多元线性回归分析简介教学内容
多元线性回归分析
S /(n k 1) 或 t ˆi / cii
S /(n k 1)
c 式中 ii 是矩阵 (X ' X )1对角线上的第 i 个元素，S 表示残
差平方和 。 当检验统计量的值大于给定显著性下的临界值时，拒绝 原假设，认为回归系数是显著的
（六）利用已通过检验的回归方程进行预测。
市场调查
多元线性回归分析
多元线性回归是在简单线性回归基础上推广而来。是 用来分析多个自变量对多个因变量如何产生影响的，最常见 的是分析多个自变量对一个因变量的影响方向和影响程度。
一、多元线性回归分析在市场调查中的应用
（一）确定市场调查中因变量与自变量之间的关系 是否存在，若存在，还要分析自变量对因变量的影 响程度是多大，影响方向如何。
Yt
因变量
X it (i 1,2,, k)
自变量
i (i 1,2,, k)
总体回归系数
ut
随机误差项
作为总体回归方程的估计，样本回归方程如下：
Yˆt ˆ1 ˆ2 X 2t ˆ3 X3t ˆk X kt et
ˆi (i 1,2,, k)
总体回归系数的估计
t 1,2,, n
样本数
et 是 Yt与其估计 Yˆt之间的离差，即残差
（二）确定因变量和自变量之间的联系形式，关 键是要找出回归系数。
（三）利用已确定的因变量和自变量之间的方程 形式，在已知自变量的情况下，对因变量的取值 进行预测。
（四）在众多影响因变量的因素中，通过评价其 对因变量的贡献，来确定哪些自变量是重要的或 者说是比较重要的，为市场决策行为提供理论依 据。
（五）回归的显著性检验
包括对回归方程的显著性检验和对回归系数的显著性检验。
多元线性回归分析正式优秀课件
b 0 Y （ b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m ）
用最小二乘法解正规方程组， 使残差平方和Q最小。
11.2
2
3.79
1.64
7.32
6.9
8.8
3
6.02
3.56
6.95
10.8
12.3
27
3.84
1.20
6.45
9.6
10.4
66.010367.360-583.952331.368677.6962
67.3601872.364-89.492296.728869.8025
lij -53.952-39.4923950.31-5076.38-61342.434
多元线性回归分析 正式
讲课内容
第一节 多元线性回归(重点) 第二节 自变量选择方法(重点) 第三节 多元线性回归的应用及注
意事项
第一节 多元线性回归
一、多元线性回归模型
表 15-2 27 名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果
序号 i
总胆固醇 甘油三酯
(mmol/L) (mmol/L)
X1
X2
胰岛素 糖化血红蛋白 血糖
SS残 SS总 SS回
F
SS 残
SS回 /（ n
/m m
1）
MS MS
回 残
表 15-3 多元线性回归方差分析表
变异来源 自由度 SS
MS
FP
总变异 n－1 SS 总
回归
m
SS 回
多元线性回归分析实例及教程
多元线性回归分析实例及教程多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于探索多个自变量与一个因变量之间的关系。
在这个方法中，我们可以利用多个自变量的信息来预测因变量的值。
本文将介绍多元线性回归分析的基本概念、步骤以及一个实际的应用实例。
1.收集数据：首先，我们需要收集包含因变量和多个自变量的数据集。
这些数据可以是实验数据、观察数据或者调查数据。
2.确定回归模型：根据实际问题，我们需要确定一个合适的回归模型。
回归模型是一个数学方程，用于描述自变量与因变量之间的关系。
3.估计回归参数：使用最小二乘法，我们可以估计回归方程的参数。
这些参数代表了自变量对因变量的影响程度。
4.检验回归模型：为了确定回归模型的有效性，我们需要进行各种统计检验，如F检验和t检验。
5.解释结果：最后，我们需要解释回归结果，包括参数的解释和回归方程的解释能力。
应用实例：假设我们想预测一个人的体重（因变量）与他们的年龄、身高、性别（自变量）之间的关系。
我们可以收集一组包含这些变量的数据，并进行多元线性回归分析。
首先，我们需要建立一个回归模型。
在这个例子中，回归模型可以表示为：体重=β0+β1×年龄+β2×身高+β3×性别然后，我们可以使用最小二乘法估计回归方程的参数。
通过最小化残差平方和，我们可以得到每个自变量的参数估计值。
接下来，我们需要进行各种统计检验来验证回归模型的有效性。
例如，我们可以计算F值来检验回归方程的整体拟合优度，t值来检验各个自变量的显著性。
最后，我们可以解释回归结果。
在这个例子中，例如，如果β1的估计值为正且显著，表示年龄与体重呈正相关；如果β2的估计值为正且显著，表示身高与体重呈正相关；如果β3的估计值为正且显著，表示男性的体重较女性重。
总结：多元线性回归分析是一种有用的统计方法，可以用于探索多个自变量与一个因变量之间的关系。
通过收集数据、确定回归模型、估计参数、检验模型和解释结果，我们可以得到有关自变量对因变量影响的重要信息。
医学统计学第十五章多元线性回归分析
预测和解释性分析
预测
利用多元线性回归模型对新的自变量值进行预测，得到因变量的预测值。
解释
通过系数估计值，解释自变量对因变量的影响大小和方向。
4 正态分布
观测值和误差项服从正态分布。
参数估计方法
1
最小二乘法
找到使得预测值和实际观测值之间残差平方和最小的回归系数。
2
变量选择
通过逐步回归或变量筛选方法选择最重要的自变量。
3
解释系数
计算变量对因变量的影响的幅度和方向。
显著性检验
回归系数 自变量1 自变量2
标准误差 0 .2 3 4 0 .3 2 1
医学统计学第十五章多元 线性回归分析
多元线性回归分析是一种强大的统计方法，用于探究多个自变量对因变量的 影响。通过在统计模型中引入多个自变量，我们可以更全面地解释现象和预 测结果。
概念和原理
概念
多元线性回归分析是一种统计方法，用于 建立多个自变量和一个因变量之间的关系 模型。
原理
通过最小二乘法估计回归系数，我们可以 量化自变量对因变量的影响，并进行统计 推断。
建立方法
数据收集
收集包括自变量和因变量的 数据，确保数据质量和有效 性。
模型建立
模型验证
选择适当的自变量和建模方 法来构建多元线性回归模型。
利用合适的统计检验和拟合 优度指标来评估模型的质量。
假设条件
1 线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系。
3 等方差性
模型的残差具有相同的方差。
2 独立性
自变量之间相互独立，没有明显的多重 共线性。
t值 2 .3 4 5 3 .4 5 6
根据p值和显著性水平，判断自变量的影响是否具有统计意义。
大学回归分析教案
课时：2课时教学目标：1. 理解回归分析的基本概念和原理。
2. 掌握线性回归模型的建立和求解方法。
3. 学会运用回归分析解决实际问题。
教学重点：1. 线性回归模型的建立。
2. 回归分析中的假设检验和模型诊断。
教学难点：1. 模型诊断和改进。
2. 多元线性回归分析。
教学过程：第一课时一、导入1. 引导学生回顾相关概念，如相关系数、最小二乘法等。
2. 提出问题：如何通过已知变量预测另一个变量？二、回归分析的基本概念1. 介绍回归分析的定义和目的。
2. 解释回归分析中的变量关系，如自变量和因变量。
3. 引入回归方程的概念，并解释其意义。
三、线性回归模型的建立1. 介绍最小二乘法原理。
2. 讲解线性回归模型的建立过程，包括计算回归系数和预测值。
3. 通过实例展示线性回归模型的建立过程。
四、假设检验1. 介绍假设检验的基本原理。
2. 讲解回归分析中的假设检验方法，如t检验和F检验。
3. 通过实例展示假设检验的应用。
五、课堂小结1. 回顾本节课的主要内容。
2. 强调回归分析在实际问题中的应用价值。
第二课时一、模型诊断和改进1. 介绍模型诊断的概念和目的。
2. 讲解模型诊断的方法，如残差分析、方差分析等。
3. 通过实例展示模型诊断的过程。
二、多元线性回归分析1. 介绍多元线性回归分析的概念和原理。
2. 讲解多元线性回归模型的建立和求解方法。
3. 通过实例展示多元线性回归分析的应用。
三、案例分析1. 选择一个实际问题，引导学生运用回归分析解决。
2. 分析案例中的变量关系，建立回归模型。
3. 对模型进行诊断和改进，提高预测精度。
四、课堂小结1. 回顾本节课的主要内容。
2. 强调回归分析在实际问题中的应用价值。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 选择一个实际问题，运用回归分析解决。
教学评价：1. 课堂表现：观察学生的参与度和理解程度。
2. 课后作业：检查学生对知识的掌握程度。
3. 案例分析：评估学生运用回归分析解决实际问题的能力。
统计学中的多元线性回归分析
统计学中的多元线性回归分析多元线性回归分析是统计学中常用的一种回归分析方法，用于研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
本文将介绍多元线性回归分析的基本原理、应用场景以及分析步骤。
1. 多元线性回归的基本原理多元线性回归分析是建立在线性回归的基础上的。
线性回归分析是研究一个自变量对一个因变量的影响关系，而多元线性回归分析则是研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
在多元线性回归中，我们假设因变量Y与自变量X1、X2、...、Xn之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中β0、β1、β2、...、βn为回归系数，ε为误差项。
我们的目标是通过样本数据来估计回归系数，以便预测因变量Y。
2. 多元线性回归的应用场景多元线性回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、社会学、医学等。
以下是一些常见的应用场景：2.1 经济学领域在经济学领域，多元线性回归可以用于分析各种经济变量之间的关系。
例如，研究GDP与劳动力、资本投入等因素之间的关系，或者研究物价与通货膨胀、货币供应量等因素之间的关系。
2.2 社会学领域在社会学领域，多元线性回归可以用于分析社会现象与各种因素之间的关系。
例如，研究教育水平与收入、社会地位等因素之间的关系，或者研究犯罪率与社会福利、失业率等因素之间的关系。
2.3 医学领域在医学领域，多元线性回归可以用于分析疾病或健康状况与各种因素之间的关系。
例如，研究心脏病发病率与吸烟、高血压等因素之间的关系，或者研究生存率与年龄、治疗方法等因素之间的关系。
3. 多元线性回归的分析步骤进行多元线性回归分析时，通常需要按照以下步骤进行：3.1 数据收集首先，需要收集相关的自变量和因变量的数据。
这些数据可以通过实地调查、问卷调查、实验等方式获得。
3.2 数据预处理在进行回归分析之前，需要对数据进行预处理。
这包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理等。
多元线性回归模型分析
ˆ 样本矩（用样本矩估计总体矩）： 满足相应的矩条
件：
1
T
T
(Yt ˆ ) 0
t 1
▪ 同理，方差的估计量是样本的二阶中心矩。
▪ 现在，考虑一元线性回归模型中的假设条件：
E(t ) 0 E(xtt ) 0
▪ 其所对应的样本矩条件分别为：
1
T
T
ˆ t
1 T
T
(yt - b0 - b1xt ) 0
常数项的作用在于中心化误差。
§3.2 参数的OLS估计
•参数的OLS估计
附录：极大似然估计和矩估计
投影和投影矩阵 分块回归和偏回归 偏相关系数
一、参数的OLS估计
▪ 普通最小二乘估计原理：使样本残差平方和最小
我们的模型是：
Y= x11 + x22 +…+ xk k +
关键问题是选择的估计量b，使得残差平方和最小。
过度识别
▪ 则必须想办法调和出现在过度识别系统中相互冲突 的估计。那如何解决呢？
广义矩估计的思想是使得样本矩与总体矩的加权距 离（即马氏距离）最小。主要是考虑到不同的矩所 起的作用可能不同。
设样本矩 X (X(1),...,X(R))/ ，总体矩 M (M(1),...,M(R))/ ，其中 R k 则马氏距离为：
t 1
t 1
1
T
T
x t ˆ t
1 T
T
xt (yt b0 b1xt ) 0
t 1
t 1
▪ 可见，与OLS估计量的正规方程组是相同的。 ▪ 多元线性回归模型矩估计的矩条件通常是这样构造的：
对于多元线性回归模型 Y=Xβ+ε
多元线性回归分析简介
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
误差方差的估计：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
yn
1 xn1
0, 1, p
则多元线性回归模型可表示为：
x1p
x2
p
，
1 2
，
xnp
n
y X
G
M
条件
E( Var( )
)0
2
I
n
其中 I n 为 n 阶单位阵。
为了得到 ˆ0, ˆ1, , ˆp 更好的性质，我们对 给出进
多元线性回归分析简介
一般地，我们需要研究 p 个自变量 x1,K , xp 与 因变量Y 之间相关关系的数量表示。假定自变
量 x1,K , xp 与因变量Y 的均值 E Y A y 之间的
函数关系为 y 0 1x1 L p xp ，其中 0 , 1,L , p 待定，称 1,L , p 为这个 p 元线性 回归函数的回归系数。
n
l jy (xij x j )( yi y ), j 1,L , p i 1
n
lyy ( yi y )2 i 1
记矩阵
L
l11 L
L L
lp1 L
l1 p L
l11
L1
L
L L
lpp
l
p1
L
于是， 0 , 1,L , p 的最小二乘估计为
l1p
L
l
pp
ˆ0 y p ˆ j x j
回归分析的主要任务是通过 n 组样本观测值
xi1, , xip; yi , i 1,2, , n ，对 0, 1, p 进行估计。一般用
ˆ j 表示 j , j 0,1, , p 的估计值。
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
n
Q(ˆ0, ˆ1, , ˆp ) ei2 从整体上刻化了 n 组样本观测值 i 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2, , n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
一元回归分析中的结论全部可以推广到多 元的情形中来。
定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
一、多元线性回归模型的一般形式
Y0 1 x 1 L pxp
多元线性回归方程为：
E ( y) 0 1x1 p x p
当对Y与X进行n次独立观测后,可取得n 组观测值
(xi1,Lxip,yi),i 1 ,2 ,L,n 于是
有Yi 0 1xi1 L p xip i ，i 1,L n 。
普通最小二乘估计(OLSE) 定义离差平方和
n
Q (0 ,1 ,L , p ) ˆ (y i01 x i1 L p x ip)2
i 1
采用最小二乘法估计 0, 1, , p 的准则是：
寻找 ˆ0, ˆ1, , ˆp ，使
Q(ˆ0, ˆ1,
ˆ p
)
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
类似于一个自变量的情形，可以把自变量 x1,K , xp 与因变量Y 之间的相关关系表示成 Y 0 1x1 L p xp ，其中随机误差项
~ N 0, 2 。于是，Y ~ N 0 1x1 L pxp, 2
其中 0, 1,L , p, 2 均未知， 0, 1,L , p , 2 0。
一步的假设（强假设）
设 1, 2 , , n 相 互 独 立 ， 且 i ~ N (0, 2 ) ，
（ i 1, , n ），由此可得： y1, y2 , , yn 相互独立，且
yi ~ N (0 1xi1 p xip , 2 ) ，（i 1, , n ）
二 、 参 数 0 ,1 , L , p ,2 的 估 计
最小二乘估计量 ˆj j 0,1,L , p 都是样本Y1,K ,Yn
的线性函数，因此它们都是线性估计。高斯-马尔科夫 证明了最小二乘估计具有下列优良性质。
定理 4.6 在 p 元回归分析问题中，对任意的已知
p
p
常数 a0 , a1,K , ap ， a j ˆ j 总是待估函数 a j j
j0
j0
的最优线性无偏估计量。
由此可知：
定理 4.4＇ 在 p 元回归分析问题中，最小二乘
估计量 ˆ j 是 j 的最优线性无偏估计量，
j 0,1,L , p 。
一些有用的计算公式，类似于一元回归分析问题。
记ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xj
1 n
n i 1
xij ,
j 1,L , p;
y
1 n
n i 1
yi
n
l jk (xij x j )(xik xk ), j, k 1,L , p i 1
j 1
ˆ1
M
ˆp
L1
l1y
M
lpy
，且 Q
ˆ0 , ˆ1,L , ˆp
p
lyy ˆ jl jy
j 1
三、回归方程的显著性检验---F 检验 在 p 元回归分析问题中，回归系数的显著性检验 问题是要检验 ： H0 : 1 L p 0
F-检验是根据平方和分解公式，直接从 回归效果来检验回归方程的显著性。和 一元情形类似
定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
误差方差的估计：
ˆ2
1Q n
ˆ0, ˆ1,L
, ˆp
ˆ 2 n 1 p 1 Qˆ0 ,ˆ1 ,L ,ˆp 当 n 较 小 时
称
yˆi ˆ0 ˆ1xi1
ˆp xip
为 yi 的回归拟合值， ei yi yˆi 为 yi 的残差（ i 1,2, , n ），
布，它的均值向量为 ，协方差矩阵为 2 X X 1 ，
（2）
1
2
Q
ˆ0 , ˆ1,L
, ˆp
nˆ 2 2
n
p 1ˆ 2
2
~
2 n
p 1
（3） ˆ 与 ˆ 2 （或ˆ 2 ）相互独立。
定理 4.3＇ 在 p 元回归分析问题中，最小二乘
估计量 ˆ j 是 j 的无偏估计， j 0,1,L , p ；ˆ2 是 2 的无偏估计。
定义：
总（离差）平方和：SS= ( yi y)2 ,反映了因变量 y 的波
动情况
回归平方和：SSR= ( yˆi y)2 ,是 SS 中由自变量的波动
引起的部分，即在 SS 中能用自变量解释的部分。
残差平方和：SSE= ( yi yˆi )2 ei2 ，由自变量之外