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第14讲相似三角形之面积问题培优班讲义

相似之面积问题（讲义）一、知识点睛●处理面积问题的三种方法1.公式法2.割补法（分割求和，补形作差）3.转化法（相似类、同底类、共高或等高类）利用常见结构进行转化是在复杂背景下处理面积问题的通常思路，在转化过程中需要结合背景的特点．动态背景：要抓住变化过程中所求面积不变的特征；函数背景：优先考虑公式法，或者割补之后采用公式法，也可结合几何特征进行转化；探索规律背景：根据结构特征确定第一项的处理办法，后续进行类比．●面积问题中的常见结构举例二、精讲精练1. 如图，△ABC 的面积为63cm 2，D 是BC 上的一点，且BD :CD =2:1，DE ∥AC 交AB 于点E ，延长DE 到F ，使FE :ED =2:1，连接CF ，则△CDF 的面积为．FEDCBA2. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，G 为EC 的中点，连接DG 并延长交BC 的延长线于点F ，BE 与DF 交于点O ．若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积为_______．G ODAEB3. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =3CD ，对角线AC ，BD 交于点O ，中位线EF 与AC ，BD 分别交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD 面积的（）A ．12B ．13C ．14D ．474. 如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中阴影部分的面积为_______．12345. 如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）．以BD ，BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP ∥BE ，且AP =BE （点P ，E 在直线AB 的同侧），若14BD AB ，则△PBC 的面积与△ABC 的面积的比值是___________．AB CDE FP G6. 如图，已知直线l 1：y =23x +83与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x 轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点D ，E 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =____________．7. 如图，在等边△ABC 中，D 是边BC 的中点，过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，连接BE 交AD 于D 1；过D 1作D 1E 1∥AB 交AC 于E 1，连接BE 1交AD 于D 2；过D 2作D 2E 2∥AB 交AC 于E 2，连接BE 2交AD 于D 3；…，如此继续．若分别记△DEB ，△D 1E 1B ，△D 2E 2B ，…的面积为S 1，S 2，S 3，…，则S n =________S △ABC （用含n 的代数式表示）．E 1E 2D 2D 3D 1EA BC三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1．422．74S3．C4．2125．346．8:9 7．21(1)n相似之面积问题（随堂测试）1. 已知：如图，DE 是△ABC 的中位线．点P 是DE 的中点，连接CP 并延长交AB 于点Q ，那么S △DPQ :S △ABC =_________．Q PE D CBA【参考答案】1．1:24相似之面积问题（作业）1. 如图，在△ABC 中，CE :EB =1:2，DE ∥AC ．若△ABC 的面积为S ，则△ADE的面积为____________．2. 如图，已知△ABC ≌△DCE ≌△HEF ，三条对应边BC ，CE ，EF 在同一条直线上，连接BH ，分别交AC ，DC ，DE 于点P ，Q ，K ．若△DQK 的面积为2，则图中阴影部分的面积为__________．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN ，EM 交于点F ．若AB =13cm ，BC =10cm ，DE =5cm ，则图中阴影部分的面积为___________．4. 如图，在Rt ABC △中，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连接1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，连接3BE 交1CD 于4D ；…，如此继续．若分别记11BD E △，22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…，n S ，则n S =____________ABC S △（用含n 的代数式表示）．E 3E 21D 4D 3D 2D 1CBA【参考答案】1．29S2．26 3．30cm 2 4．21(1)n。

七年级数学培优专题专题25 图形面积的计算_答案

专题25 图形面积的计算例1 196 提示：S △SSS =S △SSS −S △SSS =12×28×（28+14）-12×28×28=12×28×14=28×7=196.例 2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则12×BC ×h =24 故h=48SS =484SS =12SS =12SS. 设△ABC 底边DE 上的高为S 1，△BDE 底边DE上的高为S 2，则h =S 1+S 2.∴S △SSS +S △SSS =12∙SS ∙S 1+12∙SS ∙S 2=12∙SS ∙（S 1+S 2）=12∙SS ∙S=12∙SS ∙12SS=6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则{5S −12S (5+S )=95S =30，解得DE =2.例454提示：2S CES EA==丙甲,2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例51133AEC ABC S S ==V V，1133BGF ABC S S ==V V .设=x PEC S V ，=y PFC S V 则=3x PBC S V ，=3y PCA S V于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S Y ，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a 4ADE ABF S S ==V V .∴APD BEPF S S =V 四边形.如图，连接EF,DF ，则a a ==82AEF ADF S S V V ，.所以a18=a 42EP PD =. 设xAEP S =V ，则=4xADP S V .由APD BEPFS S =V 四边形得ax=4x 4-. ∴a x=20. ∴a a 4=205APD S =⨯V . 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQ ACQS S =V V ， ∴a 5ACQ ADQ S S +=V V . ∴a a 3=a 2510CDQ S =-V .连接PB ，则a =20EBP AEP S S=V V . 由1=a 2ABP CDP S S +V V ，得a a a 3a a 22101010CPQ ABP CDQ S S S =--=--=V V V .∴aPQ 110=3a 310CPQCDQS DQ S ==V V ，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQ APD S S =V V .于是a a 3a==201020APQ CPQ APCQ S S S +=+V V 梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S Y 梯形.A 级 1.14提示：POC AOE S S =V V ,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3. ()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8. C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABG S S =V V ,EFH DHC S S =V V .10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD ，正方形PKPF 的边长分别a ， b.则DEK ADE CDG PKG FHK ABCD BEFG EHPF S S S S S S S S =++----V V V V V 正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GED GEB S S =V V ，同理GE ∥FK ，得GEK GEF S S =V V .∴16DEKGED GEK GEB GEF BEFG S S S S S S =+=+==V V V V V 正方形.B 级 1.2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b -c -，DF=a -d ，c=12b ，d= 15a ，cd=8.3. 18.75（π≈3）.4. 8.5 提示：连HD.5. 4812481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°,∴KH=12AE=7.111474922AKE S AE KH =••=⨯⨯=V .8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可.9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOB CBO AOD BCDA S S S S =+-V V V 梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABO S =V . 11.14AMD AMC S S ==V V . ∵AMG S V 为公共部分, ∴AGD CMG S S =V V .又因为△AMG与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMGOMG AMDMCD S S MGS S MD==V V V V ,即141142CMGCMGS S -=V V ，解得：1=6CMG S V .∴11=2=63S ⨯阴影.连BG ，设ABC S S =V ,x DOG S =V ，y BGF S =V .则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩同理可得：121.EAH FBI S S S ==V V 又13ADC BEA S S ==V V S ，得12532121=-=OCEH HAFI S S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHI S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭V 故17GHI ABC S S =V V .。

完整版初一下培优面积问题

完整版初一下培优面积问题预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制面积的计算和面积法一、计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：1?常见图形的面积公式；2. 等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；3. 夹在平行线间的距离处处相等4. 等比定理：(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于等于对应高Z 比；同高(或等高)的两个三角形面积Z 比等于等于对应底之比.(2)相似三角形的面积之比等于对应线段Z 比的平方. 熟悉下列基本图形、基本结论：S2 s>S3二、用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，釆用不同方法或从不同角度去计算, 就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果. 下列情况可以考虑用面积法:(1)涉及三角形的高、垂线等问题；(2)涉及角平分线的问题面积法：1、如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1, 3, 5,则这个等边三角形的高为 _________________ 求证：ZBGC = ZDGC.(到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上) 2、如图，在口ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE=DF,BE 与DF 交于G,计算图形的面积3、如图，AABC内三个三角形的面积分别为5, 8, 10,四边形AEFD 的面积为X ,则火=4、如图所示，ABC、BCD、27和14,则AOD的面积为多少？CDA的面积分别为49、5 ?如图所示，在矩形ABCD中，E是AD中点，F是CE中点，S BDF6cm 2 ,则矩形ABCD的面积为多少例1图B C6、如图，P 为平行四边形ABCD 内一点，且S PAB 5 ,S PADS PAC ______________7、如图，矩形 ABCD 屮，点E 、F 、G 、H 、分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上。

二次函数的应用(2)面积问题同步培优题典(原卷版)

专题2.7二次函数的应用（2）面积问题姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•行唐县期末）如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（）A．16m2B．12 m2C．18 m2D．以上都不对2．（2019春•西湖区校级月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（）A．48m2，37.5m2B．50m2，32m2C．50m2，37.5m2D．48m2，32m23．（2019•宝安区二模）如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是（）平方米．A．16B．18C．20D．244．（2018秋•柯桥区期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（）A ．193B ．194C ．195D ．1965．（2019•保定三模）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m ，则能建成的饲养室面积最大为（）A ．75m 2B ．752m 2C ．48m 2D ．2252m 26．（2018秋•西湖区校级月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20m 的篱笆围成．已知墙长为15m ，若平行于墙的一边长不小于8m ，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（）A ．48m 2，37.5m 2B ．50m 2，32m 2C ．50m 2，37.5m 2D ．48m 2 ，32m 27．（2018秋•大观区校级月考）用长度为8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为（）m 2．A ．256 B ．83 C ．2 D ．48．（2018•建平县模拟）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm /s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm /s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形P ABQ的面积的最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．12cm2D．15cm29．（2019•桥西区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC的面积最小．A．1B．2C．3D．410．（2018•扬州一模）一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（）A．30cm B．25cm C．20cm D．15cm二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•宿豫区期末）若把一根长200cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为．12．（2020•沈河区二模）如图，有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙（墙长为15m），另外三边用长为16m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为．13．（2020•和平区一模）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是8m，则所围成矩形ABCD的最大面积是．14．（2019秋•台州期中）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地的是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE．那么当BE＝m时，绿地AEFG的面积最大．15．（2019秋•唐山期末）如图，用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是m2．（中间横框所占的面积忽略不计）16．（2020•和平区校级模拟）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为60m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则BC长为时，能围成的矩形区域ABCD的面积最大．17．（2019秋•江岸区校级月考）如图，小滕用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成了一个矩形自行车场地ABCD，在AB 和BC 边各有一个2m 宽的小门（不用铁栅栏），小滕共用了铁栅栏40米，则矩形ABCD 的面积的最大值为 m 2．18．（2019秋•兖州区期中）一养鸡专业户计划用116m 长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN 宽2m ，门PQ 和RS 的宽都是1m ，围成的鸡舍面积最大是平方米．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•荔城区校级模拟）某农场拟用总长为60m 的建筑材料建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长为40m ），其中间用建筑材料做的墙隔开（如图）．设三间饲养室平行于墙的一边合计用建筑材料xm ，总占地面积为ym 2．（1）求y 关于x 的函数解析式和自变量的取值范围；（2）当x 为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大面积为多少？20．（2019春•南岗区校级期中）如图，印刷一张矩形的包装纸，印刷部分的长为8cm ，宽为4cm ，上下空白宽各x2cm ，左右空白宽各xcm ，四周空白处的面积为Scm 2．（1）求S 与x 的关系式；（2）当四周空白处的面积为18cm 2时，求x 的值．21．（2020•河北）用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．（1）求W与x的函数关系式．（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．①求Q与x的函数关系式；②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]22．（2020春•道里区期末）某养鸡专业户用篱笆及一面墙（该墙可用最大长度为36米）围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆（EF），如图，BE、EF上各留有1米宽的门（门不需要篱笆），该养鸡专业户共用篱笆58米，设该矩形的一边AB长x米，AD＞AB，矩形ABCD 的面积为s平方米．（1）求出S与x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；（2）若矩形ABCD的面积为252平方米，求AB的长．23．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD 和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y；（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．24．（2019秋•南岸区期末）空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为120m．（1）已知a＝30，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了120m木栏，且围成的矩形菜园而积为1000m2．如图1，求所利用旧墙AD的长；（2）已知0＜a＜60，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．。

圆的周长与面积(典型问题)培优专项50练(含解析)完美打印版

圆的周长与面积(典型问题)培优专项50练(含解析)完美打印版圆的周长与面积培优专项50练（含解析）一、选择题（共15小题）1.如果 c = 28.26 米，圆的面积是多少？A。

20.25 平方米B。

14.13 平方米C。

63.585 平方米D。

64.85 平方米2.用一根长 6.28 米的绳子刚好能围一棵树的树干 2 圈。

如果树干的横截面为圆形，那么它的面积是多少？A。

12.56 平方米B。

3.14 平方米C。

1.57 平方米D。

0.785 平方米3.一个圆的半径扩大 2 倍，那么面积和周长会发生什么变化？A。

面积和周长扩大 2 倍B。

面积扩大 4 倍，周长扩大 2 倍C。

周长扩大 4 倍，面积扩大 2 倍4.把一张圆形纸片沿半径平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。

这个长方形的周长与圆的周长相比会怎么样？A。

等于圆的周长B。

大于圆的周长C。

小于圆的周长D。

无法比较5.一个长方形和一个圆的周长相等。

已知长方形的长是 9 分米，宽是6.7 分米，圆的面积是多少？A。

31.4 平方分米B。

78.5 平方分米C。

314 平方分米D。

68.8 平方分米6.如果把圆的半径按 1:3 缩小，那么新的圆与原来的圆的面积比是多少？A。

3:1B。

1:3C。

1:9D。

9:17.一个环形的玉环，外直径为 8 厘米，内直径为 6 厘米，这个玉环的面积是多少？A。

12.56 平方厘米B。

18.84 平方厘米C。

21.98 平方厘米D。

31.4 平方厘米8.用 2019 厘米长的铁丝先围成一个圆，再用这根铁丝围成了一个正方形。

圆和正方形周长相比会怎么样？A。

一样长B。

圆的周长更长C。

正方形的周长更长9.如图，把圆分成若干等份，拼成近似的长方形后，周长增加了 8 dm。

原来的这个圆的面积是多少？A。

12.56 平方分米B。

25.12 平方分米C。

50.24 平方分米10.两个圆的周长相等，那么它们的面积会怎么样？A。

也相等B。

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第12讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角.12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 . ⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD的度数是（）A ．20°B ． 40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线.⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且P A ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm 02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.A C D E F ABCDE FP Q R CEF EA ACD O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） ABO2l 1⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越近..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OF ⊥CD ，OE ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【解】∵OE ⊥CD ，OF ⊥AB ∴∠FOB ＝∠EOD ＝90°（垂直定义） ∴∠BOE ＝∠FOD ＝90°－∠DOB ＝65°∴∠DOB ＝25°∴∠AOC ＝∠DOB ＝25°（对顶角相等）【变式题组】01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE的度数.02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：是AB 、EF 被直线CD 所截而得到的，一组同位角∠1和∠3：是AB 、CD 被直线CD 所截而得到的，一对内错角∠1和∠6：是AB 、CD 被直线CD 所截而得到的，一对同旁内角∠2和∠6：是EF 、CD 被直线AB 所截而得到的，一对同位角 ∠2和∠4：是EF 、AB 被直线CD 所截而得到的，一对同旁内角∠3和∠5：是EF 、CD 被直线AB 所截而得到的，一对内错角 ∠3和∠4：是AB 、CD 被直线EF 所截而得到的，一对同旁内角【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. F BA OCD E C DBA EO B ACDOA B A E DCF EB A D 1 4 2 3 6 5 A BDC HＧ E F 7 1 56 8 4 1 2 乙丙 3 234 5 61 23 4甲03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ；⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （） ⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知）∴ （）又∵∠1＝∠2（已知）∴ （）∴AB ∥DE （）03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ．04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF .【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.1 A BC 2 3 4 567 ABCDOA BD E FC A BC D E A B CD EF1 2 A B C D E l 1l 2 l 3 l 4 l 5 l 6图⑴l 1l 2l 3l 4 l 5l 6 图⑵证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360° 这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a 1,a 2,…，a 2010,如果a 1⊥a 2,a 2∥a 3，a 3⊥a 4，a 4∥a 5……那么a 1与a 2010的位置关系是 .03．已知n （n ＞2）个点P 1，P 2，P 3…Pn .在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S 2＝1，S 3＝3，S 4＝6，∴S 5＝10…则Sn ＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（）A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DAC C ．∠ACF 是α的余角D ．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线AB 、CD被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（） A ．∠AMF B ．∠BMF C ．∠ENC D ．∠END 03．下列语句中正确的是（）A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B ．过直线上一点的直线只有一条C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（）①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BDA ．0B ． 2C ．4D ．6 05．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且P A ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（）A ．4cmB ．5cmC ．小于4cmD ．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ .08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合） 09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 . 10．在同一平面内两条直线的位置关系有 . 11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝（已知）ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图12 3 4 5 6 7 81A EBCF DA B C DFEMNα第1题图第2题图A BDC第4题图A CD EB A BC DEF 121 23ABCDEF第13题图∴AC ∥ED （） ⑵∵∠2＝（已知） ∴AC ∥ED （）⑶∵∠A ＋＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD ∥BC ．培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）A ．1，3B ．0，1，3C ．0，2，3D ．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（）部分.A ．60B ． 55C ．50D ．4503．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（）个交点.A ．35B ． 40C ．45D ．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有 __________________交点.05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，307．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（）A BCDEF第14题图a b ABCA ．60°B ． 75°C ．90°D ．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.第13讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A ＝【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38° 【变式题组】 01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数为（）A ．155°B ．50°C ．45°D ．25°02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）A ． 50°B ． 55°C ． 60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ．求证：∠A ＝∠F .【解法指导】因果转化，综合运用.ABCDOE FAEBC （第1题图）（第2题图）E AF GD C B BAMCDN P （第3题图）CDABEF1 32DA2 E1 B C BF E A CD逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ．要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°，即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ．要证明DB ∥EC 即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ．求证：∠AED03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O ′B 平行于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3）证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义）【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ．求证：∠EDF ＝∠BDF .3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是A D M CN E B G B 3 C A 1D 2E F （第1题图）31ABG D CEFED21 AB Cα β P B C D A∠P ＝α＋β3 2 1 γ 4ψ D α β E B C AFH Fγ D α β EBCAFD E BC A B CA A ′ lB ′C ′关键.【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠P AB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作EH ∥AB ．过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（） A ． ∠β＝∠α＋∠γ B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B /就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C /.连接A /B /，B /C /，C /A /就得到平移后的三角形A /B /C /.【变式题组】 01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.02．如图,已知三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C /的位置，若平移距离为3, 求△ABC 与△A /B /C /的重叠部分的面积. B AP C A C C D A A P C B D P BPD B D⑴ ⑵ ⑶ ⑷西 B 30°A北东南03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120° 04．下列命题中，正确的是（）A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补 05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（） A ．北偏东52° B ．南偏东52° C ．西偏北52° D ．北偏西38° 07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动. A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD ∥BC ，AB ∥CD ，AE ⊥BC ，现将△ABE 进行平移. 平移方向为射线AD 的方向.P . P .P .P . ⑴⑵ ⑶⑷D5 3 8 AFCBEB B /AA /C C /150°120°DBCE湖4321ABEFC D4P231A BEFC D平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角.当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.FE B A CGD培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的动视为点的平移）03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________. 04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________. ⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b 上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ．问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？FEBACGD100°⑶⑷CB 1AA 1C 1D 1BD.B . O09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF .⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a的平方根，记为：a 的平方根为x ＝a 的平方根为xa 的算术平方根．若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x ．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对F E B A C O A B CD应．任何有理数都可以表示为分数pq（p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2n a ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知mm 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于( )A ．－1B ． 0C ．1D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0 a ≥3∵24242a b a -+++=∴24242a b a -++=，∴20b ++=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l3b +＝0成立，则a b ＝____．02()230b -=，则ab的平方根是____． 03．（天津）若x 、y 为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b都为有理效，且满足1a b -=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n 2）m＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a 为17−2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝17−2 −2＝17−4．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4∵a b b a -=-．∴a <b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6．【变式题组】01．若3＋5的小数部分是a ，3−5的小数部分是b ，则a ＋b 的值为____． 02．5的整数部分为a ，小数部分为b ，则（5＋a ）·b ＝____．演练巩固反馈提高0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±302．设3a =-，b ＝－2，5c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ． b <a <cD ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与364- C ．4与364 D ．3与904．在实数1.414，2-，0.1•5•，5−16，π，3.1•4•，83125中无理数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ．－a ＜bD ．－b >a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A . m ＝±nB .m ＝nC .m ＝－nD .m n ≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，2，3…，19，20．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a b +，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<7<b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b＝315a-＋153a-＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn−2）(3mn＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2与533x y--互为相反数，求22x y+的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( ) A．2 B．－1 C．1 D．002．( ) A．0 B．1C．1 D．203−2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋＝a＋b＝____．05．若a b-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足2009a a-=，则a− 20092＝_______．07．若m满足关系式=，试确定m的值．08．（全国联赛）若a、b满足5b＝7，S＝3b，求S的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g g g2930a⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a、b、x、y满足y21a=-，231x y b-=--，求22x y a b+++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限. 03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P 到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1－y2|，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．【变式题组】。

初一数学培优之图形面积的计算

初一数学培优之图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.F【例2】如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FC B【例3】如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60 cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCDA【例5】如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.Q P FG ED CBA【例6】如图，E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，DE与AF交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC.求梯形APCQ的面积与平行四边形ABCD的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF，DF，AC，PB，设S□ABCD=a，求得△APQ和△CPQ的面积.F DB能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分面积是______.F CB（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB ，BC ，CD ，DA 分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.C（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.C（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC 31，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的( )倍.A .2B . 3C . 4D .5F CBE6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A .c b a ab )(+-B . c b a ab )(--C .))((c b c a --D .))((c b c a +-7．如图，线段AB =CD =10cm ，»BC和»DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B . 100 C .50π D .200CD（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A .29 B .27 C .310 D ．815BDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.CF B（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．KEB AD（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A .8B .12C .16D ．20F BGCDA7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A .48cm 2B .49cm 2C .50cm 2D ．51cm 2FEB A（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ).A .0B .1C .2D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A .25B .30C .35D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.CAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△ABC中，21===FAFBECEADBDC.求的面积△的面积△ABCGHI的值.GIHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）。

2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练18 多项式乘多项式中的图形面积

专题18 多乘多与图形面积【例题讲解】如图，有足够多的边长为a 的小正方形（A 类），长为b 、宽为a 的长方形（B 类）及边长为b 的大正方形（C 类）．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为()()22232a b a b a ab b ++=++．(1)取图①中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为()()22a b a b ++，画出图形，并根据图形回答：()()22a b a b ++=______________．(2)若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为2256a ab b ++， ①你画的图中需C 类卡片___________张；②可将多项式2256a ab b ++分解因式为_____________；(3)如图③，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ．若用,x y 表示四个相同的长方形的两边长()x y >，观察图形并判断下列关系式：①224m n xy -=；②x y m +=；③22x y mn +=；④22222m n x y -+=，其中正确的是____________．【解答】（1）解：拼图如图所示：所以（2a +b ）（a +2b ）=2a 2+5ab +2b 2，故答案为：2a 2+5ab +2b 2；（2）①a 2+5ab +6b 2即用A 型的1张，B 型的5张，C 型的6张，故答案为：6 可以拼成如图所示的图形，因此可得等式：a 2+5ab +6b 2=（a +3b ）（a +2b ），故答案为：a 2+5ab +6b 2=（a +3b ）（a +2b ）；（3）由图③可知，m =x +y ，n =x -y ，故②符合题意；因此有m +n =2x ，m -n =2y ，2222,444m n m n m n x y xy 故①符合题意；mn =（x +y ）（x -y ）=x 2-y 2；故③不符合题意；22222,222m n m n m n x y xy 故④不符合题意；故答案为：①②．【综合解答】1．观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（）A ．（a +b ）（a +2b ）=a2+3ab +2b2B ．（a +b ）（2a +b ）=2a2+3ab +b2C ．（a +b ）（a +2b ）=2a2+3ab +b2D ．（a +b （2a +b ）=a2+3ab +2b22．如图，在长为32a +，宽为21b -的长方形铁片上，挖去长为24a +，宽为b 的小长方形铁片，则剩余部分面积是（）A ．634ab a b -+B ．432ab a --C ．6382ab a b -+-D ．4382ab a b -+-3．如图，请根据图中标的数据，计算大长方形的面积．通过面积不同的计算方法，可以得到的等式关系是：_____．4．(1)【观察、填空】七（1）班数学学习兴趣小组的同学在研究课本第九章的“数学活动”《拼图、公式》时，利用如图所示的正方形纸片A 类，正方形纸片B 类和长方形纸片C 类若干张（如图1），拼成一个长为(2)a b +、宽为()a b +的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式．()()2a b a b ++=________，2232a ab b ++=________．(2)【拼图、填空】①请你根据上述方法，用这三类卡片在下面的方框内拼出面积为2234a ab b ++的长方形，画出拼好后的图形．（画图痕迹用2B 铅笔加粗加黑，并仿照①中图2，标出边长及各个小图形对应名称A 、B 、C ）；②观察拼图，通过拼图直接写出分解因式结果2234a ab b ++=________．5．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A 型卡片是边长为a 的正方形，B 型卡片是边长为b 的正方形，C 型卡片是长和宽分别为a ，b 的长方形．(1)选取1张A 型卡片，2张C 型卡片，1张B 型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为()a b +的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________；(2)请用这3种卡片拼出一个面积为2243a ab b ++的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；(3)选取1张A 型卡片，4张C 型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG 框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF 的长度固定不变，DG 的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为1S ，2S ．若21S S S =-，则当a 与b 满足____时，S 为定值，且定值为______．（用含b 的代数式表示）6．将图1中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，1号正方形的边长为x ，2号正方形的边长为y ．(1)求5号长方形的面积（用含x ，y 的代数式表示）；(2)若图1中长方形的周长为24．①若2号正方形与1号正方形的面积差为3，求5号长方形的面积；②将图1中的1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形按图2的方式放入周长为40的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________．7．提出问题：怎么运用矩形面积表示(y +2)(y +3)与2y +5的大小关系（其中y >0）？几何建模：（1）画长y +3，宽y +2的矩形，按图方式分割（2）变形：2y +5=(y +2)+(y +3)（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为(y +2)(y +3)；阴影部分面积可以表示为(y +3)×1，画点部分的面积可表示为y +2，由图形的部分与整体的关系可知：(y +2)(y +3)＞(y +2)+(y +3)，即(y +2)(y +3)＞2y +5归纳提炼：当a >2，b >2时，表示ab 与a +b 的大小关系．根据题意，设a =2+m ，b =2+n (m >0，n >0)，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用铅笔画图，并标注相关线段的长）8．（1）探究：我们小学时学过乘法分配律a （b +c ）＝ab +ac ．下面我们用等积法证明乘法分配律：如图，方法一：长方形ABCD 的一边长为a ，另一边长为（b +c ），所以长方形ABCD 的面积为a （b +c ）；方法二，长方形ABFE 的面积为ab ，长方形CDEF 的面积为ac ，所以长方形ABCD 的面积为（ab +ac ），所以a （b +c ）＝ab +ac ．我们把这种用两种不同的方式表示同一图形面积的方法称为等积法．（2）应用请你用等积法，画出图形，并仿照上面的说理方法证明：（a +b ）（c +d ）＝ac +ad +bc +bd ；（3）拓展请直接写出（a +b ）（c +d +e ）＝．9．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到222()2a b a ab b +=++，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：____________________；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，求222a b c ++的值；（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a ，b 的长方形纸片拼出一个面积为(2)(2)a b a b ++长方形，请画出图形并根据图形回答：x y z ++=__________；（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：__________．10．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到222()2a b a ab b +=++，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222a b c ++= ．（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为(2a +b )(a +2b )长方形，则x +2y +z = ．（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．11．数学活动活动材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．活动要求用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．例如，由图②，我们有()()22322a ab b a b a b ++=++或()()22232a b a b a ab b ++=++．问题：（1）选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出一个如图③的长方形，计算它的面积，并写出相应的等式；（2）试借助拼图的方法，把二次三项式2223a ab b ++分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内．（3）将2223b ab a -+分解因式（直接写出结果，不需要画图）．12．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1；A 型卡片是边长为a 的正方形，B 型卡片是边长为b 的正方形，C 型卡片是长和宽分别为a ，b 的长方形．（1）选取1张A 型卡片，2张C 型卡片，1张B 型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为()a b +的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式_______；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为2256a ab b ++的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A 型卡片，4张C 型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG 框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，已知GF 的长度固定不变，DG 的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为1S ，2S ．若21S S S =-，则当a 与b 满足______时，S 为定值，且定值为________．（用含a 或b 的代数式表示）13．【活动材料】若干个如图1所示的长方形和正方形硬纸片【活动要求】用若干块这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．例如，由图2，我们可以得到22(32)()2a ab b a b a b ++=++，或22(2)()32a b a b a ab b ++=++．【问题解决】(1)选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出如图3的长方形，直接写出相应的等式______；(2)尝试借助拼图的方法，把二次三项式2223a ab b ++分解因式，并把所拼的图形画在图4的虚线方框内．(3)将2223b ab a -+分解因式：______（直接写出结果，不需要画图）．14．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b ）（a+b ）＝a 2+3ab+2b 2．（1）由图2，可得等式；（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c ＝11，ab+bc+ac ＝38，求a 2+b 2+c 2的值．（3）如图3，将两个边长为a 、b 的正方形拼在一起，B ，C ，G 三点在同一直线上，连接BD 和BF ，若这两个正方形的边长a 、b 如图标注，且满足a+b ＝10，ab ＝20．请求出阴影部分的面积．（4）图4中给出了边长分别为a 、b 的小正方形纸片和两边长分别为a 、b 的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a 2+5ab+2b 2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a 、b ；②研究①拼图发现，可以分解因式2a 2+5ab+2b 2＝．15．一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：22(2)()32a b a b a ab b ++=++（1）图③可以解释为等式：．（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图所示块，块，块．（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边长(x＞y)，观察图案，以下关系式正确的是(填序号)．①224m nxy-=，②x y m+=，③22x y m n-=⋅，④22222m nx y++=16．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）图③可以解释为等式：．（2）图④中阴影部分的面积为．观察图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是．（3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形；①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b 的代数式表示）②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系．17．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据如图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用如图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b 的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．（4）两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图4．请你根据如图中图形的关系，写出一个代数恒等式，并写出推导过程．18．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如：由图①，可得等式(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2.(1)由图②，可得等式_________________________________________________；(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a2＋b2＋c2的值；(3)利用图③中的纸片(足够多)画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2＋5ab＋2b2＝(2a＋b)(a ＋2b)；(4)小明用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张邻边长分别为a，b的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为____________．19．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2．请回答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式：_____________．(2)利用(1)中所得的结论，解决下列问题：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a2＋b2＋c2的值；(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为2a2＋5ab＋2b2；②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2＋5ab＋2b2分解因式，即2a2＋5ab＋2b2＝________．专题18 多乘多与图形面积【例题讲解】如图，有足够多的边长为a 的小正方形（A 类），长为b 、宽为a 的长方形（B 类）及边长为b 的大正方形（C 类）．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为()()22232a b a b a ab b ++=++．(1)取图①中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为()()22a b a b ++，画出图形，并根据图形回答：()()22a b a b ++=______________．(2)若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为2256a ab b ++， ①你画的图中需C 类卡片___________张；②可将多项式2256a ab b ++分解因式为_____________； (3)如图③，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ．若用,x y 表示四个相同的长方形的两边长()x y >，观察图形并判断下列关系式：①224m n xy -=；②x y m +=；③22x y mn +=；④22222m n x y -+=，其中正确的是____________．【解答】（1）解：拼图如图所示：所以（2a +b ）（a +2b ）=2a 2+5ab +2b 2，故答案为：2a 2+5ab +2b 2；（2）①a 2+5ab +6b 2即用A 型的1张，B 型的5张，C 型的6张，故答案为：6 可以拼成如图所示的图形，因此可得等式：a 2+5ab +6b 2=（a +3b ）（a +2b ），故答案为：a 2+5ab +6b 2=（a +3b ）（a +2b ）；（3）由图③可知，m =x +y ，n =x -y ，故②符合题意；因此有m +n =2x ，m -n =2y ，2222,444m n m nm n x y xy 故①符合题意；mn =（x +y ）（x -y ）=x 2-y 2；故③不符合题意；22222,222m n m nm n x y xy 故④不符合题意；故答案为：①②．【综合解答】1．观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（）A ．（a +b ）（a +2b ）=a2+3ab +2b2B ．（a +b ）（2a +b ）=2a2+3ab +b2C ．（a +b ）（a +2b ）=2a2+3ab +b2D ．（a +b （2a +b ）=a2+3ab +2b2 【答案】A【分析】根据图形，大长方形面积等于三个小正方形面积加上三个小长方形的面积和，列出等式即可．【解答】解：∵长方形的面积=（a +b ）（a +2b ）长方形的面积=a 2+ab +ab +ab +b 2+b 2= a2+3ab +2b2， ∴（a +b ）（a +2b ）= a 2+3ab +2b 2 故选：A ．【点评】本题考查多项式乘以多项式的几何意义，通过几何图形之间的数量关系对多项式乘以多项式做出几何解释．2．如图，在长为32a +，宽为21b -的长方形铁片上，挖去长为24a +，宽为b 的小长方形铁片，则剩余部分面积是（）A ．634ab a b -+B ．432ab a --C ．6382ab a b -+-D ．4382ab a b -+-【答案】B【分析】根据长方形的面积公式分别计算出大长方形、小长方形的面积，再进行相减即可得出答案．【解答】解：(32)(21)(24)a b b a +--+ 634224ab a b ab b =-+---432ab a =--，故剩余部分面积是432ab a --，故选B ．【点评】本题考查了多项式乘多项式、整式的混合运算，解题的关键是掌握长方形的面积公式． 3．如图，请根据图中标的数据，计算大长方形的面积．通过面积不同的计算方法，可以得到的等式关系是：_____．【答案】()()2232325a b a b a b ab ++=++【分析】先利用长乘以宽表示大长方形的面积，再利用3个边长为a 的小正方形、2个边长为b 的小正方形、5个长宽分别为b 和a 的长方形面积和表示即可得到等式．【解答】解：长方形的面积可以表示为()()32a b a b ++，长方形的面积还可以表示为22325a b ab ++，∴()()2232325a b a b a b ab ++=++.故答案为：()()2232325a b a b a b ab ++=++．【点评】本题考查了用代数式表示图形的面积，解题关键是理解整体与局部的关系，即局部面积之和等于整体面积．4．(1)【观察、填空】七（1）班数学学习兴趣小组的同学在研究课本第九章的“数学活动”《拼图、公式》时，利用如图所示的正方形纸片A 类，正方形纸片B 类和长方形纸片C 类若干张（如图1），拼成一个长为(2)a b +、宽为()a b +的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式．()()2a b a b ++=________，2232a ab b ++=________．(2)【拼图、填空】①请你根据上述方法，用这三类卡片在下面的方框内拼出面积为2234a ab b ++的长方形，画出拼好后的图形．（画图痕迹用2B 铅笔加粗加黑，并仿照①中图2，标出边长及各个小图形对应名称A 、B 、C ）；②观察拼图，通过拼图直接写出分解因式结果2234a ab b ++=________．【答案】(1) 2232a ab b ++ ()()2a b a b ++ (2)①见解析；②()()3a b a b ++【分析】（1）根据长方形的面积公式可以写出长方形的面积，六个图形的面积之和也等于长方形的面积，即可得出答案；（2）①根据2234a ab b ++为3个边长为a 的正方形、4个长方形和1个边长为b 的正方形的面积之和，用这些图形拼成一个大长方形即可；②根据拼成的长方形的长和宽表示出长方形的面积，即可得出结果． (1)解：∵大长方形由１个正方形Ａ、三个长方形Ｃ和２个正方形Ｂ组成， ∴大长方形的面积为：2232S a ab b =++，∴()()2223a b a b a ab b ++=++；()()2232a ab b a b a b ++=++．故答案为：2232a ab b ++；()()2a b a b ++． (2)①∵大长方形的面积为2234a ab b ++，∴大长方形由3个A ，4个C 和1个B 组成，如图所示：②根据上图可知，大长方形的长为3a b +，宽为a b +，面积为()()3a b a b ++，∴()()22343a ab b a b a b ++=++．故答案为：①见解析；②()()3a b a b ++．【点评】本题主要考查了用图形法分解因式，根据示例和多项式的特点构建几何图形，拼接大长方形是解题的关键．5．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A 型卡片是边长为a 的正方形，B 型卡片是边长为b 的正方形，C 型卡片是长和宽分别为a ，b 的长方形．(1)选取1张A 型卡片，2张C 型卡片，1张B 型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为()a b +的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________；(2)请用这3种卡片拼出一个面积为2243a ab b ++的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；(3)选取1张A 型卡片，4张C 型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG 框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF 的长度固定不变，DG 的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为1S ，2S ．若21S S S =-，则当a 与b 满足____时，S 为定值，且定值为______．（用含b 的代数式表示）【答案】(1)()2a b +＝222a ab b ++ (2)见解析(3)2a b =时，24S b【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；（2）由a 2+4ab +3b 2可得A 型卡片1张，B 型卡片3张，C 型卡片4张，根据题意画出图形即可；（3）设DG 的长为x ，求出S 1，S 2即可解决问题． (1)解：方法1：大正方形的面积为（a +b ）2，方法2：图中四部分的面积和为a 2+2ab +b 2， ∴（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，故答案为：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2； (2)解：如图3，(3)解：设DG 的长为x ，∵S 1=a [x -（a +2b ）]=ax -a 2-2ab ，S 2=2b （x -a ）=2bx -2ab ， ∴S =S 2-S 1=2bx -2ab -（ax -a 2-2ab ） =（2b -a ）x +a 2，若S 为定值，则2b -a =0， ∴a =2b ，∴当a 与b 满足a =2b 时，S 为定值，且定值为24b ，故答案为：a =2b ，24b ．【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的特点，数形结合的数学思想是解决问题的关键．6．将图1中的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，1号正方形的边长为x ，2号正方形的边长为y ．(1)求5号长方形的面积（用含x ，y 的代数式表示）； (2)若图1中长方形的周长为24．①若2号正方形与1号正方形的面积差为3，求5号长方形的面积；②将图1中的1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形按图2的方式放入周长为40的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________．【答案】(1)2223xy y x +- (2)①2223xy y x +-；②34【分析】（1）表示出5号长方形的长和宽即可；（2）①根据2号正方形与1号正方形的面积差为3，以及图1中长方形的周长为24可以列方程求出x 、y 的值，代入第（1）问式子中计算即可； ②表示出阴影部分周长，最后整体代入求值即可 (1)由图形可知：3号正方形的边长为：x y +， 4号正方形的边长为：2x y +5号长方形的长为：3x y +，宽为：y x -∴5号长方形的面积为：22(3)()23+-=+-x y y x xy y x (2)①∵长方形的长为：232+++=+x y x y x y ，宽为：2++=+x y y x y 又长方形的周长为24， ∴2(322)24+++=x y x y ， ∴3x y +=∵2号正方形与1号正方形的面积差为3， ∴223y x -=， ∴()()3+-=y x y x ∵3x y +=， ∴1y x -=，∴12x y =⎧⎨=⎩把1,2x y ==代入2223xy y x +-得5号长方形的面积为5 ②∵图1中长方形的周长为24 ∴2(322)24+++=x y x y ， ∴3x y +=如图，可得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD 的周长，∵()(2)()23BC x y x y y x x y =++++-=+ 且图2的大长方形周长为40，∴()402AB x y BC +++=， ∴20()17AB BC x y -+=+=∴四边形ABCD 的周长为2()34AB BC +=【点评】本题考查整式加减的应用，设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题是关键． 7．提出问题：怎么运用矩形面积表示(y +2)(y +3)与2y +5的大小关系（其中y >0）？几何建模：（1）画长y +3，宽y +2的矩形，按图方式分割（2）变形：2y +5=(y +2)+(y +3)（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为(y +2)(y +3)；阴影部分面积可以表示为(y +3)×1，画点部分的面积可表示为y +2，由图形的部分与整体的关系可知： (y +2)(y +3)＞(y +2)+(y +3)，即(y +2)(y +3)＞2y +5 归纳提炼：当a >2，b >2时，表示ab 与a +b 的大小关系．根据题意，设a =2+m ，b =2+n (m >0，n >0)，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用铅笔画图，并标注相关线段的长）【答案】ab ＞a +b ．见解析【分析】画长为2+m ，宽为2+n 的矩形，并按图方式分割．图中大矩形面积可表示为（2+m ）（2+n ），阴影部分面积可表示为2+m 与2+n 的和．由图形的部分与整体的关系可知ab ＞a +b ．【解答】解：（1）画长为2+m ，宽为2+n 的矩形，并按图方式分割．（2）变形：a +b =（2+m ）+（2+n ）（3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+m ）（2+n ）；阴影部分面积可表示为2+m 与2+n 的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m ）（2+n ）＞（2+m ）+（2+n ），即ab ＞a +b ．【点评】本题主要考查了作图-应用与设计作图及整式的混合运算，解题的关键是利用数形结合思想建立了代数（速算、方程与不等式等）与几何图形之间的内在联系． 8．（1）探究：我们小学时学过乘法分配律a （b +c ）＝ab +ac ．下面我们用等积法证明乘法分配律：如图，方法一：长方形ABCD 的一边长为a ，另一边长为（b +c ），所以长方形ABCD 的面积为a （b +c ）；方法二，长方形ABFE 的面积为ab ，长方形CDEF 的面积为ac ，所以长方形ABCD 的面积为（ab +ac ），所以a （b +c ）＝ab +ac ．我们把这种用两种不同的方式表示同一图形面积的方法称为等积法．（2）应用请你用等积法，画出图形，并仿照上面的说理方法证明：（a +b ）（c +d ）＝ac +ad +bc +bd ；（3）拓展请直接写出（a +b ）（c +d +e ）＝．【答案】（2）证明见解析；（3）ac ad ae bc bd be +++++【分析】（2）画出图形，并仿照（1）的说理方法证明即可；（3）根据（1）的方法画出图形，进行计算即可．【解答】（2）如图，方法一：长方形ABCD 的一边长为()a b +，另一边长为()c d +，所以长方形ABCD 的面积为()()a b c d ++；方法二，长方形AGOE 的面积为ac ，长方形EODH 的面积为ad ，长方形GOFB 的面积为bc ，长方形OFCH 的面积为bd ，所以长方形ABCD 的面积为（ac ad bc bd +++），所以()()a b c d ac ad bc bd ++=+++．（3）如图，同理可得：方法一可得长方形ABCD 的面积为()()a b c d e +++，方法二可得长方形ABCD 的面积为ac ad ae bc bd be +++++∴()()a b c d e ac ad ae bc bd be +++=+++++故答案为：ac ad ae bc bd be +++++【点评】本题考查了多项式乘法与图形面积的关系，数形结合是解题的关键．9．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到222()2a b a ab b +=++，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：____________________；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，求222a b c ++的值；（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a ，b 的长方形纸片拼出一个面积为(2)(2)a b a b ++长方形，请画出图形并根据图形回答：x y z ++=__________；（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：__________．【答案】（1）（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（2）30；（3）9；（4）x 3−x ＝（x ＋1）（x −1）x 【分析】（1）依据正方形的面积＝（a ＋b ＋c ）2；正方形的面积＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，可得等式；（2）依据（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，进行计算即可；（3）依据画出图形，即可得到x ，y ，z 的值，进而即可求解；（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【解答】解：（1）由图2得：正方形的面积＝（a ＋b ＋c ）2；正方形的面积＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，∴（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，故答案为：（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（2）∵（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，∵10a b c ++=，35ab ac bc ++=，∴102＝a 2＋b 2＋c 2＋2×35，∴a 2＋b 2＋c 2＝100−70＝30；（3）如图所示：∴x ＝2，y ＝2，z ＝5，∴x ＋y ＋z ＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x 3−1×1•x ＝x 3−x ，新几何体的体积＝（x ＋1）（x −1）x ，∴x 3−x ＝（x ＋1）（x −1）x ．故答案为：x 3−x ＝（x ＋1）（x −1）x ．【点评】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．10．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到222()2a b a ab b +=++，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222a b c ++= ．（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为(2a +b )(a +2b )长方形，则x +2y +z = ．（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．【答案】（1）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（2）30；（3）11；（4）3(1)(1)x x x x x -=-+【分析】（1）依据正方形的面积=(a +b +c )2；正方形的面积=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ，可得等式；（2）依据a 2+b 2+c 2=(a +b +c )2-2ab -2ac -2bc ，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa 2+yb 2+zab ，而(2a +b )(a +2b )=2a 2+4ab +ab +2b 2=2a 2+5b 2+2ab ，即可得到x ，y ，z 的值．（4）根据原几何体的体积=新几何体的体积，列式可得结论．【解答】解：（1）由图2得：正方形的面积可表示为(a +b +c )2，正方形的面积也可表示为a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ，∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ，故答案为：(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ；（2）∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ，∵a +b +c =10，ab +ac +bc =35，∴102=a 2+b 2+c 2+2×35，∴a 2+b 2+c 2=100-70=30，故答案为：30；（3）由题意得：(2a +b )(a +2b )=xa 2+yb 2+zab ，∴2a 2+5ab +2b 2=xa 2+yb 2+zab ，∴x =2，y =2，z =5，∴x +2y +z =11，故答案为：11；（4）∵原几何体的体积=x 3-1×1•x =x 3-x ，新几何体的体积=(x +1)(x -1)x ，∴x 3-x = x (x +1)(x -1)．故答案为：x 3-x = x (x +1)(x -1)．【点评】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．11．数学活动活动材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．活动要求用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．例如，由图②，我们有()()22322a ab b a b a b ++=++或()()22232a b a b a ab b ++=++．问题：（1）选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出一个如图③的长方形，计算它的面积，并写出相应的等式；（2）试借助拼图的方法，把二次三项式2223a ab b ++分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内．（3）将2223b ab a -+分解因式（直接写出结果，不需要画图）．【答案】（1）2243a ab b ++，()()22343a b a b a ab b ++=++或()()22433a ab b a b a b ++=++；（2）()()22232a ab b a b a b ++=++，作图见解析；（3）()()22232b ab a b a b a -+=--．【分析】（1）根据图形分析，正方形、长方形硬纸片8块拼成了一个大长方形的面积，利用面积相等即可求得等式；（2）根据题意得这个图形有6块纸片构成，2个小正方形，1个大正方形，3个长方形，拼成一个大长方形，画出长方形即可；（3）依据代数式画出图形，注意式子中有一个减号，所以拼出来的图形是一个长方形，减去了一部分，然后根据图形可以分解因式．【解答】解：（1）由图③的，共有8块硬纸片拼成，其中1个小正方形，3个大正方形，4个长方形，所以面积为：2243a ab b ++，∴()()22343a b a b a ab b ++=++或()()22433a ab b a b a b ++=++；（2）()()22232a ab b a b a b ++=++，所拼图形如图：。

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面积的计算和面积法
一、计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：
1.常见图形的面积公式；
2.等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；
3.夹在平行线间的距离处处相等
4.等比定理：
(1)同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.
(2)相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.
熟悉下列基本图形、基本结论：
S1 S2
S1 S3
S2
S1
S4 3 S2
S1
1 S3 S
S S2 S2 S4
S3
二、用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，
就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．下列情况可以考虑用面积法：
（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的问题
面积法：
1、如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1， 3， 5，则这个等边三角形的高为______________．
2、如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝ DF， BE与 DF交于 G，求证：∠ BGC＝∠ DGC.（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）
计算图形的面积
3、如图，△ ABC 内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形 AEFD 的面积为x，则x＝________.
A
E F D
5
8
10
B
4、如图所示，ABC 、 BCD 、CDA 的面积分别为49、
27 和 14，则AOD的面积为多少？
A
5 ．如图所示，在矩形 ABCD 中， E 是 AD 中点， F 是 CE 中点，S BDF
的面积为多少？
A
B
C
例1 图
C
D
O
B
6cm 2 , 则矩形ABCD E D
F
C
6、如图，P为平行四边形ABCD内一点，且S PAB5 , S PAD 2 .则
S PAC__________ .
D
C
P
A B
7、如图，矩形ABCD中，点 E、 F、 G、 H、分别在边 AB、 BC、 CD、 DA 上。

点 P 在矩形 ABCD
内，在若 AB=4cm,BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm，四边形 AEPH的面积为
2
，则四边形 PFCG 5cm
的面积为cm 2.
8、如图，在△ ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且BD⊥CE ，BD＝ 4， CE ＝6，那么四边形 BCDE 的面积 =
A 那么△ABC 的面积 =
D
E
B
C
例 2 图
练习：
1．如图，已知△ BOF，△ AOF，△BOD，△ COE的面积分别为30， 40， 35，则
△ABC 的面积为 ________.
A
C
2．如图，已知 M 是ABCD 边 AB 的中点，CM 交 BD 于点 E，则图中阴影部分面积与ABCD 的面积之比为（）
1 1 1 5
A ．6 B．4 C．3 D ．12
3、如图，△ABC的面积是60, BE : CE 1 : 2, AD : CD3 : 1 ，求四边形ECDF的面积．
4、如图，点D、 E 分别是△ ABC的边 AC、AB上的点，直线BD与 CE交于点 F，已知△ CDF，
△BFE，△ BCF的面积分别是3， 4， 5 则四边形 AEFD的面积是
A
C
D
E
F
A B
第 3 题图
E
D
F
B
C。