巧用常数变易法解题
常数变易法解方程两例
常数变易法解方程两例
牛保才
【期刊名称】《数学教学通讯：教师阅读》
【年(卷),期】1996(000)002
【摘要】在高等数学中,我们可以用常数变易法求非齐次线性方程的通解。
在初等数学中,将常数看做变数,有时也会收到异曲同工之妙,这种方法既新颖,又简便,值得一试。
例1 解方程x<sup>3</sup>-
5<sup>1/2</sup>x<sup>2</sup>+(5<sup>1/2</sup>-2)x+2
5<sup>1/2</sup>-5=0 解:令5<sup>1/2</sup>=y,将原方程改写为关于y的一元二次方程:
【总页数】1页(P34-34)
【作者】牛保才
【作者单位】长治师范 046000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.解两类非线性微分方程的常数变易法 [J], 汤光宋;
2.关于常数变易法求一阶线性非齐次微分方程通解的两点思考 [J], 汪维刚
3.一个解方程ut+uux=0满足两个守恒律的有限体积格式 [J], 程晓亮
4.浅析解方程中a-x=b类型的教学——以人教版五年级上册《简易方程》解方程例3为例 [J], 余清辉;
5.两步应用题求解方程化训练的尝试 [J], 祝中录
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
常数变易法详细步骤
常数变易法详细步骤
嘿，朋友们！今天咱来唠唠常数变易法的详细步骤。
这玩意儿啊，就像是解开难题的一把神奇钥匙。
咱先说说啥是常数变易法。
简单来讲，就是在面对一些比较棘手的方程或问题时，我们通过巧妙地改变一些常数，来找到解决问题的途径。
就好比走一条陌生的路，得找个特别的标志来指引方向。
那具体咋操作呢？首先得有个基础的方程或表达式吧。
然后呢，咱就大胆地对其中的常数进行一些变动。
这可不是瞎变哦，得有一定的思路和技巧。
就像做菜，调料放对了，味道才好。
比如说，遇到一个微分方程，咱就可以试着把某个常数换成一个未知函数。
这就好像给原本平淡无奇的画面添上一抹鲜艳的色彩，一下子就生动起来了。
然后呢，通过一系列的运算和推导，逐步找到这个未知函数的具体形式。
你想想，这多有意思啊！就像在玩一个解谜游戏，每一步都充满了惊喜和挑战。
而且，这种方法特别灵活，能应对各种不同类型的问题。
再打个比方，常数变易法就像是给一辆汽车换上合适的轮胎，让它能在不同的路况下都跑得稳稳当当。
它不是死板的，而是充满了变化和可能。
在实际运用中，可不能马虎。
得仔细分析问题，找到关键的地方下手。
有时候可能会遇到一些困难，但别怕呀，咱就一步步来，就不信搞不定它！
总之呢，常数变易法是个非常实用的工具，能帮我们解决很多难题。
只要咱认真去学，用心去体会，就一定能掌握它的精髓。
大家加油哦，让我们一起在数学的海洋里畅游，用常数变易法这把钥匙打开更多知识的大门！不用它，那不是太可惜了吗？相信自己，一定能行！。
常数变易法在高中数学中的妙用
H = 1 ,求证:#43;H = 1消元代入化简证明，也
可采用常数变易法. —(% + 0 + z) 0； = % 0< + 0 0= + - 0C得
%(&」&) +0(&—&) +H 0P-0C) =0,
艮卩 % < + y'=； +z~CP =0.
若%=0,则yBP + + & =0,所以；,=,C三点共线，故
{ 二- - + 0 = 1, r = & 1
亠普,即{
时0等号，哙+
壬的最小值为3+2任
羊 或者这样变形—+寻=凹+2("严
--
3+2-b +
例J3 若 ％>0,0>0,h>0,且 % + 0 + h = 1,求函数)=
(T-1)(十一1)(号一1 )的小值.
解 此题的 函数具有对称性，利用常数 法，用
!关键词】"数变易法
常数 法是微分方程中解线性微分方程的方法，就
是将齐次线性微分方程通解中的常数C变换为待定函数
+(%).不仅如此，它在中数学中也有着 的应用，用
量
一个常数,可以巧妙地解
.下
几种题
型加以阐述. 一、在解方程中的应用
例 1 解方程 /% +12% +40 + /% -12% +40 =20.
二、在不等式中的应用
例2
已知两正数-,b满足-+b
=
1,求— 1+2—的最 -
小值. 解 此题方法多,其中比较便捷的方法就是常数变易
常数变易法求解常微分方程
常数变易法求解常微分方程常数变易法是采用求解常微分方程的一种重要方法，被普遍运用于应用数学中。
本文主要就常数变易法求解常微分方程，提出一些观点。
首先，需要明确一点，常数变易法只能用来求解线性微分方程。
线性微分方程即次微分方程为链式型，即满足一阶微分，二阶微分以及高于二阶之外，其中均不存在非线性项。
这一类方程一般被缩写为：$dy/dx+Py=Q$其中$P$ 和$Q$皆为常数，当$P≠0$时，本方程就是一个典型的线性微分方程。
接着，介绍常数变易法的基本思想。
基本思想是把微分方程$$dy/dx+Py=Q$$写成同一个微分方程的齐次方程形式。
齐次方程的解的特点是：将原方程的系数$P$和$Q$分别称为各自齐次方程的非齐次常数，在立解方程时，这两个非齐次常数它们可以看作是被变形了的“常量” 因此，解微分方程就可以把原来问题转换为求解一元一次齐次方程的问题，通过相应的简单数学方法求解，由此，把原来的复杂的微分方程变成了解决较为容易的一元一次齐次方程，因此，求解常微分方程就可以用常数变易法来解决。
最后，围绕常数变易法求解常微分方程，介绍具体求解步骤。
常数变易法求解常微分方程的步骤如下：（1）将原方程化为齐次方程。
（2）把非齐次常数纳入一般解，把两个非齐次常数作为一对参数。
（3）分别代入上述两个参数及所知条件来求得特解。
（4）求全解的思路，即将特解与一般解相加，把它们看成一个解而言。
（5）根据情况简化表达式或者进一步扩大解空间。
本文详细介绍了关于常数变易法求解常微分方程的思想和方法，也介绍了求解步骤。
它能帮助我们准确快速地求解常微分方程，从而达到更有效的结果。
随着计算机技术的进步，微分方程求解及计算的方法也会不断发展，提供更多的求解方法，从而解决困扰我们的难题。
常数变易法
常数变易法
常数变易法是求解复杂问题中经常采用的一种方法，它既可以帮助我们求解复杂问题，又可以帮助我们节省时间，提高效率。
但是，要想有效地使用常数变易法，我们需要对它有全面的认识和理解，并能够熟练掌握运用它的相关技巧。
首先，我们来了解它的定义，常数变易法就是从现有的函数中求解函数变形的方法，它的关键就是利用函数的变易性，将原始的函数变形为一个简单的函数，让求解问题更加容易。
例如，如果我们要求解一个立方函数，我们可以利用常数变易法，将其变形为一个平方函数，这样就可以用更简单的方式来求解。
其次，在掌握常数变易法的时候，我们需要学习它的基本原理，主要是利用二次函数的“常数变易”原理，即一次函数可以表示为一次函数与常数相乘的形式。
换句话说，利用“常数变易”原理，我们可以将复杂的函数变形为更为简单的函数，从而求解复杂的函数。
此外，为了有效地运用常数变易法，我们还需要掌握一些算法，才能够更加高效地求解复杂函数。
比如，我们可以用分治算法来求解复杂的函数，而且分治算法可以从另一个角度来分析函数，从而使函数的求解更加容易。
总的来说，常数变易法是一种解决复杂问题的高效方法，它可以帮助我们通过变易函数的方式节省时间，提高效率。
但是，如果要有效地使用常数变易法，我们还需要学习它的基本原理、熟练掌握它的算法，这样才能够有效地求解复杂的函数。
微分方程常数变易法
微分方程常数变易法是指在求解微分方程时，通过将一些常数变量视为未知函数来解决常数条件不确定的问题。
这种方法主要用于解决常见的微分方程，如欧拉方程、拉普拉斯方程、伯努利方程等。
下面是一个例子，设$y(x)$ 是方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = g(x)$ 的解，其中$p(x)$ 和$g(x)$ 是已知的函数。
假设有一个常数$c$，使得$y(x_0) = c$ 对所有$x_0$ 都成立。
设$y_1(x)$ 为方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = g(x)$ 的另一解，则$y_1(x)$ 与$y(x)$ 的差值$y(x) - y_1(x)$ 是方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$ 的解。
因此，可以设$y(x) - y_1(x) = k$，其中$k$ 是一个常数，令$k = c$，得到$y_1(x_0) = y(x_0) - k = y(x_0) - c$。
由此，可以得到方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = g(x)$ 的通解为$y(x) = y_1(x) + c$，其中$y_1(x)$ 是方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = g(x)$ 的任意一解，$c$ 是任意常数。
综上，微分方程常数变易法的过程如下：解决方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$，求出它的通解设$y_1(x)$ 是方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = g(x)$ 的任意一解设$y(x) - y_1(x) = k$，其中$k$ 是一个常数令$k = c$，得到$y_1(x_0) = y(x_0) - c$，其中$x_0$ 为任意常数由此，可以得到方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = g(x)$ 的通解为$y(x) = y_1(x) + c$注意，在使用常数变易法求解微分方程时，需要满足以下条件：常数变易法适用于有常数条件的微分方程在使用常数变易法时，需要先求出方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$ 的通解例如，解决方程$\frac{dy}{dx} + y = x^2$，且满足条件$y(0) = 0$ 的方法如下：首先，求出方程$\frac{dy}{dx} + y = 0$ 的通解，可以得到$y = c_1e^{-x}$设$y_1(x)$ 是方程$\frac{dy}{dx} + y = x^2$ 的任意一解，则$y_1(x) = x^2 + c_1e^{-x}$ 设$y(x) - y_1(x) = k$，其中$k$ 是一个常数令$k = 0$，得到$y_1(0) = y(0)$，即$y_1(0) = 0$由此，可以得到方程$\frac{dy}{dx} + y = x^2$，且满足条件$y(0) = 0$ 的通解为$y(x) = x^2$。
常数变易公式例子(一)
常数变易公式例子(一)常数变易公式常数变易公式是数学中常用的一种方法，通过适当引入一个常数，可以使复杂的计算问题变得简单。
在很多应用中，常数变易公式都有非常重要的作用。
本文将通过列举一些例子，并详细解释常数变易公式的作用和原理。
例子一：求和公式假设我们要计算1加到100的和，即求1+2+3+...+100。
由于数字较多，一一相加的方法显然不够高效。
这时，我们可以运用常数变易公式来简化问题。
首先，我们定义一个常数C，并将1+100写成(1+C)+(100−C)的形式。
这样，我们可以得到(1+C)+(100−C)=101。
接下来，我们将(2+C)+(99−C)写成(2+C)+(99−C)=101，以此类推。
最终，我们得到了1+2+3+...+100=50∗101=5050。
通过引入常数C，我们将复杂的计算问题简化为了一个简单的公式。
例子二：平均数公式假设有一组数1,2,3,...,10，我们要求这组数的平均值。
同样地，我们可以运用常数变易公式来简化问题。
首先，我们定义一个常数C，并将这组数写成[(1+C)+(10−C)]/2的形式。
这样，我们可以得到[(1+C)+(10−C)]/2=11/2=。
通过引入常数C，我们将求平均值的计算变得更加简单了。
例子三：代数公式常数变易公式在代数中也经常被使用。
例如，要求(x+2)(x+3)的值，我们可以使用常数变易公式来辅助计算。
首先，我们定义一个常数C，并将(x+2)(x+3)写成(x+C+2−C)(x+C+3−C)的形式。
这样，我们可以得到(x+C+2−C)(x+C+3−C)=x2+5x+6−C2。
通过引入常数C，我们将复杂的运算转化为了一个简单的公式。
例子四：几何公式常数变易公式在几何中也有应用。
例如，要求一个矩形的面积，我们可以使用常数变易公式来简化计算。
假设矩形的长为L，宽为W，我们可以定义一个常数C，并将面积LW写成(L+C)(W−C)的形式。
这样，我们可以得到(L+C)(W−C)=LW−C2。
常数变易公式例子
常数变易公式例子常数变易公式简介常数变易公式是数学中的一个重要概念，用于描述在一定条件下常数的变化规律。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将通过列举一些例子，并详细讲解这些例子，来介绍常数变易公式的应用。
例子1：速度与位移的关系当一个物体在直线运动中，速度的大小是常数，但是方向可以变化。
根据常数变易公式，可以得出速度与位移之间的关系式为：位移 = 速度 × 时间例如，一个物体以10 m/s的速度向前运动了5秒，则它的位移为50米。
例子2：密度与体积的关系在物理学中，密度是物质单位体积的质量。
假设一个物质的密度是常数，则密度与体积之间的关系可以用常数变易公式表示为：质量 = 密度 × 体积例如，一个物体的密度为2g/cm³，体积为10cm³，则它的质量为20克。
例子3：光速与频率的关系在光学中，光速是光在真空中传播的速度，约为3×10^8米/秒。
根据常数变易公式，光速与频率之间的关系可以表示为：波长 = 光速 / 频率例如，当光速为3×108米/秒，频率为5×1014赫兹时，对应的波长为600纳米。
例子4：力与加速度的关系在牛顿力学中，力可以通过牛顿第二定律与加速度之间的关系来描述。
根据常数变易公式，力与加速度之间的关系可以表示为：力 = 质量 × 加速度例如，一个质量为2千克的物体受到的力为10牛顿，则它的加速度为5米/秒²。
总结本文中我们通过列举了四个例子来说明常数变易公式的应用。
从速度与位移、密度与体积、光速与频率、力与加速度这四个例子中，我们可以看到在不同的领域中，常数变易公式都有着重要的作用。
它能够帮助我们理解和描述事物之间的关系，同时也为实际问题的解决提供了数学上的支持。
通过学习和应用常数变易公式，我们可以更好地理解和分析各种现象，为科学研究和工程应用提供有力的工具。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2k
6k +
1
=
-
1. 所以 k = 1 或 k =
1 3
,
所以所求的直线
方程为: y = x + 2 或 y =
1 3
x
+
2.
巧用常数变易法解题
王 辉 (陕西省咸阳市南郊高级中学 712046) 李政谦 (陕西省三原县南郊高级中学 713800)
在求解某些题目的过程中, 善于在几种 知识的交融点处去联想、发散, 并合理地用变 量 去代换常数或分解常数, 使其变成具有实 际 模型意义的常用曲线方程或区域关系, 并 利用其性质来解题, 往往使问题简单化、明了 化, 下面列举几个常见类型加以阐述. 1 在方程中的应用
8y - 6x + 50 + 8y + 6x + 50 的最大值. 分析 仔细观察已知式中的“25”与函
数 式中根号内的“50”的关系, 启发我们将 “50”变换为“25 + 25”, 将其中的一个“25” 用“x 2 + y 2”代替, 就可以得到如下的解法.
解 变换原函数得 t =
8y + 6x + 50 + 8y - 6x + 50
+ (x - 3) 2 + 2 = 10, 将方程中的常数“2”看作变量, 即令 2 =
y 2, 则 (x + 3) 2 + y 2 + (x - 3) 2 + y 2
= 10.
由 椭圆的定义可知, 这个方程表示以
F 1 (- 3, 0) , F 2 (3, 0) 为焦点, 长轴长为 10 的
椭圆,
+
c=
1, 求证: a2 +
b2 +
c2 ≥
1 3
.
证明 利用常数变换的方法并由基本
不等式得:
a2 +
1 3
2
≥
2 3
a,
b2
+
1 3
2
≥
2 3
b,
c2
+
1 3
2
≥
2 3
c.
∴a2 +
b2 +
c2
≥
2 3
(a +
b+
c)
-
1 3
=
13 .
即 a2 +
b2 +
c2 ≥
1 3
(仅当 a
=
b=
c
时取等号).
=
x 2 + y 2 + 8y + 6x + 25 +
x 2 + y 2 + 8y - 6x + 25
=
(x + 3) 2 + (y + 4) 2
+
(x - 3) 2 + (y + 4) 2. 上式表示圆 x 2 + y 2 = 25 上的动点 P (x ,
y ) 到此圆上的定点 A (- 3, - 4) 及 B (3, - 4) 的距离之和. 求 t 的最大值, 转化为求 △A PB 的周长的最大值. 易知当 △A PB 为 等腰三角形时, 其周长最大, 这时 P 点的坐标 为 (0, 5) , 即 x = 0, y = 5 时, tmax = 6 10.
4 在三角中的应用
例 6 设 9co s A + 3sin B + tan C = 0,
(1)
sin2B - 4co s A tan C = 0,
(2)
求证: co s A ≤ 16. 证明 在 (1) 式中, 视“3”为变量 x , 则 (1) 式化为
x 2co s A + x sin B + tan C = 0, (3)
若 co s A = 0, 则不等式 co s A
≤1成 6
立;
若 co s A ≠ 0, 则由 (2) 知 (3) 式 (关于 x
的二次方程) 的判别式为 0,
∴ 关于 x 的方程 x 2co s A + x sin B +
tan C = 0 有两个等根 x 1 = x 2 = 3.
∴x 1x 2 =
4. 将上述两方程均化为关于 x - 1, y - 2 的
方程, 得到
y - 2 = k (x - 1) + k,
(1)
4 (x - 1) 2 - 8 (x - 1) - (y - 2) 2 - 2 (y
- 2) = 1.
(2)
由 (1) 得 (y -
2) - k (x k
1) = 1,
由 (2) 得 4 (x - 1) 2 - 8 (x - 1) 1 - (y
例 1 解方程 - x 4 + x 2 - 8x + 16 = 0 (x ∈ R).
解 视“4”为变量 t, 则原方程化为关于 t 的二次方程 t2 - 2x t - (x 4 - x 2) = 0. 根据 求根公式得: t = x ± x 2. 又 ∵ 方程 4 = x +
x 2 的两实根为 x 1, 2 = -
- 2) 2 - 2 (y - 2) 1 = 12. 所 以 4 (x - 1) 2 - 8 (x - 1)
(y -
2) - k (x k
1) -
(y -
2) 2 -
2 (y -
2)
(y - 2) - k (x - 1) k
=
[ (y -
2) - k (x k2
1)
]
2
.
整理, 得
(k2 +
2k +
1)
(y x
-
21) 2 -
(2k 2 -
6k )
yx-
2 1
-
11k 2 = 0.
根 据 韦 达 定 理,
得y 1
x1
-
2 1
+
y2 x2 -
2 1
=
2k 2 k 2 + 2k
6k +
1.
又因为 k PA
+
k PB = -
1, 所以
y1 x1 -
2 1
+
y2 x2 -
2 1
=
-
1,
即
k
2k 2+
2
1± 2
17 , 而方程 4
= x - x 2 无实根, ∴ 原方程的实根为 x 1, 2 =
- 1± 2
17.
例 2 解方程 3x - 4 -
3x - 8 =
2.
分析 去绝对值分类求上述方程的解, 过程较繁, 若根据题目特征另辟蹊径, 构造双 曲线方程, 将会收到事半功倍之效.
解 原方程变形为
x-
4 3
-
x-
8 3
=
2 3
,
x-
4 3
2
+
y2 -
x-
8 3
2
+
y2
=
2 3
(其中 y 2
=
0).
由 双 曲 线 定 义 得: 两 焦 点
4 3
,
0
,
8 3
,
0
之间的距离为 4 3
>
2 3
,
于是方程表示
的双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距的长分别
为a =
1 3
,
b
=
3 3
,
c
=学月刊 2004 年第 4 期
结 构特征,
可联想关于y
x
-
2 的二次方程的 1
两 根之和. 于是可朝构造齐次方程模型的方
向求解.
设直线 l 的方程为 y = k x + 2 (k ≠ 0) ,
双曲线方程变形为 4 (x - 2) 2 - (y - 1) 2 =
其方程为x 2 25
+
y2 16
=
1, 再将 y 2 =
2代
入后, 求得原方程的解为 x
=
±
5 4
14.
2 在解不等式中的应用
例 4 解 不 等 式 x 2 + 4x + 8 +
x 2 - 4x + 8 ≤ 6.
解 原不等式可化为 (x - 2) 2 + 22
+ (x + 2) 2 + 22 ≤ 6, 化静为动, 令 y 2 = 22, 得到一个平面区
所
以双曲线为 (x
1
2) 2
-
y2 1
=
1. 令 y =
0, 解
9
3
2004 年第 4 期 中学数学月刊 · 35 ·
得x =
5 3
或
7 3
.
例 3 解 方 程
x 2 + 6x + 11 +
x 2 - 6x + 11 = 10.
解 将原方程变形为 (x + 3) 2 + 2
tan co s
C A
=
9, 即 tan C =
9co s A .
把 tan C = 9co s A 代入 (2) , 得 36co s2A
= sin2B .
又 ∵sin2B ≤ 1, ∴36co s2A ≤ 1, ∴
co s A
≤
1 6
.
5 函数与解析几何的联合应用
例 7 已知 x 2 + y 2 = 25, 求函数 t =
域 (x - 2) 2 + y 2 + (x + 2) 2 + y 2 ≤