数列综合测试(人教B版必修5)

第二章 数 列 同步练测（人教B 版必修5）一、选择题(每小题5分，共50分)1．数列{}n a 是首项1a ＝1，公差为d ＝3的等差数列，若n a ＝2 005，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．669 D ．6702．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项1a ＝3，前三项和为21，则3a ＋45a a +＝( ) A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( ) A ．1a 8a ＞4a 5aB ．1a 8a ＜4a 5aC ．1a +8a ＜4a +5aD ．1a 8a ＝4a 5a4．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ＋＋＝，12380a a a ＝，则111213a a a ＋＋＝ ( ) A.120 B.105 C.90 D.755．在一条笔直的公路上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A.7B.6C.5D.46．等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若31710a a ＋＝，则19S 的值是( ) A.55 B.95 C.100 D.不确定7．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，34，a a 成等比数列，则2a ＝( ) A ．－4 B ．－6C.－8D ．－108．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．219．已知数列－1，12，a a ，－4成等差数列，－1，123,,b b b ，－4成等比数列，则212b a a -的值是( ) A ．21 B ．－21C ．－21或21 D ．4110．在等差数列{}n a 中，n a ≠0，1n a -－2n a ＋1n a +＝0(n ≥2)，若21n S -＝38，则n ＝( )A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题（每小题5分，共30分） 11．设()f x ＝221+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 . 12．在等比数列{}n a 中：(1)若345a a a ⋅⋅＝8，则23456a a a a a ⋅⋅⋅⋅＝ ； (2)若12a a +＝324，34a a +＝36，则56a a +＝ ；(3)若n S 为{}n a 的前n 项和，4S ＝2，8S ＝6，则17181920+++a a a a ＝ .13．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ．14．在等差数列{}n a 中，3(35a a +)＋2(71013a a a ++)＝24，则此数列前13项之和为 . 15．用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{}n x 的通项公式为n x ＝5n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()+∈N n ，则125n x x x ＋＋＋＝________. 16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝ ；当n ＞4时，()f n ＝ ． 三、解答题（共70分）17．（11分）已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，求这三个数．19．（12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知1a ＝1，1n a +＝nn 2+n S (n +∈N )． 求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列．20．(12分)已知数列{}n a 是等差数列，25618a a ＝，＝；数列{}n b 的前n 项和是n T ，且n T ＋12n b ＝1. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求证：数列{}n b 是等比数列．21．(12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4 750万平方米？22．(12分)设1a ＝1，2a ＝53，2n a +＝53 1n a +－23n a ()+∈N n ．(1)令1n n n b a a ＋＝－()+∈N n ，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n na 的前n 项和n S .第二章数列同步练测（人教B版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题11. 12. 13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20. 21.22.第二章 数 列 同步练测（人教B 版必修5）答案一、选择题1.C 解析：由题意知2 005＝1＋3(n －1)，∴ n ＝669．2.C 解析：设等比数列{}n a 的公比为q (q ＞0)， 由题意得1a ＋23a a +＝21，即1a (1＋2q q +)＝21.又1a ＝3，∴ 1＋2q q +＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)， ∴ 345a a a ++＝a 1q 2(1＋2q q +)＝3×22×7＝84． 3.B 解析：由1a ＋845a a a =+排除C ． 又1a ·8a ＝1a (1a ＋7d )＝21a ＋71a d ，∴ 45a a ⋅＝(1a 3d +)(1a 4d +)＝21a ＋71a d ＋122d ＞1a ·8a ．故选B.4．B 解析：{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ＋＋＝，即32a ＝15，则2a ＝5.又123a a a ＝80，∴ 13a a ＝(5)(5)d d －＋＝16，∴ d ＝3.∵ 1221035a a d =+=，∴ 111213123105a a a a ++==.5. A 解析：设将小旗集中到第x 面小旗处，则从第一面小旗处到第x 面小旗处共走的路程为10(x －1)m ，然后回到第二面小旗处再到第x 面小旗处的路程为20(x －2)m ，…，从第（x －1）面小旗处到第x 面小旗处来回共20 m ，从第x 面小旗处到第(1)x ＋面小旗处来回的路程为20 m ，从第x 面小旗处到第(2)x ＋面小旗处来回的路程为20×2 m ，….总共的路程为10(1)20(2)20(3)20120120220(13)s x x x x ⨯⨯⨯⨯＝－＋－＋－＋＋＋＋＋＋－ 10(1)x ＝－＋(2)(1)202x x --⋅＋(13)(14)202x x --⋅ ＝210[(1)(2)(1)(13)(14)]10(229183)x x x x x x x －＋－－＋－－＝－＋229 3 1152044x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝.∵ +∈N x ，∴ 当x ＝7时，s 有最小值为780 m ，即将小旗集中到第7面小旗处所走的路程最短．6.B 解析：∵ 317119a a a a ＋＝＋，∴ 1191919()2a a S +＝＝192×10＝95.7.B 解析：∵ {}n a 是等差数列，∴ 31a a =＋4，41a a =＋6. 又∵ 134,,a a a 成等比数列，∴ (1a ＋4)2＝1a (1a ＋6)，解得1a ＝－8，∴ 2a ＝－8＋2＝－6．8.A 解析：∵ 59S S ＝22)(95191a a +＝3559a a ⋅⋅＝59×95＝1，∴ 选A ．9.A 解析：设d 和q 分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)4q ，∴ d ＝－1，2q ＝2，∴212b a a -＝2q d -＝21． 10.C 解析：∵ {}n a 为等差数列，∴ n a 2＝11n n a a -++，∴ 2n a ＝2n a .又n a ≠0，∴ n a ＝2，∴ {}n a 为常数数列. 而n a ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴ n ＝10． 二、填空题11.23 解析：∵ ()f x ＝221+x ，∴ (1)f x -＝2211+-x ＝x x 2222⋅+＝xx22221+⋅， ∴ ()f x ＋(1)f x -＝x 221+＋x x 22221+⋅＝xx222211+⋅+＝x x 22)22(21++＝22．[来源:] 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)， 则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴ 2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62， ∴ S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．12．（1）32 （2）4 （3）32 解析：（1）由35a a ⋅＝24a ，得4a ＝2，∴ 23456a a a a a ⋅⋅⋅⋅＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ，，∴ 56a a +＝(12a a +)4q ＝4． （3）2＝6＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q q S S a a a S a a a a S ⇒⎩⎨⎧=⋅⋅⋅，，∴ 17181920a a a a +++＝164S q ＝32．13．216 解析：本题考查等比数列的性质及计算，由于插入三个数后成等比数列，因而中间数必与38，227同号，由等比中项知中间数为22738⨯＝6，所以插入的三个数之积为38×227×6＝216． 14.26 解析：∵ 35a a +＝24a ，713a a +＝210a ， ∴ 6(410a a +)＝24，∴ 410a a +＝4， ∴ 13S ＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413⨯＝26．15.25322n n - 解析：[]555n n x n n⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝＝＝，则1255105[]5(121)n n nx x x x x x x x n －＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋＋－25322n n n -＋＝. 16．5，21(n ＋1)( n －2) 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴ ()f k ＝(1)f k -＋1k -． 由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5， f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9， …，()f n ＝(1)f n -＋1n -，相加得()f n ＝2＋3＋4＋…＋(1n -)＝21(1n +)(2n -)． 三、解答题17. 解：设这三个数分别为,,aa aq q.由题意，得3512,222,a a aq a q ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩解得8,2a q =⎧⎨=⎩或8,1.2a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18.解：（1）由题设2312a a a =+，即221a q ＝1a ＋1a q .∵ 1a ≠0，∴ 221q q --＝0，∴ q ＝1或q ＝－21． （2）若q ＝1，则2n S n =＋21－)(n n ＝23＋2nn ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝22＋1－))((n n ＞0，故n S ＞n b ．若q ＝－21，则2n S n =＋21－)(n n ⨯ (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝4－11－)0)((n n .故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，n S ＞n b ；当n ＝10时，n S =n b ；当n ≥11时，n S <n b ．19.证明：∵ 11n n n a S S ++=-，1n a +＝nn 2＋n S ， ∴ (n ＋2)n S ＝n (1n S +－n S )， 整理得n 1n S +＝2(n ＋1)n S ，所以1＋1＋n S n ＝nSn 2． 故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列． 20.(1) 解：设{}n a 的公差为d ，则116,418.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 24(1)42n a n n ＝＋－＝－. (2)证明：当n ＝1时，11b T ＝，由11112T b ＋＝，得123b ＝.当n ≥2时，∵ 112n n T b ＝－，11112n n T b －－＝－，， ∴ 111()2n n n n T T b b －－－＝－．∴ 11()2n n n b b b －＝－．∴ 113n n b b －＝..∴ {}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列．21.解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为n a .由题意可知{}n a 是等差数列，其中1a ＝250，d ＝50，则2(1)25050252252n n n S n n n -⨯＝＋＝＋. 令225225 4 750n n ＋＝，即291900n n ＋－＝，解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴ n ＝10.故到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米．22.解：(1)因为1211115222()3333n n n n n n n n n b a a a a a a a b ＋＋＋＋＋＋＝－＝－－＝－＝，所以数列{}n b 是首项为12123b a a ＝－＝，公比为23的等比数列，所以2()3+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N ＝n n b n ．（2）由123nn n n b a a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得11111212222()()()213333n n n n n n n n a a a a a a a a -++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-=+++=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因为11a =，所以12323nn a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以123()3+-=-∈N n n n a n .设数列1123n n n --⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则21222123333n n T n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①则23222222333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.② ①-②，得2112222221313333333n nn n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以122(3)29139333n nn n n n T n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以11213(3)223(123(1)1823n n n n n n S a a na n T n n +-+=+++=++++=++-）-2.。