微分与积分中值定理及其应用
微积分中的微分与微分中值定理
微积分是数学中的一门重要分支，也是高等数学的基础课程之一。
微积分的研究对象涉及到函数的极限、连续性、导数、积分等内容。
微积分中的微分概念以及与之相关的微分中值定理是微积分理论的重要内容之一。
微分是微积分的基础概念之一，它指的是函数在某一点处的变化率。
具体来说，若函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，则函数在$x_0$处的导数$f'(x_0)$即为函数在该点的微分。
微分可以看作是函数在某一点的局部线性近似，通过微分可以描述函数在某点的斜率以及近似的变化情况。
微分的概念是微积分中的关键，它是导数概念的先导。
微分中值定理是微分学中的重要定理之一，它是基于连续性与导数的基本性质而得出的。
微分中值定理的核心思想是通过函数的导数找到函数在某一区间内某一点的切线斜率与函数在此区间内任意两点连线斜率相等的点。
根据微分中值定理，若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在区间$(a,b)$内可导，那么在区间$(a,b)$内一定存在一点$c(a<c<b)$，使得$f'(c)$等于函数在区间$[a,b]$的平均变化率$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
微分中值定理的重要性在于它使得我们可以通过求解导函数在某一区间内的零点来研究原函数的性质。
根据微分中值定理，如果某函数在某点的导数为零，则说明函数在该点附近的斜率相等；如果某函数在某区间内的导数始终大于零（或小于零），则说明函数在该区间上是递增（或递减）的。
基于微分中值定理，我们可以研究函数的最值点、驻点、拐点等重要特性。
微积分中的微分与微分中值定理是微积分理论的重要组成部分，它们是求解导数与研究函数性质的基础。
微分的概念通过对函数的局部线性近似描述了函数的变化情况，而微分中值定理则通过导数的性质来研究函数的性质，为进一步探索函数的极值、最值等提供了基础。
在实际应用中，微积分的概念与微分中值定理常常被用于求解函数的最优化问题，如优化经济学中的最大化与最小化问题，物理学中的最速下降与最接近问题，工程学中的最优设计问题等等。
微积分中的积分中值定理与极限定理的应用
微积分中的积分中值定理与极限定理的应用微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的导数和积分，以及两者之间的关系。
微积分在很多领域都有广泛的应用，比如物理、工程、经济学等。
在微积分中，积分中值定理和极限定理是非常重要的概念。
它们不仅是理论基础，而且在实际应用中也具有重要作用。
本文将重点介绍积分中值定理和极限定理的应用。
一、积分中值定理的应用积分中值定理是微积分中一条重要的定理，它是求解积分的一种方法。
在积分运算中，很多时候我们需要求解一个函数在一定区间的平均值。
这个平均值可以用积分中值定理来得到。
积分中值定理有两种形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
下面我们分别来介绍一下它们的应用。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称为第一中值定理，它是由法国数学家拉格朗日（Lagrange）在18世纪发现的。
该定理的表述如下：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)这里的c就是在区间[a,b]上的某个中间值。
我们可以通过拉格朗日中值定理来求一个函数在某个区间上的平均值。
例如，假设我们要求函数y=√x在区间[1,4]上的平均值。
首先，我们可以将该函数在该区间上的积分表示出来：∫1^4√xdx然后，我们可以用拉格朗日中值定理求出积分的值。
根据该定理，存在一个点c∈(1,4)，使得：∫1^4√xdx=√4-√1/(4-1)=√3因此，y=√x在区间[1,4]上的平均值为√3。
2.柯西中值定理柯西中值定理是由法国数学家柯西（Cauchy）在19世纪发现的，它是拉格朗日中值定理的推广。
该定理的表述如下：如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且g(x)≠0，那么存在一个点c∈(a,b)，使得(f(b)-f(a))/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c)这里的c仍然是在区间[a,b]上的某个中间值。
微积分中的中值定理及其应用
微积分中的中值定理及其应用在高等数学中，微积分是一个重要的分支，它是数学的基础之一。
微积分主要研究的是极限和导数、微分和积分等数学问题。
而在微积分中，中值定理是一个非常重要的定理，它不仅是微积分的基础，而且在数学和物理等领域中也有着广泛的应用。
一、中值定理的定义中值定理是微积分中的一个基本定理，它是关于连续函数的一个定理。
中值定理包括一系列的定理，其中最基本的是魏尔斯特拉斯中值定理，也就是：定理：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$。
意义：对于一个连续函数$f(x)$，在闭区间$[a,b]$内必然存在一个取值$\xi$，使得$f(\xi)$等于其在该区间内的均值，也就是该区间内$f(x)$在$x$上的积分与该区间长度的比值。
二、中值定理的应用中值定理在微积分中应用非常广泛，它的应用主要有以下几个方面：1.函数极值：中值定理可以用来证明函数的极值。
具体来说，当$f(x)$在某个区间上连续并且在该区间的内部取得了极值，则一定存在一个中间点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。
2.导数的应用：中值定理在求解导数存在的问题时也有很大的作用。
根据中值定理，如果$f(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么存在一个点$\xi$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。
这个公式常常被称为Lagrange中值定理，它可以用来证明导数的存在性，并且可用于证明很多导数相关的定理。
3.曲线长度：中值定理还可以用于计算曲线的长度。
具体来说，我们可以将曲线分成若干个线段，然后利用Lagrange中值定理来求每个线段的长度，最后将它们加起来即可得到整条曲线的长度。
4.牛顿迭代法：在求解方程的问题中，中值定理也有着很大的应用。
例如，可以利用中值定理来实现牛顿迭代法。
中值定理及其应用
中值定理及其应用中值定理是微积分中的一项重要定理，它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将对中值定理的概念、原理以及其在实际问题中的应用进行探讨。
一、中值定理的概念和原理中值定理是微积分中的一个基本定理，它涉及到函数的导数和函数的连续性。
中值定理包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理两个重要的定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中的一个基本定理，它是由法国数学家拉格朗日提出的。
该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则在(a, b)内至少存在一点c，使得函数在c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
数学表达式为：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)，其中a < c < b其中f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是中值定理的另一种表达形式，由法国数学家柯西提出。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，并且其中一个函数在开区间(a, b)上不为零，则存在一点c在(a, b)内，使得函数的导数之比等于函数值之比：(f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c)，其中a < c < b其中f'(c)和g'(c)分别表示两个函数在点c处的导数。
二、中值定理的应用中值定理在实际问题中具有广泛的应用，下面将以一些具体的例子来说明其应用。
1. 函数图像的研究通过中值定理，我们可以研究函数在区间内的性质，例如函数的单调性、极值点的位置以及图像的凹凸性等。
通过计算函数的导数和应用中值定理，可以得到函数在不同区间的性质，并进一步绘制函数的图像。
2. 物理学中的应用在物理学中，很多物理量都可以通过导数和中值定理来描述。
例如，在描述物体的运动过程中，我们可以通过速度函数的导数来计算物体的加速度，而中值定理则可以用来描述物体在某一时间段内的平均速度和瞬时速度之间的关系。
高考数学中的微积分中值定理应用
高考数学中的微积分中值定理应用在高中数学教学中，微积分中值定理是一个十分重要的概念。
这个定理不仅是微积分的基石，也是解决许多实际问题的关键。
在高考数学中，中值定理应用广泛，掌握这个概念不仅对于考生来说非常重要，对于实际生活中的数学应用也有重要意义。
一、中值定理的基本概念中值定理是微积分中的一种非常基本的定理，它基于微积分的洛必达法则。
中值定理是指在某些条件下，如果一个函数在两个端点位置的值相等，那么这个函数在这两个点之间必然有一点值等于这个函数在两端点位置上的平均值。
数学形式为：若$f(x)$在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，$f(a)=f(b)$，则存在一个$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
二、中值定理的实际应用中值定理有许多实际的应用。
下面我们来看几个典型例子。
1. 速度平均值假设一个物体在时间$t$内沿着轴线移动$x$的距离，速度$v=x/t$。
那么，如果这个物体在$t_1$和$t_2$时刻在同一位置，也就是说，$x(t_1)=x(t_2)$，那么速度$v(t)$在$t_1$和$t_2$时刻之间必然存在一点$v(t_0)$等于$v$的平均值，也就是：$v(t_0) = \frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}$这个式子与中值定理的形式非常相似。
只需要令$f(t)=x(t)$，$a=t_1$，$b=t_2$，那么根据中值定理就可以得到上述式子。
这是中值定理的一个典型应用，也是物理学中很常见的应用。
2. 单调递增函数与单调递减函数如果一个函数在一个区间内的导数为正，我们就称这个函数是单调递增的。
相反，如果这个函数在这个区间内的导数为负，我们就称这个函数是单调递减的。
那么，根据中值定理，一个函数在一个区间内连续且可导的时候，如果导数始终为正，那么这个函数就是单调递增的，如果导数始终为负，那么这个函数就是单调递减的。
积分中值定理与定积分应用积分中值定理与定积分应用的实战技巧
积分中值定理与定积分应用积分中值定理与定积分应用的实战技巧积分中值定理与定积分应用的实战技巧积分中值定理和定积分是微积分中的重要概念，能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍积分中值定理和定积分的基本概念，以及如何应用这些概念来解决实际问题。
一、积分中值定理积分中值定理是微积分中的基本定理之一，它与导数中值定理有密切关联。
积分中值定理表明，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，则在[a,b]上至少存在一点c，使得函数的平均值等于函数在c处的导数值。
其数学表达式如下：∫[a,b] f(x) dx = f(c) (b-a)其中，f(x)表示在[a,b]上的连续函数，c为[a,b]上的某一点，b和a 分别为积分上限和下限。
积分中值定理的应用十分广泛。
它可以用于证明其他定理，例如柯西中值定理和拉格朗日中值定理。
除了数学的理论性应用外，积分中值定理还可用于解决实际问题，如求函数在某个区间上的平均值、证明函数在某个区间上的增减性等。
下面将以一个具体例子来说明积分中值定理的应用。
例子：求函数f(x) = 2x^2 + 3x在区间[1,3]上的平均值。
解：根据积分中值定理，函数f(x)在[1,3]上的平均值等于函数在该区间上某一点的函数值。
首先，我们计算函数f(x)在[1,3]上的定积分：∫[1,3] (2x^2 + 3x) dx = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 |[1,3] = 24然后，求出函数f(x)在[1,3]上的平均值：平均值 = (1/3 - 1/2) * 24 = 8所以，函数f(x) = 2x^2 + 3x在区间[1,3]上的平均值为8。
通过这个例子，我们可以看到积分中值定理的实际应用，它不仅使我们能够求出函数在某个区间上的平均值，还可以帮助我们判断函数在某个区间上的增减性。
二、定积分的应用定积分是对区间上函数值的累加，可以用于求解曲线下面的面积、体积、平均值等问题。
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
微分中值定理与积分中值定理的内在联系
微分中值定理与积分中值定理的内在联系
微分和积分是高等数学中最重要的基本概念，它们之间存在着密切的联系。
其中，微分中值定理和积分中值定理是非常重要的定理，它们之间存在着深刻的内在联系。
首先，微分中值定理是指在一定条件的情况下，可以将一定区间上的函数表达为函数在区间上的中点处的值乘以区间的长度，即:$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$其中，f(x)表示函数，a
和b表示区间边界，c表示区间中点。
而积分中值定理是指在一定条件下，可以将一定区间上的函数表达为函数在区间上的某个点处的值乘以区间的长度，即:$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$其中，f(x)表示函数，a和b表
示区间边界，c表示区间上的某个点。
从上述定理可以看出，微分中值定理和积分中值定理之间的内在联系就是：在满足同样条件的情况下，它们的表达式都是一样的，只是积分中值定理中的点可以是任意的点，而微分中值定理中的点只能是中点。
此外，微分中值定理和积分中值定理还有一个重要的联系，就是它们可以互相推导。
例如，将积分中值定理应用于微分中值定理，可以得出：在一定条件下，函数在区间上的某个点处的导数等于函数在区间上的中点处的值，
即:$$\frac{d}{dx}\int_a^bf(x)dx=f(c)$$从上述推导可以看出，
微分中值定理和积分中值定理之间存在着密切的内在联系，它们可以互相推导。
总之，微分中值定理和积分中值定理之间存在着密切的内在联系，它们可以互相推导，这也是它们最重要的特点。
它们的存在使我们能够更好地理解高等数学中的重要概念，从而更好地应用数学到实际生活中。
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第二讲 微分与积分中值定理及其应用1 微积分中值定理ﻩ错误!未定义书签。
1.１ 微分中值定理ﻩ错误!未定义书签。
１．2 积分中值定理ﻩ错误!未定义书签。
２ 微积分中值定理的应用 ...................... 错误!未定义书签。
４.1 证明方程根(零点)的存在性ﻩ错误!未定义书签。
4．2 进行估值运算ﻩ错误!未定义书签。
４.3 证明函数的单调性ﻩ错误!未定义书签。
４.4 求极限ﻩ84．５ 证明不等式ﻩ错误!未定义书签。
引言ﻩＲo ｌle 定理,La ｇｒange 中值定理，Cauch ｙ中值定理统称为微分中值定理。
微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带,具有重要的理论价值与使用价值。
1 微积分中值定理微分中值定理罗尔(R ｏll ｅ)定理: 若函数f 满足如下条件 （ⅰ)f 在闭区间[a ，b]上连续; (ⅱ）f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =,则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf . 朗格朗日（Lagr ａn ｇe)中值定理： 设函数f 满足如下条件: (ⅰ)f 在闭区间[ａ,ｂ］上连续; （ⅱ)f 在开区间(a,b)上可导；则在(a,ｂ）内至少存在一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ．柯西中值定理: 设函数f 和g 满足 (ⅰ)在［a,b]上都连续； (ⅱ)在(ａ，ｂ)内都可导； (ⅲ))('x f 和)('x g 不同时为零; (ⅳ))()(b g x g ≠, 则存在),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ．微分中值定理的推广罗尔定理的推广定理１: 设函数)(x f 在(ａ,b)内可导,且有)()(lim )0()0()(lim ∞-∞+==-=+=-+→→或为有限值或A A x f b f a f x f bx a x ,则存在点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf . 证明：首先对A 为有限值进行论证:令⎩⎨⎧==∈=b x a x A b a x x f x F 或,),(),()( 则易知函数)(x f 在[a,ｂ]上连续，在(a,b ）内可导且)()(b F a F =．由Ro ｌle 定理可知,在（a,b)内至少存在一点ξ，使得0)(='ξF ,而在(a,b)内有)()(x f x F '=',所以0)(='ξf ． 其次对A=∞+(∞-）进行论证：由引理1，)(x f 在（a,b ）内能取得最小值(最大值）.不妨设:函数)(x f 在),(b a ∈ξ处取得最小值(最大值）.此时函数)(x f 在),(b a ∈ξ处也就取得极小值(极大值)．又因为)(x f 在),(b a ∈ξ处可导，由Fer ｍａt 引理，可得0)(='ξf ． 综上所述,从而定理得证.定理2: 设函数)(x f 在(ａ,∞+)，内可导，且)(lim )(lim x f x f x ax +∞→→=+，证明:在（a ，∞+）中存在一点ξ,使得0)(='ξf ．定理3: 设函数)(x f 在(∞-,ｂ),内可导，且)(lim )(lim x f x f bx x -→-∞→=，证明：在（∞-,ｂ)中存在一点ξ，使得0)(='ξf ．定理4: 设函数)(x f 在(∞-，∞+),内可导，且)(lim )(lim x f x f x x +∞→-∞→=,证明：在（∞-，∞+）中存在一点ξ，使得0)(='ξf ．朗格朗日中值定理的推广定理5： 如果函数)(x f 满足条件：在开区间（a,ｂ）上可导且)0()(lim ),()0()(lim -==+=-+→→b f x f a f a f x f bx a x 存在，则在（a,ｂ)内至少存在一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ.柯西中值定理的推广定理6: 如果函数f(ｘ)和Ｆ(x ）满足条件： ①都在有限区间（a ，b)内可导；②;)(lim ,)(lim ,)(lim ,)(lim 2211M x F m x F M x f m x f bx ax bx ax ====-+-+→→→→③;0)(),,('≠∈∀x F b a x 有 则在(a,b)内至少有一点ξ，使得2211'')()(m M m M F f --=ξξ 证明：作辅助函数A （x ）,Ｂ(ｘ),并且令时，时时，时时，时b x M ，b x M a x m x B ，a x m x A b a x x F ，b a x x f ======∈∈2121)()(),()(),()(则A （x),B(x)在闭区间［a,b]上连续，开区间（a ，b)内可导，且对,0)(),,('≠∈∀x B b a x 由Ｃau ｃｈｙ中值定理可知，至少有一点),(b a ∈ξ使得)()()()()()(''a B b B a A b A B A --=ξξ 又当),(b a x ∈时，)()(),()(x F x B x f x A ==∴2211'''')()()()()()()()(m M m M a B b B a A b A F f B A --=--==ξξξξ即：2211'')()(m M m M F f --=ξξ 1．２积分中值定理积分中值定理： 若)(x f 在区间[ａ,b ］上连续,则在[a ，b]上至少存在一点ξ使得()()()b a a b f dx x f b≤≤-=⎰ξξ,a．积分中值定理的推广推广的积分第一中值定理： 若()()x g x f ,在闭区间[]b a ,上连续,且()x g 在[]b a ,上不变号,则在[]b a ,至少存在一点ξ，使得 ()()()().,b a dx x g f dx x g x f baba ≤≤=⎰⎰ξξ第一型曲线积分中值定理： 若函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续,则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη,使(,)(,)Cf x y ds f S ξη=⎰。
其中S 表示曲线C 的长。
第二型曲线积分中值定理: 若函数(,)f x y 在有向光滑闭曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使 (,)(,)Cf x y ds f I ξη=±⎰其中I 为有向光滑曲线C 在x 轴上的投影，符号±是由曲线C 的方向确定。
第一型曲面积分中值定理: 若D 为xoy 平面上的有界闭区域,(,)z z x y =是光滑曲面S ,函数(,,)f x y z 在S 上连续，则曲面S 上至少存在一点(,,)ξης，使得(,,)(,,)Sf x y z d f A σξης=⎰⎰其中A 是曲面S 的面积。
第二型曲面积分中值定理: 若有光滑曲面S ：(,)z z x y =，xy D y x ∈),(，其中xy D 是有界闭区域,函数(,,)f x y z 在S 上连续,则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξης,使得(,,)(,,)Sf x y z dxdy f A ξης=⎰ 其中A 是S 的投影xy D 的面积。
3 微积分中值定理的应用3.1 证明方程根(零点)的存在性例１:设函数)(x f 和)(x g 在闭区间[a,ｂ］上连续,在(a,ｂ）上可导,则在（a,b)内存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=．证明：令)()()()()(a g x f x g a f x F -=，则)()()()()(a g x f x g a f x F '-'=',又有)()()()()(a g b f b g a f b F -=，0)()()()()(=-=a g a f a g a f a F .易知)(x F 在闭区间[a,b]上连续,在（a,ｂ）上可导，故运用Lagra ｎg ｅ中值定理可得，存在一点),(b a ∈ξ，使得)]()()()()[()()()(a g f g a f a b b F a F b F ξξ'-'-==-，即)]()()()()[()()()()(a g f g a f a b a g b f b g a f ξξ'-'-=-,所以在(a,ｂ)内存在一点),(b a ∈ξ,使得)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=,故定理得证. 例２： 设函数)(x f 和)(x g 在闭区间[ａ,b]上连续，在(a,ｂ）上可导,且在闭区间［a ，ｂ]上，)(1x g 有意义，0)(≠'x g ．则在(ａ,b ）内存在一点),(b a ∈ξ，使得 )()()()()]()([)()()()()(ξξξξξg g f f a g b g b g a g b f a f g ''-='. 证明：令)()()(x g x f x F =，)(1)(x g x G =,易知)(x F 和)(x G 在区间[ａ,b]上满足Cau ｃhy 中值定理条件,故有，)()()()()()(ξξG F a G b G a F b F ''=--,即)()()()()()()()()()()(ξξξξξg g f g f b g a g b g a f a g b f ''-'-=--，所以在(ａ，ｂ)内存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()]()([)()()()()(ξξξξξg g f f a g b g b g a g b f a f g ''-=',故定理得证．例1:设c b a ,,为三个实数,证明:方程c bx ax e x ++=2的根不超过三个. 证明:令x e c bx ax x F -++=2)(，则x e b ax x F -+=2)('，x e a x F -=2)("，x e x F -=)('"．用反证法，设原方程的根超过程3个,那么F(x ）至少有4个零点， 不妨设为4321x x x x <<< ，那么有罗尔定理，存在4332211x x x x <<<<<<ξξξ,使0)(')(')('321===ξξξF F F ,再用罗尔定理，存在32211ξηξηξ<<<<,使0)(")("21==ηηF F , 再用罗尔定理,存在21ηαη<<，使0)('"=αF ，因为x e x F -=)('"， 所以0)('"≠-=ααe F ，矛盾,所以命题得证.例2：设函数()f x 在[],a b 上连续，且()0f x >。