参数估计案例
7 参数估计
3个抽样实验结果图示
均数
均数
5. 15 5. 36 5. 57 5. 77 5. 98 6. 19
频数 100 150 200 250 300 350 400 450 50 0
n = 30; SX = 0.0920
均数
3. 71 3. 92 4. 12 4. 33 4. 54 4. 74 4. 95 5. 15 5. 36 5. 57 5. 77 5. 98 6. 19
t= X −µ X −µ = SX S/ n t变 换
σX
N(0,1) 0 t(ν) (
X
0
t 分布与正态分布的比较
t 分布：形状与 分布：形状与N(0,1)相似， 相似， 相似 分布中间较小， 但t分布中间较小，两侧较大。 分布中间较小 两侧较大。
随着v增大， 分布逼近 随着 增大，t分布逼近 增大 分布逼近N(0,1)； ； v ∞时，t分布演变成 时 分布演变成 分布演变成N(0,1)。 。
参数估计
parameter estimation
统计学
统计描述
统计推断
参数估计
假设检验
总体、 总体、个体和样本
总体(population)：调查研究的事物或现象的全体 个体(item unit)：组成总体的每个元素 样本(sample)：从总体中所抽取的部分个体 样本容量(sample size)：样本中所含个体的数量
总体参数
µ、σ、π
可信区间(confidence interval, CI) 可信区间
可信区间
均 数
率
方差
σ2 未知
σ2 已知
总体均数的估计
点估计： 点估计：point estimation 区间估计： 区间估计：interval estimation 样本统计量 点估计) (点估计)
参数估计和假设检验案例
参数估计和假设检验案例案例一：工艺流程的检测某公司是一家为客户提供抽样和统计程序方面建议的咨询公司，这些建议可以用来监控客户的制造工艺流程。
在一个应用项目中，一名客户向该公司提供了一个样本，该样本由工艺流程正常运行时的800个观测值组成。
这些数据的样本标准差为0.21；因为有如此多的样本数据，因此，总体标准差被假设为0.21。
然后，该公司建议：持续不断地定期抽取容量为30的随机样本以对工艺流程进行检测。
通过对这些新样本的分析，客户可以迅速知道，工艺流程的运行状况是否令人满意。
当工艺流程的运行状况不能令人满意时，可以采取纠正措施来解决这个问题。
设计规格要求工艺流程的均值为12，该公司建议采用如下形式的假设检验。
μ=μ≠H0 ：12 H1 ：12只要H0被拒绝，就应采取纠正措施。
下表为第一天运行新的工艺流程的统计控制程序时，每隔一小时收集的样本数据。
问题：1、对每个样本在0.01的显著性水平下进行假设检验，并且确定，如果需要Z0.005=2.582、4、讨论将显著性水平改变为一个更大的值时的影响？如果增加显著性水平，哪种错误或误差将增加？显著性水平增加，置信区间减小，误差减小。
案例二：计算机辅助教学会使完成课程的时间差异缩小吗？某课程引导性教程采用一种个性化教学系统，每位学生观看教学录像，然后给以程式化的教材。
每位学生独立学习直至完成训练并通过考试。
人们关心的问题是学生完成训练计划的进度不同。
有些学生能够相当快地完成程式化教材，而另一些学生在教材上需要花费较长的时间，甚至需要加班加点才能完成课程。
学的较快的学生必须等待学得较慢的学生完成引导性课程才能一起进行其他方面的训练。
建议的替代系统是使用计算机辅助教学。
在这种方法中，所有的学生观看同样的讲座录像，然后每位学生被指派到一个计算机终端来接受进一步的训练。
在整个教程的自我训练过程中，由计算机指导学生独立操作。
为了比较建议的和当前的教学方法，刚入学的122名学生被随机地安排到这两种教学系统中。
参数估计和假设检验案例
参数估计和假设检验案例假设我们是一家制造公司的数据分析师，公司最近收到用户对产品的投诉，称产品的平均使用寿命低于承诺的使用寿命。
为了验证这一断言，我们希望利用采样数据对产品的平均使用寿命进行估计，并进行假设检验来验证用户的主张。
1.参数估计：为了对产品的平均使用寿命进行估计，我们需要收集一定数量的样本数据。
假设我们从该公司生产的100个产品中随机选择了20个，然后记录了它们的使用寿命（以年为单位）。
收集到的数据如下：15,12,18,20,14,16,19,17,13,11,14,16,21,15,17,14,13,12,19,18首先，我们需要计算这些数据的样本均值来进行参数估计。
样本均值的计算公式为：样本均值=(15+12+18+20+14+16+19+17+13+11+14+16+21+15+17+14+13+12+19+18)/2 0=16.5因此，用收集到的样本数据估计该公司生产的产品的平均使用寿命为16.5年。
2.假设检验：接下来，我们需要进行假设检验来验证用户的主张。
在本案例中，我们的原假设（H0）为产品的平均使用寿命等于承诺的使用寿命，备择假设（H1）为产品的平均使用寿命小于承诺的使用寿命。
我们设定显著性水平为0.05，即我们希望在5%的置信水平下进行判断。
在通过参数估计得到产品的平均使用寿命估计值后，我们可以利用假设检验来验证该估计值是否与承诺的使用寿命相符。
假设检验的步骤如下：1）设定原假设（H0）和备择假设（H1）；2）选择一个合适的统计检验方法；3）计算检验统计量（test statistic）；4）计算p值；5）根据p值判断是否拒绝原假设。
在本案例中，由于样本数量较小（n<30），符合正态分布的假设也未被验证，我们可以选择使用t检验来进行假设检验。
根据我们的备择假设，我们希望验证产品的平均使用寿命小于承诺的使用寿命。
因此，我们将进行单样本t检验，计算检验统计量和p值。
第六章 参数估计
总体均值 在置信度 下的置信区间为： 55000 x z 135000 1 . 96 113440 , 156560 • = 。 n 25 • 即在95%的概率可靠程度下，此次抽样得该地区 企业总经理的年平均收入的置信区间为 （113440，156560）
2
第二节 区间估计
第二节 区间估计
• 点估计的优点是简洁明了，给出了具体的估 计值；缺点是无法提供估计量的精度和概率可靠 程度，这便是区间估计解决的问题。
以下我们从一个实际问题的解决，了解 区间估计的概念。
第二节 区间估计
• 【例6-3】 已知某企业生产的灯管寿命服从 正态分布，现从一大批灯管中随机抽取 n=16只，分别测得寿命（单位：小时）如 下：
• 3510 3450 3480 3460 3520 3496 3490 3460 • 3464 3526 3530 3470 3516 3520 3494 3470
• 在概率可靠程度1-α=95%下，求这批灯管平 均寿命 的区间估计。
第二节 区间估计
• 该例是总体服从正态分布，总体方差未知 ，小样本的情况。 • 此时，可算得总体均值点估计量 x ，样本 标准差s， x t ~ t (n 1) • 对 x 进行标准化，即 ，对于概 s n 率可靠程度 1 ，有： • P t t 2 (n 1) 1 (6.1)
2
n
16
• 即在概率可靠程度95%下，此次抽样得该批灯管 平均寿命的区间估计为（3476.8, 3503.2）小时 之间。
第二节 区间估计
• 一 、区间估计的概念
从例6-3可看出，区间估计就是总体参数θ落 在区间估计量 (ˆ ,ˆ ) 内的概率为1-α，即 ˆ ˆ 1 。称区间 (ˆ ,ˆ ) 为总体参数 P 1 2 θ的置信度为 1 的置信区间。
参数估计精讲及经典案例
第21讲 参数估计习题课教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。
教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。
教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。
教学时数：2学时。
教学过程：一、知识要点回顾1. 矩估计用各阶样本原点矩n ki i 11x n k V ==∑ 作为各阶总体原点矩k EX 的估计,1,2,k = 。
若有参数2g(,(),,)k E X E X E X θ= （）（），则参数θ的矩估计为n n n 2i=1i=1i=1111ˆ(,,,)ki i i X X X n n n θ=∑∑∑ 。
2. 最大似然估计似然函数1()(;)ni i L f x θθ==∏，取对数ln[()]L θ，从ln()d d θθ=0中解得θ的最大似然估计θˆ。
3. 无偏性,有效性当θθ=ˆE 时，称θˆ为θ的无偏估计。
当21ˆD ˆD θθ<时，称估计量1ˆθ比2ˆθ有效。
5. 两个正态总体均差值的区间估计当21σ和22σ已知时,12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为当21σ和22σ未知时,12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为二 、典型例题解析1．设,0()0, 0x e x f x x θθ-⎧>=⎨≤⎩，求θ的矩估计。
解 ,0dx xe EX x ⎰+∞-=θθ设du dx u x x u θθθ1,1,===则000111()0()u uu EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞--+∞⎡⎤⎡⎤==-+=+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰=θ1故1EXθ=，所以x 1ˆ=θ。
2. 设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布，求a 和b 的矩估计。
解 由均匀分布的数学期望和方差知1()()2E X a b =+ （1）21()()12D X b a =- （2） 由（1）解得a EX b -=2，代入（2）得2)22(121a EX DX -=，整理得2)(31a EX DX -=，解得()()a E X b E X ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故得b a ,的矩估计为ˆˆa x b x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中∑=-=ni i x x n 122)(1ˆσ。
参数估计课程思政案例
参数估计课程思政案例一、课程引入：以投篮命中率估计类比参数估计。
在开始讲参数估计这一比较抽象的概念时，我会先跟同学们聊篮球。
我会说：“同学们啊，你们看NBA那些球星，像库里，他投篮可准了。
但是呢，教练也得心里有数他到底有多准啊，这就像我们要估计一个参数。
比如说库里的投篮命中率，这就好比是我们要估计的那个未知的参数。
教练怎么知道呢？他不能就看库里投了一个球进了，就说命中率是100%吧。
他得观察库里好多场比赛，投了好多球，然后根据他进球的个数来估计这个命中率。
这就跟我们从样本数据里去估计总体的参数是一个道理。
”然后我就开始引导大家思考更深层次的东西。
我会说：“这就像我们在生活里，看待一个人或者一件事，不能仅凭一次的表现就下结论。
就像我们对库里投篮命中率的估计，需要足够多的样本，也就是看他很多场比赛投篮的情况。
这也是一种严谨的态度，在学习和生活中，我们对待知识、对待他人都要有这种严谨的态度，不要轻易地根据一点信息就给定性了。
这也是我们做学问、做人该有的态度，也就是要有一种实事求是的精神。
”二、最大似然估计中的思政元素。
讲到最大似然估计的时候，我会给大家举一个例子。
“同学们，假设你们是一群考古学家（这时候同学们就会觉得很有趣，很新奇），在一个古老的遗址发现了一些古代的钱币。
这些钱币上面有一些奇怪的图案。
现在呢，你们要推测这些钱币是哪个朝代的，或者说这些图案最有可能代表什么文化意义。
你们会怎么做呢？你们肯定会去收集类似的有这种图案的钱币或者相关的文物，从这些样本里面去寻找最有可能的解释。
这就是最大似然估计的思想。
”然后我话锋一转，说：“同学们，这其实也告诉我们一个道理。
当我们在探索未知的知识领域，就像那些考古学家探索古代文化一样，我们要善于从现有的证据（就像我们在参数估计里的样本数据）中去挖掘最有可能的真相。
而且呢，这也反映了人类对真理的追求。
从古至今，不管是考古学家、科学家还是哲学家，都在不断地寻找最有可能的解释、最接近真相的理论。
5.3 参数估计及应用
五、必要抽样容量的计算
1．推断总体平均数所需的样本单位数
（1）在重复抽样条件下：
t 2 2
n
பைடு நூலகம்
x2
（2）在不重复抽样条件下：
Nt2 2
n
Nx2 t2 2
五、必要抽样数目的确定
2．推断总体成数所需的样本单位数
（1）在重复抽样条件下：
t2 p1 p
n
p2
（2）在不重复抽样条件下：
Nt2 p(1 p) n
② 该储蓄所本月存款额在 1000元以上存单所占比 重范围。(概率保证程度 为95.45%)。
存款额分组 （元）
100元以下 100-200 200-500 500-1000 1000-2000 2000-5000 5000以上
合计
存款单 （张）
15 40 70 35 25 10 5
200
解：该储蓄所存单平均存款额与标准差计算表
Np2 t2 p(1 p)
例题5---4
案例
某市自来水城镇居民用户共有114万户，2016年其 满意度的标准差为1。现对该市城镇自来水居民用户 2017年的满意度进行抽样估计，要求平均满意度的 允许误差最大不超过0.1，概率保证程度为95%。
案例思考： 如果采用重复抽样方法，需要抽查多少城镇自来水居民用户？
案例分析
案例采用重复抽样方法，可以使用下面的公式进行计算：
n
t2 2 x2
1.962 12 0.12
384
分析
为了满足该市城镇自来水用户对产品平均满意度的推断，我 们至少应抽取384户城镇自来水用户进行调查。
思维导图
实践任务
对兴安职业技术学院在校大学生平均每月消费支 出情况，选择合适的组织形式进行抽样调查，并 确定必要抽样数目。
自回归模型的参数估计案例
自回归模型的参数估计案例案例一：建立中国长期货币流通量需求模型。
中国改革开放以来，对货币需求量（Y）的影响因素，主要有资金运用中的贷款额（X）以及反映价格变化的居民消费者价格指数（P）。
长期货币流通量模型可设定为Y—B o "iX t +為只+片（1）其中，Y t e为长期货币流通需求量。
由于长期货币流通需求量不可观测，作局部调整:Y t -YL（Y t e-Y.）（2）其中，Y为实际货币流通量。
将（1）式代入（2）得短期货币流通量需求模型：Y 二o Mt 2p （1- ）Y「J表1中列出了1978年到2007年我国货币流通量、贷款额以及居民消费者价格指数的相关数据。
居民消费者价格指数年份货币流通量Y （亿元）贷款额X （亿元）P （1990 年=100）1978212.046.21850.01979267.747.12039.61980346.250.62414.31981396.351.92860.21982439.152.93180.61983529.854.03589.91984792.155.54766.11985987.860.65905.6 19861218.464.67590.819871454.569.39032.519882134.082.310551.3 19892344.097.014360.1 19902644.4100.017680.7 19913177.8103.421337.8 19924336.0110.026322.9 19935864.7126.232943.1 19947288.6156.739976.0 19957885.3183.450544.1 19968802.0198.761156.6 199710177.6204.274914.1 199811204.2202.686524.1 199913455.5199.793734.3200014652.7200.699371.1 200115688.8201.9112314.7 200217278.0200.3131293.9 200319746.0202.7158996.2 200421468.3210.6178197.8 200524031.7214.4194690.4 200627072.6217.7225347.2 200730375.2228.1261690.9对局部调整模型1X t + P2r t(1-「JYx ”运用OLS法估计结果如图1:D E餐n血nt Vanable Y fJethac Least Squares Date Tima 21 12Sample r3C|U3tedj 1979 2007Included otsen'aticns 29 after adj」wtnignt辱Vansble Coefficient Std Errcr t-Statistic ProbC-202 5275 221 964S -O 91Z430 0 3703X0D36T100012565 2842001 C 003SP 7 4557283065733 2.431956 C 022bYM)0 723634 0 132796 5 449199 0 0030^squared 0.9985B2F^ean depencent /ar 9059.631Adjjsted R-squared 0.998412S.D lepsndent ,ar 9007.257S.E of regression358.9392 Akaike irfir ci iltn uri14.73163Sum squand rssid 3220934Schwarz cnterior U 92022Loc likelihcod-209.6086 F-statisti：50E8 997L;urb i r-atscn sta:1724407ProbiF-statistic)U U'JUUJU图1回归估计结果由图1短期货币流通量需求模型的估计式:Y = -202.5+ 0.0357Xt + 7.4557R + 0.7236Y T 由参数估计结果? 0.7236,得? 0.2764o由于= -202.5= 0.0357, 、2 = 7.4557。
基于贝叶斯推断的参数估计方法研究
基于贝叶斯推断的参数估计方法研究贝叶斯推断是一种概率统计方法，可以用来估计参数值。
在许多实际问题中，我们经常需要进行参数估计，以便更好地理解数据或者进行预测。
而传统的频率主义方法通常是基于最大似然估计等方法来进行参数估计，而贝叶斯推断则提供了一种全新的思路。
一、贝叶斯推断概述贝叶斯推断是基于贝叶斯定理的一种推理方法。
贝叶斯定理可以表示为：P(θ|D) = P(D|θ) * P(θ) / P(D)其中，θ表示参数，D表示数据。
P(θ|D)为后验概率，即在观察到数据D后参数θ的概率；P(D|θ)为似然函数，表示在给定参数θ下观测到数据D的概率；P(θ)为先验概率，表示对参数θ的先验信念；P(D)为边缘概率，表示观察到数据D的概率。
根据贝叶斯定理，我们可以通过先验概率和似然函数来更新参数的后验概率。
这样，我们可以获得在已知数据的情况下参数的概率分布，从而进行参数估计。
二、参数估计方法在贝叶斯推断中，参数估计是通过计算参数的后验概率分布来实现的。
常见的参数估计方法包括：1.最大后验估计（Maximum A Posteriori, MAP）：MAP估计是寻找使得后验概率最大的参数值。
即：θ_MAP = argmax P(θ|D) = argmax P(D|θ) * P(θ)MAP估计可以看作是在最大化似然函数的同时考虑先验概率的一种方法。
通过选择合适的先验概率分布，我们可以对参数进行约束，从而提高参数估计的准确性。
2.全概率公式（Bayesian Updating）：全概率公式可以用来计算参数的后验概率分布。
它可以表示为：P(θ|D) = P(D|θ) * P(θ) / ∫P(D|θ) * P(θ) dθ其中，∫P(D|θ) * P(θ) dθ是一个对参数的积分，它确保了后验概率分布的总和为1。
由于积分通常较难计算，因此常常需要使用近似方法来计算后验概率分布。
三、贝叶斯推断的优势相比传统的频率主义方法，贝叶斯推断具有以下几个优势：1.能够更好地利用先验知识：贝叶斯推断中的先验概率可以用来引入领域知识或者经验，从而使得参数估计更加准确和可靠。
计量经济学案例eviews
案例分析1.问题的提出和模型的设定根据我国1978—1997年的财政收入Y 和国民生产总值X 的数据资料，分析财政收入和国民生产总值的关系建立财政收入和国民生产总值的回归模型。
假定财政收入和国民收入总值之间满足线性约束，则理论模型设定为i i i u X Y ++=21ββ其中i Y 表示财政收入，i X 表示国民生产总值。
表1我国1978—1997年财政收入和国民生产总值2.参数估计进入EViews 软件包，确定时间范围；编辑输入数据；选择估计方程菜单，估计样本回归函数如下表 2obsX Y 19783624.100 1132.260 19794038.200 1146.380 19804517.800 1159.930 19814860.300 1175.790 19825301.800 1212.330 19835957.400 1366.950 19847206.700 1624.860 19858989.100 2004.820 198610201.40 2122.010 198711954.50 2199.350 198814922.30 2357.240 198916917.80 2664.900 199018598.40 2937.100 199121662.50 3149.480 199226651.90 3483.370 199334560.50 4348.950 199446670.00 5218.100 199557494.90 6242.200 199666850.50 7407.990 1997 73452.50 8651.140估计结果为Y=858.3108 + 0.100031X(12.78768) (46.04788)R^2=0.991583 S.E.=208.508 F=2120.408括号内为t统计量值。
3.检验模型的异方差（一）图形法1、EViews软件操作。
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大学生综合素质成绩分析
参与者:李艳
起止时间:2016、5、13-2016、5、21 学习目的:
（1)掌握参数估计的统计方法,能够针对具体的数据进行实际运用 （2)深入挖掘数据,结合数据特点选择恰当的统计方法进行分析 （3)熟练使用excel 进行数据分析,并结合具体背景给出合理解释 （4)掌握统计分析报告的撰写方法 调查研究背景与现实意义
大学生就是备受关注的群体,这些年轻人日后必定承担着很多责任。
所以社会也很关注高校对大学生的培养。
如今大学生的培养状况如何呢?高校的培养方案就是否还需改进呢？让我们一起来研究一下大学生的学习状况。
调查方案的设计
数据分析 1,数据的基本信息
样本的描述性统计
综合素质分数
平均74、971 标准误差0、648376 中位数75、515 众数77、09 标准差4、584712 方差21、01958 峰度-0、36939 偏度-0、55409 区域18、29 最小值64、25 最大值82、54 求与3748、55 观测数50
最大(1) 82、54
最小(1) 64、25
置信度(95、0%) 1、302961
分段的描述性统计
总人数女生男生
平均10 平均 5 平均 5 标准误差2、94957624 标准误差1、870828693 标准误差1、095445115 中位数8 中位数 4 中位数 4 标准差6、59545298 标准差4、183300133 标准差2、449489743 方差43、5 方差17、5 方差 6 峰度-0、7269124 峰度-0、024489796 峰度-1、75 偏度0、3572646 偏度0、512240833 偏度0、170103454 区域17 区域11 区域 6 最小值 2 最小值0 最小值 2 最大值19 最大值11 最大值8 求与50 求与25 求与25 观测数 5 观测数 5 观测数 5 最大(1) 19 最大(1) 11 最大(1) 8 最小(1) 2 最小(1) 0 最小(1) 2 置信度(95、
8、18933652 置信度(95、0%) 5、194253168 置信度(95、0%) 3、041443227 0%)。