线性代数第二章 复习总结

1 0 0 0
x1 1 对应方程组为 x 2 x4 0 x 2x 0 4 3
x1 1 即 x2 x4 x 2x 4 3
10
x1 1 x2 k 所以一般解为 （k为任意常数） x3 2k x4 k
k11 k 2 2 k m m 0 k1 k 2 k m 0.
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几何意义： (1)两向量线性相关：两向量共线. (2)三向量线性相关：三向量共面. 例：用定义判断线性相关性。 相 关. (1) 向量 0, , , 线性______ 相 关. (2) 向量 , , , 线性______
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齐次线性方程组解情况判定（n个未知量，n个方程） a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 齐次线性方程组 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 易知， x1 x2 xn 0 是零解。 若有一组不全为零的数是解，称为非零解。
方程组可表示为矩阵形式 Ax b
若 A 1 , 2 , , n
则方程组的向量表示为 x1 1 x2 2 x n n b
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3. 线性相关，线性无关
定义4： 给定向量组 A : 1 , 2 , , m , 如果存在不全为零的实数 k1 , k 2 , , k m , 使 k1 1 k 2 2 k m m 0, 称向量组A线性相关，否则称A线性无关. 若向量组A线性无关，则：
特点： (1)可划出一条阶梯线， 线的下方全为零； (2)每个台阶只有一行， 台阶数为非零行的行数， 阶梯线的竖线后的第一个 元素为非零元，即非零行 的第一个非零元．
1 0 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 1 5 0 4 0 3 0
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知识点2：行最简形矩阵
知识点1：（行）阶梯形矩阵
0 0 A 0 0 0
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a1 j1 0 0 0 0

a 1 j2 a 2 j2 0 0 0

a 1 jr a 2 jr a rjr 0 0

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(2)

定理：向量组 1 , 2 , , m ( m 2) 线性相关 至少有一个向量可由其余 m-1个向量线性表示 推论：向量组 1 , 2 , , m ( m 2) 线性无关 任一个向量都不能由其余 m-1个向量线性表示
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(3)


定理：若向量组 A : 1 , 2 , , m 线性相关， 则向量组 B : 1 , 2 , , m , m 1 也线性相关.
最后一行为 0 x3 1, 可知方程组无解。
8
3 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0 1
例2：解线性方 x1 2 x2 3 x3 4 x4 1 x2 x3 x4 0 程组（无穷多解）
3 x4 1 x1 3 x2 7 x2 3 x3 x4 0
若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组．
行向量： a1 , a2 , , an
T 列向量： b1 , b2 , , bn
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b1 b2 bn
2. 线性组合与线性表出 定义3：给定向量组 A : 1 , 2 , , m , 和向量 如果存在一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2 m m 则称向量 是向量组A的线性组合， 或称向量 能由向量组A线性表出。
a1 n a2n a rn 0 0
例如：
1 0 A 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 1 5 0 4 0 3 0
1 0 B 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
4 3 3 0
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定理:
向量 可由向量组 1 , 2 , , m 出的充分必要条件是：
线性表
以 1 , 2 , , m 为系数列向量，以 为常数项列向量 的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数. 线性方程组的矩阵表示和向量表示：
a11 x1 a12 x 2 a x 21 1 a 22 x 2 a m1 x1 a m 2 x 2
在阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的非零首元 全为1，且这些1所在列的其他元素全都为零。
1 0 例如： 0 0 4 1 1 0 3 B 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0
引理：任一非零矩阵，总可以经过有限次初等 行变换化为阶梯形矩阵。
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非齐次线性方程组解情况判定
1
第二章 线性方程组
复习总结
第二章 向量与线性方程组
一、线性方程组的消元法 二、向量的线性相关性 三、向量组的秩 四、矩阵的秩 五、齐次线性方程组 六、非齐次线性方程组
2
线性方程组的几种表达式
1. 一般形式
3 x1 4 x2 x3 5 x1 x2 2 x3 1
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4. 判断线性相关性的定理
(1)

定理：n维向量组 1 , 2 , , m 线性相关 Ax 0有非零解 . 其中A 1 , 2 , , m 推论：n维向量组 1 , 2 , , m 线性无关
Ax 0只有零解 . 其中A 1 , 2 , , m
定理： 齐次线性方程组有非零解 A 0 .
推论：方程个数少于未知量个数的齐次线性方程组 必有非零解。
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二. 向量的线性相关性
1. n 维向量及向量组
定 义 2： n 个 有 次 序 的 数 a 1, a 2 , , a n所 组 成 的 数 组 称 为 n维 向 量 .这 n个 数 称 为 该 向 量 的 分 量 , 第 i 个 数 a i称 为 第 i 个 分 量 .
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初等行变换
j2
jr
1 0 0 c1n d1 0 1 0 c2 n d 2 (3) 0 0 1 crn d r 0 0 0 0 d r 1 0 0 0 0 0
方程组可简化为 AX = b ．
3
一. 高斯消元法
考虑一般线性方程组：
a11 x1 a x 21 1 a m 1 x1 a12 x 2 a 22 x 2 am 2 x2 a1 n x n a2n xn amn xn b1 b2 (1) bm
由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况
1) 若 d r 1 0，则方程组无解； 2) 若 d r 1 0, 则方程组有解， 有唯一解。 r n 当 r n 有无穷多解。 3) 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次 线性方程组一定有解。
r n 有唯一的零解。 当 r n 有无穷多解，即有非零解。
a11 a12 a1n a a a 22 2n 为(1)的系数矩阵. 称矩阵 A 21 am1 am2 amn
4
称矩阵
a 11 a B ( A , b ) 21 am1
a 12 a 22 am 2
若常数项 b1 , b2 , , bn 不全为零， 称方程组为非齐次线性方程组。 若常数项 b1 , b2 , , bn 全为零， 称方程组为齐次线性方程组。
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定义1：线性方程组的初等变换 （1）用一非零的数乘某一方程 （2）把一个方程的倍数加到另一个方程 （3）互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的 增广矩阵做初等行变换
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5 1 1 2 1
3. 向量方程的形式
x1 3 4 1 5 x2 1 1 2 1 x3
4. 向量组线性组合的形式
3 4 1 5 x1 x2 x3 1 1 2 1
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非齐次线性方程组解的情况判断方法： 将增广矩阵通过初等变换化为行阶梯型矩阵或 行最简形矩阵。
依据： 1、线性方程组与增广矩阵一一对应； 2、初等变换为同解变换； 3、任意矩阵均可通过初等变换化为行阶梯形矩 阵或行最简形矩阵
B ( A, b)
j1

B ( A, b)
7
初等行变换
举例说明消元法具体步骤：
例1：解线性方 2 x1 程组（无解） 4 x1
2 x 1
解：
x2 2 x2 x2
3 x3 5 x3 4 x3
1 4 0
1 2 1 3 2 1 3 1 0 0 1 2 ( A, b) 4 2 5 4 0 0 2 1 4 0 1 1
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a1 n x n a 2n x n a mn x n
b1 b2 bm
令
a11 a A 21 am 1
a12 a22 am 2
a1 n a2 n amn
x1 b1 x b 2 2 x b x n bm

a1n a 2n amn
b1 b2 am
为方程组(1)的增广矩阵。
5
非齐次与齐次线性方程组的概念: 线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
1 2 4
2 1 0 0
3 1 1 0
4 1 2 0
1 0 0 0
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 1 0
2 1 2 0
1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0wk.baidu.com
0 1 2 0
2 1 3 7 4 1 4 8 3 1 0 3 1 1 0 0 0 0 0 0 4 1 3 1 1 0 1 0
解：
( A, b )
3
1 0 1 0

9
1 0 0 0
2 1 0 0