01第1章质点运动学

A = Ax i + Ay j + Az k
dA dAx dAy dAz = i+ j+ k dt dt dt dt
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使用类似的方法可以处理矢量函数的积分。如矢量函数 A(t) 对 t 的积分：
Ax (t )dt i + Ay (t )dt j + Az (t )dt k A ( t )d t =
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运动方程（Motion Equation）： 矢量形式：
r (t ) = x(t )i + y(t ) j + z (t )k
参数形式：
x = x(t ) y = y (t ) z = z (t )
F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0
y
A
Dr
Dr
Ds
B
r (t )
O
r (t + Dt )
D r = D x i + D yj + D z k z
2 2 2 Dr = Dx + Dy + Dz
注意
Dr Dr
2
A ( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z 2 )：

公转：质点模型 自转：质点系模型
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三、位置矢量（Position Vector）
从坐标原点o出发，指向质点所在位置 P 的一有向线段。
z
位矢用坐标值表示为：
r = xi + yj + zk
r= x +y +z
2 2 2

o

r
P(x,y,z)

y
x
x y z cos = , cos = , cos = r r r
A+ B = C
B B B C
A
A
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矢量加法的三角形法则，多矢量加法：
C B
Ai
A5 A4
A3 A2
A
A1
显然，矢量加法服从： 交换律 结合律
( A + B) + C = A + ( B + C )
A+ B = B + A
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A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
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矢量点乘的解析表示： 因为有如下关系：
i i = j j = k k =1 i j = j k = k i = 0
或：

t2
t1
t2 t2 t2 A(t )dt = Ax (t )dt i + Ay (t )dt j + Az (t )dt k t1 t1 t1
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6.梯度
定义算符▽为：
=i
散度
旋度
+ j +k x y z
标量场函数Ψ(x,y,z)的梯度（gradient）
A = = i +j +k x y z
A是一个矢量，表示函数Ψ(x,y,z) 在空间某点的最大空间变化率， 矢量的方向垂直于函数Ψ(x,y,z)的等值面指向函数值增大的方向
E = -U ( x, y, z )
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A B = ( Ax i + Ay j + Az k ) ( Bx i + By j + Bz k ) = Ax Bx + Ay By + Az Bz
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矢量叉乘的解析表示：
i i = j j = k k = 0 i j = k, j k = i , k i = j
因此，一个矢量可以表示为三个分矢量之和；也可以由其 大小和三个方向角决定（四个变量？）。可以写为：
A = Ax i + Ay j + Az k = ( Ax , Ay , Az )
矢量加法（减法）的解析表示：
A B = ( Ax i + Ay j + Az k ) ( Bx i + By j + Bz k ) = ( Ax Bx )i + ( Ay By ) j + ( Az Bz )k
2 2
D r = x2 +y2 +z2 - x + y + z
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2 1
2 1
2 1
二、速度（Velocity）
平均速度：刻画速度Dt 时间内平均变化率 在Dt 时间内发生位移 则平均速度：
Dr v= Dt
Dr
dr dt
A Dr r(t)
B'' B' B
瞬时速度：刻画t 时刻速度的即时变化率
第一章 质点运动学 Chap.1 Kinematics
本章要点
矢量及其运算 位矢、位移、速度、加速度的定义 曲线运动的自然坐标系描述 运动学的两类问题
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第一节 矢量( Vector )
一、矢量的定义和表示方法
矢量：既有大小又有方向的量，如速度、力、位移等 标量：仅有大小而与空间方向无关的量，由单一的数和单 位描写，如质量、密度等 矢量的表示：
A B = ( Axi + Ay j + Az k) (Bxi + By j + Bz k) = ( Ay Bz - Az By )i + ( Az Bx - Ax Bz ) j + ( Ax By - Ay Bx )k
利用行列式，可表达为：
A B = Ax Ay Az Bx By Bz
矢量场的旋度还是一个矢量。若一个矢量场在空间某个范围内 的旋度为0，我们就说该矢量场为无旋场，若矢量场的旋度不 为0，则称该矢量场是有旋场
斯托克斯定理

L
Adl = A dS
S
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第二节 位置矢量
一、参考系 坐标系
参考系（Reference Frame） ： 确定一个物体的位置总是相对于某一物体或某一物体系来确定，那 么这—物体或物体系就作为描述物体位置的基准，称为参考系。 坐标系（Coordinates） ： 确定了参考系后，为了能够定量地描 述一个物体的运动，必需在选定的参 考系上建立一个合适的坐标系 。常见 的坐标系有直角坐标系、自然坐标系、 球坐标系、柱坐标系、极坐标系等。
高斯定理：
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S
AdS = AdV
V
矢量场函数A(x,y,z)的旋度（curl）
i j k Az Ay Ay Ax Ax Az A = i +k + j = z x y x y z z y x Ax Ay Az
A⊥B 则
B
2）如果:
A B = 0
B cos(A, B)
A
3）两个矢量平行、反平行时，标积 最大、最小。
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矢量的叉乘（矢积）（Vector Product）：
A B = C
A B = C = AB sin( A, B )
两个矢量的矢积是一个矢量，其大小是第 一个矢量的大小与第二个矢量的大小以及 两矢量夹角的正弦值，这三者的乘积，方 向按右手螺旋法则确定。C矢量与A、B矢 量构成的平面永远垂直！它的几何意义是A、 B矢量构成的平行四边形的有向面积。
矢量场函数A(x,y,z)的散度（divergence）
A( x, y, z ) = Ax i + Ay j + Az k
Ax Ay Az A = + + x y z
矢量场的散度是个标量。若一个矢量场在空间某个范围内的 散度为0，我们就说该矢量场为无源场，若矢量场的散度不为 0，则称该矢量场是有源场。
z
r
参考系
o y
x
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二、质点
质点系
质点（Particle）:将宏观物理抽象为只有质量而不计大小、形状的 点（粒子），是力学中的一个重要的理想模型。 质点系（Particle System）：很多质点按一定规律组成的一个质点 系统。通过描述质点系中所有质点的 运动情况，从而了解整个质点系的运 动（求和，积分）。
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矢量的点乘(标积）（Scalar Product）：
A B = AB cos q
表示：两个矢量的标积是一个标量，其大 小是第一个矢量的大小乘以第二个矢量在 第一个矢量上的投影。 （q 是这两个矢量 的夹角）。
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A B = AB cos q
1）
A B = B A
消去时间 参数（t）
轨道方程（ Track Equation ）：
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第三节 质点的位移、速度、加速度
一、位移（Displacement）
设质点作曲线运动
z
A Dr r(t)
Ds
B
t 时刻位于A点，位矢 r (t )
t+Dt时刻位于B点，位矢 r (t + Dt )
x
r(t＋Dt)
一般情况： Dr Ds， v v
当Dt0时： Dr dr , Ds ds, dr = ds, v = v