容斥原理及公式的证明
三者容斥问题3个公式
一、容斥问题的3个公式容斥原理是指一种计数方法。
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
1.两个集合的容斥原理：n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)2.三个集合的容斥原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|3.n个集合的容斥原理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。
二、容斥问题的应用：对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。
用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。
【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。
结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B ∩C。
三集合容斥原理公式
三集合容斥原理公式
三集合容斥原理公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。
因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC两两交集中应减两次，然而却将ABC 两两交集中的A交B交C减了三次，所以应该加上多减的一次ABC的交集。
三集合容斥问题的核心公式：
标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。
非标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|，只满足两个条件的-2×三个都满足的。
列方程组：|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。
|A|+|B|+|C|=只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，对于以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。
容斥原理
容斥原理（Inclusion–exclusion principle），是指在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
公式也可表示为设S为有限集,,则两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C详细推理如下：1、等式右边改造={[（A+B-A∩B）+C-B∩C]-C∩A}+A∩B∩C2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么A∪B∪C还缺部分7。
4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。
5、等式右边{}里减去C∩A（即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。
2严格证明对于容斥原理我们可以利用数学归纳法证明：证明：当时，等式成立()。
假设时结论成立，则当时，所以当时，结论仍成立。
因此对任意，均可使所证等式成立。
3原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B=A+B-A∩B)例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
容斥原理证明
容斥原理证明容斥原理是概率论和组合数学中一种常用的计数方法。
它通过将多个事件的计数问题转化为单个事件的计数问题，从而简化复杂的计算过程。
本文将以容斥原理为基础，以简单易懂的方式解释和证明该原理的正确性。
我们来介绍容斥原理的基本概念。
在一个样本空间中，假设有n个事件A1，A2，...，An，我们希望计算这些事件的并集的元素个数。
容斥原理告诉我们，可以通过求出每个事件的元素个数以及它们的交集的元素个数来计算并集的元素个数。
具体来说，设B1表示事件A1发生但其他事件都不发生的情况，B2表示事件A2发生但其他事件都不发生的情况，以此类推，Bn 表示事件An发生但其他事件都不发生的情况。
那么，根据容斥原理，我们有以下公式：|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - ... - |An-1 ∩ An| + |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|这个公式的含义是，事件A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An的元素个数等于每个事件的元素个数之和减去每两个事件交集的元素个数之和，再加上每个事件的交集的元素个数。
现在我们来证明容斥原理。
我们假设事件A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An的元素个数为N。
根据定义，任意一个元素x要么属于A1，要么属于A2，...，要么属于An。
因此，元素x可以被计算N次，分别计算在A1中的个数、在A2中的个数，...，在An中的个数。
现在，我们来考虑元素x被计算N次后的情况。
如果x属于事件Ai，那么它会被计算一次，并且不会被计算其他事件中的个数。
所以，对于每一个事件Ai，元素x被计算的次数要么是1，要么是0。
接下来，我们来考虑元素x被计算0次的情况。
这意味着x不属于任何一个事件Ai，即x属于事件A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An的补集。
因此，元素x被计算0次的次数等于事件A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An的补集的元素个数。
容斥原理常识型公式
容斥原理常识型公式摘要：1.容斥原理的概念和基本公式2.容斥原理的推导过程3.容斥原理的应用示例正文：一、容斥原理的概念和基本公式容斥原理，又称为加法原理与减法原理，是一种在集合论中常用的原理。
它的基本思想是：对于任意两个集合A 和B，有以下三种关系：A 包含B，A 与B 相交，A 与B 相离。
通过这三种关系，我们可以得到容斥原理的基本公式。
基本公式如下：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A∪B|表示A 和B 的并集，|A|表示A 的元素个数，|B|表示B 的元素个数，|A∩B|表示A 和B 的交集。
二、容斥原理的推导过程为了更好地理解容斥原理，我们可以从集合的元素个数入手，推导出容斥原理的基本公式。
假设集合A 有a 个元素，集合B 有b 个元素。
那么，A 与B 的并集中的元素个数可以分为三类：1.属于A 且属于B 的元素，有c 个。
2.属于A 但不属于B 的元素，有a-c 个。
3.属于B 但不属于A 的元素，有b-c 个。
根据集合的定义，A 与B 的并集中的元素个数为a+b 个。
因此，我们可以得到以下等式：a +b =c + (a-c) + (b-c)化简得：a +b = a + b - c即：c = |A∩B|将c 的值代入基本公式，得到：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|这就是容斥原理的基本公式。
三、容斥原理的应用示例容斥原理在实际问题中有广泛的应用。
下面我们通过一个简单的例子来说明如何使用容斥原理求解问题。
例：某班有男生20 人，女生25 人。
现在需要组成一个学习小组，要求小组中男生和女生的人数相同。
请问最多可以组成几个这样的小组？解：根据容斥原理，我们可以得到男生和女生的总人数为20+25=45 人。
由于小组中男生和女生的人数相同，所以每个小组中男生和女生的人数都是45/2=22.5 人。
容斥原理及公式的证明
证明:设Na,Nb,Nc分别表示图A,B,C覆
B N1 Na N4 Nab N2 Nb
面积;Nab,Nbc,Nca分别表示图A和B,B和C,
A共同覆盖的面积;Nabc表示图A,B,C共同覆盖
积.再设N1,N2,N3,N4,N5,N6,N7分别表示 总和. 则:N1=Na-Nab-Nca+Nabc, N2=Nb-Nab-Nbc+Nabc, N3=Nc-Nbc-Nca+Nabc N4=Nab-Nabc N5=Nbc-Nabc N6=Nca-Nabc N7=Nabc N=(N1+N2+N3)+(N4+N5+N6)+N7
A Na Nab Nabc Nbc Nca Nc C Nb
容斥原理是国家公务员考试的一个难点,很多考生都觉得无从下手 很多考生都觉得无从下手,其实,容斥原理关键内容就是两个公 要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型. ∩B|,或:N=Na+Nb-Nab. 1,两个集合的容斥关系公式:|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
丹麦馆 Na=28人 Nab= 10人
法国馆 Nb=24人
题目:某班50名学生前往上海世博会参 丹麦,法国,西班牙三个场馆.参观丹麦, 国,西班牙场馆的人数分别是28,24,18人 其中既参观丹麦馆又参观法国馆的10人,既 观丹麦馆又参观西班牙馆的8人,既参观法国 又参观西班牙馆的5人.
Nabc Nbc Nca= =8人 5人 Nc=18人 西班牙馆
互不覆盖区域的面积;N表示7个互不覆盖区域的面
Nabc N7 Nbc Nca N5 N6 Nc N3 C
:
∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|
容斥极值公式推导过程
容斥极值公式推导过程容斥极值公式是高中数学中的一个重要概念，它在组合数学、概率论、计算机科学等领域都有广泛应用。
本文将介绍容斥极值公式的推导过程，并探讨其应用。
一、基本概念在介绍容斥极值公式之前，我们先来回顾一下组合数学中的一些基本概念。
组合数组合数是指从n个不同元素中取出r个元素的方案数，记作C(n,r)或者$binom{n}{r}$。
它的计算公式为：$$C(n,r)=frac{n!}{r!(n-r)!}$$排列数排列数是指从n个不同元素中取出r个元素进行排列的方案数，记作P(n,r)。
它的计算公式为：$$P(n,r)=frac{n!}{(n-r)!}$$二、容斥原理容斥原理是组合数学中的一个基本原理，它用于计算多个集合的并集的大小。
具体来说，对于两个集合A和B，它们的并集大小为： $$|Acup B|=|A|+|B|-|Acap B|$$这个公式的意思是，我们先把A和B的元素个数加起来，然后减去它们的交集元素个数，这样就可以得到它们的并集元素个数。
三、容斥极值公式的推导容斥极值公式是容斥原理的一个推广，它用于计算多个集合的最大值或最小值。
具体来说，对于n个集合$A_1,A_2,cdots,A_n$，它们的最大值为：$$max{A_1,A_2,cdots,A_n}=max{A_1}-min{A_1capA_2}+max{A_2}-min{A_1cap A_2capA_3}+cdots+(-1)^{n+1}min{A_1cap A_2capcdotscap A_n}$$ 这个公式的意思是，我们先找到第一个集合$A_1$的最大值，然后依次考虑它与其他集合的交集的最小值和其他集合的最大值，最后得到它们的最大值。
每个交集的最小值前面都有一个符号$(-1)^{k+1}$，其中k表示这个交集包含的集合个数，这个符号的作用是使得交集的最小值与最大值的符号相反。
接下来，我们来证明容斥极值公式。
首先，对于任意一个集合$A_i$，它的最大值一定不小于它的交集的最大值。
容斥不等式
容斥不等式
容斥原理也称为包容排斥原理，是一种用于计算多个集合合并的大小的公式。
容斥原理的一般形式为：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A ∩B∣，即，两个集合的并集的元素数量，等于两个集合元素的数量的和，减去两个集合交集的元素数量。
如果将容斥原理扩展到多个集合，则有：
∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∑i=1n∣Ai∣−∑1≤i<j≤n∣Ai∩Aj∣+∑1≤i<j<k≤n∣Ai∩Aj∩Ak∣−⋯+(−1)n−1∣A1∩A2∩⋯∩An∣
这个公式可以用于计算任意多个集合的并集的大小。
其中，∣Ai∣表示集合Ai的元素数量，∣Ai∩Aj∣表示集合Ai和Aj的交集的元素数量，以此类推。
容斥原理的证明通常是通过指示函数来完成的。
指示函数是一种用于表示集合元素的函数，如果元素属于某个集合，则指示函数的值为1，否则为0。
通过使用指示函数，可以将容斥原理转化为一个关于函数值的等式，然后通过一些数学运算来证明该等式。
容斥原理的应用非常广泛，例如在概率论、组合数学、计算机科学等领域都有重要的应用。
它可以帮助我们计算多个集合的并集、交集的大小，从而解决一些实际问题。
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互不覆盖区域的面积；N表示7个互不覆盖区域的面
Nabc N7 Nbc Nca N5 N6 Nc N3 C
：
∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|
=(Na+Nb+Nc-2Nab-2Nbc-2Nca+3Nabc)+( +Nbc+Nca-3Nabc)+Nabc
N=(Na+Nb
：
∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|
Nabc=N-(Na+Nb+Nc)+(Nab+Nbc+Nc
N=(Na+Nb+Nc)-(Nab+Nbc+Nca)+Nabc
证明：设Na、Nb、Nc分别表示图A、B、C覆
B N1 Na N4 Nab N2 Nb
面积；Nab、Nbc、Nca分别表示图A和B、B和C、
A共同覆盖的面积；Nabc表示图A、B、C共同覆盖
积。再设N1、N2、N3、N4、N5、N6、N7分别表示 总和。 则：N1=Na-Nab-Nca+Nabc， N2=Nb-Nab-Nbc+Nabc， N3=Nc-Nbc-Nca+Nabc N4=Nab-Nabc N5=Nbc-Nabc N6=Nca-Nabc N7=Nabc N=(N1+N2+N3)+(N4+N5+N6)+N7
A Na Nab Nabc Nbc Nca Nc C Nb
容斥原理是国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手 很多考生都觉得无从下手，其实，容斥原理关键内容就是两个公 要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型。 ∩B|，或：N=Na+Nb-Nab。 1、两个集合的容斥关系公式：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
容斥问题 某班50名学生前往上海世博会 参观丹麦、法国、西班牙三个场馆。 参观丹麦、法国、西班牙场馆的人数 分别是28、24、18人，其中既参观 丹麦馆又参观法国馆的10人，既参观 丹麦馆又参观西班牙馆的8人，既参 观法国馆又参观西班牙馆的5人。 已知全班每名学生都至少参观 了三个场馆中的一个，那么，三个场 馆都参观的学生有多少人？
丹麦馆 Na=28人 Nab= 10人
法国馆 Nb=24人
题目：某班50名学生前往上海世博会参 丹麦、法国、西班牙三个场馆。参观丹麦、 国、西班牙场馆的人数分别是28、24、18人 其中既参观丹麦馆又参观法国馆的10人，既 观丹麦馆又参观西班牙馆的8人，既参观法国 又参观西班牙馆的5人。
Nabc Nbc Nca= =8人 5人 Nc=18人 西班牙馆
已知全班每名学生都至少参观了三个场 中的一个，那么，三个场馆都参观的学生有 少人？
解：参观了丹麦馆或法国馆或西班牙馆 人数为50人（即班级人数50人，N=50人） 28+24+18=70人， 10+8+5=23人， 70-23=47人， 50-47=3人（即Nabc=3） 如果直接套用左边的公式，就是： =50-(28+24+18)+(10+8+5) =3(人)