数列综合测试(人教B版必修5)
人教新课标版数学高二-人教B版必修5综合检测

综合检测一、选择题1.已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+1,则a 9+a 10+a 11的值为( )A .39B .40C .57D .582.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =4∶3∶2,则cos A 的值是( ) A .-14 B.14 C .-23 D.23 3.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5等于 ( )A .1B .2C .4D .84.若a >b ,则下列不等式正确的是( ) A.1a >1bB .a 3>b 3C .a 2>b 2D .a >|b |5.已知不等式ax 2-bx -1≥0的解集是{x |-12<x <-13},则不等式x 2-bx -a <0的解集是( ) A .(2,3)B .(-∞,2)∪(3,+∞)C.⎝⎛⎭⎫13,12D.⎝⎛⎭⎫-∞,13∪⎝⎛⎭⎫12,+∞ 6.在△ABC 中,若a =2,b =2,A =π4,则B 等于 ( ) A.π12 B.π6C.π6或56πD.π12或1112π 7.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 2+a 10=4,则S 11的值为( ) A .12 B .18 C .22 D .448.已知各项都为正数的等比数列{a n }的公比不为1,则a n +a n +3与a n +1+a n +2的大小关系是( )A .a n +a n +3<a n +1+a n +2B .a n +a n +3=a n +1+a n +2C .a n +a n +3>a n +1+a n +2D .不确定的,与公比有关9.已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项,则该等比数列的公比是 ( )A. 3B. 2 C .±3 D .±210.已知x >0,y >0,且2x +1y=1,若x +2y >m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .m ≤-2或m ≥4 B .m ≤-4或m ≥2C .-2<m <4D .-4<m <2二、填空题11.正项等比数列{a n }满足a 2a 4=1,S 3=13,b n =log 3a n ,则数列{b n }的前10项和是________.12.已知f (x )=32x -k ·3x +2,当x ∈R 时,f (x )恒为正值,则k 的取值范围为________.13.在△ABC 中,A =60°,b =1,其面积为3,则a +b +c sin A +sin B +sin C=________. 14.已知正三角形ABC 的顶点A (1,1),B (1,3),顶点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC 内部,则z =-x +y 的取值范围是________.三、解答题15.若不等式(1-a )x 2-4x +6>0的解集是{x |-3<x <1}.(1)解不等式2x 2+(2-a )x -a >0;(2)b 为何值时,ax 2+bx +3≥0的解集为R .16.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,a sin A +c sin C -2a sin C =b sin B .(1)求B ;(2)若A =75°,b =2,求a ,c .17.已知{a n }是首项为19,公差为-2的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.(1)求通项a n 及S n ;(2)设{b n -a n }是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n .18.一艘客轮在航海中遇险,发出求救信号.在遇险地点A 南偏西45°方向10海里的B 处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦察,发现遇险客轮的航行方向为南偏东75°,正以每小时9海里的速度向一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.(1)为了在最短的时间内追上客轮,求海难搜救艇追上客轮所需的时间;(2)若最短时间内两船在C 处相遇,如图,在△ABC 中,求角B 的正弦值.19.在数列{a n }中,a 1=1,2a n +1=⎝⎛⎭⎫1+1n 2·a n (n ∈N *).(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2是等比数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)令b n =a n +1-12a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 20.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐,已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?答案1.C 2.A 3.A 4.B 5.A 6.B 7.C 8.C 9.C 10.D 11.-2512.(-∞,22) 13.2393 14.(1-3,2)15.解 (1)由题意知1-a <0且-3和1是方程(1-a )x 2-4x +6=0的两根,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-a <041-a =-261-a =-3,解得a =3.∴不等式2x 2+(2-a )x -a >0,即为2x 2-x -3>0,解得x <-1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <-1或x >32.(2)ax 2+bx +3≥0,即为3x 2+bx +3≥0,若此不等式解集为R ,则b 2-4×3×3≤0,∴-6≤b ≤6.16.解 (1)由正弦定理得a 2+c 2-2ac =b 2,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,故cos B =22.又B 为三角形的内角,因此B =45°.(2)sin A =sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° =2+64.故a =b sin A sin B =2+62=1+3,c =b sin C sin B =2×sin 60°sin 45°= 6. 17.解 (1)∵{a n }是首项为a 1=19,公差为d =-2的等差数列,∴a n =19-2(n -1)=21-2n ,S n =19n +12n (n -1)×(-2) =20n -n 2.(2)由题意得b n -a n =3n -1,即b n =a n +3n -1,∴b n =3n -1-2n +21,∴T n =S n +(1+3+…+3n -1)=-n 2+20n +3n -12. 18.解 (1)设搜救艇追上客轮所需时间为t 小时,两船在C 处相遇.在△ABC 中,∠BAC =45°+75°=120°,AB =10,AC =9t ,BC =21t .由余弦定理得:BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠BAC ,所以(21t )2=102+(9t )2-2×10×9t ×⎝⎛⎭⎫-12, 化简得36t 2-9t -10=0,解得t =23或t =-512(舍去). 所以,海难搜救艇追上客轮所需时间为23小时. (2)由AC =9×23=6, BC =21×23=14. 在△ABC 中,由正弦定理得sin B =AC ·sin ∠BAC BC =6·sin 120°14=6×3214=3314. 所以角B 的正弦值为3314.19.(1)证明 由条件得a n +1(n +1)2=12·a n n 2,又n =1时,a n n 2=1, 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2构成首项为1,公比为12的等比数列. 从而a n n 2=12n -1,即a n =n 22n -1. (2)解 由b n =(n +1)22n -n 22n =2n +12n , 得S n =32+522+…+2n +12n , 12S n =322+523+…+2n -12n +2n +12n +1, 两式相减得12S n =32+2⎝⎛⎭⎫122+123+…+12n -2n +12n +1,所以S n =5-2n +52n . 20.解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位,所花的费用为z 元,则依题意,得z =2.5x +4y ,且x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0,y ≥0,12x +8y ≥64,6x +6y ≥42,6x +10y ≥54,即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0,y ≥0,3x +2y ≥16,x +y ≥7,3x +5y ≥27.作出可行域如图,让目标函数表示的直线2.5x +4y =z 在可行域上平移,由此可知z =2.5x +4y 在B (4,3)处取得最小值.因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.。
人教B版数学必修五:第2章《数列》章末检测学案(含答案解析)

第二章 章末检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则a +b +cA.1 B .2.等差数列{a n }满足a 24+a 27+2a 4a 7=9,则其前10项之和为( ) A .-9 B .-15 C .15 D .±153.等比数列{a n }中,a 2,a 6是方程x 2-34x +64=0的两根,则a 4等于( ) A .8 B .-8 C .±8 D .以上都不对4.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10∶S 5=1∶2,则S 15∶S 5等于( ) A .3∶4 B .2∶3 C .1∶2 D .1∶35.已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,以S n 表示{a n }的前n 项和,则使得S n 达到最大值的n 是( )A .21B .20C .19D .186.已知数列{a n }为等比数列,a 2=2,a 5=14,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1等于( )A .16(1-4-n )B .16(1-2n) C.323(1-4-n ) D.323(1-2-n ) 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 21=42,记A =2a 211-a 9-a 13,则A 的值为( ) A .2 B .1 C .16 D .328.若{a n }是等比数列,其公比是q ,且-a 5,a 4,a 6成等差数列,则q 等于( ) A .1或2 B .1或-2 C .-1或2 D .-1或-29.已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1,a 3,a 9成等比数列,则a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10等于( )A.1514B.1213C.1316D.151610.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.301 0)( )A .5B .10C .14D .1511.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +ln ⎝⎛⎭⎫1+1n ,则a n 等于( ) A .2+ln n B .2+(n -1)ln n C .2+n ln n D .1+n +ln n12.已知数列1,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,则56是数列中的( )A .第48项B .第49项C .第50项D .第51项二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知在等差数列{a n }中,首项为23,公差是整数,从第七项开始为负项,则公差为______.14.在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________.15.数列{a n }中,S n 是其前n 项和,若a 1=1,a n +1=13S n (n ≥1),则a n =____________.16.等差数列{a n }中,a 10<0,且a 11>|a 10|,S n 为数列{a n }的前n 项和,则使S n >0的n 的最小值为________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知数列{log 2(a n -1)} (n ∈N *)为等差数列,且a 1=3,a 3=9. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:1a 2-a 1+1a 3-a 2+…+1a n +1-a n<1.18.(12分)设数列{a n }的前n 项的和为S n =43a n -13×2n +1+23(n =1,2,3…)(1)求首项a 1与通项a n ;(2)设T n =2n S n (n =1,2,3,…),证明:∑i =1n T i <32.(∑i =1nT i 表示求和)19.(12分)已知正项数列{b n }的前n 项和B n =14(b n +1)2,求{b n }的通项公式.20.(12分)某市2009年共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2010年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问:(1)该市在2016年应该投入多少辆电力型公交车?(2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13?21.(12分)设{a n }是等差数列,{b n }是各项都为正数的等比数列,且a 1=b 1=1,a 3+b 5=21,a 5+b 3=13.(1)求{a n }、{b n }的通项公式;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .22.(12分)在数列{a n }中,已知a 1=-1,且a n +1=2a n +3n -4 (n ∈N *). (1)求证:数列{a n +1-a n +3}是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式;(3)求和:S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | (n ∈N *).第二章 章末检测1.A [由题意知,a =12,b =516,c =316,故a +b +c =1.]2.D [a 24+a 27+2a 4a 7=(a 4+a 7)2=9. ∴a 4+a 7=±3,∴a 1+a 10=±3,∴S 10=10(a 1+a 10)2=±15.]3.A [a 2+a 6=34,a 2a 6=64,∴a 24=64,∵a 2>0,a 6>0,∴a 4=a 2q 2>0,∴a 4=8.] 4.A [显然等比数列{a n }的公比q ≠1,则由S 10S 5=1-q 101-q 5=1+q 5=12⇒q 5=-12, 故S 15S 5=1-q151-q 5=1-(q 5)31-q 5=1-⎝⎛⎭⎫-1231-⎝⎛⎭⎫-12=34.] 5.B [∵(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+(a 6-a 5)=3d , ∴99-105=3d.∴d =-2.又∵a 1+a 3+a 5=3a 1+6d =105,∴a 1=39.∴S n =na 1+n (n -1)2d =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d2n =-n 2+40n =-(n -20)2+400. ∴当n =20时,S n 有最大值.]6.C [设{a n }的公比为q ,则q 3=a 5a 2=18.∴q =12,a 1=4,∵{a n a n +1}也是等比数列且首项a 1a 2=8,公比为q 2=14,∴a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=8⎝⎛⎭⎫1-14n 1-14=323(1-4-n ).]7.B [由S 21=21(a 1+a 21)2=21a 11=42,∴a 11=2.∴a 211-(a 9+a 13)=a 211-2a 11=0.∴A =2a 211-a 9-a 13=20=1.]8.C [依题意有2a 4=a 6-a 5,即2a 4=a 4q 2-a 4q , 而a 4≠0,∴q 2-q -2=0,(q -2)(q +1)=0. ∴q =-1或q =2.]9.C [因为a 23=a 1·a 9, 所以(a 1+2d)2=a 1·(a 1+8d).所以a 1=d.所以a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10=3a 1+10d 3a 1+13d =1316.]10.C [设原杂质数为1,各次过滤杂质数成等比数列,且a 1=1,公比q =1-20%,∴a n +1=(1-20%)n ,由题意可知:(1-20%)n <5%,即0.8n <0.05. 两边取对数得n lg 0.8<lg 0.05,∵lg 0.8<0,∴n>lg 0.05lg 0.8,即n>lg 5-2lg 8-1=1-lg 2-23lg 2-1=-lg 2-13lg 2-1≈-0.301 0-13×0.301 0-1≈13.41,取n =14.] 11.A [∵a n +1=a n +ln ⎝⎛⎭⎫1+1n , ∴a n +1-a n =ln ⎝⎛⎭⎫1+1n =ln n +1n=ln (n +1)-ln n. 又a 1=2,∴a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+…+(a n -a n -1)=2+[ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+…+ln n -ln (n -1)]=2+ln n -ln 1=2+ln n .]12.C [将数列分为第1组一个,第2组二个,…,第n 组n 个,即⎝⎛⎭⎫11,⎝⎛⎭⎫12,21,⎝⎛⎭⎫13,22,31,…,⎝⎛⎭⎫1n ,2n -1,…,n 1,则第n 组中每个数分子分母的和为n +1,则56为第10组中的第5个,其项数为(1+2+3+…+9)+5=50.]13.-4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 6=23+5d ≥0a 7=23+6d<0,解得-235≤d<-236,∵d ∈Z ,∴d =-4. 14.216解析 设插入的三个数为a q ,a ,aq ,则由题意有83,a ,272也为等比数列,所以a 2=83×272=36,由于83,a ,272都处在奇数位上,所以同号,故a =6,从而aq·a ·aq =a 3=216.15.⎩⎪⎨⎪⎧1, n =113·⎝⎛⎭⎫43n -2, n ≥2解析 a n +1=13S n ,a n +2=13S n +1,∴a n +2-a n +1=13(S n +1-S n )=13a n +1∴a n +2=43a n +1 (n ≥1).∵a 2=13S 1=13,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧1, n =113·⎝⎛⎭⎫43n -2, n ≥2.16.20解析 ∵S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10<0;S 20=20(a 1+a 20)2=10(a 10+a 11)>0.∴当n ≤19时,S n <0;当n ≥20时,S n >0. 故使S n >0的n 的最小值是20.17.(1)解 设等差数列{log 2(a n -1)}的公差为d .由a 1=3,a 3=9,得log 2(9-1)=log 2(3-1)+2d ,则d =1.所以log 2(a n -1)=1+(n -1)×1=n ,即a n =2n +1.(2)证明 因为1a n +1-a n =12n +1-2n =12n ,所以1a 2-a 1+1a 3-a 2+…+1a n +1-a n =121+122+123+…+12n =12-12n ×121-12=1-12n <1.18.解 (1)∵S n =43a n -13×2n +1+23,n =1,2,3,…,①令n =1,得a 1=S 1=43a 1-13×4+23,解得a 1=2,n ≥2时,S n -1=43a n -1-13×2n +23.②①-②得:a n =S n -S n -1=43(a n -a n -1)-13×2n .∴a n =4a n -1+2n ,a n +2n =4a n -1+4×2n -1.∴{a n +2n }是首项为a 1+2=4,公比为4的等比数列.即a n +2n =4×4n -1=4n ,b =1,2,3,…, ∴a n =4n -2n ,n =1,2,3,….证明 (2)将a n =4n -2n 代入①得:S n =43(4n -2n )-13×2n +1+23=13(2n +1-1)(2n +1-2)=23(2n +1-1)(2n -1), T n =2n S n =32×2n (2n +1-1)(2n -1)=32⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1-1(n =1,2,3…), ∴∑i =1nT i =32∑i =1n ⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1-1=32×⎝⎛⎭⎫121-1-12n +1-1<32. 19.解 当n =1时,B 1=b 1,∴b 1=14(b 1+1)2,解得b 1=1.当n ≥2时,b n =B n -B n -1=14(b n +1)2-14(b n -1+1)2=14(b 2n -b 2n -1+2b n -2b n -1), 整理得b 2n -b 2n -1-2b n -2b n -1=0, ∴(b n +b n -1)(b n -b n -1-2)=0. ∵b n +b n -1>0,∴b n -b n -1-2=0.∴{b n }为首项b 1=1,公差d =2的等差数列.∴b n =2(n -1)+1=2n -1,即{b n }的通项b n =2n -1.20.解 (1)由题意可知,该市逐年投入的电力型公交车数量组成一个等比数列,其中a 1=128,q =1+50%=1.5,到2016年应为a 7,则到2016年该市应该投入的电力型公交车为a 7=a 1·q 6=128×1.56=1 458(辆).(2)设经过n 年电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13,记S n =a 1+a 2+…+a n ,依题意有S n 10 000+S n >13,即S n >5 000,∴S n =a 1(1-q n )1-q =128(1-1.5n )1-1.5=256(1.5n -1)>5 000,即1.5n >65732,解得n >7.5,故n ≥8.所以到2017年底,电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13.21.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则依题意有q >0且⎩⎪⎨⎪⎧1+2d +q 4=21,1+4d +q 2=13.解得d =2,q =2. 所以a n =1+(n -1)d =2n -1,b n =q n -1=2n -1. (2)a n b n =2n -12n -1. S n =1+321+522+…+2n -32n -2+2n -12n -1,①2S n =2+3+52+…+2n -32n -3+2n -12n -2.②②-①得S n =2+2+22+222+…+22n -2-2n -12n -1=2+2×⎝⎛⎭⎫1+12+122+…+12n -2-2n -12n -1=2+2×1-12n -11-12-2n -12n -1=6-2n +32n -1.22.(1)证明 令b n =a n +1-a n +3 ⇒b n +1=a n +2-a n +1+3=2a n +1+3(n +1)-4-2a n -3n +4+3 =2(a n +1-a n +3)=2b n .∴数列{b n }为公比为2的等比数列. (2)解 a 2=2a 1-1=-3,b 1=a 2-a 1+3=1⇒b n =a n +1-a n +3=2n -1⇒2a n +3n -4-a n +3=2n -1⇒a n =2n -1-3n +1 (n ∈N +).(3)解 设数列{a n }的前n 项和为T n ,T n =2n -1-n (2+3n -1)2=2n -1-n (3n +1)2,S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |,∵n ≤4时,a n <0,n >4时,a n >0,∴n ≤4时,S n =-T n =1+n (3n +1)2-2n;n >4时,S n =T n -2T 4=2n +21-n (3n +1)2.∴S n=⎩⎨⎧1+n (3n +1)2-2n (n ≤4),2n+21-n (3n +1)2(n >4).。
高中数学人教B版必修5分层测评试题6 数列 含解析

学业分层测评(六)数列(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.下面有四个结论,其中叙述正确的有()①数列的通项公式是唯一的;②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数;③数列若用图象表示,它是一群孤立的点;④每个数列都有通项公式.A.①②B.②③C.③④ D.①④【解析】数列的通项公式不唯一,有的数列没有通项公式,所以①④不正确.【答案】 B2.数列的通项公式为a n={3n+1,n为奇数,2n-2,n为偶数,则a2·a3等于()A.70 B.28C.20 D.8【解析】由a n={3n+1,n为奇数,2n-2,n为偶数,得a2=2,a3=10,所以a2·a3=20.【答案】 C3.数列-1,3,-7,15,…的一个通项公式可以是()A.a n=(-1)n·(2n-1)B.a n=(-1)n·(2n-1)C.a n=(-1)n+1·(2n-1)D.a n=(-1)n+1·(2n-1)【解析】数列各项正、负交替,故可用(-1)n来调节,又1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,…,所以通项公式为a n =(-1)n ·(2n -1).【答案】 A4.(2015·宿州高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n =n -1n +1,那么这个数列是( ) 【导学号:33300036】A .递增数列B .递减数列C .常数列 D.摆动数列【解析】 a n =n -1n +1=1-2n +1,∴当n 越大,2n +1越小,则a n 越大,故该数列是递增数列.【答案】 A5.在数列-1,0,19,18,…,n -2n 2,…中,0.08是它的( )A .第100项B .第12项C .第10项 D.第8项【解析】 ∵a n =n -2n 2,令n -2n 2=0.08,解得n =10或n =52(舍去).【答案】 C二、填空题6.(2015·黄山质检)已知数列{a n }的通项公式a n =19-2n ,则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________.【解析】 由a n =19-2n >0,得n <192.∵n ∈N *,∴n ≤9.【答案】 97.已知数列{a n },a n =a n +m (a <0,n ∈N *),满足a 1=2,a 2=4,则a 3=________.【解析】 {a 1=a +m =2,a 2=a 2+m =4,∴a 2-a =2,∴a=2或-1,又a<0,∴a=-1.又a+m=2,∴m=3,∴a n=(-1)n+3,∴a3=(-1)3+3=2.【答案】 28.(2015·宁津高二检测)如图2-1-1①是第七届国际数学教育大会(简称ICME -7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2-1-1②的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图②中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OA n,…的长度构成数列{a n},则此数列的通项公式为a n=________. 【导学号:33300037】图2-1-1【解析】因为OA1=1,OA2=2,OA3=3,…,OA n=n,…,所以a1=1,a2=2,a3=3,…,a n=n.【答案】n三、解答题9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)45,12,411,27,…;(2)12,2,92,8,252,…;(3)1,3,6,10,15,…;(4)7,77,777,….【解】(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为4 5,4 8,411,414,…,于是它们的分母依次相差3,因而有a n=43n+2.(2)把分母统一为2,则有12,42,92,162,252,…,因而有a n=n22.(3)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再把各项的分子和分母都乘以2,即1×22,2×32,3×42,4×52,5×62,…,因而有a n=n(n+1)2.(4)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999,…,因而有a n=79(10n-1).10.在数列{a n}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函数.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求a2016;(3)2016是否为数列{a n}中的项?【解】(1)设a n=kn+b(k≠0),则有{k+b=2,17k+b=66,解得k=4,b=-2.∴a n=4n-2.(2)a2 016=4×2 016-2=8 062.(3)由4n-2=2 016得n=504.5∉N*,故2 016不是数列{a n}中的项.[能力提升]1.已知数列{a n}的通项公式a n=log(n+1)(n+2),则它的前30项之积是()A.15B .5C .6 D.log 23+log 31325【解析】 a 1·a 2·a 3·…·a 30=log 23×log 34×log 45×…×log 3132=lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31=lg 32lg 2=log 232=log 225=5.【答案】 B2.已知数列{a n }中,a n =n 2-kn (n ∈N *),且{a n }单调递增,则k 的取值范围是( )A .(-∞,2]B .(-∞,3)C .(-∞,2) D.(-∞,3]【解析】 a n +1-a n =(n +1)2-k (n +1)-n 2+kn =2n +1-k ,又{a n }单调递增,故应有a n +1-a n >0,即2n +1-k >0恒成立,分离变量得k <2n +1,故只需k <3即可.【答案】 B3.根据图2-1-2中的5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图中有________个点.图2-1-2【解析】 观察图形可知,第n 个图有n 个分支,每个分支上有(n -1)个点(不含中心点),再加中心上1个点,则有n (n -1)+1=n 2-n +1个点.【答案】 n 2-n +14.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-21n 2(n ∈N *).(1)0和1是不是数列{a n }中的项?如果是,那么是第几项? 【导学号:33300038】(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项.【解】 (1)令a n =0,得n 2-21n =0,∴n =21或n =0(舍去),∴0是数列{a n }中的第21项.令a n =1,得n 2-21n 2=1,而该方程无正整数解,∴1不是数列{a n }中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是a n ,a n +1,则有a n =a n +1,即n 2-21n 2=(n +1)2-21(n +1)2. 解得n =10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.。
人教课标版高中数学必修5第二章《数列》章末综合测试B卷

第二章《数列》章末综合测试B 卷(时间:100分钟,满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一个首项为23,公差为整数的等差数列中,前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差d 为( )A .-2B .-3C .-4D .-52.若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ,则公比为( )A .2B .4C .8D .163.已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20等于( )A .-1B .1C .3D .74.在等差数列{a n }中,前n 项和为S n ,S 10=90,a 5=8,则a 4=( )A .16B .12C .8D .65.在等比数列{a n }中,若a n >0,且a 2=1-a 1,a 4=9-a 3,则a 4+a 5的值为( )A .16B .81C .36D .276.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( )A .55 986只B .46 656只C .216只D .36只7.等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,S n 为前n 项和,则数列{S n n}是( ) A .首项为a 1,公差为d 的等差数列B .首项为a 1,公比为d 的等比数列C .首项为a 1,公差为d 2的等差数列 D .首项为a 1,公比为d 2的等比数列 8.已知S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1n ,则S 17+S 33+S 50等于( )A .0B .1C .-1D .29.已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,以S n 表示{a n }的前n 项和,则使得S n 达到最大值的n 是( )A .21B .20C .19D .1810.数列{a n }的通项公式a n =n cos n π2,其前n 项和为S n ,则S 2 012等于( ) A .1 006 B .2 012C .503D .0二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上) 11.2-1与2+1的等比中项是________.12.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列,则数列{a n }的公比为________.13.已知数列{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和.若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为54,则S 5等于________. 14.在数列{a n }和{b n }中,b n 是a n 和a n +1的等差中项,a 1=2且对任意n ∈N *都有3a n +1-a n =0,则数列{b n }的通项b n =________.15.某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价:由于首层与顶层均为复式结构,因此首层价格为a 1元/m 2,顶层由于景观好价格为a 2元/m 2,第二层价格为a 元/m 2,从第三层开始每层在前一层价格上加价a 100元/m 2,则该商品房各层的平均价格为________元/m 2.三、解答题(本大题共5小题,共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分10分)数列{a n }的前n 项和记为S n ,点(n ,S n )在曲线f (x )=x 2-4x (x ∈N *)上.求数列{a n }的通项公式.17.(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n -1)}(n ∈N *)为等差数列,且a 1=3,a 3=9.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:1a 2-a 1+1a 3-a 2+…+1a n +1-a n<1.18.(本小题满分10分))等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,S 3,S 2成等差数列.(1)求数列{a n }的公比q ;(2)若a 1-a 3=3,求S n .19.(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n +1=12S n (n =1,2,3,…). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)当b n =log 32(3a n +1)时,求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n +1的前n 项和T n =n 1+n .20.(本小题满分10分)甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额为a 万元,由于经营方式不同,甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2-n +2)万元,乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n -1万元.(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式;(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?参考答案一、选择题1.解析:选C.设通项公式为a n =23+(n -1)d ,由题意列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23+(6-1)d >0,23+(7-1)d <0,解得-235<d <-236.∵d 是整数,∴d =-4. 2.解析:选B.由a n a n +1=16n ,知a 1a 2=16,a 2a 3=162,后式除以前式得q 2=16,∴q =±4.∵a 1a 2=a 21q =16>0,∴q >0,∴q =4.3.解析:选B.∵a 1+a 3+a 5=3a 3=105,∴a 3=35,∴a 2+a 4+a 6=3a 4=99,∴a 4=33,∴d =a 4-a 3=33-35=-2,∴a 20=a 3+17d =35+17×(-2)=1.4.解析:选D.设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1+10×92d =90,a 1+4d =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=0,d =2. ∴a 4=a 1+3d =0+3×2=6.5.解析:选D.设等比数列{a n }的公比为q 且q >0,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q =1a 1q 2+a 1q 3=9⇒q 2=9⇒q =3, 所以a 1=14, 所以a 4+a 5=14×33+14×34=33(3+1)4=27. 6.解析:选B.设第n 天所有的蜜蜂都归巢后共有a n 只蜜蜂,则有a n +1=ba n ,a 1=6,则{a n }是公比为6的等比数列,则a 6=a 1q 5=6×65=46 656.7.解析:选C.∵S n =na 1+n (n -1)2d , ∴S n n =a 1+(n -1)·d 2, ∴{S n n }是以a 1为首项,d 2为公差的等差数列. 8.解析:选B.S 17=1-2+3-4+…+17=-8+17=9,S 33=1-2+3-4+…+33=-16+33=17,S 50=1-2+3-4+…-50=-25,∴S 17+S 33+S 50=9+17-25=1.9.解析:选B.设等差数列{a n }的公差为d ,由a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99得,3d =-6,∴d =-2,∴3a 1+6d =105,∴a 1=39,∴a n =39+(n -1)×(-2)=41-2n .又∵a 20>0,a 21<0且d =-2<0,∴当n =20时,S n 最大.10.解析:选A.由题意知,a 1+a 2+a 3+a 4=2,a 5+a 6+a 7+a 8=2,…,a 4k +1+a 4k +2+a 4k +3+a 4k +4=2,k ∈N ,故S 2 012=503×2=1 006.二、填空题11.解析:设2-1与2+1的等比中项为G ,则G 2=(2-1)(2+1)=1,∴G =±1.答案:±112.解析:由题意,知4S 2=S 1+3S 3.①当q =1时,4×2a 1=a 1+3×3a 1.即8a 1=10a 1,a 1=0不符合题意,∴q ≠1;②当q ≠1时,应有4×a 1(1-q 2)1-q =a 1(1-q )1-q +3×a 1(1-q 3)1-q,化简得3q 2=q ,得q =13或q =0(舍去). 答案:1313.解析:设数列{a n }的公比为q ,则a 2·a 3=a 21·q 3=a 1·a 4=2a 1⇒a 4=2, a 4+2a 7=a 4+2a 4q 3=2+4q 3=2×54⇒q =12. 故a 1=a 4q 3=16,S 5=a 1(1-q 5)1-q=31. 答案:3114.解析:∵由3a n +1-a n =0可得a n +1a n =13(n ∈N *), ∴数列{a n }是公比为13的等比数列. 因此a n =2·⎝⎛⎭⎫13n -1.故b n =12(a n +a n +1) =12⎣⎡⎦⎤2·⎝⎛⎭⎫13n -1+2·⎝⎛⎭⎫13n=43⎝⎛⎭⎫13n -1=4·⎝⎛⎭⎫13n . 答案:4·⎝⎛⎭⎫13n15.解析:设第二层到第22层的价格构成数列{b n },则{b n }是等差数列,b 1=a ,公差d =a 100,共21项, 所以其和为S 21=21a +21×202·a 100=23.1a , 故平均价格为123(a 1+a 2+23.1a )元/m 2.答案:123(a 1+a 2+23.1a )三、解答题16.解:由点(n ,S n )在曲线f (x )=x 2-4x (x ∈N *)上知,S n =n 2-4n ,当n ≥2时a n =S n -S n -1=n 2-4n -[(n -1)2-4(n -1)]=2n -5;当n =1时,a 1=S 1=-3,满足上式;∴数列{a n }的通项公式为a n =2n -5.17.解:(1)设等差数列{log 2(a n -1)}的公差为d .由a 1=3,a 3=9,得log 2(9-1)=log 2(3-1)+2d ,则d =1.所以log 2(a n -1)=1+(n -1)×1=n ,即a n =2n +1.(2)证明:因为1a n +1-a n =12n +1-2n =12n , 所以1a 2-a 1+1a 3-a 2+…+1a n +1-a n=121+122+123+…+12n =1-12n <1. 18.解:(1)依题意有2S 3=S 1+S 2;即a 1+(a 1+a 1q )=2(a 1+a 1q +a 1q 2).由于a 1≠0,故2q 2+q =0.又q ≠0.从而q =-12. (2)由(1)及已知可得a 1-a 1·(-12)2=3,得a 1=4, 从而S n =4[1-(-12)n ]1-(-12)=83[1-(-12)n ]. 19.解:(1)由已知⎩⎨⎧a n +1=12S n ,a n =12S n -1,(n ≥2), 得a n +1=32a n (n ≥2). ∴数列{a n }是以a 2为首项,以32为公比的等比数列. 又a 2=12S 1=12a 1=12, ∴a n =a 2×⎝⎛⎭⎫32n -2(n ≥2).∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,12×⎝⎛⎭⎫32n -2,n ≥2. (2)证明:b n =log 32(3a n +1)=log 32⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫32n -1=n . ∴1b n b n +1=1n (1+n )=1n -11+n , ∴T n =1b 1b 2+1b 2b 3+1b 3b 4+…+1b n b n +1=⎝⎛⎭⎫11-12+⎝⎛⎭⎫12-13+⎝⎛⎭⎫13-14+…+⎝⎛⎭⎫1n -11+n =1-11+n =n 1+n. 20.解:(1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ,b n .则有a 1=a ,当n ≥2时,a n =a 2(n 2-n +2)-a 2[(n -1)2-(n -1)+2] =(n -1)a ,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧a , n =1,(n -1)a , n ≥2. b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n -1)=⎣⎡⎦⎤3-2⎝⎛⎭⎫23n -1a (n ∈N *). (2)易知b n <3a ,所以乙超市将被甲超市收购,由b n <12a n 得:⎣⎡⎦⎤3-2⎝⎛⎭⎫23n -1a <12(n -1)a . ∴n +4⎝⎛⎭⎫23n -1>7,∴n ≥7,即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.。
最新人教B版高中数学必修五综合测试题及答案2套

最新人教 B 版高中数学必修五综合测试题及答案 2 套
模块综合测评(一)
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若 a<1,b>1,那么下列命题中正确的是( 1 1 A.a>b C.a2<b2 b B.a>1 D.ab<a+b )
【解析】 ∵2 3=a+b≥2 ab,∴ab≤3. 由 ax=by=3 得 x=loga3,y=logb3,
1 1 1 1 ∴x+y=log 3+log 3=log3a+log3b=log3ab≤log33=1.故选 C. a b 【答案】 C 11.△ABC 的内角 A,B,C 所 对的边分别为 a,b,c,若∠B=2∠A,a=1,b= 3,则 c=( A.2 3B.2 C. 2D.1 a b 【解析】 由正弦定理得:sin A=sin B, ∵∠B=2∠A,a=1,b= 3, 1 3 ∴sin A=2sin Acos A. ∵A 为三角形的内角,∴sin A≠0. 3 ∴cos A= 2 . π π 又 0<∠A<π,∴∠A=6,∴∠B=2∠A=3. π ∴∠C=π-∠A-∠B=2,∴△ABC 为直角三角形. 由勾股定理得 c= 12+ 32=2. 【答案】 B 12.一个等比数列前三项的积为 2,最后三项的积为 4,且所有项的积为 64,则该数列有 ( ) A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 )
高中数学人教B版必修5分层测评试题6数列含解析

学业分层测评 (六)数 列(建 用 : 45 分 )[ 学 达 ]一、1.下边有四个 ,此中表达正确的有()①数列的通 公式是独一的;②数列能够看做是一个定 在正整数集或其子集上的函数;③数列若用 象表示,它是一群孤立的点;④每个数列都有通 公式.A .①②B .②③C .③④D.①④【分析】数列的通 公式不独一, 有的数列没有通 公式, 因此①④不正确.【答案】B .数列的通 公式 n ={ 3n +1,n 奇数,2n -2,n 偶数,2 ·32aa a等于()A .70B .28C .20D.8【分析】由 a n = {3n +1,n 奇数,2n -2,n 偶数,得 a 2=2,a 3=10,因此 a 2·a 3=20. 【答案】C3.数列- 1,3,- 7,15,⋯的一个通 公式能够是()A .a n = (-1)n ·(2n -1)B .a n = (-1)n ·(2n -1)C .a n = (-1)n + 1·(2n -1)D .a n = (-1)n + 1·(2n - 1)【分析】数列各 正、 交替,故可用 (-1)n 来 ,又 1 = 1- = 22 1,3 2- 1,7= 23-1,15= 24-1,⋯,因此通 公式a n =(-1)n ·(2n -1).【答案】 A4.(2015 ·州高二 宿nnn -1,那么 个数)已知数列 { a } 的通 公式是a=n +1列是 ( ) 【 学号: 33300036】A . 增数列B . 减数列C .常数列D. 数列【分析】a n =n -1= -2越大, 2n 越大,故n +11,∴当 nn +1 越小, an +1数列是 增数列.【答案】A11 n - 25.在数列- 1,0,9,8,⋯, n 2 ,⋯中, 0.08是它的 ()A .第 100B .第 12C .第 10D.第 8n -2n -25【分析】 ∵a n = n 2 ,令 n 2 =0.08,解得 n = 10 或 n = 2(舍去 ).【答案】C二、填空6.(2015 ·黄山 )已知数列 { a } 的通 公式 a =19- 2n , 使 a >0 建立的nnn最大正整数 n 的 ________.【分析】由 a n = - ,得 1919 2n>0n< 2 .∵n ∈N * ,∴n ≤9.【答案】97.已知数列 {a n } ,a n =a n +m(a<0,n ∈N * ), 足 a 1=2,a 2=4, a 3=________.【分析】{a 1 =a +m =2, a 2 =a 2+m = 4, ∴2-=,a a 2∴a=2 或- 1,又 a<0,∴a=- 1.又 a+ m=2,∴m=3,∴a n=(-1)n+3,∴a3=(-1)3+3=2.【答案】28.(2015 ·宁津高二 )如 2-1-1①是第七届国数学教育大会(称 ICME - 7)的会徽案,会徽的主体案是由如 2-1-1②的一串直角三角形演化而成的,此中OA1=A1A2=A2A3=⋯= A7A8=1,假如把②中的直角三角形作下去, OA1,OA2,⋯,OA n,⋯的度组成数列{ a n} ,此数列的通公式a n=________. 【学号:33300037】2-1-1【分析】因 OA1=1,OA2=2,OA3=3,⋯,OA n=n,⋯,因此 a1=1,a2=2, a3=3,⋯, a n=n.【答案】n三、解答9.依据数列的前几,写出以下各数列的一个通公式:(1)41425,2,11,7,⋯;1925 2,2,,8,(3)1,3,6,10,15,⋯;(4)7,77,777,⋯ .【解】 (1)注意前 4 中有两的分子 4,不如把分子一4,即4 5,4 4 4n48,11,14,⋯,于是它的分母挨次相差 3,因此有 a =.3n+21 4 91625n2(2)把分母一 2,有2,2,2, 2 ,2,⋯,因此有 a n=2 .(3)注意 6= 2× 3,10=2×5,15= 3× 5,律不明,再把各的分子和分1×2 2×3 3×4 4×5 5×6n n+1.母都乘以 2,即2,2,2,2,2,⋯,因此有 a n=2(4)把各除以7,得 1,11,111,⋯,再乘以9,得 9,99,999,⋯,因此有 a n7=9(10n- 1).10.在数列 {a n} 中, a1=2,a17= 66,通公式是对于n 的一次函数.(1)求数列 { a n} 的通公式;(2)求 a2016;(3)2016 能否数列 { a n} 中的?【解】(1) a n= kn+b(k≠0),有{ k+b=2,17k+b=66,解得 k=4, b=- 2.∴a n=4n-2.(2)a2 016=4×2 016- 2= 8 062.(3)由 4n- 2= 2 016 得 n= 504.5?N*,故 2 016 不是数列 { a n} 中的.[ 能力提高 ]1.已知数列 {a n } 的通公式 a n= log(n+1)(n+ 2),它的前 30 之是 ()1A.5 B .5C .6log 23+log 3132D. 5【分析】a 1·2 ·3·⋯·30 = 2 × 3 × 4 ×⋯× 31 = lg 3 × lg 4a a a log 3 log 4 log 5 log 32 lg 2 lg 3×⋯×lg 32=lg 32=log 2 =2 5=5.lg 31lg 2 32log 2【答案】B2.已知数列 { a n } 中,a n =n 2- kn(n ∈N * ),且 {a n } 增, k 的取 范是 ()A .(-∞, 2]B .(-∞, 3)C .(-∞, 2)D.(-∞, 3]【分析】a n +1-a n = (n + 1)2-k(n +1)- n 2 +kn =2n +1-k ,又 { a n }增,故 有 a n +1- n,即+ - k>0 恒建立,分别 量得 + ,故只要a >02n 1k<2n 1k<3 即可.【答案】 B3.依据 2-1-2 中的 5 个 形及相 点的个数的 化 律, 猜 第n 个中有 ________个点.2-1-2【分析】察 形可知,第n 个 有 n 个分支,每个分支上有(n -1)个点(不含中心点 ),再加中心上 1 个点, 有 n(n -1)+1=n 2- n + 1 个点.【答案】n 2-n +14.已知数列 { a n } 的通项公式为 a n = n 2- 21n*).2(n ∈N(1)0 和 1能否是数列 {a n } 中的项?假如是,那么是第几项? 【导学号:33300038】(2)数列 { a n } 中能否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项.【解】(1)令 a n = 0,得 n 2-21n = 0,∴n =21 或 n =0(舍去 ),∴0 是数列 { a n }中的第 21 项.n 2- 21n令 a =1,得= ,n 2而该方程无正整数解,∴1 不是数列 { a n } 中的项.(2)假定存在连续且相等的两项是a ,a ,nn +1则有 a =an 2- 21nn +1 2- 21 n + 1n +1 ,即=.n22解得 n =10,因此存在连续且相等的两项,它们分别是第10 项和第 11 项.。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二章 数 列 同步练测(人教B 版必修5)建议用时 实际用时满分 实际得分90分钟150分一、选择题(每小题5分,共50分)1.数列{}n a 是首项1a =1,公差为d =3的等差数列,若n a =2 005,则序号n 等于( ) A .667 B .668 C .669 D .670 2.在各项都为正数的等比数列{}n a 中,首项1a =3,前三项和为21,则3a +45a a +=( ) A .33B .72C .84D .1893.如果1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ) A .1a 8a >4a 5aB .1a 8a <4a 5aC .1a +8a <4a +5aD .1a 8a =4a 5a4.设{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,12380a a a =,则111213a a a ++= ( )A.120B.105C.90D.755.在一条笔直的公路上共插有13面小旗,相邻两面小旗之间距离为10 m ,在第一面小旗处有一个人,把小旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路程最短,应集中到哪一面小旗的位置上( )A.7B.6C.5D.46.等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若31710a a +=,则19S 的值是( )A.55B.95C.100D.不确定7.已知等差数列{}n a 的公差为2,若1a ,34,a a 成等比数列,则2a =( ) A .-4 B .-6C.-8D .-108.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若35a a =95,则59S S =( ) A .1B .-1C .2D .21 9.已知数列-1,12,a a ,-4成等差数列,-1,123,,b b b ,-4成等比数列,则212b a a -的值是( ) A .21 B .-21C .-21或21 D .4110.在等差数列{}n a 中,n a ≠0,1n a --2n a +1n a +=0(n ≥2),若21n S -=38,则n =( ) A .38B .20C .10D .9二、填空题(每小题5分,共30分) 11.设()f x =221+x,利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法,可求得f (-5)+f (-4)+…+f (0)+…+f (5)+f (6)的值为 . 12.在等比数列{}n a 中: (1)若345a a a ⋅⋅=8,则2345a a a a a⋅⋅⋅⋅= ;(2)若12a a +=324,34a a +=36,则56a a += ;(3)若n S 为{}n a 的前n 项和,4S =2,8S =6,则17181920+++a a a a = .13.在38和227之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 . 14.在等差数列{}n a 中,3(35a a +)+2(71013a a a ++)=24,则此数列前13项之和为 .15.用[]x 表示不超过x 的最大整数,如[0.78]=0,[3.01]=3,如果定义数列{}n x 的通项公式为n x =5n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()+∈N n ,则125n x x x +++=________. 16.设平面内有n 条直线(n ≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用()f n 表示这n 条直线交点的个数,则f (4)= ;当n >4时,()f n = . 三、解答题(共70分)17.(11分)已知三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数列,求这三个数.18.(11分)设{}n a 是公比为q 的等比数列,且132,,a a a 成等差数列.(1)求q 的值;(2)设{}n b 是以2为首项,q 为公差的等差数列,其前n 项和为n S ,当n ≥2时,比较n S 与n b 的大小,并说明理由.19.(12分)数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知1a =1,1n a +=nn 2+n S (n +∈N ). 求证:数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列.20.(12分)已知数列{}n a 是等差数列,25618a a =,=;数列{}n b 的前n 项和是n T ,且n T +12n b =1.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证:数列{}n b 是等比数列.21.(12分)假设某市2007年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4 750万平方米?22.(12分)设1a=1,2a=53,2na+=531na+-23 na()+∈Nn.(1)令1n n nb a a+=-()+∈Nn,求数列{}n b的通项公式;(2)求数列{}nna的前n项和nS.第二章数列同步练测(人教B版必修5)答题纸得分:一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11. 12. 13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20.21.22.第二章 数 列 同步练测(人教B 版必修5)答案一、选择题1.C 解析:由题意知2 005=1+3(n -1),∴ n =669.2.C 解析:设等比数列{}n a 的公比为q (q >0), 由题意得1a +23a a +=21,即1a (1+2q q +)=21.又1a =3,∴ 1+2q q +=7.解得q =2或q =-3(不合题意,舍去), ∴ 345a a a ++=a 1q 2(1+2q q +)=3×22×7=84. 3.B 解析:由1a +845a a a =+排除C . 又1a ·8a =1a (1a +7d )=21a +71a d ,∴ 45a a ⋅=(1a 3d +)(1a 4d +)=21a +71a d +122d >1a ·8a .故选B.4.B 解析:{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,即32a =15,则2a =5.又123a a a =80,∴ 13a a =(5)(5)d d -+=16,∴ d =3. ∵ 1221035a a d =+=,∴ 111213123105a a a a ++==.5. A 解析:设将小旗集中到第x 面小旗处,则从第一面小旗处到第x 面小旗处共走的路程为10(x -1)m ,然后回到第二面小旗处再到第x 面小旗处的路程为20(x -2)m ,…,从第(x -1)面小旗处到第x 面小旗处来回共20 m ,从第x 面小旗处到第(1)x +面小旗处来回的路程为20 m ,从第x 面小旗处到第(2)x +面小旗处来回的路程为20×2 m ,…. 总共的路程为10(1)20(2)20(3)20120120220(13)s x x x x ⨯⨯⨯⨯=-+-+-++++++-10(1)x =-+(2)(1)202x x --⋅+(13)(14)202x x --⋅=210[(1)(2)(1)(13)(14)]10(229183)x x x x x x x -+--+--=-+229 3 1152044x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=.∵ +∈N x ,∴ 当x =7时,s 有最小值为780 m ,即将小旗集中到第7面小旗处所走的路程最短.6.B 解析:∵ 317119a a a a +=+,∴ 1191919()2a a S +==192×10=95. 7.B 解析:∵ {}n a 是等差数列,∴ 31a a =+4,41a a =+6. 又∵ 134,,a a a 成等比数列,∴ (1a +4)2=1a (1a +6),解得1a =-8, ∴ 2a =-8+2=-6.8.A 解析:∵ 59S S =2)(52)(95191a a a a ++=3559a a ⋅⋅=59×95=1,∴ 选A .9.A 解析:设d 和q 分别为公差和公比,则-4=-1+3d 且-4=(-1)4q ,∴ d =-1,2q =2,∴212b a a -=2q d -=21. 10.C 解析:∵ {}n a 为等差数列,∴ n a 2=11n n a a -++,∴ 2n a =2n a .又n a ≠0,∴ n a =2,∴ {}n a 为常数数列. 而n a =1212--n S n ,即2n -1=238=19,∴ n =10. 二、填空题11.23 解析:∵ ()f x =221+x ,∴ (1)f x -=2211+-x =x x 2222⋅+=x x22221+⋅, ∴ ()f x +(1)f x -=x 221++xx 22221+⋅=x x 222211+⋅+=x x 22)22(21++=22. 设S =f (-5)+f (-4)+…+f (0)+…+f (5)+f (6), 则S =f (6)+f (5)+…+f (0)+…+f (-4)+f (-5),∴ 2S =[f (6)+f (-5)]+[f (5)+f (-4)]+…+[f (-5)+f (6)]=62, ∴ S =f (-5)+f (-4)+…+f (0)+…+f (5)+f (6)=32.12.(1)32 (2)4 (3)32 解析:(1)由35a a ⋅=24a ,得4a =2,∴ 23456a a a a a ⋅⋅⋅⋅=54a =32.(2)9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ,,∴ 56a a +=(12a a +)4q =4. (3)2=6+=+++=2=+++=4444821843214q q S S a a a S a a a a S ⇒⎩⎨⎧=⋅⋅⋅,,∴ 17181920a a a a +++=164S q =32.13.216 解析:本题考查等比数列的性质及计算,由于插入三个数后成等比数列,因而中间数必与38,227同号,由等比中项知中间数为22738⨯=6,所以插入的三个数之积为38×227×6=216.14.26 解析:∵ 35a a +=24a ,713a a +=210a , ∴ 6(410a a +)=24,∴ 410a a +=4, ∴ 13S =2+13131)(a a =2+13104)(a a =2413⨯=26. 15.25322n n - 解析:[]555n n x n n⎡⎤⎢⎥⎣⎦===,则125510155(1)55[]5(121)n n n x x x x x x x x n -+++=+++++=+++-25322n n n -+=.16.5,21(n +1)( n -2) 解析:同一平面内两条直线若不平行则一定相交,故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交,∴ ()f k =(1)f k -+1k -. 由f (3)=2,f (4)=f (3)+3=2+3=5, f (5)=f (4)+4=2+3+4=9, …,()f n =(1)f n -+1n -,相加得()f n =2+3+4+…+(1n -)=21(1n +)(2n -). 三、解答题17. 解:设这三个数分别为,,aa aq q.由题意,得3512,222,a a aq a q ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩解得8,2a q =⎧⎨=⎩或8,1.2a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18.解:(1)由题设2312a a a =+,即221a q =1a +1a q . ∵ 1a ≠0,∴ 221q q --=0,∴ q =1或q =-21. (2)若q =1,则2n S n =+21-)(n n =23+2nn .当n ≥2时,1n n n S b S --==22+1-))((n n >0,故n S >n b .若q =-21,则2n S n =+21-)(n n ⨯ (-21)=49+-2n n .当n ≥2时,1n n n S b S --==4-11-)0)((n n .故对于n ∈N +,当2≤n ≤9时,n S >n b ;当n =10时,n S =n b ;当n ≥11时,n S <n b . 19.证明:∵ 11n n n a S S ++=-,1n a +=nn 2+n S , ∴ (n +2)n S =n (1n S +-n S ), 整理得n 1n S +=2(n +1)n S ,所以1+1+n S n =nSn 2. 故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列. 20.(1) 解:设{}n a 的公差为d ,则116,418.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 24(1)42n a n n =+-=-.(2)证明:当n =1时,11b T =,由11112T b +=,得123b =.当n ≥2时,∵ 112n n T b =-,11112n n T b --=-,,∴ 111()2n n n n T T b b ---=-.∴ 11()2n n n b b b -=-.∴ 113n n b b -=..∴ {}n b 是以23为首项,13为公比的等比数列.21.解:设n 年后该市每年所建中低价房的面积为n a .由题意可知{}n a 是等差数列,其中1a =250,d =50,则2(1)25050252252n n n S n n n -⨯=+=+. 令225225 4 750n n +=,即291900n n +-=,解得n =-19或n =10. 又n 是正整数,∴ n =10.故到2016年底,该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米.22.解:(1)因为1211115222()3333n n n n n n n n n b a a a a a a a b ++++++=-=--=-=,所以数列{}n b 是首项为12123b a a =-=,公比为23的等比数列,所以2()3+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N =nn b n .(2)由123nn n n b a a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,得11111212222()()()213333n n n n n n n n a a a a a a a a -++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-=+++=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因为11a =,所以12323nn a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以123()3+-=-∈N n n n a n .设数列1123n n n --⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,则21222123333n n T n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,①则23222222333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.② ①-②,得2112222221313333333n n n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以122(3)29139333n nn n n n T n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以11213(3)223(123(1)1823n n n n n n S a a na n T n n +-+=+++=++++=++-)-2.。
【优选整合】人教B版高中数学必修五第二章2.1.1数列检测(教师版)

一、选择题1 .下面四个结论:2.1.1数列(检测教师版)①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……,n})上的函数;②数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;③数列的项数是无限的;④数列通项的表示式是唯一的.其中正确的是()A.①②B.①②③C.②③D.①②③④[答案]A[解析]数列的项数可以是有限的也可以是无限的•数列通项的表示式可以不唯一•例如数列1,0 ,—1,0,1,0n n1,0 ...... 的通项可以是a n = sin-^,也可以是a n= cos等等.2 .数列2,0,4,0,6,0 ,…的一个通项公式是()n nA. a n=尹 + ( -1)]B.n+ 1 n+ 1 a n=〒[1 + ( - 1)]n n+ 1C. a n=尹 + ( -1)]n+ 1 nD a n=〒[1 + ( - 1)][答案]B[解析]经验证可知选项B符合要求.3 .已知a,= n(n+ 1),以下四个数中,哪个是数列{a n}中的一项()A. 18B. 21C. 25D. 30[答案]D[解析]依次令n(n+ 1) = 18,21,25 和30检验.有正整数解的便是,知选n—14.已知数列©}的通项公式是a n = n+ 1,那么这个数列是()A. 递增数列B.递减数列C. 常数列D.摆动数列[答案]An—1 2[解析]a =门+ 1 =1 —n+1,随着n的增大而增大.5.数列1,—3,5 , —7,9,…的一个通项公式为( )A. a n= 2n —1B. a n= ( —1)n(1 —2n)C.na n= ( —1)(2n—1)nD. a n= ( —1)(2n+1)[答案]B[解析]当n= 1时,a1= 1排除C D;当n= 2时,a2=—3排除A,故选6 .数列1,3,7,15,…的通项公式a n=( )A. 2nB. 2n+ 1C. 2n— 1D. 2n—1[答案]C[解析]•/a1= 1,排除A, B;又a2= 3,排除D, 故选C.D.B.二、填空题21 * 17•已知数列®}的通项公式an =E N),则预是这个数列的第 ------------- 项[答案] 10[解析] 1 1 1令 an — 120,即门 n + 2=120,解得 n=10或 n=—12(舍去).8•数列—1,88, - 172,224,…的一个通项公式为[答案] & - ( 1)"「卄3 4 5' ) 2n +1[解析] 1 x 3 2X 4 3X 5 4x 6 nn I n + 2 奇数项为负,偶数项为正,调整其各项为一 3 , 5 ,— 7 , 9 ,• a n — (— 1)2n +1三、解答题9 .数列{刘的通项公式是 a n = n — 7n + 6.(1) 这个数列的第4项是多少?(2) 150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3) 该数列从第几项开始各项都是正数? [解析] 2(1)当 n = 4 时,a 4—4 — 4 x 7+ 6=— 6.对任意 n € N+, (n + 1)( n + 2)>n (n +1),于疋 a n + 1 一 a n = -----n + 1 n + 2 n n +11 1• --------------------------- < ---------------n +1 n + 2 n n +110.已知函数f (x ) = ---------- 1—,构造数列a n = f (n )(n € N+),试判断{◎}是递增数列还是递减数列?X X 十13 令a n = 150 ,即卩n 2—7n + 6 = 150,解得n = 16( n =— 9舍),即150是这个数列的第 16项.24 令 a n = n —7n + 6>0,解得 n >6 或 n <1(舍), •••从第7项起各项都是正数.1[解析]/an=n1n + 11n + 1 n +2<0.{a n}是递减数列.4。
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第二章 数 列 同步练测(人教B 版必修5)一、选择题(每小题5分,共50分)1.数列{}n a 是首项1a =1,公差为d =3的等差数列,若n a =2 005,则序号n 等于( ) A .667 B .668 C .669 D .6702.在各项都为正数的等比数列{}n a 中,首项1a =3,前三项和为21,则3a +45a a +=( ) A .33B .72C .84D .1893.如果1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ) A .1a 8a >4a 5aB .1a 8a <4a 5aC .1a +8a <4a +5aD .1a 8a =4a 5a4.设{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,12380a a a =,则111213a a a ++= ( ) A.120 B.105 C.90 D.755.在一条笔直的公路上共插有13面小旗,相邻两面小旗之间距离为10 m ,在第一面小旗处有一个人,把小旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路程最短,应集中到哪一面小旗的位置上( )A.7B.6C.5D.46.等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若31710a a +=,则19S 的值是( ) A.55 B.95 C.100 D.不确定7.已知等差数列{}n a 的公差为2,若1a ,34,a a 成等比数列,则2a =( ) A .-4 B .-6C.-8D .-108.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若35a a =95,则59S S =( ) A .1 B .-1 C .2D .219.已知数列-1,12,a a ,-4成等差数列,-1,123,,b b b ,-4成等比数列,则212b a a -的值是( ) A .21 B .-21C .-21或21 D .4110.在等差数列{}n a 中,n a ≠0,1n a --2n a +1n a +=0(n ≥2),若21n S -=38,则n =( )A .38B .20C .10D .9二、填空题(每小题5分,共30分) 11.设()f x =221+x ,利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法,可求得f (-5)+f (-4)+…+f (0)+…+f (5)+f (6)的值为 . 12.在等比数列{}n a 中:(1)若345a a a ⋅⋅=8,则23456a a a a a ⋅⋅⋅⋅= ; (2)若12a a +=324,34a a +=36,则56a a += ;(3)若n S 为{}n a 的前n 项和,4S =2,8S =6,则17181920+++a a a a = .13.在38和227之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 .14.在等差数列{}n a 中,3(35a a +)+2(71013a a a ++)=24,则此数列前13项之和为 . 15.用[]x 表示不超过x 的最大整数,如[0.78]=0,[3.01]=3,如果定义数列{}n x 的通项公式为n x =5n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()+∈N n ,则125n x x x +++=________. 16.设平面内有n 条直线(n ≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用()f n 表示这n 条直线交点的个数,则f (4)= ;当n >4时,()f n = . 三、解答题(共70分)17.(11分)已知三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数列,求这三个数.19.(12分)数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知1a =1,1n a +=nn 2+n S (n +∈N ). 求证:数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列.20.(12分)已知数列{}n a 是等差数列,25618a a =,=;数列{}n b 的前n 项和是n T ,且n T +12n b =1. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证:数列{}n b 是等比数列.21.(12分)假设某市2007年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4 750万平方米?22.(12分)设1a =1,2a =53,2n a +=53 1n a +-23n a ()+∈N n .(1)令1n n n b a a +=-()+∈N n ,求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n na 的前n 项和n S .第二章数列同步练测(人教B版必修5)答题纸得分:一、选择题二、填空题11. 12. 13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20. 21.22.第二章 数 列 同步练测(人教B 版必修5)答案一、选择题1.C 解析:由题意知2 005=1+3(n -1),∴ n =669.2.C 解析:设等比数列{}n a 的公比为q (q >0), 由题意得1a +23a a +=21,即1a (1+2q q +)=21.又1a =3,∴ 1+2q q +=7.解得q =2或q =-3(不合题意,舍去), ∴ 345a a a ++=a 1q 2(1+2q q +)=3×22×7=84. 3.B 解析:由1a +845a a a =+排除C . 又1a ·8a =1a (1a +7d )=21a +71a d ,∴ 45a a ⋅=(1a 3d +)(1a 4d +)=21a +71a d +122d >1a ·8a .故选B.4.B 解析:{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,即32a =15,则2a =5.又123a a a =80,∴ 13a a =(5)(5)d d -+=16,∴ d =3.∵ 1221035a a d =+=,∴ 111213123105a a a a ++==.5. A 解析:设将小旗集中到第x 面小旗处,则从第一面小旗处到第x 面小旗处共走的路程为10(x -1)m ,然后回到第二面小旗处再到第x 面小旗处的路程为20(x -2)m ,…,从第(x -1)面小旗处到第x 面小旗处来回共20 m ,从第x 面小旗处到第(1)x +面小旗处来回的路程为20 m ,从第x 面小旗处到第(2)x +面小旗处来回的路程为20×2 m ,….总共的路程为10(1)20(2)20(3)20120120220(13)s x x x x ⨯⨯⨯⨯=-+-+-++++++- 10(1)x =-+(2)(1)202x x --⋅+(13)(14)202x x --⋅ =210[(1)(2)(1)(13)(14)]10(229183)x x x x x x x -+--+--=-+229 3 1152044x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=.∵ +∈N x ,∴ 当x =7时,s 有最小值为780 m ,即将小旗集中到第7面小旗处所走的路程最短.6.B 解析:∵ 317119a a a a +=+,∴ 1191919()2a a S +==192×10=95.7.B 解析:∵ {}n a 是等差数列,∴ 31a a =+4,41a a =+6. 又∵ 134,,a a a 成等比数列,∴ (1a +4)2=1a (1a +6),解得1a =-8,∴ 2a =-8+2=-6.8.A 解析:∵ 59S S =22)(95191a a +=3559a a ⋅⋅=59×95=1,∴ 选A .9.A 解析:设d 和q 分别为公差和公比,则-4=-1+3d 且-4=(-1)4q ,∴ d =-1,2q =2,∴212b a a -=2q d -=21. 10.C 解析:∵ {}n a 为等差数列,∴ n a 2=11n n a a -++,∴ 2n a =2n a .又n a ≠0,∴ n a =2,∴ {}n a 为常数数列. 而n a =1212--n S n ,即2n -1=238=19,∴ n =10. 二、填空题11.23 解析:∵ ()f x =221+x ,∴ (1)f x -=2211+-x =x x 2222⋅+=xx22221+⋅, ∴ ()f x +(1)f x -=x 221++x x 22221+⋅=xx222211+⋅+=x x 22)22(21++=22.[来源:] 设S =f (-5)+f (-4)+…+f (0)+…+f (5)+f (6), 则S =f (6)+f (5)+…+f (0)+…+f (-4)+f (-5),∴ 2S =[f (6)+f (-5)]+[f (5)+f (-4)]+…+[f (-5)+f (6)]=62, ∴ S =f (-5)+f (-4)+…+f (0)+…+f (5)+f (6)=32.12.(1)32 (2)4 (3)32 解析:(1)由35a a ⋅=24a ,得4a =2,∴ 23456a a a a a ⋅⋅⋅⋅=54a =32.(2)9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ,,∴ 56a a +=(12a a +)4q =4. (3)2=6+=+++=2=+++=4444821843214q q S S a a a S a a a a S ⇒⎩⎨⎧=⋅⋅⋅,,∴ 17181920a a a a +++=164S q =32.13.216 解析:本题考查等比数列的性质及计算,由于插入三个数后成等比数列,因而中间数必与38,227同号,由等比中项知中间数为22738⨯=6,所以插入的三个数之积为38×227×6=216. 14.26 解析:∵ 35a a +=24a ,713a a +=210a , ∴ 6(410a a +)=24,∴ 410a a +=4, ∴ 13S =2+13131)(a a =2+13104)(a a =2413⨯=26.15.25322n n - 解析:[]555n n x n n⎡⎤⎢⎥⎣⎦===,则1255105[]5(121)n n nx x x x x x x x n -+++=+++++=+++-25322n n n -+=. 16.5,21(n +1)( n -2) 解析:同一平面内两条直线若不平行则一定相交,故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交,∴ ()f k =(1)f k -+1k -. 由f (3)=2,f (4)=f (3)+3=2+3=5, f (5)=f (4)+4=2+3+4=9, …,()f n =(1)f n -+1n -,相加得()f n =2+3+4+…+(1n -)=21(1n +)(2n -). 三、解答题17. 解:设这三个数分别为,,aa aq q.由题意,得3512,222,a a aq a q ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩解得8,2a q =⎧⎨=⎩或8,1.2a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18.解:(1)由题设2312a a a =+,即221a q =1a +1a q .∵ 1a ≠0,∴ 221q q --=0,∴ q =1或q =-21. (2)若q =1,则2n S n =+21-)(n n =23+2nn .当n ≥2时,1n n n S b S --==22+1-))((n n >0,故n S >n b .若q =-21,则2n S n =+21-)(n n ⨯ (-21)=49+-2n n .当n ≥2时,1n n n S b S --==4-11-)0)((n n .故对于n ∈N +,当2≤n ≤9时,n S >n b ;当n =10时,n S =n b ;当n ≥11时,n S <n b .19.证明:∵ 11n n n a S S ++=-,1n a +=nn 2+n S , ∴ (n +2)n S =n (1n S +-n S ), 整理得n 1n S +=2(n +1)n S ,所以1+1+n S n =nSn 2. 故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列. 20.(1) 解:设{}n a 的公差为d ,则116,418.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 24(1)42n a n n =+-=-. (2)证明:当n =1时,11b T =,由11112T b +=,得123b =.当n ≥2时,∵ 112n n T b =-,11112n n T b --=-,, ∴ 111()2n n n n T T b b ---=-.∴ 11()2n n n b b b -=-.∴ 113n n b b -=..∴ {}n b 是以23为首项,13为公比的等比数列.21.解:设n 年后该市每年所建中低价房的面积为n a .由题意可知{}n a 是等差数列,其中1a =250,d =50,则2(1)25050252252n n n S n n n -⨯=+=+. 令225225 4 750n n +=,即291900n n +-=,解得n =-19或n =10. 又n 是正整数,∴ n =10.故到2016年底,该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米.22.解:(1)因为1211115222()3333n n n n n n n n n b a a a a a a a b ++++++=-=--=-=,所以数列{}n b 是首项为12123b a a =-=,公比为23的等比数列,所以2()3+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N =n n b n .(2)由123nn n n b a a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,得11111212222()()()213333n n n n n n n n a a a a a a a a -++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-=+++=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因为11a =,所以12323nn a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以123()3+-=-∈N n n n a n .设数列1123n n n --⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,则21222123333n n T n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,①则23222222333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.② ①-②,得2112222221313333333n nn n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以122(3)29139333n nn n n n T n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以11213(3)223(123(1)1823n n n n n n S a a na n T n n +-+=+++=++++=++-)-2.。