浅析常数变易法
用常数变易法求解二阶线性非齐次方程与欧拉方程的解法
2. 欧拉方程
a0 xn y(n) a1xn1 y(n1) an1xy an y 0
(其中 a1, a2 an 为常数)
特点 各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变 量的方次数相同．
解法 欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量 代换可化为常系数微分方程.
作变量变换 x et (或 x et ) , 将自变量换为 t,
化为常系数微分方程
b0Hale Waihona Puke dny dt nb1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn
y
0
其中b0 ,b1, ,bn 为确定的常数.
小结
欧拉方程解法思路
变系数的线 性微分方程
变量代换
x et 或 t ln x
常系数的线 性微分方程
注意：欧拉方程的形式．
a0 xn y(n) a1xn1 y(n1) an1xy an y 0
dy dy dt dy et ,
dx dt dx dt
d2y dx2
d2y dt 2
dy dt
e2t
,
t ln x,
d3y dx3
d3y dt3
3
d2y dt 2
2
dy dt
e3t
,
dk y dxk
C1
dy dx
C2
d2y dx2
Ck
dk dx
y
k
e
kt
,
k 1, , n
代入原方程 ekt xk 1 k 1, 2, k
即
CC11
x x
1 1
x x
C2 C2
x x
2 2
x x
0 0
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法2009-8-31数理方程所解决的问题与高等数学（微积分）教科书中的常微分方程有很大区别，其中最显著的特点是多数微分方程的条件是边值问题，即知道未知函数在自变量变化区域的边界上的取值。
这就是所谓的边值问题。
最简单的是二阶常微分方程的两点边值问题。
二阶常微分方程的解是一个一元函数，关于这个一元函数的信息，知道的不多，除了微分方程本身提供的之外，还有未知函数在一个区间的两个端点处的值。
微积分所教给我们的技巧是先求出常微分方程的通解，再根据两个条件确定通解中的两个任意常数。
进入这门课之初，先回顾初值问题，再思考边值问题。
在边值问题中，数理方程课程内容中出现了一个历史上非常著名的函数，即格林函数。
对力的分析中普遍使用一个方程：F=ma 。
这是著名的牛顿第二定律，其中，F 表示力，m 表示物体的质量，而a 表示物体运动的加速度。
由于加速度的物理意义可解释为物体运动时位移变量对时间的二阶导数，再结合使用虎克定律，就得出简单的振动所满足的二阶常微分方程02=+''y y ω如果考虑外力作用，该方程化为更一般的情况⎩⎨⎧='==+''βαω)0(,)0()(2y y x f y y 两个初始条件可解释为已经知道初始位移和初始速度。
求解上面方程需要用常数变易法。
先回顾一阶常微分方程求解的方法，然后再讨论二阶常微分方程的常数变易法。
一、一阶常微分方程初值问题的常数变易法一阶常微分方程常数变易法，用于解源函数不为零的常微分方程问题⎩⎨⎧=>=+'α)0(0),()()(y x x f x ry x y 先求解简化的（源函数为零）的方程：0)()(=+'x ry x y由分离变量：ry dxdy-=，→ rdx y dy -= 积分：c rx y +-=ln ，→ )exp()(rx C x y -=应用常数变易法，假设简化前的方程的解具有与简化后方程的解有相同形式，将常数替换为待定的函数，即)exp()()(rx x u x y -=求导数，得)exp()()exp()()(rx x u r rx x u x y ---'=')()exp()(x ry rx x u --'=将其代入化简前的方程，得等式)()exp()(x f rx x u =-'，→ )()exp()(x f rx x u ='积分，得C d f r x u x+=⎰)()ex p()(ξξξ代入表达式)exp()()(rx x u x y -=，得)ex p(])()ex p([)(0rx C d f r x y x-+=⎰ξξξ应用初始条件，得解函数⎰--+-=xd f x r rx x y 0)()](ex p[)ex p()(ξξξα从两部分解读解函数的意义。
第4章_第4节_常数变易法
a11 ( x )e x a11 ( x ) sin x a12 ( x ) x a21 ( x )e a21 ( x ) sin x a22 ( x )
a11 ( x ) 1, a21 ( x ) a22 ( x ) 0 a12 ( x ) cos x sin x .
②
③
由③，得 y2 c2 , 再由 y2 ( 0) 1，得 c2 1
y2 1,
代入②得
dy1 y1 (cos x sin x ) 1 xe x dx 关于 y1 的一阶非齐线性方程
y1 ( x )
x x dt e 0 [
e x[
0
x
0
(cos t sin t te t )e
的一个基本解组，则(3.1)满足初值：
( 3.2)
( x0 ) ( x0 ) ( n1) ( x0 ) 0
的特解为： (3.1)的常数变易公式 n x W (t ) ni ( x) yi ( x ) f ( t )dt x0 W ( t ) i 1
x
x
0
c ( t ) dt
x
x
0
1 ( t ) f ( t ) dt
c ( x ) c ( x0 )
x
x
0
1 ( t ) f ( t ) dt
33
亦即
c ( x1 ( t ) f ( t ) dt
dy1 a11 ( x ) y1 a12 ( x ) y2 xe x dx dy2 a21 ( x ) y1 a22 ( x ) y2 dx 已知与其对应的齐线性方程组的一个基解矩阵
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常微分方程的常数变易法及其应用[摘 要]本文归纳整理了常微分方程常数变易法的几个应用. [关键词]常数变易法; 微分方程; 齐次; 系数Constant Variating Method and Application in Ordinary Differential EquationAbstract This paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equationKeywords constant variating method ; differential equation ; homogeneous coefficient一、关于常数变易法 []4常数变易法是微分方程中解线性微分方程的方法，就是将齐次线性微分方程通解中的c 变换为函数()x c ,它是拉格朗日(Lagrangr Joseph Louis,1736-1813)十一年的研究成果，微分方程中所用的仅是他的结论。
二、常数变易法的几个应用1.常数变易法在一阶线性非齐次微分方程中的应用[]75.3，一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P dxdy+= （1） 它所对应的齐次方程为y x P dxdy)(= （2） y x P dxdy)(=是变量分离方程，它的通解为 ⎰=dxx p ce y )( （3）下面讨论一阶线性非齐次微分方程（1）的解法。
方程（2）与方程（1）既有联系又有区别设想它们的解也有一定的联系，（3）中的c 恒为常数，它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，c 不再是常数，将是()x c 的待定函数，为此令()()P x dxy c x e ⎰= （4）两边积分得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx⎰⎰=+ 将（4）．（5）代入（1），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx⎰⎰⎰+=+ （5）即()()()P x dx dc x Q x e dx-⎰= 两边积分得()()()P x dxc x Q x e dx c -⎰=+⎰（6）这里c 是任意的常数，将()()()P x dx c x Q x e dx c -⎰=+⎰代入()()P x dxy c x e ⎰=得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+⎰⎰这就是方程)()(x Q y x P dxdy+=的通解 例1 求方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx++-=+的通解，这里的n 为常数.解 将方程改写为(1)1x n dy ny e x dx x -=++ （7）先求对应齐次方程01dy ny dx x -=+的通解，得 (1)n y c x =+ 令()(1)n y c x x =+ （8） 微分得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （9） 将（8）、（9）代入（7）中再积分，得 ()x c x e c =+ 将其代入（8）中，即得原方程的通解(1)()n x y x e c =++ 这里c 是任意的常数例2 求方程22dy y dx x y =-的通解. 解 原方程改写为2dx x y dy y=- （10） 把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于x 及dxdy来说，方程（10）就是一个线性 先求齐次线性方程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （11） 令2()x c y y =，于是2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代入（10），得到()ln c y y c =-+ 从而原方程的通解为2(ln )x y c y =- 这里c 是任意的常数,另外0y =也是方程的解. 初值问题为了求初值问题00()()()dyP x y Q x dx y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩常数变易法可采用定积分形式，即（4）可取为 ⎰=xx d p e x c y 0)()(ττ （12）代入（1）化简得.0()()()xx p d c x Q x e ττ-⎰'=积分得⎰+⎰=-x x d p c ds es Q x c sx 00)()()(ττ代入（12）得到⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q ece y sx xx xx 000)()()()(ττττττ将初值条件0x x =、0y y =代入上式0y c =于是所求的初值问题为⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q eey y sx xx xx 0000)()()(0)(ττττττ或⎰⎰+⎰=x x d p d p ds e s Q ey y sxxx 00)()(0)(ττττ定理①一阶非齐线性方程（1）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2）之解； ②若()y y x =是（2）的非零解，而()y y x =是（1）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数；③方程（2）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2）的解.证明 ①设12,y y 是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使)()(2211x Q py dxdy x Q py dxdy +=+=两式相减有1212()()d y y p y y dx-=- 说明非齐线性方程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性方程的解. ②因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++故结论②成立.③因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论③成立.2.常数变易法在二阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]1我们知道常数变易法用来求非齐次线性微分方程的通解十分有效，现将常数变易法应用于二阶常系数非齐次线性微分方程中.该方法是新的,具有以下优点：①无需求非齐次方程的特解，从而免去记忆二阶微分方程各种情况特解的形式；②无需求出相应齐次方程的全部解组，仅需求出一个即可；③可得其通解公式.现考虑二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+''+'' （1） 其对应的齐次方程为0=+'+''qy y p y （2） 下面对（2）的特征方程02=++q pr r （3）x有实根和复根加以考虑①若r 为（3）的一实根，则rx e y =是（2）的一解，由常数变易法，可设（1）的解为rx e x c y )(=通过求导可得()()()()rxrxrxrxrx ex c r e x c r e x c y e x rc e c y 22+'+''=''+'=' （4）将（4）和()rx e x c y =代入（1）化简得()()()()x f e x c p r x c rx -='++''2 这是关于)(x c '的一阶线性方程，其通解为()dx dx x f e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （5）②若r 为（3）的一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，则f 为（2）一解，由常数变易法，可设（1）的解为()bx e x c y ax sin = ，与情形①的推到类似，不难求得方程（1）的通解公式为⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（6）例1求six y y y =-'+''2的通解 解 相应的特征方程为022=-+r r 有解1=r ，故设非齐次方程的解为()x e x c y =对其求导得()()()()()xxxxx ex c e x c e x c y e x c e x c y +'+''=''+'='2代入原方程化简得()()x si e x c x c x n 3-='+'' 其通解为()⎰---+-=='x x x x ce e x co x si bxdx si e e x c 323s n 251n )( 所以()()231s n 3101c e c e x co x si x c x x +++-=-- 从而原方程的通解为()x x x e c e c x co x si e x c y 221s n 3101)(+++-==- 例2求x e y y y =+'+''44的通解 解 相应的特征方程为0442=++r r 有解4,2=-=p r 且，有公式（5），得其通解为()[]()⎰⎰+-+-⨯--=dx dx e e e e y x x x x ][424222dx c e e x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-13231= x x xe c xe c e 222191--++3.常数变易法在三阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]2前文中对二阶常系数非齐次线性微分方程的解法进行了讨论，以下对一般的 三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+'''详细论述，此方法弥补了一般情况下只有特殊()x f 才能求解的缺陷，扩大了()x f 的适用范围.由前面知，二阶常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+''+'' 对应齐次微分方程的特征方程02=++q pr r ①若r 为实特征根，通解为dx dx e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （1） ②若r 为一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，通解为 ⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（2）三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+''' （3） 则对应的齐次方程为0=+'+''+'''sy y q y p y （5） 其对应的齐次方程023=+++s qr pr r （6）若r 为其一实根，λ为方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（根，则方程（3）的通解为① 当λ为实根时，()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ ② 当λ为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠bdx dx bx bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(sin n )(n 证明 因为特征方程（5）是三阶方程，所以它至少有一实根，不妨设r 为特征方程一实根，则rx e y =是（4）的一解，这时可设（3）的解为(),rx e x c y =将其代入（3）中可得()()()()()()rx e x f x c s qr pr r x c q pr r x c p r x c -=++++'+++''++'''23223)(3)(因为r 为特征方程一根，所以 023=+++s qr pr r ，因此()()()()rx e x f x c q pr r x c p r x c -='+++''++'''23)(3)(2这是关于()x c '的二阶常系数非齐次线性微分方程，其特征方程，其特征方程为 ()()023322=+++++q pr r p r λλ 若其根为λ为实根，则由二阶方程通解公式（1）可得 ()()()[]⎰⎰-++++-='dx dx e x f e e e x c rx x p r x p r x 332)(λλλ 那么（3）的通解为()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ若其根为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠b 则由二阶方程通解公式（2）可得()()⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛='--dx dx bx si bx si e e x f bx si e x c ax rx ax2n n n 那么（3）的通解为dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 例1 求解方程ax e y y y y =+'+''+'''的通解. 解 对应的齐次方程的特征方程为 0123=+++r r r 其根为i r i r r -==-=321,1,方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（，即0222=+-λλ， 其根为i i -=+=1,121λλ 所以取 11,1,===b a r 代入公式dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 则其通解为dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n 求解过程只需依次积分即可dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n ()dx dx x si c x co x si e bx si e e x x x ⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=-21n s n 21n dx dx x si c dx x si x co e dx x si e x si e e x x x x ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-212n 1n s 21n 121n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-dx c tx c c sx c x si e e x x 21o o 21n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰⎰-xdx si e c xdx co e c dx e e x x x x n s 21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-312212n 2c s 241c x si c x co e c c e e x x xx x e c x si c c x co c c e -+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=31221n 2s 241令33122211,2,2c C c c C c c C =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=那么方程的通解为x x e C x si C x co C e y -+++=321n s 41（为任意常数3,21,C C C ）.4.常数变易法在二阶变系数非齐次线性微分方程中的应用[]8,6二阶变系数微分方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''()()()其对应的齐次方程在某区间上连续，如果其中x f x q x p ,,的通解为2211y c y c y +=那么可以通过常数变易法求得非齐次方程的通解 设非齐次方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''具有形式()()2211~y x c y x c y += 的特解，其中()()x c x c 21,是两个待定函数，对y ~求导数得()()()()x c y x c y y x c y x c y 22112211~'+'+'+'=' 我们补充一个的条件()()02211='+'x c y x c y 这样()()2211~y x c y x c y '+'=' 因此()()()()22112211~y x c y x c y x c y x c y ''+''+''+''='' 将其代入()()()()x f y x q y x p x y =+'+''化简得()()x f c y x c y =''+''2211联立方程()()02211='+'x c y x c y 解得 ()()211221y y y y x f y x c '-'-=' ()()211212y y y y x f y x c '-'=' 积分并取得一个原函数 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'-=211221 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'=211212 则所求的特解为=y ~()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212所以方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''的通解为 2211y c y c y +=()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212例1 求方程x y xy ='-''1的通解解 方程x y xy ='-''1对应的齐次方程为 01='-''y xy 由y x y '=''1得dx xy d y 11='⋅' 积分得c x y ln ln ln +='即cx y ='，得其通解为21c x c y +=所以对应的齐次方程的两个线性无关的特解是12和x ，为了求非齐次方程的一个特解y ~，将21,c c 换成待定函数()()x c x c 21,，且()()x c x c 21,满足下列方程 ()()()()⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x x c x c x x c x c x 212120201 解得()211='x c ()2221x x c -=' ()x x c 211= ()3261x x c -= 于是原方程的一个特解为()()3221311~x x c x x c y =⋅+= 从而原方程的通解322131x c x c y ++=参考文献 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常数变易法在二阶常微分方程中的应用
常数变易法在二阶常微分方程中的应用
在求解常微分方程的复杂问题时，经常会引入到与现有方法相比更容易解题的
变换方式----常数变易法。
本文就常数变易法在二阶常微分方程中的应用进行论述，供相关爱好者参考。
常数变易法即将原题中的变量同时变化形式改为变量与常数的乘积形式，然后
经过简便变化（取商）或拆解，获得解决方案。
二阶常微分方程式，也就是字面意思一个变量值随时间变化而变化的函数，它是表达不能简单运算的动态系统的表达式。
对于其解决方法，常数变易法可有效大大的减少解方程的时间，使得计算工作不再累苦变得轻松自如，有着成倍效率的提升。
该方法主要用于解给定某些常数求另一些常数或一组常数的不定积分，而各种解决方案则可用常数变易法求mean。
比如，给定了某个方程：
y''+4y'+4y = 5x
E（x）：y''+4y'+4y=5x
设常数m^2，则有
y''+4y'+4(y+m^2)=5x
y+m^2介于左右两边，令其积分即可得到
y=-5/8x+m^2/2
可得m^2/2=-5x+y
m^2=-10x+2y
故，求的特解为
y=-5/8x- 5/4x+2y
显然，常数变易法在二阶常微分方程的解决中提供了科学的技术提示，能够有
效的完成工作，从而给出有效的解决方式。
总之，常数变易法作为在解常微分方程中的一种变易技术，被用于二阶常微分方程的解决中能够有不错的效果，极大地减少解题时间，更加便捷、深刻，从而成为解决复杂问题的有用工具。
常数变易法在高等数学中的应用
常数变易法在高等数学中的应用常数变易法是高等数学中一种重要的概念，其在数学中的定义是改变不同函数的常数值，以便解决更复杂或难以求解的问题。
它是一种运用数学原理将难以求解的问题转换为容易求解的问题的技术。
常数变易法在实际应用中是许多科学研究的基础，包括数学研究、物理学研究、化学研究等。
首先，常数变易法的定义首先涉及到数学定义，即改变数学函数中的常数值，以便解决更复杂的问题。
在常数变易法中，函数中的一次项，二次项，三次项等都是有限的。
改变常数值，可以使函数在某些范围内发生变化，从而用比原函数更容易求解的函数来表达原函数的形式。
常数变易法的形式可以分为解析方法，迭代方法，置换方法等多种方法，其中，解析方法是最常用的，它是改变不同函数的常数值，以便用数学分析计算出函数的解析表达式。
其次，常数变易法在实际应用中也得到了广泛应用。
它主要应用于物理学中求解复杂的物理模型，例如有关重力场、磁场等物理模型。
常数变易法在物理学中可以帮助研究人员分析物理模型中的特征参数，快速构建出满足物理现象的函数表达式，从而获得理论研究的重要信息。
此外，常数变易法也可以应用于数学建模，使研究人员可以利用常数变易法构建出适合模型的函数表达式，从而揭示出模型的内在规律，更好地提高模型的分析精度。
最后，常数变易法在化学研究中也有着重要作用。
如在原子和分子力学研究中，常数变易法可以更好地分析出原子与原子之间的相互作用，从而更完善地描述物质的性质。
此外，常数变易法也可以用于解析复杂的化学缩写定律，帮助研究者更仔细地分析物质之间的相互作用，使化学研究变得更有效率。
通过以上分析，我们可以看出，常数变易法在高等数学中的应用十分广泛，它不仅是物理学和化学研究的重要基础，同时也是数学建模中的重要手段。
它能够帮助研究人员以更精确有效的方式快速求解原来难以解决的问题，更有利于揭示解决问题的更深层次内容，也为科学研究奠定了坚实的基础。
综上所述，常数变易法的应用在当今的科学研究中扮演着至关重要的角色，它在高等数学中的应用必然会带来更多的便利和有益的研究结果，使科学家们能够得到更多的收获。
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法常数矩阵微分方程基解矩阵是指对于一个m阶常系数矩阵微分方程组x′(x)=xx(x)，其中x(x)为x的函数，x为常数矩阵，基解矩阵是一组线性无关的解所构成的矩阵。
计算常数矩阵微分方程基解矩阵的方法主要有以下几种：常数变易法、指数矩阵法、特征值法。
一、常数变易法
使用常数变易法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.假设基解矩阵为x(x)，则存在常数矩阵x，使得
x(x)=xx^xx。
2.对基解矩阵进行求导，并代入微分方程，得到
xxx(x)(x)=xx(x)，其中x(x)(x)表示第n阶导数。
3.解出x(x)(x)，得到x的表达式。
4.代入x=0时的初始条件，求解得到x的具体值。
5.将x代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
二、指数矩阵法
使用指数矩阵法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。
2.将特征值分别代入指数函数的表达式中，得到特征向量的指数函数形式。
3.将特征向量的指数函数形式构成的矩阵x和其逆矩阵x^(-1)代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
三、特征值法
使用特征值法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。
2.将特征向量的形式代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
在实际计算中，选择哪种方法取决于方程的形式、矩阵的性质和计算的复杂程度。
以上三种方法均可得到常数矩阵微分方程的基解矩阵，计算方法相对较为简单，但对于高阶矩阵微分方程，计算工作量可能较大，需要根据具体情况选择合适的方法。
常数变易公式例子(一)
常数变易公式例子(一)常数变易公式常数变易公式是数学中常用的一种方法，通过适当引入一个常数，可以使复杂的计算问题变得简单。
在很多应用中，常数变易公式都有非常重要的作用。
本文将通过列举一些例子，并详细解释常数变易公式的作用和原理。
例子一：求和公式假设我们要计算1加到100的和，即求1+2+3+...+100。
由于数字较多，一一相加的方法显然不够高效。
这时，我们可以运用常数变易公式来简化问题。
首先，我们定义一个常数C，并将1+100写成(1+C)+(100−C)的形式。
这样，我们可以得到(1+C)+(100−C)=101。
接下来，我们将(2+C)+(99−C)写成(2+C)+(99−C)=101，以此类推。
最终，我们得到了1+2+3+...+100=50∗101=5050。
通过引入常数C，我们将复杂的计算问题简化为了一个简单的公式。
例子二：平均数公式假设有一组数1,2,3,...,10，我们要求这组数的平均值。
同样地，我们可以运用常数变易公式来简化问题。
首先，我们定义一个常数C，并将这组数写成[(1+C)+(10−C)]/2的形式。
这样，我们可以得到[(1+C)+(10−C)]/2=11/2=。
通过引入常数C，我们将求平均值的计算变得更加简单了。
例子三：代数公式常数变易公式在代数中也经常被使用。
例如，要求(x+2)(x+3)的值，我们可以使用常数变易公式来辅助计算。
首先，我们定义一个常数C，并将(x+2)(x+3)写成(x+C+2−C)(x+C+3−C)的形式。
这样，我们可以得到(x+C+2−C)(x+C+3−C)=x2+5x+6−C2。
通过引入常数C，我们将复杂的运算转化为了一个简单的公式。
例子四：几何公式常数变易公式在几何中也有应用。
例如，要求一个矩形的面积，我们可以使用常数变易公式来简化计算。
假设矩形的长为L，宽为W，我们可以定义一个常数C，并将面积LW写成(L+C)(W−C)的形式。
这样，我们可以得到(L+C)(W−C)=LW−C2。
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dy p x y dx
dy q x dx
y1 x ce
p x dx
+
y2 x q x dx
y ce
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n n 1 n n 1
常数变易法与迭加原理
dnx d n1 x dx a1 n 1 … an 1 an x f1 (t ) f 2 (t ) dt n dt dt
将上述结果进行求导：
y
1 2 x c2 4
y x2
(c2为任意常数)
dy x 2ec1 x dx 2
e c1
dy 2 x y dx x 2
除此之外，上述方法还具有更强的简易性与广泛性。当方程右端为多个 式子组成的更复杂的函数时，我们仍然可以使用此方法得到通解。
例题2：
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y e
p x dx
p x dx (c q x e dx)
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常数变易法的本质
解法：
dy y g 齐次方程： dx x
n阶常系 数非齐次 线性方程
x (t )
x1 t x2 t
+ + 通解
dy p x y q x 这种形式的方程与我们所研究的一阶线性非齐次常微分方程 dx
有某种程度的相似性 我们是否可以按上 述方法将其分解为 两个方程分别求解 ，最终得到通解呢 ？
经过推导，验证了我们的猜想。具体过程如下：
y c x e
p x dx
y e
p x dx
p x dx (c q x e dx)
常数变易与变量代换是相互渗透相互联系的
齐次的或可化为齐次的方程中所代换的是一个变量
而一阶线性非齐次常微分方程中，由于方程的复杂性， 因此被代换的是一个表达式
步骤一： 步骤二： 设
y ux
此时，u已被视为x的函数
dy du ux dx dx
dy 将 dx 代回原式，就得到关于u与x的方程，从而求解
u
y x
c
p x dx y ce
p x dx ye
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可见，通过此方法求得的结果与常数变易法结果实质上是一致 的。我们也可以通过实际例题来加以验证，结论亦成立。
• •
例题1：
dy 2 x y dx x 2
dy 2 y dx x
y ec1 x 2
+
(c1为任意常数）
dy x dx 2
p x dx
q x dx
y e
变形： y ce
y ce
p x dx
p x dx (c q x e dx)
p x dx
e
p x dx
p x dx q x e dx
p x dx
p x dx p x dx 1 q x e d e p x
d nx d n1 x dx a1 n1 an1 an x f1 (t ) n dt dt dt
d nx d n1 x dx a1 n1 an1 an x f 2 (t ) dt n dt dt
……
x1 t
x2 t
……
d nx d n1 x dx a1 n1 an1 an x f m (t ) dt n dt dt
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浅析常数变易法
南开大学 经济学院 06级金融学系 张婷
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xn t
各方程特解与齐次方程通解的代数和即为原n阶非齐次方程的通解
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由此，对于最初所研究的一阶线性常微分方程，又增 加了一种十分重要的解法。虽然结果形式上不同，但本质 相同。 形式不同的结果之间只相差一个常数。
p x dx dy dc x p x dx e c x p x e dx dx
• •
dy du ux dx dx
此时，二者的本质相同，只是常数变易法中的变量代换更为复杂，不易辨别。 常数变易法的目的是将原方程变换为只含 c x 与 x 的方程。从而求出 c x
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常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程的重要方法，即将常数 变易为待定函数，通过求解待定函数的表达式进而求出原方程通解 例如：
dy p x y q x dx dy p x y dx
解法：
p x dx y ce
c x
p x dx y c x e
y e
y x c4
四式代数和即为原方程通解！此方法大 大简化了运算过程，从而降低了运算量 ！
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dnx d n1 x dx a1 n1 … an1 an x f1 (t ) f 2 (t ) … f m (t ) dt n dt dt
y ce
y ce
p x dx
p x dx 1 q x d ln e p x
p x dx
1 q x d p x
p x dx
p xdx q x dx y ce
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d n 1 x dx 解法： d n x a1 n 1 … an 1 an x 0 dt n dt dt
d x d x dx a1 ... an 1 an x f1 t n n 1 dt dt dt d x d x dx a1 … an 1 an x f 2 (t ) n n 1 dt dt dt
dy ( x 1) 2 (4 y 1) 2 8 xy 1 dx dy ( x 1) 2 dx dy (4 y 1) 2 dx
• •
1 y ( x 1)3 c1 3
y
1 1 16( x c2 ) 4
4x2 c3
dy 8 xy dx dy 1 dx
• 着力去挖掘隐藏在结论背后的理论与方法 间 本质的联系 • 数学的魅力在于探求结果过程中 逻辑思 维 的运用，联想能力 的拓展与 锲而不舍 的钻研精神 三者的融会贯通 • 学会的不仅是一种方法，而是一种 思想 • 数学之中体现 哲学真理 • 不断 尝试，不断 求索，就会加深理解， 拓宽思维的深度与广度