计量经济学
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Introductory Econometrics - Yan Fang
22
The total sum of squares (SST): a measure of the total
sample variation in the yi the explained sum of squares (SSE): measures the sample variation in the the residual sum of squares (SSR):
y/y 1 x y/y 1 (x/x)（弹性）
33
Semi-elasticity
logy =0 + 1 logx +u
elasticity
Introductory Econometrics - Yan Fang
11.OLS估计量的期望值和方差
研究β1和β0均值时的4条假设条件：
We want it to be the case that knowing something about x does not give us any information about u, so
that they are completely unrelated. That is,
which implies E(y|x) = 0 + 1x
û 4{
.
ˆ ˆx ˆ y 0 1
y3 y2
. û { ˆ0 ˆ1x3 2 y ˆ ˆ3
.} û3
y1
.
}û 1
x2
Sample Regression model
x1
x3
x4
x
6
Introductory Econometrics - Yan Fang
3.简单线性回归模型的 四大前提条件
Introductory Econometrics - Yan Fang
46
（2）构造F统计量：在H0 成立的条件下 F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： SST=SSE+SSR
由于回归平方和 SSE 是解释变量 X 的联合体对被解释变量 Y 的线性
作用的结果，考虑比值：
SSE/SST
① 如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线 性关系，
3.
Four conditions that comprise “the simple linear regression model”
Linear, Independent, Normality, Homoscedasticity Introductory Econometrics - Yan Fang
PF F (v1 , v2)
PF F (v1 , v2) 1
拒绝域
不能拒绝域
F (v , v )
1 2
Introductory Econometrics - Yan Fang
52
回归系数的显著性检验（t检验）
Introductory Econometrics - Yan Fang
23
Y
Y iY
=
ˆ ˆ Y + Y i Y Y i i
Yi
yi
=
yi
+
ei
ˆ Y i
Y
. ... . . . .
A
Y iY
X
ˆ ˆX ˆ Y i 0 1 i
ˆ Y iY i
ˆ Y Y i
0
Xi
X
Introductory Econometrics - Yan Fang
of determination
OR
R^2的取值范围在[0,1]之间 对R^2的解释应使用语句： Y的变化中有R^2%可以由X的变化来解释
R^2衡量了整个模型的拟合优度
但应当关注伪回归问题： 宏观数据的R^2一般较大（时间序列问题） 微观数据的R^2一般较小
9.改变度量单位对OLS统计量的影 响
1.简单回归模型的定义
简单回归模型的定义
• Y关于X的简单线性回归模型如下： （假定方程在我们关注的总体中成立）
y 0 1x
简单回归中的术语
Y和X：
μ
：误差项 干扰项
β 1：斜率参数 β 0：截距参数
2.总体回归模型和样本回归模 型
Population regression line, sample data points and the associated error terms（唯一&未知）
总结：
满足SLR1-4 → unbiased（无偏性） 满足SLR1-6 → BLUE （best linear unbiased estimator)
研究均值和方差的意义： 参数估计&假设检验
12.检验
模型的显著性检验——(F检验）
方程的显著性检验，是指对模型中被解释变量与解释变量
之间的线性关系在总体上是否显著成立（即以多大的可能性
8
4.两大假设条件
4.
Two Assumptions
① The simple assumption: the average value of u, the error
term, in the population is zero. That is
This is not a restrictive assumption, since we can always
成立）作出推断。
Introductory Econometrics - Yan Fang
45
回归的方程显著性的F检验
对模型
Yi 0 1 X i ui
的显著性检验，是指对
模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否
显著成立，即检验该模型有关参数的总体是否显著为0。 （1）提出原假设： H0 ： 1 0 备择假设为: H1 ： 1 0
24
The total variation in y can always be expressed as the sum of the explained variation and the unexplained variation SSR.
The R-squared of the regression, sometimes called the coefficient
Introductory Econometrics - Yan Fang
11
结合3&4理解：
y
f(y)
.
x1 x2
Introductory Econometrics - Yan Fang
. E(y|x) = + x
0 1
12
5.普通最小二乘法的推导 (确定β1和β0）
方法1：最小二乘法OLS（ordinary least square)
2 2
SST
SSE
SSR
(2.36)
SST: the total sum of squares 总平方和 SSE: the explained sum of squares 解释平方和 SSR: the residual sum of squares or sum of squared residuals 残差平方和
Model Level-level
Equation
y = 0 + 1 x+ u y = 0 + 1 logx + u logy= 0 + 1 x+ u
Interpretation of 1 y 1 x（边际效应）
Level-log
Log-level Log-log
y 1 (x/x)
结论： 改变Y的单位，其他条件不变时： β1和β0同向一起变化 改变X的单位，其他条件不变时： β1反向变化 β0不变 无论改变X还是Y的单位，R^2均不变
10.在简单回归中加入非线性因素
区分：变量非线性和参数非线性（“线性”回归的含义）
传统统计学加入非线性因素的原因： 当采样得到的数据非常大时→取对数 在不改变数据携带信息的情况下 数据缩小 计量经济学加入非线性因素的原因： 感兴趣的并非变量本身 而是变量变化的百分数时→取对数
8.拟合优度
判定系数 R^2
Given a sample, for each observation: ˆi u ˆi an explained part and a unexplained part yi y ˆi y u ˆi2 Can prove yi y y
y y4 E(y|x) = 0 + 1x . u4 {
y3wk.baidu.comy2
u2 {.
.} u3
y 3 0 1x 3 3
Population Regression function (PRF)
y1
.
} u1
Population Regression Model
x1
x2
x3
x4
x
5
Introductory Econometrics - Yan Fang
Introductory Econometrics - Yan Fang
48
ˆ y
则 F
2 i
e
2
1
i
ESS / 1 RSS /(n 2)
(n 2)
服从自由度为（ 1 ，n 2)的F分布
Introductory Econometrics - Yan Fang
49
（3）计算F统计量 （4）给定显著性水平
假定SLR.1（线性与参数）linearity 假定SLR.2（随机抽样）randomness 假定SLR.3（解释变量的样本有波动） variation in X 假定SLR.4（零条件均值假设）E（μ| x ）=0
通过对β1和β0 均值的研究可以证明OLS统计量的无偏性（下证）：
研究β1和β0方差时新增的2条假设条件：
use 0 to normalize E(u) to 0
Introductory Econometrics - Yan Fang
10
② The crucial assumption (zero conditional mean): how u and
x are related?（零条件均值假定）
② 反之总体上可能不存在线性关系。
因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。
Introductory Econometrics - Yan Fang
47
在SST=SSR+SSE中，每一个平方和都有相应的自由度
平方和 SST SSR SSE 自由度 N-1（对所有的模型） N-2（2为参数的个数） 1(TSS的自由度-ESS的自由度)
（5）判断：基本思想是随着F值逐渐增大，我们也趋向于
拒绝原假设,但在拒绝原假设之前,最大的F值是多少呢?答 案取决于自由度和置信水平的大小。
Introductory Econometrics - Yan Fang
50
对结果的判断有三种方法： ①计算出F统计量的值，在给定置信水平的情况下对照自由度查 表确定拒绝域的范围，判断F统计量的值是否落入拒绝域，落入， 拒绝零假设，反之，不能拒绝零假设 ②计算出F统计量的值，对照自由度查表得到P值，将P值与给定 的置信水平α进行比较，P<α，拒绝零假设，反之，不能拒绝零 假设 ③对β1构造置信区间（利用F统计量），判断该置信区间是否包 含0，包含，不能拒绝零假设，不包含，拒绝零假设 注意单双侧检验的问题： 在能够判断β1符号的情况下，建议用单侧检验
方法2：矩估计法MOM（method of moment)
结论：
6.解释线性回归方程 (阐述β1和β0的意义）
首先： 对β0（截距参数）进行解释： X取0时，Y等于β0
其次： 对β1（斜率参数）进行解释： 当X增加一个单位时，Y增加 β1个单位
7.OSL统计量的代数性质
介绍其中最重要的三条：
Sample regression line, sample data points and the associated estimated error terms Sample Regression
多个（根据采样不同而不同） y 一般只能获得一个 y4 永远不知道 SRF与PRF的接近程度 function (SRF)
假定SLR.5（同方差性）Var（μ| x ）= σ^2 假定SLR.6（正态分布）μ~ N（0，σ ^2）
通过对β1和β0 方差的研究可以得到OLS统计量的表达式（下证）：
误差方差的估计
在β1和β0 的表达式中均出现了σ ^2 （总体方差） 而 总体方差未知 因此需要对其进行估计
下证上述统计量是对σ ^2的无偏估计：
22
The total sum of squares (SST): a measure of the total
sample variation in the yi the explained sum of squares (SSE): measures the sample variation in the the residual sum of squares (SSR):
y/y 1 x y/y 1 (x/x)（弹性）
33
Semi-elasticity
logy =0 + 1 logx +u
elasticity
Introductory Econometrics - Yan Fang
11.OLS估计量的期望值和方差
研究β1和β0均值时的4条假设条件：
We want it to be the case that knowing something about x does not give us any information about u, so
that they are completely unrelated. That is,
which implies E(y|x) = 0 + 1x
û 4{
.
ˆ ˆx ˆ y 0 1
y3 y2
. û { ˆ0 ˆ1x3 2 y ˆ ˆ3
.} û3
y1
.
}û 1
x2
Sample Regression model
x1
x3
x4
x
6
Introductory Econometrics - Yan Fang
3.简单线性回归模型的 四大前提条件
Introductory Econometrics - Yan Fang
46
（2）构造F统计量：在H0 成立的条件下 F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： SST=SSE+SSR
由于回归平方和 SSE 是解释变量 X 的联合体对被解释变量 Y 的线性
作用的结果，考虑比值：
SSE/SST
① 如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线 性关系，
3.
Four conditions that comprise “the simple linear regression model”
Linear, Independent, Normality, Homoscedasticity Introductory Econometrics - Yan Fang
PF F (v1 , v2)
PF F (v1 , v2) 1
拒绝域
不能拒绝域
F (v , v )
1 2
Introductory Econometrics - Yan Fang
52
回归系数的显著性检验（t检验）
Introductory Econometrics - Yan Fang
23
Y
Y iY
=
ˆ ˆ Y + Y i Y Y i i
Yi
yi
=
yi
+
ei
ˆ Y i
Y
. ... . . . .
A
Y iY
X
ˆ ˆX ˆ Y i 0 1 i
ˆ Y iY i
ˆ Y Y i
0
Xi
X
Introductory Econometrics - Yan Fang
of determination
OR
R^2的取值范围在[0,1]之间 对R^2的解释应使用语句： Y的变化中有R^2%可以由X的变化来解释
R^2衡量了整个模型的拟合优度
但应当关注伪回归问题： 宏观数据的R^2一般较大（时间序列问题） 微观数据的R^2一般较小
9.改变度量单位对OLS统计量的影 响
1.简单回归模型的定义
简单回归模型的定义
• Y关于X的简单线性回归模型如下： （假定方程在我们关注的总体中成立）
y 0 1x
简单回归中的术语
Y和X：
μ
：误差项 干扰项
β 1：斜率参数 β 0：截距参数
2.总体回归模型和样本回归模 型
Population regression line, sample data points and the associated error terms（唯一&未知）
总结：
满足SLR1-4 → unbiased（无偏性） 满足SLR1-6 → BLUE （best linear unbiased estimator)
研究均值和方差的意义： 参数估计&假设检验
12.检验
模型的显著性检验——(F检验）
方程的显著性检验，是指对模型中被解释变量与解释变量
之间的线性关系在总体上是否显著成立（即以多大的可能性
8
4.两大假设条件
4.
Two Assumptions
① The simple assumption: the average value of u, the error
term, in the population is zero. That is
This is not a restrictive assumption, since we can always
成立）作出推断。
Introductory Econometrics - Yan Fang
45
回归的方程显著性的F检验
对模型
Yi 0 1 X i ui
的显著性检验，是指对
模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否
显著成立，即检验该模型有关参数的总体是否显著为0。 （1）提出原假设： H0 ： 1 0 备择假设为: H1 ： 1 0
24
The total variation in y can always be expressed as the sum of the explained variation and the unexplained variation SSR.
The R-squared of the regression, sometimes called the coefficient
Introductory Econometrics - Yan Fang
11
结合3&4理解：
y
f(y)
.
x1 x2
Introductory Econometrics - Yan Fang
. E(y|x) = + x
0 1
12
5.普通最小二乘法的推导 (确定β1和β0）
方法1：最小二乘法OLS（ordinary least square)
2 2
SST
SSE
SSR
(2.36)
SST: the total sum of squares 总平方和 SSE: the explained sum of squares 解释平方和 SSR: the residual sum of squares or sum of squared residuals 残差平方和
Model Level-level
Equation
y = 0 + 1 x+ u y = 0 + 1 logx + u logy= 0 + 1 x+ u
Interpretation of 1 y 1 x（边际效应）
Level-log
Log-level Log-log
y 1 (x/x)
结论： 改变Y的单位，其他条件不变时： β1和β0同向一起变化 改变X的单位，其他条件不变时： β1反向变化 β0不变 无论改变X还是Y的单位，R^2均不变
10.在简单回归中加入非线性因素
区分：变量非线性和参数非线性（“线性”回归的含义）
传统统计学加入非线性因素的原因： 当采样得到的数据非常大时→取对数 在不改变数据携带信息的情况下 数据缩小 计量经济学加入非线性因素的原因： 感兴趣的并非变量本身 而是变量变化的百分数时→取对数
8.拟合优度
判定系数 R^2
Given a sample, for each observation: ˆi u ˆi an explained part and a unexplained part yi y ˆi y u ˆi2 Can prove yi y y
y y4 E(y|x) = 0 + 1x . u4 {
y3wk.baidu.comy2
u2 {.
.} u3
y 3 0 1x 3 3
Population Regression function (PRF)
y1
.
} u1
Population Regression Model
x1
x2
x3
x4
x
5
Introductory Econometrics - Yan Fang
Introductory Econometrics - Yan Fang
48
ˆ y
则 F
2 i
e
2
1
i
ESS / 1 RSS /(n 2)
(n 2)
服从自由度为（ 1 ，n 2)的F分布
Introductory Econometrics - Yan Fang
49
（3）计算F统计量 （4）给定显著性水平
假定SLR.1（线性与参数）linearity 假定SLR.2（随机抽样）randomness 假定SLR.3（解释变量的样本有波动） variation in X 假定SLR.4（零条件均值假设）E（μ| x ）=0
通过对β1和β0 均值的研究可以证明OLS统计量的无偏性（下证）：
研究β1和β0方差时新增的2条假设条件：
use 0 to normalize E(u) to 0
Introductory Econometrics - Yan Fang
10
② The crucial assumption (zero conditional mean): how u and
x are related?（零条件均值假定）
② 反之总体上可能不存在线性关系。
因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。
Introductory Econometrics - Yan Fang
47
在SST=SSR+SSE中，每一个平方和都有相应的自由度
平方和 SST SSR SSE 自由度 N-1（对所有的模型） N-2（2为参数的个数） 1(TSS的自由度-ESS的自由度)
（5）判断：基本思想是随着F值逐渐增大，我们也趋向于
拒绝原假设,但在拒绝原假设之前,最大的F值是多少呢?答 案取决于自由度和置信水平的大小。
Introductory Econometrics - Yan Fang
50
对结果的判断有三种方法： ①计算出F统计量的值，在给定置信水平的情况下对照自由度查 表确定拒绝域的范围，判断F统计量的值是否落入拒绝域，落入， 拒绝零假设，反之，不能拒绝零假设 ②计算出F统计量的值，对照自由度查表得到P值，将P值与给定 的置信水平α进行比较，P<α，拒绝零假设，反之，不能拒绝零 假设 ③对β1构造置信区间（利用F统计量），判断该置信区间是否包 含0，包含，不能拒绝零假设，不包含，拒绝零假设 注意单双侧检验的问题： 在能够判断β1符号的情况下，建议用单侧检验
方法2：矩估计法MOM（method of moment)
结论：
6.解释线性回归方程 (阐述β1和β0的意义）
首先： 对β0（截距参数）进行解释： X取0时，Y等于β0
其次： 对β1（斜率参数）进行解释： 当X增加一个单位时，Y增加 β1个单位
7.OSL统计量的代数性质
介绍其中最重要的三条：
Sample regression line, sample data points and the associated estimated error terms Sample Regression
多个（根据采样不同而不同） y 一般只能获得一个 y4 永远不知道 SRF与PRF的接近程度 function (SRF)
假定SLR.5（同方差性）Var（μ| x ）= σ^2 假定SLR.6（正态分布）μ~ N（0，σ ^2）
通过对β1和β0 方差的研究可以得到OLS统计量的表达式（下证）：
误差方差的估计
在β1和β0 的表达式中均出现了σ ^2 （总体方差） 而 总体方差未知 因此需要对其进行估计
下证上述统计量是对σ ^2的无偏估计：