第三章-立体的投影.
第三章立体的投影
第三章立体的投影（一）教学内容1. 基本平面几何体三面投影的特征，几何元素投影分析2.基本平面几何体三面投影的对应规律3. 基本平面几何体表面上点、线的投影4. 圆柱体、圆锥体、球体的几何要素及其投影5. 圆柱面、圆锥面、球面上取点取线的投影作图方法（二）教学要求1. 熟练画出基本几何体（平面立体、曲面立体）的三视图2. 掌握根据基本几何体的两个视图，想出它们的空间几何形状和位置3. 掌握根据基本几何体的两面投影，画出它们的第三个投影4. 掌握根据基本几何体的已知投影，画出已知表面上点、线的未知投影三、建筑形体的基本表达方法1.多面正投影图当物体的形状和结构比较复杂时，仅用三面投影图表达是难以满足要求的，为此，在制图标准中规定了多种表达方法，绘图时可根据工程形体的形状特征选用。
对于建筑形体往往要同时采用几种方法，才能将其内外结构表达清楚。
从图3－4a)中我们可以看出，将物体放在六个相互垂直的平面中，将从前向后、从上向下、从左向右、从后向前、从下向上、从右向左六个方向看到画在平面图纸上的六个基本投影图，得到物体的平面投影图。
用正投影法绘制的物体的图形称为视图。
对于形状简单的物体，一般用三个视图就可以表达清楚，而对于复杂的房屋建筑，各个方向的外形变化较大时，往往采用三个以上的视图才能完整表达其形状结构。
如图3-5所示的房屋形体，可由不同方向投射，从而得到有五个视图的多面正投影图。
绘制建筑房屋的视图，从前方投射的A向视图为正立面图，应尽量反映出物体的主要特征，从上方投射的B向视图为平面图，从左方投射的C向视图为左侧立面图，从右方投射的D向视图为右侧立面图，从后方投射的E向视图为背立面图。
2.镜像投影图镜像投影是物体在镜面中的反射图形的正投影，该镜面应平行于相应的投影面，如图3-6a所示。
用镜像投影法绘制的平面图应在图名后注写“镜像”二字，以便读图时识别，如图3-6b。
镜像投影图可用于表示某些工程的构造，在装饰工程中应用较多，如吊顶平面图，是将地面看作一面镜子，得到吊顶的镜像平面图。
第三章立体的投影
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
12
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。 •平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。
• 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
s
1 素线法
m 2 纬圆法
31
例 BAC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W投影
s'
a' d' (e')
b'(c')
c
e
sa
bd
s"
(a")
e"
d"
c"
b"
分析
BAC不通过锥顶， 故为曲线
作图
①找特殊点 ②求H、W面投影 ③光滑连接曲线
32
圆球
O
球面
形成
圆绕其直径旋转 而成
O 轴线 圆球表面无直线！
作业
3-2（1）（2）
36
3.2.2 平面与曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
37
截交线的性质：
• 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形。
38
二、求平面与曲面立体的截交线的一般步骤
线后再取局部。
19
20
例:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
第三章_立体的投影
20319/.10/2完4 善轮廓。
工业制图课件
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
2019/10/24
工业制图课件
抛物线加直线段
二、圆锥的截断
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。
PV
PV θ
PV
PV
PV θ
垂直于轴线 θ = 90°
圆2019/10/24
e
●
●
●
db
工业制图课件
例例1:1圆: 圆锥锥被被正正垂垂面面截截断断，， 完成完三成视三图视。图。
1' 7‘ (8') 3‘(4’) 5' (6 ')
9‘ (10')
2'
1• 0 6• • 4 • 8
1 2
2019/10/24
9•
•
5
•
3
•7
1"
如何找椭圆另一根
4"8"• 6" •
• 7" 轴的端点（即最前、
2019/10/24
工业制图课件
取点的方法
1）轮廓线上取点 2）利用积聚投影 3）纬圆上取点
面上取点必需先取线。取线为圆的这一方法， 对于回转面来说，具有普遍的意义。
2019/10/24
工业制图课件
4.42..22.2 曲曲面面体体的的截截交交
(1) 曲面体截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由直线 和曲线围成）。
第三章 立体及其表面交线的投影
单击立体模型区可观看三维动画
2．具有公共轴线的回转体相交，或当回转 体轴线通过球心时，其相贯线为垂直于轴 线的圆。
例2：补全主视图
●
●
●
●
● ●
●
● ● ● ● ● ●
●
●
★ 外形交线
二、回转体的截交线
截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 ⒈ 求截交线的方法：
求截平面与回转体表面的共有点。
⒉ 求截交线的步骤： 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明 确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。 找出截交线的已知投影，予见未知投影。
一、平面体表面的截交线
截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 分别求出截平面与棱面的交 的投影特性 线，并连接成多边形。
k
k
圆的半径？
k
辅助圆法
3.4 平面与立体表面相交——截交线
用平面与立体相交，截去体的一部分 ——截切。
用以截切立体的平面——截平面。 截平面与立体表面的交线——截交线。
截交线的性质：
第3章-基本立体的投影
第3章 基本立体的投影
3.2.2 圆锥
1. 圆锥面的形成 圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而 成的。圆锥体由圆锥面和底面组成。 2. 圆锥的投影 图3-4表示一直立圆锥，它的正面投影和侧面投影 为同样大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圆锥面 的最左和最右素线的投影，它们把圆锥面分为前、后 两半；侧面投影s″c″和s″d″是圆锥面最前和最后素线的 投影，它们把圆锥面分为左、右两半。
第3章 基本立体的投影
图3-4(b)中，已知K点的正面投影k′，求点 K的其他两个投影。可用辅助圆法作图，即过 点K在锥面上作一水平辅助纬圆，该圆与圆锥 的轴线垂直，点K的投影必在纬圆的同面投影 上。作图时，先过k′作平行于X轴的直线，它 是纬圆的正面投影，再作出纬圆的水平投影。 由k′向下作垂线与纬圆交于点k，再由k′及k求 出k″。因点K在锥面的右半部，所以k″不可见。第3章 基ຫໍສະໝຸດ 立体的投影2. 棱柱表面上的点
在平面立体表面上的点，实质上就是平面上的点。 正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上的 点可利用平面投影的积聚性来作图。
如已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求水平、侧 面投影m、m″。由于正面投影m′是可见的，因此M点必 定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD为铅垂 面，水平投影abcd具有积聚性，因此m必在abcd上。根 据m′和m，由点的投影规律可求出m″，如图3-1(b)所示。
第3章 基本立体的投影
3.2 曲面立体
由一母线绕轴线回转而形成的曲面称为回转面， 由回转面或回转面与平面所围成的立体称为曲面立体。 母线在回转面上的任一位置称为素线。常见的曲面立 体有圆柱、圆锥和圆球等。
第3章 基本立体的投影
3.2.1 圆柱 1. 圆柱面的形成 圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴线旋转而
机械制图教案——第3章 立体的投影
第3章立体的投影一、本章重点：1.平面立体和曲面立体投影的画法，及立体表面点的投影。
2.立体与平面相交其交线的画法，既求截交线。
3.两回转体轴线垂直相交其交线的画法。
4.立体的尺寸标注。
二、本章难点：1.圆球和圆环的投影及表面上点的投影。
2.圆锥、圆球被平面截切后，截交线的画法。
3.求作相贯线。
三、本章要求：通过本章的学习，要掌握基本体的三面投影画法，基本体表面点的投影，能够分析和绘制常见的截交线和两回转体轴线相交时的相贯线，掌握立体的尺寸标注的方法。
四、本章内容：§3-1 平面立体的投影一、棱柱棱柱体由若干个棱面及顶面和底面组成，它的棱线相互平行。
顶面和底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱。
常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、六棱柱等。
1．棱柱的三视图2．棱柱表面上的点二、棱锥棱锥的底面为多边形,各侧面为若干具有公共顶点的三角形。
从棱锥顶点到底面的距离叫做锥高。
当棱锥底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、六棱锥。
1. 棱锥的三视图2．棱锥表面上的点§3-2曲面立体的投影曲面立体的表面是由一母线绕定轴旋转而成的，故称曲面立体，也称为回转体。
常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。
一、圆柱1．圆柱面的形成圆柱面可看作一条直线AB围绕与它平行的轴线OO回转而成。
OO称为回转轴，直线AB称为母线，母线转至任一位置时称为素线。
这种由一条母线绕轴回转而形成的表面称为回转面，由回转面构成的立体称为回转体。
2．圆柱的三视图3．圆柱表面上的点二、圆锥1．圆锥面的形成圆锥面可看作由一条直母线围绕和它相交的轴线回转而成。
2．圆锥的三视图3．圆锥表面上的点三、圆球1．圆球面的形成圆球面可看作一圆（母线），围绕它的直径回转而成。
2．圆球的三视图3．圆球表面上的点四、圆环1．圆环的形成圆环面可看作由一圆母线，绕一与圆平面共面但不通过圆心的轴线回转而成。
图中的回转轴是铅垂线。
第3章立体的投影
第3章立体的投影电子教案：3.1 基本立体的投影基本立体可分为平面立体和曲面立体。
表面均为平面的基本立体称为平面立体。
常见的有棱柱、棱锥，如图3-1所示。
表面由曲面和平面或完全由曲面组成的基本立体称为曲面立体。
最常见的曲面立体是回转体，包括圆柱、圆锥、球、圆环等，如图3-2所示。
将基本体放在三投影面体系中进行投射时，为了画图、读图的方便，通常将其“放平，摆正”。
放平——就是让基本体的底面处于平行面位置。
摆正——是在放平的基础上，让其余各面尽可能处于平行面或垂直面位置。
在以后画组合体视图或零件图时也要遵循这个原则。
图3-1 平面立体图3-2曲面立体3.1.1 平面立体的投影及其表面取点在投影图上表示平面立体就是把组成立体的平面和棱线表示出来，然后判别其可见性，把看得见的棱线投影画成实线，看不见的棱线投影画成虚线。
1．棱柱(1) 棱柱的投影常见的棱柱有正四棱柱和正六棱柱，图3-3（a）所示一正六棱柱，由六个相同的矩形棱面和上下底面（正六边形）所围成。
将其放平摆正后，上、下底面为水平面，其水平投影反映实形，另外两面投影积聚为直线。
正六棱柱的六个棱面中，前后两个面是正平面，正面投影反映实形；其余四个棱面均为铅垂面。
如图3-3（b）所示，作图过程如图3-4所示。
（a）（b）图3-3正六棱柱的投影及表面取点图3-4 正六棱柱的画图方法和步骤棱柱的投影特性是：在与棱线垂直的投影面上的投影为一多边形，它反映棱柱上、下底面的实形；另两个投影都是由粗实线或虚线组成的矩形线框，它反映棱面的实形或类似形。
(2) 在棱柱表面上取点在棱柱表面上取点，其原理和方法与在平面内取点相同。
该例中正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在其表面上取点均可利用平面投影积聚性的原理作图，并判别其可见性，如图3-3（b）所示。
2．棱锥(1) 投影分析和画法常见的棱锥有正三棱锥和正四棱锥，图3-5（a）所示为一正三棱锥，锥顶为S，其底面为等边△ABC，是水平面。
第三章 立体的投影
基本体的三面投影的画法及面上找点的方法。 ⒈ 平面体表面找点，利用平面上找点的方法。 ⒉ 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。 ⒊ 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。 ⒋ 球体表面找点，用辅助圆法。
画法几何与工程制图
3.3 切割体的投影
一、切割体及截交线的概念
截交：立体被平面所截。
截平面 : 用以截切物体的 平面。
③ 最后将锥顶S与点A、B、C的同面投影相连， 即得到三棱锥的投影图。
④ 最后检查清理底稿，按规定线型加深。
3. 在棱锥表面上取点
a
一般采用辅助线法。
a
判别可见性
S
K
N
C
A
B
s
s
k n
b
s
n
k
k (n)
c a(c) b c
b
画法几何与工程制图
3.２ 回转体的投影
画法几何与工程制图
第三章 立体的投影
3.1 平面立体的投影 3.2 回转体的投影 3.3 切割体的投影 3.4 相贯体的投影
画法几何与工程制图
概述
立体可分为平面立体和曲面立体两种。表面都是由平面围成的立体，称 为平面立体。
表面由平面和曲面或曲面围成的立体，称为曲面立体。 下面分别介绍它们的投影画法及表面取点。
2.截交线的形状：
其形状取决于平面体的形状及截平面 对平面体 的 截切位置。
根据上述截交线的性质，求截交线的 方法可归结为求截平面与立体表面一系列 共有点的问题，也就是表面取点法。
●
K
3. 轮廓线素线的投影与曲面的可见性的判断
圆锥面是由直线SA绕与它相交的轴线OO1旋 转而成。
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6" 1" (5")
a′ a
b′
10 7s8 9
c′ c
a″=c″ a″(c″)
b″
2
1
4 5
3
b6
[例题7]求八棱柱被平面P截切后的水平投影。
P
4(5) 7 5 6 3 4
Ⅴ
2
2(3)(6)(7) 1(8) 8
Ⅶ Ⅷ
Ⅳ Ⅵ
Ⅲ
8 1
Ⅱ
7 5 6
Ⅰ
3 1 2
由两个底面和几个侧 面组成。侧面与侧面 的交线叫侧棱，侧棱 相互平行。
2. 棱柱的投影
在图示位置时，六棱 柱的两底面为水平面， 在水平投影中反映实 形。前后两侧面是正 平面，其余四个侧面 是铅垂面，它们的水 平投影都积聚成直线， 与六边形的边重合。
侧面投影
水平投影
六棱柱的投影
3. 棱柱表面上取点
4
截交线的 求截交线 形状？
[例题7]求八棱柱被平面P截切后的水平投影。
[例题8] 求立体切割后的三面投影。
s′
5' 5"
s″
6'
1'
6" (4")1" 3'(4') 2" 3"
2'
a′ a
1 5
b′
4
c′ c
a″= c″
Ⅴ
b″
Ⅵ
s
6
2 b
3
Ⅰ
Ⅳ Ⅲ
Ⅱ
练习1：补全四棱锥截切后的三面投影。
Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ
棱柱
棱锥
平面立体侧表面的交线称为侧棱。 若平面立体所有侧棱互相平行，上下底面互相平行称 为棱柱。 若平面立体所有侧棱交于一点，称为棱椎。
画பைடு நூலகம்体的投影
绘制表面
绘制边和顶点的投影
当轮廓线的投影可见时，画粗实线； 不可见时，画虚线； 当粗实线与虚线重合时，画粗实线。
小小规定
一、 棱柱
正面投影
1. 棱柱的组成
[例题5] 求立体切割后的投影。
6 (5) 1 6 5 3 4 1 2
4
2 (3)
Ⅵ Ⅴ
3 5 1 2 4 6
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
[例题6] 求三棱锥被穿孔后的三面投影。
s′ s″
2'(7') 4'(8') 3' 6' 1'(10')
7"(8")
2"(4") 3"
10"(9")
Ⅰ Ⅰ
Ⅱ Ⅱ
1
4 2 3
[例题3] 求立体切割后的三面投影。
4' Q' 4"
P'
1'
2'(3')
3" y 3 1" y 2"
Ⅳ
y
1 4 y
Ⅲ
Ⅱ
2
Ⅰ
[例题4] 补全平面立体切割后的三面投影。
5 1 4 (3)
(6) 2 1 3 6 4 5
(2)
Ⅲ
2 3
Ⅳ Ⅵ
1
Ⅱ
6
Ⅴ Ⅰ
5
4
″ ″ 4(6)
3″
5″
10″
′ ′ 1(2) 4(2)
9′ ′ ′ 7(8) 6(8) ″ ″ 2(8)
″ 1
7″
9″
3(1) 5(7) 10(9)
3.3 曲面立体
曲面立体：所有表面都是由曲面或曲面和平面 所围成的立体称为曲面立体。它们通常被称为 回转体。 一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回 转面。不动线称为回转轴，动线称为母线，母 线在回转面上的任意位置称为素线。 零件上常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球。
用平面与立体相交，截去体的一部分——截切。 用以截切立体的平面——截平面。 截平面与立体表面的交线——截交线。
Ⅴ
Ⅶ Ⅵ ＇＇ 2(3)
＇＇ 6(7) ＇ ＇ 4(5) ＇ 1 〃 5 〃 3
〃 7
〃 6 〃 4 〃 2 〃 1
Ⅲ
Ⅳ
3 Ⅰ Ⅱ
5 7
1 6
一、截交线的性质：
1)截交线既在截平面上，又在立体表面上， 是截平面与立体表面的共有线。
2)截交线的形状由直线围成的封闭的平面多 边形。
3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点， 多边形的各边是截平面与立体表面上不同 平面的交线。
二、截交线的求法
求各棱线与截平面的交点，然后依次连接。
求截交线的步骤：
1. 空间分析 分析截平面与立体的相对位置:确定截交线的形状 2. 投影分析 分析截平面与投影面的相对位置:确定截交线的投 影特性 3. 画出截交线的投影
第三章 立体的投影
§3.1 平面立体
§3.2 平面与平面立体表面相交
§3.3 曲面立体 §3.4 平面与曲面立体表面相交 §3.5 两立体表面相交
§3.1 平面立体
基本要求
1. 掌握平面立体的投影特性和作图方法 2. 掌握在平面立体表面上取点取线的方 法
常见的基本体
平面立体 曲面立体(回转体)
平面立体：由若干平面所围成的基本体，如 棱柱、棱锥等。
练习2：补全切割穿孔后平面立体的三面投影。
练习3：补全切割穿孔后平面立体的三面投影。
练习4：已知立体的V、W投影，试求其H投影。
练习5:已知两面投影，求第三面投影。
＇＇ 3(4) Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ 2 4 3 1 ＇＇ 1(2)
〃 4 〃 2
〃 3 〃 1
′ ′ 3(4) 10′
′ ′ 5(6)
三棱锥的投影画法
s
s
S a a b s b B c a(c) c b
A
C
三棱锥的投影
S
C
B
A
3. 三棱锥表面上取点Ⅰ
r
1
1
r
R
Ⅰ
1
三棱锥表面上取点Ⅱ
2 2
Ⅱ
2
三棱锥表面上取点Ⅲ
（3）
3
Ⅲ
3
[例题1] 求立体的侧面投影
3.2 平面与平面立体表面相交
分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。
4. 检查、描深
[例题1] 四棱锥被正垂面P切割，求截切后的三面投影。
s P 3 (4) 1 2 4
● ●
s 1
●
解题步骤
2
1.空间分析：截平面 与四条侧棱均相交， 因此截交线是一个四 边形。 2.投影分析：截平面为 正垂面，截交线的正面 投影已知，水平投影和 侧面投影未知； 3.求截交线：求出截 交线上的点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ ；
●
3
4
3
●
Ⅳ
●
Ⅰ
s
●
●
1
Ⅲ
Ⅱ
2
4. 顺次地连接各点 ，作出截交线，补全 棱线的投影，并且判 别可见性； 5. 检查、描深。
[例题2]求出图中六棱柱被切割后的三面投影。
Ⅵ Ⅴ Ⅴ Ⅶ Ⅳ Ⅶ Ⅲ
Ⅵ
3 '( 6 ') 2'( 7') 1'
4'( 5') 6" 7"
5"
4" 3"
2" 1"
Ⅲ Ⅳ
7
6 5
一、圆柱体
1. 圆柱体的组成
由圆柱面和上下两底面组成。 圆柱面是由直线AA1绕与它平行 的轴线OO1旋转而成。
(a)
(b') c'
b"
c"
b
a
c
六棱柱表面取线
2' 3' 2" 3"
1'
1"
2(1) 3
二、棱锥
1. 棱锥的组成
由一个底面和几个棱 面组成，侧棱相交于 一点。
2. 棱锥的投影
在图示位置时，三棱 锥的底面为水平面， 在水平投影中反映实 形。左右棱面都是一 般位置平面，后棱面 是侧垂面，它的侧面 投影积聚成直线。