2012高考北京理科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试

数学理工农医类(北京卷)

本试卷共150分．考试时长120分钟．

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，则A∩B＝()

A．(－∞，－1) B．{－1，

2 3 -}

C．(

2

3

-，3) D．(3，＋∞)

2．在复平面内，复数10i

3i+

对应的点的坐标为()

A．(1,3) B．(3,1)

C．(－1,3) D．(3，－1)

3．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的()

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为()

A．2 B．4 C．8 D．16

5．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()

A．CE·CB＝AD·DB

B．CE·CB＝AD·AB

C．AD·AB＝CD2

D．CE·EB＝CD2

6．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()

A．24 B．18 C．12 D．6

7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()

A ．28+

B ．30+

C ．56+

D ．60+8．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )

A ．5

B ．7

C ．9

D ．11

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．直线2,1x t y t =+??=--?(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y α

α

=??=?(α为参数)的交点个数为________．

10．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若11

2

a =，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n

＝________．

11．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，1

cos 4

B =-

，则b ＝________． 12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线 y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．

13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ?的值为________，

DE DC ?的最大值为________．

14．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2．若同时满足条件：

①x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0． 则m 的取值范围是________．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．已知函数(sin cos )sin2()sin x x x

f x x

-=

．

(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．

16．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6．D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2．

图1

图2

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．

17．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽

(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a＋b＋c＝600，当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．

(求：s2＝1

n

［(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2］，其中x为数据x1，x2，…，x n的平

均数)

18．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx．

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；

(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1］上的最大值．

19．已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．

(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．20．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记S(m，n)为所有这样的数表构成的集合．

对于A∈S(m，n)，记r i(A)为A的第i行各数之和(1≤i≤m)，c j(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n)；

记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，…，|r m(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，…，|c n(A)|中的最小值．

(1)对如下数表A，求k(A)

(2)设数表A ∈S (2,3)形如

求k (A )的最大值；

(3)给定正整数t ，对于所有的A ∈S (2,2t ＋1)，求k (A )的最大值．

1．D 由题意得，A ＝{x |x ＞2

3

-

}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，所以A ∩B ＝(3，＋∞)． 2．

D 由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A ，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A 的是阴影部分区域μA ，故由几何概型的概率公式得：

()22

21

2π24π424

P A -??-==

．

3． B 由已知得，“a ＋b i 是纯虚数”

“a ＝0”，但“a ＝0”

“复数a ＋b i 是纯

虚数”，因此“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．

4．C 初始：k ＝0，S ＝1，

第一次循环：由0＜3，得S ＝1×20＝1，k ＝1； 第二次循环：由1＜3，得S ＝1×21＝2，k ＝2； 第三次循环：由2＜3，得S ＝2×22＝8，k ＝3． 经判断此时要跳出循环，因此输出的S 值为8． 5． A 由切割线定理得，CD 2＝CE ·CB ， 又在Rt △CAB 中，△ACD ∽△CBD ， ∴CD 2＝AD ·DB ，∴CE ·CB ＝AD ·DB ．

6． B 先分成两类：(一)从0,2中选数字2，从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字

的三位数中奇数的个数为2

3C 412?＝

； (二)从0,2中选数字0，从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为2

3C 26?＝．

故满足条件的奇数的总个数为12＋6＝18．

7．B 根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为

此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S ＝1

2

×(2＋3)×4＋

12×4×5＋12×4×(2＋3)

＋1

302

?=+ 8．C 结合S n 与n 的关系图象可知，前2年的产量均为0，显然

2

02

S =为最小，在第3年～第9年期间，S n 的增长呈现持续稳定性，但在第9年之后，S n 的增速骤然降低．因为当n ＝9时，

9

9

S 的值为最大，故m 值为9． 9．答案：2

解析：由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x ＋y －1＝0，x 2＋y 2＝9，进而求出圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0

的距离32d =

=<，∴交点个数为2． 10．答案：1

2

1()4n n + 解析：由11

2

a =，S 2＝a 3得，

a 1＋a 2＝a 3，即a 3－a 2＝1

2，

∴{a n }是一个以112a =为首项，以1

2

为公差的等差数列．

∴111(1)222

n a n n ?＝＋－＝．

∴a 2＝1，22

1111()()2444

n n n S a a n n n n =+=+=+．

11．答案：4

解析：由余弦定理得，222224(7)1

cos 222(7)4

a c

b b b B a

c b +-+--=

==-??-，解得b ＝4． 12．

解析：由已知得抛物线的焦点坐标为(1,0)，直线l 的方程为y ＝tan 60°(x －1)

，即

y =-

联立得2 4. y y x ?=-??=??①

②

由①

得1x y =+，③ 将③代入②

并整理得2

40y y --=，

解得1y =

2y =

又点A 在x 轴上方， ∴A

(3,．

∴111||||122

OAF S OF y ?=

??=??= 13．答案：1 1

解析：DE ·

CB ＝(DA ＋AE )·CB ＝(CB ＋AE )·CB ＝|CB |2＋AE ·CB ． 因为AE ⊥CB ，所以AE ·CB ＝0． 所以DE ·

CB ＝12＋0＝1． DE ·

DC ＝(DA ＋AE )·DC ＝DA ·DC ＋AE ·DC ＝λ|DC |2(0≤λ≤1)， ∴DE ·

DC 的最大值为1． 14．答案：(－4，－2)

解析：(一)由题意可知，m ≥0时不能保证对x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0成立． (1)当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，g (x )＝2x －2，此时显然满足条件①； (2)当－1＜m ＜0时，2m ＞－(m ＋3)，要使其满足条件①， 则需10,

21,

m m -<

(3)当m ＜－1时，－(m ＋3)＞2m ，要使其满足条件①， 则需1,

(3)1,

m m <-??

-+

因此满足条件①的m 的取值范围为(－4,0)．

(二)在满足条件①的前提下，再探讨满足条件②的m 的取值范围． (1)当m ＝－1时，在(－∞，－4)上，f (x )与g (x )均小于0，不合题意； (2)当m ＜－1时，则需2m ＜－4，即m ＜－2，所以－4＜m ＜－2； (3)当－1＜m ＜0时，则需－(m ＋3)＜－4，即m ＞1，此时无解． 综上所述满足①②两个条件的m 的取值范围为(－4，－2)． 15．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为(sin cos )sin2()sin x x x

f x x

-=

＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1

π

)14

x -

-， 所以f (x )的最小正周期2π

π2

T =

=． (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为

［2k π－

π2，2k π＋π

2］(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π

2，x ≠k π(k ∈Z )，

得k π－π8≤x ≤k π＋3π

8

，x ≠k π(k ∈Z )．

所以f (x )的单调递增区间为［k π－

π8，k π)和(k π，k π＋3π8

］(k ∈Z )． 16．解：(1)因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ， 所以DE ⊥AC ．所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ． 所以DE ⊥平面A 1DC ． 所以DE ⊥A 1C ．

又因为A 1C ⊥CD ，所以A 1C ⊥平面BCDE ．

(2)如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ，

则A 1(0,0,，D (0,2,0)，M (0,1，B (3,0,0)，E (2,2,0)． 设平面A 1BE 的法向量为n =(x ，y ，z )， 则n ·1A B =0，n ·BE =0．

又1A B =(3,0，-)，BE =(－1,2,0)，

所以30,20.

x x y ?-=?

?

-+=??

令y =1，则x =2，z =

所以n =(2,1)．

设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ．

因为CM =(0,1)，

所以sin cos ,

28CM CM

CM

θ?==

=

=n n n ， 所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为

π

4

． (3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直． 理由如下：

假设这样的点P 存在，设其坐标为(p ,0,0)，其中p ∈［0,3］． 设平面A 1DP 的法向量为m =(x ，y ，z )，

则m ·1A D =0，m ·

DP =0．

又1A D =(0,2，-，DP =(p ，－2,0)，

所以20,

20.

y px y ?-=??

-=??

令x =2，则y =p ，

z =

．

所以m =(2，p

． 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m·n =0， 即4+p +p =0．

解得p =－2，与p ∈［0,3］矛盾．

所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直． 17．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为

4002

=4001001003

=++“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量．

(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．

事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，

即P (A )约为

40024060

0.71000

++=，

所以P (A )约为1－0.7＝0.3．

(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值．

因为x ＝

1

3(a ＋b ＋c )＝200， 所以s 2＝1

3

×［(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2］＝80 000．

18．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ．

因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线， 所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)． 即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b ． 解得a ＝3，b ＝3． (2)记h (x )＝f (x )＋g (x )，

当b ＝

14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋1

4

a 2x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1

4

a 2．

令h ′(x )＝0，得12a x =-，26

a

x =-．

a ＞0时，h (x )与h ′(x )的情况如下：

所以函数h (x )的单调递增区间为(－∞，2-

)和(6

-，＋∞)；

单调递减区间为(2a -，6

a -)． 当2

a

-

≥－1，即0＜a ≤2时， 函数h (x )在区间(－∞，－1］上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1］上的最大值为h (－

1)＝a －

14a 2． 当2a -＜－1，且6

a

-≥－1，即2＜a ≤6时，

函数h (x )在区间(－∞，2a -)内单调递增，在区间(2a

-，－1］上单调递减，h (x )在区间

(－∞，－1］上的最大值为()12

a

h -=．

当6

a

-＜－1，即a ＞6时，

函数h (x )在区间(－∞，2a -)内单调递增，在区间(2a -，6a -)内单调递减，在区间(6

a

-，

－1］上单调递增，

又因为h (2a -

)－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝1

4

(a －2)2＞0， 所以h (x )在区间(－∞，－1］上的最大值为()12

a

h -=．

19．解：(1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，

当且仅当50208852m m m m ?

?->?

->???>--?，，，

解得72＜m ＜5，所以m 的取值范围是(7

2

，5)．

(2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)． 由22

428y kx x y =+??

+=?，，

得(1＋2k 2)x 2

＋16kx ＋24＝0． 因为直线与曲线C 交于不同的两点， 所以?＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24＞0，即2

32

k >

． 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4，

x 1＋x 2＝

21612k k -+，x 1x 2＝2

24

12k

+． 直线BM 的方程为1122y y x x ++=，点G 的坐标为(1

132

x y +，1)．

因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为222AN y k x -=

，11

2

3AG y k x +=-， 所以k AN －k AG ＝21212121

2226

33y y kx kx x x x x -++++=+ ＝212122

1622()4412=02433

12k

x x k k k x x k -?

?+++=+

+， 即k AN ＝k AG ．

故A ，G ，N 三点共线．

20．解：(1)因为r 1(A )＝1.2，r 2(A )＝－1.2，c 1(A )＝1.1，c 2(A )＝0.7，c 3(A )＝－1.8， 所以k (A )＝0.7．

(2)不妨设a ≤b ．由题意得c ＝－1－a －b ． 又因为c ≥－1，所以a ＋b ≤0．于是a ≤0． r 1(A )＝2＋c ≥1，r 2(A )＝－r 1(A )≤－1，

c 1(A )＝1＋a ，c 2(A )＝1＋b ，c 3(A )＝－(1＋a )－(1＋b )≤－(1＋a )． 所以k (A )＝1＋a ≤1．

当a ＝b ＝0且c ＝－1时，k (A )取得最大值1． (3)对于给定的正整数t ，任给数表A ∈S (2,2t ＋1)如下：

任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A *∈S (2,2t ＋1)，并且k (A )＝k (A *)．

因此，不妨设r 1(A )≥0，且c j (A )≥0(j ＝1,2，…，t ＋1)． 由k (A )的定义知，k (A )≤r 1(A )，k (A )≤c j (A )(j ＝1,2，…，t ＋1)． 又因为c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c 2t ＋1(A )＝0，

所以(t ＋2)k (A )≤r 1(A )＋c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c t ＋1(A ) ＝r 1(A )－c t ＋2(A )－…－c 2t ＋1(A )＝1

21

1

2

t t j j

j j t a b

++==+-∑∑

≤(t ＋1)－t ×(－1)＝2t ＋1． 所以21

()2

t k A t +≤

+． 对数表A 0：

则A 0∈S (2,2t ＋1)，且0()2

k A t =+．