常数变易法
常数变易法课程设计
常数变易法课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握常数变易法的基本概念，理解其在数学问题解决中的应用。
2. 学会运用常数变易法解决实际问题，提高数学运算和解决问题的能力。
3. 了解常数变易法在不同数学领域中的应用，培养数学思维。
技能目标：1. 能够运用常数变易法分析和解决初中阶段数学问题，提高解决问题的策略和方法。
2. 培养学生观察、分析、归纳问题的能力，提高数学逻辑思维和推理能力。
3. 学会与他人合作探讨数学问题，提高团队协作和沟通能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学的兴趣和热情，激发学习积极性。
2. 培养学生面对困难时勇于挑战、持之以恒的精神，增强自信心。
3. 培养学生尊重他人观点，学会倾听和接纳，形成良好的学习氛围。
课程性质：本课程为初中数学选修课程，以常数变易法为核心，结合实际数学问题，提高学生解决问题的能力。
学生特点：初中学生具有一定的数学基础和逻辑思维能力，对新鲜事物充满好奇心，但需加强对数学问题解决策略的引导。
教学要求：注重理论与实践相结合，以学生为主体，教师引导和启发学生思考，关注学生个体差异，提高教学效果。
通过本课程的学习，使学生在知识、技能和情感态度价值观等方面得到全面提升。
二、教学内容本课程以常数变易法为核心，结合人教版初中数学教材，组织以下教学内容：1. 常数变易法基本概念：介绍常数变易法的定义、原理和应用场景，使学生了解其在数学问题解决中的重要性。
2. 常数变易法的运算规则：详细讲解常数变易法的运算规则，包括代入、消元、化简等步骤，并通过实例进行分析。
3. 常数变易法在实际问题中的应用：选取典型例题，如方程求解、不等式证明、函数最值等问题，展示常数变易法的解题过程。
4. 常数变易法的拓展与应用：介绍常数变易法在其他数学领域（如几何、概率等）的应用，拓展学生知识面。
教学内容安排和进度：第一课时：常数变易法基本概念及运算规则。
第二课时：常数变易法在方程求解中的应用。
常数变易法详细步骤
常数变易法详细步骤
嘿，朋友们！今天咱来唠唠常数变易法的详细步骤。
这玩意儿啊，就像是解开难题的一把神奇钥匙。
咱先说说啥是常数变易法。
简单来讲，就是在面对一些比较棘手的方程或问题时，我们通过巧妙地改变一些常数，来找到解决问题的途径。
就好比走一条陌生的路，得找个特别的标志来指引方向。
那具体咋操作呢？首先得有个基础的方程或表达式吧。
然后呢，咱就大胆地对其中的常数进行一些变动。
这可不是瞎变哦，得有一定的思路和技巧。
就像做菜，调料放对了，味道才好。
比如说，遇到一个微分方程，咱就可以试着把某个常数换成一个未知函数。
这就好像给原本平淡无奇的画面添上一抹鲜艳的色彩，一下子就生动起来了。
然后呢，通过一系列的运算和推导，逐步找到这个未知函数的具体形式。
你想想，这多有意思啊！就像在玩一个解谜游戏，每一步都充满了惊喜和挑战。
而且，这种方法特别灵活，能应对各种不同类型的问题。
再打个比方，常数变易法就像是给一辆汽车换上合适的轮胎，让它能在不同的路况下都跑得稳稳当当。
它不是死板的，而是充满了变化和可能。
在实际运用中，可不能马虎。
得仔细分析问题，找到关键的地方下手。
有时候可能会遇到一些困难，但别怕呀，咱就一步步来，就不信搞不定它！
总之呢，常数变易法是个非常实用的工具，能帮我们解决很多难题。
只要咱认真去学，用心去体会，就一定能掌握它的精髓。
大家加油哦，让我们一起在数学的海洋里畅游，用常数变易法这把钥匙打开更多知识的大门！不用它，那不是太可惜了吗？相信自己，一定能行！。
常数变易法
常数变易法常数变易法是微积分的一种基本方法，它可以用来求解一类形如$y^{(n)}=f(x)$ 的高阶常微分方程。
常数变易法的核心思想是假设解为$y=y(x,c_1,c_2,\\cdots,c_n)$，其中 $c_1,c_2,\\cdots,c_n$ 是常数，然后将常数 $c_1,c_2,\\cdots,c_n$ 视为未知函数 $c_1(x),c_2(x),\\cdots,c_n(x)$ 的值，通过求解这些函数，得到实际的解。
下面以二阶常微分方程为例，介绍常数变易法的具体步骤：首先设二阶常微分方程为 $y''=f(x)$，假设解为 $y=y(x,c_1,c_2)$，其中$c_1,c_2$ 是常数。
将解代入方程，得到：$$\\begin{aligned}y''(x,c_1,c_2)&=f(x)\\\\\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x^2}&=f(x)\\\\\\end{aligned}$$接下来将常数 $c_1,c_2$ 视为未知函数 $c_1(x),c_2(x)$ 的值，因此有$y=y(x,c_1(x),c_2(x))$。
将 $y$ 对 $x$ 求一阶和二阶导数，得到：\\begin{aligned}y' &= \\frac{\\partial y}{\\partial x}+\\frac{\\partial y}{\\partial c_1}\\frac{\\partial c_1}{\\partial x}+\\frac{\\partial y}{\\partial c_2}\\frac{\\partial c_2}{\\partial x}\\\\y'' &= \\frac{\\partial^2 y}{\\partial x^2}+2\\frac{\\partial^2y}{\\partial x \\partial c_1} \\frac{\\partial c_1}{\\partialx}+2\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x \\partial c_2} \\frac{\\partialc_2}{\\partial x}+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_1^2} (\\frac{\\partialc_1}{\\partial x})^2+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_2^2} (\\frac{\\partial c_2}{\\partial x})^2+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_1 \\partial c_2}\\frac{\\partial c_1}{\\partial x}\\frac{\\partial c_2}{\\partial x}\\\\ \\end{aligned}$$然后将上述导数代入原方程中，得到：$$\\begin{aligned}&\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x^2}+2\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x \\partial c_1} \\frac{\\partial c_1}{\\partial x}+2\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x \\partial c_2} \\frac{\\partial c_2}{\\partial x}+\\frac{\\partial^2y}{\\partial c_1^2} (\\frac{\\partial c_1}{\\partial x})^2+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_2^2} (\\frac{\\partial c_2}{\\partial x})^2+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_1 \\partial c_2} \\frac{\\partial c_1}{\\partial x}\\frac{\\partial c_2}{\\partial x} = f(x)\\\\\\end{aligned}$$接下来，需要求解未知函数 $c_1(x),c_2(x)$，使得上述方程成立。
常数变易法
常数变易法常数变易法是一种常用的数学运算方法，它也可以看作是一种不定积分的求解方法。
它是一种可以用来求解不定积分的简洁且有效的方法。
常数变易法的基本原理是：当一个定积分内部的常数发生变化时，其结果也可以通过加减法运算得到。
因此，根据这种原理，我们可以将一个复杂的定积分转换为一个更简单的不定积分，从而求得更简洁的解决方案。
常数变易法的具体步骤如下：1.定原始积分，将它写成不定积分的形式。
2.变量dt视为一个常数。
3.解不定积分，计算出每一步的结果。
4.每一步的结果加起来，得到原始积分的结果。
5.积分的结果就是常数变易法求解结果。
以上说明了常数变易法的原理，下面我们将通过一个具体实例来进一步说明该方法。
假设我们要求解以下定积分：$$ int_{0}^{pi/2} sin xcos x dx $$我们可以先将上述积分表达式写成不定积分的形式：$$ int sin xcos x dx = frac{sin xcos x}{2} + C $$ 接下来，将每一个常量变化得到一个新的表达式：$$ int sin xcos x dx = frac{sin (x+dt)cos (x+dt) - sin xcos x}{2dt} + C $$将上述表达式再求导得到：$$ int sin xcos x dx = frac{sin (x+dt) + sin x}{2dt}cos (x+dt) - frac{cos (x+dt) + cos x}{2dt}sin (x+dt) + C $$将积分上下限代入上述表达式，求出最终结果：$$ int_{0}^{pi/2} sin xcos x dx = frac{sin (frac{pi}{2} +dt) + sin 0}{2dt}cos frac{pi}{2} - frac{cos (frac{pi}{2} +dt) + cos 0}{2dt}sin frac{pi}{2} + C = frac{1}{dt} + C $$因此，将上述结果代入原始不定积分表达式，求出定积分的结果，即：$$ int_{0}^{pi/2} sin xcos x dx = frac{sin xcos x}{2} + frac{1}{dt} + C $$由此可知，使用常数变易法求解定积分的结果是：$$ int_{0}^{pi/2} sin xcos x dx = frac{sin xcos x}{2} + frac{1}{dt} + C $$通过以上实例，我们可以很直观地感受到常数变易法的优势。
2.2常数变易法
一阶线性微分方程
a(x) dy dx
在 a ( x ) 0的区间上可写成
b(x) y c(x) 0
dy
这里假设
P (x) y Q (x)
(1 )
x 的连续函数
dx P ( x ), Q ( x ) 在考虑的区间上是 dy dx
若 Q ( x ) 0 , 则 (1) 变为
~
y ( ln y c ),
2
c 为任意常数
。
例3 求值问题
dy dx 3 x y 4 x 1,
2
Байду номын сангаас
y (1) 1
的解. 解: 先求原方程的通解
y e
p ( x ) dx
( Q ( x )e
2
p ( x ) dx
~
dx c )
~
e
x
3
3
dx
( ( 4 x 1) e
(1 )
( 将常数 c 变为 x 的待定函数
c ( x ), 使它为 (1)的解 )
令 y c ( x )e
p ( x ) dx
为 (1)的解 , 则
dy
dc ( x ) p ( x )dx p ( x )dx e c ( x ) p ( x )e dx dx
dc ( x ) dx Q ( x )e
z x
2
解以上线性方程得
z e x
2
1
dx
( x e
2
x dx
1
dx c ) cx
为:
1 2
x y
常微分方程线性微分方程与常数变易法-
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x y dy y
它是以x为未知函数 , y为自变量的线性方程 ，
故其通解为
x e p( y)dy (
Q(
y
)e
p
(
y
) dy
dy
~
c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
~
c)
~
y2 ( ln y c), c为任意常数 。
g
m k
d
(e
k m
t
)
C
k
em
t
(
g
m
e
k m
t
k
C)
m
g
Ce
k m
t
k
由v 0得 t 0
c mg k
因此所求速度与时间的函数关系为
v
mg (1
kt
em
)
k
例1 求方程
(x 1) dy ny ex (x 1)n1 dx
通解,这里为n常数 解: 将方程改写为
dy n y ex (x 1)n dx x 1
解 设速度与时间的函数关系为： v v(t) ,
则依题有v t0 0 , 由牛顿第二定律知：
mg kv ma mv v(0) 0
即 v k v g 其中 P(t) k , Q(t) g
m
m
则通解为
v
e
k dt
m
g
e
k m
dt
dt
C
e
k m
常数变易法
解得 v1 1, v2 x ex , 积分得 v1 C1 x, v2 C2 (x 1)ex
故所求通解为 y C1x C2 ex (x2 x 1)
C1x C2 ex (x2 1)
例6. 求方程 x2 y (x 2) (x y y) x4的通解.
解: 对应齐次方程为 x2 y (x 2) (x y y) 0
将以上结果代入方程 ③ :
y1v1 y2 v2 ( y1 P y1 Q y1)v1
⑤
y1, y2 是对应
齐次方程的解
( y2 P y2 Q y2 )v2 f (x)
得
y1v1 y2 v2 f (x)
⑥
因 y1, y2 线性无关, 故⑤, ⑥的系数行列式
W
y1 y1
y2 y2
0
P10
一个条件, 方程⑤的引入是为了简化计算.
方程3
情形2. 仅知③的齐次方程的一个非零特解 y1(x). 令 y u(x) y1(x), 代入 ③ 化简得
y1 u (2y1 P y1)u ( y1 P y1 Q y1)u f
令 z u
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y1 z (2 y1 P y1) z f (一阶线性方程)
由观察可知它有特解: y1 x, 令 y x u(x), 代入非齐次方程后化简得
u u x
解上述可降阶微分方程,可得通解:
u C1 C2 ex (12 x2 x)
故原方程通解为
y
x
u
C1x
C2 x
ex
(
1 2
x3
x2
)
设其通解为 z C2Z (x) z(x)
积分得
u C1 C2U (x) u(x)
微分方程的解法与常数变易法
微分方程的解法与常数变易法微分方程是数学中常见的一类方程，描述了函数与其导数之间的关系。
解微分方程是研究微分方程的重要问题之一。
常数变易法是解非齐次线性微分方程的一种常用方法。
本文将介绍微分方程的解法以及常数变易法的基本原理和应用。
一、微分方程的解法微分方程按照阶数可以分为一阶微分方程和高阶微分方程。
一阶微分方程是指方程中最高阶的导数为一阶导数的微分方程，高阶微分方程则是指方程中最高阶的导数大于一阶的微分方程。
解微分方程的一般步骤如下：1. 将微分方程转化为标准形式，确保方程的最高阶导数系数为1。
2. 求解齐次微分方程。
齐次微分方程是指方程中非零项的系数为0的微分方程。
通过假设解的形式为指数函数的乘积，并代入微分方程，得到解的通解表达式。
3. 求解非齐次微分方程。
非齐次微分方程是指方程中至少存在一个非零项的系数不为0的微分方程。
通过常数变易法，可求得非齐次微分方程的一个特解，并利用齐次微分方程的通解和特解得到非齐次微分方程的通解。
4. 利用初始条件确定常数。
通过已知的初值条件，将常数确定为具体的数值，得到微分方程的具体解。
二、常数变易法常数变易法是解非齐次线性微分方程的一种常用方法，基本原理是假设非齐次微分方程的解和齐次微分方程的解具有相同的形式，通过适当选择常数的变化方式，使得原非齐次微分方程的解满足初值条件。
常数变易法的一般步骤如下：1. 求解齐次微分方程。
齐次微分方程的解可以通过假设解的形式为指数函数的乘积，并代入齐次微分方程得到。
2. 选择常数的变化方式。
将非齐次微分方程的解中的常数看作变量，并逐步调整常数的值，使得解满足非齐次微分方程。
3. 确定常数的值。
通过已知的初值条件，将常数确定为具体的数值，得到非齐次微分方程的解。
常数变易法可以应用于一阶和高阶的非齐次线性微分方程，是解非齐次微分方程的重要方法。
三、常数变易法的应用举例以下是一个应用常数变易法解非齐次线性微分方程的例子：例：求解微分方程 y'' - y' - 2y = e^x步骤1：求解齐次微分方程 y'' - y' - 2y = 0假设解的形式为 y = e^rx，代入齐次微分方程，得到特征方程 r^2 - r - 2 = 0，解得 r1 = 2，r2 = -1。
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常数变易法的解释
注：本方法是对崔士襄教授写的《“常数变易法”来历的探讨》论文的解释。
思路并非本人原创。
特此注明。
背景详见本人前一篇博文。
我们来看下面的式子：
y’＋
P(x).y ＝Q(x) (1)
对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分）。
所以我们的思维就集中在如何将（1）式的x和y分离上来。
起初的一些尝试和启示
先直接分离看一下：
dy/dx＋
P(x)·y ＝Q(x)
＝> dy ＝( Q(x)－P(x).y ).dx (2)
从中看出y不可能单独除到左边来，所以是分不了的。
这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设y/x ＝u ＝> y ＝u·x . 将y ＝u·x代入(1)式:
u’·x＋u＋
P(x)·u·x ＝Q(x)
＝> u’·x＋u·(1＋
P(x)·x) ＝Q(x)
＝> du/dx·x ＝Q(x)－u(1＋P(x)·x)
＝> du ＝[Q(x)－u.(1＋P(x).x)].(1/x).dx (3)
这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。
不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。
因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。
比如说，对于（3）式，如果x＝－1/P(x)，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果P(x)＝0，那么那一项也消失了。
当然这些假设都是不可能的，因为x和P(x)
等于几是你无法干预的。
不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。
Ok，好戏开场了。
进一步：变量代换法
筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。
但结果会让你跌破眼镜。
y＝u·v就是这么符合要求的一个函数。
其中u和v都是关于x的函数。
这样求y对应于x的函数关系就转变成分别求u对应于x的函数关系和v对应于x的函数关系的问题。
你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是脑残的表现——非也，u和v都非常有用，看到下面就知道了。
让我们看看讲代换y＝u·v代入（1）式会出现什么：
u’.v＋u.(v’＋P(x) .v) ＝Q(x) (4)
如果现在利用分离变量法来求u对应于x的函数关系，那么u·(v’＋P(x) ·v)就是我们刚刚遇到的没法把u单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。
怎么变？这是v的用处就有了。
令v’＋P(x) ·v＝0，解出v对应x的函数关系，这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题，可以将其解出来。
dv/dx＋
P(x) ·v ＝0
＝> v ＝C1·e^(-∫
P(x)dx) (5)
现在v解出来了，接下来该处理u了，实际上当v解出来后u就十分好处理了。
把（5）式代入（4）式，则u·(v’＋P(x)·v)这一项便被消掉了。
剩下的是
u’·C1·e^(-∫P(x)dx) ＝Q(x)
而这也是一个可以分离变量的微分方程。
同样可以十分容易地解出来：
du/dx ·C1·e^(-∫P(x)dx)＝Q(x)
＝> du ＝1/C1·e^(∫
P(x)dx)·Q(x)·dx
＝> u ＝1/C1·∫e^(∫
P(x)dx).Q(x).dx＋C2 (6)
现在u和v都已求出，那么y＝u·v也迎刃而解：
y ＝u·v
＝[1/C1·∫e^(∫P(x)dx)·Q(x)·dx ＋C2]·[C1·e^(-∫P(x)dx)]
＝[∫e^(∫P(x)dx)·Q(x)·dx＋C ]·e^(-∫P(x)dx) ………(7)(这里C ＝C1·C2)
这个方法看上去增加了复杂度，实际上却把一个不能直接分离变量的微分方程化成了两个可以直接分离变量的微分方程。
这个方法不是没有名字的，它叫“变量代换法”（挺大众的一名字），即用u·v代换了y。
这时在你脑中不得不油然生出这么一种感觉：想了十一年想出来的法子，还真不是盖的。
再进一步：常数变易法
再进一步观察我们可以看出，求v的微分方程（即v’＋P(x)·v＝0）其实就是求
y’＋P(x)·y＝Q(x)当Q(x)＝0时的齐次方程。
所以，我们可以直接先把非齐次方程当作齐次方程来解。
即解出y’＋P(x)·y ＝0 的解来。
得：
y ＝C.e^(-∫P(x)dx) (8)
注意这里的C·e^(-∫P(x)dx)并非最终答案，从上一环节我们知道这其实是v而已。
而最终答案是u·v ，v仅是其中一部分。
因此这里的C·e^(-∫P(x)dx)并不是我们要的y，因此还要继续。
把（8）式和上面提到的（7）式比较一下：
y ＝u.e^(-∫P(x)dx) (7)
y ＝C.e^(-∫P(x)dx) (8)
（7）式是最终的结论，（8）式是目前我们可以到达的地方。
那我们偷下懒好了：把（8）式的那个C换成u，再把这个u解出来，不就ok了么。
所谓的“常数变易法”就是这么来的，即把常数C硬生生地变成了u。
接下来的事情就简单多了，和前面是一个思路，把代换y＝u·e^(-∫P(x)dx)代入（1）式，由于e^(-∫P(x)dx)是一个可以令那个分离不出变量的项被消掉的特解，因此即可知一定会解得u’·e^(-∫P(x)dx)＝Q(x)。
从中解出u，再带回y＝u·e^(-∫P(x)dx)便可得到最终答案。
个人觉得这个方法在思路上并无多大突破，只是利用“变量代换法”现成的结论倒推回去，“抄了一条近路”，但这么一抄不要紧，不解释清楚的话还真不知道这条路到底从哪冒出来的。
所以就会引起我们“较劲”的冲动：为什么非齐次要当齐次来解，道理何在？为什么C就可以换成u，道理何在？……这么想想的话教科书（同济5版）也真TM不厚道，你不解释清楚就算了，好歹说两句交代背景的话啊。
Ps：1.常数变易法在这里并没有显出比变量代换法更好的优势（因为就是一个思路的正逆推导而已），但在解决高阶线性微分方程时就会方便得多。
因此倒不能说常数变易法是鸡肋（我开始的想法就是这样的）。
2.教科书上最后把方程的解拆成了一个齐次方程的通解和一个非齐次方程的特解之和，我看来简直有点脑残的表现，再往后看才知道，原来在解决高阶非齐次线性方程是要用到这个结构的，怪不得。
3.因此关于中国的教科书以及中国的正统教育我突然有个结论（一排脑瓜子即灵光一现那种）：中国的大多数学生之所以不喜欢学数学是因为觉得难，其实倒不是数学本身难，而是教科书缺少必要的说明逻辑。
真正难的不是知识，而是读懂这些教育家企图教给我们的“知识”。