数学---湖北省龙泉中学2018届高三9月调研考试试题(理)

湖北省龙泉中学2018届高三9月调研考试数学试题（理）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|20}M x x x =-≥，{|N x y ==，则M N 等于（ ）A ．(1,0]-B ．[1,0]-C ．[0,1)D ．[0,1]2.复数2i12i+-的共轭复数的虚部是（ ） A ．35-B ．-35i C ．-1 D ．-i3.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ ） A.3 B.4 C.5D. 64.已知π(,0)2x ∈-，4tan 3x =-，则sin(π)x +等于（ ） A ．35 B ．35- C ．45-D ．455. 宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，朱长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 56.在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB ，则1AB 与1BC 所成角的大小为（ ）A.π6 B. π3 C.5π12 D.π27.将函数()cos 22x xf x =-的图象向右平移2π3个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递减区间是（ ） A ．ππ(,)42-B ．π(,π)2C ．ππ(,)24-- D ．3π(,2π)28.设e 是自然对数的底，0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，则“log 2log a b e >”是“01a b <<<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9. 在ABC ∆中，060A =，2AB =，且ABC ∆BC 的长为（ ）A.2 C. 10.如图是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A.B. 2C. 3D. 411.给出如下四个命题：①若“q p ∧”为假命题，则q p ,均为假命题；②命题“若122,b ->>a b a 则”的否命题为“若122,a -≤≤b b a 则”； ③命题“任意2,10x x ∈+≥R ”的否定是“存在200,10x x ∈+<R ”；④函数()f x 在0=x x 处导数存在，若p ：()00/=x f ；q ：x =x 0是()f x 的极值点，则p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件；其中真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D. 412.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>内有一点()2,1M ，过M 的两条直线12,l l 分别与椭圆E 交于A ,C 和B ,D 两点，且满足,AM MC BM MD λλ==（其中0λ>，且1λ≠），若λ变化时，AB 的斜率总为12-，则椭圆E 的离心率为（ ）A.12B.C.二、填空题（每小题4分，共20分）13.设变量x ，y 满足约束条件20,320,4520.y x y x y -≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值______.14.若函数()log (a f x x =+是奇函数，则a = .15.在等腰三角形ABC中，已知1,120,,AB AC A E F ==∠= 分别是,AB AC 上的点，且,AE AB AF AC λμ== ，（其中(),0,1λμ∈），且41λμ+=，若线段,EF BC 的中点分别为,M N ，则MN的最小值为 .16. 已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（本题满分12分）在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为，且满足2cos .cos c b Ba A-= （1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 上一点，且2,3,CD DB b AD ===a .18. （本题满分12分）设数列{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知39S =，且12a ，31a -，41a +构成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1*2()n nna nb -=∈N ，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明6n T <.19. （本题满分12分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛.种子选手M 与1B ，2B ，3B 三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M 获胜的概率分别为34，23，12，且各场比赛互不影响. （1）若M 至少获胜两场的概率大于710，则M 入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问M 是否会入选最终的大名单？ （2）求M 获胜场数X 的分布列和数学期望.20．（本题满分12分）已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ,且5.4QF PQ = （1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ,D 两点，与圆()2211x y +-=相交于B ,C两点（A ，B 两点相邻），过A ,D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M ,求ABM ∆与CDM ∆的面积之积的最小值.21. （本题满分12分）已知函数)0(21ln )2()(≤++-=a ax xx a x f ． （Ⅰ）当0=a 时，求)(x f 的极值； （Ⅱ）当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号，本小题满分10分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:sin x aC y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），直线:60l x y --=.（1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.23. （本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 设函数f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5：CCCBB 6-10：DDCDA 11-12：CD 二、填空题13.8 14.2215.16.143三、解答题18.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >.∵39S =，∴123239a a a a ++==，即23a =.……………………2分 又12a ，31a -，41a +成等比数列，则0111111()3()(21)()222n n T n -=+++-，……………………7分所以121111111()3()(23)()(21)()22222n n n T n n -=+++-+-，……………………8分两式相减得：1211111112()2()2()(21)()22222n n n T n -=++++--1211()21121213122212n n n n n n -----=+-=---，…………………………………10分 故12362n n n T -+=-，……………………………………11分因为*n ∈N ，所以123662n n n T -+=-<.………………………………12分19.解：（1）记M 与1B ，2B ，3B 进行对抗赛获胜的事件分别为A ，B ，C ，M 至少获胜两场的事件为D ，则3()4P A =，2()3P B =，1()2P C =，由于事件A ，B ，C 相互独立，所以()()()()()P D P ABC P ABC P ABC P ABC =+++32132132132117(1)(1)(1)43243243243224=⨯⨯+⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=， 由于1772410>，所以M 会入选最终的大名单.…………………6分 （2）M 获胜场数X 的可能取值为0,1,2,3，则3211(0)()(1)(1)(1)43224P X P ABC ===-⨯-⨯-=，……………………………7分3213213216(1)()()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)43243243224P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯-⨯-+-⨯-⨯+-⨯⨯-=32132132111(2)()()()(1)(1)(1)43243243224P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=3216(3)()43224P X P ABC ===⨯⨯=………………………………………10分所以M 获胜场数X 的分布列为：数学期望为1611623()01232424242412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………12分21.解：（Ⅰ）当0=a 时，xx x f 1ln 2)(+=，定义域为),0(+∞， )(x f 的导函数22'1212)(xx x x x f -=-=． 当210<<x 时，0)('<x f ，)(x f 在)21,0(上是减函数；当21>x 时，0)('>x f ，)(x f 在),21(+∞上是增函数．∴当21=x 时，)(x f 取得极小值为2ln 22)21(-=f ，无极大值．（Ⅱ）当0<a 时，ax xx a x f 21ln )2()(++-=的定义域为),0(+∞，)(x f 的导函数为2222')1)(12(1)2(2212)(xax x x x a ax a x x a x f +-=--+=+--=． 由0)('=x f 得0211>=x ，012>-=a x ，aa a x x 22)1(2121+=--=-． （1）当02<<-a 时，)(x f 在)21,0(上是减函数，在)1,21(a -上是增函数，在),1(+∞-a上是减函数；（2）当2-=a 时，)(x f 在),0(+∞上是减函数； （3）当2-<a 时，)(x f 在)1,0(a -上是减函数，在)21,1(a -上是增函数， 在),21(+∞上是减函数． 综上所述，当2-<a 时，)(x f 在),21(),1,0(+∞-a 上是减函数，在)21,1(a -上是增函数； 当2-=a 时，)(x f 在),0(+∞上是减函数； 当02<<-a 时，)(x f 在),1(),21,0(+∞-a 上是减函数，在)1,21(a-上是增函数． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当)2,(--∞∈a 时，)(x f 在]3,1[上是减函数． ∴3ln )2(432)3()1(|)()(|21-+-=-≤-a a f f x f x f ． ∵对于任意的)2,(],3,1[,21--∞∈∈a x x 都有3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m x f x f ，∴3ln 2)3ln (3ln )2(432-+<-+-a m a a 对任意2-<a 恒成立， ∴a m 324+-<对任意2-<a 恒成立．当2-<a 时，4324313-<+-<-a ，∴313-≤m ． ∴实数m 的取值范围为]313,(--∞．22.解：（1）设点,sin )P a a ，则点P 到直线l 的距离为π|2sin()6|a d --==∴当πsin()13a -=-时，31(,)22P -，此时max d =………………………5分 （2）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=，即2233x y +=， 直线1l的参数方程为1,.x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2233x y +=化简得：23.(1)证明：由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2. 所以f (x )≥2.(2)解：f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a， 由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a， 由f (3)<5，得1＋52＜a ≤3. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.。