函数的性质反函数·函数的单调性
函数的概念与性质、反函数、复合函数
函数
一、区间及领域 二、函数的概念 三、函数的几种特性 四、初等函数 五、常用经济函数
函数(第一章)
1. 理解函数和概念，了解反函数和复合函 数的概念。 2. 了解函数的单调性、有界性、奇偶性和 周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图 形。 3. 理解初等函数的概念，会建立简单实际 问题中的函数关系式。
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数 x D, 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x的函数，记作
y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
2. 有界性 有界性
有界 有上界 有下界
函数有界性的定义
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有
A f(x)B 则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。 否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。
一、区间与邻域
1.区间 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
解析数学中的函数与反函数关系
解析数学中的函数与反函数关系函数是数学中的重要概念，它描述了自变量与因变量之间的关系。
而反函数则是函数的逆运算，用于确定原始函数的自变量。
在本文中，我们将详细解析数学中的函数与反函数关系。
一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用公式、图表或描述性语言来表示。
一个函数可以由以下三个要素确定：1. 定义域(Domain)：函数能够接受的自变量的取值范围。
2. 值域(Range)：函数可以输出的因变量的取值范围。
3. 规则(Rule)：描述自变量与因变量之间关系的数学表达式。
在函数中，每个自变量只能对应一个因变量。
这确保了函数的唯一性。
另外，函数还具有以下性质：1. 单调性：函数可以是递增的（当自变量增大时，因变量也增大）或递减的（当自变量增大时，因变量减小）。
2. 奇偶性：函数可以是奇函数（满足f(-x)=-f(x)）或偶函数（满足f(-x)=f(x)）。
3. 定义域与值域：函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或其他特定集合。
4. 周期性：函数可以是周期函数，即f(x+T)=f(x)，其中T为正常数。
二、反函数的定义与性质反函数是函数的逆运算，用于确定原始函数的自变量。
如果函数f(x)的定义域为D，值域为R，则反函数可以表示为f^(-1)(x)，其定义域为R，值域为D。
反函数的性质如下：1. 反函数与原始函数的关系：如果f(x)与g(x)是反函数，那么f(g(x))=x，g(f(x))=x。
2. 图像关于y=x的对称性：函数与反函数的图像关于y=x对称，即它们的图像沿y=x对称折叠。
3. 度量关系：如果函数f(x)在x=a处连续且具有可导性，反函数f^(-1)(x)在x=b处也连续且可导，而且它们的导数互为倒数。
三、函数与反函数的实际应用函数与反函数在数学中具有广泛的应用，尤其是在代数、几何和物理等领域。
1. 代数：函数与反函数的应用在方程求解中尤为重要。
数学中的函数与反函数
数学中的函数与反函数在数学中，函数是一种非常基础且重要的概念。
函数可以理解为一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数在解决实际问题、描述数学规律以及推导数学定理等方面起到了至关重要的作用。
在函数的概念之上，还有一个与之相关且同样重要的概念，那就是反函数。
一、函数的定义与性质函数可以简单地定义为，对于一个自变量集合中的每一个元素，函数都能唯一确定一个对应的因变量集合中的元素。
符号上，我们可以用f(x)表示函数，其中x表示自变量，f(x)表示函数对应的因变量。
函数可以用图像、表格或公式等方式进行表示。
函数具有以下一些基本的性质：1. 定义域：函数的自变量的取值范围称为定义域。
函数在定义域内有定义，而在定义域外则没有定义。
2. 值域：函数的因变量的取值范围称为值域。
值域是函数图像在因变量轴上的投影。
3. 单调性：函数可以是递增的，也可以是递减的，甚至可以是常数函数。
对于递增函数，当自变量增加时，对应的因变量也随之增加；对于递减函数，则相反。
4. 奇偶性：函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，即对于任意x，有f(-x) = -f(x)；偶函数满足f(x) = f(-x)，即对于任意x，有f(x) = f(-x)。
二、反函数的定义与性质反函数是函数的一种特殊形式，它与原函数的定义域和值域互换，即将原函数的自变量与因变量进行互换，从而得到一个新的函数。
如果函数f的定义域为X，值域为Y，那么它的反函数g的定义域为Y，值域为X，记作g(y) = x。
反函数具有以下一些基本的性质：1. 反函数的存在性：只有满足一对一的条件的函数才存在反函数。
一对一指的是对于不同的自变量，函数能唯一确定对应的因变量。
2. 反函数与原函数的关系：若函数f的反函数为g，那么对于f(x) = y，则有g(y) = x。
也就是说，若x在函数f中有对应的y值，那么y在反函数g中有对应的x值。
【高1数学】14-反函数
反函数基础概念 一、基础知识概述本周主要学习了反函数，了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，掌握并会灵活应用互为反函数的函数图象间的关系．二、重难点知识归纳1、反函数的概念： （1）只有自变量x 与其对应的函数值y 是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则f 的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称，即点),(b a 在)(x f y =的图象上，则点),(a b 必在)(1x f y -=图象上．（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．2、反函数的性质： （1）)(1x fy -=是)(x f y =的反函数，则)(x f y =也是)(1x f y -=的反函数，即)(x f y =和)(1x f y -=互为反函数．（2）函数)(x f y =存在反函数的充要条件是函数)(x f y =是定义域到值域的一一映射．（3）函数)(x f y =和反函数)(1x fy -=的定义域，值域互换，即：函数)(x f y = 函数)(1x f y -= 定义域A C 值域C A 3、互为反函数的图象关系：函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称． 4、反函数与函数的其它性质的联系：（1）反函数与原函数：x x ff =-)]([1，x x f f =-)]([1． 注意：)]([11x ff --并不是反函数的反函数，而是)(1x f y -=与自身形成的复合函数，谨防出现)()]([11x f x f f =--的错误作法．（2）反函数与单调性：如果函数)(x f y =有单调性，则反函数)(1x f y -=也有与)(x f y =一致的单调性，即)(x f y =在],[b a 上为增函数，则)(1x f y -=在)](,)([b f a f 上为增函数；)(x f y =在],[b a 上为减函数，则)(1x f y -=在)](,)([a f b f 上为减函数．典型例题例1、求下列函数的反函数：（1）⎩⎨⎧<-≥-=)0(12)0(1)(2x x x x x f ；（2）)23(321)(≥-+=x x x f ；（3）)1(12)(2>-=x x x x f ． 解析： （1）分析：求分段函数的反函数，也应分段来求，要注意分段后在所分区间内函数的值域． 设)(x f y =，则：当0≥x 时，1-≥y ，∴12+=y x ，又0≥x ，∴1+=y x ，即)1(1)(1-≥+=-x x x f ．当0<x 时，1-<y ，∴21+=y x ，∴)1(21)(1-<+=-x x x f ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+-≥+=-)1(21)1(1)(1x x x x x f ． （2）分析：求无理函数的反函数，应先求函数的值域．设)(x f y =，则因23≥x ，∴1≥y ． ∴321-=-x y ，∴]3)1[(212+-=y x ， ∴)1(]3)1[(21)(21≥+-=-x x x f ． （3）分析：求二次分式函数的反函数，一要注意函数的值域，二要注意函数的定义域，即在开方求x 时注意x 的取值范围．)(x f y =，∵1>x ，∴0<y ．x yx y 22=-，即022=-+y x yx ．∵0<y ，∴yy y y x 22112442+±-=+±-=． ∵1>x ，0<y ．∴yy x 211+--=． ∴)0(11)(21<+--=-x x x x f ． 点评：分段函数的反函数也是分段函数，一般是先分别求出各区间的反函数，再归纳．在求反函数的过程中，如果在反解x 时需要进行开方运算，特别要注意x 的取值范围，有时还要结合值域来考虑． 例2、已知函数)05(251)(2≤≤-+-=x ax x f ，点)4,2(-- P 在它的反函数的图象上．（1）求)(x f 的反函数)(1x f-； （2）证明)(1x f -在其定义域上是减函数．分析：先由题设条件求出参数a 的值后，再求反函数．解析：（1）∵)4,2(-- P 在)(x f 的反函数图象上，∴)2,4('-- P 在函数)(x f y =的图象上，∴251612+-=-a ．∴92516=+a ，∴1-=a ，即251)(2+--=x x f ．∵05≤≤-x ，∴1)(4≤≤-x f ． 由2512+--=x y 得：22)1(25-=+-y x ．∴22)1(25--=y x ，∵05≤≤-x ，∴2)1(25---=y x ， ∴)14()1(25)(21≤≤----=-x x x f ．（2）∵2)1(25--=x u 在]1,4[ -上是增函数，故对1x 、2x ]1,4[ -∈，当21x x <时，有210u u ≤≤．又u -在0≥u 上是减函数，∴21u u ->-，即)()(2111x f x f-->．∴21)1(25)(---==-x x fy 在]1,4[ -上是减函数．点评： 当点),(b a 在函数)(x f 的图象上时，),(a b 必在)(x f 的反函数的图象上．另外，由于函数与其反函数具有相同的单调性，故可以先证)(x f 在]0,5[ -上是减函数，从而)(1x f -在]1,4[ -上是减函数． 例3、判断函数)(1)(2R x x x x f ∈++= 是否存在反函数，若存在，求出)(1x f -．若不存在，说明理由．分析：函数)(x f 存在反函数的充要条件是确定函数的对应是一一对应．即对于值域中的一个y 值，方程)(x f y =有唯一的解x ，则函数存在反函数，否则，不存在反函数．解析：设120++=x x y ．∵R x ∈，∴x x x -≥>+||12，∴00>y ，∴120+=-x x y ，∴12020=-x y y ． ∵00>y ，∴02021y y x -=．∴函数)(1)(2R x x x x f ∈++= 存在反函数． 由以上证明过程知)0(21)(21>-=-x x x x f ． 点评：根据函数和反函数的概念可知，在定义域上的单调函数一定存在反函数．因此本题还可通过证明)(x f 在R 上是单调函数来证明)(x f 存在反函数． 例4、已知函数b kx y +=的图象过)2,1( 点，它的反函数)(1x f -的图象过)0,4( 点，求函数)(x f 的解析式．解析：)(1x f -的图象过)0,4( 点，)(1x f -与)(x f 的图象关于直线x y =对称，∴)(x f 的图象过)4,0( ，又由已知也过)2,1( 点，∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧+=+=24204k b b k b ， ∴42)(+-=x x f ．说明：)(x f y =图象上点),(b a 关于x y =的对称点),(a b 必在)(1x f y -=的图象上．基础练习一、选择题1、函数d cx b ax x f ++=)(的反函数为)(1x f -，若433)1(1++=+-x x x f ，则a 、b 、c 、d 的值依次为（ ）A ．1、2、3、1B ．－1、2、3、－1C ．1、－2、－3、1D ．－1、2、－3、－12、若函数)(x f y =的反函数是)(x g y =，b a f =)(，0≠ab ，则)(b g 等于（ ）A ．aB ．a 1C ．bD ．b1 3、已知函数)(x f y =的反函数是21x y --=，则函数)(x f y =的定义域为（ ）A ．)0,1( -B ．]1,1[ -C ．]0,1[ -D ．]1,0[4、已知函数)(x f 的图象过点)1,0( ，则)4(x f -的反函数的图象过点（ ）A ．)4,1(B ．)1,4(C ．)0,3(D ．)3,0(5、设点)2,1( P 既在函数b ax y +=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（ ） A ．3-=a ，7=b B ．1=a ，2=b C ．1-=a ，3=b D ．2=a ，1=b6、奇函数)(x f 的反函数是)(1x f -，若a a f -=)(，则)()(1a f a f -+-的值是（ ）A ．a 2B ．a 2-C ．0D ．无法确定7、若函数)(x f y =的图象只经过第一、四象限，那么函数)(1x f -的图象一定经过（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第一、四象限8、对于]1,0[ ∈x 的所有x 值，函数2)(x x f =与其反函数)(1x f-的相应函数值间一定有（ ）A ．)()(1x f x f -≥B ．)()(1x f x f -≤C ．)()(1x f x f -<D ．)()(1x f x f -=9、若)0(32)1(2≤+-=-x x x x f ，则)(1x f -为（ ）A ．)2(2≥-x xB ．)2(21≥--x xC ．)3(2≥--x xD ．)3(2≤-x x10、设函数)01(11)(2≤≤---=x x x f ，则函数)(1x f -的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题 11、函数a x x x f ++=1)(与函数12)(-+=x b x x g 的图象关于x y =对称，则=+b a _________． 12、若函数21++=x ax y 在其定义域内存在反函数，则a 的取值范围是___________． 13、函数)1(1≥+=x x x y 的反函数=-)(1x f ___________． 三、解答题14、已知)21(12)(≠++=x a x x x f ． （1）求它的反函数；（2）若函数)(x f 的图象关于x y =对称，求a 的值；（3）若af 2)3(1-=-，求a 的值． 15、已知函数)1(12≥-=x x y 的图像为1C ，函数)(xg y =的图像为2C ，1C 与2C 关于直线x y =对称，又)(x g y =的定义域为M ，对于任意1x 、2x M ∈，且21x x ≠，试比较|)()(|21x g x g -与||21x x -的大小．16、已知13)(-+=x ax x f ．（1）求)(x f y =的反函数)(1x fy -=的值域； （2）若点)7,2( 是)(1x f y -=的图象上的一点，求)(x f y =的值域．。
2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
不等式 f (x)≥0(≤0) 对于 xD 恒成立.
2021/4/10
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典型例题
§2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
1.试求函数
f(x)=ax+
b x
(a>0,
b>0) 的单调区间.
解题分析:因函数定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)且f(x)是奇
当x1 x2
b时, 0 b a
a
x1 x2
f 故
( f
x1 ) f (
(
x)在
x2 ) b, a
0
即上是f (增x1 )函数f (.x2
)
f ( x)是奇函数，
f
(
x
)在
,
b a
、
b a
,
上分别是增函数;
f
(
x
)在
b a
, 0、
0,
b a
上分别是减函数
2021/4/10
又解函因法数为1,：所x 以f0(所,所x以以) 可下以面ax先先讨讨bx 论论 f函(fx数()x)在ax(0,f+b(∞x在))是上(0奇,的函单)数上调.的性单. 调性
设x1 x2 0,则
x
f
( x1 )
f
( x2 )
ax1
b x1
ax2
b x2
( x1
x2 )a
b x1 x2
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§2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
延伸·拓展
例4.定义在(-1，1)上的函数f(x)满足以下两个条件：
2.5.3 函数的单调性与反函数(三)
2011-3-9
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13
§2.5.3 函数的单调性与反函数(三)
课堂练习 <<教材 教材>> 教材 P.28 书面作业 <<教材 教材>> 教材 P. 29 解答题13.14 解答题
2011-3-9 14
填空题
以及它们图象间的关系. 以及它们图象间的关系. 并作出反函数的图象
所求函数的反函数是
x +1 (−1 ≤ x ≤ 0) f ( x) = − x (0 < x ≤ 1)
−1
y
。
O x
2011-3-9
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§2.5.3 函数的单调性与反函数(三)
误解分析
在涉及到反函数问题时， 在涉及到反函数问题时，要特别注意原函数与反函数 的定义域与值域之间的关系，以及它们图象间的关系. 的定义域与值域之间的关系，以及它们图象间的关系.
f −1( x) =− −x, x ∈( −∞, −4] 3.函数 函数f(x)=-x2(x∈(-∞,-2]的反函数是 的反函数是______________ 函数 ∈ 的反函数是 x −5 4.已知函数 已知函数f(x) = 的图象关于直线y=x对称 则实数 对称,则实数 已知函数 的图象关于直线 对称 2x 2x + m m的值是 的值是________ 的值是 -1
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§2.5.3 函数的单调性与反函数(三)
2x −1 1 ( x ∈ R) ，求 f ( ) 的值 7.已知函数 f ( x) = 已知函数 x 3 1+ 2 −1 1 解题分析: 解题分析 要求 ( ), 可先求出 −1(x) f f 2 , 得(1− y) ⋅ 2x = y 解法1：由f ( x) = 1+ 2x
函数与反函数的概念与性质
函数与反函数的概念与性质随着数学的发展，函数和反函数成为了数学中一个非常重要的概念。
函数被广泛应用于各个学科领域中，而反函数则帮助我们更好地理解和运用函数。
本文将介绍函数与反函数的概念和性质，并探讨它们在数学中的作用。
一、函数的概念与性质函数是数学中一种非常常见的关系，它描述了两个集合之间的对应关系。
具体来说，函数是将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中唯一的元素上的规则。
函数常用符号表示为 f(x)，其中 f 是函数的名称，x 是自变量，而 f(x) 则是函数在 x 上的取值。
函数的性质有以下几点：1. 唯一性：每个自变量只能对应一个函数值，即一个 x 对应一个f(x)。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
3. 单调性：函数可以是增函数（随着自变量的增大，函数值也增大），也可以是减函数（随着自变量的增大，函数值减小）。
4. 奇偶性：函数可以是奇函数（f(-x) = -f(x)），也可以是偶函数（f(-x) = f(x)）。
5. 周期性：函数可以是周期函数，即存在一个正数 T，使得对于所有 x，有 f(x + T) = f(x)。
6. 连续性：函数可以是连续函数，即函数在定义域内的任意两个点之间的函数值也满足函数关系。
二、反函数的概念与性质反函数，顾名思义，是函数的逆运算。
对于一个函数 f(x)，如果存在一个函数 g(x)，使得 g(f(x)) = x，那么 g(x) 就是 f(x) 的反函数。
反函数可以理解为将函数输入的结果逆向还原为输入的过程。
反函数的性质如下：1. 唯一性：原函数的每个函数值对应反函数的一个自变量。
2. 交换性：原函数和反函数的自变量和函数值可以互换位置。
3. 定义域和值域：反函数的定义域是原函数的值域，值域是原函数的定义域。
4. 奇偶性：如果原函数是奇函数，则反函数也是奇函数；如果原函数是偶函数，则反函数也是偶函数。
三、函数与反函数的应用函数与反函数在数学中有着广泛的应用。
函数及其性质反函数与复合函数
1. 有界性
给定函数y f ( x)，x D, 设区间I D，如果常数M 0使得
f ( x) M
(x I )
则称函数f ( x)在区间I 上有界.
有界性体现在常数M的存在性，如果这样的M不存在，则
称f ( x)在I 上无界，换言之，即对于任意一个正数M (无论多
f 又唯一地确定一个y，这样，
图 1-28
对每个x D，可以唯一确定一个y(如图 1- 28)，从而确定
一个新函数，这个函数称为由u g ( x)和y f (u)构成的一个
复合函数，其函数记号通常用f g表示，
所以
( f g )( x) f [ g ( x)],
xD
也可以不用抽象的复合函数记号f g，而直接将这个复合
f 和f 在数集Df 和Rf 之间建立了一一对应关系 .
一般地说，并非每个函数都可以唯一确定一个反函数.
第四节 复合函数
设有两个函数y f (u), u D1 和 u g ( x), x D
x
f g
y g
u
f
如果g的值域R( g ) D1，则对
于每个x D，由g确定一个
u R( g ) D1，从而这个u经过
f ( x t ) f ( x) (x R)
则称f ( x)为周期函数，t 是它的周期.通常所说周期函数的周
期是指它的最小正周期T，即
T min t f ( x t ) f ( x) (x R ), t 0
且T 0
第三节 反函数
设函数y f ( x)的定义域是Df ，值域是Rf ，即
(b )
x2
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例1下列函数中，属于增函数的是 [ ]
解 D
例2若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的 [ ]
A．上半平
面 B．下半平面
C．左半平
面 D．右半平面
解 C 因为k＜0，b∈R．
例3函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是 [ ]
A．a≥
3
B．a≤-3
C．a≤
5
D．a=-3
解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为x=1-a，所以1-a≥4，即a≤-3．
例4已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)
[ ]
A．在区间(-1，0)内是减函数
B．在区间(0，1)内是减函数
C．在区间(-2，0)内是增函数
D．在区间(0，2)内是增函数
解 A g(x)=-(x2-1)2+9．画出草图可知g(x)在(-1，0)上是减函数．
+bx在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“减”)．
解 [-2，1]
已知函数的定义域是-5≤x≤1．设
u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9
可知当x∈[-5，-2]时，随x增大时，u也增大但y值减小；当x∈[-2，1]时，随x增大时，u减小，但y值增大，此时y是x的单调增函数，即
注在求函数单调区间时，应先求函数的定义域．
例7 y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且f(x)＞0，那么在同
函数；y=[f(x)]2是单调______函数．
解递减；递减；递增．
例8 (1)证明函数f(x)=x2-1在(-∞，0)上是减函数；
解 (1)任取x1＜x2＜0，则
所以 f(x1)＞f(x2)．
故f(x)在(-∞，0)上递减．
(2)任取0＜x1＜x2，则
当x2＞x1＞1时，f(x2)＞f(x1)；当1＞x2＞x1＞0时，f(x2)＜f(x1)．
所以函数在(0，1]上是减函数，在[1，+∞)上是增函数．
例9已知f(x)=-x3-x+1(x∈R)，证明y=f(x)是定义域上的减函数，且满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个．
解设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
所以f(x1)＞f(x2)．所以y=f(x)是R上的减函数．
假设使f(x)=0成立的x的值有两个，设为x1，x2，且x1＜x2，则
f(x1)=f(x2)=0
但因f(x)为R上的减数，故有f(x1)＞f(x2)．矛盾．所以使f(x)=0成立的x的值至多有一个．
例10定义域为R的函数y=f(x)，对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，其中a为常数．又知x∈(a，+∞)时，该函数为减函数，判断当x∈(-∞，a)时，函数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论．
解当x∈(-∞，a)时，函数是增函数．
设x1＜x2＜a，则2a-x1＞2a-x2＞a．
因为函数y=f(x)在(a，+∞)上是减函数，所以
f(2a-x1)＜f(2a-x2)
注意到对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，可见对于实数a-x1，也有f[a+(a-x1)]=f[a-(a-x1)]，即f(2a-x1)=f(x1)．
同理f(2a-x2)=f(x2)．
所以f(x1)＜f(x2)，所以函数y=f(x)在(-∞，a)上是增函数．
例11设f(x)是定义在R+上的递增函数，且
f(xy)=f(x)+f(y)
(2)若f(3)=1，且f(a)＞f(a-1)+2，求a的取值范围．
(2)因为f(3)=1，f(9)=f(3)+f(3)=2，于是
由题设有。