常数变易法

常数变易法
常数变易法是微积分的一种基本方法，它可以用来求解一类形如
$y^{(n)}=f(x)$ 的高阶常微分方程。

常数变易法的核心思想是假设解为
$y=y(x,c_1,c_2,\\cdots,c_n)$，其中 $c_1,c_2,\\cdots,c_n$ 是常数，然后将常数 $c_1,c_2,\\cdots,c_n$ 视为未知函数 $c_1(x),c_2(x),\\cdots,c_n(x)$ 的值，通过求解这些函数，得到实际的解。

下面以二阶常微分方程为例，介绍常数变易法的具体步骤：
首先设二阶常微分方程为 $y''=f(x)$，假设解为 $y=y(x,c_1,c_2)$，其中$c_1,c_2$ 是常数。

将解代入方程，得到：
$$
\\begin{aligned}
y''(x,c_1,c_2)&=f(x)\\\\
\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x^2}&=f(x)\\\\
\\end{aligned}
$$
接下来将常数 $c_1,c_2$ 视为未知函数 $c_1(x),c_2(x)$ 的值，因此有$y=y(x,c_1(x),c_2(x))$。

将 $y$ 对 $x$ 求一阶和二阶导数，得到：
\\begin{aligned}
y' &= \\frac{\\partial y}{\\partial x}+\\frac{\\partial y}{\\partial c_1}
\\frac{\\partial c_1}{\\partial x}+\\frac{\\partial y}{\\partial c_2}
\\frac{\\partial c_2}{\\partial x}\\\\
y'' &= \\frac{\\partial^2 y}{\\partial x^2}+2\\frac{\\partial^2
y}{\\partial x \\partial c_1} \\frac{\\partial c_1}{\\partial
x}+2\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x \\partial c_2} \\frac{\\partial
c_2}{\\partial x}+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_1^2} (\\frac{\\partial
c_1}{\\partial x})^2+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_2^2} (\\frac{\\partial c_2}{\\partial x})^2+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_1 \\partial c_2}
\\frac{\\partial c_1}{\\partial x}\\frac{\\partial c_2}{\\partial x}\\\\ \\end{aligned}
$$
然后将上述导数代入原方程中，得到：
$$
\\begin{aligned}
&\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x^2}+2\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x \\partial c_1} \\frac{\\partial c_1}{\\partial x}+2\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x \\partial c_2} \\frac{\\partial c_2}{\\partial x}+\\frac{\\partial^2
y}{\\partial c_1^2} (\\frac{\\partial c_1}{\\partial x})^2+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_2^2} (\\frac{\\partial c_2}{\\partial x})^2+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_1 \\partial c_2} \\frac{\\partial c_1}{\\partial x}\\frac{\\partial c_2}{\\partial x} = f(x)\\\\
\\end{aligned}
$$
接下来，需要求解未知函数 $c_1(x),c_2(x)$，使得上述方程成立。

由于方程中的各项都是关于 $x$ 的函数，因此可以将其拆分成关于 $x$ 的一次方程组。

根据一次方程组的解法，可以得到 $c_1(x),c_2(x)$ 的表达式，进而得到实际
的解函数 $y(x)$。

总之，常数变易法是一种非常重要的求解高阶常微分方程的方法，虽然计
算量比较大，但是思路清晰，适用范围广，因此在微积分的应用中得到了广泛
的应用。