常数变易法的解释
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常微分方程的常数变易法及其应用[摘 要]本文归纳整理了常微分方程常数变易法的几个应用. [关键词]常数变易法; 微分方程; 齐次; 系数Constant Variating Method and Application in Ordinary Differential EquationAbstract This paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equationKeywords constant variating method ; differential equation ; homogeneous coefficient一、关于常数变易法 []4常数变易法是微分方程中解线性微分方程的方法，就是将齐次线性微分方程通解中的c 变换为函数()x c ,它是拉格朗日(Lagrangr Joseph Louis,1736-1813)十一年的研究成果，微分方程中所用的仅是他的结论。
二、常数变易法的几个应用1.常数变易法在一阶线性非齐次微分方程中的应用[]75.3，一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P dxdy+= （1） 它所对应的齐次方程为y x P dxdy)(= （2） y x P dxdy)(=是变量分离方程，它的通解为 ⎰=dxx p ce y )( （3）下面讨论一阶线性非齐次微分方程（1）的解法。
方程（2）与方程（1）既有联系又有区别设想它们的解也有一定的联系，（3）中的c 恒为常数，它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，c 不再是常数，将是()x c 的待定函数，为此令()()P x dxy c x e ⎰= （4）两边积分得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx⎰⎰=+ 将（4）．（5）代入（1），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx⎰⎰⎰+=+ （5）即()()()P x dx dc x Q x e dx-⎰= 两边积分得()()()P x dxc x Q x e dx c -⎰=+⎰（6）这里c 是任意的常数，将()()()P x dx c x Q x e dx c -⎰=+⎰代入()()P x dxy c x e ⎰=得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+⎰⎰这就是方程)()(x Q y x P dxdy+=的通解 例1 求方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx++-=+的通解，这里的n 为常数.解 将方程改写为(1)1x n dy ny e x dx x -=++ （7）先求对应齐次方程01dy ny dx x -=+的通解，得 (1)n y c x =+ 令()(1)n y c x x =+ （8） 微分得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （9） 将（8）、（9）代入（7）中再积分，得 ()x c x e c =+ 将其代入（8）中，即得原方程的通解(1)()n x y x e c =++ 这里c 是任意的常数例2 求方程22dy y dx x y =-的通解. 解 原方程改写为2dx x y dy y=- （10） 把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于x 及dxdy来说，方程（10）就是一个线性 先求齐次线性方程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （11） 令2()x c y y =，于是2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代入（10），得到()ln c y y c =-+ 从而原方程的通解为2(ln )x y c y =- 这里c 是任意的常数,另外0y =也是方程的解. 初值问题为了求初值问题00()()()dyP x y Q x dx y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩常数变易法可采用定积分形式，即（4）可取为 ⎰=xx d p e x c y 0)()(ττ （12）代入（1）化简得.0()()()xx p d c x Q x e ττ-⎰'=积分得⎰+⎰=-x x d p c ds es Q x c sx 00)()()(ττ代入（12）得到⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q ece y sx xx xx 000)()()()(ττττττ将初值条件0x x =、0y y =代入上式0y c =于是所求的初值问题为⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q eey y sx xx xx 0000)()()(0)(ττττττ或⎰⎰+⎰=x x d p d p ds e s Q ey y sxxx 00)()(0)(ττττ定理①一阶非齐线性方程（1）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2）之解； ②若()y y x =是（2）的非零解，而()y y x =是（1）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数；③方程（2）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2）的解.证明 ①设12,y y 是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使)()(2211x Q py dxdy x Q py dxdy +=+=两式相减有1212()()d y y p y y dx-=- 说明非齐线性方程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性方程的解. ②因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++故结论②成立.③因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论③成立.2.常数变易法在二阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]1我们知道常数变易法用来求非齐次线性微分方程的通解十分有效，现将常数变易法应用于二阶常系数非齐次线性微分方程中.该方法是新的,具有以下优点：①无需求非齐次方程的特解，从而免去记忆二阶微分方程各种情况特解的形式；②无需求出相应齐次方程的全部解组，仅需求出一个即可；③可得其通解公式.现考虑二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+''+'' （1） 其对应的齐次方程为0=+'+''qy y p y （2） 下面对（2）的特征方程02=++q pr r （3）x有实根和复根加以考虑①若r 为（3）的一实根，则rx e y =是（2）的一解，由常数变易法，可设（1）的解为rx e x c y )(=通过求导可得()()()()rxrxrxrxrx ex c r e x c r e x c y e x rc e c y 22+'+''=''+'=' （4）将（4）和()rx e x c y =代入（1）化简得()()()()x f e x c p r x c rx -='++''2 这是关于)(x c '的一阶线性方程，其通解为()dx dx x f e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （5）②若r 为（3）的一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，则f 为（2）一解，由常数变易法，可设（1）的解为()bx e x c y ax sin = ，与情形①的推到类似，不难求得方程（1）的通解公式为⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（6）例1求six y y y =-'+''2的通解 解 相应的特征方程为022=-+r r 有解1=r ，故设非齐次方程的解为()x e x c y =对其求导得()()()()()xxxxx ex c e x c e x c y e x c e x c y +'+''=''+'='2代入原方程化简得()()x si e x c x c x n 3-='+'' 其通解为()⎰---+-=='x x x x ce e x co x si bxdx si e e x c 323s n 251n )( 所以()()231s n 3101c e c e x co x si x c x x +++-=-- 从而原方程的通解为()x x x e c e c x co x si e x c y 221s n 3101)(+++-==- 例2求x e y y y =+'+''44的通解 解 相应的特征方程为0442=++r r 有解4,2=-=p r 且，有公式（5），得其通解为()[]()⎰⎰+-+-⨯--=dx dx e e e e y x x x x ][424222dx c e e x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-13231= x x xe c xe c e 222191--++3.常数变易法在三阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]2前文中对二阶常系数非齐次线性微分方程的解法进行了讨论，以下对一般的 三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+'''详细论述，此方法弥补了一般情况下只有特殊()x f 才能求解的缺陷，扩大了()x f 的适用范围.由前面知，二阶常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+''+'' 对应齐次微分方程的特征方程02=++q pr r ①若r 为实特征根，通解为dx dx e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （1） ②若r 为一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，通解为 ⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（2）三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+''' （3） 则对应的齐次方程为0=+'+''+'''sy y q y p y （5） 其对应的齐次方程023=+++s qr pr r （6）若r 为其一实根，λ为方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（根，则方程（3）的通解为① 当λ为实根时，()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ ② 当λ为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠bdx dx bx bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(sin n )(n 证明 因为特征方程（5）是三阶方程，所以它至少有一实根，不妨设r 为特征方程一实根，则rx e y =是（4）的一解，这时可设（3）的解为(),rx e x c y =将其代入（3）中可得()()()()()()rx e x f x c s qr pr r x c q pr r x c p r x c -=++++'+++''++'''23223)(3)(因为r 为特征方程一根，所以 023=+++s qr pr r ，因此()()()()rx e x f x c q pr r x c p r x c -='+++''++'''23)(3)(2这是关于()x c '的二阶常系数非齐次线性微分方程，其特征方程，其特征方程为 ()()023322=+++++q pr r p r λλ 若其根为λ为实根，则由二阶方程通解公式（1）可得 ()()()[]⎰⎰-++++-='dx dx e x f e e e x c rx x p r x p r x 332)(λλλ 那么（3）的通解为()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ若其根为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠b 则由二阶方程通解公式（2）可得()()⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛='--dx dx bx si bx si e e x f bx si e x c ax rx ax2n n n 那么（3）的通解为dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 例1 求解方程ax e y y y y =+'+''+'''的通解. 解 对应的齐次方程的特征方程为 0123=+++r r r 其根为i r i r r -==-=321,1,方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（，即0222=+-λλ， 其根为i i -=+=1,121λλ 所以取 11,1,===b a r 代入公式dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 则其通解为dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n 求解过程只需依次积分即可dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n ()dx dx x si c x co x si e bx si e e x x x ⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=-21n s n 21n dx dx x si c dx x si x co e dx x si e x si e e x x x x ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-212n 1n s 21n 121n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-dx c tx c c sx c x si e e x x 21o o 21n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰⎰-xdx si e c xdx co e c dx e e x x x x n s 21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-312212n 2c s 241c x si c x co e c c e e x x xx x e c x si c c x co c c e -+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=31221n 2s 241令33122211,2,2c C c c C c c C =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=那么方程的通解为x x e C x si C x co C e y -+++=321n s 41（为任意常数3,21,C C C ）.4.常数变易法在二阶变系数非齐次线性微分方程中的应用[]8,6二阶变系数微分方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''()()()其对应的齐次方程在某区间上连续，如果其中x f x q x p ,,的通解为2211y c y c y +=那么可以通过常数变易法求得非齐次方程的通解 设非齐次方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''具有形式()()2211~y x c y x c y += 的特解，其中()()x c x c 21,是两个待定函数，对y ~求导数得()()()()x c y x c y y x c y x c y 22112211~'+'+'+'=' 我们补充一个的条件()()02211='+'x c y x c y 这样()()2211~y x c y x c y '+'=' 因此()()()()22112211~y x c y x c y x c y x c y ''+''+''+''='' 将其代入()()()()x f y x q y x p x y =+'+''化简得()()x f c y x c y =''+''2211联立方程()()02211='+'x c y x c y 解得 ()()211221y y y y x f y x c '-'-=' ()()211212y y y y x f y x c '-'=' 积分并取得一个原函数 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'-=211221 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'=211212 则所求的特解为=y ~()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212所以方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''的通解为 2211y c y c y +=()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212例1 求方程x y xy ='-''1的通解解 方程x y xy ='-''1对应的齐次方程为 01='-''y xy 由y x y '=''1得dx xy d y 11='⋅' 积分得c x y ln ln ln +='即cx y ='，得其通解为21c x c y +=所以对应的齐次方程的两个线性无关的特解是12和x ，为了求非齐次方程的一个特解y ~，将21,c c 换成待定函数()()x c x c 21,，且()()x c x c 21,满足下列方程 ()()()()⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x x c x c x x c x c x 212120201 解得()211='x c ()2221x x c -=' ()x x c 211= ()3261x x c -= 于是原方程的一个特解为()()3221311~x x c x x c y =⋅+= 从而原方程的通解322131x c x c y ++=参考文献 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常数变易法
常数变易法常数变易法是一种常用的数学运算方法，它也可以看作是一种不定积分的求解方法。
它是一种可以用来求解不定积分的简洁且有效的方法。
常数变易法的基本原理是：当一个定积分内部的常数发生变化时，其结果也可以通过加减法运算得到。
因此，根据这种原理，我们可以将一个复杂的定积分转换为一个更简单的不定积分，从而求得更简洁的解决方案。
常数变易法的具体步骤如下：1.定原始积分，将它写成不定积分的形式。
2.变量dt视为一个常数。
3.解不定积分，计算出每一步的结果。
4.每一步的结果加起来，得到原始积分的结果。
5.积分的结果就是常数变易法求解结果。
以上说明了常数变易法的原理，下面我们将通过一个具体实例来进一步说明该方法。
假设我们要求解以下定积分：$$ int_{0}^{pi/2} sin xcos x dx $$我们可以先将上述积分表达式写成不定积分的形式：$$ int sin xcos x dx = frac{sin xcos x}{2} + C $$ 接下来，将每一个常量变化得到一个新的表达式：$$ int sin xcos x dx = frac{sin (x+dt)cos (x+dt) - sin xcos x}{2dt} + C $$将上述表达式再求导得到：$$ int sin xcos x dx = frac{sin (x+dt) + sin x}{2dt}cos (x+dt) - frac{cos (x+dt) + cos x}{2dt}sin (x+dt) + C $$将积分上下限代入上述表达式，求出最终结果：$$ int_{0}^{pi/2} sin xcos x dx = frac{sin (frac{pi}{2} +dt) + sin 0}{2dt}cos frac{pi}{2} - frac{cos (frac{pi}{2} +dt) + cos 0}{2dt}sin frac{pi}{2} + C = frac{1}{dt} + C $$因此，将上述结果代入原始不定积分表达式，求出定积分的结果，即：$$ int_{0}^{pi/2} sin xcos x dx = frac{sin xcos x}{2} + frac{1}{dt} + C $$由此可知，使用常数变易法求解定积分的结果是：$$ int_{0}^{pi/2} sin xcos x dx = frac{sin xcos x}{2} + frac{1}{dt} + C $$通过以上实例，我们可以很直观地感受到常数变易法的优势。
浅析常微分方程的常数变易法
作 者 简介 ： 菲菲 ， ， 高 女 内蒙 古 呼 和 浩 特 人 ， 师 ， 士研 究 生 ， 究 方 向 为微 分 方程 与 系统 仿 真 讲 硕 研
。 现 计 机 ２１． 下 代 算 ０２７ ｏ
穷 鼍 爱 差
／
即：
ｙｅ ＝
［ （） ｆ ｘｅ Ｑ
ｄ＋ ］ ｘ Ｃ
（） ５
Ｏ 引
言
的多 是 所谓 的 常数 变 易 法 。
在 计 算 机 的 相 关 教 学 和 研 究 中 ．为 了研 究 某一 个 问 题 ． 常 需 要 先 建 立 数 学 模 型 再 加 以研 究 ． 建 模 就 经 而 是 要 确 定 变 量 间 的 函数 关 系． 很 多情 况 下 ． 须 建 立 在 必 不 仅 包 含 这 些 函数 本 身 ．而且 还包 含 着 这些 函 数 的导 数 或 微 分 的 方 程 或 方 程 组 才 有 可 能 确 定 这 些 函数 关 系 ，即微 分 方 程 。 因此 求 微 分 方 程 的解 就 显 得 尤 为 重
１ 定 义
形如 ：
Ｙ＋ （ ） Ｑ（） Ｐ
ｆ（ 出 Ｐ）
一尸 ） ｆ
ｅ
＝ ） Ｃ（ ｅ 即：
＝ Ｑ（）
ｉ（ 尸）
Ｃ （）Ｑ（） ＝ ｅ
的 方 程 称 为一 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 ， 中 Ｐ（ 其 ）
常数变易法右侧cos
常数变易法右侧cos摘要：1.引言2.常数变易法的概念3.常数变易法在实际问题中的应用4.结论正文：【引言】常数变易法是一种数学方法，用于解决三角函数中的问题。
这种方法主要通过将一个三角函数转化为另一个三角函数来实现，从而简化问题。
在解决实际问题时，这种方法能够有效地帮助我们求解复杂数学问题。
本文将对常数变易法进行介绍，并举例说明其在实际问题中的应用。
【常数变易法的概念】常数变易法是指在三角函数中，通过添加或减去一个常数，将一个三角函数转化为另一个三角函数的方法。
常见的转化方式包括将正弦函数转化为余弦函数，将余弦函数转化为正弦函数等。
这种转化方法可以使得问题变得更容易解决，从而提高解题效率。
【常数变易法在实际问题中的应用】在实际问题中，常数变易法被广泛应用于各种数学问题，例如求解三角函数的值、求解三角函数的导数、求解三角函数的积分等。
下面我们通过一个具体的例子来说明常数变易法在实际问题中的应用。
例：求解函数y = 2sin(3x + π/6) + 1 的值域。
解：通过常数变易法，我们可以将函数y = 2sin(3x + π/6) + 1 转化为y = 2cos(3x) + 1。
因为余弦函数的值域为[-2, 2]，所以函数y = 2cos(3x) + 1 的值域也为[-1, 3]。
【结论】常数变易法是一种有效的数学方法，用于解决三角函数中的问题。
通过将一个三角函数转化为另一个三角函数，常数变易法能够简化问题，提高解题效率。
在实际问题中，常数变易法被广泛应用于各种数学问题，例如求解三角函数的值、求解三角函数的导数、求解三角函数的积分等。
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。
保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。
如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。
保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。
由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。
通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。
由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。
最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。
由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。
常数变易公式例子
常数变易公式例子常数变易公式简介常数变易公式是数学中的一个重要概念，用于描述在一定条件下常数的变化规律。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将通过列举一些例子，并详细讲解这些例子，来介绍常数变易公式的应用。
例子1：速度与位移的关系当一个物体在直线运动中，速度的大小是常数，但是方向可以变化。
根据常数变易公式，可以得出速度与位移之间的关系式为：位移 = 速度 × 时间例如，一个物体以10 m/s的速度向前运动了5秒，则它的位移为50米。
例子2：密度与体积的关系在物理学中，密度是物质单位体积的质量。
假设一个物质的密度是常数，则密度与体积之间的关系可以用常数变易公式表示为：质量 = 密度 × 体积例如，一个物体的密度为2g/cm³，体积为10cm³，则它的质量为20克。
例子3：光速与频率的关系在光学中，光速是光在真空中传播的速度，约为3×10^8米/秒。
根据常数变易公式，光速与频率之间的关系可以表示为：波长 = 光速 / 频率例如，当光速为3×108米/秒，频率为5×1014赫兹时，对应的波长为600纳米。
例子4：力与加速度的关系在牛顿力学中，力可以通过牛顿第二定律与加速度之间的关系来描述。
根据常数变易公式，力与加速度之间的关系可以表示为：力 = 质量 × 加速度例如，一个质量为2千克的物体受到的力为10牛顿，则它的加速度为5米/秒²。
总结本文中我们通过列举了四个例子来说明常数变易公式的应用。
从速度与位移、密度与体积、光速与频率、力与加速度这四个例子中，我们可以看到在不同的领域中，常数变易公式都有着重要的作用。
它能够帮助我们理解和描述事物之间的关系，同时也为实际问题的解决提供了数学上的支持。
通过学习和应用常数变易公式，我们可以更好地理解和分析各种现象，为科学研究和工程应用提供有力的工具。
一类变系数微分方程通解公式的求法
一类变系数微分方程通解公式的求法一类变系数微分方程通解公式的求法是一个重要的数学问题，它在应用数学和物理学中具有广泛的应用。
这类微分方程的特点是方程中的系数是随着自变量的变化而变化的。
为了解决这类微分方程，我们可以使用一种叫做常数变易法的方法。
常数变易法的基本思想是假设微分方程的解可以表示为一个未知函数乘以一个待定的常数，然后通过对常数的求导来消去未知函数，从而得到一个只含有常数的代数方程。
最后，通过求解这个代数方程来确定常数的值，从而得到微分方程的通解。
具体而言，假设我们要求解的微分方程为：[y'' + p(x)y' + q(x)y = 0]其中，(p(x))和(q(x))是给定的函数。
我们将解设为：[y(x) = u(x) cdot v(x)]其中，(u(x))是未知函数，(v(x))是待定的常数。
将这个解代入微分方程中，我们可以得到：[u''(x)v(x) + 2u'(x)v'(x) + p(x)u'(x)v(x) + p(x)u(x)v'(x) + q(x)u(x)v(x) = 0]我们再对上式两边关于(x)求导数，可以得到：[u''(x)v(x) + 2u'(x)v'(x) + p(x)u'(x)v(x) + p'(x)u'(x)v(x) + p(x)u(x)v'(x) + q(x)u(x)v(x) = 0]将上述两个式子相减，可以消去(u''(x)v(x))和(u'(x)v(x))两项，得到：[2u'(x)v'(x) + p'(x)u'(x)v(x) + p(x)u(x)v'(x) = 0] 将上式整理，可以得到：[u'(x)v'(x) = -frac{p'(x)}{2}u(x)v(x)]我们可以看出，上式左边只含有(u'(x))和(v'(x))，而右边只含有(u(x))和(v(x))。
2.2线性微分方程与常数变易法
将初始条件 y(1) 1代入后得
3 c 2
x 3 y x ln x cx 2
3 4
故所给初值问题的解为
3 3 x y x ln x x 2 2
3 4
线性微分方程解的性质:
1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。
2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。
3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍 为非齐次方程的解。 4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。
t0
t
t
x0 Me
t0
e s ds
x0 M [1 e(t0 t ) ]
x0 M
证毕。
例 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f ( x) g ( x), g ( x) f ( x), 且 f (0) 0, x f ( x) g ( x) 2e .
(2e ) 2 F ( x)
x 2
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: 2x F ( x) 2F ( x) 4e
F ( x) 2F ( x) 4e2 x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F ( x) e
2d x
2d x 4e e d x C 2x
dy n y e x ( x 1) n 解: 将方程改写为 dx x 1
dy n y 的通解 首先,求齐次方程 dx x 1
dy n dy n y 分离变量得 从 dx dx x 1 y x 1
两边积分得 ln y n ln x 1 c 1
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常数变易法的解释
我们来看下面的式子：
y’＋P(x).y ＝Q(x) (1)
对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分）。
所以我们的思维就集中在如何将（1）式的x和y分离上来。
起初的一些尝试和启示
先直接分离看一下：
dy/dx＋P(x)·y ＝Q(x)
＝> dy ＝( Q(x)－P(x).y ).dx (2)
从中看出y不可能单独除到左边来，所以是分不了的。
这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设y/x ＝u ＝> y ＝u·x . 将y ＝u·x代入(1)式:
u’·x＋u＋P(x)·u·x ＝Q(x)
＝> u’·x＋u·(1＋P(x)·x) ＝Q(x)
＝> du/dx·x ＝Q(x)－u(1＋P(x)·x)
＝> du ＝[Q(x)－u.(1＋P(x).x)].(1/x).dx (3)
这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。
不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。
因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。
比如说，对于（3）式，如果x＝－1/P(x)，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果P(x)＝0，那么那一项也消失了。
当然这些假设都是不可能的，因为x和P(x)等于几是你无法干预的。
不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。
Ok，好戏开场了。
进一步：变量代换法
筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。
但结果会让你跌破眼镜。
y＝u·v就是这么符合要求的一个函数。
其中u和v都是关于x的函数。
这样求y对应于x的函数关系就转变成分别求u对应于x的函数关系和v对应于x的函数关系的问题。
你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是脑残的表现——非也，u和v都非常有用，看到下面就知道了。
让我们看看讲代换y＝u·v代入（1）式会出现什么：
u’.v＋u.(v’＋P(x) .v) ＝Q(x) (4)
如果现在利用分离变量法来求u对应于x的函数关系，那么u·(v’＋P(x) ·v)就是我们
刚刚遇到的没法把u单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。
怎么变？这是v的用处就有了。
令v’＋P(x) ·v＝0，解出v对应x的函数关系，这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题，可以将其解出来。
dv/dx＋P(x) ·v ＝0
＝> v ＝C1.e^(-∫P(x)dx) (5)
现在v解出来了，接下来该处理u了，实际上当v解出来后u就十分好处理了。
把（5）式代入（4）式，则u·(v’＋P(x)·v)这一项便被消掉了。
剩下的是
u’·C1·e^(-∫P(x)dx) ＝Q(x)
而这也是一个可以分离变量的微分方程。
同样可以十分容易地解出来：
du/dx ·C1·e^(-∫P(x)dx)＝Q(x)
＝> du ＝1/C1·e^(∫P(x)dx)·Q(x)·dx
＝> u ＝1/C1.∫e^(∫P(x)dx).Q(x).dx＋C2 (6)
现在u和v都已求出，那么y＝u·v也迎刃而解：
y ＝u·v
＝[1/C1·∫e^(∫P(x)dx)·Q(x)·dx＋C2]·[C1·e^(-∫P(x)dx)]
＝[∫e^(∫P(x)dx)·Q(x)·dx＋C ]·e^(-∫P(x)dx) ………(7) (这里C ＝C1·C2)
这个方法看上去增加了复杂度，实际上却把一个不能直接分离变量的微分方程化成了两个可以直接分离变量的微分方程。
这个方法不是没有名字的，它叫“变量代换法”（挺大众的一名字），即用u·v代换了y。
这时在你脑中不得不油然生出这么一种感觉：想了十一年想出来的法子，还真不是盖的。
再进一步：常数变易法
再进一步观察我们可以看出，求v的微分方程（即v’＋P(x)·v＝0）其实就是求
y’＋P(x)·y＝Q(x)当Q(x)＝0时的齐次方程。
所以，我们可以直接先把非齐次方程当作齐次方程来解。
即解出y’＋P(x)·y ＝0 的解来。
得：
y ＝C.e^(-∫P(x)dx) (8)
注意这里的C·e^(-∫P(x)dx)并非最终答案，从上一环节我们知道这其实是v而已。
而最终答案是u·v ，v仅是其中一部分。
因此这里的C·e^(-∫P(x)dx)并不是我们要的y，因此还要继续。
把（8）式和上面提到的（7）式比较一下：
y ＝u.e^(-∫P(x)dx) (7)
y ＝C.e^(-∫P(x)dx) (8)
（7）式是最终的结论，（8）式是目前我们可以到达的地方。
那我们偷下懒好了：把（8）式的那个C换成u，再把这个u解出来，不就ok了么。
所谓的“常数变易法”就是这么来的，即把常数C硬生生地变成了u。
接下来的事情就简单多了，和前面是一个思路，把代换y＝u·e^(-∫P(x)dx)代入（1）式，由于e^(-∫P(x)dx)是一个可以令那个分离不出变量的项被消掉的特解，因此即可知一定会解得u’·e^(-∫P(x)dx)＝Q(x)。
从中解出u，再带回y ＝u·e^(-∫P(x)dx)便可得到最终答案。
个人觉得这个方法在思路上并无多大突破，只是利用“变量代换法”现成的结论倒推回去，“抄了一条近路”，但这么一抄不要紧，不解释清楚的话还真不知道这条路到底从哪冒出来的。
所以就会引起我们“较劲”的冲动：为什么非齐次要当齐次来解，道理何在？为什么C就可以换成u，道理何在？…… 这么想想的话教科书（同济5版）也真TM不厚道，你不解释清楚就算了，好歹说两句交代背景的话啊。
Ps：1.常数变易法在这里并没有显出比变量代换法更好的优势（因为就是一个思路的正逆推导而已），但在解决高阶线性微分方程时就会方便得多。
因此倒不能说常数变易法是鸡肋（我开始的想法就是这样的）。
2.教科书上最后把方程的解拆成了一个齐次方程的通解和一个非齐次方程的特解之和，我看来简直有点脑残的表现，再往后看才知道，原来在解决高阶非齐次线性方程是要用到这个结构的，怪不得。
3.因此关于中国的教科书以及中国的正统教育我突然有个结论（一排脑瓜子即灵光一现那种）：中国的大多数学生之所以不喜欢学数学是因为觉得难，其实倒不是数学本身难，而是教科书缺少必要的说明逻辑。
真正难的不是知识，而是读懂这些教育家企图教给我们的“知识”。