高等代数期末论文学习总结

高等代数学习总结摘要:两学期的高等代数已经接近尾声了，高等代数作为数学专业的基础学科之一。

本文主要讲述本人两学期下来学习高等代数的一些知识总结和学习体会。

关键词:行列式矩阵二次型正文:《高等代数》是数学学科的一门传统课程。

在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是大学数学各个专业的主干基础课程。

它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。

它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。

这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。

因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。

在学习之前，我一直认为高等代数就是把线性代数重学一遍，因为大一的时候线性代数学得不深，而且也没有学完。

经过两学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。

高等代数数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。

经过两学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获不少。

下面就对两学期的学习做一个回顾和总结。

行列式行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域定义：设A=（a ij）为数域F上的n×n矩阵，规定A的行列式为|A|=∑(−1)τ(j1j2⋯j n)a1j1a2j2⋯a njnj1j2…j n其中，i1i2⋯i n为1,2，…，n的一个排列。

从定义，我们可以看出，行列式是F n×n到F的一个映射。

通过这个定义，我们可以推断出行列式的诸多性质：1.行列式与它的转置相等；2.互换行列式的两行（列），行列式变号；3.若一个行列式中有两行（列）元素对应相等，则这个行列式为零；4.行列式的某行（列）中的公因子可以提出去，或者以一数乘行列式等于这个数乘行列式；5.如果行列式中两行成比例，那么行列式为零；6.帮行列式的一行乘以某个数加到另一行，行列式不变；place 展开定理：任取A的k 行，可构成A的一切可能的k阶子式为t（=C n k）个，设为M1，…，M t,其相应的代数余子式为A1，A2，…，A t，则|A|=M1A1+M2A2+⋯+M t A t。

其中，第七条性质的特殊情形就是我们平时常用的展开定理。

这7条性质的应用是行列式应用于其他地方的基本保障。

在此基础上，我们可以得出更多的性质和推论。

通过学习，我们知道，行列式其实是一种工具，是将多种情况下转换为行列式，通过计算行列式的值来得到想要的结果。

在上面7条性质的基础上，我们可以得到计算一般阶的主要方法与技巧：定义法、化三角形法、Vandermonde（范德蒙）行列式法、分列式行列式法、加边法、降阶法、递推法、数学归纳法、做辅助行列式法。

这里就不一一分析了，比较常用的就是化三角法，一般有上三角和下三角。

在学行列式时，没觉得有什么困难，知识本身也比较简单，除了弄懂那些定理是怎么来的，剩下来的就是计算了，一般情况下，只要细心点，就不会错了。

行列式还是比较好学的。

矩阵矩阵，Matrix。

在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

这一概念由19世纪英国数学家Cayley 于1858年首先提出。

自此，矩阵理论便迅速的建立起来。

矩阵论是数学中内容最为丰富、应用最广泛的部分。

定义：称数域F 中m ×n 个数a_ij （i=I,2,…,m; j=1,2,…,n ）排成的m 行n 列的矩形表格⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211为数域F 上的一个m×n 矩阵，简记为(a ij )m×n ，其中a ij 称为矩阵的第i 行第 j 列交叉点上的元素（简称元）。

其中，若对于矩阵A ，如果存在矩阵B ，是的AB=E,则称B 为A 的逆矩阵。

在我们的学习中，矩阵的秩和初等矩阵是在矩阵应用中两个比较重要的概念。

矩阵的秩：设A=(a ij )m×n ,α1,…,αs 是A 的行向量，β1,…,βn 为A 的列向量，称r 矩阵的秩，若r 为A 行（列）向量组的极大无关组的个数。

用通俗的话讲就是若A 中存在一个r 阶子式不等于0，而一切r+1阶子式都等于0，则称r 为A 的秩，并记为rank A=r ；特别的，当A=0时，规定rank A=0. 我们常用到的有关矩阵的秩的等式和不等式有：1. 设A 为s ×n 矩阵，P,Q 分别为s 阶和n 阶可逆矩阵，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).2. 设A 为n 阶矩阵，则rank A=n ⟺A 可逆.3. rank A=rank A ′=rank (kA),其中 k ≠0.4. r (A 00B)=r(A)+r(B) 5. 秩的第一降阶定理：设A 可逆，(A 00B )是m ×n 矩阵，则 r (A 00B)=r(A)+r(D - C A −1B) 6. 秩的第二降阶定理：设A ，D 分别是r 阶与s 阶可逆矩阵，B ，C分别是r ×s 和s ×r 矩阵，则r(D - C A −1B) =r(D)-r(A)+r(A - B D −1C)7.r(A C0B)≥r(A)+r(B)r(A0C B)≥r(A)+r(B)8.r(AB)≤min{r(A),r(B)}9.r(A,B) ≤r(A)+r(B)10.r(A+B) ≤r(A)+r(B)11.(Sylvester不等式)设A,B分别是m×n和n×l矩阵，则r(AB)≥r(A)+r(B) – n12.(Frobenius 不等式)r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)13.设A为实矩阵，则r(A A′)=r(A)=r(A′)上述13条性质就是矩阵秩的基本内容，或者说是矩阵秩的基本应用了，用矩阵秩解决后面知识中碰到的问题，有了这13条性质就有了基本保障了。

初等矩阵是我们用到矩阵时另一个重要的概念就是初等矩阵。

定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

定义中提到的另一个概念初等变换是指，●交换矩阵的两行（列）（换法变换）●用一个非零数乘矩阵的某一行（列）（倍法变换）●用一个数乘矩阵某一行（列）加到另一行（列）上去（消法变换）而上述三种初等变换对应的初等阵有分别叫做换法阵、倍法阵和消法阵。

初等变换和初等矩阵之间的关系也是一个很重要的知识点，它为我们之后的矩阵进行的各种处理提供了理论基础：对于一个s×n矩阵A做一次初等行变换就相当于在A的左边乘相应的一个s×s初等矩阵；做一次初等列变换就相当于在A的右边乘相应的n×n初等矩阵。

这种对应关系也就是后来学到的线性变换，这在后文会单独列出来讲述。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。

在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

由此可见，矩阵在高等代数中的重要性。

记得在大一在初次接触矩阵的时候，还没有觉得有什么困难，但当学到矩阵的秩的时候，便开始犯糊涂了，脑子一时转不过弯，无法理解什么才叫矩阵的秩。

经过长时间的学习后，才对秩有了一个深入的了解，两学期的高代课下来，才让我真正认识到矩阵的重要性。

当然，矩阵的重要性并不是因为上述两个重要的概念，而是矩阵分支出去的概念的应用，下面便一一阐释。

线性方程组线性方程组中其实是用到了矩阵的乘法。

线性方程组是方程组的一种，它符合以下的形式：{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1 a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2⋮ ⋮ ⋮ ⋮a m1x1+a m2x2+⋯+a mn x n=b m其中，a11，a12以及b1，b2等等为已知常数，而x1，x2等等则是要求的未知数。

运用矩阵的方式，可以将线性方程组写成一个向量方程：Ax=b，其中，A是由方程组里未知量里未知量的系数排成的m×n矩阵，x是含有n个元素的行向量，b是含有m个元素的行向量。

A=(a11 a12 ⋯a1n a21 a22 ⋯a2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮a m1 a m2⋯a mn )，x=(x1x2⋮x n), b=(b1b2⋮b n)在这个写法下，将原来的多个方程转化成一个向量方程，在已知矩阵A和向量b的情况下，求未知向量x。

根据学习可将解的判定方法总结如下：1)r(A)=r(Ã)=n当且仅当Ax=b有唯一解；2)r(A)=r(Ã) <n当且仅当Ax=b有无穷多解；3)r(A)≠r(Ã)当且仅当Ax=b无解；4)r(A)=n当且仅当Ax=0只有零解；5)r(A) <n当且仅当Ax=0有非零解.有了如何判定方程组有解的方法后，我们就要来将解表示出来，当方程组有一两组解的时候，表示出来还很简单，当方程有无数组解的时候，我们只能想出一种通式来表示解，这就有了线性方程组解的结构。

对于方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2⋮ ⋮ ⋮ ⋮a m1x1+a m2x2+⋯+a mn x n=b m（1）当b1,b2,⋯,b m全为零时，我们称（1）为其次线性方程组，否则，为非齐次线性方程组。

定义：齐次线性方程组的一组解η1，η2，⋯，ηt称为（1）的一个基础解系，如果1)（1）的任意一个解都能表达成η1，η2，⋯，ηt的线性组合；2)η1，η2，⋯，ηt线性无关。

在证明其次线性方程组的确有基础解系的时候，我们得到这样一个定理：在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n-r，这里的r表示系数矩阵的秩。

进一步可得，如果γ0是非齐次线性方程组的一个特解，那么该方程组的任意一个解γ都可以表成γ=γ0+ η其中η该方程组导出组的一个解。