大学物理刚体力学基础
大学物理第三章刚体力学基础习题答案培训课件
1 )
t2
下次上课内容：
§5-1 简谐运动 §5-2 旋转矢量表示法 §5-3 单摆和复摆 §5-4 振动的能量
角动量定理
t2 Mdt
t1
J2
J1
角动量守恒 M 0, J 恒矢量
力的功
W
r F
drr
力矩的功 W Md
动 能 1 mv2
2
动能定理
W
1 2
mv22
1 2
mv12
转动动能 1 J 2
2
转动动能定理W
1 2
J22
1 2
J12
习 题 课 (三)
3-1 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，绳下端挂一
的角加速度 =
。从开始制动到 =1/3 0所经过
的时间t = 。
M k2 J
k 2 k02
J 9J
k2 J d
dt
t k dt
0J
1 3
0
d
0
2
t 2J
k0
3-6 一长为L的轻质细杆，两端分别固定有质量为
m 和2m 的小球，此系统在铅直平面内可绕过中心点
O且与杆垂直的水平固定轴转动。开始时杆与水平成
方向上，正对着杆的一端以相同的速率v相向运动，
如图所示。当两小球同时与杆的两端发生完全非弹性
碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的
转动角速度为
m
(A) 2v
4v (B)
v
3L
✓(C)
6v 7L
5L (D) 8v
9L
(E) 12v v m
o
7L
2mvL 1 mL2 2mL2
3
6v
7L
大学物理第三章刚体力学基础习题答案
方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞，系统机械能守恒： 2 2 2 1 1 2 2 又： J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得： v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后，经过t1时间到达了额定 转速，此时相应的角速度为 0。当关闭电源后，经 过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J， 并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据 已知量推算电机的电磁力矩。 解： 设电机的电磁力矩为M，摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma
g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得： a 22 k
质点运动 m 质 量 力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律 转动定律 M J M dt dt p mv 动 量 角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量 角动量守恒 M 0, J 恒矢量 力矩的功 W Md 力 的 功 W F dr
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
大物刚体力学公式总结
大物刚体力学公式总结一、基本概念刚体力学是研究刚体运动和静力学平衡条件的一个分支学科。
所谓刚体是指形状不变的物体，其内部各点间的距离在运动或受力作用下保持不变。
刚体的运动可以分为平动和转动两种类型。
二、刚体运动的描述刚体的平动运动可以用质点的运动来描述，质点的位置可以用位矢来表示。
刚体的转动运动可以用刚体固定在某一轴上的角度来描述。
刚体的运动状态可以用位移、速度和加速度来表示，其中位移是位置的变化量，速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率。
三、刚体力学的基本公式1.平动运动的基本公式：•位移公式：位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
即 S = V0t + (1/2)at2；•速度公式：速度等于初速度加上加速度乘以时间。
即 V = V0 + at；•加速度公式：加速度等于速度差除以时间。
即 a = (V - V0) / t。
2.转动运动的基本公式：•角位移公式：角位移等于角速度乘以时间。
即θ = ωt；•角速度公式：角速度等于角位移除以时间。
即ω = θ / t；•角加速度公式：角加速度等于角速度差除以时间。
即α = (ω - ω0) / t。
3.平衡条件公式：•平衡条件一：物体受力的合力等于零。
即ΣF = 0；•平衡条件二：物体受力的合力矩等于零。
即ΣM = 0。
四、刚体的平衡问题刚体在平衡时，其受力和受力矩必须满足平衡条件。
通过平衡条件可以解决刚体的平衡问题，例如平衡杆的支点位置计算、悬挂物体的平衡问题等。
刚体的平衡问题还涉及到力的作用点的选取、力的方向的确定等。
通过恰当选择作用点和确定力的方向，可以简化刚体的平衡问题的求解。
五、刚体力学问题的求解步骤1.定义问题：明确刚体的运动类型和求解目标。
2.给定条件：根据实际情况给出题目的已知条件。
3.分析问题：根据题目所给条件，分析问题的物理本质和特点。
4.建立模型：根据问题的要求，建立适当的物理模型。
5.进行计算：根据已知条件和所建模型，进行计算求解。
1.3大学物理(上)刚体力学基础
dm ds dm dV
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
[例3.1]: 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。 [分析]：取如图坐标，dm=dx
A B
L
X
J A r dm
2
x dx mL / 3
T1 mg sin ma 1 2 T2 R T1 R J mR 2 mg T2 ma
a R
mg
[例3.4]: 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度 为ω0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度 ω的平方成正比，比例系数为k（k>0）,当ω= ω0/3时，飞 轮的角速度及从开始制动到现在的时间分别是多少？ [分析]: (1)已知 M k 2
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R)
1 2 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 5
dL d ( mv ) dr d (mv ) dr r mv F , v dt dt dt dt dt dL v mv 0, r F M r F v mv dt dL 角动量定理的微分形式 M dt
平均角速度
角速度
t
大学物理 刚体力学基础习题思考题及答案
解：（1）设杆的线密度为：，在杆上取一小质元，有微元摩擦力： ， 微元摩擦力矩：， 考虑对称性，有摩擦力矩： ； （2）根据转动定律，有：，
解：根据角动量守恒，有：
有： ∴
5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为，半径为，放在一粗糙水平面上 (圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心的竖直固定光 滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为的子弹以水平速度垂直于圆盘 半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获 得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过的竖 直轴的转动惯量为，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 解：（1）利用角动量守恒： 得：； （2）选微分，其中：面密度， ∴由有：， 知：
得： 。
5-13．如图所示，物体放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系 数为，细绳的一端系住物体，另一端缠绕在半径为的圆柱形转轮上，物 体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮 以绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体的速度多大？物体运 动后，细绳的张力多大？ 解：（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体和转轮、绳看成一个系统， 系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，
（1） （2） （3）
（4） 联立方程可得 、， 。
5-2．一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴以角速度按图示方向转动，若 如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力 沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度怎样变化？ 答：增大 5-3．个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑 铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台 组成的系统的： （A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒； （C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守 恒。 答：（C）
大学物理刚体力学
大学物理刚体力学标题：大学物理中的刚体力学在物理学的研究中，大学物理是引领我们探索自然界规律的重要途径。
而在大学物理中，刚体力学是一个相对独特的领域，它专注于研究物体在受到外力作用时的质点运动规律。
本文将探讨大学物理中的刚体力学。
一、刚体概念及特性刚体是指物体内部各质点之间没有相对位移，形状和体积不发生变化的理想化物体。
在刚体力学中，我们通常将刚体视为一个整体，研究其宏观运动规律。
刚体具有以下特性：1、内部质点无相对位移。
2、刚体不发生形变，形状和体积保持不变。
3、刚体在运动过程中，内部任意两质点间的距离保持不变。
二、刚体力学的基础知识1、刚体的运动形式刚体的运动形式包括平动、转动和振动。
平动是指刚体沿直线作均匀速度的运动；转动是指刚体绕某轴线作角速度变化的运动；振动是指刚体在平衡位置附近作往复运动的周期性运动。
2、刚体的动力学基础动力学是研究物体运动状态变化的原因和规律的科学。
在刚体力学中，动力学的基本方程包括牛顿第二定律、动量定理和动能定理等。
这些方程为我们提供了分析刚体运动状态变化的基本工具。
三、刚体的转动惯量转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量。
它与刚体的质量、形状和大小有关。
在物理学中，转动惯量是研究刚体转动规律的重要参数。
通过计算转动惯量，我们可以了解刚体在受到外力矩作用时角速度变化的规律。
四、刚体的角动量角动量是描述物体绕某轴线旋转的物理量，与物体的质量、速度和半径有关。
在刚体力学中，角动量是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们理解刚体在受到外力矩作用时的角速度变化规律。
同时，角动量守恒定律也是刚体力学中的一个重要定律。
在已知刚体的质量、转动惯量和角动量的基础上，我们可以建立刚体的动力学方程。
动力学方程可以帮助我们分析刚体在受到外力作用时的运动状态变化规律。
对于复杂的动力学问题，我们通常需要借助数学软件进行数值模拟和分析。
六、总结在大学物理中，刚体力学是一个相对独立且具有重要应用价值的领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.2.2 刚体定轴转动转动定理
第 k个质元 Fk f k mk ak
切线方向
rk
fk
Fk
Fk f k mk ak
在上式两边同乘以 rk 对所有质元求和
k
Fk rk f k rk mk ak rk mk rk rk
A
A
A
B
B
B
讨论: 说说日常生活中刚体平动的例子
平动的运动学规律:
rB rA AB
rA rB vA vB
z M
rB rA
B B 1 A
B2 A2
B3
A3
Bn
An
A1
a A aB
x
O
y
刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动
讨论：
1.匀加速转动的角量关系:
当 c
0 t 1 2 与质点的匀加速直 0 0 t t 线运动公式相似 2 2 2 z 0 2 ( 0 )
v
2.角量与线量的关系:
v rM
O
刚体
rM M θ
2. 刚体绕定轴的转动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 _____ 刚体转动 转轴固定不动 — 定轴转动 转动的运动特点: 转角相同,位移不同.角量相同,线量不同 I 定义角量描述转动 3. 刚体一般运动 例: 空间旋转,滚动
z
P
刚体一般运动 = 质心平动 + 绕质心转动
II
5.1.3 刚体定轴转动的角量 1.角坐标: 2.角位移:
物理意义:
转动惯性的量度 (2)质量分布 (3)转轴的位置
确定转动惯量的三个要素:(1)总质量
J 与刚体的总质量有关 例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 z L 2 L 2 M 1 2 J 0 x dx 0 x dx ML L 3 M O J铁 J木 dx
L x
J 与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J z' ⇒ 刚体绕任意轴的转动惯量 J z ⇒ 刚体绕通过质心的轴
L ⇒ 两轴间垂直距离
5.2.4 转动定律的应用举例 例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N
an rM
2
dv a rM dt
5.2 力矩
5.2.1 力矩 力
力矩
刚体绕定轴转动微分方程
质点获得加速度 刚体获得角加速度
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
1.力对O点的力矩 大小: 方向:
Mo
O .
M O rF sin
右手螺旋法则确定
矢量表示: M O r F
r
F
特别：当力的作用线通过o点时，对O点力矩为零 作用: 可使物体绕过O点的一转轴产生转动，且转轴方向 就是力矩的方向。
（1）力F 在垂直于轴的平面内 F F
大小: 方向: 矢量表示:
2. 力 F 对z 轴的力矩
力乘力臂 切向分力乘r
M Z r F
M z ( F ) F r sin F h Fτ r F// z 右手螺旋法则确定
Chapter 5.
刚体力学基础
Xi’an Jaotong University
Introduction
主 题
刚体的转动定理, 转动动能, 角动量
研究方法
特殊质点系 角量代替线量 牛顿定理为基础
转动定理
转动动能 角动量
Xi’an Jaotong University
5.1 刚体和刚体的基本运动
5.1.1 刚体的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 说明: 1.理想化模型 2.特殊的质点系─物体质点间的距离保持不变 讨论: 你认为哪些东西可以看作刚体 5.1.2 刚体的运动 1. 刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内 所作的任一条直线都始终 保持和自身平行
k k k
Fr f r
内力矩之和为0
( mk rk )
2
转动惯量 J
刚体转动定理
M J
M J
与牛顿第二定律比较： M F , J m, a
5.2.3 转动惯量 定义
J mk rk 质量不连续分布
2 k
r
J r 2dm
V
质量连续分布
J 0 R dm 0 R 2dl
2 L 2 πR
dl R O m
R 0 dl 2πR 3
2
2 πR
m mR 2 2πR
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
R dr r
m 2mr dm ds 2 2πrdr 2 dr πR R
m
O
F
（2）力F 不在垂直于轴的平面内 分解:
F// 对该转轴无力矩；F的力矩：
F F// F
h
r
A
Fn
F
M Z r F
过转轴的力和平行于转轴的力都不会对该转轴产生力矩.
例:试证两个质点间相互作用的内力对转轴的合力矩为零。
M i ri f ij
M j rj f ji
M ri fij rj f ji ri rj fij
因两叉积矢量夹角为零，所 以：
z
rj f ij j ri i f ji
M ri rj f ij 0
f (t )
f (t )
d f ' (t ) 3.角速度: dt d d 2 2 f " (t ) 4.角加速度:
dt dt
P θ
说明: 1.角速度，角加速度在本质上是矢量 2.角速度方向按右手螺旋法则定义。 3.角速度增加时，角加速度与其同向，否则，反向 4.定轴转动用正负号表达角速度(投影)方向。
2
m
R
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
J 与转轴的位置有关 z M O
J 0
L 2
z M x L
L
dx
O
L/2 2
dx
x
1 2 x dx ML 3
1 J L / 2x dx ML2 12
平行轴定理及垂直轴定理
z'
2
J z' J z ML
z M L C