高等数学反常积分练习题
反常积分答案
第十一章 反常积分一、单选题（每题2分）1、广义积分dxx x ⎰∞+-1211=（ ）A 、0B 、2πC 、4πD 、发散2、广义积分dx x x ⎰∞+-+2221=（ ） A 、 B 、0 C 、4ln 31 D 、发散3、广义积分⎰+-20234x x dx =（ ）A 、3ln 1-B 、32ln 21 C 、 D 、发散 4、下列广义积分收敛的是（ ）A 、⎰∞+edx x xln B 、⎰∞+e x x dx ln C 、⎰∞+e x x dx 2)(ln D 、⎰∞+ex x dx21)(ln5、下列广义积分发散的是（ ）A 、⎰∞-0dxe xB 、⎰π2cos x dx C 、⎰-202x dx D 、⎰∞+-0dx e x6、下列积分中（ ）是收敛的A 、⎰∞+∞-xdx sin B 、⎰-222sin ππx dx C 、⎰∞+0dx e x D 、⎰-101x dx 7、下列广义积分发散的是（ ）A 、⎰-11sin x dx B 、⎰--1121x dx C 、⎰∞+-02dx xe x D 、⎰∞+22)(ln x x dx 8、⎰=-10121dx e x x（ ）A 、e 1B 、11-eC 、e 1-D 、∞9、已知2sin 0π=⎰∞+dx x x ，则=⎰∞+dx x x x 0cos sin （ ）A 、0B 、4πC 、 2πD 、10、广义积分=+⎰∞+∞-dx x 211（ ）A 、0B 、2πC 、2π-D 、11、下列积分中绝对收敛的是（ ）A 、dx x x ⎰∞+12sin B 、dx x x ⎰∞+1sin C 、dx x ⎰∞+12sin D 、dx x x ⎰∞+14sin12、已知广义积分dxx ⎰∞+∞-sin ，则下列答案中正确的是（ ）A 、因为在()+∞∞-,上是奇函数，所以0sin =⎰∞+∞-dx xB 、dxx ⎰∞+∞-sin =()()()[]0cos cos cos =∞--∞+-=∞-∞+-xC 、dx x ⎰∞+∞-sin =()0cos cos lim sin lim =+-=⎰-+∞→+∞→b b xdx bbb bD 、dxx ⎰∞+∞-sin 发散13、设广义积分dxe kb ⎰∞+-0收敛，则k （ ）A 、B 、C 、D 、答案：BCDCB DAABD ADB二、判断题（每题2分）1、当10<<λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1cos λ条件收敛； （ ）2、当10<<λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1sin λ绝对收敛； （ ）3、若无穷积分()⎰∞+adxx f 收敛，而函数在[)+∞,a 单调有界， 则无穷积分()()⎰∞+adxx x f ϕ收敛； （ ）4、若()⎰∞+adxx f 收敛，则()0lim =+∞→x f x ； （ ）5、若在[)+∞,a 无界，则()⎰∞+adxx f 发散； （ ） 6、若()x f x +∞→lim 不存在，则()⎰∞+adxx f 发散； （ ）7、若单调，()⎰∞+adxx f 收敛，则()0lim =+∞→x f x ； （ ）8、若()⎰∞+a dxx f 收敛，则()⎰∞+adxx f 2收敛； （ ）9、若()⎰∞+adxx f 2，()⎰∞+adxx g 2收敛，则()()⎰∞+adxx g x f 收敛； （ ）10、如果()⎰∞+adxx f 收敛，在[)+∞,a 上有界，则()()⎰∞+adxx g x f 收敛；（ ）11、若()⎰∞+adxx f 收敛，()0lim =+∞→x f x ，则()⎰∞+adxx f 2收敛； （ ）12、如果()⎰∞+adxx f 绝对收敛，()1lim =+∞→x g x ，则()()⎰∞+adxx g x f 收敛；（ ）答案：××× ××× ×三、填空题（每题2分）1、若无穷积分()⎰∞+a dx x f 收敛，则()=⎰∞++∞→dx x f pp lim；2、若无穷积分()⎰∞+adxx f 收敛，则时，无穷积分()⎰∞+bdxx f ；3、设(]b a x ,∈∀，函数()0≥x f ，a 是其瑕点，且极限())0()(lim +∞≤≤=-+→d d x f a x ax λ，若+∞≤<≥d 0,1λ，则瑕积分()⎰ba dx x f ；4、设[)+∞∈∀,a x ，函数()0≥x f ，，且极限())0(lim +∞≤≤=+→d d x f x ax λ，若+∞<≤>d 0,1λ，则无穷积分()⎰∞+a dx x f ；5、若()⎰∞+adxx f 收敛，则无穷积分()⎰∞+adxx f ；6、当时，无穷积分dx x x⎰∞+1cos λ ；7、当时，瑕积分⎰10px dx ；8、若()⎰∞+adxx f 收敛，且存在极限()Ax f x =+∞→lim ，则 ；9、=+⎰∞+12)1(x x dx ；=⎰∞+e x x dx 2ln ；10、设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+at axx dtte x x 1lim ，则常数 ；11、如果广义积分dxx p ⎰∞++11收敛，则 ；12、如果广义积分dxx p ⎰-11发散，则 ；答案：1、0 2、收敛 3、发散 4、收敛 5、绝对收敛 6、绝对收敛7、发散 8、0 9、2ln 21；1 10、2 11、 12、四、计算题（每题5分） 1、⎰∞+++0284x x dx解：⎰∞+++0284x x dx =)022arctan 21(lim 4)2(lim 02u x x dx u u u +=+++∞→+∞→⎰=8)42(21)422(arctan 21limππππ=-=-++∞→u u 2、dxx x 1sin 122⎰∞+π解：设x t 1=，则dt t dx 21-=，有dx x x 1sin 122⎰∞+π=120cos sin 02==-⎰ππt tdt 3、⎰∞+-+222x x dx解：⎰∞+-+222x x dx =221ln 31lim )2111(31lim 2u x x dx x x u u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--+∞→+∞→⎰ =2ln 32)2ln 221ln lim (31=-+-+∞←u u u4、⎰1ln xdx解：⎰1ln xdx =()1)ln 1(lim 1ln lim ln lim 0100-=+--=-=+++→→→⎰εεεεεεεεx x x xdx5、⎰--1121x dx解：⎰--1121x dx=⎰⎰-→+-→-+-++εεεε10200121lim 1lim x dxx dx =)01arcsin 10(arcsin lim 0εεε-++-+→x x))1arcsin()1arcsin((lim 0εεε-++--=+→=πππ=+226、()⎰--112x x dx 解：因为()C x C t t dtt x x x dx+--=+-=+-=---⎰⎰1arctan 2arctan 2121122所以()⎰--1012x x dx=01)1arctan 2(lim 1)2(lim 010εεεε---=--++→-→⎰x xx dx=2)4arctan lim (20ππεε=--+→7、⎰∞+++04211dx x x解：由Cxxxxxxddxxxxdxxx+-=+--=++=++⎰⎰⎰21arctan212)1()1(111112222342得⎰∞+++04211dxxx=221arctan21lim11lim242πεεεε=-=++⎰++→+∞→→+∞→uxxdxxx uuu8、())0(ln>⎰∞+axxdxa p解：时，+∞===+∞→∞++∞→⎰⎰auxxxdxxdxuuaa ulnlnlimlnlnlimln时，()()auxpxxdxxdxpuua pua p-+∞→+∞→∞+-==⎰⎰1)(ln11limlnlnlimln=⎪⎩⎪⎨⎧<∞>--11)(ln111ppapp故当时，()⎰∞+a pxxdxln=()pap--1ln11时，()⎰∞+a pxxdxln发散；9、⎰20)ln(sinπdxx解：⎰20)ln(sinπdxx=⎰+→2sinlnlimπεxdx⎰+→=422sinlnlim2πεεtdttx=⎰+++→42)coslnsinln2(lnlim2πεεdttt=⎰⎰++⋅44cosln2sinln242ln2πππtdttdt=⎰⎰+=++4422ln2cosln2sinln22ln2ππππIxdxxdx由此求得2ln2π-=I10、⎰∞+-∈=)(NndxexI xnn解：当时，⎰∞+-==1dxeI x当时，dxxenuxedxxeI u nxunxuu nxun⎰⎰--+∞→-+∞→-+∞→+-==1 0lim)(limlim=⎰---+∞→=un n x u nI dx x e n 011lim则 !12)1(0n I n n I n =⋅⋅-= 五、证明题（每题5分） 1、证明01ln 02=+⎰∞+dx x x证：令t x 1=，则 ⎰⎰⎰∞-∞+∞++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=+00222021ln 1111ln1ln dt t t dt tt t dx x x =⎰∞++-021ln dxx x则有 01ln 02=+⎰∞+dx x x2、证明dx x x⎰∞++01cos 收敛，且11cos 0≤+⎰∞+dx x x证：dx x x ⎰∞++01cos =dx x x x x ⎰∞+++∞++02)1(sin 01sin =dxx x⎰∞++02)1(sin又()22111sin x x x+≤+）（，而dxx ⎰∞++02)1(1收敛，所以dx x x ⎰∞++02)1(sin 收敛dxx x ⎰∞++01cos 收敛而≤+=+⎰⎰∞+∞+02)1(sin 1cos dx x xdx xx1011)1(102=∞++-=+⎰∞+x dx x3、证明：若在()+∞∞-,上连续，且()⎰∞+∞-dx x f 收敛，则对任何()+∞∞-∈,x ，有()()⎰∞-=x x f dt t f dx d , ()()⎰∞+-=x x f dt t f dx d ,证：由条件()10J dx x f =⎰∞-，()⎰∞+=02J dx x f 都存在；再由连续可得()()()⎰⎰∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x a x f dt t f J dx d dt t f dx d ,1()()()⎰⎰∞+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x ax x f J dt t f dx d dt t f dx d ,24、 设()⎰∞+adxx f 收敛，证明：（1）若极限()x f x +∞→lim 存在，则()0lim =+∞→x f x（2）若在[)∞+a 上为单调函数，则()0lim =+∞→x f x 证：（1）设()A x f x =+∞→lim 。
反常积分的概念与性质练习题
反常积分的概念与性质练习题一、单项选择题1. 下列哪个函数在区间[1, +∞)上的积分为反常积分？A. f(x) = x^2B. f(x) = ln(x)C. f(x) = 1/xD. f(x) = sin(x)2. 如果函数f(x)在区间[a, +∞)上的积分存在有限值，则称f(x)在该区间上是（）。
A. 反常可积函数B. 反常不可积函数C. 连续可导函数D. 纯量积分函数3. 下列哪个级数可以通过求反常积分的极限来判断其敛散性？A. ∑(n=1)^∞ (1/n)B. ∑(n=1)^∞ (1/n^2)C. ∑(n=1)^∞ (n^2)D. ∑(n=1)^∞ (n!)4. 若反常积分∫(1, +∞) f(x)dx收敛，则下列哪个结论是正确的？A. 函数f(x)在(1, +∞)上必然连续B. 函数f(x)在(1, +∞)上一定有界C. 函数f(x)在(1, +∞)上可导D. 函数f(x)在(1, +∞)上不可微二、填空题1. 设函数f(x)在区间[a, +∞)上连续且非负，且∫(a, +∞) f(x)dx = 5。
若对于任意的x ∈ [a, +∞)，有f(x) ≥ 0，那么∫(a, +∞) 2f(x)dx = 。
2. 若反常积分∫(a, +∞) f(x)dx收敛，且∫(a, +∞) g(x)dx收敛，那么∫(a, +∞) [f(x)+g(x)]dx = 。
三、计算题1. 计算反常积分∫(1, +∞) (1/x^2)dx。
2. 计算反常积分∫(0, 1) ln(x)dx。
四、证明题证明：若函数f(x)在区间[a, +∞)上连续，且反常积分∫(a, +∞) f(x)dx 收敛，则对于任意ε > 0，存在M > a，使得对于任意的m > n > M，有|∫(n, m) f(x)dx| < ε成立。
五、解答题1. 解释反常积分的定义，并举例说明。
2. 证明：若函数f(x)在区间[a, +∞)上连续，且∫(a, +∞) f(x)dx发散，则对于任意M > a，存在n > M，使得|∫(a, n) f(x)dx| > 1成立。
第5章换元法与分部积分法,反常积分习题集及答案
第五章 习题二换元法与分部积分法，反常积分一．选择题1．设2]2,0[)(C x f ∈，0)0(=f ，4)2(=f ，2)2(='f ，则=''⎰dx x f x )2(10（ A ） （Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）2； （Ｄ）4． 2．设)(x f 连续，则=+⎰ba dy y x f dxd )(（ B ） （Ａ）⎰+'ba dy y x f )(；（Ｂ）)()(a x fb x f +-+；（Ｃ）)(a x f +；（Ｄ）)(b x f +． 3．下列反常积分中收敛的是（ D ） （Ａ）dx x⎰∞+11； （Ｂ）dx x ⎰1031； （Ｃ）dx x ⎰101； （Ｄ）dx x ⎰∞+121． 4．下列反常积分中收敛的是（ C ）（Ａ）⎰∞+e dx x x ln ； （Ｂ）⎰∞+e dx xx ln 1； （Ｃ）⎰∞+e dx x x 2)(ln 1； （Ｄ）⎰∞+e dx x x 21)(ln 1． 5．对于反常积分⎰∞+1ln xx dxp，下列结论正确的是（ D ） （Ａ）当1>p 时收敛； （Ｂ）p 取任意实数都收敛； （Ｃ）当1<p 时收敛； （Ｄ）p 取任意实数都发散． 6．下列反常积分中发散的是（ A ） （Ａ）⎰-11x dx；（Ｂ）⎰--111xdx ；（Ｃ）⎰∞+-02dx e x ；（Ｄ）⎰∞+22ln 1dx x x ． 7．设()f x 连续，则下列选项中必有偶函数的是（ D ）（A ）20()xf t dt ⎰（B ）20()xf t dt ⎰（C ）0[()()]xt f t f t dt --⎰（D ）0[()()]xt f t f t dt +-⎰ 8．设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，则必有（ A ）（A ）()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 （B ）()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数（C ）()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 （D ）()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数 二．填空题1．3252465_________________sin 01x xdx x x x-=+++⎰。
反常积分习题
1 反常积分概念1、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：（1）dx xex 220-¥+ò； （2）dx xex2-¥+¥-ò；（3）dx e xò+¥1； （4）òò+¥+12)1(x x dx ； （5）ò+¥¥-++5442x x dx； （6）xdx e x sin 0-+¥ò；（7）xdx e xsin ò+¥¥-； （8）ò+¥+021xdx解（1）因为）因为ò+¥-=02dx xe xòò+¥-+¥®-=022limAxA x dx xedx xe021lim 2Ae x A -+¥®-=21021212121lim 22=×-=÷øöçèæ-=-+¥®A A e 故dx xex 2-¥+ò收敛，其值为21。
（2）òòò¥+¥----¥+¥-+=00222dx xe dx xe dx xe x x x=ò+¥-=-00212dx xe x故dx xe x 22-¥+¥-ò收敛，其值为0。
（3）òò¥+-+¥®=02lim1Adx xA xedx e2lim 2A ex A -+¥®×-= 2)22(lim 2=-=-+¥®A A e故dx exò+¥1收敛，其值为2。
高数-反常积分的收敛性习题
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞+adx x )(ϕ和⎰∞+adx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。
则当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时⎰∞+a dx x f )(也收敛； 当⎰∞+a dx x f )(发散时⎰∞+a dx x )(ϕ也发散。
证 当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：Kdx x A Aεϕ<⎰')(。
于是≤⎰'A Adx x f )(εϕ<⎰'A A dx x K )(，所以⎰∞+a dx x f )(也收敛；当⎰∞+a dx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰')(。
于是≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1ε≥⎰'A A dx x f K ，所以⎰∞+a dx x )(ϕ也发散。
（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(l i m=+∞→x x f x ϕ。
则当⎰∞+a dxx f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散。
例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p xx p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ。
显然有 ⎰∞+1)(dx x f 收敛，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时发散。
同济大学高等数学§3.5 反常积分
2
dx
1 2
0
xd
(
1 1 x
2
)
1 x
2
[ 2 1
x2
0
1
0 1 x
2
dx]
2
1 2
2
4
.
解法 2： xtant ， dx sec 2 tdt ，
0
(1
1 x
2
)2
dx
2 0
sec2 sec4
t t
dt
2
cos2
tdt
.
0
4
通过换元把反常积分化为常义积分。
反常积分和常义积分计算方法相同，反常积分 代限有三句话：“能代则代之，代不了则取极限， 极限不存在则积分发散。”
, q1
故反常积分
(q 积分)
ab(
dx xa)q
当 q1 时
收 敛；当 q1 时
发散。
3
例 8．计算 2 1 2
3
dx
. 2 1
x x2 2
dx
1
2
x
1
2
2 2
解：∵ lim 1 ， ∴ x1 是瑕点。
x1 x x2
∵
1
1
2
dx lim 11
x x2
10 1
2
d(x 1) 2
xb
0
lim arctan
x
x
。
lim [arctan0arctana] lim [arctanbarctan0]
a
b
0 ( ) . 22
例
3.讨论反常积分
a
dx xp
(a
0)
的敛散性。
第十一章反常积分习题课
第十一章 反常积分习题课一 概念叙述 1．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的定义．答：()dx x f a⎰+∞收敛⇔()()lim+∞→+∞=⎰⎰uaau f x dx f x dx 存在．⇔()lim0+∞→+∞=⎰uu f x dx ．2．叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的定义．答：()ba f x dx ⎰收敛⇔()()lim +→=⎰⎰b buau a f x dx f x dx 存在．⇔0,0,εδ∀>∃>当δ<<+a u a ，有()()ε-<⎰⎰b buaf x dx f x dx ．3． 叙述()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则．答：无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则是：任给0ε>，存在0M >，只要12,u u M >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．4． 叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的柯西准则．答：瑕积分()dx x f ba ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只要()12,,u u a a ∈+δ，总有()()()2121b bu u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε⎰⎰⎰．二 疑难问题1．试问⎰+∞adx x f )(收敛与0)(lim =+∞→x f x 有无联系？答：首先，0)(lim =+∞→x f x 肯定不是⎰+∞adx x f )(收敛的充分条件，例如01lim=+∞→x x ，但⎰+∞11dx x发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是⎰+∞adx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x ，⎰+∞14sin dxx x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得到⎰+∞12sin dx x 1+∞=⎰，21cos x dx +∞=⎰=dt tt ⎰+∞12cos ，则⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x 是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元2t x =而得⎰+∞14sin dx x x =⎰+∞12sin 21dt t ，它也是条件收敛的． 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．注：若lim ()0x f x A →+∞=≠，则⎰+∞ax x f d )(发散．注：1）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且lim ()x f x A →+∞=存在, 则定有0)(lim =+∞→x f x ；2）若⎰+∞a x x f d )(收敛,且f 在[)+∞,a 上为单调，则0)(lim =+∞→x f x ；3）若⎰+∞a x x f d )(收敛，且f 在[)+∞,a 上一致连续，则0)(lim =+∞→x f x ；4）若⎰+∞ax x f d )(收敛，且()d af x x +∞'⎰收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证：1）设A x f x =+∞→)(lim ．若0≠A （不妨设0A >），则由极限保号性，M a ∃>，当x M ≥时满足 于是有()()2MaAf x dx u M ≥+-⎰， 于是 而这与⎰+∞ax x f d )(收敛相矛盾，故0A =．2）不妨f 在[)+∞,a 上单调增，若f 在[)+∞,a 上无上界，则0A ∀>，M a ∃>，当x M ≥时，使A x f ≥)(．类似于1）的证明，推知⎰+∞+∞=a dx x f )(，矛盾．所以f 在[)+∞,a 上单调增而有上界，于是由单调有界定理知A x f x =+∞→)(lim 存在．依据已证得的命题1），0)(l i m =+∞→x f x ．3）由f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0εδ∀>∃>，（设)δε≤[),,x x a '''∀∈+∞ x x δ'''-<只要时，就有()()2f x f x ε'''-<．又因⎰+∞adx x f )(收敛，故对上述,M a δ∃>，当12,x x M >时，有212()2x x f x dx δ<⎰．现对任何x M >，取12,x x M >，且使1221,.x x x x x δ<<-=此时由 便得(),.f x x M ε<>这就证得.0)(lim =+∞→x f x4）因为()d af x x +∞'⎰收敛，则()()()lim()d lim uau u f x x f u f a →+∞→+∞'=-⎰存在，于是()lim u f u →+∞存在，由1)得证．2．()af x dx +∞⎰收敛，与|()|af x dx +∞⎰收敛，2()af x dx +∞⎰收敛的关系？答：1）因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则|()|af x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰收敛．2）()af x dx +∞⎰2()af x dx +∞⎰收敛，例1+∞⎰条件收敛，但 21111sin 1cos 21cos 2222xx x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞+∞-==-⎰⎰⎰⎰，112dx x +∞⎰发散，1cos 22x dx x+∞⎰发散，则21sin x dx x +∞⎰发散． 例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散． 3）()af x dx +∞⎰收敛2()af x dx +∞⎰收敛，例 ()2441,10,1n n x n n f x n x n n ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪+≤<+⎪⎩，对ε∀，总存在1M >，使当n M >时，都有41221n n nn dx n ε+=<⎰． 故但对于()2f x ，例302sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即302sin x dx x+∞⎰收敛，因为312sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即312sin x dx x+∞⎰收敛，而1302sin x dx x⎰，0是暇点，取12p =，则3322sin lim lim 1ppx x x x x x xx++→→==，因为112p =<收敛． 因为2133330010sin 1cos 21cos 21cos 2222x x x x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰⎰， 311cos 22xdx x +∞-⎰收敛．1301cos 22x dx x -⎰，0是暇点，取1p = ，则23300141cos 22lim lim 122p p x x xx x x x x ++→→-==， 因为1p =，则发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散． 3．()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，与|()|baf x dx ⎰收敛 ，2()baf x dx ⎰收敛的关系？答：1）|()|baf x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰收敛．因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例． 2）()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛，()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛．反例1⎰收敛，但101dx x ⎰发散．3）若2()b af x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，则|()|baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛．证 因()()212f x f x +≤，则由比较原则，可得|()|b a f x dx ⎰收敛，从而()b a f x dx ⎰收敛．3．下列说法对吗？1）因为sin xx 在0没有定义，则10sin x dx x⎰是瑕积分；2）因为ln 1xx -在1x =没有定义，则1x =是10ln 1x dx x-⎰的暇点．答：若被积函数f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点．1）错误，因为0sin lim 1x x x +→=，则s i n xx在0的近旁有界，因此不是瑕点，10sin x dx x ⎰是定积分．若()x f 在(]b a ,上连续，()A x f ax =+→lim （常数），则()⎰badx x f 可看成正常积分，事实上，定义()()(]⎩⎨⎧∈==.,,,,b a x x f a x A x F 知()x F 在[]b a ,上连续，即()⎰badxx F 存在，而()()()⎰⎰⎰-→-→++==ba ba b adx x F dx x f dx x f εεεε00lim lim ，由于()x F 在[]b a ,上连续，知变下限函数()()⎰-=ba dx x F G εε在[]a b -,0上连续，有()()()⎰==+→ba dx x F G G 0limεε，即()().⎰⎰=b a b a dx x F dx x f 故()⎰ba dx x f 可看成正常积分。
反常积分练习题ppt课件
0 , x 0
四、
ห้องสมุดไป่ตู้
x
f
(t )dt
1 4
x2
,
0
x
2.
x 1 , 2 x
5
三、求当 k 为何值时 ，广义 积分 b dx (b a) a (x a)k 收敛？又 k 为何值时 ，这广义积分发散？
0 , x 0
四、已知
f
(x)
1
2
x
,
0
x
2
，试用分段函数表示
1 , 2 x
x f (t)dt .
4
练习题答案
一、1、 p 1, p 1；2、q 1 , q 1； 3、k 1 , k 1 ；
4、广义积分 x dx =____；
1 x2
2
5、广义积分 1 xdx ________；
0 1 x2
6、广义积分 x f (t)dt 的几何意义是______________ ________________________.
二、判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计
算广义积分的值：
1、 e pt cosh tdt 0
( p 1) ；
2、
dx
；
x2 2x 2
3、 x ne xdx （ n 为自然数 ）；4、 2 dx ；
0
0 (1 x)2
3
5、 2 xdx ；
1 x1
6、 x ln x dx ；
0 (1 x 2 )2
7、 1 lnn xdx . 0
4－6 反常积分练习题
1
练习题
一、填空题：
1、广义积分 dx 当_______时收敛；当______ 时
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测试一
一、名词解释
1.自由水
2.束缚水
3.水势
4.压力势
5.渗透势
6.衬质势
7.渗透作用
8.水通道蛋白
9.根压10.吐水现象
11.伤流现象12.蒸腾作用13.蒸腾拉力14.蒸腾速率15.蒸腾效率
16.蒸腾系数17.吸胀作用18.水分临界期
二、填空题
1. 植物散失水分的方式有种，即和。
2. 植物细胞吸水的三种方式是、和。
3. 植物根系吸水的两种方式是和。
前者的动力是，后者的动力是。
4. 设甲乙两个相邻细胞，甲细胞的渗透势为- 16 × 10 5 Pa ，压力势为9 × 10 5 Pa ，乙细胞的渗透势为- 13 × 10 5 Pa ，压力势为9 × 10 5 Pa ，水应从细胞流向细胞，因为甲细胞的水势是，乙细胞的水势是。
5. 某种植物每制造10 克干物质需消耗水分5000 克，其蒸腾系数为，蒸腾效率为。
6. 把成熟的植物生活细胞放在高水势溶液中细胞表现，放在低水势溶液中细胞表现，放在等水势溶液中细胞表现。
7. 写出下列吸水过程中水势的组分
吸胀吸水，Ψ w = ；渗透吸水，Ψ w = ；
干燥种子吸水，Ψ w = ；分生组织细胞吸水，Ψ w =；
一个典型细胞水势组分，Ψ w = ；成长植株吸水，Ψ w = 。
8. 当细胞处于初始质壁分离时，Ψ P = ，Ψ w = ；当细胞充分吸水完全膨胀时，Ψ p = ，Ψ w =；在初始质壁分离与细胞充分吸水膨胀之间，随着细胞吸水，Ψ S ，Ψ P ，Ψ w 。
9. 蒸腾作用的途径有、和。
10. 细胞内水分存在状态有和。
11. 常用的蒸腾作用指标有、和。
12. 影响蒸腾作用的环境因子主要有、、和。
13. 水分在植物体内的运输，一部分是通过的长距离运输，另一部分是通过活细胞的短距离径向运输，包括水分由根毛到根部导管，主要经过和，由叶脉到气孔腔要经过。
14. 将Ψ P = 0 的细胞放入等渗透溶液中，其体积。
三、选择题
（）1. 有一充分饱和细胞，将其放入比细胞浓度低10 倍的溶液中，则细胞体积
A.不变
B.变小
C.变大
D.不一定
（）2. 将一个生活细胞放入与其渗透势相等的糖溶液中，则会发生
A.细胞吸水
B.细胞失水
C.细胞既不吸水也不失水
D.既可能失水也可能保持动态平衡
（）3. 已形成液泡的成熟细胞，其衬质势通常忽略不计，原因是
A.衬质势不存在
B.衬质势等于压力势
C.衬质势绝对值很大
D.衬质势绝对值很小
（）4. 在萌发条件下、苍耳的不休眠种子开始 4 小时的吸水是属于
A.吸胀吸水
B.代谢性吸水
C.渗透性吸水
D.上述三种吸水都存在
（）5. 水分在根及叶的活细胞间传导的方向决定于
A.细胞液的浓度
B.相邻活细胞的渗透势大小
C.相邻活细胞的水势梯度
D.活细胞压力势的高低
（）7. 一般说来，越冬作物细胞中自由水与束缚水的比值
A.大于1
B.小于1
C.等于1
D.等于零
（）9. 植物的水分临界期是指
A.植物需水量多的时期
B.植物对水分利用率最高的时期
C.植物对水分缺乏最敏感的时期
D.植物对水分的需求由低到高的转折时期
（）10. 用小液流法测定植物组织水势时，观察到小液滴下降观象，这说明
A.植物组织水势等于外界溶液水势。
B.植物组织水势高于外界溶液水势。
C.植物组织水势低于外界溶液水势。
D.无法判断。
四、问答题
1.试述气孔开闭机理。
2.植物气孔蒸腾是如何受光、温度、CO 2 浓度调节的?
3.植物受涝害后，叶片萎蔫或变黄的原因是什么？
4.化肥施用过多为什么会产生“烧苗”现象？
5.举例说明植物存在主动吸水和被动吸水。
6.植物体内水分存在状态与代谢关系如何？
7. 高大树木导管中的水柱为何可以连续不中断？假如某部分导管中水柱中断了，树木顶部叶片还能不能得到水分？为什么？
8. 合理灌溉在节水农业中的意义如何？如何才能做到合理灌溉？
9. 光照如何影响植物根系吸水？。