刚体力学基础
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刚体力学基础
mB
mA
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
解：研究对象：A、B、圆柱 用隔离法分别对各物体作受力 分析，如图所示。
mB
N
mA
f
mB m Bg
TB
TA
mA
aB T 'B
aA
mAg
T 'A
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
N
f
mB m Bg
TB
TA
T 'B
T 'A
mA mAg
aA
aB
A: mA g TA mAaA TB f mB aB B: N mB g 0
2.7
定点转动：
刚体力学基础
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该
固定点的某一瞬时轴线转动. 如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
二 刚体定轴转动的运动学描述 定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动
特征：刚体各个部分在相同时间内绕 转轴转过的角度（角位移）都相同 引入角量描述将非常方便。
oo mi vi 垂直于z轴。
i
th
刚体 mi
oo mi vi ri mi vi
z
我们只对z方向的分量感兴趣：
Liz ri mi vi mi ri 2
Lz Liz mi ri
2
ω,α vi
△ mi
ri O’ × 刚体 × O
刚体定轴转动的动能=绕质心转动的动能+
刚体携总质量(质心)绕定轴作圆周运动的动能
mA
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
解：研究对象：A、B、圆柱 用隔离法分别对各物体作受力 分析，如图所示。
mB
N
mA
f
mB m Bg
TB
TA
mA
aB T 'B
aA
mAg
T 'A
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
N
f
mB m Bg
TB
TA
T 'B
T 'A
mA mAg
aA
aB
A: mA g TA mAaA TB f mB aB B: N mB g 0
2.7
定点转动：
刚体力学基础
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该
固定点的某一瞬时轴线转动. 如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
二 刚体定轴转动的运动学描述 定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动
特征：刚体各个部分在相同时间内绕 转轴转过的角度（角位移）都相同 引入角量描述将非常方便。
oo mi vi 垂直于z轴。
i
th
刚体 mi
oo mi vi ri mi vi
z
我们只对z方向的分量感兴趣：
Liz ri mi vi mi ri 2
Lz Liz mi ri
2
ω,α vi
△ mi
ri O’ × 刚体 × O
刚体定轴转动的动能=绕质心转动的动能+
刚体携总质量(质心)绕定轴作圆周运动的动能
第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
第3章刚体力学基础
描述质点系转动的动力学方程
z
取惯性坐标系
dt
oxyz
刚体所受的对
转轴的力矩
x
o
M r F
定义：在垂直于转轴的平 面轴内的,距外离力dF的与乘力积线到转
y z轴为固定转轴
z
M
F
F F
r
垂直转轴的外力分量产生沿
d
转轴方向的力矩, 平行于转
轴的外力分量产生的力矩被
轴承支承力的力矩所抵消
一 、作用于定轴刚体的合外力矩
相对于定轴的合外力矩
（力对转轴的力矩）
M z M iz ri Fi sin i
i
i
即作用在各质元的 力矩的 z 分量之和
二、刚体定轴转动定理
由于刚体只能绕 z 轴转动, 引起转动的力矩只有z方向,
因此转动动力学方程
Mz
dLz dt
dL M
dt
Li
Ri
m
i
v
i
oo ri
mi vi
解：
z
J z mi ri2
i
m i
x
2 i
y
2 i
i
Jy Jx
x
o
yi
ri
m
x
i
i
y
例 均质圆盘：m, R . 求以直径为轴的转动惯量 解：
J 1 mR2 4
例3-6（P181） 挂钟摆锤的转动惯量
解：
o
m1 l
J
1 3
m1l 2
1 2
m2 R2
m2 l
R2
m2 R
例 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半 径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
刚体力学基础详解
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计 算飞轮的角加速。
rO T
解 (1) FrJ F r9 80.23.2 9rad 2 /s
J 0.5 (2) m gTma
F mg
TrJ ar
J
mgr mr2
两者区别
0.59 1 80 0.2 0.222.1 8rad 2 /s
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
3. 一般运动
刚体不受任何限制的的任意运动称为刚体
的一般运动。它可视为以下两种刚体的基
本运动的叠加：
随基点O（可任 选）的平动
FMac
绕通过基点O的瞬时 轴的定轴转动
质点运动
本章主要讨论
§5.2 刚体绕定轴转动运动学
z 组成刚体的各质点都绕同一直线 做圆周运动 _____ 刚体转动。
转轴固定不动 — 定轴转动
当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动
实验证明 当存在 M 时， 与 M 成正比
M
在国际单位中 M J
刚体的转动定律 Mz J
作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和
推论
刚体对 z 轴 的转动惯量
(1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同
dr
J0 m r2 d m 0 R2 R m 2r3 d rm 2R 2
O
Rm dr
r O
(3) J 与转轴的位置有关
z
z
M
L
M
L
O
dx
x
O dx
x
J Lx2dx1M2L
0
3
J L/2x2dx1M2L
刚体力学基础
0
0t
1 t2
2
2
2 01 刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度
线速度大小与 角速度大小的关系
v r
at
dv dt
r
z
a an r
at ve t
an
v2 r
2r a
ret
r 2en
第三章 刚体力学基础
3-1 刚体 刚体定轴转动的描述 3-2 刚体定轴转动的转动定律 3-3 刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守 恒定律
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。
二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。
O
F ri
Fii
i
i
ie
mi
Fie sini Fii sin i miait miri
以 ri 乘上式两边
Fieri sin i Fiiri sin i miri2
rad s1
62.8
rad s1
角位移 0 2πN 2π 10 rad 62.8 rad
角加速度
2 02
0 62.82
rad s2 31.4 rad s2
2 0 2 62.8
制动过程的时间
t
0
0 62.8 31.4
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
1.3大学物理(上)刚体力学基础
dm ds dm dV
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
[例3.1]: 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。 [分析]：取如图坐标，dm=dx
A B
L
X
J A r dm
2
x dx mL / 3
T1 mg sin ma 1 2 T2 R T1 R J mR 2 mg T2 ma
a R
mg
[例3.4]: 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度 为ω0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度 ω的平方成正比，比例系数为k（k>0）,当ω= ω0/3时，飞 轮的角速度及从开始制动到现在的时间分别是多少？ [分析]: (1)已知 M k 2
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R)
1 2 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 5
dL d ( mv ) dr d (mv ) dr r mv F , v dt dt dt dt dt dL v mv 0, r F M r F v mv dt dL 角动量定理的微分形式 M dt
平均角速度
角速度
t
刚体力学基础
非专业训练，请勿模仿
例 解 由转动定律得
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
角加速度与质量无关，与长 度成反比，竹竿越长越安全。
-------------------------------------------------------------------------------
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
-------------------------------------------------------------------------------
二、刚体绕定轴转动定律
F外力 F内力 mi ai
ai ：质元绕轴作圆运动
-------------------------------------------------------------------------------
二、定轴转动的角动量守恒定律
质点角动量（相对O点）
定轴转动刚体
L r p r mv
-------------------------------------------------------------------------------
解：
M 1l gdl cos M mgL cos 2 m g1 l cos dl cos mgl M 2 3g cos L 1 22 J 2l M ml L g 3 cos L 2 3g cos d d d d 1 2 l dt cos d d mgL dt 2
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零 外力 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
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二、刚体动力学的研究
在动力学的框架下只有两种理想模型那就是——质点和质点系，质点大家都熟悉，其他而不能看作质点的物体，我们可以将其看成质点系，包括弹性体呀、流体、还有这节课要讲的刚体。
质点系有三大性质
(1)质点系的总动量的改变与内力无关；
(2)质点系的角动量的改变与内力无关；
(3)质点系的机械能的改变与保守力无关。
这样，对于绕固定轴理
由前面得到的刚体定轴转动定理
刚体力学基础
大家好，这周三就要进行大物期中考试了。
不知道大家准备得怎么样。俗话说，春困、夏乏，恐怕大家平时上大物也没少打过盹，作物理怕是牵着梦的手，跟着感觉走。今天我们
一、刚体概念
前一节课，于卓群同学已经带大家复习了这本书的一二章，也就是质点力学部分，相信这一部分大家还是相当熟悉的，毕竟高中三年都谁没被该死的小滑块折磨得不要不要的。
质点力学的研究是建立在质点这个经典的理想模型之上的，对质点的研究大概可以追溯到伽利略，质点的定义大家都知道吧？（质点是有质量但不存在体积的理想化模型，在物体大小形状不起作用的时候，我们就可以将物体看成质点）。但是我们但是我们都清楚，很多情况下物体本身在运动中并不能忽略。
所以今天，我们引入一个新的模型——刚体。
但是这一章我们只学习其中最最简单的部分，那就是定轴转动。
我们先来看一下定轴转动的描述
首先我们研究转动的时候一般是采用什么座标系啊？（极座标系）
而后由于刚体是质点间距离保持不变的一个质点系，所以我们研究刚体运动的时候，只要研究其中一个质点，因为其他质点的转动情况和这个质点是一样的，所以前面质点转动的运动规律我们都可以用上
原式等于
所以
3.刚体的动能定理
在质点力学中，我们知道有动能定理
通过一二的推导我们知道
又因为质点的机械能的改变与内力无关，即
这样我们就得到了我们熟知的动能定理
八、 刚体定轴转动的角动量定理
4.刚体角动量
还是从质点开始，对于定点转动的质点而言，上一章我们已经给过了角动量的定义
单位为
方向遵循右手定则。
而对于绕定轴转动的刚体，我们不妨取其中一个质点Δmi，对他而言
对于整个质点系：
ω=dθ/dt
对于这个角加速度，有人问我为什么方向为什么向上，我只能告诉你，这是王八的屁股——龟腚。我去翻了相关书籍，这种矢量叫轴矢量，也叫伪矢量。
β=dω/dt=d2θ/dt2
对于某个质点：
an=ων=ωr2
at=βr
其他的一些运动规律也都一样，这里就不在赘述了。
四、力矩
与质点的定轴转动一样，对于定点转动而言。
但是对于定轴转动的物体，由于转轴已经确定了，所以将力进行分解，如图。
由于平行与轴方向的力不产生沿轴方向的力矩
所以有两点要注意
(1)力矩是对点或对轴而言的;
(2)一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动时M>0，使刚体顺时针绕定轴转动时M<0。
五、刚体定轴转动定理
我们说，刚体是一个质点系，在这个质点系中，我们取其中一个质点Δm。既然是质点那么他就遵循牛顿第二定律。
单位，kg*m2
转动惯量的推导，我们要知道关于绕定轴转动的转动惯量的两大定理
1）平行轴定理
2）垂直轴定理
由于老师说不作为考点，我这里就不多说了，我在课下曾经帮一位同学整理过，如果有谁想要的话，请课下单独联系我。但要知道，关于
刚体转动惯量的大小与下列因素有关：
1）形状大小分别相同的刚体质量大的转动惯量大；（质量）
刚体模型的引入要比质点晚得多，要到17世纪。（有欧拉、拉格朗日、科瓦列夫斯卡娅。科瓦列夫斯卡娅：历史上第一位女数学博士）这几个人都是数学家，所以刚体力学不难才怪。
刚体的定义：是指在运动中和受力后不发生形变的物体。
大家知道，有没有不发生形变的物体呀？所以刚体是一个不存在的理想化模型。
这里提醒大家一句，学习这部分的时候大家一定要认真。大家知道下学期要学《理论力学》。这门课的挂科率大家都懂的。里面会少不了涉及刚体动力学的知识。所以，大家这节课要认真听。争取把平时上课睡觉落下的东西补回来。
2）总质量相同的刚体，质量分布离轴越远转动惯量越大；（形状）
3）对同一刚体而言，转轴不同，质量对轴的分布就不同，转动惯量的大小就不同。（轴的位置）
最后，关于转动惯量，在多说几句，其实这个转动惯量，是个相当复杂的东西，他不是标量也不是矢量而是一种二阶张量，如果要表示要用3×3的矩阵表式，但是由于我们研究的是定轴转动，相当于只是研究了其中的一个分量，所以我们在这里把它当标量处理。
由于刚体的特点是不能发生形变，所以刚体还可以定义作一个质量连续分布、质点间距离保持不变的特殊质点系。
在后面的推导中这是一个最基本思路。
三、刚体运动学
说实话，刚体的运动其实是一个很复杂的问题，一方面是因为他的运动形式多：平动、定点转动、定轴转动等等。还有各种运动形式的叠加，就算是最简单的定轴转动和平动放在一起，都够你折腾的了。
那么分析受力，可知他受到内力作用力和外作用力，如图。
由牛顿第二定律得
其中ai是质元Δm绕轴作圆运动的加速度，写为分量式：
由于法向力不产生力矩，所以只看切向，将ait=βri带入得。
两边同时乘以ri得。
刚体定轴转动定理
六、转动惯量
转动惯量是刚体作转动时对惯性的量度描述。
对于质点和离散的质点系
对于质量连续分布的刚体
七、刚体定轴转动的动能定理
1.刚体的动能
对于动能的定义，我们应该很清楚了
对于旋转的刚体，我们仍按照，刚体是质点系这一思路
先选择质点系中的一个质点Δm
又因为，ν=ωr
对于整个质点系有
2.力矩的功
与动能一样，还是从质点力学中功的定义出发
我们假设一个刚体在一个力的作用下作圆周运动
由s=θr所以ds=rdθ
在动力学的框架下只有两种理想模型那就是——质点和质点系，质点大家都熟悉，其他而不能看作质点的物体，我们可以将其看成质点系，包括弹性体呀、流体、还有这节课要讲的刚体。
质点系有三大性质
(1)质点系的总动量的改变与内力无关；
(2)质点系的角动量的改变与内力无关；
(3)质点系的机械能的改变与保守力无关。
这样，对于绕固定轴理
由前面得到的刚体定轴转动定理
刚体力学基础
大家好，这周三就要进行大物期中考试了。
不知道大家准备得怎么样。俗话说，春困、夏乏，恐怕大家平时上大物也没少打过盹，作物理怕是牵着梦的手，跟着感觉走。今天我们
一、刚体概念
前一节课，于卓群同学已经带大家复习了这本书的一二章，也就是质点力学部分，相信这一部分大家还是相当熟悉的，毕竟高中三年都谁没被该死的小滑块折磨得不要不要的。
质点力学的研究是建立在质点这个经典的理想模型之上的，对质点的研究大概可以追溯到伽利略，质点的定义大家都知道吧？（质点是有质量但不存在体积的理想化模型，在物体大小形状不起作用的时候，我们就可以将物体看成质点）。但是我们但是我们都清楚，很多情况下物体本身在运动中并不能忽略。
所以今天，我们引入一个新的模型——刚体。
但是这一章我们只学习其中最最简单的部分，那就是定轴转动。
我们先来看一下定轴转动的描述
首先我们研究转动的时候一般是采用什么座标系啊？（极座标系）
而后由于刚体是质点间距离保持不变的一个质点系，所以我们研究刚体运动的时候，只要研究其中一个质点，因为其他质点的转动情况和这个质点是一样的，所以前面质点转动的运动规律我们都可以用上
原式等于
所以
3.刚体的动能定理
在质点力学中，我们知道有动能定理
通过一二的推导我们知道
又因为质点的机械能的改变与内力无关，即
这样我们就得到了我们熟知的动能定理
八、 刚体定轴转动的角动量定理
4.刚体角动量
还是从质点开始，对于定点转动的质点而言，上一章我们已经给过了角动量的定义
单位为
方向遵循右手定则。
而对于绕定轴转动的刚体，我们不妨取其中一个质点Δmi，对他而言
对于整个质点系：
ω=dθ/dt
对于这个角加速度，有人问我为什么方向为什么向上，我只能告诉你，这是王八的屁股——龟腚。我去翻了相关书籍，这种矢量叫轴矢量，也叫伪矢量。
β=dω/dt=d2θ/dt2
对于某个质点：
an=ων=ωr2
at=βr
其他的一些运动规律也都一样，这里就不在赘述了。
四、力矩
与质点的定轴转动一样，对于定点转动而言。
但是对于定轴转动的物体，由于转轴已经确定了，所以将力进行分解，如图。
由于平行与轴方向的力不产生沿轴方向的力矩
所以有两点要注意
(1)力矩是对点或对轴而言的;
(2)一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动时M>0，使刚体顺时针绕定轴转动时M<0。
五、刚体定轴转动定理
我们说，刚体是一个质点系，在这个质点系中，我们取其中一个质点Δm。既然是质点那么他就遵循牛顿第二定律。
单位，kg*m2
转动惯量的推导，我们要知道关于绕定轴转动的转动惯量的两大定理
1）平行轴定理
2）垂直轴定理
由于老师说不作为考点，我这里就不多说了，我在课下曾经帮一位同学整理过，如果有谁想要的话，请课下单独联系我。但要知道，关于
刚体转动惯量的大小与下列因素有关：
1）形状大小分别相同的刚体质量大的转动惯量大；（质量）
刚体模型的引入要比质点晚得多，要到17世纪。（有欧拉、拉格朗日、科瓦列夫斯卡娅。科瓦列夫斯卡娅：历史上第一位女数学博士）这几个人都是数学家，所以刚体力学不难才怪。
刚体的定义：是指在运动中和受力后不发生形变的物体。
大家知道，有没有不发生形变的物体呀？所以刚体是一个不存在的理想化模型。
这里提醒大家一句，学习这部分的时候大家一定要认真。大家知道下学期要学《理论力学》。这门课的挂科率大家都懂的。里面会少不了涉及刚体动力学的知识。所以，大家这节课要认真听。争取把平时上课睡觉落下的东西补回来。
2）总质量相同的刚体，质量分布离轴越远转动惯量越大；（形状）
3）对同一刚体而言，转轴不同，质量对轴的分布就不同，转动惯量的大小就不同。（轴的位置）
最后，关于转动惯量，在多说几句，其实这个转动惯量，是个相当复杂的东西，他不是标量也不是矢量而是一种二阶张量，如果要表示要用3×3的矩阵表式，但是由于我们研究的是定轴转动，相当于只是研究了其中的一个分量，所以我们在这里把它当标量处理。
由于刚体的特点是不能发生形变，所以刚体还可以定义作一个质量连续分布、质点间距离保持不变的特殊质点系。
在后面的推导中这是一个最基本思路。
三、刚体运动学
说实话，刚体的运动其实是一个很复杂的问题，一方面是因为他的运动形式多：平动、定点转动、定轴转动等等。还有各种运动形式的叠加，就算是最简单的定轴转动和平动放在一起，都够你折腾的了。
那么分析受力，可知他受到内力作用力和外作用力，如图。
由牛顿第二定律得
其中ai是质元Δm绕轴作圆运动的加速度，写为分量式：
由于法向力不产生力矩，所以只看切向，将ait=βri带入得。
两边同时乘以ri得。
刚体定轴转动定理
六、转动惯量
转动惯量是刚体作转动时对惯性的量度描述。
对于质点和离散的质点系
对于质量连续分布的刚体
七、刚体定轴转动的动能定理
1.刚体的动能
对于动能的定义，我们应该很清楚了
对于旋转的刚体，我们仍按照，刚体是质点系这一思路
先选择质点系中的一个质点Δm
又因为，ν=ωr
对于整个质点系有
2.力矩的功
与动能一样，还是从质点力学中功的定义出发
我们假设一个刚体在一个力的作用下作圆周运动
由s=θr所以ds=rdθ