用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
二阶常系数非齐次微分方程
f ( x) ex[P cosx P sinx] 利用欧拉公式
l
n
ex [Pl
eix eix
2
Pn
eix eix 2i
]
( Pl Pn)e( i) x ( Pl Pn)e(i) x
2 2i
2 2i
P( x)e(i)x P ( x)e(i) x ,
设 y py qy P(x)e( i)x ,
y* 2ixeix 2 x sin x (2 x cos x)i,
所求非齐方程特解为 y 2 x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x.
例3 求方程 y y x cos 2 x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 作辅助方程 y y xe2ix ,
设 y c1 ( x)cos x c2 ( x)sin x,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)
sin x cos x
ln sec C2
x
tan
x
C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小 结
(待定系数法)
y xk Q e(i)x ,
1
m
设 y py qy P( x)e(i)x ,
y
xkex[Q eix m
ix
Qme
]
y2
x kQ e(i) x m
,
xkex[R(1) ( x)cosx R(2) ( x)sinx],
m
m
其中 Rm(1) ( x), Rm(2) ( x)是m次多项式， m maxl,n
二阶非线性微分方程的解法
二阶非线性微分方程的解法微分方程是现代数学里研究的重要分支之一，也是物理、工程、经济等各个领域中重要的工具。
本文将介绍二阶非线性微分方程的解法，希望对读者有所帮助。
1. 常系数二阶非线性微分方程一般地，形如$y''+f(y)=0$的二阶非线性微分方程是需要特殊注意的。
如果$f(y)$是一个关于$y$的线性函数，那么这个方程就是线性的，可以用标准的方法解决。
但如果$f(y)$是一个非线性函数，问题就比较麻烦了。
对于常系数二阶非线性微分方程，如$$y''+ay+f(y)=0$$其中$a$是常数，我们可以使用想象力来得到它的近似解。
设$y=y_0+u$，其中$y_0$是$y$的一阶近似解，$u$是一个小量。
代入方程得到$$u''+yu'+f(y_0+u)=0$$忽略$u$的高阶项，即可得到$u''+y_0u'+f(y_0)=0$，这是一个线性方程，可以解出$u$，进而得到$y=y_0+u$的近似解。
2. 变系数二阶非线性微分方程对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y+r(x)=0$的非齐次线性微分方程，可以通过求出它的齐次解和一个特解的和来得到通解。
但对于非线性微分方程，通常需要采用其它方法来解决。
一个有效的方法是使用变换$$z=y'^2$$将原来的二阶方程转化为一阶方程。
将原方程对$x$求导得到$$y'''+(p(x)+2y''/y')y''+q(x)y'+q'(x)y=0$$用变换$z=y'^2$，得到$$y''=\frac{z'}{2\sqrt{z}}$$代入方程中，可以得到一个一阶非线性微分方程：$$zz''+(p(x)+2\sqrt{z})z'+q(x)z+r(x)=0$$这个方程可以用常数变易法来求解。
微分方程中常数变易法的应用
微分方程中常数变易法的应用杨秀香【摘要】利用微分方程中常数变易法、线性代数以及微分方程理论，研究伯努利方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、二阶变系数齐次线性微分方程、二阶变系数非齐次线性微分方程、n阶非齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程组的解法，得到各类方程的通解与特解。
%Using the variation of constants in differential equation, the knowledge of linear algebra and theory of differentiale⁃quation to research Bernoulli equations, two order nonhomogeneous linear differential equations with constant coefficients, two order homogeneous linear differential equation with variable coefficient, two order variable coefficient linear differential equation, n order nonhomogeneous linear differential equations, and non-homogeneous linear differential equations, the general solution and special solution of equations are got.【期刊名称】《渭南师范学院学报》【年(卷),期】2016(031)008【总页数】6页(P9-13,30)【关键词】常数变易法;微分方程;求解;应用【作者】杨秀香【作者单位】渭南师范学院数理学院，陕西渭南714099【正文语种】中文【中图分类】O175.1常数变易法是解微分方程的一种很特殊的方法,常微分方程教材中是在求解一阶非齐次线性微分方程时提出的,这种方法指的是将一阶线性齐次微分方程通解中的常数变易成待定的函数,代入原方程从而确定方程的解。
非齐次线性微分方程的几种解法
摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。
关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，目录摘要 (1)引言 (3)1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: (3)2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: (6)2.1常数变易法 (6)2.2待定系数法: (9)2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 (9)2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 (11)2.3拉普拉斯变换法 (13)总结 (15)参考文选 (16)致谢 (17)引言非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。
非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。
这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。
下面我们主要介绍求特解的方法。
1.n 阶线性齐次微分方程的一般理论:()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= （1） ()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= （2）定理1：设方程（2）有n 个线性无关的解，这n 个线性无关的解称为方程的基本解组。
定理2：方程（2）的基本解组一定存在。
方程（2）的基本解组的个数不能超过n 个。
定理3：n 阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。
定理4：齐次方程（2）的n 个解12,,,n y y y 在其定义区间I 上线性无关的充要条件是在I 上存在点0x ，使得它们的朗斯基行列式0()0W x ≠。
目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。
下面我们研究几个例子。
例：方程2)(1220x y xy y '''--+=的两个解是121,ln 121x xy x y x+==-- ∴ 它的通解为121ln 121x x y C x C x+=+-- 定理5：设12,,,n y y y 是方程（2）的任意n 个解。
微分方程求解方法
微分方程求解方法微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程求解是通过已知条件找到满足方程的未知函数的过程。
根据方程的类型和性质，有多种解法可供选择。
一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形式为dy/dx = f(x)g(y)，可以通过变量的分离和积分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 将方程变形为dy/g(y) = f(x)dx。
2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
3.求出积分的表达式，然后求解原方程。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过线性变换和积分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 通过线性变换将方程变为dy/dx + yP(x) = Q(x)P(x)。
2. 确定积分因子μ(x) = e∫P(x)dx。
3. 将原方程两边同时乘以μ(x)，并进行化简得到d(yμ(x))/dx = Q(x)μ(x)。
4. 对等式两边同时积分得到∫d(yμ(x))/dx dx = ∫Q(x)μ(x)dx。
5.求出积分的表达式，然后求解原方程。
三、二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0，可以通过特征根法求解。
具体步骤如下：1. 假设解的形式为y = e^(mx)。
2. 将形式代入原方程，得到特征方程m² + pm + q = 0。
3.求解特征方程得到特征根m₁和m₂。
4.根据特征根的情况，得到相应的通解。
四、二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = f(x)，可以通过常数变易法求解。
具体步骤如下：1.假设原方程的特解为y=u(x)，将其代入原方程，得到关于u和它的导数的代数方程。
2.根据原方程的非齐次项f(x)的形式，设定特解的形式。
汤家凤求解微分方程技巧
汤家凤求解微分方程技巧微分方程作为数学的一个分支，研究的是函数的导数与原函数之间的关系。
它在数学和科学的各个领域中都有广泛的应用，并且解微分方程的技巧也是研究微分方程的重要内容之一。
下面将介绍一些求解微分方程的常用技巧。
一、分离变量法分离变量法是求解一阶可分离变量微分方程的常用方法。
其基本思想是将微分方程中的变量分离出来，然后进行积分。
具体步骤如下：1. 对微分方程两边进行变量分离，使得方程能够写成dy/dx = f(x)g(y)的形式。
2. 将方程两边同时积分，并解出y的表达式。
3. 求解得到的方程，得到原微分方程的解。
例如，对于微分方程dy/dx = f(x)g(y)，可以将其转化成 dy/g(y) = f(x)dx 的形式，然后对两边同时积分，得到∫1/g(y)dy = ∫f(x)dx，再对等式两边进行求积分，最后得到原微分方程的解。
二、常数变易法常数变易法是求解二阶线性齐次微分方程的常用方法。
其基本思想是设原微分方程的解为y = u(x)e^(mx)，其中u(x)是待定函数，m是待定常数。
具体步骤如下：1. 设定待定函数y = u(x)e^(mx)，并求出y的一阶和二阶导数。
2. 将y及其导数代入原微分方程中，得到关于u(x)的方程。
3. 解出关于u(x)的方程，得到u(x)的表达式。
4. 将u(x)的表达式代入y = u(x)e^(mx)中，得到原微分方程的解。
常数变易法适用于形如y'' + py' + qy = 0的线性齐次微分方程的求解。
三、冲击响应法冲击响应法是求解微分方程的一种方法，特别适用于解非齐次线性微分方程。
其基本思想是利用冲激函数δ(x)的性质，将非齐次方程转化为齐次方程，并通过求解齐次方程得到非齐次方程的解。
具体步骤如下：1. 设非齐次方程为dy/dx + p(x)y = f(x)，其中p(x)和f(x)是已知函数。
2. 引入冲击响应函数R(x)，将原方程转化为齐次方程dy/dx + p(x)y = δ(x)。
常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程
(４)和(5)联立起来,便得到了一个u1'和ｕ2'的方程组。解这个方程组,便可得到u1＇和ｕ2'的表达式;再积分,便可得到u1和ｕ2的表达式。
这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地,有：
其中W表示朗斯基行列式。
接下来的文章,我觉得是可以解释为什么可以用常数变易法来解线性微分方程
常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程
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欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。
和 都非常有用，看到下面就知道了。
让我们看看讲代换 代入(1）式会出现什么：
ﻩﻩﻩﻩﻩ………（4）
如果现在利用分离变量法来求 对应于 的函数关系，那么
就是我们刚刚遇到的没法把 单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。怎么变？这是 的用处就有了。令 ，解出v对应x的函数关系，这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题,可以将其解出来。
进一步：变量代换法
筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。但结果会让你跌破眼镜。
就是这么符合要求的一个函数。其中 和 都是关于 的函数。这样求 对应于
的函数关系就转变成分别求 对应于 的函数关系和 对应于 的函数关系的问题。你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是脑残的表现——非也,
同济版的实质就是变量代换u，然后变成可分离变量。求出u,然后回代。解出方程。
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2
x
hw：p319 2,4.
一类特殊变系数非齐次线性微分方程
Euler Equation：
xn y(n) a1 xn1 y(n1) an1 xy an y f ( x)
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
其中 Qm ( x) 和 Rm ( x) 为两个 m 次待定多项 式, m max{l,n};
§9 用常数变易法求解 二阶非齐次方程
基本思想：将 y P( x) y Q( x) y f ( x) 对应齐次方程的通解 y C1 y1( x) C2 y2( x) 中的常数变易成函数 C1( x) 与 C2( x) 然后求出 C1( x) 与 C2( x).
例. 已知 y1( x) x 是齐次方程 x2 y 2xy 2 y 0 的一个解，求非齐次线性方程 x2 y 2xy 2 y 2x3 的通解。
hw：p301 5,8.
§9 欧拉方程
Euler Equation 欧拉方程
xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x) ( pk为常数) 令 x et , 即 t ln x
hw：p319 2,4.
欧拉方程解法思路
变系数的线 变量代换
常系数的线
性微分方程 x et 或 t ln x 性微分方程
注意：欧拉方程的形式．
令 x et 将方程转化为常系数微分方程。
将自变量换为 t ,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
d2y dx2
1 x2
d2y
dt 2
dy , dt
d3y dx 3
1 x3
Байду номын сангаас
d3y
dt 3
d2y 3
dt 2
2 dy , dt
例 1. 求 x2 y 3xy y 0 的通解； 2. 求解方程 x3 y x2 y 4xy 3x2.
解方程
C1( x) y1( x) C2 ( x) y2( x) 0 C1( x) y1( x) C2 ( x) y2( x) f ( x)
例 求 y y 1 的通解；
cos x
若已知齐次方程
y P( x) y Q( x) y 0
的一个不恒为零的解 y y1( x), 则利用变换 y uy1( x)，可将非齐次方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 化为一阶线性方程，进行求解。
2. f ( x) erx (Pl ( x)cosx Pn( x)sinx) 型
1) . 当 r i 不是特征根时，则特解具有形式
y* erx (Qm(x)cosx Rm(x)sinx)
2. 当 r i 是特征根时， 则特解具有形式
y* xerx (Qm(x)cosx Rm(x)sinx)
常系数线性微分方程
欧拉方程的算子解法:
xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x)
令 x et,
则
d y d y dt 1d y dx dt dx x dt
x y d y dt
d2 y d x2
d (1 d y) dt dt x dt dx
1 x2
转化为常系数线性方程:
Dn y b1Dn1 y bn y f (et )
即
dn dt
y
n
b1
dn1 y d t n1
bn y
f (et )
例1.
解:
则原方程化为
亦即
①
特征方程
其根
则①对应的齐次方程的通解为
设特解: y At 2 B t C 代入①确定系数, 得
① 的通解为
换回原变量, 得原方程通解为
⑤
特征根: r 2i, 设特解: y Aet , 代入⑤得 A＝1
得通解为
y C1 cos 2t C2 sin 2t et
C1 cos(2ln
x)
C2 sin(2ln
x)
1 x
利用初始条件④得
C1 1,
C2
1 2
故所求特解为
y cos(2ln x) 1 sin(2ln x) 1
例2. 解: 将方程化为 则方程化为
(欧拉方程)
即
②
特征根:
设特解: y At 2et , 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
例3.
解: 由题设得定解问题 ③ ④
令 x e t , 记 D d , 则③化为 dt
[D(D 1) D 4] y 5et
(D2 4) y 5et
特殊情形
1). Pm ( x)
y
py
qy
e x
Ax
e
2
x
是特征方程的重根
y *
Axe x
是特征方程的单根 ,
Ae , 不是特征方程的根
x
2). 0, y py qy Pm ( x)
y*
Qm ( x), 0不是特征根 xQm ( x)， 0是特征单根
x2Qm ( x)， 0是特征复根
d2 y dt2
dy dt
计算繁!
x2
y
d2 dt
y
2
d d
y t
记D d , dt
Dk
dk dtk
(k 2, 3, ),则由上述计算可知:
x y D y
x2 y D2 y D y D(D 1) y
用归纳法可证 xk y(k) D(D 1) (D k 1) y
于是欧拉方程 xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x)