排队打水问题

排队打水问题，找到帕累托最优了2008-09-20 22:47昨天在《读者》上看到一篇文章，觉得很有意思，但其中提到的问题，好像还可以往深处挖一下，咱们先从头开始。

一次华罗庚数学竞赛中，有这样一道数学题：假定水的流速不变，有一群人提着水桶排队打水，他们的水桶有大有小，怎么样才能使他们的总体排队时间最短？
这是一道简单的数学题，聪明的读者一定已经知道答案了。

我们先公布标准答案，其实就是按照水桶从小到大的顺序依次排列，这样总体的排队时间花费最短。

为什么呢？要证明这个答案的正确性，只需证明任何相邻的两个桶都是小桶排前面所需的时间最少即可。

我们举个例子，假设相邻的两个桶，大桶接满水需要10分钟，小桶接满水需要5分钟，那么，大桶排在前面时，大桶接满水需10分钟，小桶需等10分钟后才开始接水，那么小桶就需要等待15分钟才能接满水，总共需要打水的时间是25分钟。

如果小桶排前面，小桶接满水需5分钟，大桶需等5分钟后才开始接水，那么大桶就需要等待15分钟才能接满水，总共需要打水的时间是20分钟。

小桶在前的排列方式可以节省5分钟。

当然，用数学的论证法来论证的话，就是假定大桶接满水需T分钟，小桶接满水需t分钟，T>t。

大桶在前时接满水总共需花费2T+t分钟，小桶在前时接满水总共需花费T+2t分钟，很明显2T+t>T+2t。

以此类推，任何大小相邻的两个桶的最优排列方式都是小桶在前，如此排列下来，就得到了我们的答案：按照水桶从小到大的顺序依次排列可以达到总体排队时间最短。

这只是一个数学问题，但是把它当成一个社会问题来解决一样很有趣。

首先我们必须认识到，按照我们在数学题中得出的答案，在现实中必然会伤害到一些人，因为很明显桶最大的人排队等候的时间最长，而桶越小排队的时间越短，既然造成了对一部分人有益，对一部分人有害，即使对整体有益在现实中也很难实施下去。

也就是说，如果想实现整体的利益最大化就要采取一定的方法，从政治上处理，有两种方法可以达到最优，专制和民主。

专制情况下，强制规定小桶排在前大桶排在后，谁不遵守这个规则就要受惩罚，民主情况下，少数服从多数，桶大的自觉往后排。

但是上述情况如果成立，那么结果会是什么呢？对了，结果是大家最终都会换上一样大小的桶！等大家都换上相同的桶就能实现最优化吗？我们必须明白，在现实中大家对水的需求量是不同的，这样的结果导致需水量大的人每天要多次打水，他们把时间和精力浪费在打水上一样是整个社会的损失！
在那篇文章中，作者提到了帕累托最优，认为这样一个在数学上很简单的问题在现实中很难解决，也就是说不可能实现帕累托最优。

其实作者的眼光没有放开，从政治方面无法解决的问题从经济方面很容易解决，我们来看看用经济的手段来解决此问题怎样实现帕累托最优。

首先我们要引入两个概念：第一个是时间价值，我们必须承认时间对任何人都是有价值的，那么我们不妨把它量化一下，用货币来标示时间价值。

第二个是不同人的时间价值是不同的，我们必须看到，由于社会分工不同，个人能力不同，不同人的时间价值也是不同的，这就好像同样工作8小时，而工作报酬不一样的道理一样。

那么我们接着上面的数学问题继续论述，如果大桶在前小桶在后，大桶接满水需T分钟，小桶接满水需t分钟。

假定大桶主人的时间价值是每分钟A元，小桶主人的时间价值是每分钟B元。

换位后小桶主人能节约T分钟时间，也就是能多创造T*B元的价值，换位后大桶主人则损失t分钟，即损失t*A元的利益。

在A>B情况下，即大桶主人的时间价值大于小桶主人的时间价值时，如果T*B>t*A，为了补偿大桶主人因为换位所造成的损失，小桶主人需
要从自己获得的收益中支付一部分的利益给大桶主人。

当小桶主人支付大于t*A元的利益给大桶主人时，大桶主人才会同意换位，由两人分配T*B-t*A元的差额，双方分配的额度视谈判能力而定。

对社会总体而言，两人的换位行为社会多创造了T*B-t*A元的效益，对社会是有益的。

如果T*B<t*A，两者因为没有共同的利益点，小桶主人不能支付令大桶主人满意的利益，大桶主人不会同意换位。

对整个社会而言，不换位没有任何损失，反而换位后会导致t*A-T*B的损失，这时如果强制换位，不但没有实现最优化，而且破坏了最优化。

在A<B情况下，即大桶主人的时间价值等于或小于小桶主人的时间价值时。

换位后能使小桶主人多创造T*B元的价值，大桶主人则损失t*A元的利益，T*B恒大于t*A，小桶主人支付大于t*A 的利益给大桶主人，大桶主人同意换位，由两人分配T*B-t*A的差额，双方分配的额度视谈判能力而定。

对社会总体而言，两人的换位行为为社会多创造了T*B-t*A元的效益，对社会是有益的。

如果是小桶在前大桶在后，只有A>B，且t*A>T*B时，大桶主人支付给小桶主人大于T*B 元的利益，小桶主人才会同意换位，由两人分配t*A-T*B元的利益，换位后对社会总体效益是有利的，两人的换位行为为社会创造了t*A-T*B元的效益。

如果不能满足A>B，且t*A>T*B 的条件，大桶主人不能支付令小桶主人满意的利益，两者不会换位，如果强制换位，同样会导致社会效益的损失。

从上面的分析来看，没有外界力量干涉情况下，纯经济手段可以简单的实现最优化。

也就是说，按利益标准和经济手段去处理此问题很容易实现最优化，帕累托最优通过交换和价值补偿实现了。

实现后的帕累托最优是什么样子呢？从前面的论述可以推论出，排在队伍最前面的是个人时间价值最大桶最小的人，说的准确点就是：“个人时间价值/接满水所需时间”最大的人。

也就是说，水桶从小到大的排列方式可以使总体时间最短，却不能使总体效益最大，只有按照价值时间比来排列的方式才能达到效益最大化。

时间价值最大最容易得到满足的人可以尽快满足需要，然后节省的时间可以创造更多的价值。

举个例子说：顶级的科学院士天天去菜市场讨价还价浪费时间，肯定是整个社会的损失，所以我们就要给予优厚的待遇让他雇保姆帮他完成这些事，使他有更多的时间和精力去做更有价值的事。

那些文化程度低对社会贡献小的就不妨去给科学院士作保姆。

这样从社会整体利益考虑明显是一个最优化处理结果。

（当然，如果从人性化角度看，这样的排列结果明显使一部分人的生命为了照顾全局利益而在等待中空耗了，尽管他们得到了补偿，但是补偿毕竟不能完全代替损失。

这个问题古来就有，也不易解决。

譬如战争，为了战争的胜利有许多士兵牺牲了生命，对他们而言，崇高的声誉和抚恤金可以补偿生命吗？这个和本主题无关，可以略过。

）
但是我们以上的论述是不完善的，我们漏掉了一些关键因素。

首先是交易成本，大桶主人和小桶主人所获知的信息不同，利益目标不同，要想获得双方满意的结果还要通过交谈、了解、谈判等一系列的程序才能达成一致，在此过程中双方都要付出时间和精力，这就是交易成本。

如果交易成本大于交易所产生的效益，交易的双赢意义将不复存在，如果交易失败，双方付出的交易成本将成为沉入成本。

由此，交易前双方还要对交易风险和交易利润做一个评估，这在无形中又加大了交易成本的投入。

对整个社会而言，交易成本低于交易效益时还是有效益的，但交易成本明显消耗了一定的总体效益，如果交易成本大于交易效益或交易失败，对整个社会而言就形成了一种负效益。

交易成本的大小直接决定了交易的能否成功，能否实现社会总体效益的增加。

交易成本的存在使帕累托最优降低了优化效果增加了实现难度。

其次是个人偏好，如果推而广之的话也可以说是组织偏好。

虽然交换位置能给大桶主人带来更多的利益，但是大桶主人是个急性子的人，他宁愿风风火火的去工作，也不愿站在打水队伍的最后傻等，所以即使小桶主人支付的利益大于他做其他事所能创造的效益，他仍然会不愿意换位，为了打动大桶主人，小桶主人只好提高价码，但是当他能支付的最高利益仍不能打动大桶主人时，交易将无法进行。

总体的社会效益将得不到提高。

由此亦可看出，社会上形形色色的个人偏好和企业偏好会导致帕累托最优不能实现。

再次是信用欺诈，当大桶主人和小桶主人谈判成功后还存在一个交易执行，如果交易中有一方存心欺诈对方，而且欺诈成功，则导致整个交易系统混乱，交易秩序崩溃。

譬如小桶主人以诱人的利益说服大桶主人换位后，在没有支付协议中的利益情况下接满水提着水桶跑了，大桶主人如果放弃接水去追小桶主人，损失的利益更大，权衡之下大桶主人只好自认倒霉，那么下一次大桶主人还愿意交易吗？即使交易，交易成本肯定会成倍的增加。

同样，排队的其他旁观者看到这种情况后，还会很热情主动的去和别人交易吗？于是，帕累托最优再次增加难度和降低效果。

当然影响帕累托最优的因素还有很多很多，我们不能在这里一一列举，我想说明的是，为解决这些问题我们还要在其他方面做出努力。

为了降低交易成本我们要建立通畅快捷的信息渠道，为了降低个人偏好企业偏好的影响我们通过种种教育形式来改变他们的偏好，为了减少信用欺诈我们制定了繁琐的法律条文来规范交易双方的行为……如此延伸下去，我们可以看到，为了实现帕累托最优我们付出了多少，那么，我们所有的付出到最后能实现最优化吗？
这个问题不好回答，但是我们的社会在进步，最优化能不能实现其实不是本质问题，我们只要知道，我们朝着这个目标一直在前进。

我们追求的是完美，但是我们的意义却是追求中的进步和提高，不是吗？。