平行线应用问题一例
(完整版)平行线及其判定(证明应用题)
授课教案学员姓名：________________ 学员年级：________________ 授课教师：_________________ 所授科目：_________ 上课时间：______年____月____日（～）；共_____课时（以上信息请老师用正楷字手写）平行线及其判定（证明应用题）一．解答题（共11小题）1．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．2．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠DFC的度数．3．如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM．求证：AM∥BC．4．如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说明你的理由．5．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．6．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，求证：∠1=∠2．7．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．8．已知：如图，AD是△ABC的平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠AFG=∠G．求证：GE∥AD．9．如图，CA⊥AD，垂足为A，∠C=50°，∠BAD=40°，求证：AB∥CD．10．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．11．如图所示，已知直线a、b、c、d、e，且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，则a与c平行吗？为什么？2015年03月05日752444625的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．（2014•槐荫区二模）已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：由∠A=∠F，根据内错角相等，两直线平行，即可求得AC∥DF，即可得∠C=∠FEC，又由∠C=∠D，则可根据同位角相等，两直线平行，证得BD∥CE．解答：证明：∵∠A=∠F，∴AC∥DF，∴∠C=∠FEC，∵∠C=∠D，∴∠D=∠FEC，∴BD∥CE．点评：此题考查了平行线的判定与性质．注意内错角相等，两直线平行与同位角相等，两直线平行．2．（2013•邵阳）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠DFC的度数．考点：平行线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．解答：（1）证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1=∠2=∠DCE，∵∠DCE=90°，∴∠1=45°，∵∠3=45°，∴∠1=∠3，∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行）；（2）∵∠D=30°，∠1=45°，∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．点评：此题主要考查了平行线的判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握内错角相等，两直线平行．3．（2010•江宁区一模）如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM．求证：AM∥BC．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：判别两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．要证明AM∥BC，只要转化为证明∠C=∠DAM即可．解答：证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=∠DAM，∴∠C=∠DAM，∴AM∥BC．点评：本题主要考查了平行线的判定，注意等量代换的应用．4．如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说明你的理由．考点：平行线的判定．专题：探究型．分析：因为DF∥AC，由内错角相等证明∠C=∠FEC，又因为∠C=∠D，则∠D=∠FEC，故CE∥BD．解答：解：CE∥BD．理由：∵DF∥AC（已知），∴∠C=∠FEC（两直线平行，内错角相等），又∵∠C=∠D（已知），∴∠D=∠FEC（等量代换），∴CE∥BD（同位角相等，两直线平行）．点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．5．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．考点：平行线的判定．专题：探究型．分析：设AB与DE相交于H，若判断ED与FB的位置关系，首先要判断∠1和∠EHA的大小；由∠3=∠4可证得BD∥CF（内错角相等，两直线平行），可得到∠5=∠BAF；已知∠5=∠6，等量代换后发现AB∥CD，即∠2=∠EHA，由此可得到∠1=∠EHA，根据同位角相等，两直线平行即可判断出BF、DE的位置关系．解答：解：BF、DE互相平行；理由：如图；∵∠3=∠4，∴BD∥CF，∴∠5=∠BAF，又∵∠5=∠6，∴∠BAF=∠6，∴AB∥CD，∴∠2=∠EHA，又∵∠1=∠2，即∠1=∠EHA，∴BF∥DE．另解：BF、DE互相平行；理由：如图；∵∠3=∠4，∴BD∥CF，∴∠5=∠BAF，∵∠5=∠6，∴∠BAF=∠6，∵△BFA、△DEC的内角和都是180°∴△BFA=∠1+∠BFA+BAF；△DEC=∠2+∠4+∠6∵∠1=∠2；∠BAF=∠6∴∠BFA=∠4，∴BF∥DE．点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．6．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，求证：∠1=∠2．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：先由已知证明AD∥EF，再证明1∠1=∠4，∠2=∠4，等量代换得出∠1=∠2．解答：证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行），∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等），又∵∠3=∠C（已知），∴AC∥DG（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），∴∠1=∠2（等量代换）．点评：此题的关键是理解平行线的性质及判定．①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．④内错角相等，两直线平行．7．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．考点：平行线的判定．专题：推理填空题．分析：由∠A=∠F，根据内错角相等，得两条直线平行，即AC∥DF；根据平行线的性质，得∠C=∠CEF，借助等量代换可以证明∠D=∠CEF，从而根据同位角相等，证明BD∥CE．解答：解：∵∠A=∠F（已知），∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等），∵∠C=∠D（已知），∴∠D=∠CEF（等量代换），∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．点评：此题综合运用了平行线的判定及性质，比较简单．8．已知：如图，AD是△ABC的平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠AFG=∠G．求证：GE∥AD．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：首先根据角平分线的性质可得∠BAC=2∠DAC，再根据三角形外角与内角的关系可得∠G+∠GFA=∠BAC，又∠AFG=∠G．进而得到∠BAC=2∠G，从而得到∠DAC=∠G，即可判定出GE∥AD．解答：证明：∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAC=2∠DAC，∵∠G+∠GFA=∠BAC，∠AFG=∠G．∴∠BAC=2∠G，∴∠DAC=∠G，∴AD∥GE．点评：此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握三角形内角与外角的关系，以及平行线的判定定理．9．如图，CA⊥AD，垂足为A，∠C=50°，∠BAD=40°，求证：AB∥CD．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：利用直角三角形中两锐角互余得出∠D=40°，再利用内错角相等，两直线平行的判定证明即可．解答：证明：∵CA⊥AD，∴∠C+∠D=90°，∴∠C=50°，∴∠D=40°，∵∠BAD=40°，∴∠D=∠BAD，∴AB∥CD．点评：本题主要考查了平行线的判定和直角三角形中两锐角互余，比较简单．10．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．考点：平行线的判定；角平分线的定义．专题：证明题．分析：运用角平分线的定义，结合图形可知∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，又已知∠1+∠2=90°，可得同旁内角∠ABD和∠BDC互补，从而证得AB∥CD．解答：证明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC（已知），∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2（角平分线定义）．∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC=2（∠1+∠2）=180°．∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．点评：灵活运用角平分线的定义和角的和差的关系是解决本题的关键，注意正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角．11．如图所示，已知直线a、b、c、d、e，且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，则a与c平行吗？为什么？考点：平行线的判定；平行公理及推论．专题：探究型．分析：根据内错角相等，两直线平行可知a∥b，由同旁内角互补，两直线平行可知b∥c，根据如果两条直线都与第三条直线平行那么这两条直线平行得出结论．解答：解：平行．理由如下：∵∠1=∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行），∵∠3+∠4=180°，∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行），∴a∥c（平行于同一直线的两直线平行）．点评：本题很简单，考查的是平行线的判定定理和平行公理的推论．内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行那么这两条直线平行．。
平行线应用题
平行线应用题平行线是初中数学中重要的概念之一，它在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将通过几个具体的应用题来展示平行线的应用。
问题一：公路设计某地计划修建一条公路，交通局需要设计一个平行线网，以确保交通畅通和安全。
请你根据以下信息，帮助交通局设计最佳方案。
已知：1. 公路主干道与次干道应该是平行的，主干道的宽度为30米，次干道的宽度为20米。
2. 主干道之间的距离应为200米，次干道之间的距离应为100米。
3. 次干道应每隔200米与主干道相交。
解决方案：基于以上信息，我们可以绘制一个平行线网格来设计公路。
首先，我们可以确定主干道的位置，并将其绘制出来。
然后，在主干道的两侧分别绘制次干道，使它们与主干道平行，并保持宽度为20米。
接着，我们可以绘制主干道之间的连接道路，在每段主干道之间的200米处，绘制一个宽度为20米的道路，作为主干道之间的连接。
最后，我们可以在次干道和主干道的交叉点上标记交叉标志和红绿灯，以确保交通的安全和顺畅。
问题二：家具摆放王先生准备重新布置他的客厅，他希望将沙发和电视摆放在一条直线上，并且与客厅的墙壁平行，以便获得更好的观看效果。
请你帮助王先生确定最佳的摆放位置。
已知：1. 客厅的墙壁长度为6米。
2. 沙发的长度为2.5米，电视的长度为1.2米。
解决方案：根据王先生的要求，我们需要将沙发和电视摆放在一条直线上，并且与墙壁平行。
首先，我们可以在墙壁的中央位置画一条直线，标记为AB。
然后，在该直线的左右两侧分别确定沙发和电视的位置。
我们可以假设电视的中心点为C，沙发的中心点为D。
由于沙发的长度为2.5米，可以将D沿着AB线向左移动1.25米，使得沙发的中心与AB 线上的点重合。
同样地，我们可以将电视的中心点C沿着AB线向右移动0.6米，使得电视的中心与AB线上的点重合。
这样，王先生满足了将沙发和电视摆放在一条直线上，并且与墙壁平行的要求。
通过以上两个具体问题的解决方案，我们可以看到平行线在实际生活中的应用非常广泛。
平行线与平行四边形的实际问题应用
平行线与平行四边形的实际问题应用1. 引言平行线和平行四边形是几何学中基础且重要的概念。
它们不仅具有理论上的意义，还能在实际问题中得到应用。
本文将重点探讨平行线与平行四边形在实际问题中的应用。
2. 建筑设计中的应用平行线在建筑设计中被广泛应用。
举个例子，当我们设计平行线结构的墙壁时，需要确保墙壁的两侧平行，以保证建筑结构的稳定性。
另外，在设计平行线的飘窗时，平行线的应用也非常重要，能够增加建筑物的美观度。
3. 装饰设计中的应用平行四边形在装饰设计中也得到了广泛应用。
比如，在地板砖的拼贴过程中，我们常常使用平行四边形的排列方式，以获得具有美感和节奏感的装饰效果。
此外，在墙壁的壁画设计中，平行四边形的应用也非常常见。
4. 城市规划中的应用在城市规划中，平行线和平行四边形有助于合理规划道路和土地利用。
例如，在设计城市道路时，采用平行线的布局可以提高交通运行效率，减少交通堵塞。
在土地规划中，平行四边形常用于划分不同用途的土地区域，使土地规划更加合理和高效。
5. 电信通信中的应用平行线和平行四边形在电信通信领域也有着广泛应用。
举个例子，平行线在光纤通信中的应用非常重要。
光纤通信中的光纤是通过采用平行线的方式沿着地面或者架空布设，以确保光信号的传输效率。
6. 航空航天中的应用平行线和平行四边形在航空航天领域有着重要的应用。
在航空器的设计中，平行线的运用能够使得机翼和机身更加平稳地飞行。
此外，在火箭发射器的设计中，平行四边形的形状通常用于发动机的布置和排列，以达到最佳的工作效果。
7. 总结平行线和平行四边形在实际问题中有着广泛的应用。
无论是建筑设计、装饰设计还是城市规划、通信技术，都离不开平行线和平行四边形的应用。
通过合理地运用这些几何概念，我们可以实现更加高效、美观和可靠的解决方案。
因此，深入理解和应用平行线和平行四边形的重要性对于我们的工作和生活都具有积极的意义。
如何在实际生活中运用平行线知识——《平行线实际应用教案》
平行线是一种基本的几何概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍平行线的实际应用教案，并分享如何在实际生活中运用平行线知识以及如何解决与平行线相关的实际问题。
一、平行线的定义及性质平行线是指在同一个平面内没有交点的两条直线。
平行线有以下性质：1. 两条平行线的夹角是0度或180度；2. 平行线上的对应角相等，即同旁内角互补、同旁外角相等；3. 与平行线相交的两条直线所成的内角和为180度（内角和定理）。
二、平行线的实际应用教案在学习平行线时，我们除了了解其定义和性质，还需要了解平行线的实际应用。
下面是一份平行线的实际应用教案，包括三个模块：1. 物理实验：研究平行激光在水面上的反射实验目的：通过实验观察平行激光在水面上的反射情况，学习平行线在光学中的应用。
实验步骤：步骤1：将平行光束射向水平放置的平板镜。
步骤2：在平板镜下方放置水盆，在水盆底部加入水，并将平板镜倾斜，使得平行光束射向倾斜后的平板镜。
步骤3：观察平板镜反射的光线和水面反射的光线，探究平行线与光线的关系。
实验结果：实验结果表明，平行光束射入水面后，被折射而变向。
水面的折射作用可以被视为平行线光线与水面的交集。
当光线垂直于水面时，光线无法穿过水面，只会发生全反射现象。
应用分析：通过这个实验了解了平行线在光学中的应用，帮助了学生更好地理解光的折射现象。
2. 生活实践：利用平行线缝制手提包实践目的：通过手工制作手提包，锻炼学生操作能力，同时掌握利用平行线的方法缝制方形物品。
实践步骤：步骤1：选取两块布料，分别用针线对对角线缝制在一起（线要缝得直，不要出现斜线）。
步骤2：调整好位置，再用针线将另一边的布料依次缝在一起，使其与对角线成平行线。
步骤3：根据缝制手提包底部需要的长度，将底部两侧的布料用针线缝在一起。
步骤4：将包口处的布料折边，用缝纫机缝合成一条平行线。
步骤5：将包口处折下的部分翻折，用针线缝合成一个手提装置。
应用分析：通过这个实践能够锻炼学生的动手能力，同时帮助学生了解平行线在日常生活中的应用。
运用平行线性质解决问题
运用平行线性质解决问题平行线性质是几何学中的一个重要概念，它被广泛应用于解决各种问题。
本文将介绍平行线性质的概念以及如何运用它来解决问题。
平行线性质是指平行线与一条割线所夹的对应角是相等的，这个性质由欧几里德提出并在几何学中得到广泛应用。
根据这个性质，我们可以通过已知条件来推导出其他未知的角度或长度。
下面我们将通过几个例子来说明如何使用平行线性质解决问题。
首先，我们考虑一道简单的题目：已知平行线AB和CD，线段AC 与线段BD相交于E点，求证线段AE与线段BC平行。
首先，根据平行线性质，我们知道∠AEC = ∠BDC，又∠CBA = ∠DCB（平行线性质）；因此，∠AEC = ∠BDC = ∠CBA = ∠DCB。
根据等角的定义，我们可以得出结论：线段AE与线段BC平行。
接下来，我们来看一个更为复杂的问题。
已知平行线AB和CD，线段EF与线段AB相交于G点，线段GH与线段CD相交于I点，求证线段EI与线段CD平行。
如下图所示：```A ---------------B\ /\ /\ /\ /\ /\ /\ /G|\| \H -- I```我们先假设线段EI与线段CD不平行，那么它们必然会相交于某一点J。
我们可以根据平行线性质得出：∠IGC = ∠HDC。
再根据三角形内角和定理，我们可以计算出：∠GIC + ∠IGC + ∠HDC = 180°。
由于平行线性质，我们知道∠GIC + ∠IGC = 180°，因此∠HDC = 0°。
这意味着线段HD与线段DC重合，而这是不可能的。
因此，我们可以得出结论：线段EI与线段CD平行。
最后，我们来考虑一个用平行线性质解决长度问题的例子。
已知平行线AB和CD，线段EF与线段AB相交于G点，线段GH与线段CD 相交于I点，已知AB = 5cm，BC = 4cm，求证AC = 9cm。
因为平行线性质，我们知道三角形FAB与三角形GDC是相似的。
平行线的判定例题与讲解
3 平行线的判定1．平行线的判定公理(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．如图，推理符号表示为：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.谈重点同位角相等，两直线平行①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．(2)平行公理的推论：①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c；②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.【例1】工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断．题中∠EGB和∠GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．答案：∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．其依据是同位角相等，两直线平行．2．平行线的判定定理(1)判定定理1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单记为：同旁内角互补，两直线平行．符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD.谈重点同旁内角互补，两直线平行①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．(2)判定定理2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单记为：内错角相等，两直线平行．符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行．解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．答案：内错角相等【例2－2】如图，下列说法中，正确的是()．A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BCB．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CDC．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CDD ．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD错解：A或B或D错解分析：判定直线平行所需要的内错角或同旁内角找不准．条件不能推出结论.正解：C正解思路：∠A与∠D是直线AB和CD被直线AD所截得到的同旁内角．因为∠A＋∠D ＝180°，所以AB∥CD.3．平行线的判断方法平行线的判定方法主要有以下六种：(1)平行线的定义(一般很少用)．(2)同位角相等，两直线平行．(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．析规律如何选择判定两直线平行的方法①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．【例3】如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法．若从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8中的任意一个条件；若从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3＝∠6，∠4＝∠5中的任意一个；若从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°中的一个条件；从其他方面考虑，还可以填∠1＝∠8，∠2＝∠7，∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠4＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠6＝180°中的任意一个条件．答案：答案不唯一，如可填下列之一：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°…4．平行线判定的应用(1)平行线的生活应用数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．(2)平行线在数学中的运用平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．释疑点判定平行的关键判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．【例4－1】如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．解析：要判断AB边与CD边平行，则需满足同旁内角互补的条件．∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°.∴AB∥CD.∴这个零件合格．答案：合格【例4－2】已知：如图在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．分析：根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到∠A＋∠B＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC.解：AD与BC的位置关系是平行．理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴∠A＋∠B＝180°.∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．点评：本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，来判定两直线平行．。
平行线判定定理的应用
平行线判定定理的应用揣敏关于平行线的判定定理，这里逐一举例说明其应用，供同学们学习时参考。
一、同位角相等，两直线平行例1 如图1，∠2=3∠1，且∠1+∠3=90°，试说明AB//CD。
图1分析：观察图形，从标出的3个角可知：∠1与∠3是同位角，若能说明∠1=∠3，则可根据“同位角相等，两直线平行”，说明AB//CD。
由图可知，∠1与∠2互为邻补角，由邻补角定义知∠1+∠2=180°，已知∠2=3∠1，故∠1可求。
又由∠1+∠3=90°，可求∠3。
解：∵∠1+∠2=180°，（邻补角定义）∠2=3∠1（已知）∴∠1+3∠1=180°（等量代换）可得∠1=45°∵∠1+∠3=90°（已知）∴∠3=45°∴∠1=∠3∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）点评：在得出∠1=∠3之后，由∠1+∠2=180°，可得∠2+∠3=180°，再由平行线判定定理“同旁内角互补，两直线平行”完成推理，这是判定AB//CD的第二种方法；还可在算出∠1+∠2=180°后，利用∠1的对顶角等于∠3，再由平行线判定定理“内错角相等，两直线平行”完成推理，这是判定AB//CD的第三种方法。
由此可见，平行线的三个判定定理是可以相互转化的，因而在解题时，要选取简捷的解题途径。
二、内错角相等，两直线平行例2 如图2，已知∠1=∠2，DE平分∠BDC，DE交AB于点E，试说明AB//CD。
图2分析：要判定AB//CD，先要寻找与AB、CD都相交的第三条直线，这里有两条：BD和DE。
其中与已知条件中∠1、∠2都有直接联系的直线是DE。
联系平行线判定定理，可知∠EDC（∠1的内错角）、∠FDG（∠1的同位角）、以及∠EDF（∠1的同旁内角）应是我们关注的对象。
想一想，选择哪个角作为我们解题的突破口比较好呢？解：∵DE平分∠BDC∴∠2=∠EDC∵∠1=∠2∴∠EDC=∠1∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）点评：在推理的时候，要注意说理的顺序，使推理过程严谨、合理、数学推理应做到有序、有据，同时，表述应规范。
平行线及其判定知识点(含例题)
平行线及其判定1．平行线的定义和画法（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做__________，记作a∥b，读作a平行于b．（2）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．（3）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可．（4）平行线的画法一落：把三角尺一边落在已知直线上；二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边；三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四画：沿三角尺过已知点的边画直线．【注意】在作图中必须确保直尺定好位置后不再变动位置；三角尺移动时，要始终保持一边紧靠直尺．2．平行线的基本事实及其推论（1）平行线的基本事实（平行公理）：经过直线__________一点，有且只有__________条直线与这条直线平行．（2）推论：如果两条直线都与第三条直线__________，那么这两条直线也互相平行．3．平行线的判定（1）判定方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角__________，那么这两条直线平行. 简单说成：__________.（2）判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角__________，那么这两条直线平行. 简单说成：__________.（3）判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角__________，那么这两条直线平行. 简单说成：__________.归纳：判定平行线的思路：（1）定：确定已知条件是位置关系还是数量关系；（2）选：若已知条件是位置关系，则用平行公理的推论证明；若已知条件是数量关系，则选用平行线的3个判定方法证明；（3）证：根据所选证明方法写出证明过程．拓展：在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，即a⊥b，a⊥c，则b∥c．K知识参考答案：1．（1）平行线2．（1）外；一（2）平行3．（1）相等；同位角相等，两直线平行（2）相等；内错角相等，两直线平行（3）互补；同旁内角互补，两直线平行一、平行线的基本事实及其推论的应用强调“经过直线外一点”，而非直线上的点；“有且只有”强调直线的存在性和唯一性．【例1】如图，已知A，B，C三点及直线EF，过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是__________．【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【解析】∵AB∥EF，BC∥EF，∴A、B，C三点在同一条直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行），故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．二、平行线的判定方法的综合应用判定两直线平行的一般思路是先看题中存在同位角、内错角、同旁内角中的哪一类角，然后说明同位角或内错角相等，或说明同旁内角互补，从而得出两直线平行．【例2】如图，下列条件不能判定直线a∥b的是A．∠1=∠3 B．∠2=∠4C．∠2=∠3 D．∠2+∠3=180°【答案】C【解析】A、∵∠1=∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；B、∵∠2=∠4，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；C、∠2=∠3与a，b的位置无关，不能判定直线a∥b；D、∵∠2+∠3=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．故选C．【例3】如图，∠EFB=∠GHD=53°，∠IGA=127°，由这些条件，能找到__________对平行线．【答案】2【解析】∵∠GHD=53°，∴∠GHC=127°，∵∠IGA=127°，∴∠GHC=∠IGA，∠IGB=53°，∴AB∥CD，∵∠EFB=53°，∴∠IGB=∠EFB，∴IH∥EF．故答案为：2．【点评】本题考查了平行线的判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．【例4】如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1=50°，∠2=130°，则直线a，b 的位置关系是__________．【答案】a∥b【解析】因为∠2=130°，所以∠3=50°，因为∠1=50°，所以a∥b，故答案为：a∥b．【例5】已知：如图，∠A=∠ADE，∠C=∠E．（1）若∠EDC=3∠C，求∠C的度数；（2）求证：BE∥CD．【解析】（1）∵∠A=∠ADE，∴AC∥DE，∴∠EDC+∠C=180°，又∵∠EDC=3∠C，∴4∠C=180°，即∠C=45°；（2）∵AC∥DE，∴∠E=∠ABE，又∵∠C=∠E，∴∠C=∠ABE，∴BE∥CD．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．三、平行线的判定的实际应用解决几何证明或计算问题时，通常把已知的数量关系标注在图形上，并结合图形中的位置关系及相关的性质确定解法，这种“数形结合”的方法在解决几何问题时具有非常重要的作用．【例6】如图是一块四边形木板和一把曲尺（直角尺），把曲尺一边紧靠木板边缘PQ，画直线AB，与PQ，MN分别交于点A，B；再把曲尺的一边紧靠木板的边缘MN，移动使曲尺另一边过点B画直线，若所画直线与BA重合，则这块木板的对边MN与PQ是平行的，其理论依据是__________．【答案】内错角相等，两条直线平行【解析】∵∠ABM=90°，∠BAQ=90°，∴∠MBA=∠QAB，∴MN∥PQ（内错角相等，两条直线平行），故答案为：内错角相等，两条直线平行．【点评】本题考查了平行线的判定；熟记内错角相等，两直线平行是解决问题的关键．。
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平行线应用问题一例
下面这个问题是在生活中遇到的一个实际问题。
例1 如果在A、B之间有两条彼此不平行的河流，假定每条河的河岸线基本互相平行，要分别在这两条河上建两座与河岸垂直的桥，希望使A村到B村的路程最近，试问桥架在哪里？假定它们的位置如图1所示。
分析：对于这样复杂的一个实际问题，一时无法找到解题思路，我们可以采用简化、退化的方法来探索思路。
首先我们把上面这个问题简比成下面这个较易解决的问题。
例2 在一条河的两侧有两个村落A及B，河的两岸基本上互相平行，现在要在河上架一座和岸边垂直的桥，那么桥架在哪里，才能使从A村到B村的路程最近？两村及河的位置如图2所示。
分析：河的两岸基本上互相平行，可看作河的宽度是一定的。
如何确定建桥的位置呢？我们再退化处理例2这个问题。
把河看作是没有宽度的直线l1，那么我们只要连接A、B，则AB与河l1的交点就是要找的点，为此有下面的解法。
解：如图3，从A处向河岸l2引一条垂线，在这条垂线上取一点C，使AC的长等于河的宽度，连结CB，则CB与l1的交点E就是要找的点，由E点做ED垂直于岸边l2，交l2于点D，DE就是桥所在的位置。
下面我们来证明折线ADEB最短。
证明：设在岸边l2上任取一点G，然后把桥建在GN处，连结AG、GN、NB、AD。
∴AC GN，AC DE，四边形ADEC和叫边形AGNC都是平行四边形。
折线ADEB＝AC＋CB，
折线AGNB＝AC＋CN＋NB，
CN＋NB＞CB。
这就是说把桥架在DE处，就能使A到B的路程最近。
从例2得到启发，例1这个较为复杂的问题。
其解题思路变得很清晰了。
解(例1) 如图4所示，l1与l2，l3与l4分别表示两条河的两岸。
由A点做AC⊥l2，并使AC的长等于河l1l2的宽度，连结CB，交l2于点F，作EF垂直于l1，交l1于E，则FE就是第一座桥所在的位置。
由点F做GF⊥l3，使FG的长等于河l1l4的宽度。
连接GB，交l4于点M，作MN⊥l4交l3于N，则MN就是第二座桥所在的位置。
其证明过程可以仿照例1的证明写出。
例1、例2作为一个系统的问题，是采用简化、退化的方法处理的一个范例。