪心算法是一种简单而有效的算法，其核心思想是在每一步选择中都采取当前状态下最优决策，从而导致整体最优的结果。
贪心算法被广泛应用于解决很多实际问题，比如图论、优化问题等。
然而，贪心算法并不适用于所有问题。
在实践中，我们发现，贪心算法有很大的局限性，无法解决所有的问题。
本文将探讨贪心算法的原理和其局限性，帮助我们更好地了解和应用贪心算法。
一、什么是贪心算法？贪心算法是一种简单而有效的算法，其核心思想是在每一步选择中都采取当前状态下最优决策，从而导致整体最优的结果。
贪心算法与动态规划算法相似，但又有明显的区别，动态规划算法通常用于求解具有重叠子问题的最优化问题，而贪心算法通常用于具有“最优子结构”性质的问题。
二、贪心算法的局限性尽管贪心算法是一种简单而有效的算法，但它也有很大的局限性，无法解决所有的问题。
我们需要注意以下三个方面：1. 贪心选择性质不成立每一步采用当前状态下的最优解，这是贪心算法的核心思想。
但对于某些问题，这样的选择可能并不是最优的，在这种情况下，贪心选择性质不成立。
例如，对于以下问题：给定一个长度为n的01串，每次可以翻转任意长度的子串（即将0变为1，将1变为0），问最少需要翻转多少次才能使整个01串变为0。
如果我们采用贪心算法，每次将当前位置上的数翻转为0，直到整个01串都变为0。
但事实上，这种方法并不能得到最优解。
例如，对于1011011这个01串，最优的翻转方案是将101变为010，翻转两次即可得到全零的01串。
但是，贪心算法所得到的解是将1011011变为0000000，翻转七次才能得到最优解。
因此，贪心选择性质在这个问题上不成立。
2. 子问题重叠性质不成立贪心算法通常用于具有“最优子结构”性质的问题，即子问题的最优解可以组合成原问题的最优解。
但对于某些问题，贪心算法并不能满足这个性质，因为其子问题之间不存在重叠。
这时候，我们就无法把最优解组合起来得到全局最优解。
贪心算法和动态规划以及分治法的区别？
贪⼼算法和动态规划以及分治法的区别？
贪⼼算法顾名思义就是做出在当前看来是最好的结果，它不从整体上加以考虑，也就是局部最优解。
贪⼼算法从上往下，从顶部⼀步⼀步最优，得到最后的结果，它不能保证全局最优解，与贪⼼策略的选择有关。
动态规划是把问题分解成⼦问题，这些⼦问题可能有重复，可以记录下前⾯⼦问题的结果防⽌重复计算。
动态规划解决⼦问题，前⼀个⼦问题的解对后⼀个⼦问题产⽣⼀定的影响。
在求解⼦问题的过程中保留哪些有可能得到最优的局部解，丢弃其他局部解，直到解决最后⼀个问题时也就是初始问题的解。
动态规划是从下到上，⼀步⼀步找到全局最优解。
（各⼦问题重叠）
分治法（divide-and-conquer）：将原问题划分成n个规模较⼩⽽结构与原问题相似的⼦问题；递归地解决这些⼦问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。
（各⼦问题独⽴）
分治模式在每⼀层递归上都有三个步骤：
分解（Divide）：将原问题分解成⼀系列⼦问题；
解决（conquer）：递归地解各个⼦问题。
若⼦问题⾜够⼩，则直接求解；
合并（Combine）：将⼦问题的结果合并成原问题的解。
例如归并排序。
算法理论计算汇总
算法理论计算汇总一、算法分析：算法分析是评估算法效率的过程。
常见的算法分析方法有时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度描述算法运行时间随输入规模的增长趋势，通常使用大O符号来表示。
空间复杂度描述算法在运行过程中所需的存储空间随输入规模的增长趋势。
二、算法设计：算法设计是解决特定问题或完成特定任务的过程。
常见的算法设计方法有贪心算法、动态规划、分治算法和回溯算法等。
1.贪心算法：贪心算法是一种通过每一步的局部最优选择来实现整体最优解的方法。
它通常不能保证得到全局最优解，但在一些情况下可以得到较好的解决方案。
2.动态规划：动态规划是一种将问题分解成子问题并保存子问题解的方法。
通过将子问题的解保存起来，可以减少重复计算，从而提高算法效率。
3.分治算法：分治算法是将问题分解成相互独立且结构与原问题相同的子问题，并分别求解子问题，然后将子问题的解组合起来得到原问题的解。
分治算法通常使用递归来实现。
4.回溯算法：回溯算法是一种穷举的方法。
它通过逐步构建解决方案，并在构建过程中所有可能的解决方案。
如果当前构建的方案不满足问题的限制条件，回溯算法将退回到之前的状态并尝试其他可能的选择。
三、算法优化：算法优化是通过改进算法的实现方法或设计思路来提高算法性能的过程。
常见的算法优化方法有剪枝、启发式和近似算法等。
1.剪枝：剪枝是在过程中通过排除不可能导致最优解的分支来提高算法效率的方法。
剪枝可以通过限制空间、剔除重复计算和提前终止等方式实现。
2. 启发式：启发式是一种基于启发信息（heuristic information）的方法。
它通过评估当前状态的价值或潜力来选择下一步的操作，从而减少空间。
3.近似算法：近似算法是一种寻找问题近似解的方法。
它可以在合理的时间内找到接近最优解的解决方案，但不能保证得到最优解。
在实际应用中，算法理论计算不仅在计算机科学领域具有重要意义，还在其他领域如运筹学、经济学和生物学等方面得到广泛应用。
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sum = n; while (n / k) { sum += n / k; n = n / k + n % k; }
句进行估算。
FOJ1319 Blocks of Stones
经典的石子归并问题 有 n (1<=n<=100) 堆石子，现要将石子 有次序地合并成一堆 . 规定每次只能选取相 邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆 的石子数，记为该次合并的得分。求最少 的得分。 例如： 3 堆石子 2 5 1 合并方案一 : [2 5 1]->[7 1]->[8] 分数 7+8=15 合并方案二 : [2 5 1]->[2 6]->[8] 分数 6+8=14
Ones
How to improve? For multiply, 1<j*j<i. f[i]=min{f[j]+f[i/j]+f[i%j]} 1<j*j<i O(n1.5) 1<=n<=10000
n1.5=1,000,000 算法时间可以以计算机每秒执行 8,000,000 语
Ones
让 f[i] 表示最少数量的 1 能够表示 i 。 add: f[i]=f[j]+f[i-j] 0<j<i multiply: f[i]=f[j]+f[i/j] 0<j<i, i%j=0 for(i=1;i<=n;i++){ f[i]=i; for(j=1;j<i;j++){ f[i]=min(f[i],f[j]+f[i-j]); if (i%j==0) f[i]=min(f[j]+f[i-j]); } } O(n2) n<=10000
FOJ1319 Blocks of Stones
状态表示： 用 a[i] 表示初始时每堆石子的个数。 用 s[i] 表示初始时从第 1 堆到第 i 堆石子的总 和。 用 f[i][j](i<=j) 表示从第 i 堆合并到第 j 堆的最 小分数。 f[i][j]=min{f[i,k-1]+f[k,j]}+w[i,j]; w[i][j]=sum{a[i]…a[j]}=s[j]-s[i-1]; 这样枚举是 n^3 的。
9 10 11 12 13 14
若被检查的活动 i 的开始时间 Si 小于最近 选择的活动 j 的结束时间 fi ，则不选择活动 i ，否则选择活动 i 加入集合 A 中。 可以证明，如果在可能的事件 a1<a2<… <an 中选取在时间上不重叠的最长序列， 那么一定存在一个包含 a1 （结束最早）的 最长序列。
动态规划源代码
#include<cstdio> const int M=1000+5; int f[M][M],a[M][M]; inline int max(int x,int y){ return x<y?y:x; } int main(){ int i,j,n; while(scanf("%d",&n)==1){ for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) scanf("%d",&a[i][j]); for(j=1;j<=n;j++) f[n][j]=a[n][j]; for(i=n-1;i>=1;i--) for(j=1;j<=i;j++) f[i][j]=a[i][j]+max(f[i+1][j],f[i+1][j+1]); printf("%d\n",f[1][1]); } return 0; }
8 8
9 8
10 11 2 12
10 11 12 13 14
所以做多可以容纳 4 个活动
代码 :
int greedySelector(int *s, int { a[1]=true; int j=1; int count=1; for (int i=2;i<=n;i++) { if (s[i]>=f[j]) { a[i]=true; j=i; count++; } else a[i]=false; } return count; } *f, bool *a)
FOJ1004 Number Triangle
求人从顶端到底部 , 每次只能向左下右下走 , 最 多能取得的值 .
数据规模 : 行数 1<=R<=1000 数塔中数 值 0..100 如图最优解为 [ 7-3-8-7-5 ]=30
状态表示 用 a[i][j] 表示第 i 行第 j 列的值。 用 F(i,j) 表示第 i 行第 j 列走到底部所能取得的最大值。 而 F(1,1) 就是题目所求的答案 。
搜索源代码
#include<cstdio> const int M=1000+5; int a[M][M],n; inline int max(int x,int y){ return x<y?y:x; } int f(int i,int j){ if (i==n) return a[i][j]; else return a[i][j]+max(f(i+1,j),f(i+1,j+1)); } int main(){ int i,j; while(scanf("%d",&n)==1){ for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) scanf("%d",&a[i][j]); printf("%d\n",f(1,1)); } return 0; }
1672Minimum Adjacent Value
• The minimum adjacent value is the minimum
absolute value |a - b| of the two different elements a and b in the array.
If the N elements are all the same, just output the absolute value of the element.
FOJ 1085 Work Reduction
给出初始时的工作量 n ，结束时剩下的工 作量 m ，给出可以完成这些工作量的公司 ，这些公司的收费方式有两种， A 一种是 减少一个单位的的工作量，每减少一单位 工作量花费 a ， B 一种是减少一半单位的 工作量，总的花费为 b ，问，分别由这些 公司完成的最小的费用。
FOJ1320 Ones
给一个整数 n ，要你找一个值为 n 的表达 式，这个表达式只有 1 + * ( ) 够成。并且 1 不能连续，比如 11+1 就不合法。 输入 n,(1<=n<=10000) 输出最少需要多少个 1 才能构成表达式。 样例： n=2=1+1 ans=2 n=10=(1+1)*(1+1+1+1+1) ans=7
若要用贪心算法求解某问题的整体最优解 ，必须首先证明贪心思想在该问题的应用 结果就是最优解！！
1316Tian Ji -- The Horse Racing 1541Exploration 1505Minimum value
动态规划 （ Dynamic Programming ）
贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。 但对于活动安排问题，贪心算法 greedySelector 却总能求得的整体最优解 ，即它最终所确定的相容活动集合 A 的规 模最大。这个结论可以用数学归纳法证明 。
i S[i ] f[i]
1 1 4
2 3 5
3 0 6
4 5 7
5 3 8
6 5 9
7 6
• 动态规划算法的基本要素 • （ 1 ）最优子结构性质 • （ 2 ）重叠子问题性质 • 掌握设计动态规划算法的步骤。 • (1) 找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 • (2) 递归地定义最优值。（写出动态规划方程）； • (3) 以自底向上的方式计算出最优值。 • (4) 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
Nlog(N) 排序 求相邻的两个数的差的绝对值 , O(N) 扫描求出最小值 It is guaranteed that the element in the array will fit within a 32-bit signed integer. |a-b| 超过 32 位整型 64 位整型 Long long
最长公共子序列问题 LCS
最长公共子序列问题也有最优子结构性质，因为我们有如 下定理： 定理 : LCS 的最优子结构性质 设序列 X=<x1, x2, …, xm> 和 Y=<y1, y2, …, yn> 的一个 最长公共子序列 Z=<z1, z2, …, zk> ，则： 若 xm=yn ，则 zk=xm=yn 且 Zk-1 是 Xm-1 和 Yn-1 的最 长公共子序列； 若 xm≠yn 且 zk≠xm ，则 Z 是 Xm-1 和 Y 的最长公共子序 列； 若 xm≠yn 且 zk≠yn ，则 Z 是 X 和 Yn-1 的最长公共子序 列。 其中 Xm-1=<x1, x2, …, xm-1> ， Yn-1=<y1, y2, …, yn-1> ， Zk-1=<z1, z2, …, zk-1> 。