积分中值定理的推广及应用张艳丽
关于积分中值定理的教学探讨
关于积分中值定理的教学探讨
王东霞;李富强
【期刊名称】《河南城建学院学报》
【年(卷),期】2005(014)005
【摘要】通过具体例子讨论了积分中值定理的应用,并指出了在题设或结论中出现定积分时的题型解决办法,对于理解和应用积分中值定理有一定的帮助.
【总页数】4页(P70-73)
【作者】王东霞;李富强
【作者单位】平顶山工学院,河南,平顶山,467001;平顶山工学院,河南,平顶
山,467001
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.广义积分中值定理与积分中值定理“中间点”渐近性基本定理 [J], 施丽梅;李毅夫
2.拉格朗日中值定理与积分中值定理的关系 [J], 胡旭东;
3.微分中值定理与积分中值定理的逆定理 [J], 张兴龙;王丽霞
4.基于微分中值定理证明微积分基本公式和积分中值定理 [J], 郑权
5.关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进 [J], 陈卫星;马全中
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积分中值定理的推广及应用
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１积分中值定理的推广及应用积分中值定理的推广及应用Һ丁建华㊀（甘肃有色冶金职业技术学院教育系，甘肃㊀金昌㊀７３７１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文首先对积分中值定理的几何特征进行详细介绍，并对该定理中ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上恒为常数㊁ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不为常数函数做出一定的补充，并证明此结论也是成立的；其次，对第一积分中值定理和第二积分中值定理进行了推广，并进一步证明了结论的准确性；最后，通过不等式的证明㊁极限的求值进一步验证了改进结论的正确性．ʌ关键词ɔ中值定理；连续性；不等式一㊁积分中值定理的几何特征与补充积分中值定理的几何意义可以理解为：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上非负连续时，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ在几何上可以表示为ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ及ｘ轴所围成的曲边梯形面积（如图１，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ表示曲边梯形ＡａｂＢ的面积）．根据闭区间上连续函数的性质，ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上存在最大值Ｍ和最小值ｍ，即∀ｘɪ［ａ，ｂ］，有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，从而ｍ（ｂ－ａ）ɤʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ（ｂ－ａ）．它可以化为ｍɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ．由连续函数的介值定理，则至少有这样的一个点ξɪ［ａ，ｂ］，使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，则ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．根据上面知识点，我们可以获得数学分析中常用的重要积分学性质和定理．积分中值定理㊀若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则在［ａ，ｂ］上至少存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）（ａɤξɤｂ）．这里要求函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续即可，对函数没有严格要求．进一步地，我们可将ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续的这一条件更改为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，其结论仍然成立．当ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续且非负时，积分公式ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）有着明显的几何意义，即ｙ＝ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的曲边梯形面积等于以图１所示的ｆ（ξ）为高㊁［ａ，ｂ］为底的矩形面积，即以ｆ（ξ）为高的矩形ＡａｂＤ的面积．㊀图１通过对上面图１进一步分析，我们可以发现定理中的ξɪ［ａ，ｂ］可以改为ξɪ（ａ，ｂ），事实上，若ξ仅取在［ａ，ｂ］的端点上，不妨设ξ＝ａ，则可从图２中看出，曲边梯形ＡａｂＢ的面积ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ与矩形ＡａｂＤ的面积不可能相等．㊀图２本文给出如下两种证明．证法一：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上恒为常数，则ξ取（ａ，ｂ）内任意一点，结论都是成立的．若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为一个变量函数，设Ｍ，ｍ分别为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值与最小值，则存在ｘ０ɪ（ａ，ｂ），使得ｍɤｆ（ｘ０）ɤＭ．事实上，若这样的ｘ０不存在，则在［ａ，ｂ］上必存在一点ｘ１，使得ｆ（ｘ）在ａ，ｘ１[]上恒有ｆ（ｘ）＝ｍ或ｆ（ｘ）＝Ｍ()，在［ｘ１，ｂ］上恒有ｆ（ｘ）＝Ｍ（或ｆ（ｘ）＝ｍ）．这样一来，ｘ１是间断点，与ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续矛盾．又ｆ（ｘ）在ｘ０连续，则存在δ＞０，ｘ０－δ，ｘ０＋δ()⊂［ａ，ｂ］，当ｘ－ｘ０＜δ时，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜Ｍ－ｆ（ｘ０）２和ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜ｆ（ｘ０）－ｍ２，从而Ｍ－ｆ（ｘ０）＞Ｍ－ｆ（ｘ０）２＞０，ｆ（ｘ０）－ｍ＞ｆ（ｘ０）－ｍ２＞０，于是ʏｘ０＋δｘ０－δ［Ｍ－ｆ（ｘ）］ｄｘȡʏｘ０＋δｘ０－δＭ－ｆ（ｘ０）２éëêùûúｄｘ，即ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘɤＭ－ｆ（ｘ０）２ʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，又ｆ（ｘ０）＜Ｍ，ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，同理有ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，于是ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏｘ０－δａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂｘ０＋δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０－δａｄｘ＋Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ＋Ｍʏｂｘ０＋δｄｘ＝Ｍ（ｂ－ａ）．同理可得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍ（ｂ－ａ），㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１因此ｍ（ｂ－ａ）＜ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ（ｂ－ａ），即ｍ＜１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ．由介值定理，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），其中ξɪ（ａ，ｂ）．证法二：作辅助函数Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ，ｘɪ［ａ，ｂ］，则Ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的可微函数，且Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），由微分中值定理，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ａ）－Ｆ（ｂ）＝Ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）．注意到，Ｆ（ｂ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｆ（ａ）＝０，则有ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），ξɪ（ａ，ｂ）．于是，我们可以进一步将积分中值定理进行推广．设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不能等于零，同时符号不会改变，在这样特殊的情形下，可以得到如下的结论，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．令Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ，Ｇ（ｘ）＝ʏｘａｇ（ｔ）ｄｔ，则由微分学的柯西中值定理知，Ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）Ｇ（ｂ）－Ｇ（ａ）＝Ｆᶄ（ξ）Ｇ（ξ），ξɪ（ａ，ｂ），即有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ｇ（ξ）ｇ（ξ），ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．但当ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］只是可积分，并且恒为正或恒为负时，前面我们进行推导的思路完全行不通，即不可能成立，因为可积不变号时，ｇ（ｘ）可以等于零，我们就不能使用上面的结论了．二㊁第一㊁第二积分中值定理的推广及其证明积分第一中值定理设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积不变号，则在［ａ，ｂ］存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．积分第二中值定理设（ⅰ）ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续；（ⅱ）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上单调递增且连续；（ⅲ）ｆ（ｘ）ȡ０，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．推论１．若积分第二中值定理中的递增改为递减，其他条件不变的情况下，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ．２．若积分第二中值定理中的ｆ（ｘ）ȡ０去掉，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．当ξ所在区间［ａ，ｂ］变为（ａ，ｂ），其余条件㊁结论不变，我们就可以将积分中值定理进一步推广．接下来，我们进一步证明积分中值定理的推广定理，先验证积分第一中值定理的推广．证明㊀由于ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续．设Ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值，ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最小值，即有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，又由于ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上定号，不妨令ｇ（ｘ）ȡ０（ｇ（ｘ）ɤ０的情况同理），从而有ｍｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ɤＭｇ（ｘ），即ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘɤＭʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（１）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝０，由上面不等式的结论可知，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝０，因此有ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（２）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０．（ⅰ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ｍ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ时，由闭区间上连续函数的介值定理我们可以知道，有一ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（ⅱ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，（ａ）假如有一ξɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ξ）＝ｍ，我们可以得到ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ结论成立．（ｂ）除此之外，对任意的ｘɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ｘ）＞ｍ，而由ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０，必定存在充分小的数η，使得ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０（倘若不然的话，对于任意的正数η，都有ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０，从而ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍηң０ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０与ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０矛盾）．于是得到０＝ʏｂａ［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘȡʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ．利用原积分中值定理，得ʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ＝［ｆ（ξᶄ）－ｍ］ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０，ξᶄɪ［ａ＋η，ｂ－η］⊂（ａ，ｂ）．与之比较，知矛盾．（ⅲ）Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，这个证明类似于证㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１明（ⅱ）的过程．综上所述，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ成立．证毕！根据积分第一中值定理的推广证明，我们同样可以对积分第二中值定理的推广进行证明．接下来，我们试证积分第二中值定理的推广结果．证明㊀由ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可导，从而有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｇ（ｘ）ｄＦ（ｘ）＝ｇ（ｂ）Ｆ（ｂ）－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ－ｇ（ａ）Ｆ（ａ）＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ．对于ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ应用推广的第一积分中值定理，得到ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］，其中ξɪ（ａ，ｂ），从而有ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ｇ（ｂ）ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂξｆ（ｘ）ｄｘ[]－ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．证毕！三㊁积分中值定理的应用例１㊀证明下列积分不等式：（１）π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＜π２；（２）２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．证明㊀（１）由积分中值定理，有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＝１１－１２ｓｉｎ２ξ㊃π２，其中ξɪ０，π２()，当ξɪ０，π２()时，有０＜ｓｉｎ２ξ＜１，从而１＜１１－１２ｓｉｎ２ξ＜２，因此有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ξｄｘ＜π２．证毕．（２）由定积分性质，有ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＝ʏ１２０ｅｘ２－ｘｄｘ＋ʏ２１２ｅｘ２－ｘｄｘ＝１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２，其中ξ１ɪ０，１２()，ξ２ɪ１２，２()，又ｅｘ在－ɕ，＋ɕ()上严格单调递增，而ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｘ在０，１２[]上严格单调递减，在１２，２[]上严格单调递增，所以，当ξ１ɪ０，１２()时，ｅ－１４＜ｅξ２１－ξ１＜１；当ξ２ɪ１２，２()时，ｅ－１４＜ｅξ２２－ξ２＜ｅ２．从而１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＞１２ｅ－１４＋３２ｅ－１４＝２ｅ－１４，１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＜１２＋３２ｅ２＜２ｅ２，因此２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．如果ξ取自任意闭区间，使得积分中值定理成立，则需要将例１的证明结果做进一步的讨论．由此可见，对积分中值定理进行改进或者推广对我们的学习很有帮助，当然，我们也要合理使用该定理，否则就会出现错误的结论．例２㊀证明：ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．如果利用积分中值定理，得ʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ξｎ１＋ξ，其中ξɪ０，１()，从而ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ｌｉｍｎңɕʏ１０ξｎ１＋ξｄｘ＝０，这是错误的，因为ξ与ｎ有关．正确的解法是：因为０ɤｘｎ１＋ｘɤｘｎ，ｘɪ０，１[]，所以０ɤʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘɤʏ１０ｘｎｄｘ，而ʏ１０ｘｎｄｘ＝１１＋ｎ，ｌｉｍｎңɕ１１＋ｎ＝０，因此ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．证毕！ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］黎金环，刘丽霞，朱佑彬．积分中值定理在一道极限题的应用分析［Ｊ］．高等数学研究，２０２１（２）．［３］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３．［４］郝玉芹，时立文，欧阳占瑞．对积分中值定理结论的一点改动［Ｊ］．河北能源职业技术学院学报，２００７（３）．［５］周冰洁．巧用积分中值定理［Ｊ］．现代职业教育，２０１９（３１）．［６］余小飞．积分中值定理在积分不等式中的应用［Ｊ］．当代教育实践与教学研究，２０１７（８）．。
二元函数的积分中值定理的探究
目录摘要 (I)关键词 (I)Abstract (II)Key words (II)前言 (1)1预备知识 (1)1.1相关定理 (1)2 多元函数积分中值定理的各种形式 (2)2.1 曲线积分中值定理的推广 (2)2.1.1第一型曲线积分中值定理 (2)2.1.2第二型曲线积分中值定理 (4)2.2二重积分中值定理的探究及推广 (5)2.3曲面积分中值定理的探究及推广 (7)2.3.1第一型曲面积分中值定理 (7)2.3.2第二型曲面积分中值定理 (7)结论 (9)参考文献 (10)致谢 (11)摘要：积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了二元函数的曲线、重积分、曲面的各种形式中值定理，而且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式.关键词：积分中值定理；第二中值定理；曲线积分中值定理；二重积分中值定理；曲面积分中值定理Study on mean-value theorems for Riemann-Stieltjes integrals offunctions of two variablesAbstract: Mean-value theorems for integrals are one of theorems in mathematical analysis. In this paper mean-value theorem for Riemann-Stieltjes integrals of functions of two variables are discussed. We obtain all kinds of mean-value theorems for integrals which include curvilinear, multiple and surface integrals. Finally, the proofs of mean-value theorems are given.Key word s: mean-value theorem integral; second mean-value theorems; curvilinear integral; multiple integrals; surface integrals二元函数的积分中值定理的探究前言积分中值定理是微积分中的一个重要定理，主要包含一元函数及多元函数的积分中值定理，它在数学分析中占有很重要的地位.但是许多文献，对于多元函数的曲线积分、曲面积分、重积分的中值定理的探究相对较少或相对浅略.基于这个理由，我们将借鉴一元函数的第一、第二积分中值定理的研究方法及思想，在文献[1-6]的基础上，主要讨论二元函数的积分中值定理在曲线、曲面、重积分情形上是否成立，通过研究该课题，进一步完善积分中值定理的相关理论.1预备知识1.1相关定理定理1[5]假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，且()f x 在区间[,]a b 上可积，则有()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ ()a b <成立. 定理2[5](一元函数的介值性定理 ) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续.并且函数()f a 与()f b 函数不相等.如果μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>，则至少存在一点0x ，使得0()f x μ=成立，其中0(,)x a b ∈. 定理3[5](二元函数的介值性定理)设函数f 在区域2D R ⊂上连续，若12,P P 为D 中任意两点，且12()()f P f P <，则对任何满足不等式12()()f P f P μ<<的实数μ，必存在点0p D ∈，使得0()f P μ=.定理4]3[（定积分中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式()()()baf x dx f b a ξ=-⎰()a b ξ≤≤成立.定理5]3[（推广的第一积分中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰ ()a b ξ≤≤成立. 定理6]3[（积分第二中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，而()g x 在区间(,)a b 上单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰定义1[6]设平面光滑曲线L :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈，两端点为((),())A x y αα和((),())B x y ββ.若()x t 在[,]αβ上不变号，称曲线L 关于坐标x 是无反向的. 若()y t 在[,]αβ上不变号，称曲线L 关于坐标y 是无反向的.2 多元函数积分中值定理的各种形式受文献[1],文献[2]的启发，本文主要对曲线积分的三种形式，二重积分及曲面积分的三种形式的中值定理进行探讨.2.1 曲线积分中值定理的推广首先对曲线积分中值定理进行探讨，在本文中只讨论曲线C :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈为参数方程的情形，而对于曲线C 为直角坐标形式及其它形式的积分中值定理类似地可得到. 2.1.1（第一型曲线积分中值定理）定理7 如果函数(,)f x y 在光滑有界曲线C :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη.使(,)(,)Cf x y ds f S ξη=⎰成立，其中Cds ⎰为曲线C 的弧长，并且Cds S =⎰.证明 因为函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，所以22(,)((),())()()Cf x y ds f x t y t x t y t dt βα''=+⎰⎰记 22()((),()),()()()F t f x t y t G t x t y t ''==+由已知条件知()F t 在[,]αβ上连续，()G t 在[,]αβ上连续且非负，则根据推广的第一积分中值定理，0[,]t αβ∃∈，00(,)((),())x t y t ξη=使2222(,)((),())()()(,)()()(,)Cf x y ds f x t y t x t y t dt f x t y t dt f S ββααξηξη''''=+=+=⎰⎰⎰成立.即(,)(,)Cf x y ds f S ξη=⎰从而命题得证.在数学分析等文献中仅仅阐述了定理7，而对两个函数乘积的曲线积分中值定理未提到，下面我们将对其探究证明,并进行推广.定理8]1[如果函数(,),(,)f x y g x y 在光滑有界曲线C (),(),[,]x x t y y t t αβ==∈上连续，(,)g x y 在C 上不变号，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)(,)(,)CCf x yg x y ds f g x y ds ξη=⎰⎰成立.证明 由于22(,)(,)((),())((),())()()Cf x yg x y ds f x t y t g x t y t x t y t dt βα''=+⎰⎰，由条件知,(,)g x y 在C 上不变号，则22((),())()()g x t y t x t y t ''+在[,]αβ上不变号，(,),(,)f x y g x y 又在C 上连续，由此可知22((),())((),())()()f x t y t g x t y t x t y t ''+在[,]αβ上也连续. 由定理7可知0[,]t αβ∃∈，使得00(,)((),())x t y t ξη=,有以下式子222200((),())((),())()()((),())((),())()()f x t y t g x t y t x t y t dt f x t y t g x t y t x t y t dt ββαα''''+=+⎰⎰成立. 即(,)(,)(,)(,)CCf x yg x y ds f g x y ds ξη=⎰⎰从而命题得证.定理9如果函数(,),(,)f x y g x y 在光滑有界闭曲线(,)C A B :(),()x x t y y t ==,[,]t αβ∈上连续可积，(,)g x y 在C 上不变号,其中min (,)m f x y =,max (,)M f x y =，其中(,)x y C ∈.则在曲线(,)C A B 上至少存在一点O ,把曲线(,)C A B 分为曲线1(,)C A O 和曲线2(,)C O B ,使得12(,)(,)(,)(,)(,)(,)CC A O C O B f x y g x y ds m g x y ds M g x y ds =+⎰⎰⎰成立.证明 由定理8知(,)(,)(,)(,)CCf x yg x y ds f g x y ds ξη=⎰⎰，记(,)f k ξη=，则有m k M <<.记12(,)(,)(,)(,)(,)C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =--⎰⎰⎰Q 是关于点(,)O x y 的函数. (1)当(,)0Cg x y ds =⎰时，显然成立.（2）当(,)0Cg x y ds >⎰,当1C C =时， 则有1(,)(,)(,)()(,)C A O CCQ k g x y ds m g x y ds k m g x y ds =-=-⎰⎰⎰；由于0k m ->，，于是有1(,)(,)(,)()(,)0C A O CCQ k g x y ds m g x y ds k m g x y ds =-=->⎰⎰⎰即12(,)(,)(,)(,)(,)0C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =-->⎰⎰⎰.当2C C =时， 则有1(,)(,)(,)()(,)C A O CCQ k g x y ds M g x y ds k M g x y ds =-=-⎰⎰⎰；由于0k M -<，(,)0Cg x y ds >⎰，于是有1(,)(,)(,)()(,)0C A O CCQ k g x y ds M g x y ds k M g x y ds =-=-<⎰⎰⎰,即12(,)(,)(,)(,)(,)0C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =--<⎰⎰⎰.（3）当(,)0Cg x y ds <⎰,类似可讨论.综上由零点存在定理，则至少有一点O C ∈，使得0Q =,即12(,)(,)(,)(,)(,)0C A O C O B CQ k g x y ds m g x y ds M g x y ds =--=⎰⎰⎰即12(,)(,)(,)(,)(,)(,)CC A O C O B f x y g x y ds m g x y ds M g x y ds =+⎰⎰⎰从而命题得证.以上给出了二元函数的第一型曲线积分中值定理的三种形式及证明，而我们仅仅讨论了曲线C 形如(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈的情形，对于直角坐标的情形，是否也能得到类似的三个定理，类似可讨论.2.1.2（第二型曲线积分中值定理）第二型曲线积分中值定理定理是否成立，接下来我们对其进行探讨. 如果成立，则有如下命题.函数(,)f x y 在光滑有向曲线C 上连续，其中I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影，其中符号“±”是由曲线C 的方向确定的，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Cf x y dx f I ξη=±⎰(1)成立.但有如下例子，设(,)f x y y =,曲线C 为圆，方程为222x y y +=.如图1图1 由积分的对称性知0C I dx -==⎰,可得(,)0f I ξη±=，而0Cy d x π=-≠⎰,故不可能存在点(,)C ξη∈使（1）成立.于是第二型曲线积分中值定理在此不成立.由此可见第二型曲线积分中值定理一般不成立，下面我们探讨特殊形式的第二型曲线积分中值定理. 定理10]1[设(,)P x y ，(,)Q x y 在定向光滑曲线L 上连续，曲线L 上任意一点(,)x y 处与L 方向一致的切线方向与x 轴余弦为cos α，且(,)Q x y 在曲线L 上不变号，则在L 至少存在一点(,)ξη，O X Y 1使得(,)(,)(,)(,)LLP x y Q x y dx P Q x y dx ξη=⎰⎰证明 因为(,)(,)(,)(,)cos LLP x y Q x y dx P x y Q x y ds α=⎰⎰且(,)P x y ，(,)Q x y 在L 上连续，(,)cos Q x y α在曲线L 上不变号，由于曲线L 光滑，从而cos α在线L 上连续，由定理8知，存在(,)L ξη∈,使得(,)(,)cos (,)(,)cos (,)(,)LLLP x y Q x y ds P Q x y ds P Q x y dx αξηαξη==⎰⎰⎰即(,)(,)(,)(,)LLP x y Q x y dx P Q x y dx ξη=⎰⎰从而命题得证. 定理11[6]设曲线L 关于坐标x 是无反向的，(,)f x y ，(,)g x y 为定义在L 上的二元函数，满足(,)f x y ，(,)g x y 沿曲线L 从A 到B 关于坐标x 第二型可积，(,)f x y 在L 上是可介值的，(,)g x y 在L 上不变号.则至少存在一点(,)P L ξη∈,,P A B ≠,使得(,)(,)(,)(,)LLf x yg x y dx f g x y dx ξη=⎰⎰成立.证明过程参考文献[6].推论1设曲线L 关于坐标x 是无反向的，(,)f x y 为定义在L 上的二元函数， (,)f x y 在L 上是可介值的.则至少存在一点(,)P L ξη∈,,P A B ≠,使得(,)(,)LLf x y dx f dx ξη=⎰⎰成立.即(,)(,)Cf x y dx f I ξη=±⎰I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影.类似的，可以推广到对坐标y 的曲线积分以及空间曲线积分上的情形.2.2二重积分中值定理的探究及推广下面给出二重积分中值定理的三种形式.定理12假设函数(,)f x y 在有界是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη使得(,)(,)DDf x y ds f ds ξη=⎰⎰⎰⎰成立.证明 由于函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，假设(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值分别为,M m ，即(,)m f x y M ≤≤.对不等式在区域D 上进行二重积分可得,(,)DDDmds f x y ds Mds ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即(,)DDDm ds f x y ds M ds ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中Dds ⎰⎰为闭区域D 的面积，我们不妨记Dds σ=⎰⎰.有 (,)Dm f x y ds M σσ≤≤⎰⎰由于0σ≠，将不等式除以σ可得1(,)Dm f x y ds M σ≤≤⎰⎰ 由于函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，由二元函数的介值性定理知，则在D 上至少存在一点(,)ξη使得1(,)(,)Df x y ds f ξησ=⎰⎰ 成立.将上式两边同乘以σ即可得到(,)(,)DDf x y ds f ds ξη=⎰⎰⎰⎰从而命题得证.定理13假设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，(,)g x y 在D 上可积且不变号，其中σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη使得(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y ds f g x y d ξησ=⎰⎰⎰⎰成立.证明 不妨设(,)0((,))g x y x y D ≥∈由于函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值分别为,M m ，即(,)m f x y M ≤≤,从而(,)(,)(,)(,)DDDm g x y dxdy f x y g x y dxdy M g x y dxdy ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰若 (,)0Dg x y dxdy =⎰⎰则(,)(,)0Df x yg x y dxdy =⎰⎰成立.即对任意(,)D ξη∈,等式成立； 若(,)0Dg x y dxdy >⎰⎰(,)(,)(,)DDf x yg x y dxdym M g x y dxdy≤≤⎰⎰⎰⎰由二元函数的介值性定理，存在(,)D ξη∈. 使得(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y dxdyf g x y dxdyξη=⎰⎰⎰⎰即(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y ds f g x y d ξησ=⎰⎰⎰⎰从而命题得证.定理14假设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，(,)g x y 在D 上可积且不变号，其中σ是D 的面积，存在两个区域满足12D D D ⋃=,12D D ⋂=∅，(,)f x y 在1D ，2D 上都可积，记min (,)m f x y =，max (,)M f x y =,其中(,x y D ∈）.则有12(,)(,)(,)(,)DD D f x y g x y ds m g x y d M g x y d σσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰成立.证明参照定理9的方法及思想即可以得到.2.3曲面积分中值定理的探究及推广下面分别给出第一型曲面积分与第二型曲面积分中值定理的几种形式. 2.3.1（第一型曲面积分中值定理）定理15设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z ,(,,)g x y z 在S 上连续，(,,)g x y z 在S 上不变号，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)(,,)(,,)SSf x y zg x y z dS f g x y z ds ξηδ=⎰⎰⎰⎰成立，其中A 是曲面S 的面积.证明 因为22(,,)(,,)(,,(,))(,,(,))1x y SDf x y zg x y z dS f x y z x y g x y z x y z z d σ''=++⎰⎰⎰⎰因为(,,)f x y z ，(,,)g x y z 在曲面S 上连续,可得22(,,(,))(,,(,))1x y f x y z x y g x y z x y z z ''++在D 上也连续，由于(,,)g x y z 在S 上不变号，所以22(,,(,))1x y g x y z x y z z ''++在D 上不变号.由二重积分的中值定理(定理13)，可知存在(,)D ξη∈,使得(,)z δξη=，且2222(,,(,))(,,(,))1(,,(,))(,,(,))1x y x y DDf x y z x yg x y z x y z z d f z g x y z x y z z d σξηξησ''''++=++⎰⎰⎰⎰(,,(,)(,,)(,,)(,,)SSf zg x y z ds f g x y z ds ξηξηξηδ==⎰⎰⎰⎰从而命题得证.推论2 设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z ,在S 上连续，在S 上不变号，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z dS f A ξηδ=⎰⎰成立，其中A 是曲面S 的面积.定理16设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z ,(,,)g x y z 在S 上连续，(,,)g x y z 在S 上不变号，存在两个光滑曲面满足12S S S ⋃=,12S S ⋂=∅,(,,)f x y z 在1S ,2S 上都可积，记m i n (,,m f x y z =，max (,,)M f x y z =.其中(,,)x y z S ∈则有12(,,)(,,)(,,)(,,)SS S f x y z g x y z dS m g x y z ds M g x y z ds =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰成立.证明方法参照定理9.在这里我们证明了第一型曲面积分的积分中值定理的几种类型，并进行了推广探究，得到了相关的定理.2.3.2（第二型曲面积分中值定理）接下来我们对第二型曲面积分的积分中值定理是否成立?以及有几种类型进行探讨. 若成立，则有如下面命题.若有光滑曲面:(,),(,)yz S z x y x y D ∈，其中yz D 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，A 是S 的投影yz D 的面积，由此在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)S f x y z dydz f A ξηζ=±⎰（2）成立.但有如下例子， 设S 是2221x y z ++=在0z ≥的部分，并取球面外侧为正，把曲面表示为参量方程sin cos x ϕθ=，sin sin y ϕθ=，cos z ϕ= ,02)2πϕθπ≤≤≤≤（0可得 2(,)sin cos (,)yy y z A zz ϕθϕθϕθϕθ∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂ 他们在yz 平面上的投影区域如图2，图2可知222200(,)sin cos sin cos 0(,)S D D y z A dydz d d d d d d ϕθϕθππϕθϕθϕθϕϕθθϕθ-∂=====∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,从而(,,)0f A ξηζ±=,取3(,,)f x y z x =，则有254542002(,,)sin cos sin cos 05S D f x y z dydz d d d d ϕθππϕθϕθϕϕθθπ===≠⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 故曲面S 上不存在一点(,,)ξηζ，使（2）成立. 于是第二型曲面积分中值定理在此不成立.由此可见第二型曲面积分中值定理一般不成立，下面我们探讨特殊形式的第二型曲面积分中值定理.定理17[1]设(,,)F x y z ，(,,)Q x y z 在定侧光滑曲面S ：(,)z z x y =，(,)x y D ∈上连续，(,,)Q x y z 在S 上不变号，则在S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使得(,,)(,,)(,,)(,,)S SF x y z Q x y z dxdy F Q x y z dxdy ξης=⎰⎰⎰⎰ 证明 不妨设曲面S ：(,)z z x y =，(,)x y D ∈取上侧，曲面S 上点(,,(,))x y z x y 处外法向量的方向角为α，β，γ，则221cos 1x y z z γ=''++，(,,)(,,)(,,)(,,)cos S SF x y z Q x y z dxdy F x y z Q x y z dS λ=⎰⎰⎰⎰ 由于(,,)F x y z ，(,,)Q x y z 在定侧光滑曲面S 上连续，(,,)Q x y z 在S 上不变号，曲面S 光滑，从而(,,)cos Q x y z γ在曲面S 上连续不变号，由定理15知，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使得(,,)(,,)cos (,,)(,,)cos S SF x y z Q x y z dS F Q x y z dS γξηςγ=⎰⎰⎰⎰ 又由于 (,,)(,,)cos (,,)(,,)S S F Q x y z dS F Q x y z dxdy ξηςγξης=⎰⎰⎰⎰即(,,)(,,)(,,)(,,)S SF x y z Q x y z dxdy F Q x y z dxdy ξης=⎰⎰⎰⎰ 从而命题得证. 结论本论文主要介绍了二元函数的曲线、曲面以及重积分的各类积分中值定理.另外，曲线积分中值定理的坐标形式，三元及三元以上函数的积分中值定理在此论文中未进行探究，望大家继续研究这些问题，进一步完善积分中值定理.参考文献[1]杜红霞.曲线积分与曲面积分中值定理[J].赣南师范学院报，2006，6:1-2.[2]冯美强.关于积分中值定理的改进[J].北京机械工业学院学报，2007,22（4）:1-4.[3]皱成.二重积分中值定理的改进[J].石河子大学学报，2006,24（5）：1-4.[4]王旭光.二重积分中值定理的推广[J].徐州师范大学，2007,23（4）：1-6.[5]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].高等教育出版社，2001:197-288.[6]唐国吉.第二型曲线积分中值定理[J].广西民族大学，2008,23:1-6.致谢本论文是在我的导师李云霞教授的亲切关怀和悉心指导下完成的，她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我 .在论文即将完成之际，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!。
曲面积分中值定理的一个新证明
曲面积分中值定理的一个新证明
张晓娇;曹萍
【期刊名称】《徐州工程学院学报》
【年(卷),期】2006(021)003
【摘要】对曲面积分中值定理,给出了一个新的证明,并举出相关例子加以应用.【总页数】3页(P101-103)
【作者】张晓娇;曹萍
【作者单位】徐州师范大学数学系,江苏,徐州,221116;徐州师范大学数学系,江苏,徐州,221116
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.柯西中值定理的新证明及中值定理的两个应用 [J], 高崚嶒;陈燕
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grange中值定理的一个新证明 [J], 杜刚
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)积分中值定理的推广和应用情形
积分中值定理的推广和应用———积分中值定理的推广定理和应用情形The IntｅgralＭeanＶalue TheｏremｆoｒＩｔs Sprｅaｄing andＡpｐlicａtｉon——Exteｎsiｏn tｈeｏrem of integraｌmean value theｏrem ａｎｄits appliｃatｉoｎ论文作者:专业：指导老师:完成时间:摘要积分中值定理和微分中值定理在微积分学中有着重要的地位，微分中值定理是研究函数的有力工具，反映了导数的局部性和与函数的整体性之间的关系，而积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用。
它是数学分析课程中定积分部分的一个基本定理之一。
积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理,在之前的数学分析课程中我们已经学习了这两个定理的证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及。
在这里，我讨论了积分第一中值定理和积分第二中值定并给出了这些定理的详细证明过程,并且给出了集中推广形式。
在积分中值定理的应用方面，我给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限,确定积分号等，并且通过列举例题，加以归纳总结,并且充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用。
The iｎtｅgraｌmeａn value theoremａｎdｔhe ｄifｆereｎtial mｅa ｎｖalue theorem pｌaｙan importanｔrｏｌe iｎthe caｌｃulｕs．Dｉff ｅｒentｉal meａｎvalｕｅｔheorｅm ｉｓ a poｗerful tｏol to studｙtｈe funｃｔion. It reflects thｅｒelation between tｈｅlocａl property oｆthｅｄｅrｉvatiｖｅａnd tｈｅintegral of ｔhｅfｕｎction. Anｄthe iｎtegral m ｅaｎvalue ｔｈeorem playｓ a veryｉmｐｏｒｔａｎt rｏle ｉｎｔｈe ｐｒoｏf of the ｍean ｖalue pｒobleｍ. It is one oｆｔｈe bａsicｔｈｅorems of tｈｅdeｆinｉte inｔeｇral ｐａrｔｉｎｔhｅcｏuｒse of matｈematｉｃaｌaｎａlｙsiｓ. The inteｇralｍean value tｈeoｒeｍinclｕde ｓtｈe first mｅan valｕe tｈeｏｒem of integｒals anｄｔｈe secｏnｄmean ｖalｕe tｈeｏremｏf intｅｇｒalｓ，we havｅlearnｅｄthｅprｏof of thｅｔwo thｅorｅｍｓIn thｅcourｓe oｆmａthemａtical anaｌysis. B ｕｔtｈe eｘtensｉｏn aｎd apｐlication oｆtｈese twoｔheorｅｍs have nｏt beｅｎmentｉｏnｅｄyｅｔ. Here,Iｄiｓcuss the first mｅａｎvａlｕe t ｈeoreｍｏｆinteｇrals aｎd tｈe sｅcｏｎｄｍｅan vaｌｕe of the integ ｒals ａnｄgiｖｅ a detailed proof oｆthｅsｅthｅoｒems and Ｉｇi ｖe the foｒm ｏf centraliｚｅd gｅneralizaｔioｎs here.In tｈe ａpplicatｉoｎｏｆtｈe iｎｔegｒａｌmean vａｌuｅtheorem, I give soｍe siｍｐle ｓiｔuaｔioｎs such as ｔhe estｉmａtioｎoｆｔhe intｅｇraｌvaluｅ, ａnｄtｈe ｌimit of the defiｎite iｎteｇral, tｈｅｉntegral numｂｅｒand ｓｏon．Ａnd by citing examｐles，Ｉsｕmｍaｒized and fully rｅｆlect tｈe iｎtegralｍeａn vａlue theoreｍｉｎthｅa ｐplicａｔion of learnｉｎg pｒoblem soｌvｉnｇｅｘｅrciseｓ.关键词：积分中值定理; 推广；应用Ｋe ｙwo ｒd: mean value t ｈeorem o ｆ ｉnt ｅｇｒａl ｓ； ext ｅnsion; Applic ａｔｉon1 引言中值定理在数学分析中占有非常重要的地位，学好积分中值定理和微分中值定理能为进一步学好微积分理论打下坚实的基础。
拉格朗日微分中值定理几种不同的证法
通过旋转变换使之满足罗尔定理条件： 从而证明拉 格朗日定理， 为此引入坐标系的旋转变换 & ， 即：
{
! ) ’ ./0 " ( ( 0&1 " ( 0&1 " ./0 "
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) ! ’ +，
同时有逆变换 & (! ， 即：
注： 此方法可以推广到柯西微分中值定理证明， 设（ ， （ !） 在 ［ "， 上连续， 在 （ "， 内可微， 考 $ !） + #］ #） 虑函数 （ （ *） ’ $ *） + （ * ）# & 则同法可证 & 证明 + 先介绍下面两个预备定理： ［ "， 在 （ "， ’ & 如果 （ $ ! ）在 # ］上连续， # ）内可 微， 存在 ［ !’ ， ［ "， ， 使得： !( ］ #］ " （ $ ! ( ）$ （ $ !’ ） （ $ # ）$ （ $ "） & # # $ " !( $ !’ 此预备定理有明显的几何意义， 证明从略 & 在 ［ "， 上的某点可微， 那么对于 ( & 如果 （ $ !） #］ （ （ "） ’ ， $ "） + （ （ #） ’ $ #） +
第1卷 第3期 3!!, 年 1 月
衡水师专学报 89:’(%; 9< =)(&>?:@ A9’B%; C9;;)&)
微积分中值定理的统一及推广
Ｊ ｘｄ 厂 （ ）ｘ＝ （） ｂ一口 ）
（２ １）
证明 在（） １ 式中， ＝ ＝ ，（）ｔＩ ｔ ｔ （）＝ 一 ， （） （） 令 ｍ ０咖 ） ， 口则咖 和ｇｘ 满足定理 １ ｄｇ 的
条件 ， 咖 （ ）＝， ，（ ）＝０ｇ（ ）＝１ｇ ｂ 且 （ ｇａ ） ， ，（ ）＝ｂ—ａ 代人（ ） ， １ 式即得到（２ 式。 １） 推论 ６ 推广 的积分 第一 中值定 理 ） 若 函数 ） 闭 区间 ［ ，］ 连续 ，（ ） 闭区 问［ ，］上 （ 在 ａｂ 上 ｇｘ 在 ａｂ
： ＋
（１ 式 。 １）
小
＋＋
＋ 篇
＋ ｌ （
证 明 在 （ ）式 中 ， ｇ ）＝（ 一口 ， ｂ＝ ， １ 令 （ ） 记 则 ） ｇ ）满足定 理 １的条 件 ， 有 ｇ ａ 和 （ 且 （） ＝ｇ（ ） ＝ｇ（ ）＝ … ＝ｇ （ ）＝０ｇ川 ０ ０ ０ ‘ ｎ ，‘ （ ）＝ （ ＋１ ！ｇ ６ ） ， （ ）＝ （ ｂ一口 ， ） 代人 （ ） 即得 到 １式 推 论 ５ 积分第 一 中值定 理 ） 若 函数 ） 闭 区间 ［ ，］上连续 ， （ 在 ａｂ 则至少 存在 一点 ∈ ［ ，］使 ａｂ ，
Ｇ ）＝ （
）＋
（ ６
＋
（ ６
“ ＋
（ ６一
不妨设 ａ＜ｂ则 Ｆ 和 Ｇ 满足下列条件： ， （） （）
１ 闭 区间 ［ ，］上连 续 ； ）在 ０ｂ ２ ）在开 区间（ ６ 。，）内可 导 ；
３ Ｖ ∈ （ ，） Ｇ（ ） 口 ６ ， ）≠ ０ 。
［ 中图分类号 ］ ０ ７ ． ［ １２ ２ 文献标识码］ Ａ ［ 文章编号 ］ １０ ４５ （０ １ ０ ０ ３ ０ ０ ８— ６ ７ ２ １ ）２— ０ ４— ４
积分中值定理的较一般情况的几何意义及其推广形式
１ 引
言
对于熟 知 的积分第 一 中值定 理和 积分 第二 中值 定理 ， 在所 见 到 的微 积 分 或数 学 分析 教 材 上口 都
没有 给 出一 般 的几何解 释 ， 只是 给 出了积分第 一 中值定 理 的一个 特殊 情况 的几何 意义 ． 引述如 下 ： 现
第２ ６卷 第 ３期
２１ ０ ０年 ６月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ ｏ１ ２ № ． ． ６， ３
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．０ ０
积 分 中值定 理 的较 一 般 情 况 的几 何 意义 及其 推 广形 式
张 新 元
（ 河南 工业 职业 技 术 学 院 基 础 部 ， 阳 ４ ３０ ） 南 ７ ０ ９
（） ２
（ ）若 ， ｚ 又在 ［ ，］ ｉ ｉ （） 口 ６ 上连 续 ， 存在 ∈Ｅ ，］ 使 得 则 ａ６，
厂６
Ｊ ｎ
Ｉ厂 ｚ ｇ ｄ ＝厂 ｅ ｇ ｚ ｄ ． （ ） （ ）ｘ （）Ｉ （ ）ｘ
（） ３
在引言 中我们 已经 重述 过 它 的 特殊 情 形 ， “ 在 ［ ， ］ 厂（ 在 ［ ， ］ 连 续 ， （ 一 １ 则 在 即 若 ｎ ６上 ｚ） ｎ ６ 上 ｇ ） ，
［ 摘要 ］ 描 述 了积来自分 中值 定 理 的较 一 般 情 况 的几 何 意 义 ， 出 了 积 分 中 值 定 理 的 推 广 形 式 ． 给
［ 献 标识 码］ Ｃ 文 ［ 章 编 号 ］ １７ —４ ４２ １ ）３０ ６—５ 文 ６ ２１５ （０ ０ ０—１ １０
［ 键 词 ］ 积 分 中值 定 理 ； 何 意义 ； 广 形 式 关 几 推
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解：设 ，则 ，
其次，假设 和 ，则 单调下降，并且有 。
于是，
其中 ， 。因此 。
例3 证明等式 。
证明：由第一积分中值定理可知
，
其中 位于 和 之间的某个值。
3.2 求含定积分的极限
例4 求极限
解：利用广义积分中值定理
则
3.3 确定积分号
例5确定积分 的符号
解：
由积分中值定理可知 其中 。
成立。
证明： 因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m,即 ，我们对不等式进行积可得
由积分性质可知
由于 ，对不等式同时除以 可得
。
此式表明 介于函数 的最大值 和最小值 之间。
由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间 上至少存在一点 ，使得函数 在点 处的值与这个数相等，即应该有
成立，这就证明了公式（2-2）
。
对于 是一般单调下降的情形，此时应用公式（2-4），同样可得到（2-2）式，此命题得证。
2. 积分中值定理的推广
2.1定积分中值定理的推广
定理（推广的定积分中值定理） ：如果函数 在闭区间 连续，则在开区间 至少存在一个点 ，使得下式
成立。
证明：作辅助函数 如下：
。
由于 在闭区间 连续，则 在 上可微，且有 成立。由微分中值定理可知：至少存在一点 ，使得 成立。并且有 ， ，此时即可得到下式
[关键词] 积分中值定理；推广； 应用
积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中的，它在数学分析的学习过程占有很重要的地位，并且对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我们就把积分中值定理及其应用清晰论述一下。
1、积分中值定理的证明
1.1 定积分中值定理
定理（定积分中值定理）：如果函数 在闭区间 上连续，则在区间 上至少存在一个点 ，使下式
积分中值定理的推广及应用
张艳丽
德州学院 2010级信息与计算科学
[摘要] 论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理的应用。我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。在积分中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间 讨论函数 的积分中值定理情形转换为在开区间 上讨论函数 上的积分中值定理，这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。对于应用，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。
从而
因为 是非负的，并且在区间 上单调上升，即有 、 成立，所以有下式成立
。
即有 成立。从而可以得到 ，其中 满足 。由于函数 连续，则在 之间存在一点 ，使 成立，从而有公式（2-3）成立，即
成立，（2-3）式得证。
对于 单调下降且 的情形即公式（2-4）的证明过程是类似的，证明略。
对于 是一般单调上升情形，我们作辅助函数 ，其中 为单调上升且 ，此时公式（2-3）对于 是成立的，即存在 使
特别地，如果 在区间 上单调上升且 ，那么存在 ，使下式成立
（2-3）
如果 在区间 上单调下降且 ，那么存在 ，使下式成立
（2-4）
证明：由题设条件知 在区间 上都是可积的，由积分性质可知 也是可积的。我们先证明（2-3）式，即在 非负、且在区间
上单调上升的情形下加以证明。 对于（2-4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（2-2）式。
又 在 上不恒为0，则有 ，即 的符号为正号。
3.4 比较积分大小
例6比较积分 和 的大小
解：当 时， ，从而有 ，于是我们有 ，即 小于等于 。
3.5 证明函数的单调性
例7设函数 在 上连续，其中 ，试证：在 内，若 为非减函数，则 必为非增函数。
证明：利用分歩积分法，将 化为
对上式求导，可以得到： 。
，命题得证。
2.2定积分第一中值定理的推广
定理（推广的定积分第一中值定理）： 若函数 是闭区间 上可积函数， 在 上可积且不变号，则在开区间 上至少存在一点 ，使得 成立。
证明：由于函数 在闭区间 上是可积的， 在 上可积且不变号，令 ， ，很显然 在 上连续。并且 ， ， ， 。由柯西中值定理即可得到
在区间 上取一系列分点使 ，记 ，其中 为 在 上的幅度，即 ，再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下 等份，并且记
， 。
则
，
因为 在 上可积，且区间 是有限的，所以 在 上有界，此时我们不妨假设 。
估计 如下：
由于 可积，所以当 时，有 ，从而有 ，从而可知
我们记 ，由于函数 在闭区间 上可积，那么函数 是 上的连续函数，并且有最大值和最小值 和 ，记为 ，很显然 ， ，
，
即 ， ，命题得证。
3.3 推广定积分第二中值定理
定理（推广定积分第二中值定理）： 如果函数 在闭区间 可积， 在区间 上可积且不变号，则在 上必存在一点 ，使得
成立。
证明过程详见参考文献[1]。
3积分中值定理的应用
3.1 估计积分值
例1估计 的积分
解：由于 ，
即 。于是
此时可得到估计的积分值为 。
成立。对上式在 上进行积分，可得
。
此时在 之间必存在数值 ，使得 ，即有
成立。
由于 在区间 上是连续的，则在 上必定存在一点 ，使 成立。此时即可得到
，
命题得证。
1.3 积分第二中值定理
定理（积分第二中值定理）：如果函数 在闭区间 上可积，而 在区间 上单调，则在 上至少存在一点 ，使下式成立
（2-2）
由积分中值定理，可得： 。
若 为非减函数，则有 成立，因此可以得阿贝尔判别法）如果 在 上可积， 单调有界，那么 收敛。
证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间 上（其中 ），存在 ，使得
，
成立，将上式两端乘以 即可得到
，
命题得证。
备注1：很显然，积分中值定理中公式
（ 在 与 之间）
不论 或 都是成立的。
1.2 积分第一中值定理
定理（第一积分中值定理）：如果函数 在闭区间 上连续， 在 上不变号，并且 在 上是可积的，则在 上至少存在一点 ，使得
成立。
证明：由于 在 上不变号，我们不妨假设 ，并且记 在 上的最大值和最小值为 和 ，即 ，将不等式两边同乘以 可知，此时对于任意的 都有