山西省太原市2018届高三第三次模拟考试理科数学试题+PDF版含答案

太原市2018年高三年级模拟试题(三)理科数学(考拭时间：下午^ : 00--5 : 00》注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

2^全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。

3^回答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

I 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

~、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的丨1.已知集合八^卜1工2 - 3工十2〈 0丨，6 :… 2工一 3〉0！，则八门0^6 ^I IX IX2，若(-1十20之二 ― 5〖，则1 2 I 的值为 ’ 八广30^ 73十 62 ： 1” 是“口3！115 十 60050 ^ 1 恒成立”的八.充分不必要条件艮0^充要条件匕4，若0〈。

〈6〈 1，则一，62，10辦，10^6的大小关系为八.一〉〉10吕说〉10运丄6召.0〉以6〉10^16〉1〇运-120.10^2〉一〉6。

〉10^16 13. 10^2〉6。

〉一〉1〇运场75必要不充分条件既不充分也不必要条件5.1中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题今有物不知其数,三三数之余二，五五数之余三，问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数打除以正整数切后的余数为广，则记为71^“爪乂饥），例如11^ ^(咖必广现将该问题设计一个程序框图,执行该程序框图，则@出的71等于^八.21已.2223IX 241”展开式中工1的系数为0，则正实数6鲁已知（工一”(江八.11.13.7^已知数列丨、丨的前”项和5”，若4^ 1，5”^ ，则〜二47队3 X 450^ 3 X 46IX 46十1如图是正四面体的平面展开图，6，只，於,]V分别是05，丑5，砂'，及：的中点‘在这个正四面体中:①05与]^平行；②50与翻为异面直线；③6只与―成60。

角;④02与]^垂直’以上四个命题中，正确命题的个数是1队20^ 30‘4 8 II ^9^已知抛物线乂 ^ 4^的焦点为厂准线为I’？是I上一点，直线与抛物线交于从，忖两点，10.已知函数/(工）^ 2^^十^〉0，I ，丨〈号）的图象过点5(0，- 1〉，且在(卷，令）上单调,同时/(工)的图象向左平移^个单位之后与原来的图象重合,当弓（- ^，-且#工2时，/(〜）^六工2〉，则六工1十工2〉^^.. "-73 6.-10^ 10^ 7211.下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为4 51^八.4^ 412.队 2 0^ 4171-13. 31^12.设函数/匕）满足上一/卜）十一/匕）^广/口）二纟，则工》2时，/(工）的最小值为^813.2^-46二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.由曲线V 二与直线7 ^ X所围成的图形的面积是―^14.已知双曲线-@^ 1(2〉0，6〉0〉的实轴长为16，左焦点为广财是双曲线0的^20 ^一条渐近线上的点，且0时丄―，0为坐标原点，若3^0⑽^16，则双曲线0的离心率为15^要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有种(用数字作答\16.已知数列丨〜丨与丨6」满足^十：（-2广+ 1，、：3十匕】1”6 ^4'),且 4:2’贝!10.271~―^三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤丨第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答丨第22、23题为选考题,考生根据要求作答丨I―丨必考题:共60'分.17八本题满分12分）已知八八60的内切圆面积为；！'，角八，6，0所对的边分别为12，6，1：，若〔26 -0)005/1 :130030.(丄）求角八；(之）当二.^0的值最小时，求么仙0的面积^18八本小题满分12分)120。

，四边形八挪为矩形，⑶丄平面如⑦;八0 如图，在梯形仙⑦中,邪夕⑦，^800二:：0？'，点从是线段的中点’(^)求证丄平面腳;〔2〉求平面於仙与平面凡：5所成的锐二面角的余弦值.、按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定,交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费）统一为0元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表投保类型浮动因素浮动比率力1上一个年度未发生有责任道路交通亊故下浮10？6^2上两个年度未发生有责任道路交通亊故下浮20免力3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事-故下浮3096八4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故096八5上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮10免^6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮3096某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了 80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型八1八2八3八4^5^6数逛20101020155以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X为该车在第四年续保时的费用，求X的分布列；⑵某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车I^、①若该销售商购进兰辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元.若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.20八本小题满分12分）已知椭圆0：^十#^ 1(2〉6〉0〉的一个焦点为(万川),离心率为不过原点的直^ 0^线I与椭圆0相交于斛,IV两点，设直线0对,直线。

直线0尺的斜率分别为々^々，々2，且匕，々，4成等比数列.(丄）求1《2的值；⑵若点0在椭圆0上,满足&二^ 6^[十0(5^ (又2十V^ # #00的直线I是否存在?若存在，求出直线〗的方程;若不存在，请说明理由^121八本小题满分12分）已知函数/(工）^ ^ 2(2 5~ 0^(0〉0〕的最大值为^^(口）‘〔1〉若关于0的方程於。

）^饥的两个实数根为4一2，求证：40#2〈1；(之）当2〉2时，证明函数互。

）^1 /(^)丨十工在函数/(工）的最小零点別处取得极小值.(二）选考题:共10分丨请考生在第22、23题中任选一题作答^如果多做，则按所做的第一题计分‘作答时请用28铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑^22丨〈本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程IX^ 30080？？在直角坐标系中，圆0的参数方程为〈#为参数〉，以0为极点，工轴…3十351119？？的非负半轴为极轴建立极坐标系.(工）求圆0：的普通方程；⑵直线2的极坐标方程是2011(0 ^ 4力，射线0从：0^ ^与圆0的交点为尸,与直线2的交点为0，求线段的长.23‘〔本小题满分10分）选修4 ~ 5：不等式选讲设函数/(工)：1工十2丨十丨工~1卜求/(工）的最小值及取得最小值时工的取值范围；(之）若关于工的不等式/(工）^ ^~ 1^ 0的解集为队求实数。

的取值范围.太原市2018年高三年级模拟试题(三)数学(理）参考答案及评分标准―、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分)题号123456789101112选项00八00530八800二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.114.夸15.120 16.三、解答题(本大题共70分)17彳本小题满分12分）解（丄）由正弦定理得〔23丨116- 51X10)008^1 ^8111^0050？2分八281116 005^1 ^51110008^ 十81^^4.0050 ^51113 ？ 4 分V81113 #0，人2(^03八：1，人八二号.^’6分(之）由余弦定理得“2^ 62十3 ― &，入由题意可知八八60的内切圆半径为1，『如图，设圆I为三角形450的内切圆，0，五为切点，可得八7二2，八0二处：二乃./1贝“十^：-0 二2乃^^8分于是幼十。

一2乃〉2:62十―一仏，8 0化简得 4*73736^ 二4(6 十0 5 87^，所以6；^ 12或6(7；音'，又6^^3,0，所以60 12，即巧.士&6【6，十①)，^10分当且仅当6二〔时，冗.冗的最小值为^’''^10分此时三角形仙0的面积：一^6^8111/1 ^| X 12 X 5丨I I |^37^3 ‘12分18八本小题满分12分）解〔1〕在梯形中仙⑶，V仙1丨00,^0:80,^800:120。

，人^0^5^^^60二60。

，^^00^120。

，又V 八0^ 00’人^1)^0:30。

，人2045:30。

’ 人^08二90。

，即30丄瓜^^ 2 分V 0？丄平面八800，…：匚平面仙⑶，二^0 丄而 '门 50： ^ 0，人^0丄平面8。

？ ‘V ^ II 二 ^丄平面五⑶.^⑶建立如图所示空间直角坐标系,设40 ^ 00人灿^-乃’；!’。

)，^^#,-：^)’ ……设？^ 二 (^,^,^)为平面从八6的一个法向量，[”厂仙：。

，卜/^工十？： 0’丨―得力[打厂服， 1 一取X 二 1，则…二、1上与、，V 112二 (丄，。

，^))是平面厂06的一个法向量，人 003^十3十3^5分7分19八本小题满分12分）解(丄）由题意可知X 的可能取值为0.9口，0.8“，0,7“，一 1.1“，1.3^ ^由统计数据可知："又^ 0.94 ^尸（又^ 0.84 ^去’ "乂二 0.74 二去,尸(乂二 ^)1分1.14 二 ^ 1.32〕10尸(又所以X 的分布列为:16，X 0^ 9*20’ 8(20.7^0 1.1^1 ^ 3(1111131488416166分(之）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为1，三辆车中至少有2辆事故车的概率为5 二 1 一 “1 ― 士〉3 十 0\ 士(含)2]:会.^ 9 分②设7为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，7的可能取值为-4000，8000’所以的分布列为：V一 40008000？1434所以以丫〉4000 X 士十8000 X ^5000^所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为100 X 5(7〉^ 50 万元.^12 分20彳本小题满分12分）解(丄）由已知得。

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2018年山西省太原市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

8．（5 分）已知抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，准线为 l，A，B 是抛物线上
的两个动点，且满足∠AFB＝60°．设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N，
则（）
A．|AB|≥2|MN| B．2|AB|≥3|MN| C．|AB|≥3|MN| D．|AB|≥|MN|
9．（5 分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
2018 年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知集合
，则 A∩B＝
（）
A．（1，+∞） B．
C．
D．
2．（5 分）若复数
在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范
售出水量 x
7
6
6
5
6
（单位：
箱）
收入 y（单 165
142
148
125
150
位：元）
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前 20 名，获一等奖学金 500 元；综合考核 21﹣50 名，获二等奖学金 300 元；综合考核 50 名以后的不获得奖学金．
（1）若 x 与 y 成线性相关，则某天售出 9 箱水时，预计收入为多少元？（2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，
其他任何人的概率是
．
16．（5 分）数列{an}中，
，若数列{bn}
满足
，则数列{bn}的最大项为第
项．
三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 ．（ 12 分） △ ABC 的内角为 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知

山西省太原市2018届高考模拟理科数学试题Word版含答案

山西省太原市2018届高考模拟试卷（理科数学）一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R ，集合A={x|0＜x ＜2}，B={x|x ＜1}，则集合（∁U A ）∩B=（） A ．（﹣∞，0） B ．（﹣∞，0] C ．（2，+∞） D ．[2，+∞）2．已知复数Z 的共轭复数=，则复数Z 的虚部是（）A ．B ． iC ．﹣D ．﹣ i3．命题“∃x 0≤0，使得x 02≥0”的否定是（）A ．∀x ≤0，x 2＜0B ．∀x ≤0，x 2≥0C ．∃x 0＞0，x 02＞0D ．∃x 0＜0，x 02≤04．已知直线l 经过圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，则直线l 的方程为（） A ．x+2y+5=0B ．2x+y ﹣5=0C ．x+2y ﹣5=0D ．x ﹣2y+3=05．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（） A ．12 B ．24 C ．36 D ．486．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A ．B ．C ．6D ．77．已知公差不为0的等差数列{a n }，它的前n 项和是S n ，，a 3=5，则取最小值时n=（） A ．6 B ．7C ．8D ．98．已知，则y=f （x ）的对称轴为（）A ．B ．C ．D ．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n 为（）A ．2B ．3C ．7D ．1110．设实数x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的x ≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．411．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2的直线交双曲线右支于A 、B 两点，连结AF 1、BF 1，若|AB|=|BF 1|且，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数为f'（x ），若f'（x ）﹣f （x ）＜﹣2，f （0）=3，则不等式f （x ）＞e x +2的解集是（）A ．（﹣∞，1）B ．（1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k 的值为．14．已知的展开式中，x 3项的系数是a，则= ．15．函数f （x ）=，若方程f （x ）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．16．已知等边三角形ABC的边长为，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△ABC 折成直二面角，则四棱锥A ﹣MNCB 的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC 的面积．18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X 的分布列和期望E （X ）．附：其中：n=a+b+c+d．19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD ⊥AF，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．山西省太原市2018届高考模拟试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁UA）∩B=（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}=（0，2），B={x|x＜1}=（﹣∞，1），∴∁UA=（﹣∞，0]∪[2，+∞）；∴（∁UA）∩B=（﹣∞，0]．故选：B．2．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B． i C．﹣D．﹣ i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z后得答案．【解答】解：由==，得，∴复数Z的虚部是．故选：A．3．命题“∃x0≤0，使得x2≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x2＞0 D．∃x＜0，x2≤0【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x2≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0．故选：A．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C的圆心C（1，2），设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，由坐标原点到直线l的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l的方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心C（1，2），∵直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，∴当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时坐标原点到直线l的距离为1，不成立；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，且=，解得k=﹣，∴直线l的方程为y=﹣（x﹣1）+2，即x+2y﹣5=0．故选：C．5．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析：首先计算甲和乙坐在一起排法数目，再计算其中甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法数目，结合题意，用“甲和乙坐在一起排法数目”减去“甲乙相邻且乙和丙坐在一起”的排法数目即可得答案．【解答】解：根据题意，甲乙必须相邻，将甲乙看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种情况，将甲乙与剩余的3个人进行全排列，有A44=24种情况，则甲和乙坐在一起有2×24=48种不同的排法，其中，如果乙和丙坐在一起，则必须是乙在中间，甲和丙在乙的两边，将3个人看成一个元素，考虑其顺序，有A 22=2种情况，将甲乙丙与剩余的2个人进行全排列，有A 33=6种情况，则甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法有2×6=12种；故甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起排法有48﹣12=36种；故选C ．6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A ．B ．C ．6D ．7【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V 正方体﹣2V 棱锥侧=．故选：A ．7．已知公差不为0的等差数列{a n }，它的前n 项和是S n ，，a 3=5，则取最小值时n=（） A ．6B ．7C ．8D ．9【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求出a n ，S n ，利用基本不等式能求出取最小值时n 的值．【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n }，它的前n 项和是S n ，，a 3=5，∴a 3=a 1+2d=5，且（a 1+d ）2=a 1（a 1+4d ），由d ≠0，解得a 1=1，d=2，∴a n =2n ﹣1，∴，∴，∴当n=7的取等号，故选：B ．8．已知，则y=f （x ）的对称轴为（）A ．B ．C ．D ．【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】化简函数f （x ）的解析式，求出函数的对称轴即可．【解答】解：，∴对称轴方程为，∴x=﹣，令k=1，得x=，故选：B ．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n 为（）A．2 B．3 C．7 D．11【考点】EF：程序框图．【分析】算法的功能辗转相除法求m、n的最大公约数，利用辗转相除法求出m、n的最大公约数可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能利用辗转相除法求m、n的最大公约数，当输入m=210，n=119，则210=119+91；119=91+28；91=3×28+7，；28=4×7+0．∴输出n=7．故选：C．10．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4【考点】7C：简单线性规划．【分析】利用线性规划的知识求出则Z在点D处取得最大值，由此得出a、b的关系式，max再利用基本不等式求的最小值．【解答】解：约束条件表示的平面区域如图所示；由，解得D （4，6），目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12，则Z max 在点D 处取得最大值；即4a+6b=12，所以2a+3b=6，所以，当且仅当a=b=时取“=”．故选：A ．11．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2的直线交双曲线右支于A 、B 两点，连结AF 1、BF 1，若|AB|=|BF 1|且，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，|BF 1|﹣|BF 2|=2a ，结合等腰直角三角形可得|AF 1|=4a ，设|BF 1|=x ，运用勾股定理，可得a ，c 的关系，由离心率公式即可得到所求．【解答】解：由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，|BF 1|﹣|BF 2|=2a ，相加可得|AF 1|+|BF 1|﹣|AB|=4a ，|AB|=|BF 1|且，∴|AF1|=4a，设|BF1|=x，则，，又∵，即有8a2+（2a﹣2a）2=4c2，化简可得（5﹣2）a2=c2，即有e==．故选：B．12．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】问题转化为，令，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．【解答】解：f（x）＞e x+2转化为：，令，则，∴g（x）在R上单调递减，又∵∴g（x）＞0的解集为（﹣∞，0），故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k 的值为．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k ．【解答】解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：14．已知的展开式中，x 3项的系数是a ，则=．【考点】67：定积分；DB ：二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得展开式中的含x 3项的系数a 的值，再求定积分，可得要求式子的值．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1=C 5r （）r x 5﹣2r ，令5﹣2r=3则r=1∴x 3的系数为，∴dx=lnx|=ln，故答案为：ln15．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（，）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象，由数形结合求解．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故kBC=，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故kAC=；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为52π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】折叠为空间立体图形，得出四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，利用平面问题求解得出四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，求解即可．【解答】解：由，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F是△AMN外心，作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面AMN，则O是四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，且OF=DE=3，AF=2．设四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，所以表面积是52π．故答案为：52π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由正弦定理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，从而sin（B﹣C）=1，由此能证明．（2）由，得，，由，a=2，利用正弦定理求出b，c，由此能求出三角形△ABC的面积．【解答】证明：（1）由及正弦定理得：…整理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，所以sin（B﹣C）=1，又…所以…解：（2）由（1）及，得，，又因为，a=2…所以，，…所以三角形△ABC的面积…18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X 的分布列和期望E （X ）．附：其中：n=a+b+c+d ．【考点】BO ：独立性检验的应用；CH ：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意填写列联表即可；（2）计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）根据题意知随机变量X ～B （3，），计算对应的概率，写出X 的分布列，求出数学期望值．【解答】解：（1）由题意得列联表：… （2）因为，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为全市高三年级学生“语文成绩与外语成绩有关系”； …（3）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的概率是，… 则X ～B （3，），；…X 的分布列为…数学期望为．…19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE ﹣BCF 和一个正四棱锥P ﹣ABCD 组合而成，AD ⊥AF ，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（2）求正四棱锥P ﹣ABCD 的高h ，使得二面角C ﹣AF ﹣P 的余弦值是．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P﹣ABCD 的高．【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（Ⅱ）∵AD⊥平面ABFE，∴建立以A为坐标原点，AB，AE，AD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设正四棱锥P﹣ABCD的高为h，AE=AD=2，则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（1，﹣h，1），=（x，y，z）是平面AFC的法向量，则，令x=1，则y=z=﹣1，即=（1，﹣1，﹣1），设=（x，y，z）是平面ACP的法向量，则，令x=1，则y=﹣1，z=﹣1﹣h，即=（1，﹣1，﹣1﹣h），∵二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．∴cos＜，＞===．得h=1或h=﹣（舍）则正四棱锥P﹣ABCD的高h=1．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）圆心到直线x+y+1=0的距离，由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，知b=c，由此能求出椭圆方程．（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0；当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y=kx+2，设P（x0，y），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为x2+（y﹣c）2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b=c，，代入得b=c=1，∴，故所求椭圆方程为…（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0，适合题意．…当直线l 的斜率存在时，t ≠0，设直线l 方程为y=kx+2，设P （x 0，y 0），将直线方程代入椭圆方程得：（k 2+2）x 2+4kx+2=0，… ∴△=16k 2﹣8（k 2+2）=8k 2﹣16＞0，∴k 2＞2．设S （x 1，y 1），T （x 2，y 2），则，…由，当t ≠0，得…整理得：，由k 2＞2知，0＜t 2＜4，…所以t ∈（﹣2，0）∪（0，2），… 综上可得t ∈（﹣2，2）．…21．已知函数f （x ）=x 2﹣ax （a ≠0），g （x ）=lnx ，f （x ）的图象在它与x 轴异于原点的交点M 处的切线为l 1，g （x ﹣1）的图象在它与x 轴的交点N 处的切线为l 2，且l 1与l 2平行．（1）求a 的值；（2）已知t ∈R ，求函数y=f （xg （x ）+t ）在x ∈[1，e]上的最小值h （t ）；（3）令F （x ）=g （x ）+g′（x ），给定x 1，x 2∈（1，+∞），x 1＜x 2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m 满足：α=mx 1+（1﹣m ）x 2，β=（1﹣m ）x 1+mx 2，并且使得不等式|F （α）﹣F （β）|＜|F （x 1）﹣F （x 2）|恒成立，求实数m 的取值范围．．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a 值；（2）令u=xlnx ，再研究二次函数u 2+（2t ﹣1）u+t 2﹣t 图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F （x ）=g （x ）+g′（x ）=lnx+，再利用导数工具研究所以F （x ）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x ≥1时，F （x ）≥F （1）＞0，下面对m 进行分类讨论：①当m ∈（0，1）时，②当m ≤0时，③当m ≥1时，结合不等式的性质即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）y=f （x ）图象与x 轴异于原点的交点M （a ，0），f′（x ）=2x ﹣a ，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k l1=k l2，即a=1；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在 x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e，u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0，即t≥时，y最小=t2﹣t，②当u=≥e，即t≤时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t，③当0＜＜e，即＜t＜时，y最小=y|u==﹣；（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=≥0，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有，α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知 0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2），从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，③当m ≥1时，同理可得α≤x 1，β≥x 2，得|F （α）﹣F （β）|≥|F （x 1）﹣F （x 2）|，与题设不符， ∴综合①、②、③得 m ∈（0，1）．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为，（ϕ为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数）．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为．（Ⅰ）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求|PA|+|PB|的值．【考点】QH ：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I ）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P 的直角坐标；（II ）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得出A ，B 对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P 的直角坐标为；由得cos φ=，sin φ=．∴曲线C 的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t 2+2t ﹣8=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=﹣2，t 1t 2=﹣8， ∵P 点在直线l 上，∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|==6．[选修4-5：不等式选讲] 23．设函数f （x ）=|x ﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（1）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得x≤﹣，故x≤﹣；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得x≥，故x≥．综合①、②、③知，原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪[，+∞）．（2）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴∴得a=1，∴ +=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（+）≥2+2=4，当且仅当=即m=2n时及m=2，n=1时，等号成立，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．。

山西省太原市2018届高考第三次模拟考试数学试题(文)有答案

太原市2018年高三年级模拟试题（三）文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22|10,|3A x x B x x ⎧⎫=-<=>⎨⎬⎩⎭，则A B =（） A ．()1,1- B ．()1,+∞ C ．21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知复数z 满足4312ii z i+=+，则复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为π；命题:q 函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称，则下列结论正确的是（）A ．p 为假B ．q ⌝为假C ．p q ∨为假D ．p q ∧为假 4. 若01a b <<<，则1,log ,log b b aa ab 的大小关系为（）A ．1log log b b aa ab >> B ．1log log b b aa b a >>C. 1log log b b aa b a >> D ．1log log b b aa ab >>5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数n 除以正整数m 后的余数为r ，则记为()mod n r m =，例如()112mod3=.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n 等于（）A ．21B ． 22 C. 23 D ．246. 已知等比数列{}n a 满足12233,6a a a a +=+=，则8a =（） A ．243 B ．128 C. 81 D ．647.设不等式组31036x y x y +≥⎧⎨+≤⎩表示的平面区域为D ，若在区域D 上存在函数()log 1a y x a =>图象上的点，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．()1,3 C. [)3,+∞ D ．(]1,3 8.已知函数()2cos 3x f x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是()2,0，且()()13f f >，要得到函数()f x 的图象，可将函数2cos 3xy π=的图像（）A ．向右平移12个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度C. 向左平移12个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为16，左焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若16OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为（）A 10.如图是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是（）A ．22π+B ．23π+C. 43π+D ．42π+11. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于,M N 两点，若3PF MF =，则MN =（）A ．163B ．8 C. 16 D 12.已知函数()()2ln x x t f x x+-=，若对任意的[]()()1,2,0x f x x f x '∈+>恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ． (-∞ B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．32⎫⎪⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知函数()2,02,0x x a x f x x -⎧≥=⎨<⎩若()11f f -=-⎡⎤⎣⎦，则实数a =． 14.在ABC ∆中，若()274cos cos 222A B C -+=，则角A =． 15.已知,a b 是单位向量，0a b =，若向量c 满足1c a b --=，则c 的最大值是.16.已知圆22:210C x y x +--=，直线:34120l x y -+=，在圆C 内任取一点P ，则P 到直线的距离大于2的概率为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：的概率；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车. ①若该销售商部门店内现有6辆该品牌二手车（车龄已满3年），其中两辆事故车，四辆非事故车.某顾客在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆事故车的概率；②以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率.该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，若购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元.试估计这批二手车一辆车获得利润的平均值.19.已知空间几何体ABCDE 中，BCD ∆与CDE ∆均为边长为2的等边三角形，ABC ∆为腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面,,BCD M N 分别为,DB DC 的中点. （1）求证：平面//EMN 平面ABC ；（2）求三棱锥A ECB -的体积.20. 已知抛物线21:y 8C x =的焦点也是椭圆()22222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点()0,2P 在椭圆短轴CD 上，且1PC PD =-.（1）求椭圆2C 的方程；（2）设Q 为椭圆2C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过椭圆的右焦点2F 作OQ 的平行线，交曲线2C 于,M N 两点，求QMN ∆面积的最大值. 21.已知函数()2ln x af x e x -=-.（1）当12a =时，求()f x 的单调区间；（2）当1a ≤时，证明：()0f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭射线:6OM πθ5=与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ的长.23.选修4-5：不等式选讲设函数()21f x x x=++-.（1）求()f x的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若不等式()10f x ax+->的解集为R，求实数a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCDDC 6-10: BCAAA 11、12：CB二、填空题13.14- 14.3π1 16.324ππ+三、解答题17.解：（1）∵121nnnaaa+=+，∴1112n na a+-=，∴1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，∴()111122nn na a=+-=，即12nan=；（2）∵22n nnb=，∴1221231222n n nnS b b b-=+++=++++，则23112322222n nnS =++++，两式相减得23111111112122222222n n n nn n nS -⎛⎫=+++++-=-- ⎪⎝⎭， ∴1242n n nS -+=-. 18.解：（1）所求概率为1551804+=；（2）①设两辆事故车为,A B ，四辆非事故车为,,,a b c d ，从这六辆车中随机挑取两辆车共有(),A B ，()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c A d B a B b B c B d a b a c ，()()()(),,,,,,,a d b c b d c d 共15种情况，其中两辆车中恰有一车事故车共有(),A a ，()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A b A c A d B a B b B c B d 8种情况，所以所求概率为815； ②由统计数据可知，若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有事故车30辆，非事故车90辆，所以一辆获得利润的平均值为()()13040009080005000120⨯-+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦. 19.证明：（1）取BC 中点H ，连结AH ，∵ABC ∆为等腰三角形， ∴AH BC ⊥，又平面ABC ⊥平面,BCD AH ⊥平面ABC ， ∴AH ⊥平面BCD ，同理可证EN ⊥平面BCD ， ∴//EN AH ，∵EN ⊄平面,ABC AH ⊂平面ABC ， ∴//EN 平面ABC ，又,M N 分别为,BD DC 中点，∴//MN BC ， ∵MN ⊄平面,ABC BC ⊂平面ABC ， ∴//MN 平面ABC ，又MNEN N =，∴平面//EMN 平面ABC ；（2）连结DH ，取CH 中点G ，连结NG ，则//NG DH ，由（1）知//EN 平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，又BCD ∆是边长为2的等边三角形，∴DH BC ⊥，又平面ABC BCD ⊥平面，平面ABC平面,BCD BC DH =⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，∴DH =N 为CD 中点，∴NG =，又3,2AC AB BC ===，∴122ABC S BC AH ∆== ∴163E ABC N ABC ABC V V S NG --∆===.20.解：（1）由21:8C y x=，知焦点坐标为()2,0，所以224a b-=，由已知，点,C D的坐标分别为()()0,,0,b b-，又1PC PD=-，于是241b-=-，解得225,9b a==，所以椭圆2C的方程为22195x y+=；（2）设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y，直线MN的方程为2x my=+，由222195x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()225920250m y my++-=，则1212222025,5959my y y ym m-+==-++，所以()2230159m MNm+ ===+，t=，则()()222230303011,4545195t tm t t Stt tt=-≥===+-++，所以()45f t tt=+在[)1,+∞上单调递增，所以当1t=时，()f t取得最小值，其值为9.所以QMN∆的面积的最大值为103.21.解：（1）12a=时，()()()111ln,0x xf x e x f x e xx--'=-=->，因为()10f'=，故01x<<时，()0f x'<；1x>时，()0f x'>，所以()f x在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1a≤时，()222,lnxx a x f x e x--≥-≥-，令()2lnxx e xϕ-=-，则()21xx exϕ-'=-，显然()xϕ'在()0,+∞上单调递增，且()()10,20ϕϕ''<>，所以()xϕ'在()0,+∞上存在唯一零点()00,1,2x x∈，又0x x<<时，()00,x x xϕ'<>时，()0xϕ'>，所以()0,x∈+∞时，()()0200lnxx x e xϕϕ-≥=-，由()00xϕ'=，得00221,x xe x ex--==，∴()()2000000111ln22220xx e x xx x xϕ-=-=--=+->-=，综上，当1a≤时，()0f x> .22.解：（1）圆C的参数方程为3cos33sinxyϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数），∴圆C的普通方程为()2239x y+-=；（2）化圆C的普通方程为极坐标方程6sinρθ=，设()11,Pρθ，则由6sin6ρθπθ=⎧⎪5⎨=⎪⎩解得1153,6πρθ==，设()22,Q ρθ，则由2sin 656πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2254,6πρθ==， ∴211PQ ρρ=-=.23.解：（1）∵函数()()21213f x x x x x =++-≥+--=，故函数()21f x x x =++-的最小值为3，此时21x -≤≤；（2）当不等式()10f x ax +->的解集为R ，函数()1f x ax >-+恒成立，即()f x 的图象恒位于直线1y ax =-+的上方，函数()21,2213,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩，而函数1y ax =-+表示过点()0,1，斜率为a -的一条直线，如图所示：当直线1y ax =-+过点()1,3A 时，31a =-+，∴2a =-，当直线1y ax =-+过点()2,3B -时，321a =+，∴1a =，数形结合可得a 的取值范围为()2,1-.。

山西省太原市2018届高三第三次模拟考试理文科数学试题(精编含解析)

太原市2018年高三年级模拟试题（三）文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先分别求出集合A和B，由此能求出．详解：A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，∴故选：D点睛：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】由已知得，故选C。

3. 设命题函数的最小正周期为；命题函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（）A. 为假B. 为假C. 为假D. 为假【答案】D【解析】分析：由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．详解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是真命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题，为真命题．结合复合命题的判断规则知：p∧q为假命题，p∨q为是真命题．故选：D．点睛：本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于高考常考题型也是对命题考查的常规题型，属于基础题．4. 若，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．详解：∵0＜a＜b＜1，a b∈（0，1），log b a＞log b b=1，z=log b＜0，则的大小关系为．故选：D．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的等于（）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.6. 已知等比数列满足，则（）A. 243B. 128C. 81D. 64【答案】B【解析】分析：利用条件确定等比数列的首项与公比，从而得到结果.详解：设等比数列的公比为，∴，∴，即∴128故选：B点睛：等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．7. 设不等式组表示的平面区域为，若在区域上存在函数图象上的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=log a x（a＞1）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题详解：作出不等式组对应的平面区域如图：由a＞1，对数函数的图象经过可行域的点，满足条件，由，解得A（3，1），此时满足log a3≤1，解得a≥3，∴实数a的取值范围是：[3，+∞），故选：C．点睛：利用线性规划求最值的步骤①在平面直角坐标系内作出可行域；②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；③在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；④将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．8. 已知函数的一个对称中心是，且，要得到函数的图象，可将函数的图像（）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】分析：结合条件利用余弦函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．详解：∵函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），∴+φ=kπ+，k∈Z，故可取φ=﹣，f（x）=2cos（x﹣），满足f（1）＞f（3），故可将函数y=2cos x的图象向右平移个单位，得到f（x）=2cos（x﹣）的图象，故选：A．点睛：由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.9. 已知双曲线的实轴长为16，左焦点为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于焦点到渐近线的距离为,故,依题意有,所以离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查双曲线渐近线的几何性质,考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法.设双曲线的焦点为,双曲线的渐近线为,故双曲线焦点到渐近线的距离为,故焦点到渐近线的距离为.10. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体则故选11. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于两点，若，则（） A. B. 8 C. 16 D.【答案】C【解析】分析：利用抛物线性质分析线段比，进而得直线斜率，写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y 2=4x 的方程组成方程组，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN 的长．详解：抛物线C ：的焦点为F （1，0），准线为l ：x=﹣1，与x 轴交于点Q设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），M ，N 到准线的距离分别为d M ，d N ，由抛物线的定义可知|MF|=d M =x 1+1，|NF|=d N =x 2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x 1+x 2+2．∵，∴，即，∴.∴,∴直线AB的斜率为，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y=（x﹣1），将y=（x﹣1），代入方程y2=4x，得3（x﹣1）2=4x，化简得3x2﹣10x+3=0，∴x1+x2=，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=+2=．故选：A．点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点弦长的问题，以及抛物线的定义和性质，在解题的过程中，求焦点弦长的时候，也可以联立方程组，利用求得结果.12. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，⇔t＜恒成立，求出x+在[1，2]上的最小值即可．详解：∵∴对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，恒成立，⇔对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，⇔t＜恒成立，又g（x）=x+在[1，2]上单调递增，∴，∴t＜．故选：B．点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 已知函数若，则实数__________．【答案】【解析】分析：先求出内层，再求外层f（2）即可.详解：∵f[f（﹣1）]=，∴f[f（﹣1）]=f（2）=a•22=4a=∴．故答案为：．点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．14. 在中，若，则角__________．【答案】【解析】分析：由三角形的内角和定理得到B+C=π﹣A，代入已知的等式中，再利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，得到关于cosA的方程，求出方程的解得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数详解：∵A+B+C=π，即B+C=π﹣A，∴4cos2﹣cos2（B+C）=2（1+cosA）﹣cos2A=﹣2cos2A+2cosA+3=，∴2cos2A﹣2cosA+=0，∴cosA=，又0＜A＜π，∴A=；点睛：本题考查了二倍角余弦公式以及解一元二次方程，属于基础题.15. 已知是单位向量，，若向量满足，则的最大值是__________.【答案】【解析】分析：通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．详解：∵||=||=1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．∴的最大值==．故答案为：．点睛：本题利用坐标法明确了向量的终点的轨迹方程，问题转化为圆上点到原点的最大距离问题.16. 已知圆，直线，在圆内任取一点，则到直线的距离大于2的概率为__________．【答案】【解析】分析：根据几何概型，求出圆心到直线的距离，利用几何概型的概率公式分别求出对应的测度即可得到结论．详解：由题意知圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2的圆心是（1，0），圆心到直线3x﹣4y+12=0的距离是d==3，当与3x﹣4y+12=0平行，且在直线下方距离为2的平行直线为3x﹣4y+b=0，则d==2，则|b﹣12|=10，即b=22（舍）或b=2，此时直线为3x﹣4y+2=0，则此时圆心到直线3x﹣4y+2=0的距离d=1，即三角形ACB为直角三角形，当P位于3x﹣4y+2=0时，此时P到直线l的距离大于2，则根据几何概型的概率公式得到P==故答案为：．点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比,本题点的活动范围是在圆面上.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知数列满足.（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）两边取倒数可得，从而得到数列是等差数列，进而可得的通项公式；（2），利用错位相减法求和即可.详解：（1）∵，∴，∴是等差数列，∴，即；（2）∵，∴，则，两式相减得，∴.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 18. 按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表投保类型浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路上浮10%交通事故上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量20101020155（1）根据上述样本数据，估计一辆普通7座以下私家车（车龄已满3年）在下一年续保时，保费高于基准保费的概率；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.①若该销售商部门店内现有6辆该品牌二手车（车龄已满3年），其中两辆事故车，四辆非事故车.某顾客在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆事故车的概率；②以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率.该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，若购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元.试估计这批二手车一辆车获得利润的平均值.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】分析：(1)根据题意易得所求概率为；(2)①设两辆事故车为，四辆非事故车为，从这六辆车中随机挑取两辆车共有15种情况，两辆车中恰有一车事故车共有8种情况，从而得到所求概率，②由统计数据可知，若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有事故车30辆，非事故车90辆，从而求得这批二手车一辆车获得利润的平均值详解：（1）所求概率为；（2）①设两辆事故车为，四辆非事故车为，从这六辆车中随机挑取两辆车共有，，共15种情况，其中两辆车中恰有一车事故车共有，8种情况，所以所求概率为；②由统计数据可知，若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有事故车30辆，非事故车90辆，所以一辆获得利润的平均值为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．19. 已知空间几何体中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为3的等腰三角形，平面平面，平面平面分别为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析：（1）要证平面平面，转证平面，平面即可；（2）由（1）知平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，利用等体积法有，从而得到结果.详解：证明：（1）取中点，连结，∵为等腰三角形，∴，又平面平面平面，∴平面，同理可证平面，∴，∵平面平面，∴平面，又分别为中点，∴，∵平面平面，∴平面，又，∴平面平面；（2）连结，取中点，连结，则，由（1）知平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，又是边长为2的等边三角形，∴，又平面平面，平面平面平面，∴平面，∴平面，∴，又为中点，∴，又，∴，∴.点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.20. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，点在椭圆短轴上，且.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过椭圆的右焦点作的平行线，交曲线于两点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)由题意布列关于a，b的方程组，从而得到椭圆的方程；(2)设，直线的方程为，与椭圆方程联立可得，利用根与系数的关系得到，进而表示面积，结合换元法及对勾函数的性质求最值即可.详解：（1）由，知焦点坐标为，所以，由已知，点的坐标分别为，又，于是，解得，所以椭圆的方程为；（2）设，直线的方程为，由，可得，则，所以，令，则，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值，其值为9.所以的面积的最大值为.点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21. 已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，证明：.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）见解析.【解析】分析：(1) ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；(2)当时，，要证，即证.详解：（1）时，，因为，故时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，，令，则，显然在上单调递增，且，所以在上存在唯一零点，又时，时，，所以时，，由，得，∴，综上，当时， .点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的普通方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.【答案】（1）；（2）1.【解析】分析：（1）消去参数即可得普通方程；（2）将圆的普通方程为极坐标方程得，直线的极坐标方程是，将代入求极径，作差可得解.详解：（1）∵圆的参数方程为∴圆的普通方程为；（2）化圆的普通方程为极坐标方程得，设，则由，解得，设，则由，解得，∴点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，一定要时刻关注由参数方程向普通方程转化，直角坐标方程与极坐标方程的互化规律求得结果，尤其第二问中用的方法，将两个方程都用极坐标方程表示，利用极径的意义解决问题，这个是我们不常用的.23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求的最小值及取得最小值时的取值范围；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用绝对值三角不等式,求得的最小值,以及取得最小值时x的取值范围;（2）当不等式的解集为，函数恒成立，即的图象恒位于直线的上方,数形结合求得的取值范围.详解：（1）∵函数，故函数的最小值为3，此时；（2）当不等式的解集为，函数恒成立，即的图象恒位于直线的上方，函数，而函数表示过点，斜率为的一条直线，如图所示：当直线过点时，，∴，当直线过点时，，∴，数形结合可得的取值范围为.点睛:恒成立问题的解决方法:(1)f(x)<m恒成立，须有[f(x)]max<m；(2)f(x)>m恒成立，须有[f(x)]min>m；(3)不等式的解集为R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为空集，即不等式无解．。

山西省太原市2018届高三第三次模拟考试理科数学试题(解析版)

太原市2018年高三年级模拟试题（三）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】详解：解不等式得集合A,B进而求，再求交集即可.分析：集合，，则.故选C.点睛：本题主要考查了集合的运算，属于基础题.2. 若，则的值为（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】分析：由复数的除法运算得，进而求模即可.详解：由，可得..故选D.点睛：本题主要考查了复数的除法运算及复数模的概念，属于基础题.3. “”是“”恒成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设成立；反之，，故选A.4. 若，则的大小关系为（）A. B.C.D.【答案】D 【解析】因为，所以..,所以,. 综上：.故选D.5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的等于（）A. 21B. 22C. 23D. 24 【答案】C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C. 6. 已知展开式中的系数为0，则正实数（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】分析：由二项展开的通项公式得的展开式的通项公式，再与相乘得项，令其系数等于0可得解.详解：的展开式的通项公式为：.令得：；令得：.展开式中为：.由题意知，解得（舍）或.故选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.7. 已知数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】详解：由，得，数列是从第二项起的等比数列，公比为4，利用即可得解.详解，由，可得.两式相减可得：.即.数列是从第二项起的等比数列，公比为4，又所以.所以.故选B.点睛：给出与的递推关系，求a n，常用思路是：一是利用转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求a n.8. 如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成60°角；④与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，①，依题意，MN∥AF，而DE与AF异面，从而可判断DE与MN不平行；②，假设BD与MN共面，可得A、D、E、F四点共面，导出矛盾，从而可否定假设，肯定BD与MN为异面直线；③，依题意知，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，于是可判断GH与MN成60°角；④，连接GF，那么A点在平面DEF的射影肯定在GF上，通过线面垂直得到线线垂直．详解：将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图：对于①，M、N分别为EF、AE的中点，则MN∥AF，而DE与AF异面，故DE与MN不平行，故①错误；对于②，BD与MN为异面直线，正确（假设BD与MN共面，则A、D、E、F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面）；对于③，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，连接GF，A点在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②③④，故答案为：②③④．点睛：本题主要考察了空间中的两直线的位置关系，需要一定的空间能力，属于中档题.9. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于两点，若，则（）A. B. 8 C. 16 D.【答案】A【解析】分析：利用抛物线性质分析线段比，进而得直线斜率，写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2=4x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长．详解：抛物线C：的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1，与x轴交于点Q设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为d M，d N，由抛物线的定义可知|MF|=d M=x1+1，|NF|=d N=x2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．∵，∴，即，∴.∴,∴直线AB的斜率为，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y=（x﹣1），将y=（x﹣1），代入方程y2=4x，得3（x﹣1）2=4x，化简得3x2﹣10x+3=0，∴x1+x2=，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=+2=．故选：A．点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点弦长的问题，以及抛物线的定义和性质，在解题的过程中，求焦点弦长的时候，也可以联立方程组，利用求得结果.10. 已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则（）A. B. -1 C. 1 D.【答案】B【解析】分析：由题意求得φ、ω的值，写出函数f（x）的解析式，求图象的对称轴，得x1+x2的值，再求f（x1+x2）的值．详解：由函数的图象过点，∴，解得，又，∴，∴；又的图象向左平移π个单位之后为，由两函数图象完全重合知；又，∴，∴ω=2；∴，令,得其图象的对称轴为当，对称轴.∴，∴故选B.点睛：本题主要考查的是有关确定函数解析式的问题，在求解的过程中，需要明确正弦型曲线的对称轴的位置，，以及函数的性质，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，利用三角函数的性质求解．11. 下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：还原几何体得四棱锥，根据球心到各顶点的距离相等列方程可得解.详解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点其中.根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：4﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=22+（4﹣x）2，解得出：，该多面体外接球的表面积为：4πR2=，故选：C．点睛：对于外接球问题，若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径.12. 设函数满足，则时，的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于等式，因为，故此等式可化为：，且.令，..当时，，单调递增，故，因此当时，恒成立.因为，所以恒成立.因此，在上单调递增，的最小值为.故本题正确答案为D.点睛：本题主要考察导数的灵活应用，技巧性很强，关键是把条件等式化为的形式，再构造函数即可求解.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 由曲线与直线所围成的图形的面积是__________．【答案】【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积.14. 已知双曲线的实轴长为16，左焦点为是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】分析：求得双曲线C一条渐近线方程为，运用点到直线的距离公式，得，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得，进而得到双曲线的离心率．详解：双曲线的实轴长为16，所以，.设，双曲线C一条渐近线方程为，可得，即有，由，可得，所以，又，解得a=8，b=4，c=4，可得离心率为：.故答案为：.点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力. (2)圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法. 公式法就是先根据已知条件求出和,或者的关系，再代入离心率的公式化简求解.方程法就是把已知的等式化简可以得到一个关于和的方程,再把该方程化为关于离心率的一次或二次方程，直接计算出离心率.15. 要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.【答案】120【解析】分析：先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可.详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.故答案为：120.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 16. 已知数列与满足，且，则__________．【答案】【解析】分析：令和，得，令，得①，令，得,②①-②得：，利用累加求通项即可.详解：由，当,；当,.由，令，得：,①令，得：,②①-②得：.从而得：，，…….上述个式子相加得：.由①式可得：，得.所以.故答案为：.点睛：本题主要考虑数列的递推关系求通项，关键在于找到数列与的隔项特征，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知的内切圆面积为，角所对的边分别为，若.（1）求角；（2）当的值最小时，求的面积.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）由正弦定理将边化角得，进而得；（2）由内切圆的性质得，由余弦定理得，进而得，化简得，或，又，所以，从而得当时，的最小值为6，进而得面积.详解：（1）由正弦定理得，∴，∵，∴，∴.（2）由余弦定理得，由题意可知的内切圆半径为1，如图，设圆为三角形的内切圆，为切点，可得，则，于是，化简得，所以或，又，所以，即，当且仅当时，的最小值为6，此时三角形的面积.点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.18. 如图，在梯形中，，四边形为矩形，平面，点是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）在梯形中，易得，再有平面，，即可得，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，由法向量的夹角余弦求解即可.详解：（1）在梯形中，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即.∵平面，平面，∴，而，∴平面，∵，∴平面；（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，则，∴，设为平面的一个法向量，由得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴.点睛:本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该车在第四年续保时的费用，求的分布列；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元，若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.【答案】(1)见解析;(2)①;②见解析.【解析】分析：（1）根据题意可知的可能取值为，由统计数据可知其概率，进而得分布列；（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有2辆事故车的概率为；（3）设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为，即可得出分布列与数学期望.详解：（1）由题意可知的可能取值为，由统计数据可知：，所以的分布列为（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有2辆事故车的概率为；②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为.所以的分布列为：所以，所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．20. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为.不过原点的直线与椭圆相交于两点，设直线，直线，直线的斜率分别为，且成等比数列.（1）求的值；（2）若点在椭圆上，满足的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）由离心率公式及基本量运算可得，从而得方程；设直线的方程为，由，得，由已知，利用韦达定理带入可得；（2）假设存在直线满足题设条件，且设，由，得，代入椭圆方程得：，整理得，由韦达定理带入可得，可知直线不存在.详解：（1）由已知得，则，故椭圆的方程为；设直线的方程为，由，得，则，由已知，则，即，所以；（2）假设存在直线满足题设条件，且设，由，得，代入椭圆方程得：，即，则，即，则，所以，化简得：，而，则，此时，点中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处），与成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在. 点睛:本题主要考察了直线与椭圆的位置关系,将向量问题坐标化得到方程,进而利用直线和椭圆联立,结合韦达定理即可得解,属于中档题.21. 已知函数的最大值为.（1）若关于的方程的两个实数根为，求证：；（2）当时，证明函数在函数的最小零点处取得极小值.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）本小问的解决方法是利用这个条件，得到含有的等式，对等式进行变形处理，使得等式左边是，右边是分式。

山西省太原市2018届高三第三次模拟考试理科综合试卷(PDF版)

队为细胞内新细胞器的构建提供原料，即细胞结构的再循环
衰老的细胞进入编程死亡过程中的细胞内的吞噬
仏
匕清除降解细胞内受损伤的细胞结构、衰老的细胞器
3 ‘下列关于癌症防治的叙述，不；喷的是
八.促进癌细胞“自杀”的同时并不影响机体健康
民开发靶向药物
匸.某些化疗药物能够通过损伤癌细胞的0 8 八间接诱导细胞凋亡
八.海水淡化的方法主要有蒸馏法、电渗析法、冰冻法 1 氯碱工业中采用阴离子交换膜可提高产品的纯度 0 ^ 由 ^[化 1 6 只20 得到无水的关键是要低温小火烘干 13.溴工业中③、④的目的是为了富集溴元素,溴元素在反应③、⑤中均被氧化,在反应④中
被还原 1 设 IV八为阿伏加德罗常数的值，下列有关叙述正确的是
11.短周期主族元素只、乂、丫、2 、^1的原子序数依次增大，它们分别位于三个周期。V 和 V 同
主族，火山喷口附近或地壳的岩层中存在游离态的从，X 元素的最高价氧化物对应的水化
物与其气态氢化物相遇会有白烟。这五种元素组成一种离子化合物0 ，取一定量0 溶于
蒸馏水得到溶液，向此溶液中滴加稀氢氧化钠溶液,产生沉淀的物质的量与氢氧化钠榕液
―、选择题:本题共1 3 小题,毎小题6 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 ^下列关于生命的物质基础和结构基础的相关叙述，正确的是
八.线粒体内膜Biblioteka 叶绿体内膜是真核细胞产生八丁？的场所
民蛋白质、核酸和糖原的单体分别是氨基酸、核苷酸和葡萄糖
0 ^ 有氧呼吸时，产物水中的氢全部来自于丙酮酸和参加反应的水
加效应相同且具叠加性，3孔和。决定白色。将粒色最浅和最深的植株杂交得到巧。I 的

太原市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

太原市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学一、选择题1．已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．22．设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f（x ）的性质叙述正确的是（）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣33．若命题“p ∧q ”为假，且“¬q ”为假，则（） A ．“p ∨q ”为假B ．p 假C ．p 真D ．不能判断q 的真假4．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．5．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（）A ．B ．C ．D ．6．已知椭圆，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（）A ．4B ．5C ．7D ．87．已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0}--D ．{1,,0,1}- 【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．8．给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 9．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π10．二进制数）（210101化为十进制数的结果为（） A ．15 B ．21 C ．33 D ．4111．过抛物线y 2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1+x 2=﹣6，则|AB|为（） A ．8B ．10C ．6D ．412．已知点M 的球坐标为（1，，），则它的直角坐标为（）A ．（1，，）B ．（，，）C ．（，，）D ．（，，）二、填空题13．设某双曲线与椭圆1362722=+y x 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为 )4,15(，则此双曲线的标准方程是 .14．设x ，y 满足的约束条件，则z=x+2y 的最大值为．15．已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象如图示．①函数f （x ）的极大值点为0，4； ②函数f （x ）在[0，2]上是减函数；③如果当x ∈[﹣1，t]时，f （x ）的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 有4个零点；⑤函数y=f （x ）﹣a 的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．16．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A 点的外壁）距杯底2cm 的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm ．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）17．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 18．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号．（写出所有真命题的序号）． ①设A ，B 为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P 的轨迹为双曲线；②设A ，B 为两个定点，若动点P 满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线﹣=1与椭圆有相同的焦点．三、解答题19．已知平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D （2，0），设点A （1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程；（3）过原点O 的直线交椭圆于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值，并求此时直线BC 的方程．20．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．225（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．4天的用电量与当天气温．气温（℃）14 12 8 6用电量（度）22 26 34 38（1）求线性回归方程；（）（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．24．某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如月份x 1 2 3 4 5销售量y（百件）4 4 5 6 6（Ⅰ）该同学为了求出y关于x的回归方程=x+，根据表中数据已经正确算出=0.6，试求出的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲现从该零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品都有质量问题，而3月份的产品都没有质量问题．记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X，求X的分布列和数学期望．25．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：转速x（转/秒）16 14 12 8每小时生产有缺陷的零件数y（件）11 9 8 5（1）画出散点图；（2）如果y与x有线性相关的关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的转运速度应控制在什么范围内？参考公式：线性回归方程系数公式开始=，=﹣x．26．太原市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1．下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2．故选；D．2．【答案】B【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件，作出函数f（x）的图象如图：则函数在上为增函数，最小值为﹣2，故正确的是B，故选：B【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．3．【答案】B【解析】解：∵命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，∴q为真，p为假；则p∨q为真，故选B．【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．4．【答案】B【解析】5．【答案】C【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图【试题解析】由题知：所以m 可以取：0，1，2．故答案为：C 6．【答案】D【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m ﹣2＞10﹣m ，即m ＞6，，解得m=8故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．7．【答案】C【解析】当{2,1,0,1,2,3}x ∈--时，||3{3,2,1,0}y x =-∈---，所以A B ={2,1,0}--，故选C ．8．【答案】B 【解析】111]试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B ．考点：几何体的结构特征． 9．【答案】C【解析】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r ，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr 2=25π．故选C ．【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．10．【答案】B 【解析】试题分析：()21212121101010242=⨯+⨯+⨯=，故选B. 考点：进位制 11．【答案】A【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，∵抛物线y 2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点∴|AB|=2﹣（x 1+x 2），又x 1+x 2=﹣6∴∴|AB|=2﹣（x 1+x 2）=8故选A12．【答案】B【解析】解：设点M 的直角坐标为（x ，y ，z ），∵点M 的球坐标为（1，，），∴x=sincos=，y=sinsin=，z=cos=∴M 的直角坐标为（，，）．故选：B ．【点评】假设P （x ，y ，z ）为空间内一点，则点P 也可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 与点P 间的距离，θ为有向线段OP 与z 轴正向的夹角，φ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到OM 所转过的角，这里M 为点P 在xOy 面上的投影．这样的三个数r ，φ，θ叫做点P 的球面坐标，显然，这里r ，φ，θ的变化范围为r ∈[0，+∞），φ∈[0，2π]，θ∈[0，π]，二、填空题13．【答案】15422=-x y 【解析】试题分析：由题意可知椭圆1362722=+y x 的焦点在y 轴上，且927362=-=c ，故焦点坐标为()3,0±由双曲线的定义可得()()()()4340153401522222=++---+-=a ,故2=a ，5492=-=b ，故所求双曲线的标准方程为15422=-x y ．故答案为：15422=-x y ．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 14．【答案】 7 ．【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y ，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B 时，直线y=﹣的截距最大，此时z 最大．由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．【答案】①②⑤．【解析】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x ＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．16．【答案】10cm【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，∴A′B==10cm．故答案为：10．【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．17．【答案】2【解析】18．【答案】②③．【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．故正确的命题为②③．故答案为：②③．【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．三、解答题19．【答案】【解析】解；（1）由题意可设椭圆的标准方程为，c为半焦距．∵右顶点为D（2，0），左焦点为，∴a=2，，．∴该椭圆的标准方程为．（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点M（x，y）．由中点坐标公式可得，解得．（*）∵点P是椭圆上的动点，∴．把（*）代入上式可得，可化为．即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆．（3）①当直线BC的斜率不存在时，可得B（0，﹣1），C（0，1）．∴|BC|=2，点A到y轴的距离为1，∴=1；②当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，B（x1，y1），C（﹣x1，﹣y1）（x1＜0）．联立，化为（1+4k2）x2=4．解得，∴．∴|BC|==2=．又点A到直线BC的距离d=．∴==，∴==，令f（k）=，则．令f′（k）=0，解得．列表如下：又由表格可知：当k=时，函数f（x）取得极小值，即取得最大值2，即．而当x→+∞时，f（x）→0，→1．综上可得：当k=时，△ABC的面积取得最大值，即．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值．20．【答案】【解析】（1）解：当a=λ时，函数f（x）=﹣alnx=﹣（x＞0）．f′（x）=﹣=，∵λ＞0，x＞0，∴4x2+9λx+3λ2＞0，4x（λ+x）2＞0．∴当x＞λ时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜λ时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴当x=λ时，函数f（x）取得极小值，即最小值，∴f（（λ）==0，解得λ=．（2）证明：函数f（x）=﹣alnx=﹣alnx=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．u′（x）=1﹣=，可知：当x＞a时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增，x→+∞，u（x）→+∞．一定存在x0＞0，使得当x＞x0时，u（x0）＞0，∴存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞u（x）＞u（x0）＞0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）解法一：依题意有，答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为．所以选乙合适．（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．23．【答案】【解析】解：（1）由表可得：；又；∴，；∴线性回归方程为：；（2）根据回归方程：当x=10时，y=﹣2×10+50=30；∴估计当气温为10℃时的用电量为30度．【点评】考查回归直线的概念，以及线性回归方程的求法，直线的斜截式方程．24．【答案】【解析】解：（1），=5…且，代入回归直线方程可得∴=0.6x+3.2，x=6时，=6.8，…（2）X的取值有0，1，2，3，则，，，…【点评】本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查学生分析解决问题的能力．25．【答案】【解析】【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）利用所给的数据画出散点图；（2）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a ，写出线性回归方程．（3）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．【解答】解：（1）画出散点图，如图所示：（2）=12.5， =8.25，∴b=≈0.7286，a=﹣0.8575∴回归直线方程为：y=0.7286x ﹣0.8575；（3）要使y ≤10，则0.728 6x ﹣0.8575≤10，x ≤14.901 9．故机器的转速应控制在14.9转/秒以下．【点评】本题考查线性回归分析，考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，考查不等式的解法，是一个综合题目．26．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20根据平均数值公式求解即可．（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，求解数学期望即可．【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：0 1 2 3即E（X）=0×=．【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力。

山西省太原市2018届高考数学模拟考试(一)试题理精品

太原市2018年高三年级模拟考试（一）数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题和答题卡上。

2．回答第I 卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试题上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，须用0,5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡相对应的答题区域内，写在本试题上无效。

5．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ== 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数1ii+的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞内单调递减的函数是（）A ．2y x =B ．||1y x =+C ．lg ||y x =-D ．||2x y =3．若右边表示的程序框图输出的S 是126，则条件①可以是（） A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤4．甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是2334和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A ．12B ．14C ．16D ．5125．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和。

山西省太原市2018届高考第三次模拟考试数学试题(理)有答案

太原市2018年高三年级模拟试题（三）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|320,|230A x x x B x x =-+<=->，则R A C B =（）A ．31,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 若()125i z i -+=-，则z 的值为（）A ． 3B ．5C 3. “221a b +=”是“sin cos 1a b θθ+≤”恒成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 若01a b <<<，则1,,log ,log b a b aa b a b 的大小关系为（）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>>5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数n 除以正整数m 后的余数为r ，则记为()mod n r m =，例如()112mod3=.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n 等于（）A ．21B ． 22 C. 23 D ．246. 已知()()611x ax -+展开式中2x 的系数为0，则正实数a =（） A ．1 B ．25 C. 23D ．2 7. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，若1111,3n n a S a +==，则7a =（） A ．74 B ．534⨯ C. 634⨯ D ．641+8. 如图是正四面体的平面展开图，,,,G H M N 分别是,,,DE BE EF EC 的中点，在这个正四面体中：①DE 与MN 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（）A ． 1B ． 2 C. 3 D ．49. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于,M N 两点，若3PF MF =，则MN =（）A ．163B ．8 C. 16 D 10. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1B -，且在,183ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12172,,123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=（）A ．． -1 C. 1 D11. 下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．514πB．412πC. 41π D．31π12. 设函数()f x满足()()()2232,28xex f x x f x e f'+==，则2x≥时，()f x的最小值为（）A．22eB．232eC.24eD．28e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.由曲线y=y x=所围成的图形的面积是．14.已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的实轴长为16，左焦点为,F M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM MF⊥，O为坐标原点，若16OMFS∆=，则双曲线C的离心率为．15.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有种（用数字作答）.16.已知数列{}n a与{}n b满足()()()1*113121,2nnn n n n nb a b a b n N-+++-+=-+=∈，且12a=，则2na=．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知ABC∆的内切圆面积为π，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，若()2cos cosb c A a C-=.（1）求角A；（2）当AB AC的值最小时，求ABC∆的面积.18. 如图，在梯形ABCD中，0//,120AB CD BCD∠=，四边形ACFE为矩形，CF⊥平面,ABCD AD CD BC CF===，点M是线段EF的中点.（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）求平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的余弦值.19.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X 为该车在第四年续保时的费用，求X 的分布列；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车. ①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元，若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为).不过原点的直线l 与椭圆C 相交于,M N 两点，设直线OM ，直线l ，直线ON 的斜率分别为12,,k k k ，且12,,k k k 成等比数列. （1）求12k k 的值；（2）若点D 在椭圆C 上，满足()221,0OD OM ON λμλμλμ=++=≠的直线l 是否存在？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.已知函数()()()ln 20f x x a ax a =+->的最大值为()M a .（1）若关于a 的方程()M a m =的两个实数根为12,a a ，求证：1241a a <；（2）当2a >时，证明函数()()g x f x x =+在函数()f x 的最小零点0x 处取得极小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭射线:6OM πθ5=与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()21f x x x =++-.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()10f x ax +->的解集为R ，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDADC 6-10: BBCAB 11、12：CD 二、填空题13. 16142n -三、解答题17.解：（1）由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=， ∴2sin cos sin cos sin cos sin B A C A A C B =+=， ∵sinB 0≠，∴2cos 1A =， ∴3A π=；（2）由余弦定理得222a b c bc =+-，由题意可知ABC ∆的内切圆半径为1，如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，,D E 为切点，可得2,AI AD AE ===，则b c a +-=于是(222b c b c bc +-=+-，化简得()4b c =+≥，所以12bc ≥或43bc ≤，又b c >>，所以12bc ≥，即[)16,2AB AC bc =∈+∞，当且仅当b c =时，AB AC 的最小值为6，此时三角形ABC 的面积11sin 12sin 223bc A π==⨯⨯=18.解：（1）在梯形中ABCD ，∵0//,,120AB CD AD BC BCD =∠=， ∴060,120DAB ABC ADC ∠=∠=∠=，又∵AD CD =，∴030DAC ∠=，∴030CAB ∠=，∴090ACB ∠=，即BC AC ⊥. ∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC CF ⊥，而CF BC C =，∴AC ⊥平面BCF ，∵//EF AC ，∴EF ⊥平面BCF ；（2）建立如图所示空间直角坐标系，设1AD CD BC CF ====，则())()0,0,0,,0,1,0,C AB M ⎫⎪⎪⎝⎭，∴()33,1,0,,1,12AB BM ⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭，设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由110n AB nBM⎧=⎪⎨⎪⎩得00y x y z ⎧+=-+=，取1x =，则11,3,2n ⎛=⎝⎭， ∵()21,0,0n =是平面FCB的一个法向量， ∴1212cos 1n n n n θ===+. 19.解：（1）由题意可知X 的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a ，由统计数据可知：()()()()()()1111310.9,0.8,0.7,, 1.1, 1.348841616P X a P X a P X a P X a P X a P X a ============，所以X 的分布列为（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为4，三辆车中至少有2辆事故车的概率为321311351144432P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为4000,8000-. 所以的分布列为：1 3所以()40008000500044E Y =-⨯+⨯=，所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为()10050E Y ⨯=万元. 20.解：（1）由已知得2c c e a ===，则224,1a b ==，故椭圆C 的方程为2214x y +=；设直线l 的方程为()()()11220,,,,y kx m m M x y N x y =+≠，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()()222148410,0k x kmx m +++-=∆>，则()2121222418,1414m kmx x x x k k -+=-=++，由已知()()()21212221212121212kx m kx m km x x m y y k k k k x x x x x x ++++====+，则()2120km x x m ++=，即22222810,144k m m k k -+==+，所以21214k k k ==；（2）假设存在直线l 满足题设条件，且设()00,D x y ，由OD OM ON λμ=+，得012012,x x x y y y λμλμ=+=+，代入椭圆方程得：()()22121214x x y y λμλμ+++=，即2222221212121221442x x x x y y y y λμλμλμ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121240x x y y +=，即()()121240x x kx m kx m +++=，则()()22121214440k x x km x x m ++++=，所以()()2222222413214401414m k m k m k k-+-+=++，化简得：22214m k =+，而214k =，则1m =±，此时，点,M N 中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处），与12,k,k k 成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在.21.解：（1）()()121,2,022a x a a f x a x a a x ax a⎛⎫-+-⎪⎝⎭'=-=>->++，由()0f x '>，得122a x a a -<<-；由()0f x '<，得12x a a>-；所以，()f x 的增区间为12,2a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，减区间为12,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以()21221ln M a f a a a a ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，不妨设12a a <，∴22112221ln 21ln a a a a --=--， ∴()222212112ln ln lna a a a a a -=-=， ∴22212121212ln a a aa a a a a -=，∴2121212142ln a a a a a a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴211221122ln4a a a a a a a a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()()12ln 1h t t t t t =-->，则()22121110h t t t t ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，所以，()h t 在()1,+∞上单调递增，()()10h t h >=，则12ln 0t t t->>，因211aa >，故2212121121122ln2ln 0,1a a a a a a a a a a a a ->><-，所以1241a a <；（2）由（1）可知，()f x 在区间12,2a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，又2x a →-时，()f x →-∞，易知，()21221ln f a M a a a a ⎛⎫-==--⎪⎝⎭在()2,+∞递增，()()27ln 20M a M >=->，∴0122a x a a -<<-，且02a x x -<<时，()0f x <；012x x a a<<-时，()0f x >，当122a x a a -<<-时，()()()()()()001ln 2,21ln 21,2a x x a a x x g x x a a x x x a a ⎧+-+-<<⎪=⎨⎛⎫+--<<- ⎪⎪⎝⎭⎩，于是02a x x -<<时，()()()0111122g x a a x a x a'=+-<+-++，所以，若证明0121x a a <-+，则证明()01102a x a +-<+，记()()211221ln 111H a f a a a a a ⎛⎫=-=+--+⎪++⎝⎭，则()()211411H a a a a '=--++，∵2a >，∴()118093H a '>-->，∴()H a 在()2,+∞内单调递增，∴()()222ln 203H a H >=->， ∵11221a a a a-<-+， ∴()f x 在112,22,21a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-⊆-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭内单调递增， ∴012,21x a a a ⎛⎫∈-- ⎪+⎝⎭，于是02a x x -<<时， 22.解：（1）圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数），∴圆C 的普通方程为()2239x y +-=；（2）化圆C 的普通方程为极坐标方程6sin ρθ=，设()11,P ρθ，则由6sin 6ρθπθ=⎧⎪5⎨=⎪⎩解得1153,6πρθ==，设()22,Q ρθ，则由2sin 656πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2254,6πρθ==，∴211PQ ρρ=-=.23.解：（1）∵函数()()21213f x x x x x =++-≥+--=，故函数()21f x x x =++-的最小值为3，此时21x -≤≤；（2）当不等式()10f x ax +->的解集为R ，函数()1f x ax >-+恒成立，即()f x 的图象恒位于直线1y ax =-+的上方，函数()21,2213,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩，而函数1y ax =-+表示过点()0,1，斜率为a -的一条直线，如图所示：当直线1y ax =-+过点()1,3A 时，31a =-+， ∴2a =-，当直线1y ax =-+过点()2,3B -时，321a =+，∴1a =，数形结合可得a 的取值范围为()2,1-.。