二阶矩阵
二阶矩阵特征方程
二阶矩阵特征方程引言矩阵是线性代数中的重要概念，以及在许多领域中的广泛应用。
特征方程是矩阵特征值求解的一种常见方法，可以帮助我们理解矩阵的性质和特点。
在本文中，我们将探讨二阶矩阵特征方程的推导和求解方法，并将其应用于解决实际问题。
二阶矩阵的定义二阶矩阵是由四个数构成的2x2矩阵。
一般形式为：A = |a b||c d|其中，a、b、c、d为矩阵A的元素。
特征方程的定义特征方程是求解矩阵特征值的方程。
对于二阶矩阵A，特征方程表示为：|a-λ b||c d-λ| = 0其中，λ为待求解的特征值。
推导特征方程1.计算行列式。
根据特征方程的定义，我们需要求解上述矩阵的行列式，得到：(a-λ)(d-λ)-bc = 0这是二阶多项式，我们称之为二阶矩阵特征方程。
2.将特征方程转化为标准形式。
将上述方程展开并整理，得到：λ^2 - (a+d)λ + ad-bc = 0这就是二阶矩阵的特征方程的标准形式。
其中，(a+d)为一次项的系数，ad-bc为常数项。
求解特征方程求解特征方程即求解二阶矩阵特征值的过程。
我们可以使用一些常见的方法来解决这个方程，如因式分解、配方法等。
方法一：因式分解对于二阶矩阵特征方程的标准形式，我们可以尝试将其因式分解为两个一次式的乘积，得到特征值的解。
考虑方程λ^2 - (a+d)λ + ad-bc = 0，我们设特征值为λ1和λ2，即：(λ-λ1)(λ-λ2) = 0根据这个等式，我们可以得到两个方程：λ1 + λ2 = a+dλ1λ2 = ad-bc这样，我们就可以通过以上两个方程求解λ1和λ2的值。
方法二：配方法如果因式分解不可行，我们可以尝试用配方法来求解特征方程。
对于二阶矩阵特征方程的标准形式λ^2 - (a+d)λ + ad-bc = 0，我们可以尝试将其改写为完全平方的形式，即：(λ - x)^2 = 0展开并比较系数，我们可以得到：λ^2 - 2xλ + x^2 = 0将原方程与上述方程进行比较，我们可以得到：-2x = a+dx^2 = ad-bc通过这两个方程，我们可以求解出x的值，进而得到特征值。
1.1二阶矩阵
定义
设σ,ρ所对应的二阶矩阵分别为
Hale Waihona Puke a1 b1A=c1 d 1
,B=
a 2 b2 c2 d 2
.若σ=ρ,
则a1=a2,b1=b2,c1=c2,d1=d2.这时我们称二阶
矩阵A与二阶矩阵B相等。
课堂练习
例：设A = 3+ x － y 2 3 x ,B = q p p+q － 2 ,
且A = B，求p , q , x , y .
重点
1.二阶矩阵的概念
2.线性变换及其对应的二阶矩阵
难点
线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系
（一）几种特殊线性变换及其二阶矩阵 旋转变换
反射变换
伸缩变换
投影变换
切变变换
1.旋转变换
探究
将直角坐标系所有点绕原 点沿逆时针方向旋转一个角度α. 设平面内点P(x,y)经过旋转后变 (x , y ) P′ ′ ′ 成点 那么如何用P的坐标(x, y) , y )? 表示 P′ 的坐标 ( x′ ′
O
P’(x+ky,y)
x
平行与x轴的切变变换的坐标变换公式为: x’=x+ky,
y’=y。
对应的二阶矩阵:
1 k 0 1
抢答
平行于y轴的切变变换的坐标公式? x’=x, y’=kx+y. 对应的二阶矩阵:
1 0 k 1
（二）变换、矩阵的相等
3π 旋转角为 的旋转变换的坐标变换公式 2 3π 3π x′ x cos －y sin = 2 2 3π 3π y′ x sin + y cos = 2 2
3 1 x′ = x－ y 2 2 即: 1 3 ② y′ x + = y 2 2 3 1 － 即得到正方形数表: 2 2 1 3 2 2
二阶方针的逆矩阵
二阶方针的逆矩阵1.前言在线性代数中，二阶矩阵是最简单的矩阵之一。
但是，逆矩阵却是非常重要的概念，尤其在线性代数中。
在本文中，我们将讨论二阶矩阵的逆矩阵，并讲解如何计算它。
2.二阶矩阵二阶矩阵可以用以下形式表示：$$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$$其中$a$，$b$，$c$，$d$是实数。
当然，也可以是复数。
我们可以将上面的矩阵记为$A$。
3.矩阵的行列式对于二阶矩阵$A$，它的行列式可以用以下公式计算：$$\det(A)=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$$4.逆矩阵的定义对于任意一个$n$阶矩阵$A$，如果存在另一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=I_n$，其中$I_n$表示$n$阶单位矩阵，那么$A$就被称为可逆矩阵，$B$被称为$A$的逆矩阵。
式子$AB=BA=I_n$也被称为“$A$是可逆矩阵”的等价定义。
对于一个$n$阶实数矩阵$A$，它是可逆的，当且仅当它的行列式$\det(A)$不等于0。
5.逆矩阵的计算对于一个二阶矩阵$A$，如果它存在逆矩阵$A^{-1}$，那么我们可以使用以下公式计算$A^{-1}$：$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$$其中，$\det(A)$是$A$的行列式。
如果$\det(A)=0$，那么$A$是不可逆的。
6.逆矩阵的验证我们可以使用以下步骤来验证一个矩阵$A$是否是可逆矩阵：1.计算$A$的行列式$\det(A)$；2.如果$\det(A)=0$，那么$A$不是可逆矩阵；3.如果$\det(A)\neq0$，那么$A$是可逆矩阵；4.计算$A$的逆矩阵$A^{-1}$；5.计算$AA^{-1}$和$A^{-1}A$，如果这两个矩阵都等于单位矩阵$I_2$，那么$A$是可逆矩阵。
二阶矩阵乘法
二阶矩阵乘法
1 什么是二阶矩阵乘法
二阶矩阵乘法，也称为矩阵乘法，是一种二阶矩阵运算，数学上
表示为A×B，其中A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，可以得到m×p结
果矩阵C，它是来自A和B矩阵中元素乘积之和。
它最早出现在数学家
奥古斯特·黎森斯的书《线性代数学》中，并且一直被广泛应用于数
学计算的各个方面。
2 二阶矩阵乘法的原理
二阶矩阵乘法主要是利用乘积矩阵的性质和乘法定律完成乘法运算。
原理是，如果A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，那么乘积矩阵C是
m×p矩阵，其第i行第j列元素Ci,j=a11b1,j+a12b2,j+…+a1nbn,j。
这表明，计算二阶矩阵乘法的结果c的第i行第j列元素ci，j时，
要把a的第i行和b的j列中的元素相乘，然后将这些乘积求和。
3 二阶矩阵乘法的应用
二阶矩阵乘法的应用非常广泛，在涉及矩阵计算的各个方面都有
其用处。
例如：数值分析中，Matlab等计算机程序设计语言中，最小
二乘法拟合及其它相似方法中经常用到。
此外，在数字图像处理、机
器学习等领域中，也得到广泛应用。
同时由于其优异性能，二阶矩阵
乘法也被广泛用于各种数值模拟及工程设计中。
4 总结
二阶矩阵乘法，是一种二阶矩阵运算，数学上表示为A×B，可以得到m×p的结果矩阵C，它是来自A和B矩阵中元素乘积之和。
二阶矩阵乘法的应用非常广泛，它经常用于数值分析、Matlab编程、最小二乘法拟合及其它相似方法、数字图像处理、机器学习及各种数值模拟和工程设计中。
二阶矩阵的伴随矩阵公式
二阶矩阵的伴随矩阵公式
二阶矩阵是线性代数中的一个基础概念，而伴随矩阵公式则是解决
相关问题的重要工具。
咱先来说说二阶矩阵是啥。
比如说有这么一个矩阵 A = [a b; c d] ，这里面的 a、b、c、d 就是矩阵的元素。
那伴随矩阵又是啥呢？它跟原
矩阵有着密切的关系。
伴随矩阵的公式是这样的：若矩阵 A = [a b; c d] ，那么它的伴随
矩阵记作 A* ，其中 A* = [d -b; -c a] 。
这个公式看起来简单，可在实际运用中作用大着呢！
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都搞不明白。
我就给他举了个例子，假设我们有个二阶矩阵 A = [2 3; 4 5] ，那按照伴随矩阵的公式，它的伴随矩阵 A* 就应该是 [5 -3; -4 2] 。
我让这个学生自己动手算一算，看看是不是这么回事儿。
他算
了半天，终于恍然大悟，脸上露出了那种“原来如此”的表情。
学会了伴随矩阵公式，能帮我们解决好多问题。
比如说求矩阵的逆
矩阵的时候，就经常会用到伴随矩阵。
要是不知道这个公式，那可就
抓瞎啦！
在做一些线性方程组的题目时，也能通过伴随矩阵来找到解题的关键。
再比如在计算机图形学中，处理图像的变换时，二阶矩阵和它的伴随矩阵也常常会出现。
总之，二阶矩阵的伴随矩阵公式虽然看起来不复杂，但却是线性代数里的一块重要基石。
大家可得好好掌握，这样在面对各种相关问题时，才能游刃有余，不会被难住哟！
希望大家通过不断的练习和思考，真正把这个公式融会贯通，为今后学习更深入的数学知识打下坚实的基础。
二阶矩阵运算
二阶矩阵运算二阶矩阵运算是线性代数中的重要概念，涉及到对二维矩阵的加法、减法、乘法等运算。
本文将围绕二阶矩阵运算展开讨论，介绍其基本概念、性质以及应用。
一、二阶矩阵的定义和表示二阶矩阵是一个2行2列的矩阵，如下所示：A = |a11, a12||a21, a22|其中每个元素aij (i表示行号，j表示列号)可以是任意实数。
二阶矩阵可以用一般形式表示为：A = |a, b||c, d|其中a、b、c、d都是实数。
二、二阶矩阵的加法和减法对于两个二阶矩阵A和B，它们的加法和减法定义如下：A +B = |a + e, b + f||c + g, d + h|A -B = |a - e, b - f||c - g, d - h|其中e、f、g、h是另一个二阶矩阵B的元素。
需要注意的是，矩阵的加法和减法满足交换律和结合律，即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)三、二阶矩阵的乘法对于两个二阶矩阵A和B，它们的乘法定义如下：A ×B = |a ×e + b × g, a × f + b × h||c × e + d × g, c × f + d × h|其中e、f、g、h是另一个二阶矩阵B的元素。
需要注意的是，矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下AB≠BA。
另外，矩阵的乘法满足结合律，即(A × B) × C = A × (B × C)。
四、二阶矩阵的转置对于一个二阶矩阵A，它的转置定义如下：AT = |a, c||b, d|即将矩阵的行列互换得到的新矩阵。
例如，对于矩阵 A = |1, 2|，它的转置矩阵为AT = |1, 3|。
需要注意的是，转置矩阵的转置等于原矩阵，即(A^T)^T = A。
五、二阶矩阵的逆矩阵对于一个可逆的二阶矩阵A，它的逆矩阵定义如下：A^-1 = (1 / (ad - bc)) × |d, -b||-c, a|其中ad - bc不等于0。
二阶矩阵的逆矩阵
二阶矩阵的逆矩阵
什么是二阶矩阵
在线性代数中，一个二阶矩阵是一个2x2的矩阵，即有两行两列的矩阵。
通常我们将一个二阶矩阵表示为如下形式：
a b
c d
其中，a、b、c、d是实数或复数。
逆矩阵的定义
在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得乘积AB和BA都等于单位阵I，其中I是一个n 阶的单位矩阵，那么B就被称为A的逆矩阵。
也可以表示为A^-1 = B。
逆矩阵的存在性是由方阵的行列式决定的。
当且仅当一个n阶方阵的行列式不为0时，才存在逆矩阵。
二阶矩阵的逆矩阵计算方法
对于一个二阶矩阵A，我们可以通过以下公式求解其逆矩阵：
1/(ad - bc) * d -b
-c a
其中，ad - bc是矩阵A的行列式。
举例说明
下面举一个例子来说明如何计算一个二阶矩阵的逆矩阵。
假设有一个二阶矩阵A如下：
2 3
4 5
首先，我们需要计算矩阵A的行列式ad - bc。
ad - bc = (2 * 5) - (3 * 4) = 10 - 12 = -2
接下来，我们可以通过公式计算逆矩阵：
1/(-2) * 5 -3
-4 2
所以，矩阵A的逆矩阵为：
-5/2 3/2
2 -1
总结
二阶矩阵的逆矩阵可以通过求解矩阵的行列式和公式来计算。
逆矩阵的存在性由矩阵的行列式决定。
计算逆矩阵可以帮助我们解决线性方程组、求解矩阵方程等问题，是线性代数中重要的概念之一。
以上是关于二阶矩阵的逆矩阵的简要介绍，希望对你有所帮助！。
二阶矩阵计算公式
二阶矩阵计算公式
二阶矩阵是二阶行列式。
当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。
二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素变号。
设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。
若A，B是数域P上的两个n阶矩阵，k是P中的任一个数。
若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0，若A有两行或两列相等，则det(A)=0，这些结论容易利用余子式展开加以证明。
阶行列式是四个数字排成两行两列，一个被使用二阶行列式是指一个由四个数字组成的符号，它的概念起源于求解线性方程组，并由二元和三元线性方程组的解的公式推导而来，所以我们先讨论解方程组的问题。
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（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。
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例4
A a0
0 b
0c
a1
B
b
1
c 1
0
0
0
求：AB和BA。
0 0 0
解：
0 AB a1ab1bc1c
0 0
BA 0 0 0 0 0 0
注：表明矩阵乘法不满足交换律。
AB＝0推不出A＝0或B＝0
AC＝BC且C不为0,推不出A=B (不满足消去律)
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设
A11 A12 L AA21 A22 L
M M As1 As2 L
A1r
A2r
k为数，那么
M
Asr
kA11 kA12 L kA kA21 kA22 L
M M kAs1 kAs2 L
则称为数量矩阵.即
a 0 L 0
A
0
a
L
0
M M O M
0
0
L
a
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4.单位矩阵
如果n阶对角矩阵 A aij 中元素满足 a ii1i1 ,2 ,L,n,
则称为n阶单位矩阵，记为 E n .即
1 0 L 0
En
0 M
1 M
L O
0
M
0
0
L
1
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§2 矩阵的运算
所以 B0,
故B 可逆。
B = ( A E ) A 1 = [ A ( A E ) ] 1 [ A E A ] 1
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其中
8 2 6 0
AEA= 8 0 2 6
8 0 0 2Βιβλιοθήκη 1 1 0=6
0
1
1
0 0 1
1 1 1
B
=
1 6
0 0
1 0
1 1
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mn
此数表叫做m行n列矩阵,简称mn矩阵。
记为
a11
A
a2
1
a12 a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
亦记为 A(aij)mn 或A(aij)或Amn
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如果矩阵A的元素aij全为实(复)数,就称A为实(复)数矩阵。 只有一行的矩阵A=(a1 a2 ... an)叫做行矩阵, 行矩阵也记作A=(a1 ,a2 ,... ,an)。
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定理1 设A是n阶方阵, 则A可逆的充分必要条件是
A 0 ,且 A 11A * ,其 中 A * 为 A 的 伴 随 矩 阵 . A
证 先证必要性。由于A是可逆的，则有 A1AE
故 | A 1 A | | E | 1 , 即 | A 1 | g | A | 1 . 所 以 | A | 0 .
3 6 2 A* 3 10 4
1 4 2
3 6 2
A1
1 A* A
123
10 4
1 4 2
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例1 3 设
1 A=2
3
2 2 4
133 B=52
13 C123
3 0 1
求矩阵X使满足AXB=C
解 若 A1、B1均存在，则用 A 1 左乘上式，B 1右 乘上式，有
A 1A X B B 1A 1 C B 1,
a11 a12 L a1n
A
0
a21 L
a2n
M M O M
0
0
L
ann
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如果n阶方阵中元素满足条件 a ij 0 i ji,j 1 ,2 ,L ,n ,
即的主对角以上的元素全为零，则称为n阶下三角矩 阵.即
a11 0 L 0
A
a
21
a22
L
0
M M O M
§4 矩阵的分块
定义 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵,每个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的矩阵 称为分块矩阵。
a11 a12 a13 a14 Aa21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
列举三种分块形式：
a11 a12 a13 a14 (1)a21 a22 a23 a24
A a0
0 b
0c
满足运算律：
0 a
A
0
b
0 c
(1)(A)A (2 )A ( B ) A B
(3)(A )A
(4 )A () B B A ,(A n ) (A )n
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设 A (ai)jm s,B(bi)jsn, 记 A B C(ci)jm n,B A D (di)jn n
(交换律)
(2) (A + B)+C= A +(B +C) . (结合律) 返回 上一页 下一页
二、数与矩阵相乘
定义3 数与矩阵A的乘积记做 A,规定为
a11 a12 a1n
A a21
a22
a2n
am1 am2 amn
数乘矩阵满足运算规律:
(1 )()A (A )
(2 )( )A A A
(2)A 亦可 ,且 (A )逆 1 1A 1
(3)AB亦可,且 逆(AB)1B1A1 一般地有： 若A（ i i1,2,..n.） 可逆， A1A则 2..A .n也可逆， 且（ A1A2..A .n） －1 An1An11..A .11
若 A B ,则 (A 2 ) 1 (A 1 )2 ,一 (A 般 n ) 1 (A 有 1 )n
下证充分性.设 | A | 0.由伴随矩阵 A的性质,有
A*A A*AAE
因为A0
有A(1A*)(1A*)AE
A
A
说明A是可逆的。
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推论 对于n阶方阵 A ，若存在n阶方阵 B ，使
A BE或 B AE,则 A 一定可逆，且 B A1.
(1)A 1亦可 ,且 (A 1 逆 ) 1A
乘积是C=(cij) m n,
s
其中 c ij a i1 b 1 j a i2 b 2j a ib ss j a ib k kj
k 1
并把此乘积记作C=AB。
b1j
行矩阵与列
矩阵相乘
ai1,ai2,,aisb 2j(ai1b1j ai2b2j aisbsj)
bsj
注意：只有当第一矩阵（左矩阵）的列数与第二矩阵
一、矩阵的加法
定义2 设有两个mn矩阵A=(aij), B=(bij),那么A与B的 和记为A+B,规定为
a11b11 ABa21b21
a12b12 a1nb1n a22b22 a2nb2n
am1bm1 am2bm2 am n bmn
注意:只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算。
加法满足运算规律: (1) A+B= B + A;
an1 an2 L ann
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2.对角矩阵
如果n阶方阵 A aij 中元素满足 aij 0ij, 条件
即的主对角线以外的元素全为零，则称为n阶对角矩 阵.即
a11 0 L 0
A
0
a22 L
0
M M O M
0
0
L
ann
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3.数量矩阵
如果n阶对角矩阵 A aij 中元素满足a iiai 1 ,2 ,L,n,
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矩阵的乘法满足运算律：
(1 )结合 (A)C B 律 A (B)C (2)左 分A 配 (B律 C)A BAC
右 分(配 BC律 )AB A CA
(3)(A) B (A )B
对于单位矩阵，有
E m A m n A m n ,A m n E n A m n
一般称 Ak 1A4A2L43A 为方阵的k次幂。
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1 1 2 1 1
例9 设 A=1 0 3,B=2 1,
1 2 1 3 2
5 6
那么 A B = 1 0
7
,
0 5
1 1 1
A=1 2
0 3
21,B=11
2 1
32,
BA=5 6
10 7
05(AB).
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五、方阵的行列式 定义6 由n阶方阵A的元素构成的行列式(各元素 位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA 。
第二章 矩阵
第一节 矩阵的定义 第二节 矩阵的运算 第三节 矩阵的逆 第四节 矩阵的分块 第五节 矩阵的初等变换与初等矩阵 第六节 用初等变换求逆矩阵 第七节 矩阵的秩
§1 矩阵的定义
定义1 给出mn个数,排成m行n列的矩形数表
a11 a12
a
21
a22
am1 am 2
a1n
a2n
a
A11 A12 A1r AA21 A22 A2r,
As1 As2 Asr
B11 B12 B1r BB21 B22 B2r
Bs1 Bs2 Bsr
A11B11 A12B12 A1r B1r
ABA21B21 A22B22 A2r B2r
As1Bs1 As2Bs2 AsrBsr 返回
(3 )(A B ) A B
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设矩阵A=(aij),记-A =(-1)A=(-1aij)= (-aij), -A称为A的 负矩阵,显然有
A+(-A)=O. 其中O为各元素均为0的同型矩阵, 由此规定 A-B=A+(-B).