2020届高三入学调研考试卷 理科数学(一)-学生版

2020届高三入学调研考试卷理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}M x x x =+-≤，{1,0,1,2}N =-，则M N 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 2．已知复数2z i =+，则1zi +在复平面上对应的点所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在等差数列{}n a 中，若35a =，424S =，则9a =（ ） A ．5- B ．7- C ．9- D ．11-4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A ．3()f x x x =+ B ．()31x f x =-C ．1()f x x =- D ．3()log f x x =5．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”．从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12 6．设,αβ是两平面，,a b 是两直线．下列说法正确的是（ ） ①若//,//a b a c ，则b c ∥ ②若,a b αα⊥⊥，则a b ∥ ③若,a a αβ⊥⊥，则αβ∥ ④若αβ⊥，b αβ=，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥ A ．①③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①②③④7．下图是一程序框图，若输入的12A =，则输出的值为（ ）A ．25B ．512C ．1229D ．2960 8．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0ω>>A ，||2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把1()sin 2ωω=g x x x 的图象上所有点（ ） 此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号好教育云平台 入学调研考试卷 第3页（共10页）好教育云平台 入学调研考试卷 第4页（共10页）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度9．8(12)2y x +-的展开式中22x y 项的系数是（ ）A ．420B ．420-C ．1680D ．1680- 10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为2222224(,)|(1)1(1)10x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪=++≥+-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭或，设点(,)x y A ∈，则2z x y =+的取值范围是（ ）A．[2- B．[-C．[2-+ D．[4,2-+11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，,A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=uu u r uu u r 且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ）ABC ．2 D12．已知函数()()=--+x f x e a e ma x ，（,m a 为实数），若存在实数a ，使得()0≤f x 对任意x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,e -+∞ B ．[,)-+∞e C ．[1,]e e D ．[1,]--e e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足||1OA =，||2OB =，点C 为线段AB 的中点，若3||2OC =，则∠=AOB ． 14．已知数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，n ∈*N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则6S = ． 15．已知直线l 经过抛物线2:4=x C y 的焦点F ，与抛物线交于,A B ，且8+=A B x x ，点D 是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为 ． 16．已知正三棱柱111-ABC A B C 的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan 2=B ，tan()2-=C A ．（1）求A ；（2）当=a ABC △的面积．18．（12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，,D E 分别是1,AC CC 的中点．（1）求证：平面AEB ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1D BE A --的余弦值．19．（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，圆222:O x y c +=（122F F c =）与椭圆有且仅有两个交点，点,33在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程； （2）过y 正半轴上一点P 的直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于点A ，B ， 若PA AB =，求直线l 的方程．好教育云平台 入学调研考试卷 第7页（共10页）好教育云平台 入学调研考试卷 第8页（共10页）20．（12分）随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：（1）若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少? （2）现从收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分层抽样抽取7人， 再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用x 表示抽到作为宣讲员的收入在[3000,5000)元的人数，y 表示抽到作为宣讲员的收入在[5000,7000)元的人数，设随机变量X x y =-，求X 的分布列与数学期望．21．（12分）已知函数2()ln 1f x x a x =--，()a ∈R ． （1）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数2()()10x g x e x ex f x =+---≥对[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．（e 是自然对数的底数， 2.71828e =）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=． （1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()212f x x x a =-+-，x ∈R ． （1）当4a =时，求不等式()9f x >的解集； （2）对任意x ∈R ，恒有()5f x a ≥-，求实数a 的取值范围．好教育云平台 入学调研考试卷答案 第1页（共12页）好教育云平台 入学调研考试卷答案 第2页（共12页） 2020届高三入学调研考试卷理 科 数 学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】∵集合{}2{|20}=|21M x x x x x =+-≤-≤≤，{1,0,1,2}N =-， ∴{1,0,1}M N =-，则其子集的个数为328=个．2．【答案】D【解析】∵2z i =+，∴2131122zii i i -==-++，在复平面对应的点的坐标为13(,)22-，所在象限是第四象限．3．【答案】B【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a ，公差为d ，由414624S a d =+=，3125a a d =+=，解得19,2a d ==-，所以9112,7n a n a =-=-．4．【答案】A【解析】B 中函数非奇非偶，D 中函数是偶函数，C 中函数是奇函数，但不在定义域内递增，只有A 中函数符合题意．5．【答案】D【解析】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C =种，而相生的有5种， 则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-=．6．【答案】D【解析】由平行公理知①对，由线面垂直的性质定理知②对， 由线面垂直及面面平行定理知③对， 由面面垂直性质定理知④对． 7．【答案】C 【解析】运行程序框图，2,25A k ==；5,312A k ==；12,4329A k ==>， 输出1229A =． 8．【答案】B 【解析】由题意知1=A ，由于741234T πππ=-=，故2T ππω==， 所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+， 由()(2sin 0)33f ππϕ=+=，求得3πϕ=， 故()[()]()sin 2sin 236f x x x ππ=+=+，1()sin sin[2()]26πωω==-g x x x x ， 故需将()g x 图像上所有点向左平移3π个单位长度得到()f x ． 9．【答案】A 【解析】展开式中22x y 项的系数是22228612()4202C C -=． 10．【答案】C 【解析】如图，作直线20x y +=，当直线上移与圆22(1)1x y +-=相切时，2z x y =+取最大值， 此时，圆心(0,1)到直线2z x y =+的距离等于11=，解得max 2z =，好教育云平台 入学调研考试卷答案 第3页（共12页）好教育云平台 入学调研考试卷答案 第4页（共12页）当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值，2=，即min z =-，所以[2z ∈-+．11．【答案】C【解析】如图，由题知AF BF ⊥，则OA OB OF ==，点M 是线段AF 的中点，则OM AF ⊥，故60AOM MOF ∠=∠=︒，则tan 603ba =︒=2e ==．12．【答案】A【解析】()()=--+x f x e a e ma x ，则()()1'=-+x f x e a e ，若0e a -≥，可得()0'>f x ，函数()f x 为增函数，当x →+∞时，()→+∞f x ， 不满足()0≤f x 对任意x R ∈恒成立；若0e a -<，由()0'=f x ，得1x e a e =-，则1ln x a e =-， ∴当1,ln ()x a e ∈-∞-时，()0'>f x ，当,()1ln x a e ∈+∞-时，()0'<f x ， ∴1ln max 111()ln ()ln 1ln ()-==--+=--+---a e f x f e a e ma ma a e a e a e ， 若()0≤f x 对任意x R ∈恒成立，则11ln 0()ma a e a e --+≤>-恒成立， 若存在实数a ，使得11ln 0ma a e --+≤-成立， 则11ln ma a e ≥-+-，∴1ln()()a e m a e a a -≥-->， 令1ln()()a e F a a a -=--， 则222ln()1()ln()()()a a e a e a e e a e F a a a a a e ------'=-=-． ∴当2a e <时，()0F a '<，当2a e >时，()0F a '>， 则min 1()(2)F a F e e ==-． ∴1m e ≥-．则实数m 的取值范围是[)1,e -+∞． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】120︒或23π 【解析】∵点C 为线段AB 的中点，∴1()2OC OA OB =+， 22211(2)(14212cos )44OC OA OB O AO A OB B =++⋅=++⨯⨯⨯∠， 解得1cos 2AOB ∠=-， ∴120AOB ∠=︒． 14．【答案】48- 【解析】因为123+=--n n a a ，所以112(1)++=-+n n a a ， 因为1120a +=≠，所以数列{1}n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列，好教育云平台 入学调研考试卷答案 第5页（共12页）好教育云平台 入学调研考试卷答案 第6页（共12页） 所以112(2)-+=⨯-n n a ，即12(21)--=⨯-n n a ，2(1(2))3n n S n =---，所以662(12)6483S =--=-．15．【答案】22(4)(4)5-+-=x y 【解析】24-+===-A BA BAB A By y x x k x x ，(0,1)F ，:21=+AB l y x ，点D 到直线l 距离最大时，圆D 的面积最大， 令22'==xy ，解得4=x ，即(4,4)D 到直线l距离最大，此时=d ，所以所求圆的标准方程为22(4)(4)5-+-=x y ．16．【答案】514【解析】设正三棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为R ，由题意知312=ah ，即4=ah ，底面外接圆半径2sin 3π==a r由球的截面圆性质知2224=+≥=h R r ，当且仅当=a h 时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知11AC DB ∥，即1∠DB C 为异面直线1AC 与1B C所成角或补角，11==B C DB=DC ，所以2221222()35cos 2()14+-∠==+a h a DB C a h ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）45A =︒；（2）125． 【解析】∵1tan tan()B C A =-， ∴sin cos()cos()cos sin()sin cos sin()B C A C A B C A B B C A -=⇒-=-- cos()0C A B ⇒-+=， 即cos(1802)0A ︒-=． ∴cos20A =，0180A ︒<<︒，290A =︒，则45A =︒． （2）∵1tan 2=B，∴sin B = ∵tan )1tan(4521tan C C C --︒==+，∴tan 3sin C C =-⇒=，由正弦定理4sin ==a A，可得=b，=c ，所以1112csin 2252===S b A ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）14． 【解析】（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥， ∵1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AAC C ⊥平面ABC ， ∴BD ⊥平面11AAC C ，∴BD AE ⊥． 又∵在正方形11AAC C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，好教育云平台 入学调研考试卷答案 第7页（共12页） 好教育云平台 入学调研考试卷答案 第8页（共12页）易证得：1A AD ACE ≅△△，∴1A DA AEC ∠=∠， ∵90AEC CAE ∠+∠=︒，∴190A DA CAE ∠+∠=︒，即1A D AE ⊥． 又1A D BD D =，∴AE ⊥平面1A BD ，AE ⊂平面AEB ， 所以平面AEB ⊥平面1A BD ．（2）取11AC 中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，(1,1,0)E -，3)B ，1(2,1,0)A ，DB =，(1,1,0)DE =-，1(2,1,BA =，1(1,2,0)EA =，设平面DBE 的一个法向量为(,,)x y z m，则0000DB x y DE ⎧⋅==⎪⇒⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩m m ，令1x =，则(1,1,0)=m ，设平面1BA E 的一个法向量为(,,)a b c =n ，则11020200BA a b a b EA ⎧⎧⋅=+-=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩n n ，令1b =，则(2,1,=-n ，设二面角1D BE A --的平面角为θ，观察可知θ为锐角，,1cos ,||||4<>==m n m n m n ， 故二面角1D BE A --的余弦值为14． 19．【答案】（1）2212x y +=；（2）y x =+ 【解析】（1）依题意，得c b =，所以a ==， 所以椭圆C 为222212x y b b +=，将点代入，解得1b =，则a = 所以椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 斜率为k ，(0,)P m （1m >）， 则直线l 方程为y kx m =+， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与圆O1=，即221m k =+， 联立直线与椭圆方程，消元得222(12)4220k x kmx m +++-=， 00Δk >⇒≠，122412km x x k +=-+，2212222221212m k x x k k -==++， 因为PA AB =，所以212x x =，即1243(12)km x k =-+，221212k x k =+， 所以221619(12)m k =+，解得272k =，即k m ==，所求直线方程为22y x =±+． 20．【答案】（1）220；（2）见解析． 【解析】（1）按调整前起征点应缴纳个税为：15003%250010%295⨯+⨯=元，好教育云平台 入学调研考试卷答案 第9页（共12页） 好教育云平台 入学调研考试卷答案 第10页（共12页）调整后应纳税：25003%75⨯=元，比较两纳税情况，可知调整后少交个税220元， 即个人的实际收入增加了220元．（2）由题意，知[3000,5000)组抽取3人，[5000,7000)组抽取4人， 当2x y ==时，0X =，当1,3x y ==或3,1x y ==时，2X =， 当0,4x y ==时，4X =，所以X 的所有取值为：0,2,4，22344718(0)35C C P X C ===，133134344716(2)35C C C C P X C +===， 0434471(4)35C C P X C ===， 所求分布列为1816136()024********E X =⨯+⨯+⨯=． 21．【答案】（1）(,0]{2}-∞；（2）[0,)+∞．【解析】（1）2()ln 1f x x a x =--，22()2a x af x x x x-'=-=．①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增， 因为(1)0f =，所以()f x 有唯一零点，即0a ≤符合题意； ②当0a >时，令()0f x '=，解得x =由表可知，min ()f x f =，函数()f x在上递减，在)+∞上递增．（i1=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，所以2a =符合题意； （ii1<，即02a <<时，(1)0f f <=， 因为122()110a a a f e e e ---=+-=>，11ae -<，故存在11(ax e -∈，使得1()(1)0f x f ==，所以02a <<不符题意； （iii1>，即2a >时，(1)0f f <=， 因为2(1)(1)ln(1)1(2ln(1))f a a a a a a a -=----=---，设11a t -=>，2ln(1)1ln ()a a t t h t ---=--=，则1()10h t t'=->，所以()h t 单调递增，即()(1)0h t h >=，所以(1)0f a ->，所以1a ->，故存在21)x a ∈-，使得2()(1)0f x f ==，所以2a >不符题意； 综上，a 的取值范围为(,0]{2}-∞．（2）()ln x g x a x e ex =+-，则()x a g x e e x '=+-，2()x ag x e x''=-，[1,)x ∈+∞． ①当0a ≥时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以()(1)0g x g ≥=， 即0a ≥符合题意；②当0a <时，()0g x ''>恒成立，所以()g x '单调递增， 又因为(1)0g a '=<，(1ln())(ln())0ln()ln()a a e a g e a a e a e a --'-=-=>--，好教育云平台 入学调研考试卷答案 第11页（共12页） 好教育云平台 入学调研考试卷答案 第12页（共12页）所以存在0(1,ln())x e a ∈-，使得0()0g x '=，且当0(1,)x x ∈时，()0g x '<， 即()g x 在0(1,)x 上单调递减，所以0()(1)0g x g <=，即0a <不符题意． 综上，a 的取值范围为[0,)+∞．22．【答案】（1）221(3)169x y y +=≠-，:6l x y -=；（2）22d ≤≤．【解析】（1）222241:131xk k C y kk ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221169x y +=， 又263(3,3]1y k =-+∈-+，C 的普通方程为221(3)169x y y +=≠-．cos()4πρθ+=，即cos sin 6ρθρθ-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到:6l x y -=．（2）将曲线C 化成参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==3tan 4ϕ=，所以22d ≤≤ 23．【答案】（1）712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）[3,)+∞． 【答案】（1）当4a =时，145,21()3,2245,2x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 所以()9f x >的解集为712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． （2）()21221(2)1f x x x a x x a a =-+-≥---=-，由()5f x a ≥-恒成立，有15a a -≥-，当5a ≥时不等式恒成立， 当5a <时，由221(5)a a -≥-得35a ≤<， 综上，a 的取值范围是[3,)+∞．。