第2章 平面问题的基本理论_习题.
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弹性力学复习思考题
其中： 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M， Q分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力 应力函数： 结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2 σθ = 2 r
= f (r)
= f (r) sin θ
= f (r) cosθ
力偶、 （9）半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数 ）半无限平面体在边界上作用力偶 集中力、分布力下 、应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ （10）圆孔附近应力集中问题应力函数 、应力分量、位移分量的确定？ ） （11）叠加法的应用。 ）叠加法的应用。
X = l(1+ )αT,
Y = m(1+ )αT
（5）温度应力问题求解的基本思路与方法： ）温度应力问题求解的基本思路与方法： （a）求出满足位移平衡方程（6-18）的一组特解（此时，无需满足 ）求出满足位移平衡方程（ ）的一组特解（此时， 边界条件；用位移势函数求解）。 边界条件；用位移势函数求解）。 （b）不计变温，求出满足平衡方程（6-18）的一组补充解（常由应 ）不计变温，求出满足平衡方程（ ）的一组补充解（ 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 的概念； 与位移分量的关系； （6）位移势函数 ψ 的概念；位移势函数 ψ 与位移分量的关系；温 ） 度应力问题中， 满足的方程； 度应力问题中，位移势函数 ψ 满足的方程；应力分量的位移势 的表示。 函数 ψ 的表示。
王俊民 编 徐秉业 编
《弹性力学学习方法及解题指导》 弹性力学学习方法及解题指导》
同济大学出版社 机械工业出版社
弹性力学-2-平面问题的基本理论
2015-1-16
4 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位
移共15个未知函数，且均为 f (x, y, z)。
弹性力学平面问题共有应力、应变和位
移8个未知函数，且均为f (x, y,)。
2015-1-16
5 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
什么条件下 空间问题可简化为平面问题
px n l l
py n m m
又由于：
px xl xy m p y xyl y m
32 弹性力学
2015-1-16
2.2 平面问题中一点的应力状态 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0， 求此斜面上的主应力σ和应力主方向α 从而可得
2015-1-16 25 弹性力学
2.2 平面问题中一点的应力状态 应力是与作用面有关的。σx，σy和τxy作为 基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的 应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过 此点的任意斜面上的应力p。斜面上的应力p可 以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切 向分解为正应力σn和切应力τn（右图）。
z , zx , zy 0
2015-1-16 10 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
因此，此类问题的未知量只剩下Oxy面内 的三个应力分量： x , y , xy
所以此类问题称为平面应力问题。 由于板很薄，等厚度，外力和约束沿z 方向不变，因此应力也沿厚度z方向均匀分 布，应力x，y和xy只是坐标x, y的函数。
取如图所示的微分三角板或三棱柱
PAB，当平面AB无限接近于P点时， 该平面上的应力即为所求。
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
弹性力学9-位移分量的求出、简支梁均布荷载
其中有三个关于 y 的待定函数：f（y）， f（y1） ， f（y2）。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(3)由相容方程求应力函数
将上步所得应力函数的一般形式代入无体力情况下的相 容方程，整理后有
1 4 f ( y ) 2 4 f1 ( y ) 4 f 2 ( y) 2 f ( y) x x 2 0 4 4 4 2 2 y y y y
代入第三式，并整理可得
v
M
2 EI
y f 2 ( x)
2
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
（2 ）位移分量
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
等式左右两边分别为 y 和 x 的函数，要想对于所有的 y 和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数w：
M
l
1、形变分量与位移分量
M
x
1
h
（1）形变分量 将上节所求应力分量代入物理方程 y (2-8) 1 x ( x y ) E M x y 1 I y ( y x ) E y xy 0 2(1 ) xy xy E
M x y EI M y y EI xy 0
（c）几何方程积分计算位移表达式 （d）利用位移边界条件，确定常数。
第二章 平面问题的基本理论 本节内容 3.4 简支梁受均布荷载
内容要点： 用半逆解法求解梁的平面问题；体会理解半逆解法的 解题过程。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
半逆解法步骤回顾：
(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、 受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学 得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式； (2)按式(2-24)，由应力推出应力函数 的一般形式（ 含待定函数项）；
弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论
第二讲 平面问题的基本理论
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程
平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程
平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程
弹性力学-第二章 平面问题基本理论 (徐芝纶第五版)
基本方程是二维的。
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
弹性力学简明教程 第2章 平面问题的基本理论
一 、求AB面上的正应力σn和切应力τn
设px、py为斜面AB的应力p在x、y 轴上的投影。斜面 AB的长度为 ds, 则AB=ds, PB=lds, PA=mds 。 由平衡条件∑Fx=0 得：
l ds m d s p x ds x l ds xy m ds f x 0 2
除以ds ,然后令ds→0, 得：
B'
一、位移与形变
刚体位移
如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形。这种变形一方面表现在微 线段长度的变化，称为线应变；一方面表现在 微线段间夹角的变化，称为切应变。
O
A
O
A'
B
B'
二、几何方程
几何方程——描述任一点的微线段上形变分量 与位移分量之间的关系。 P点的形变分量与位移分量的关系？
0 l 1
当 l2 = 1 时，
0 l 2 1
n nmax 1 ( 1 2 ) 2 1
当 l2 = 0 时，
n n min 2
可见：两个主应力就是最大与最小的正应力。
五、求最大与最小的切应力
任意斜面上的切应力 n lm( y x ) (l 2 m 2 ) xy
y
二、几何方程
PA的线应变在小变形
时是由x 方向的位移 引起的，因此PA的线 应变为
P' A' PA x PA
o u
P
x
u
dx
v
P'
A
u dx x
A'
v
v dx x
y
u (u dx) u AA' PP' u x dx PA x v (v dx) v v x PA的转角为 dx x
第2章 平面问题的基本理论
u = u ( x, y ) ,v = v ( x, y )
例2（习题 ） （习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox
z
y
只有
ε x = ε x ( x, y ) ,ε y = ε y ( x, y ) ,γ xy = γ xy ( x, y )
思考题 设有厚度很大(即 向很长)的基础梁放置在地基上 的基础梁放置在地基上,如果 设有厚度很大 即 z 向很长 的基础梁放置在地基上 如果 想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑 问应如何考虑? 想把它近似地简化为平面问题处理 问应如何考虑
2、平面应变问题 (1) 几何特征： 几何特征： 常截面的柱体，长度>>截面的长 截面的长、 常截面的柱体，长度>>截面的长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿厚度不变； 受力特征： xy面 沿厚度不变； 体力f 作用于体内； 体力fx、fy作用于体内； 面力f 作用于柱面； 面力fx、fy作用于柱面； 约束u 作用于柱面。 约束u、v 作用于柱面。
一、斜截面上的应力 求解： 边长 求解： AB=ds, PB=lds, PA=mds. AB=ds, PB=lds, PA= l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (1) 求（px,py）
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力 l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (2) 求（ σn , τn ）
ω
─ 表示物体绕原点的刚体转动。 表示物体绕原点的刚体转动。
v = f 2 ( x ) = v0 + ω x
结论： 形变确定， 结论： 形变确定，位移不完全确定 ： 从物理概念看， 、 确定 物体还可作刚体位移。 确定， 从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。
例2（习题 ） （习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox
z
y
只有
ε x = ε x ( x, y ) ,ε y = ε y ( x, y ) ,γ xy = γ xy ( x, y )
思考题 设有厚度很大(即 向很长)的基础梁放置在地基上 的基础梁放置在地基上,如果 设有厚度很大 即 z 向很长 的基础梁放置在地基上 如果 想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑 问应如何考虑? 想把它近似地简化为平面问题处理 问应如何考虑
2、平面应变问题 (1) 几何特征： 几何特征： 常截面的柱体，长度>>截面的长 截面的长、 常截面的柱体，长度>>截面的长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿厚度不变； 受力特征： xy面 沿厚度不变； 体力f 作用于体内； 体力fx、fy作用于体内； 面力f 作用于柱面； 面力fx、fy作用于柱面； 约束u 作用于柱面。 约束u、v 作用于柱面。
一、斜截面上的应力 求解： 边长 求解： AB=ds, PB=lds, PA=mds. AB=ds, PB=lds, PA= l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (1) 求（px,py）
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力 l=cos(n,x), m=sin(n,y) =cos(n =sin(n (2) 求（ σn , τn ）
ω
─ 表示物体绕原点的刚体转动。 表示物体绕原点的刚体转动。
v = f 2 ( x ) = v0 + ω x
结论： 形变确定， 结论： 形变确定，位移不完全确定 ： 从物理概念看， 、 确定 物体还可作刚体位移。 确定， 从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。
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v
g
(ly y 2 ),
o
思考题 1、 试用位移法求解图(b)的位移和 应力。 2、试将弹性力学中平面问题的位移 法与结构力学的位移法相比，有那 些相同 和不同之处？ 选择习题 2—10。
l
x
o
x
g
g
y
图(a)
y
图 (b )
例2 厚度δ =1的悬臂梁，受一端的集中力 F 的作用。已求得其位移的解答是
思考题 1.试证明微分体绕 z 轴的平均转动分量是 (
1 v u ). 2 x y
2.当应变为常量时，εx=a , εy=b , γxy=c ，试求出对应的位移分量。
选择习题 2—7、2—19。
思考题
1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。
2.试证：三个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。 试根据空间问题的物理方程进行解释。
y
l
σy
yx
q1
y h 边界, 2 x (σ y ) y h q , ( τ yx ) y h 0. 2 2 l y h 边界, 2 (σ y ) y h 0, ( τ yx ) y h q1.
2 2
例2 列出边界条件：
y b边界： (σ y ) y b 0, ( τ yx ) y b 0. x a边界： (σ x ) x a y 2 q( ) , ( τ xy ) x a 0. b
3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。 试根据它们的物理方程来解释这种现象。
例1 列出边界条件：
h/2 h/2
σy
0, x l边界, (σ x ) x l 0,
o
x
xy
σx
(v) x 0 0. ( τ xy ) x l 0.
h/2
h / 2 h/2
( x ) x 0 d y F , ( x ) x 0 y d y M , ( xy ) x 0 d y Fs。
在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各 边界条件都已满足的条件下，三个积分的边 界条件必然满足，可以不必校核。
h / 2 h/2
o
l
x
o
x
g
g
y
y
2v g . 2 y E
y = 0 , l ，位移边界条件 (v)y=0=0 ∴ B=0 (v)y=l=0 ∴ A
g
2E l.
v
g
2E
y 2 Ay B.
2E g y (l 2 y ), 2E g σy (l 2 y ). 2
h / 2
例2 试列出图中的边界条件。 解：(a)在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界 条件：
O
F
300
x
b/2 b/2
gy
h q y (h b, 1)
x0 xl
σ x gy, σ x 0,
xy 0; xy q。
在小边界y = 0应用圣维 南原理，列出三个积分 的近似边界条件，当板 厚δ =1时， 注意：
Fx2 y Fy3 Fy3 Fl 2 Fh2 u ( ) y, 2 EI 6 EI 6 IG 2 EI 8IG Fxy2 Fx3 Fxl2 Fl3 v 。 2 EI 6 EI 2 EI 3EI
第二章 平面问题的 基本理论
例如：深梁问题
例1（习题2-3） 试分析不受面力的空间体表面薄层中的应力状态。
选择坐标系如图。 因该表面无任何面力，fx、fy、fz = 0,故表面上 (σz , τzx , τzy)=0 在近表面很薄一层 (σz , τzx , τzy)→0 ∴ 接近平面应力问题。
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox
z
y
只有
x x x,y , y y x,y , xy xy x,y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果 想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。 2.将条件ΣMc=0 ,改为对某一角点的ΣM=0，将得出什么结 果？ 3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结 果？
q b b q
a o
a
q x
yx xy
q
σx
σy
y
思考题
M
x o q n y
(a )
o
σy
A
x
g
A
x
y
(b )
y
(d )
B
(c )
A
1、若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力q作用，试列出应力边界条件，(图(a))。 2、证明在无面力作用的0A边上，σy不等于零（图 (b)）。 3、证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零（图(c)）。 4、试导出在无面力作用时，AB边界上的 σx , σy , τxy 之间的关系。(图(d))。 5、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界条件的异同，并 进一步说明它们的解答的异同。 选择习题 2—13
(b)
3F , 0 2 b 3F ( ) x d x b, 0 y y 0 4 b F ( ) d x 。 0 yx y 0 2
b
( y ) y 0 d x
在列力矩的条件时两边均是 对原点O的力矩来计算的。
对于y = h的小边界可以 不必校核。
四、按位移求解（位移法）的优缺点： 适用性广─ 可适用于任何边界条件。 求函数式解答困难，但在近似解法 （变分法、差分法、有限单元法） 中有着广泛的应用。 例1 考虑两端固定的一维杆件。 图(a)， 只受重力作用，fx=0 , fy=ρg。 试用位移法求解。 解：为了简化，设μ = 0 位移u = 0,v = v ( y ) 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。 代入式(b),第一式自然满足， 第二式成为
例1 试列出图中的边界条件。 解：(a)在主要边界y = ±h/2应精确满足下列边 界条件：
x y q( ) 2 , l y h / 2, y 0, y h / 2,
xy 0; xy q1.
在小边界x = 0应用圣维 南原理，列出三个积分 的近似边界条件，当板 厚δ =1时，