人教A版高中数学空间立体几何知识点归纳

第一章 空间几何体知识点归纳

1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体

⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所

围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

1、空间几何体的三视图和直观图

投影：中心投影 平行投影

（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”

2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.

3、斜二测画法的基本步骤：

①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）

②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''

x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘

轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘

轴，且长度变为原来的一半；

一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即22S S 原图

直观＝

4、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面

⑷体积公式：

h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体； ()1

3

V h S S S S =+⋅+下下

台体上上

⑸球的表面积和体积：

323

4

4R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。

O 2

O 1h l

r R

第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证

1 、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

公理1的作用：判断直线是否在平面内

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面

推论2：过两条相交直线有且只有一个平面

推论3：过两条平行直线有且只有一个平面

公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。

4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。

（1）没有任何公共点的两条直线平行

（2）有一个公共点的两条直线相交

（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

7、线面位置关系：直线在平面内、平行、相交

8、面面位置关系：平行、相交。

9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）

⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）

////a b a a b ααα⊄⎫

⎪

⊂⇒⎬⎪⎭

证明两直线平行的主要方法是：

①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半； ②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；

③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线

和它们的交线平行；

a a a

b b α

βαβ⊂⇒=⎫

⎪⎬⎪⎭

④平行线的传递性：,a

b c b a c ⇒

⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；

a a

b b αβ

αγβγ=⇒=⎫

⎪

⎬⎪⎭

⑥垂直于同一平面的两直线平行；

a a

b b αα⊥⎫

⇒⎬⊥⎭

⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直

线和它们的交线平行；（上面的③）

10、面面平行：（即两平面无任何公共点）

（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

,,a b a b A a b αααβββ⊂⊂⎫

⎪

=⇒⎬⎪⎭

（2）两平面平行的性质：

性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；

a a

b b αβ

αγβγ=⇒=⎫

⎪

⎬⎪

⎭

性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；

αγαββγ⇒⎫

⎬⎭

性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；

,,A C AC BD B D AB CD αβ

αβ∈⇒=∈⎫

⎪⎪

⎬⎪

⎪⎭

性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；

a a a a αβαββααβ⇒⇒⊂⊂⎫⎫

⎬⎬⎭⎭

或

11、线面垂直：