线性代数第二章 复习总结
线性代数二,三章小结复习 演示文稿
A2 ⋱
A1− 1 =
A2− 1 ⋱
A1 A2 ⋱ An = A1 A2 ⋯ An
A = A A4 1 A 0 1 A= ⇒ −1 A−1 0 1 A3 A4 A = −1 −1 −1 1 −A4 A3 A A4
n
λ 2n
⋱
; n λn ;λ λ ⋯ λ 1 2 1 λn
1
λ2
⋱
6.对称（反对称）矩阵定义及性质； 对称（反对称）矩阵定义及性质； 对称 7．分块对角及分块三角矩阵： ．分块对角及分块三角矩阵：
A1 A2 A1 B 1 = B1 .
5．) ≠ r(A) ⇒无 解 1)非 次 齐 ： 穷 解 ɶ) ⇒有 r(A)<n ⇒无 多 r 解 r(A)＝ (A 一 n r(A)＝ ⇒唯 解 穷 解 r(A)<n ⇒无 多 2 齐 ： ） 次 n 一 解 r(A)＝ ⇒唯 零 cor1 m<n ⇒无 多 ; ： ） 穷 解 2)An； A＝ ⇒无 多 ; 当 0 穷 解
3．等价的定义及充要条件； ．等价的定义及充要条件； 等价类， 等价类，等价的性质 4．秩的定义及性质： ．秩的定义及性质： 秩：线性方程组保留方程组 的个数； 的个数； 矩阵中最高阶非零子式的阶数； 矩阵中最高阶非零子式的阶数； 将矩阵化阶梯型后的阶梯 秩的应用： 秩的应用： 判断线性方程组有无解， 判断线性方程组有无解， 及有多少解
A = A A 1 4 A A A= 1 2 ⇒ −1 A−1 −A−1A A−1 1 2 4 0 A A = 1 4 −1 A 0 4
自考复习专题：线性代数第2章
第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。
主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。
在自学考试中，所占比例是各章之最。
按考试大纲的规定，第二章占26分左右。
而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。
以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数07.4 07.7 07.10 直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。
2.1 线性方程组和矩阵的定义2.1.1 线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若，称这样的方程组为齐次方程组。
称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。
事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。
例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2 矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。
注意:矩阵和行列式的区别。
二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。
例如都是零矩阵。
2.若A的行数m=1，则称为行矩阵，也称为n维行向量。
若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。
3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。
如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。
4.称n阶方阵为n阶对角阵。
特别若上述对角阵中，，称矩阵为数量矩阵，如果其中λ=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。
5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。
线性代数各章要点整理
第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。
重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。
（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。
(完整版)线性代数笔记
等行变换，则得到的是 。
对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由
两边转置得
按上例的方法求出 进而求出 X
二.初等变换的性质
定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵 经有限次的初等行变换化为 ，则以 与
为增广矩阵的方程组同解。 定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换 （包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无
3、矩阵的乘法 设 A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中 C=Σaijbjk（j=1，n） 注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换 律，即 AB 不一定等于 BA；矩阵乘法有零因子，即 A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但 有可能 A*B=0（零矩阵） 矩阵的乘法适合以下法则： （1）结合律：（AB）C=A（BC） （2）分配律（A+B）C=AC+BC
hing at a time and All things in their being are good for somethin
此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即 A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵 A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+（-A）=（A）+A=0
如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式 D≠0,则方程组
定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D≠0，则该方程组只有零 解，没有非零解。 推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算
线性代数知识点总结第二章doc资料
线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 定义由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ija i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表111212122212nn m m mna a a a a a a a a LL M M M L称为m 行n 列矩阵。
简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。
说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。
记作：A n 。
行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。
也称行(列)向量。
同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。
相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。
记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。
单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29—P31）注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。
第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++ ⎪+=⎪⎪+++⎝⎭L L L L L LL说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。
（课本P33） 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭L L L L L L L设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。
线性代数重点知识总结
说明：1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。
2.知识点会了不一定做的对题，所以还要有相应的练习题。
3.前后内容要贯穿起来，融汇贯通，建立自己的知识框架。
第一章行列式1.行列式的定义式（两种定义式）-->行列式的性质-->对行列式进行行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、加行加列、递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的0为依据的）。
2.行列式的应用——>克拉默法则（成立的前提、描述的内容、用途，简单的证明可从逆矩阵入手）。
总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值/判断正定性等内容时顺便考察行列式的求解。
第二章矩阵1.矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤之别。
2.高斯消元法求线性方程组的解—>唯一解、无解、无穷解时阶梯型的样子(与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起)3.求逆矩阵的方法（初等变换法，I起到记录所有初等变换的作用）、逆矩阵与伴随矩阵的关系。
4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。
5.分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题）记得结论A 可逆，则)A -(1|A |A -1T T αααα=+。
第三章 线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作一个列向量，从而得到一个向量组假设为n 21,,,ααα ，右边常则看作一个向量β，1）若向量β被向量组n 21,,,ααα 表出唯一（即满足关系：n n n ==),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，因为只有向量组n 21,,,ααα 线性无关才表出唯一），则只有唯一解；2）若β不能由向量组n 21,,,ααα 线性表出（即满足条件),,,,(r 1),,,(r 2121βααααααn n =+时）则无解；3）若β由向量组n 21,,,ααα 表出不唯一（即满足条件n n n <=),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，只有n 21,,,ααα 线性相关才表出不唯一）有无穷解。
线性代数 第二章总结
第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数主要研究对象，是求解线性方程组的一个有力工具，它在自然科学、工程技术及经济问题等各个领域中都有广泛的应用。
本章的教学基本要求：理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件，了解求逆矩阵的伴随矩阵法；熟练掌握利用逆矩阵求解矩阵方程的方法；了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质；了解分块矩阵及其运算。
本章的重点及难点：矩阵的各种运算及其运算规律，尤其矩阵的乘法；逆矩阵存在的条件，利用伴随矩阵法会求逆矩阵，主要是二阶和特殊的三阶矩阵的逆矩阵；用逆矩阵求解矩阵方程。
§ 1 矩阵的概念一、内容提要1．矩阵定义 由n m ⨯个数排成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为一个m ×n 矩阵，其中ij a 表示位于数表中第i 行第j 列的数（m i ,,2,1 =；n j ,2,1=）。
ij a 又称为矩阵的元素。
规定，1×1矩阵 a a =)(。
矩阵也可表示为)(ij a 或n m ij a ⨯)( 。
如果不需要表示出矩阵的元素，通常用大写英文字母表示矩阵，如：A ，B ，...，或n m A ⨯，n m B ⨯，...。
元素都是实数的矩阵称为实矩阵；有复数元素的矩阵称为复矩阵。
若两个矩阵的行数、列数分别相等，则称它们是同型矩阵。
矩阵A =()n m ij a ⨯，B =()n m ij b ⨯是同型矩阵。
若它们的对应元素相等，即ij ij b a = ()n j m i 2,1;2,1== 那么称矩阵A 与矩阵B 相等，记作：A = B 。
2．特殊矩阵零矩阵 所有元素都为零的矩阵称为零矩阵。
如一个n m ⨯的零矩阵为nm ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000000记为0n m ⨯。
在不会引起混淆的情形下，也可记为0。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化.知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂第六章二次型知识点54：二次型及其矩阵表示知识点55：矩阵的合同知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系知识点57：二次型的标准形知识点58：用正交变换化二次型为标准形知识点59：用配方法化二次型为标准形知识点60：正定二次型的概念及判断线性代数知识点总结篇2行列式一、行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
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方程组可简化为 AX = b ．
3
一. 高斯消元法
考虑一般线性方程组：
a11 x1 a x 21 1 a m 1 x1 a12 x 2 a 22 x 2 am 2 x2 a1 n x n a2n xn amn xn b1 b2 (1) bm
定理： 齐次线性方程组有非零解 A 0 .
推论：方程个数少于未知量个数的齐次线性方程组 必有非零解。
17
二. 向量的线性相关性
1. n 维向量及向量组
定 义 2： n 个 有 次 序 的 数 a 1, a 2 , , a n所 组 成 的 数 组 称 为 n维 向 量 .这 n个 数 称 为 该 向 量 的 分 量 , 第 i 个 数 a i称 为 第 i 个 分 量 .
1 2 4
2 1 0 0
3 1 1 0
4 1 2 0
1 0 0 0
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 1 0
2 1 2 0
1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 2 0
16
齐次线性方程组解情况判定（n个未知量，n个方程） a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 齐次线性方程组 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 易知， x1 x2 xn 0 是零解。 若有一组不全为零的数是解，称为非零解。
19
定理:
向量 可由向量组 1 , 2 , , m 出的充分必要条件是：
线性表
以 1 , 2 , , m 为系数列向量，以 为常数项列向量 的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数. 线性方程组的矩阵表示和向量表示：
a11 x1 a12 x 2 a x 21 1 a 22 x 2 a m1 x1 a m 2 x 2
a11 a12 a1n a a a 22 2n 为(1)的系数矩阵. 称矩阵 A 21 am1 am2 amn
4
称矩阵
a 11 a B ( A , b ) 21 am1
a 12 a 22 am 2
14
非齐次线性方程组解的情况判断方法： 将增广矩阵通过初等变换化为行阶梯型矩阵或 行最简形矩阵。
依据： 1、线性方程组与增广矩阵一一对应； 2、初等变换为同解变换； 3、任意矩阵均可通过初等变换化为行阶梯形矩 阵或行最简形矩阵
B ( A, b)
j1
知识点1：（行）阶梯形矩阵
0 0 A 0 0 0
11
a1 j1 0 0 0 0
a 1 j2 a 2 j2 0 0 0
a 1 jr a 2 jr a rjr 0 0
方程组可表示为矩阵形式 Ax b
若 A 1 , 2 , , n
则方程组的向量表示为 x1 1 x2 2 x n n b
21
3. 线性相关，线性无关
定义4： 给定向量组 A : 1 , 2 , , m , 如果存在不全为零的实数 k1 , k 2 , , k m , 使 k1 1 k 2 2 k m m 0, 称向量组A线性相关，否则称A线性无关. 若向量组A线性无关，则：
a1 n a2n a rn 0 0
例如：
1 0 A 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 1 5 0 4 0 3 0
1 0 B 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
4 3 3 0
在阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的非零首元 全为1，且这些1所在列的其他元素全都为零。
1 0 例如： 0 0 4 1 1 0 3 B 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0
引理：任一非零矩阵，总可以经过有限次初等 行变换化为阶梯形矩阵。
13
非齐次线性方程组解情况判定
1 0 0 0
x1 1 对应方程组为 x 2 x4 0 x 2x 0 4 3
x1 1 即 x2 x4 x 2x 4 3
10
x1 1 x2 k 所以一般解为 （k为任意常数） x3 2k x4 k
特点： (1)可划出一条阶梯线， 线的下方全为零； (2)每个台阶只有一行， 台阶数为非零行的行数， 阶梯线的竖线后的第一个 元素为非零元，即非零行 的第一个非零元．
1 0 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 1 5 0 4 0 3 0
12
知识点2：行最简形矩阵
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5 1 1 2 1
3. 向量方程的形式
x1 3 4 1 5 x2 1 1 2 1 x3
4. 向量组线性组合的形式
3 4 1 5 x1 x2 x3 1 1 2 1
24
(2)
定理：向量组 1 , 2 , , m ( m 2) 线性相关 至少有一个向量可由其余 m-1个向量线性表示 推论：向量组 1 , 2 , , m ( m 2) 线性无关 任一个向量都不能由其余 m-1个向量线性表示
25
(3)
定理：若向量组 A : 1 , 2 , , m 线性相关， 则向量组 B : 1 , 2 , , m , m 1 也线性相关.
若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组．
行向量： a1 , a2 , , an
T 列向量： b1 , b2 , , bn
18
b1 b2 bn
2. 线性组合与线性表出 定义3：给定向量组 A : 1 , 2 , , m , 和向量 如果存在一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2 m m 则称向量 是向量组A的线性组合， 或称向量 能由向量组A线性表出。
1
第二章 线性方程组
复习总结
第二章 向量与线性方程组
一、线性方程组的消元法 二、向量的线性相关性 三、向量组的秩 四、矩阵的秩 五、齐次线性方程组 六、非齐次线性方程组
2
线性方程组的几种表达式
1. 一般形式
3 x1 4 x2 x3 5 x1 x2 2 x3 1
23
4. 判断线性相关性的定理
(1)
定理：n维向量组 1 , 2 , , m 线性相关 Ax 0有非零解 . 其中A 1 , 2 , , m 推论：n维向量组 1 , 2 , , m 线性无关
Ax 0只有零解 . 其中A 1 , 2 , , m
若常数项 b1 , b2 , , bn 不全为零， 称方程组为非齐次线性方程组。 若常数项 b1 , b2 , , bn 全为零， 称方程组为齐次线性方程组。
6
定义1：线性方程组的初等变换 （1）用一非零的数乘某一方程 （2）把一个方程的倍数加到另一个方程 （3）互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的 增广矩阵做初等行变换
a1n a 2n amn
b1 b2 am
为方程组(1)的增广矩阵。
5
非齐次与齐次线性方程组的概念: 线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况
1) 若 d r 1 0，则方程组无解； 2) 若 d r 1 0, 则方程组有解， 有唯一解。 r n 当 r n 有无穷多解。 3) 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次 线性方程组一定有解。
r n 有唯一的零解。 当 r n 有无穷多解，即有非零解。
k11 k 2 2 k m m 0 k1 k 2 k m 0.
22
几何意义： (1)两向量线性相关：两向量共线. (2)三向量线性相关：三向量共面. 例：用定义判断线性相关性。 相 关. (1) 向量 0, , , 线性______ 相 关. (2) 向量 , , , 线性______
B ( A, b)
7
初等行变换
举例说明消元法具体步骤：
例1：解线性方 2 x1 程组（无解） 4 x1
2 x 1
解：
x2 2 x2 x2
3 x3 5 x3 4 x3
1 4 0
1 2 1 3 2 1 3 1 0 0 1 2 ( A, b) 4 2 5 4 0 0 2 1 4 0 1 1
15
初等行变换
j2
jr
1 0 0 c1n d1 0 1 0 c2 n d 2 (3) 0 0 1 crn d r 0 0 0 0 d r 1 0 0 0 0 0
最后一行为 0 x3 1, 可知方程组无解。