3.2.2 双曲线(第二课时)(精练)(解析版)
2．（2018·河北张家口.高二月考（文））已知双曲线 的离心率等于 ，直线 与双曲线的左右两支各有一个交点，则 的取值范围是（）
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为2的直线 交双曲线 交于 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】（1）根据待定系数法求双曲线方程，知道 ， ；（2）设直线方程 ，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式 ，求出直线方程.
试题解析：（1）由 ，得 ，又 ，
∴ ，
∴双曲线 的方程为 .
【答案】C
【解析】当直线斜率存在时，设直线L：y=k（x-3），代入双曲线方程化简得（4-9k2）x2+54k2x-81k2-36=0
要使L与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等，
∴4-9k2=0，或△=0（不成立），解得k=±
当直线斜率不存在时，直线为x=3，此时与双曲线也只有一个公共点，
（1）求双曲线的标准方程；
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 双曲线 的离心率等于 ,
,可得
,
双曲线 ,
直线 与双曲线联立可得 ,
直线 与双曲线的左右两支各有一个交点,
, ,
即 的取值范围是 ，故选B.
3．（2020·江西东湖.南昌十中高二月考）若直线 过点 与双曲线 只有一个公共点，则这样的直线有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为斜率为 的直线与双曲线 恒有两个公共点，
所以 ，所以
所以双曲线离心率的取值范围是
故选：B
【题组二直线与双曲线的位置关系】
1．（2019·安徽黄山）已知双曲线 的左焦点为 ，过 的直线 交双曲线左支于 、B两点，则l斜率的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为双曲线 的两条渐近线方程为 ，
当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线 平行时.
直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，
当渐近线 的斜率满足 ，即 时，
直线l与双曲线左、右支均相交，
所以 .
故选:C.
8．（2020·东湖江西师大附中高三月考（理））斜率为 的直线与双曲线 恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】椭圆 的焦点坐标为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线方程为 ，离心率 ，故选：A.
4．（2020·赤峰二中）设双曲线 的左、右两焦点分别为 ，P是双曲线右支上一点，且三角形 为正三角形(O为坐标原点)，则双曲线的离心率是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，三角形 为正三角形，则 ，连接
【解析】（1）因为双曲线方程为 ,所以 ,则 ,
所以 ,渐近线方程为
（2）由（1）,右焦点为 ,则设直线 为 ,
代入双曲线 中,化简可得 ,
所以 , ,
所以
3．（2019·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知双曲线C： 的一条渐近线方程为 ，点 是双曲线的一个顶点.
（1）求双曲线的方程；
（2）经过双曲线的右焦点 作倾斜角为30°的直线l，且与双曲线交于A，B两点求AB的长.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为双曲线C的一条渐近线方程为 ，所以 ，即 .
又点 是双曲线的一个顶点，∴ ，得 ，
∴双曲线的方程为
（2）由（1）知，双曲线 的右焦点为 ，
∴经过双曲线的右焦点 且倾斜角为30°的直线l的方程为 ，
联立直线与双曲线方程 ，消y得 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 .
4．（2020·盘县红果镇育才学校高三月考（文））已知双曲线C的离心率为 ，且过 点，过双曲线C的右焦点 ，做倾斜角为 的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点， 为左焦点.
故这样的直线有3条，
故选C
4．（2020·定远县民族学校高二月考（理））直线 与双曲线 交于不同的两点，则斜率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由双曲线 与直线 联立可 ，因为直线 与双曲线 交于不同的两点，所以 可得 ，斜率 的取值范围是 ，故选C.
【题组三弦长】
1．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））已知双曲线 的实轴长为 ，一个焦点的坐标为 .
A．3B．2C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形．
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ，即 ．
∵ ，
又 ，
在△MF1F2中，由余弦定理可得： ，
即 ，
∴双曲线的离心率e ．
故选D．
3．（2019·甘肃省会宁县第二中学高二期末）已知双曲线 与椭圆 的焦点相同，则该双曲线的离心率为（）
（2）设直线 的方程为 ， ，
由 ，得 ，
∴ ，得 ，
∴弦长 ，解得 ，
∴直线 的方程为 或 .
2．（2019·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））过双曲线 的右焦点F作倾斜角为 的直线 ，交双曲线于A、B两点，
（1）求双曲线的离心率和渐近线；
（2）求|AB|.
【答案】（1） ， （2）|AB=8 |
可得 ，又 ，即 ，所以
故选：B
5．（2020·北京高二期中）已知双曲线 的一条渐近线方程为y＝2x，那么该双曲线的离心率是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于双曲线的渐近线为 ，所以 ，
所以 .
故选：D
6．（2020·广西兴宁）设F是双曲线 的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（）
3.2.2双曲线
【题组一双曲线的离心率】
1．（2020·国）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，直线 ： 与 交于 ， 两点.若 ，则双曲线 的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】联立 解得 ，
不妨设 ， ，
而 ，则 ，
即 ，
即 ，
整理可得 ，
解得 .
故选：A.
2．（2020·四川青羊.树德中学）设 是双曲线C： 的右焦点，O为坐标原点，过 的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若 ，且 ，则双曲线C的离心率为（）
3.2.2 双曲线的简单几何性质(PPT)-2024-2025学年高二数学同步备课 (人教A版201
2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(
2 2
A. 4 －12＝1
2 2
B.12－ 4 ＝1
)
2
C. 3 － 2 ＝1
2
D． 2 － 3
＝1
1
(2)渐近线方程为y＝± 2 x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________.
[解析] (1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1， 3)，所以 ＝ 3，
学习目标
1.根据双曲线的方程研究双曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养．
2．了解离心率对双曲线开阔程度的影响，培养数学运算的核心素养．
3. 根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养．
重点、难点
重点：运用双曲线的方程获得几何性质
难点：双曲线的渐近线及离心率的意义
2
故所求双曲线的标准方程为 4 －y2＝1；
2 2
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为64－16＝λ(λ>0)，
1
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－4<0(舍去)．
2
综上可知，所求双曲线的标准方程为 4 －y2＝1.
（三）典型例题
2.双曲线的离心率与渐近线
2
(1)已知双曲线2
例2.
[提示] 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．
2．只根据渐近线方程能确定双曲线方程吗？
[提示] 不能．因为不能根据渐近线方程的斜率确定焦点位置，而渐近线方程中斜率只是比值．
3．椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？
[提示] 双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大．
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件3.2.2双曲线的简单几何性质
5
由题意知 2b=12, = 4且 c2=a2+b2,
2
=1
2
2
或 2
2
− 2 =1(a>0,b>0).
∴b=6,c=10,a=8.
2
∴双曲线的标准方程为64
−
2
=1
36
2
或64
2
− 36 =1.
2
(2)设所求双曲线的方程为 4
∵点
4
M(3,-2)在双曲线上,∴4
2
∴双曲线的标准方程为 6
又4|PF1|·|PF2|=9ab,所以9b2-4a2=9ab,
即(3b-4a)(3b+a)=0,解得3b=4a(3b=-a舍去),
则双曲线的离心率为
e=
=
1+
2
=
5
.
3
5
3
.
规律方法 求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法:若已知 a,c
可直接利用 e= 求解,若已知
a,b,可利用 e= 1 +
−
2
=λ(λ>0),将点(2,0)的坐
16
探究点三 双曲线的离心率的求法
角度1求离心率的值
【例3】(1)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该
双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率e=
解析 当焦点在 x
当焦点在 y
-0
轴时,由题意可得0-
-0
轴时,由题意可得0-
−
−
2
=λ(λ≠0).
3
9
− 3=λ,即
2
=1.
8
λ=-2.
3.2.2双曲线的简单几何性质(第2课时)课件(人教版)
双曲线的简单几何性质
练习：设双曲线 C 的中心为点 O，若有且只有一对相交于点 O，所成角为 60°
的直线 A1B1 和 A2B2，满足|A1B1|＝|A2B2|，其中 A1，B1 和 A2，B2 分别是这对直 线与双曲线 C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
2 3，2 A. 3
2 3，＋∞ C. 3
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，则ac|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝c2－a2a. 又由双曲线的性质知|PF2|>c－a，则c2－a2a>c－a，即 c2－2ac－a2<0， ∴e2－2e－1<0，解得－ 2＋1<e< 2＋1.又 e∈(1，＋∞)， ∴e∈(1， 2＋1)．
线方程为 y=±43x,则下列结论正确的是 ( )
2
2
A.C 的方程为
9
−
16=1
B.C 的离心率为5
4
C.焦点到渐近线的距离为 3
D.|PF|的最小值为 2
双曲线的简单几何性质
解析:双曲线 C 的一个焦点 F(5,0),且渐近线方程为 y=±43x,可得 c=5,
焦点坐标在 x 轴上,
所以 = 43,因为 c=5,所以 b=4,a=3,
y＝±bx a
e＝c>1 a
y＝±ax b
复习导入
等轴双曲线
定义 方程 形式
性质
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 x2－y2＝λ(λ≠0)，λ>0 时，焦点在 x 轴上；λ<0 时，焦点在 y 轴上 ①离心率：e＝ 2 ②渐近线方程：y＝±x
02双曲线的简单的几何性质 渐近线
PART
ONE
3.2.2 双曲线的简单几何性质(第2课时)直线与双曲线的位置关系
第12页
探究1
解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量， 转化成关于 x 或 y 的一元二次方程.再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线 的位置关系.这时首先要看二次项的系数是否等于 0.当二次项系数等于 0 时， 就转化成 x 或 y 的一元一次方程，只有一个解.这时直线与双曲线相交且只有 一个交点.当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位 置关系.
∴|MN|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 1＋k2·
＝6（|3k－2＋k21|）＝4.解得 k＝± 515.
∴直线 l 的方程为 y＝± 515(x－2).
－ 3－4kk222＋4（43－k2＋k23）
第15页
题型二 弦长问题
例 2 (1)求直线 y＝x＋1 被双曲线 x2－y42＝1 截得的弦长. 【解析】 由x2－y42＝1，得 4x2－(x＋1)2－4＝0.
y＝x＋1，
即 3x2－2x－5＝0.①
设方程①的解为 x1，x2， ∴x1＋x2＝32，x1x2＝－53.
∴弦长 d＝ 2|x1－x2|＝ 2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 2×
第7页
知识点二 直线与双曲线相交所得弦长的两种求法 方法一：利用距离公式. 求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长. 方法二：利用弦长公式. 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 1＋k12·|y1－y2| ＝ 1＋k12· （y1＋y2）2－4y1y2.
第5页
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
3.2.2双曲线的简单几何性质10题型分类(讲+练)(学生版24-25学年高二必修一数学同步知识题型
3.2.2双曲线的简单几何性质10题型分类一、双曲线的性质x≥a或x≤－aa ，b ，c 间的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)二、等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y ＝±x ，三、直线与双曲线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba 时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba 时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．四、弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝（一）双曲线的标准方程与几何性质1．由双曲线的方程研究几何性质(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的几何性质．2．由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．（二）求双曲线的渐近线与离心率双曲线的渐近线、离心率：双曲线的方程x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)a,b,c 的关系c 2＝a 2＋b 2离心率e ＝c a ∈(1，＋∞)性质渐近线y ＝±b a xy ＝±a bx求双曲线离心率的方法(1)直接法：若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca得解．(2)解方程法：若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．3-5．（2024·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .3-6．（2024高二下·江西赣州·阶段练习）如图所示，点12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足121,BF BF BF ^与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的渐近线斜率为（ ）A ．±3B ．23±C ．13±D ．15±（三）直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba 时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．（四）双曲线的中点弦与点差法1、双曲线的中点弦结论：若直线l(不平行于y轴)过双曲线上x2a2－y2b2＝1(a>b>0)两点A、B，其中AB中点为)(yxP，，则有k=b2x0a2y0.2、根与系数关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.3．点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．（五）双曲线的综合问题双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况.另外，设而不求、韦达定理、消参也是常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.8-2．（2024高二上·全国·期中）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过点()3,2A -，且离心率5e =(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果B ，C 为双曲线上的动点，直线AB 与直线AC 的斜率互为相反数，证明直线BC 的斜率为定值，并求出该定值.8-3．（2024高三上·浙江绍兴·期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.8-4．（2024高二下·全国·开学考试）已知O 为坐标原点，双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，A ，B 分别是线段1PF ，2PF 的中点，且2ABa=，3OA OB -=．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点()3,0M -，()3,0N ，当P 与M ，N 不重合时，设直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值．离是680m ，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上)A ．西偏北45°方向，距离3403mB ．东偏南45°方向，距离3403mC ．西偏北45°方向，距离1703mD ．东偏南45°方向，距离1703m10-3．（2024高二·全国·课后作业）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点2F 发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点1F ．已知双曲线的方程为221x y -=，则当入射光线2F P 和反射光线PE 互相垂直时（其中P 为入射点），12F F P Ð的大小为（ ）A ．12pB ．6pC ．3pD ．512p10-4．（2024高三上·河南·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线22116y x m-=的图象的一部分，当拱顶M 到水面的距离为4米时，水面宽AB 为43米，则当水面宽度为46米时，拱顶M 到水面的距离为（ ）A ．4米B ．()824-米C ．()264-米D ．()474-米一、单选题1．（2024高三下·江西·阶段练习）已知双曲线()22:102x y C a a a -=>，下列结论正确的是（ ）A ．CB ．C 的渐近线方程为12y x=±C ．CD ．C 的一个焦点的坐标为)2．（2024高二上·全国·课后作业）已知中心在原点，焦点在y ，则它的渐近线方程为（ ）A ．2y x=±B ．y =C ．12y x=±D ．y =3．（2024高二下·山东济宁·阶段练习）双曲线22916144x y -=的焦点坐标为（ ）A ．(B ．(0,C ．(5,0),(5,0)-D ．(0,5),(0,5)-4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，O 为原点，,A B 分别为该双曲线的左，右顶点12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点P 在双曲线的渐近线上，OP 为2APF Ð的平分线，且线段OP 的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．5．（2024高二下·河南·阶段练习）已知双曲线222x y -=，点12,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若1260F PF Ð=°，则三角形12F PF 的面积为（ ）A ．2B ．CD ．6．（2024·安徽六安·模拟预测）已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线y kx =与双曲线C 交于A ，B 两点，若12AB F F =，则1ABF V 的面积等于（ ）A ．18B ．10C ．9D ．6二、多选题7．（2024高二上·山西太原·期末）直线:(2)l y k x =-与双曲线22:2C x y -=的左、右两支各有一个交点，则k 的可能取值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．12三、填空题8．（2024高二上·全国·课后作业）直线4y x =-+与双曲线221169y x-=上支的交点个数为 ．9．（2024高二上·广西北海·期末）若直线l 过点(1,2)-，且与双曲线2299x y -=有且只有一个公共点，则满足条件的直线有条．10．（2024高二下·上海徐汇·期中）已知直线:2l y tx =+和双曲线22:8C x y -=，若l 与C 的右支交于不同的两点，则t 的取值范围是 ．11．（2024高二下·安徽六安·开学考试）已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点，若A ，B 两点在双曲线的左支上，则实数a 的取值范围是．12．（2024·北京平谷·一模）已知双曲线2213x y m +=的离心率为2，则实数m =．13．（2024高二下·福建泉州·期末）已知直线y x =是双曲线2222:1x yC a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线，则C 的离心率为 .14．（2024高二上·全国·课后作业）过双曲线22136x y -=的右焦点作倾斜角为30°的直线l ，直线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，则AB 的长为 ．15．（2024高二下·四川南充·阶段练习）经过点()2,1A -且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为16．（2024高二·全国·课后作业）双曲线22916144x y -=的一条弦的中点为()8,3A ，则此弦所在的直线方程为 .17．（2024高二上·河南平顶山·期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其中2F 与抛物线28y x =的焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若122PF PF -=，且1260F PF Ð=°，则12F PF V 的面积为.18．（2024·河南新乡·模拟预测）已知双曲线C ：22212x y b -=（0b >）的离心率为3，焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上.若12PF F V 的周长为，则12PF F V 的面积是 .19．（2024高二下·湖北宜昌·阶段练习）已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左，右焦点，经过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且A 在第三象限，四边形12F AF B 为平行四边形，a 为直线1BF 的倾斜角，若,43p p a æöÎç÷èø，则该双曲线离心率的取值范围是 .20．（2024·安徽合肥·模拟预测）设点F 为双曲线22:113x y C m m-=+-的左焦点，经过原点O 且斜率k ³直线与双曲线C 交于A ､B 两点，AF 的中点为P ，BF 的中点为Q .若OP OQ ^，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 .21．（2024高二下·福建福州·期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线的左顶点为A ，以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，其中点Q 在y 轴右侧，若3AQ AP ³，则该双曲线的离心率的取值范围是 .四、解答题22．（2024高二下·四川资阳·期末）解答下列两个小题：（1）双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>(在双曲线E 上，求E 的方程；（2）双曲线C 实轴长为2，且双曲线C 与椭圆22184x y +=的焦点相同，求双曲线C 的标准方程．23．（2024·湖南·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的其中一个焦点为)，一条渐近线方程为20x y -=（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知倾斜角为34p的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程.24．（2024高二下·四川资阳·期末）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求C 的方程；(2)经过点()1,4M 的直线l 交C 于,A B 两点，且M 为线段AB 的中点，求l 的方程.25．（2024高二·全国·课后作业）过双曲线2213y x -=的左焦点F ，作倾斜角为6p 的直线l .(1)求证：l 与双曲线有两个不同的交点,A B ；(2)求线段AB 的中点M 的坐标和AB .26．（2024高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的焦点为1(3,0)F -，2(3,0)F ，且该双曲线过点(2,P -．(1)求双曲线的标准方程；(2)过左焦点1F 作斜率为的弦AB ，求AB 的长；(3)在（2）的基础上，求2F AB V 的周长．27．（2024高二上·甘肃庆阳·期末）在①C 的渐近线方程为y x =± ②C 这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答．已知双曲线C 的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点(2,P 在C 上，且______．(1)求C 的标准方程；(2)已知C 的右焦点为F ，直线PF 与C 交于另一点Q ，不与直线PF 重合且过F 的动直线l 与C 交于M ，N 两点，直线PM 和QN 交于点A ，证明：A 在定直线上．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．28．（2024·湖北·二模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>()1,0E 的直线l 与C 左右两支分别交于M ，N 两个不同的点（异于顶点）．(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积（O 为坐标原点）；(2)若A ，B 为双曲线的左右顶点，且AB 4=，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由29．（2024高二上·重庆北碚·阶段练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为2y x =，一个焦点到该渐近线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)是否存在直线l ，经过点()1,4M 且与双曲线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若存在，求l 的方程：若不存在，说明理由．30．（2024高二下·江西萍乡·阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，且C 的一条渐近线经过点D .(1)求C 的标准方程；(2)是否存在过点(2,1)P 的直线l 与C 交于不同的A ，B 两点，且线段AB 的中点为P .若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.31．（2024·浙江·二模）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点，A 是C 上一点，线段2AF 与C 交于B 点.(1)证明：2AB BF ³；(2)若1ABF V 的面积为8，求直线AB 的斜率.32．（2024高二下·上海宝山·期中）已知双曲线22:1C x y -=，及直线:1l y kx =-.(1)若l 与C 有且只有一个公共点，求实数k 的值；(2)若l 与C 的左右两支分别交于A 、B 两点，且OAB △k 的值.33．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>经过点()2,3M ，它的左焦点为1F ，且1F (1)求C 的方程；(2)过点M 的直线l 交C 左支于一点N ，且l 的斜率是12，求MN 长．。
3.2.2. 双曲线(习题课)[教师备用]
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题型二 双曲线的几何性质
例 2 (1)(2017·课标全国Ⅲ，理)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一
条渐近线方程为 y＝ 25x，且与椭圆1x22 ＋y32＝1 有公共焦点，则 C 的方程为(
)
A.x82－1y02 ＝1
√B.x42－y52＝1
C.x52－y42＝1
【解析】 圆 C1：(x＋4)2＋y2＝4 的圆心为(－4，0)，半径为 r1＝2；圆 C2： (x－4)2＋y2＝1 的圆心为(4，0)，半径为 r2＝1.设双曲线 x2－1y52 ＝1 的左、右焦点分 别为 F1(－4，0)，F2(4，0)，连接 PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2－|PN|2＝|PF1|2 － r12 － (|PF2|2 － r22) ＝ |PF1|2 － 4 － (|PF2|2 － 1) ＝ |PF1|2 － |PF2|2 － 3 ＝ (|PF1| － |PF2|)·(|PF1|＋|PF2|)－3＝2a(|PF1|＋|PF2|)－3≥2a·2c－3＝2×1×2×4－3＝13，当 且仅当 P 为双曲线的右顶点时，取得等号，即|PM|2－|PN|2 的最小值为 13，此时 P 点的坐标为(1，0).
【解析】 ∵圆的半径 r＝ a2＋b2＝c，∴圆过双曲线 C1 的焦点，即 F1F2 为 圆的直径.∴∠F1PF2＝90°.
∵2∠PF1F2＝∠PF2F1，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°. 在 Rt△F1PF2 中，|F1F2|＝2c， 故|PF1|＝ 3c，|PF2|＝c.∴|PF1|－|PF2|＝ 3c－c＝2a.∴e＝ac＝ 32－1＝ 3＋1.
有一条直线 l 经过 P(－2，0)及线段 AB 的中点 Q.求直线 PQ 的斜率的取值范围.
2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练专题3-2 双曲线(解析版)
专题3.2 双曲线知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.知识点诠释：1． 双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2． 若去掉定义中的“绝对值”，常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=<（0a >），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若21122PF PF a F F -=<（0a >），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支；3． 若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -==，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=>，则动点轨迹不存在； 5．若常数0a =，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程6．当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程：22221x y a b -=(0,0)a b >>，其中222c a b =+；7．当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：22221y x a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+椭圆、双曲线的区别和联系：方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax 2+By 2=C可化为221Ax By C C+=，即221x y C C A B+=， 所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线。
当0,0C CA B ><时，双曲线的焦点在x 轴上； 当0,0C CA B<>时，双曲线的焦点在y 轴上。
课时作业1：3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用
第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用1．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2答案 A解析 因为在双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2， 所以若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 符合题意．2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 易知选项B 正确．3．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2与直线y ＝ax (a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．a ＝1B ．0<a <1C ．a >1D ．a ≥1 答案 D解析 等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的渐近线方程为y ＝±x ，若直线y ＝ax (a >0)与等轴双曲线x 2－y 2＝a 2没有公共点，则a ≥1.4．直线l ：y ＝kx 与双曲线C ：x 2－y 2＝2交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－2，2)C ．(－1,1)D ．[－1,1] 答案 C解析 由双曲线C ：x 2－y 2＝2与直线l ：y ＝kx 联立，得(1－k 2)x 2－2＝0.因为直线l ：y ＝kx与双曲线C ：x 2－y 2＝2交于不同的两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，8(1－k 2)>0， 解得－1<k <1，即斜率k 的取值范围是(－1,1)．5．设点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 22＝1(a >0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的面积为26，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x答案 D解析 设F 1(－c ，0)，A (－c ，y 0)，则c 2a 2－y 202＝1， ∴y 202＝c 2a 2－1＝c 2－a 2a 2＝b 2a 2＝2a 2， ∴y 20＝4a 2， ∴|AB |＝2|y 0|＝4a. 又2ABF S ＝26，∴12·2c · |AB |＝12·2c ·4a ＝4c a＝26， ∴c a ＝62， ∴b a ＝c 2a 2－1＝22. ∴该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的左支交于不同的两点，则k 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，153 解析 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，① 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根．所以⎩⎨⎧ Δ＝16k 2＋40(1－k 2)>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2<0，解得1＜k ＜153. 7．直线y ＝x ＋1与双曲线x 22－y 23＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 4 6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22－y 23＝1，得x 2－4x －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝－8， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2×(16＋32)＝4 6.8．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e ＝________.答案 3＋1 解析 以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，则M 在y 轴上，可设|F 1F 2|＝2c ，M 在y 轴正半轴，则M (0，3c )，又F 1(－c ，0)，则边MF 1的中点为⎝⎛⎭⎫－c 2，32c ，代入双曲线方程，可得c 24a 2－3c 24b 2＝1，由于b 2＝c 2－a 2，e ＝c a ，则有e 2－3e 2e 2－1＝4，即有e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，由于e >1，即有e ＝1＋ 3.9．已知双曲线的方程为x 2－y 22＝1，直线l 过点P (1,1)，斜率为k . 当k 为何值时，直线l 与双曲线有一个公共点？解 设直线l ：y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋(1－k )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋(1－k )，x 2－y 22＝1， 得 (k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.当k 2－2＝0，即k ＝±2时，方程只有一个解；当k 2－2≠0，且Δ＝24－16k ＝0，即k ＝32时，方程只有一个解． 综上所述，当k ＝±2或k ＝32时，直线l 与双曲线只有一个公共点． 10．斜率为2的直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为6，求直线l 的方程． 解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*) 设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．于是|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5⎣⎡⎦⎤3625m 2－4×310(m 2＋2). 因为|AB |＝6，所以365m 2－6(m 2＋2)＝6. 则m 2＝15，m ＝±15.由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±15代入上式，得Δ>0，所以m 的值为±15，故所求l 的方程为y ＝2x ±15.11．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点，则a 的取值范围是____________． 答案 －6<a <6且a ≠±3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. ∵直线与双曲线相交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0⇒－6<a <6且a ≠±3. ∴a 的取值范围是－6<a <6且a ≠±3.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≥2.13．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案 3215解析 双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215， 所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215.所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 14．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左、右顶点为A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为________．答案 ±1解析 由题意知F (c ，0)，A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，其中c ＝a 2＋b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝c ，x 2a 2－y 2b 2＝1， 解得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ， 所以A 1B —→＝⎝⎛⎭⎫c ＋a ，b 2a ，A 2C —→＝⎝⎛⎭⎫c －a ，－b 2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B —→·A 2C —→＝(c ＋a )(c －a )－b 4a2＝0， 解得a ＝b ，所以渐近线的斜率为±1.15．设双曲线x 2－y 22＝1上有两点A ，B ，AB 中点M (1,2)，则直线AB 的方程为________________． 答案 y ＝x ＋1解析 方法一 (用根与系数的关系解决)显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2， 所以k ＝1，满足Δ>0，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．因为x 1≠x 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2， 所以k AB ＝2×1×22×2＝1，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.16．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)．(1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长；(2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ， 得3x 2＋2x －2＝0.设两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×289＝2143.(2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∴e >62且e ≠ 2. 即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)．。
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(可编辑图片版)
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±
n m
x的双曲线方程可设为
x2 m2
－
y2 n2
＝λ(λ≠0，
m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的
方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)与双曲线
x2 a2
－ by22
＝1或
y2 a2
－
x2 b2
长：____b____
离心率
e＝ac∈_(_1_，__＋__∞_ )
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
【方法技巧】(1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭
圆则是封闭曲线．
(2)当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无
限延展的．
(3)双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可
因为 e＝32，所以λ2－5－16λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准 方程为x2－y2＝1.
45 答案：x2－y2＝1
45
【方法技巧】
由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 1．由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系 数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注 意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2－ny2＝ 1(mn>0)．
3．过点(2,0)，与双曲线
y2 64
－
x2 16
＝1离心率相等的双曲线方程
为________．
解析：当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为
x2 64
－
y2 16
＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝
高中数学选择性必修一3 2 双曲线(解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典3.2双曲线 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共22小题，8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1．已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =-的垂线段分别为,PA PB ，若三角形PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ） A ．(2,0) B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =±之间并且包括x 轴在内的区域，再根据三角形PAB 的面积为3316，即可求得点P 轨迹的一个焦点坐标. 【详解】 如图所示，则120AOB ∠=︒，60APB ∠=︒.不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =之间并且包括x 轴在内的区域． ∴223334x y x y x y PA PB -+-==∵ 三角形PAB的面积为16∴)2213sin 603216PABS PA PB x y ∆==-=，即P 点轨迹方程为22113x y -=. ∴焦点坐标为()2,0. 故选：A. 【点睛】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2．已知()5,0F -是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过F 作一条渐近线的垂线与右支交于点P ，垂足为A ，且3PA AF =，则双曲线方程为（ ）A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线距离公式结合已知可得3PA b =，由双曲线的定义可得142PF b a =-，由余弦定理可得34b a =，从而可得结果. 【详解】设双曲线右焦点为1F ，连接1PF ，左焦点(),0F c -到渐近线by x a =-b =， 故3PA b =，4PF b = 在FAO 中，cos bAFO c∠=，由双曲线定义得142PF b a =-， 在1PFF 中，由余弦定理得()()()()()2224242242b b a b c b c c-=+-⨯⨯⨯， 整理得()2222161644b ab c ab -=-=，即34b a =，又2225a b +=，解得29a =，216b =，双曲线方程为221916x y -=.故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程、定义与几何性质，解题时注意余弦定理与点到直线距离公式的应用，属于中档题.3．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，22ON NF b -=，260ONF ∠=，12F MF △的面积为23，则该双曲线的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．22184x y -=C ．22182y x -=D ．2214x y -=【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用双曲线的定义可得2a b =，利用余弦定理和三角形的面积公式可求得12F MF △的面积为2323b =，可求得b 的值，进而可求得a 的值，由此可得出双曲线的方程. 【详解】 如下图所示：O 为12F F 的中点，N 为2MF 的中点，则()12224MF MF ON NF b -=-=，即24a b =，可得2a b =，且有1//ON MF ，则1260F MF ∠=， 在12F MF △中，由余弦定理得()222222121212121222cos60c F F MF MF MF MF MF MF MF MF ==+-⋅=+-⋅()221212124MF MF MF MF a MF MF =-+⋅=+⋅，22212444MF MF c a b ∴⋅=-=，则12F MF △的面积为122121sin 6032F MF SMF MF b =⋅==△b =a ∴=因此，该双曲线的标准方程为22182y x -=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，考查了双曲线焦点三角形面积的计算，考查了余弦定理以及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.4．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，，称为黄金分割数. 已知双曲线()22211x y m-=的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m 的值为（ ） A．2 B1 C ．2 D ．【答案】A 【解析】【分析】先求出双曲线的焦距，然后根据实轴长与焦距的比值为黄金分割数得到关于m 的方程，解方程可得所求． 【详解】由题意得，在双曲线中2221),a b m ==， ∴22221)c a b m =+=+．，∴22a a c c ==，∴222a c ==232=，解得1)m =． 故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的基本性质，解题的关键是根据题意得到关于参数m 的方程，考查对新概念的理解、运用和计算能力，属于中档题．5．方程221,()22x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充分不必要条件是（ ）A ． 2k >或2k <-B ．1k >C ．3k >D ． 1k >或1k <- 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，方程22122x y k k -=-+表示双曲线，可得(2)(2)0k k -+>，解得k 的范围，根据充分必要条件判断得出结论即可． 【详解】解：方程22122x y k k -=-+表示双曲线，可得(2)(2)0k k -+>，解得2k >或2k <-； 记集合{|2A k k =<-或2}k >；所以方程22122x y k k -=-+表示双曲线的充分不必要条件为集合A 的真子集， 由于{|3}k k A >，故选：C ． 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =像上的点，则|OP |=（ ） A．2B．5CD【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =即可求出点P 的坐标，得到OP 的值． 【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103yx x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若260AF B ∠=︒，则2AF B 的内切圆半径为（ ） ABC ．23D ．2【答案】A 【解析】 【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值．【详解】设内切圆的圆心为(,)M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ， 如图所示：连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =， 所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=，所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=， 所以可得Q ，1F 重合， 所以224TF a ==， 所以2243tan 23AF B r MT TF ∠===. 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的定义及内切圆的性质.属于中档题．8．已知两圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．2218y x -=B ．2218x y -=C ．()22118y x x -=≥ D ．2218y x -=(x ≤－1)【答案】D 【解析】【分析】设动圆圆心M 坐标为（x ，y ），半径为r ，由题意可得|MC 2|﹣|MC 1|＝2＜|C 1C 2|，可得点M 的轨迹是以C 1、C 2 为焦点的双曲线的左支．根据2a ＝2，c ＝3，求得b 值，即可得点M 的轨迹方程． 【详解】设动圆圆心M 的坐标为（x ，y ），半径为r ，由动圆M 与圆C 1和圆C 2均外切可得|MC 1|＝r +1，|MC 2|＝r +3， 相减可得|MC 2|﹣|MC 1|＝2＜|C 1C 2|，故点M 的轨迹是以C 1、C 2 为焦点的双曲线的左支．由题意可得 2a ＝2，c ＝3，∴b =，故点M 的轨迹方程为 x 2﹣28y ＝1（x ≤﹣1），故选：D. 【点睛】本题主要考查两圆相外切的性质，考查双曲线的定义、性质和标准方程，属于基础题．二、多选题9．已知双曲线C 的方程是：22221x y a b-=（0a >，0b >），则下列说法正确的是（ ）A ．当a b =B ．过双曲线C 右焦点F 的直线与双曲线只有一个交点的直线有且只有2条；C ．过双曲线C 右焦点F 的直线与双曲线右支交于M ，N 两点，则此时线段MN 长度有最小值；D ．双曲线C 与双曲线：22221x y a b-=-（0a >，0b >）渐近线相同.【答案】ABCD 【解析】 【分析】由双曲线的性质分别判断． 【详解】A ．a b =时，c ==，ce a==A 正确； B ．过双曲线的右焦点的直线，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点，这样的直线有两条，当直线与渐近线不平行时，它与双曲线有两个交点，一种是两个交点分在左右两支上，一种是两个交点都在右支上．B 正确；C ．过双曲线C 右焦点F 的直线与双曲线右支交于M ，N 两点，当MN 是通径（即MN x ⊥轴）时，MN 的长度最小，C 正确．简略证明如下：如图所示，设双曲线方程为22221x y a b-=，(c,0)F ，AF e AM =，AF AM e =，又∵2a AM c FH c =-+2cos b AF cθ=+，∴2cos AF b AF e c θ=+，21cos e b AF e cθ=⋅-，同理：BF e BN =，BF BN e =，又∵22cos a b BN c EF BF c cθ=--=-， ∴2cos BF b BF e c θ=-，21cos e b BF e cθ=⋅+，∴2222112()1cos 1cos 1cos eb eb AB AF BF c e e c e θθθ=+=+=⋅-+-， 易知当cos 0θ=时，222min222eb b c b AB c c a a==⋅=．D ．双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是b y x a =±，双曲线22221x y a b -=-的标准方程是22221y x b a -=，渐近线方程是by x a=±，渐近线相同，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】本题考查双曲线的性质，掌握双曲线的标准方程与几何性质是解题关键．10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个顶点分别是A 1,A 2,左、右两个焦点分别是F 1,F 2,P是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ） A ．122PA PA a -=B ．直线12,PA PA 的斜率之积等于定值22b aC ．使得12PF F ∆为等腰三角形的点P 有且仅有8个D ．12PF F ∆的面积为212tan 2b A PA ∠【答案】BC 【解析】 【分析】结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解. 【详解】在12A PA ∆中，两边之差小于第三边，即12122PA PA A A a -<=，所以A 不是真命题；设点22(,),0,P x y y x a ≠≠，有22221(0,0)x y a b a b -=>>，2222)1(x y b a-=， 直线12,PA PA 的斜率之积1222222222221()PA PA y y y k k x a x a x a x a x b b a a⋅=⋅===+----，所以B 是真命题； 根据双曲线对称性分析：要使12PF F ∆为等腰三角形，则12F F 必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点P 使122,22PA c PA c a ==-，此时12PF F ∆为等腰三角形， 也且仅有一个点P '使212,22P A c P A c a ''==+，此时12P F F '∆为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个， 所以C 是真命题；12120222A PA F PF π∠∠<<<，根据焦点三角形面积的二级结论12212tan 2PF F b F F S P ∆∠=，所以D 不是真命题.故选：BC 【点睛】此题考查双曲线的几何性质和相关计算，对基础知识的掌握和代数式化简运算能力要求较高，解题中若能记住常见的二级结论，可以简化计算.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为20x y -=，双曲线的左焦点在直线0x y ++=上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +的取值可能为（ ） A ．34B ．1C ．43D ．2【答案】CD 【解析】 【分析】计算得到双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，12002k y k x =+， 根据渐近线方程知：00102y x <<，代入计算得到答案. 【详解】根据题意知：12b a =，c =2a =，1b =，双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，则220014x y -=，00x >，00y >，00000201020022242y y x y x x x x k k y =+==+--+，根据渐近线方程知：00102y x <<， 故012012x k k y =>+. 故选：CD. 【点睛】本题考查了双曲线中斜率的计算，确定00102y x <<是解题的关键.12．已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的有（ ）A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F ∆为钝角三角形 D ．123F PF π∠=【答案】BC 【解析】 【分析】利用12PF F ∆的面积可求出点P 的纵坐标，可判断A 选项的正误；将点P 的纵坐标代入双曲线方程求得点P 的横坐标，即可求得12PF PF +的值，可判断B 选项的正误；计算21cos PF F ∠的值，可判断C 选项的正误；计算出12cos F PF ∠，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】因为双曲线22:1169x y C -=，所以5c ==.又因为12112102022PF F P P S c y y ∆=⋅=⋅⋅=，所以4P y =，所以选项A 错误； 将4P y =代入22:1169x y C -=得2241169x -=，即203P x =. 由对称性，不妨取P 的坐标为20,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知2133PF ==. 由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=， 所以12133750333PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F ∆中，12371321033PF c PF =>=>=. 且2222121212125cos 0213PF F F PF PF F PF F F +-∠==-<⋅，则21PF F ∠为钝角，所以12PF F ∆为钝角三角形，选项C 正确；由余弦定理得222121212123191cos 22481PF PF F F F PF PF PF +-∠==≠⋅，123F PF π≠∠，所以选项D 错误.故选：BC. 【点睛】本题考查焦点三角形有关命题的判断，涉及双曲线的定义、余弦定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、填空题13．已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m n Ω-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________. 【答案】512+ 【解析】 【分析】根据正弦定理，可得2PF c =，根据椭圆与双曲线定义可求得a m c =+，结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1，可得220c m mc --=，进而求得双曲线的离心率c e m=． 【详解】 设焦距为2c在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+ 即22a c m c -=+ 所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即1c c a m ⨯= ，即2c a m= 所以2c m c m+=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率 所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --= 由一元二次方程求根公式可求得152e ±= 因为双曲线中1e > 所以152e +=【点睛】本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法，计算量复杂，属于难题．14．如图所示，已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点 为B ，满足90AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的渐近线方程是______.【答案】62y x =± 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过解三角形求出c 、a 的关系，再根据222c a b =+，即可得到b 、a 的关系，从而得到渐近线方程． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足90AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，设左焦点为1F ，连接1AF 、1BF ，由对称性可得1AF BF =、1BF AF =，可得||||2BF AF a -=，所以||AF a =，||3BF a =， 190F BF ∠=︒，所以22211F F BF BF =+，可得22249c a a =+，2225c a =，又222c a b =+，所以2232b a =，所以62b a =，故渐近线为62y x =±故答案为：62y x =±．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．15．已知点F 为双曲线2221(0)y E x b b-=>：的右焦点，M N ，两点在双曲线上，且M N ，关于原点对称，若MF NF ⊥，设MNF θ∠=，且,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线E 的焦距的取值范围是________.【答案】[22,232]+ 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形，故||2MN FF c '==，由双曲线定义'||||||||2NF NF NF FM a -=-=可得12cos 4c πθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求2cos 4y πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域即可.【详解】 如图，设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形， 故||2MN FF c '==.在Rt FM N ∆中||2cos ,||2sin FN c FM c θθ==， 由双曲线的定义可得'22||||||||2cos 2sin 22cos 4a NF NF NF FM c c c πθθθ⎛⎫==-=-=-=+ ⎪⎝⎭124c πθ∴=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 126ππθ≤≤，53412πππθ∴≤+≤312242πθ-⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭ 231 222232c c ≤≤≤≤，.故答案为：2] 【点睛】本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.16．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 与圆22:5O x y +=有公共点()21P -，，且圆O 在点P 处的切线与双曲线C 的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为__________．【解析】 【分析】由()2,1P -得12OP k =-，由题意可知双曲线的渐近线斜率等于2，从而可以设出双曲线的方程()()22x y x y m -⋅+=，代入点()2,1P -得到双曲线的方程，求出实轴长.【详解】由OP 的斜率为12op k =-， 则圆O 在点P 处的切线斜率为2，所以双曲线的一条渐近线方程为20x y -=，所以设双曲线方程为()()()220x y x y m m -⋅+=≠， 因点()2,1P -在双曲线上，所以()()22122115m ⎡⎤⎡⎤=⨯--⋅⨯+-=⎣⎦⎣⎦，所以双曲线方程为22415x y -=，即22411515x y -=，即2154a =，所以实轴长2a =. 【点睛】本小题主要考查双曲线的方程，渐近线方程，圆的切线，斜率等基础知识；考查逻辑思维与推证能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.属于简单题.四、解答题17．直线10L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍. （1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）22133y x -=；（3）()(,(1,0)0,1(13,)-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）由于点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()x ，然后由P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍列方程求出0x ，从而可得点P 的坐标；（2）由10PF TT ⋅=可知1PF TT ⊥，由此可c =P 坐标代入双曲线方程中，解方程组可得2233a b ⎧=⎨=⎩；（3）由||||QM QN =可知线段MN 的中垂线过点Q ，再利用两直线斜率的关系可得结果. 【详解】解：（1）因为点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()P x ， 因为P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍， 所以13PT PT =所以22220000(9))9[(1))]x x -+=-+，化简得，20060x -+=解得0x =所以=所以点P 的坐为；（2）因为10PF TT ⋅=，所以1PF TT ⊥，所以点F 的坐标为0)，即c =因为点P 在双曲线上，所以22631a b -=，由222226316a bc a b ⎧-=⎪⎨⎪=+=⎩，得2233a b ⎧=⎨=⎩， 所以双曲线方程为22133y x -=（3）因为点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ， 所以点Q 的坐标为(0,1)-，设直线为L 为y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由22133y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(1)230k x kmx m ----=，因为直线L 与双曲线交于不同的两点， 所以222(2)4(1)(3)0km k m ∆=----->， 化简得22330m k -+>， 由根与系数的关系得，12221kmx x k+=- 所以12221x x km k +=-，所以线段MN 的中点为22,11km m k k⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 因为||||QM QN =，所以221111mk km k k+-=--，化简得212k m -=， 所以22213302k k ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭，得4214130k k -+>，解得21k <或213k >，又因为0k ≠，所以解得k的取值范围为()(,(1,0)0,1)-∞⋃-⋃⋃+∞ 【点睛】此题考查的是直线与双曲线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于较难题 18．已知双曲线C过点(，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点. （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过原点，点P 是曲线C 上任一点，直线PM ，PN 的斜率都存在，记为PM k 、PN k ，试探究PM PN k k ⋅的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论；（3）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点Q 坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2214x y -=；（2）14PM PN k k ⋅=，PM PN k k ⋅的值与点P 及直线l 无关，证明见解析；（3）存在，23,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭， 3164QM QN ⋅=-，理由见解析【解析】 【分析】（1）根据渐近线设出渐近线方程，将点(代入即可求出双曲线C 的方程.（2）根据直线与双曲线的对称性知道点M 与点N 关于原点对称，设出点M 、N 、P ，将其斜率表示出来，利用点M 、N 在双曲线上，化简即可说明PM PN k k ⋅为定值且直线l 与关.（3）根据题意设出直线与点Q ，联立直线与双曲线，表示出QM QN ⋅，利用QM QN ⋅为定值，即与斜率无关，根据比值即可求出定点Q 与QM QN ⋅的值. 【详解】（1） 因为渐近线方程为12y x =±. 所以可设双曲线为224x y λ-=,将点(代入2244λ-=，解得=1λ所以双曲线C 的方程为2214x y -=（2）直线l 过原点,由双曲线的对称性知道，点M 、N 关于原点对称. 设点(),M m n ，(,)P x y ，则点(),N m n --代入2214x y -=，有2244m n =+，2244x y =+所以PM y n k x m -=-，PN y nk x m+=+. 2222=PM PNy n y n y n k k x m x m x m-+-⋅=⋅-+-将2244m n =+，2244x y =+代入得22221444PM PNy n k k y n -⋅==-. 所以14PM PN k k ⋅=，PM PN k k ⋅的值与点P 及直线l 无关. （3）由题意知直线l 斜率存在，故设直线为()1y k x =- ，点()11,M x y 、()22,N x y 、(),0Q t由()22114x y y k x ⎧⎪⎨-==-⎪⎩，得 ()2222148440k x k x k -+--= ，2140k ->且>0∆ 22121222844=,=4141k k x x x x k k ++-- 又()11,QM x t y =-，()22,QN x t y =-，所以()()()()()()1212121211QM QN x t x t y y x t x t k x k x ⋅=--+=--+--()()()()22221212=1k x x t k x x t k +-++++()()()22222222448=14141k k k t k t k k k ++-+++--()22227844=41t t k t k -++--令227844=41t t t -+--解得238t =，此时3164QM QN ⋅=- 【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线求双曲线的方程,双曲线的性质，双曲线中的定值、定点问题，属于难题.本类题型的一般解法是：设直线-联立方程组-韦达定理-利用坐标表示出所求定值-化简即可得出答案.19．双曲线()22:10,0C ax by a b -=>>的虚轴长为1，两条渐近线方程为y =.（1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 上有两个点D E 、，直线OD 和OE 的斜率之积为1，判别2211OEOD+是否为定值，；（3）经过点(),0P t t ⎛>⎝⎭的直线m 且与双曲线C 有两个交点,M N ，直线m 的倾斜角是2,,,233πππθθ⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭，是否存在直线00:lxx （其中0x <M NPM d d PN =恒成立？（其中,M N d d 分别是点,M N 到0l 的距离）若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）221241x y -=；（2）8；（3）存在且0112x t=【解析】分析：（1）根据题意，双曲线C 的虚轴长为1，两条渐近线方程为3y x =.易求求双曲线C 的方程；（2）设直线OD 的斜率k ，显然3k ≠ 联立221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩得221124D x k =-，求出2OD ，2OE ，可证22118OD OE +=； （3）设直线方程(),3y m x t m =-≠±，联立()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，()()222221248410m x m tx m t -+-+=（*），∵at a>，方程总有两个解， 设()()112212,,,,M x y N x y x t x <<，得到1212,x x x x +，根据M N d d 得101202x x t x x x x t --=--，整理得112x t =，由12 12t >，则011212a x t a =<=符合题目要求，存在直线． 详解：（1）双曲线22:1241C x y -=； （2）设直线OD 的斜率k ，显然33k ≠±，联立221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩得221124D x k =-， ()2222211124Dk OD OD kxk+==+=-， 222221111124124k k OE k k++==--， 22222211124124811k kk k OD OE --+=+=++； （3）设直线方程(),y m x t m =-≠，联立()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，()()222221248410m x m tx m t -+-+=（*），∵t >，方程总有两个解， 设()()112212,,,,M x y N x y x t x <<，()222121222418,124124m t m t x x x x m m -+-+==--， 根据MN PM d d PN =得101202x x t x x x x t --=--，整理得2222222841211241248122124m t m tt m m x m t t t m -+⋅+⨯--==+-，∵12t >，∴0112x t =<=点睛：本题考查双曲线的求法，直线与双曲线的位置关系，属难题. 20．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，虚轴长为2． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1) 2214x y -= (2) 证明见解析，定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）求双曲线标准方程，一般方法为待定系数法，即根据题意列出两个独立条件：5,22,2c b a ==，解方程组得2,1a b ==（2）以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -,等价于0AD BD ⋅=,根据向量数量积得()121212240y y x x x x ++++=，结合直线:l y kx m =+方程得()121212()()240kx m kx m x x x x ++++++=，利用直线方程与双曲线方程联立方程组，消y 得()()222148410kxmkx m ---+=，再利用韦达定理代入等式整理得22316200m mk k -+=，因此2m k =或103k m =.逐一代入得当103km =时,l 的方程为,直线过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 试题解析：（1）设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>, 由已知得522,c b a ==又222+=a b c ,解得2,1a b ==,所以双曲线的标准方程为2214x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ,联立22{14y kx mx y =+-=,得()()222148410kxmkx m ---+=,有()()()22221222122641614108{01441014m k k m mkx x k m x x k ∆=+-+>+=<--+=>-,()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=-,以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -,·1AD BD k k ∴=-,即()()222121212122221241416·1,240,4022141414m y y m k mk y y x x x x x x k k k-+-=-∴++++=∴+++=++---,22316200m mk k ∴-+=,解得2m k =或103km =.当2m k =时,l 的方程为()2y k x =+,直线过定点()2,0-,与已知矛盾；当103km =时,l 的方程为,直线过定点10,03⎛⎫-⎪⎝⎭,经检验符合已知条件, 所以直线l 过定点,定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 考点：双曲线标准方程，直线过定点【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21．设双曲线2221(0)3y x a a -=>的两个焦点分别为12,F F ,离心率为2.（Ⅰ）求此双曲线的渐近线的方程；（Ⅱ）若分别为上的点，且2|AB|=5|F 1F 2|，求线段的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）的轨迹方程为则的轨迹是中心在原点，焦点在轴上长轴长为103，短轴长为1033的椭圆. 【解析】试题分析：由离心率，得出渐近线方程；第二步设而不求，先设出，，的中点，利用已知条件1225AB F F =，得出相应的关系，再根据点分别为上的点，坐标满足直线方程，两式相加得，两式相减得：，把和代入221212()()x x y y -+-=10，另外利用中点坐标公式，求出点的轨迹方程；试题解析：（Ⅰ）由，双曲渐近线方程为;（Ⅱ）设，，的中点∵1225AB F F =∴,∴221212()()x x y y -+-=10，又，两式相加，两式相减：，则，,221212()()x x y y -+-则根据中点坐标公式：，∴2212123[()][3()]3x x y y +++，则的轨迹方程为则的轨迹是中心在原点，焦点在轴上长轴长为103，短轴长为1033的椭圆. 考点：1.双曲线的离心率与渐近线方程；2.求动点轨迹方程；22．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点、、A B C ，且30OA OB OC km ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒（注：信号每秒传播0V 千米）.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O 的距离；（3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？【答案】（1）221(0)400500x y x -=<（2）(P OP -=（3）【解析】 【分析】（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可； （2）AC 垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可. 【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),P x y因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒故00404060PB PA V AB V -=⨯=<= 故点P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)x y x a b-=<由题可知240,260a c ==，解得222500b c a =-=，故点P 的轨迹方程为221(0)400500x y x -=<.（2）因为()()30,0,0,30A C -，设AC 的垂直平分线方程为y kx = 则()3001030k -⨯=---，则AC 的垂直平分线方程为y x =-联立221(0)400500x y x -=<可得2x =x y =-=故观察员遇险地点坐标为(- 与检测中心O=.（3）设轨迹上一点为(),P x y ，则PC ==又因为221400500x y -=，可得2244005x y =+代入可得：PC ==≥=当且仅当503y =时，取得最小值故扫描半径r 至少是. 【点睛】本题考查根据双曲线的定义写出双曲线的方程，以及求双曲线上一点到一个定点距离的最小值，属双曲线方程的综合应用题.。